Buenas tardes, vamos a realizar la última sesión de tutoría de lenguaje
matemático, conjuntos y números. Hoy vamos a tratar de la segunda parte
de los números complejos que también va a ser como la otra, la
resolución de ejercicios. El primer ejercicio dice, sean W1, W2 y W3 las
raíces, las tres raíces cúbicas distintas entre sí de un número
complejo. Determine razonadamente si W2 y W3 en función de W1. O sea,
tenemos que determinar la segunda y la tercera en función de la primera.
Esta es la primera parte del ejercicio. Y la siguiente es resolver una
ecuación. Observamos que, primero, que si W1, W2, W2 y W3 son las tres
raíces cúbicas distintas entre sí de un mismo número complejo,
necesariamente estas raíces son distintas de cero. Resolvemos la ecuación
Z al cubo igual a W1 elevado al cubo. Poniendo Z de la forma polar, R
módulo argumento, R alfa. Y W1 igual a S beta, ¿vale? S es el módulo y
beta el argumento. Entonces, R al cubo 3 alfa, o sea, el módulo al cubo 3
alfa, tiene que ser igual a S3 al cubo 3 alfa. Por tanto, R, los módulos
tienen que ser iguales y los argumentos 3 alfa tendrán que ser igual, a 3
beta más 2 capi. Por tanto, alfa será igual a beta más 2 capi partido
por 3. Entonces, para que a igual a cero, 1 y 2, obtenemos los diferentes
argumentos. El módulo será el mismo para las tres raíces, evidentemente.
Por tanto, beta será, para el argumento beta, será la raíz Z, será
igual a 2, y W1, para k igual a 1 tendremos que alfa será igual a beta
más 2 capi partido por 3. Por tanto, para k igual a 1, tendremos la raíz
Z igual a W1 e a la 2 pi i partido por 3. Y para k igual a 2, tendremos que
alfa, el argumento será beta más 2 capi partido por 3, más 4 capi
partido por 3. Para k igual a 2 será 2 por 2, 4, será beta más 4 pi
partido por 3. Por tanto, Z será igual a W1 e a la 4 pi partido por 3,
expresando las raíces en la forma exponencial. Por tanto, ya tenemos las
raíces en función de la primera raíz de W1. La primera será W1, la
segunda W1 por e a la 2 pi partido por 3, y la tercera será W1 por e
elevado a 4 pi partido por 3. Para la segunda parte del ejercicio dice
resuelva en C, la ecuación z a la 6, 1 más 2i por z elevado al cubo, más
i menos 1 igual a 0. Evidentemente sería una ecuación polinomio de grado
6 con coeficientes complejos. Haciendo el cambio de variable x igual a z al
cubo, la ecuación se reduce a segundo grado. Por lo tanto sería x al
cuadrado más 1 más 2i por z más i menos 1 igual a 0. El discriminante de
esta ecuación, o sea b al cuadrado menos 4ac, sería 1 más 2i elevado al
cuadrado menos 4 que multiplica i menos 1. Haciendo operaciones, a 1 más
2i al cuadrado sería 1 más 4i más 4i al cuadrado, menos 4 por i es menos
4i y menos 4 por menos 1. Por lo tanto quedaría, teniendo en cuenta que i
al cuadrado es igual a menos 1, sería, esto sería igual a 1, 4i menos 4i
se anula y 4i al cuadrado es menos 4 que se anula con el cuadrado. Por lo
tanto el discriminante es igual a 1. Se amplían las soluciones, 1 más 2i
más 1 discriminante partido por 2, que sería 1 más 2i. La otra sería 1
más 2i menos 1, menos el discriminante partido por 2, que sería i. En
forma de binómica es 1 más i, una solución, y la otra sería 0 más i.
Poniéndola en forma exponencial, 1 más i, el módulo es raíz de 2 y el
argumento es 45 grados, que es pi cuartos. Entonces, puesta en forma
exponencial sería... Raíz de 2, e a la pi partido por 4. Y la otra sería
i, que sería, en forma exponencial el módulo sería 1, por lo tanto
sería 1 por e elevado a pi partido por 2. Después resolvemos las
ecuaciones, z al cubo igual a x. Por lo tanto, aquí tendríamos z al cubo
para la primera, que sería igual a raíz de 2 por... e a la pi partido por
4. Por lo tanto, aquí también utilizando la forma exponencial, sería la
raíz tercera de la raíz cuadrada de 2, y el argumento sería pi i partido
por 4 más 2kpi, sería pi cuartos, el argumento sería pi cuartos más
2kpi, todo partido por 3. Y entonces, para k igual a 0, 1 y 2, obtenemos
las distintas raíces. Por lo tanto, tendríamos que zk sería igual a
raíz tercera de la raíz cuadrada, que sería la raíz sexta de 2, por e
elevado a un cuarto más 2k, i partido todo por 3. Entonces, para k igual a
0, 1 y 2, obtenemos las distintas raíces. Entonces, para k igual a 0,
sería raíz tercera, raíz cuadrada, este sería el módulo, por lo tanto,
sería raíz sexta de 2, y el argumento sería, sustituyendo la k por 0,
sería pi cuartos partido por 3, que sería pi partido por 12. Por lo
tanto, la primera raíz será raíz sexta de 2, por e elevado a pi partido
por 12. Lo mismo haríamos para k igual a 1, sustituyendo, evidentemente,
el módulo será el mismo, sería raíz sexta de 2, y el argumento sería
un cuarto más 2k, por lo tanto, sería 2 por 1, que es 2, por lo tanto,
sería 2 más un cuarto, son 9 cuartos, que dividido por 3 son 3pi partido
por 4. Por lo tanto, en la forma exponencial, sería raíz sexta de 2 por e
elevado a 3pi, partido por 3, que es 2pi partido por 4. Y en la tercera
raíz sería, sustituyendo la k por 2, sería un cuarto más 4, por lo
tanto, sería 8, y sería 17, partido por 4 y partido por 3, por lo tanto,
sería el argumento 17pi partido por 12. Por lo tanto, la raíz sería
raíz sexta de 2 por e elevado a 17pi, partido por 12. Vale, y ahora
hacemos lo mismo con la otra raíz, resolviendo la ecuación z al cubo
igual a e a la pi partido por 2. Procederemos igual, para k igual a 0,
obtenemos, y aquí serán las distintas raíces zk, sería e elevado a 1
medio más 2k partido por 2, pi y todo partido por 3. Para k igual a 0,
obtenemos la primera raíz, que es el argumento, en este caso, sería 1
medio más 0, sería 1 medio partido por 3, sería pi sextos, ¿vale? Por
lo tanto, sería pi y partido por 6. La primera raíz sería e elevado a pi
partido por 6. Para k igual a 1, obtenemos que el argumento, sustituyendo
la k por 1, sería 1 medio más 2. 1 medio más 2 son 5 medios, 5 medios y
partido por 3 serían 5 pi partido por 6. Por lo tanto, el argumento sería
5 pi partido por 6 y, por lo tanto, la raíz será e elevado a 5 pi partido
por 6. Y la tercera raíz, para obtenerla, sustituimos la k por 2 y sería
1 medio más 4, por lo tanto, sería 9 medios partido por 3, sería 2 por
2, 4, y la raíz sería e elevado a 5 pi partido por 6. 4 más 1 medio
serían 5 medios, bueno, sería 4 por 2, 8, 8 más 1 medio serían 9 medios
partido por 3, serían 3 pi medios, ¿vale? 3 medios, por lo tanto, por pi,
3 pi medios. Por lo tanto, la raíz será 3 pi partido por 2, e elevado a 3
pi partido por 2. O sea, la... la... O sea, al igualar z al cubo a e a la
pi partido por 2, el módulo aquí es 1 y el argumento es pi medios que son
90 grados. Por lo tanto, sería pi medios más 2kpi, para k igual a 0
tenemos el primer argumento para la primera raíz, para k igual a 1 el
argumento para la segunda raíz y para k igual a 2 el argumento para la
tercera raíz. Evidentemente, aquí el módulo de todas las raíces es 1.
Vamos al ejercicio 2, dice, dados dos números complejos, z y z', demuestre
que el módulo de z por z' es igual al módulo de z por el módulo de z'.
Después, demuestre que si... que el módulo de z más el módulo de z' es
menor o igual que el módulo de z más z', más el módulo de z menos z'. Y
determina una condición necesaria y suficiente para la desigualdad, para
que la desigualdad sea... una igualdad. Empezamos por la parte A, ¿vale?
Ver que el módulo del producto es igual al producto de los módulos.
Aplicamos la definición de módulo, que el módulo de un número complejo
es igual al producto del número complejo por su conjugado. El módulo de
z' al cuadrado será z' por el conjugado de z' . Entonces, el conjugado de
un producto es igual al producto de dos conjugados, aplicamos esta
propiedad. Por tanto, tendremos que el conjugado de z' sea el conjugado de
z por el conjugado de z'. Entonces, multiplicando z, podemos agrupar z con
su conjugado y z' con su conjugado. Z con su conjugado es el módulo al
cuadrado de z, y z' con su conjugado es el módulo de z'. Por tanto,
tendremos que el cuadrado del módulo de z por z' es igual al producto del
módulo de z cuadrado del módulo de z por el cuadrado del módulo de z'.
Como los módulos son positivos, entonces el módulo de z por z' tiene que
ser igual al módulo de z por el módulo de z'. Para la segunda parte,
demuestre que el módulo de z más el módulo de z' es módulo igual que el
módulo de z' más el módulo de z menos z'. Aplicamos la desigualdad
triangular que el módulo de z1 más z2 es módulo igual que el módulo de
z1 más el módulo de z2. Y tenemos en cuenta que el módulo de z menos z'
es igual que menos el módulo del opuesto, que sería menos menos z menos
z'. Por tanto, sería que z' menos z. Por tanto, el módulo de z menos z'
es igual que el módulo de z' menos z. Entonces, z más z' módulo más
módulo de z menos z', aplicando la desigualdad triangular, tiene que ser
mayor o igual que el módulo de z más z', más tiene que ser igual que el
módulo de z más z' más z menos z'. z más z es 2z, z' menos z', sigue
sumando, es 0. Por tanto, tendríamos que sería esta suma, z más z' más
z menos z' es igual a 2z. Por tanto, esto sería igual al módulo de 2z y
el módulo de 2z es 2 por el módulo de z. También, z más z' más el
módulo de z menos z' es mayor o igual, aplicando la desigualdad
triangular, que el módulo de z más z', o sea que el módulo de z más z'
más z' menos z'. Entonces, ya que antes hemos probado que z menos z' el
módulo es igual que el módulo de z' menos z'. Por tanto, podemos poner
entonces tenemos que sumando z menos z se va z' más z' queda 2z'. Por
tanto, esto es igual a 2z'. Por tanto, sumando ambas tenemos que 2 por el
módulo de z más z' más 2 por el módulo de z menos z' tiene que ser
mayor o igual que 2 por el módulo de z más 2 por el módulo de z'.
Dividiendo todo por 2 nos quedaría que el módulo de z más el módulo de
z' es mayor o igual que el módulo de z más z' más el módulo de z menos
z', que es lo que es la primera parte del ejercicio. La segunda parte,
vamos a ver las condiciones de igualdad. Supongamos que la igualdad en el
módulo de z más el módulo de z' sea igual al módulo de z más z' más
el módulo de z menos z'. Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos que
el cuadrado del módulo de z más el módulo de z' tiene que ser igual al
cuadrado del módulo de z más z' más el módulo de z menos z'. Entonces,
desarrollando esta parte aplicando el cuadrado del primer factor, será el
módulo de z más z' al cuadrado más el módulo del segundo factor z menos
z' al cuadrado más el doble de producto de ambos módulos. Módulo de z
más z' módulo de z menos z'. Desarrollamos este cuadrado ¿vale? El
cuadrado del módulo de z más z' es igual a z más z' por el conjugado de
z más z'. El conjugado de z más z' es el conjugado de z más el conjugado
de z' multiplicando llegamos a esta igualdad que esto es igual al cuadrado
del módulo de z más el cuadrado del módulo de z' más z' por el
conjugado de z' más z' por el conjugado de z' ¿vale? Ahora vamos a
desarrollar esta parte z' por el conjugado de z' más z' por el conjugado
de z' z' es la parte real de z' más i por la parte imaginaria y el
conjugado de z' es la parte real de z' menos i por la parte imaginaria de
z' o sea z' sería re de z' más i im de z' ¿vale? y a z' menos z' será
la parte real de z' más i por la parte imaginaria y el conjugado de z' sea
la parte real de z' más i por la parte imaginaria de z' haciendo
multiplicando esto haciendo operaciones pues y reduciendo los términos
llegamos a que a tenemos que es igual o sea toda esta expresión o sea
desarrollándolo haciendo los correspondientes productos y reduciendo
términos llegamos a esta expresión ¿vale? por tanto aquí me quedará re
z' más rz el factor este se repite y este también este también y este
también por tanto esto es igual a la parte real de z z' ¿vale? o sea el
producto de z por z' pues sería la parte esto es igual o sea es igual a la
parte real del producto z z' ¿vale? entonces tenemos que z más z' módulo
al cuadrado es igual al módulo de z cuadrado del módulo de z más el
cuadrado del módulo de z' más 2 por la parte real del producto z z' lo
mismo el módulo de z menos z' al cuadrado también aplicamos que es igual
al z menos z' por el conjugado de z menos z' el conjugado de z menos z' es
el conjugado de z menos el conjugado de z' haciendo operaciones como antes
llegamos a esta igualdad ¿vale? que el cuadrado del módulo de z menos z'
es igual al cuadrado del módulo de z más el cuadrado del módulo de z'
menos la parte real del producto z z' tenemos por tanto que a la parte
izquierda de esta igualdad es igual a la parte de la derecha que sería el
desarrollo de este factor que hemos encontrado en la página siguiente el
desarrollo de este otro factor y este producto ¿vale? por tanto esto aquí
aplicando el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el
cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo más el doble
del segundo más el doble de z' al cuadrado hemos visto que era este y la
parte esta que nos hemos desarrollado ya nos viene de la primera parte
entonces haciendo operaciones llegamos a esta expresión ¿vale? por tanto
aquí nos quedaría que a módulo de z menos módulo de z' al cuadrado más
2 por el módulo de z o sea el módulo de z más z' por el módulo de z'
menos z podemos ponerlo con el módulo del producto z más z' por z menos
z' ¿vale? como ambos son positivos para que haya igualdad tendrá que ser
z menos z' igual a 0 por tanto de aquí el módulo de z menos el módulo de
z' igual a 0 por tanto el módulo de z tendrá que ser igual al módulo de
z' para la otra parte igual también tendrá que ser módulo de z z más z'
z menos z' igual a 0 tendrá que ser z más z' igual a 0 o z menos z' igual
a 0 ¿vale? en ambos casos deducimos que z tiene que ser igual a z' o z
tiene que ser igual a menos z' ¿vale? recíprocamente si z es igual a z' o
z es igual a menos z' se cumple que el módulo de z más el módulo de z'
es igual a 2 por el módulo de z' y el módulo de z más z' más el módulo
de z menos z' es igual a 2 z' por tanto z es igual a z' o z es igual a
menos z' es una condición necesaria y suficiente para que se cumpla la
igualdad que el módulo de z más el módulo de z' es igual al módulo de z
más z' más el módulo de z menos z' ¿vale? vemos el ejercicio 3 dice
resuelva en c la ecuación z cuadrado menos 6z más 12 igual a 0 después
dice sea w igual a 3 más i raíz de 3 calculo el módulo y el argumento de
los números complejos w menos 4 w partido por w menos 4 y w partido
conjugado de w partido por el conjugado de w menos 4 siendo w conjugado de
v ¿vale? bueno discriminante de la ecuación es 36 menos 48 que es por
tanto z sub 1 será a 6 la b sea menos b por tanto será 6 más el
discriminante partido por 2 por tanto será 3 más raíz de 3 y la segunda
raíz será 6 menos el discriminante de la ecuación partido por 2 por 2
¿vale? por tanto sería 3 menos raíz de 3 y entonces para hacer la parte
b vemos que una vez hallado el módulo del número complejo que es r igual
a raíz cuadrada de la parte real al cuadrado más la parte imaginaria al
cuadrado para el número complejo en forma binómica a más b y podemos
poner z igual a r que multiplica a por r más d partido por r y el
argumento de z es igual a alfa más 2kpi ¿vale? con k pertenece a z coseno
de alfa es a partido por r y el seno de alfa es b partido por r coseno del
argumento es la parte real partido por r por el módulo y el seno es la
parte imaginaria partido por el módulo ¿vale? en este caso por tanto
aplicando esto a w igual a 3 más i raíz de 3 sería el módulo sería
raíz de 9 más raíz de 3 al cuadrado sería raíz de 9 más 3 que sería
raíz de 12 que es 12 raíz de 3 ¿vale? por tanto será w sería 2 raíz
de 3 que multiplica 3 partido por 2 raíz de 3 más raíz de 3 partido por
2 raíz de 3 el era el número complejo 3 más raíz de 3 i ¿vale? por
tanto haciendo operaciones esto sería 2 raíz de 3 que multiplica raíz de
3 partido por 2 más un medio de i ¿vale? raíz de 3 partido por 2 es el
coseno de 30 un medio es el seno de 30 ¿vale? por tanto el argumento es 30
grados que es pi partido por 6 por tanto en forma polar el número complejo
será 2 raíz de 3 y el argumento i partido por 6 hacemos lo mismo para w
menos 4 sería 3 raíz de 3 i menos 4 sería menos 1 más i raíz de 3 por
tanto el módulo sería menos 1 al cuadrado más raíz de 3 al cuadrado
sería 1 más 3 que sería la raíz de 4 que es 2 por tanto v menos 4
aplicando lo mismo sería 2 el módulo menos 1 partido por 2 más i raíz
de 3 partido por 2 en este caso menos un medio es el coseno de 120 ¿vale?
y raíz de 3 partido por 2 es el seno de 120 por tanto el argumento sería
120 grados que en radianes son 2 pi partido por 3 por tanto tenemos que w
menos 4 es igual a 2 el módulo se llama forma polar y el argumento sería
2 pi partido por 3 puesto en forma polar sería de esta forma el otro
número complejo en forma polar es esta ¿vale? ahora nos pide el módulo y
el argumento del cociente por tanto w es 2 raíz de 3 pi partido por 6 w
menos 4 es 2 2 pi partido por 3 por tanto aquí para el cociente se dividen
los módulos por tanto 2 raíz de 3 dividido por 2 es raíz de 3 el módulo
y los argumentos se restan sería pi sextos menos 2 pi partido por 3 sería
menos pi medios que sería menos 90 grados que podemos poder en vez de
menos 90 podemos de menos pi medios podemos poder 3 pi medios por tanto
sería raíz de 3 3 pi medios o también estaría bien raíz de 3 menos pi
medios después aquí tenemos buscar el módulo y el argumento del
conjugado de w partido por el conjugado de v menos 4 el conjugado de v
menos 4 es el conjugado de v menos el conjugado de 4 que sería por tanto
el conjugado de v menos 4 vale el conjugado de este sería el conjugado del
cociente vale por tanto el conjugado de v partido por el conjugado de w
menos 4 es lo mismo que el conjugado de v partido por v menos 4 entonces
como w partido por w menos 4 es igual a raíz de 3 3 pi medios el conjugado
será un número complejo que el módulo será el mismo raíz de 3 y el
argumento será de signo contrario menos 3 pi medios será del número
complejo inicial era el argumento 3 pi medios el desconjugado será menos 3
pi medios por tanto menos 3 pi medios coincide con pi medios por tanto
podemos poner raíz de 3 pi medios el ejercicio 4 dice consideramos las
operaciones suma y producto de números complejos restringidas a h dice es
h con la operación suma un grupo es h con la operación producto un grupo
o sea h asterisco es el conjunto h sin el elemento neutro por tanto dice
veamos que h es un grupo de entrada tenemos que ver que no es un conjunto
vacío por ejemplo el número 0 podemos ponerlo 0 más 0i que es entero
vale por tanto en este caso tenemos que el conjunto h no es vacío vale
ahora si tomamos dos elementos de h z sub 1 y z sub 2 entonces tiene que
existir a sub 1 a sub 2 b sub 1 y b sub 2 tales que z 1 sea igual a sub 1
más i b sub 1 y z 2 sea igual a 2 más i por b 2 vale entonces veamos si
la diferencia z 1 menos z 2 también es un elemento del conjunto h por
tanto ha sido operaciones a sub 1 se resta con a sub 2 por las propiedades
de la suma de números complejos o sea a sub 1 más i b sub 1 menos a sub 2
más i b sub 2 es igual a sub 1 menos a sub 2 más i por b sub 1 menos b
sub 2 a sub 1 si a sub 1 y a sub 2 son enteros la diferencia también es
entera y si b sub 1 y b sub 2 son enteros la diferencia también es entera
por tanto tenemos que z sub 1 menos z sub 2 si z sub 1 y z sub 2 pertenecen
a h también a z sub 1 menos a sub 2 pertenece a z por tanto el subconjunto
h en este caso no es un grupo ¿vale? porque no tendría inverso suponemos
que por ejemplo el número complejo a z igual a 3 ¿vale? número complejo
z igual a 3 que sería 3 más 0 por i este pertenece a h no es nulo ¿vale?
por tanto pertenece a h por tanto 1 partido por z será 1 dividido por 3
más i por 0 en este caso un tercio esto sería un tercio no sería un
número entero por tanto no pertenece a h asterisco por tanto vemos que el
conjunto h asterisco como operación producto no es un grupo en este caso
un subgrupo de c ¿vale? el 5 dice sea f de c menos elemento menos i sobre
c menos elemento 1 ¿vale? la aplicación igual a z menos i partido por z
más i demuestre que si z pertenece a c menos i entonces se cumple que z
menos i partido por z más i es diferente de 1 demuestre que para todo z
que pertenece a c menos quitando el 1 ¿vale? existe un único z que
pertenece a z menos i tal que f de z es igual a 1 y después dice resuelva
en c la ecuación z menos i al cubo más 8 por z más i al cubo igual a 0
¿vale? bueno vamos a la primera parte si fuera z menos i partido por z
más i igual a 1 haciendo operaciones tendríamos que z menos i sea igual a
1 por z más i o que z menos i sea igual a z más i por tanto en este caso
tendríamos que menos i sea igual a i o si queremos menos 2i igual a c una
cosa que es imposible por tanto vemos que siempre se cumple que z menos i
partido por z más i es distinto de 1 para cualquier número complejo z
¿vale? si w pertenece a z es igual a w ¿vale? de z menos i partido por z
más i igual a v obtenemos haciendo operaciones que a z ¿vale? tiene que
ser igual a i por v distinto de 1 ¿vale? por tanto si aquí tenemos que la
solución de la ecuación es única siempre que 1 menos v sea distinto de 0
en el caso de que v sea igual a 1 y esto ya se excluye ¿vale? además si z
es distinto de menos i también se cumple que 1 más w partido por 1 menos
w es distinto de menos 1 ¿vale? porque si fuera igual si 1 partido por 1
menos v es igual a menos 1 que en este caso sería el caso de que z sería
igual a menos i ¿vale? entonces sería que 1 más w sería igual a menos 1
más w por tanto en este caso sería 1 sería igual a menos 1 o si queremos
2 igual a 0 que esto no es imposible ¿vale? por tanto ya hemos demostrado
los apartados a y b ¿vale? entonces vamos a resolver la ecuación es z
menos i al cubo es decir w al cubo igual a z menos i partido por z menos i
al cubo partido por z más i al cubo por tanto entonces podemos poner z
menos i partido por z más i todo elevado al cubo ¿vale? y esto igual a f
de z al cubo o sea podemos poner w igual a z menos i z más i así es al
cubo por tanto sería z menos i partido por z más i por tanto sería f de
z al cubo igual a menos ocho por tanto resolvemos la ecuación v al cubo w
al cubo igual a menos ocho en este caso se obtiene que menos ocho el
módulo de v sería dos y el argumento sería tres alfa igual a pi más dos
kpi ¿vale? porque el argumento de menos ocho es ciento ochenta grados por
tanto sería pi ¿vale? por tanto del cubo sería tres alfa igual a pi más
dos kpi con k pertenece a z ¿vale? por tanto dando valores para k igual a
uno a cero uno y dos ¿vale? obtenemos las distintas raíces dos a la pi
tercios ¿vale? o sea aquí tenemos tres alfa igual a pi más dos kpi por
tanto alfa será pi más dos kpi partido por tres para k igual a uno alfa
será pi tercios para k igual no para k igual a cero será pi tercios para
k igual a uno será pi más tres pi más dos pi será o sea pi más dos pi
será tres pi por tanto será pi y para k igual a dos sería cuatro pi
sería cinco pi partido por tres ¿vale? por tanto desarrollando la primera
aplicando aquí dos pi partido por tres es dos coseno de pi partido por
tres más i por el seno de pi partido por tres el seno de pi partido por
tres es el seno de sesenta grados que es raíz de tres partido por dos y el
coseno de sesenta es un medio después el pi el coseno es menos uno y el
seno es cero por tanto nos quedaría haciendo operaciones la segunda raíz
menos dos la primera haciendo operaciones nos quedaría en forma binómica
uno más raíz de tres i y dos cinco pi tercios cinco pi sería a
doscientos cuarenta ¿vale? sería pi partido por tres es ciento ochenta
partido por tres es sesenta sesenta por cinco son trescientos el coseno de
trescientos es el mismo que el coseno de sesenta que sería un medio y el
seno de trescientos es el mismo que el de a que el de sesenta pero en
negativo que sería por tanto menos raíz de tres partido por dos por tanto
haciendo operaciones sería uno menos raíz de tres ¿vale? por tanto el
número complejo este las raíces serían la primera uno más raíz de tres
i la tercera uno menos raíz de tres i y la otra sería la real menos dos
¿vale? para recuperar los correspondientes valores de z utilizamos el
apartado b que hemos visto que y además que el v menos un conjugado o sea
w sería la parte real más i por la parte imaginaria y el conjugado es la
parte real menos i por la parte imaginaria y por tanto haciendo operaciones
nos quedaría que sería igual a dos i por la parte imaginaria de u ¿vale?
después z igual a i uno más w partido por uno menos w esto lo hemos visto
en el apartado b ¿vale? aquí por tanto sustituyendo ¿vale? para regular
el cociente este por tanto multiplicamos por el conjugado de uno menos w
que sería el conjugado de uno menos w ¿vale? para tener este factor es el
conjugado ¿vale? por tanto aquí tendríamos que uno menos w por su
conjugado ¿vale? sería igual al módulo de uno menos v al cuadrado
¿vale? y arriba también igual el conjugado de uno menos w es uno menos el
conjugado de w ¿vale? por tanto haciendo operaciones multiplicando uno por
uno es uno uno por menos w es menos w w por uno es doble uno y w por el
conjugado de w es v por el conjugado de w ¿vale? entonces esto es igual a
dos i por la parte imaginaria de w ¿vale? lo hemos visto aquí ¿vale? y
como está multiplicado por i sería dos i cuadrado teniendo en cuenta que
i cuadrado es menos uno por tanto esto será menos dos la parte imaginaria
de w y uno menos el w por el conjugado de w esto es el cuadrado del módulo
de w por tanto sería uno menos w un cuadrado y esto es multiplicado por i
aquí va una i ¿vale? por tanto para w igual a uno se tiene o sea para w
uno que es este se tiene que uno menos w es raíz de tres i y sustituyendo
obtenemos que z sub uno es este valor lo mismo haremos con wv dos y con wv
tres ¿vale? si acaso voy acelerando un poco porque sino no hay más
ejercicios y obtendríamos la las siguientes raíces ¿vale? bueno vemos
otro ¿vale? se hace de ecuación z menos uno elevado a n menos z más uno
elevado a n igual a cero para n pertenece a n asterisco por tanto quiere
decir que es el conjunto de los números naturales sin el cero ¿vale?
demuestre que si w que pertenece a t es solución de la ecuación sí y
sólo sí es solución también el opuesto ¿vale? o sea w si w es
solución de la ecuación implica que menos w también es solución de la
ecuación y al revés que si menos w es solución de la ecuación w
también lo es ¿vale? por tanto supongamos que w es solución de la
ecuación entonces se cumple que w v menos uno elevado a n menos w más uno
elevado a n tiene que ser igual a cero ahora comprobemos que menos v es
solución también de la ecuación ¿vale? bueno menos w menos uno elevado
a n menos menos v menos w más uno elevado a n podemos ponerlo menos uno
más que multiplica a w uno más uno todo elevado a n y podemos poner
también menos uno que multiplica a w menos uno elevado a n ¿vale?
entonces aquí tenemos esto será menos uno elevado a n por w uno más uno
elevado a n y menos uno elevado a n por w uno menos uno elevado a n sacando
factor común podemos sacar factor común este número sería menos uno
elevado a n que multiplica a w uno más uno elevado a n menos w uno menos
uno elevado a n ¿vale? entonces esto yo puedo ponerlo menos ¿vale? menos
uno elevado a n más uno y esto girado ¿vale? por tanto w uno menos uno
elevado a n menos w más uno elevado a n ¿vale? por tanto esto es igual a
cero por tanto tenemos que menos uno elevado a n más uno por cero es igual
a cero ¿vale? aplicando lo anterior si menos w es solución de la
ecuación entonces como w es igual a menos menos w por tanto también lo
será ¿vale? bueno esta sería la primera parte dice resuelva la ecuación
bueno esta ecuación ¿eh? bueno de entrada observamos que la n tiene que
ser mayor que uno ¿vale? por ejemplo si la n es igual a uno ¿qué
tendríamos? tendríamos que z menos uno elevado a uno que sería z menos
uno menos z más uno elevado a uno que sería z más uno esto sería igual
a menos dos que no es cero ¿vale? por tanto esto tiene que ser de grado
mayor que uno ¿eh? la ecuación esta entonces podemos ponerla uno igual a
z más uno elevado a n partido por elevado a n ¿vale? por tanto podemos
poner z más uno partido por z menos uno elevado todo a n ¿vale? si
efectuamos el cambio de variable w igual a z más uno partido por z menos
uno obtenemos la ecuación w elevado a n igual a uno ¿vale? que podemos
expresarla en la forma exponencial o sea módulo por e elevado a i beta
¿vale? que beta es el argumento ¿vale? por tanto elevando a n o sea w
elevado a n sería r elevado a n por e a la i n beta igual a uno es e por i
elevado a i por cero ¿vale? y por cero evidentemente es cero uno es e a la
cero por tanto podemos ponerla de esta forma ¿vale? por tanto en este caso
la r tiene que ser igual a uno y n beta tiene que ser igual a cero más dos
kpi que en este caso sería dos kpi ¿vale? k pertenece a z ¿vale? por
tanto aquí las soluciones serían a v cero w cero w uno w n menos uno
¿vale? las raíces de uno y por tanto esto sería w k i por e elevado a
dos kpi partido por n de k igual a cero a k igual a n menos uno y
deshaciendo el cambio de variable ¿vale? tendríamos que si w es igual a z
más uno partido por z menos uno si aquí hay las operaciones del cambio de
variable obtendríamos que z sería igual a w más uno partido por w menos
uno ¿vale? por tanto esto es verdad siempre que w sea distinto de uno
¿vale? por tanto para k igual a cero no sería viable ¿vale? y por tanto
las soluciones serían z k sería e elevado a i dos kpi partido por n más
uno dividido por e elevado a i por dos kpi partido por n menos uno para k
igual a uno hasta n menos uno ¿vale? bueno quedan tres ejercicios que en
principio os lo voy a mandar ¿vale? están resueltos con bastante detalle
¿vale? si hay algún tenéis alguna duda o algo o sea voy a enviar como
siempre el material utilizado junto con la url de la grabación como cada
sesión de tutoría y si tenéis algún problema pues me enviáis la duda
que tengáis ¿vale? está resuelta quedan tres ejercicios más ¿vale? y
bueno en principio pues desearos buena suerte en los exámenes y hasta otra
ocasión si nos encontramos en otra tutoría ¿vale? muchas gracias por
vuestra atención y que tengáis suerte en los exámenes