Vale, sí, efectivamente. Menos mal que me lo habéis dicho con todo el
maldito lío. No se me había... Ahora, efectivamente. Bueno, pues vamos a
empezar por aquello de que la gente que no nos esté viendo pueda
enterarse. Bien, empezábamos con una matriz, como decía, una matriz
cuadrada A. Y sabíamos que la ecuación fundamental para la que definía
lo que eran los valores propios y los vectores propios no eran más que la
ecuación A por X igual a lambda veces X, donde lambda en principio es un
escalar y X es un vector propio. Esto significaba que si tenemos N valores
propios, no vamos a entrar ahora con las multiplicidades ni nada por el
estilo, sino que si tenemos N valores propios y P es la matriz con los
vectores propios, una matriz que podemos escribirla como una matriz fila,
aunque en realidad cada elemento de esa fila es una columna, pues resulta
que A por P... ...es P por D. Bien, en este caso, fijaros que si la P es
invertible, ahí es donde radica el problema de la diagonalización,
entonces A es semejante a esa matriz diagonal D que tiene los valores
propios en la diagonal. En ese caso, la matriz A es diagonalizable. Bien,
pero ¿qué ocurre? Que aunque la matriz sea una matriz... ...el campo sea
el campo de los números reales y la matriz sea una matriz con números
reales, ...que... ...los valores propios son las raíces de un polinomio, y
las raíces de un polinomio pueden ser valores propios reales o complejos.
¿Qué ocurre? Si lambda es un valor propio complejo, con vector propio
también complejo, es decir, si la matriz A es real y lambda es un valor
propio complejo, el vector propio necesariamente tiene que tener parte
imaginaria. Evidentemente, lo primero que tendremos es que lambda
conjugado, es decir, el conjugado del valor propio, también es un valor
propio. Más que nada porque si un número complejo es la raíz de un
polinomio, su conjugado también lo es. Y además el vector propio es el
conjugado del vector propio. Fijaros, ahora vamos a hacer... Una pequeña
síntesis, es decir, en el caso de los valores propios reales he puesto yo
toda una matriz T con todos los vectores propios. Ahora vamos a centrarnos
exclusivamente en este par. Es decir, los valores propios y los vectores
propios cuando son complejos van en pares conjugados. Por lo tanto,
tendremos una matriz T, en este caso la P sería solamente el elemento X y
el elemento X conjugado y A por X sería exactamente igual. Es decir, desde
un punto de vista del campo complejo es una matriz diagonalizable y por lo
tanto lo que tendremos será la matriz P y tendremos una matriz D. ¿De
acuerdo? De forma que tendremos... También se tendrá que A por P será B
por D. ¿De acuerdo? No solamente eso, sino que además X y X conjugado son
independientes entre sí. Son vectores propios independientes porque desde
un punto de vista del campo complejo, lambda y lambda conjugado son dos
valores propios distintos. Y valores propios distintos tienen vectores
propios linealmente independientes. Ahora bien, si nuestra matriz es real,
podemos estar interesados en no salirnos del campo de los números reales.
En ese caso, ¿qué ocurre? Que bueno, pues nos vamos a centrar, nos vamos
a centrar exclusivamente, bueno, en uno de los dos, me da igual cuál. De
hecho, el resultado sería indistinto de tomar X o X conjugado y vamos a
suponer que tenemos X con parte real U más IW y el vector y el valor
propio es A más IB. ¿De acuerdo? Si todo el mundo recuerda, aquí fijaros
que aunque la X sea un vector, es decir, U y W son vectores. El producto se
puede hacer exactamente igual, es decir, X por lambda no sería más que
pues hacer el producto A más IB por U más IW. Y claro, si hacemos este
producto, pues tendríamos que es A por U Así B por IWB sería menos BW, y
luego la parte imaginaria sería B por U y A por W, dándonos este
resultado de aquí. Por otro lado, A por X sería A por U más IW, y por
linealidad esto sería simplemente A por U más I por A por W. ¿Qué queda
entonces? Si consideramos, como ya digo, el vector, entre comillas, en
realidad esto es una matriz P, vamos a llamarla PR, digamos el equivalente
a la matriz de paso, pero solamente aquí ya serán todos números reales.
Entonces fijaros que A por esa matriz P no será más que A por U y A por
W, y esto será A por U menos B por W, B por U más A por W. Y claro, eso
se puede escribir como el producto de esta matriz P por esta matriz que es
de tamaño 2x2, que es lo que se llamaba en el libro la caja C. Y es una
caja que tiene la parte real menos la parte imaginaria, y luego la segunda
columna, parte imaginaria y parte real. ¿De acuerdo? Si hacemos este
producto de aquí, obtendríamos... ...el resultado que aparece aquí. Por
lo tanto, en este caso lo que se tiene es que A por esta P real sería
igual a la P real por esta caja C. Y aquí ya todos los elementos que
aparecen son números reales. ¿De acuerdo? Es decir, podríamos hacer
exactamente lo mismo que estábamos haciendo con el caso real, solo que
aquí la caja ya deja de ser a lo que es de tamaño 2x2. A lo que es
semejante ya deja de ser una matriz diagonal y pasa a ser una matriz 2x2
toda llena, entre comillas. ¿De acuerdo? La primera pregunta que nos
podríamos plantear es si A es semejante a C. Claro, antes teníamos A por
P igual a P por D. Eso no implica que A sea semejante a D. Será semejante
si la matriz es diagonalizable y si la... la matriz de paso P son vectores
linealmente independientes. En este caso, decir que A es semejante a C es
lo mismo que decir que los vectores U y W son linealmente independientes.
Entonces, claro, son linealmente independientes. De hecho, esto es lo que
aparece, es la única proposición que hay de esta sección, con una
demostración así un poco más en el libro. Pero fijaros que decir que,
para demostrar que son efectivamente linealmente independientes, basta con
ver que si una combinación lineal suya, alfa U más beta W es igual a
cero, pues entonces que alfa y beta son cero. Pero claro, hay una relación
fundamental entre la parte real y la parte imaginaria de un número
complejo y el número complejo y su conjugado. Y es que la parte real no es
más que un medio de X más un medio de X, X conjugado, y la parte
imaginaria es Y partido por dos Y medios del número menos Y medios del
conjugado. ¿De acuerdo? Si hacéis estas operaciones, os dará la parte
real. ¿Ya nos escucha? ¿Nadie nos escucha? Ah, ¿correcto? Vale, vale.
Ah, vale. De acuerdo. Bien, entonces fijaros que si yo escribo la
combinación lineal alfa U más beta W, eso sería equivalente... Es
equivalente a escribir que alfa medios más Y beta medios por X más alfa
medios menos Y beta medios por X conjugado es igual a cero. Pero claro, lo
que sí que sabíamos es que los números complejos X y X conjugado son
linealmente independientes. ¿Y son linealmente independientes? Vaya. Son
linealmente independientes porque... Porque en realidad son vectores
propios asociados a valores propios que desde el punto de vista del campo
complejo son distintos. Porque este está asociado... Uno está asociado al
valor propio lambda y el otro al lambda conjugado. ¿De acuerdo? Por lo
tanto, lo que se tiene que tener es que este escalar y este escalar deben
de ser cero. Pero si resolvemos este sistema de ecuaciones, lo único que
nos da es que alfa y beta son cero. Por lo tanto, fijaros que lo que
tenemos es que en el caso de que un valor propio sea complejo, podemos
todavía considerar la parte de los complejos que va además en pares
vector propio, vector propio conjugado, valor propio, valor propio
conjugado, es decir, siempre va a ir en la matriz diagonal en cajas de 2x2,
podemos sustituir esa caja diagonal 2x2 que tiene números complejos por
una caja 2x2 que ya deja de ser diagonal y que pasa a ser toda formada por
números reales. ¿Y qué pasa si la matriz no es diagonalizable? Bien, si
la matriz no es diagonalizable, entonces supongamos, por ejemplo, vamos a
ver un caso sencillo, por ejemplo, tener un valor propio, el caso más
simple, por ejemplo, es el que tengamos un valor propio de multiplicidad 2,
multiplicidad algebraica 2, y que tenga un vector propio con multiplicidad
algebraica 1 y el espacio maximal de cada dimensión 2. Por lo tanto, si
hay un segundo vector propio generalizado. Fijaros que el x1 sea un vector
propio significa que a por x1, la primera ecuación es lambda por x1, la
ecuación del valor propio, y la ecuación del vector propio generalizado
es que a por x2 sea x1 más lambda x2. ¿De acuerdo? Pues vamos a ver cómo
queda eso. Claro, desde un punto de vista, bueno, aquí estamos suponiendo
que son números reales. Montaríamos otra vez lo mismo, la matriz P como
los vector x1, x2, y ¿qué es a por P? Resulta que a por P, para que me
dé estas dos ecuaciones, a por P resulta que es este resultado de aquí.
Es P por una caja, que es la caja de Jordan. ¿De acuerdo? Si hacemos
esto... Si hacemos este producto de aquí, la primera fila sería x1 por
lambda más x2 por 0, y el segundo elemento sería x1 por 1 más x2 por
lambda. Dando esto de aquí. ¿De acuerdo? Bien, por lo tanto, volvemos a
tener que a por P es P por J. Además, sabemos que en ese caso x1 y x2 son
linealmente independientes. Por lo tanto, A es semejante a ese bloque de
Jordan. Bien, ¿y qué ocurre cuando la matriz no es diagonalizable y
además el valor propio es complejo? Pues podríamos hacer exactamente lo
mismo que hemos hecho en el caso de una matriz que sí que es
diagonalizable, es decir, con un vector propio y un valor propio. Ahora ya
no se oye. ¿Hola? ¿Seguís en la sala, no? Porque es que ha aumentado
el... Sí, vale, vale. De acuerdo. Si me estáis contestando es que sí que
se oye. Bien, podríamos hacer exactamente lo mismo. Es decir, fijaros que
entonces si el valor propio de la anda es complejo, también va con un
parco activado. Y entonces lo que tendremos será no una caja 2x2, como es
el caso este de aquí, sino vamos a tener una caja 4x4. ¿Y por qué?
Porque vamos a tener que para el valor propio lambda tendremos x1, un
vector propio, y por lo tanto tendremos aquí que A por x1 es lambda por
x1, y que A por x2 es x2 más lambda x2. Pero también tendremos
exactamente las mismas ecuaciones para los conjugados. Es decir, A por x1
conjugado será lambda conjugado x1 conjugado, y A por x2 conjugado será
x1 conjugado más lambda conjugado x2 conjugado. ¿Qué montaríamos ahora
como matriz? Matriz T, que en realidad es lo que vamos a... bueno, esta se
llama matriz T. Sería P por x1 x2, x1 conjugado x2 conjugado, me daría A
por T todo esto de aquí. Y claro, no es difícil ver que para que se me
verifiquen estas ecuaciones de aquí, esto es lo mismo que si yo pongo
aquí la matriz T, y ahora tendría que poner un bloque mucho más grande,
evidentemente, porque iría por pares conjugados, el doble de tamaño, pero
fijaros, si hacemos la operación, primer elemento, el primer elemento
sería la fila que está aquí en T por la primera columna, y lo que
quedaría sería lambda 1 x1, primera ecuación. Segundo elemento, la fila
por la segunda columna, y sería x1 más lambda x2, segunda ecuación. ¿Y
tercer elemento? Pues la fila por la tercera columna y tendríamos x1 por
0, x2 por 0 y luego x1 conjugado, lambda conjugado. Tercera ecuación. Y la
cuarta ecuación sería x1 y x2 por 0 más x1 conjugado más x2 por lambda
conjugado, obteniendo la cuarta ecuación. ¿De acuerdo? Claro, aquí el
problema es que tanto la P como la matriz J, la matriz de Jordan, serían
matrices, perdón, no vectores de Cn sino pertenecerían a Cn por n. En
este caso a 4 por 4, serían una matriz 4 por 4 de números complejos. Pero
bueno, volveríamos otra vez a hacer exactamente lo mismo. Podríamos...
Volver a considerar partes reales y partes imaginarias. Y a lo que podemos
llegar es a que da igual si nos quedamos con un valor propio que con su
conjugado, si lambda es el valor propio a más id, ¿qué es lo que
tendríamos? x1 y x2, dos vectores propios, que serían en principio,
bueno, un vector propio x1 y un vector propio generalizado x2, que
tendrían su parte real y su parte imaginaria, o sub 1 y sub 2. O sub 1 y
sub 2. Y vw1 y vw2. ¿Y qué operaciones se verifican? Estas de aquí, las
de antes. Pero claro, ahora vamos a hacer la operación de números
complejos. Lambda por x1 sería como antes. A por 1 menos b por w1 y como
parte imaginaria, b por u sub 1 más a por w1. Y ahora, ¿cuál es esta
segunda parte de aquí que no teníamos antes en el caso diagonalizable?
Pues x1 más lambda x2 sería... u sub 1 más yw1, eso sería x1, y luego
más lambda por x2, que quedándome, pues a u2 menos bw2 más y veces bw2
más a w2. Y si lo junto todo en parte real y parte imaginaria, resulta que
lo que tengo es, con u2, en realidad lo que va es lo mismo que antes iba,
es decir, una caja 2x2 con parte real y parte imaginaria. ¿Qué pasa? Y
luego simplemente es que en la primera parte tendré sumando un u sub 1 y
en la segunda, en la parte imaginaria tendré un w1. ¿Cuál sería la
matriz de paso real? La matriz de paso real no sería más que una matriz,
un vector, que lo que tendría sería u sub 1, w1, u sub 2, w2. De manera
análoga al caso anterior. A por pr, por la pr real esta que hemos puesto,
lo que me daría sería a por w1, que estaba aquí. La a por w1 es esto de
aquí. A por w2 sería este elemento de aquí. Luego tendríamos u sub 1
más a u2 menos ww2, que sería a por u sub 2, todo esto de aquí. Y w1
más w2. Más a por w2. Toda esta parte de aquí sería esta última parte.
¿Y esto cómo lo podemos escribir? Pues fijaros que lo podemos escribir
simplemente como pr por esta matriz de aquí, que sigue siendo una matriz
4x4 al igual que antes. La matriz 4x4 anterior, la j, tenía bloques de
Jordan en la diagonal y 0 fuera. Aquí fijaros que lo que tendremos será u
sub 1, w1, u2, w2. Y luego tendremos... Tenemos un primer bloque que será
el a menos b, b, a. Y fijaros que si hacemos esta multiplicación lo que
tendremos será u sub 1 por a menos b por w1 más 0 más 0. Es decir, el
primer elemento. El segundo elemento será u sub 1 por b más w1 por a más
0 más 0, que es este segundo elemento. Y ahora el siguiente. ¿Qué
tenemos? U sub 1, pues tendremos un 1. No hay w1, por lo tanto tenemos el
0. Luego u2, w2 van acompañados de ahí de menos b. Ahí, pues ahí menos
b. Por otro lado, en la última ya, lo que tenemos es no hay u sub 1 y por
lo tanto tenemos un 0. U w1 y tenemos el 1. Y luego b y a, que son los que
acompañan aquí a u sub 2, w2. ¿De acuerdo? Por lo tanto, lo que tenemos
es que podemos obtener una matriz también tamaño 4x4 de forma que A por T
sea P por J. Ahora es una J real, una JR. ¿Y qué estructura tiene? Pues
tiene una estructura, en realidad tiene una estructura de bloque de Jordan
engordado. Un bloque de Jordan normal lo que tendría sería valores
propios y 1 encima. Este sería el bloque de Jordan normal. Y ahora lo que
nosotros hemos hecho es conseguir un bloque de Jordan que tiene la ventaja
de que son todos números reales, pero tiene la desventaja de que se ha
engordado. Es decir, esto de aquí no son escalares sino son bloques 2x2,
son los bloques C. Y este 1 se convierte en una matriz orientada. ¿De
acuerdo? Nos haríamos la misma pregunta. ¿Son U1, W1, U2 y W2 linealmente
independientes entre sí? Claro, la respuesta es muy fácil y es que sí.
Evidentemente las cosas al final tienen que cuadrar. Y pues teniendo en
cuenta que x1, x2 y x1 conjugado y x2 conjugado eran linealmente
independientes, y que se verifican. Y que se verifican las mismas
relaciones entre las partes reales y la parte imaginaria y el número y su
conjugado, pues entonces podemos obtener fácilmente que son linealmente
independientes. La relación entre A, P y la matriz J, ¿te refieres en
este caso, creo que la existencia, en el caso real? En este caso último.
¿Me oís? ¿En este último caso? Ah, vale, vale. Bien, en este último
caso, la relación que digo es... Lo bonito de aquí, por así decirlo, es
que se mantienen las mismas relaciones. ¿De acuerdo? Es decir, seguimos
obteniendo... matrices semejantes. Entonces, lo único que hacemos es ver
qué operaciones están estableciendo y ver cómo podemos escribir esas
operaciones de forma matriz. Entonces, cuando tenemos números complejos,
lo que hacemos es desvincular las partes reales y las partes imaginarias y
escribir una matriz PR que simplemente... Aquí tendríamos dos vectores.
Un vector propio y el vector propio generalizado. Pues escribir parte real
y parte imaginaria del vector propio, parte real y parte imaginaria del
vector propio generalizado. Claro, si hacemos las multiplicaciones nos sale
todo esto de aquí. Para lambda x1 me sale toda esta parte de aquí y para
x1 más lambda x2 lo que me sale es toda esta segunda flecha de aquí.
Entonces, yo necesito poder escribir eso de forma matricial. Yo tengo un
vector entre comillas. Un vector de cuatro elementos, una fila. ¿De
acuerdo? Esto sería un n por 4. En realidad voy a multiplicar un n por 4
por una 4 por 4 y el resultado me va a volver a dar una n por 4 que es esta
de aquí. Esta de aquí también es n por 4. A ver... ¿Alguna preferencia?
A ver, un momentito... Entonces, yo lo que quiero es que este producto a
ver... Está claro que no veis el lápiz. Veis directamente el puntito.
Vale, de acuerdo. Este producto de aquí yo lo que quiero es multiplicar
este vector fila por una matriz 4 por 4 y que el resultado me dé esto y
esto. ¿De acuerdo? Entonces, claro, yo lo que quiero es que la primera
fila la fila, bueno, la fila que tengo aquí aquí por la primera columna
¿Qué es lo que me tiene que dar? La parte real, la parte real de A por U
sub 1. ¿De acuerdo? Me tiene que dar esto de aquí, A por U sub 1, y A por
U sub 1 es esto de aquí. Por lo tanto, toda la fila por la primera columna
de la matriz J me tiene que dar A U sub 1 menos B W1. Claro, yo me vengo
aquí y hago la multiplicación, sería la fila por la columna. Y tendría
que eso es U sub 1 por A más W1 por menos B más 0 más 0. ¿De acuerdo?
La segunda elemento, el segundo elemento tendría que salir esto de aquí,
B por U sub 1 más A por W1. Y eso tiene que ser la misma fila por la
segunda columna. ¿Y qué es lo que tiene que dar? B por U sub 1 más A por
W1. Por lo tanto, tendría B por U sub 1 más A por W1 más 0 por U sub 2
más 0 por W2. ¿De acuerdo? Tercera columna. La tercera columna, en
cambio, ya me tiene que dar todo esto de aquí. Que es U sub 1 más A por U
sub 2 menos B por W2. Por lo tanto, me vengo aquí y digo, bueno, ¿qué
combinación es? Pues 1 por U sub 1 más 0 por U sub 2 más A por U sub...
Perdón. 1 por U sub 1 más 0 por W1 más A por U sub 2 menos B por W2. Y
por último... La fila por la cuarta columna, lo que me tiene que dar es 0
por U sub 1, porque lo que me tiene que dar es W1 más W2 más A por W2.
Por lo tanto, será 0 por U sub 1 más W1 más B por U sub 2 más A por W2.
¿De acuerdo? Entonces, si hacemos este producto, PRJR, lo que nos va a dar
va a ser lo mismo que A por P sub 1. Y lo que nos tenemos luego que
cerciorar es que, además, la parte real y parte imaginaria de estos
vectores son también linealmente independientes. ¿De acuerdo? No sé si
esto ya está un poco más claro lo que es la explicación. Vamos a ver...
Un ejemplo recopilatorio. Es decir, vamos a intentar poner en un ejemplo
que ocurra de todo. Entonces, imaginaros, el caso más pequeño posible en
el que ocurra de todo, necesitaríamos una matriz 9x9. Le vamos a suponer
una matriz 9x9 en la que tengamos un valor propio real, ¿de acuerdo? De
multiplicidad 1 con un vector propio de multiplicidad, evidentemente,
geométrica 1. La andados que sea un valor propio real en el que falla las
multiplicidades. Es decir, que tengamos un vector propio y un vector propio
generalizado. Los dos casos. Vamos también a tener un valor propio
complejo, por lo tanto también su conjugado estará, con un vector de
multiplicidad 1, con un vector propio complejo también de multiplicidad 1.
Que además, evidentemente, también estará su conjugado. Y por último,
un último valor propio, el lambda 4, complejo, que además tenga
multiplicidad 2 y tenga un vector propio, que estaríamos ya por el x5, x5,
x1, x2, x3, x5 y x6. Esto sería un x5, uff, mejor no lo pinto. Y esto
sería el x6, que serían vectores propios complejos, uno el vector propio
y otro el vector propio generalizado. Generalizado. Fijaros que todo esto
sumaría una matriz de tamaño 9, porque tendríamos para lambda 1, uno de
multiplicidad. Para lambda 2, tendríamos multiplicado a 2. Por detrás
tendríamos 3. Lambda 3 tendría multiplicado a 1, 4, pero también está
conjugado, 5. Y lambda 4 tiene multiplicidad 2, 5, 6 y 7, pero también
está su conjugado, perdón, su conjugado que tendría pues sería el 8 y
el 9. ¿De acuerdo? Y por eso necesitamos un caso, el caso más pequeño
que tuviese de todo sería una matriz 9x9. ¿Cómo quedaría, cómo sería
la forma de Jordan real de esa matriz tan enorme? Pues fijaros, para el
cacho diagonalizable tendríamos un cacho real, lambda para el lambda1,
pues simplemente sería un número, este bloque de aquí sería 1 por 1.
Para el valor propio real con un vector propio y un vector propio
generalizado tendríamos el bloque de Jordan correspondiente real, que
sería 2 por 2, que tendría lambdas en la diagonal y unos por encima. Y
todos son escalares, son escalares reales. Ahora, para el valor propio
complejo de multiplicidad 1, que en principio desde un punto de vista
complejo la matriz original tendría, en vez de esta caja A menos B, B, B,
A. Esto es una A, no una I. Esto está mal, esto es A. Normalmente, si
estuviéramos en el campo de números complejos, esta caja 2 por 2 sería
lambda3 y lambda3. Es conjugado, en la diagonal y cero fuera. Por eso la
podemos sustituir por una caja 2 por 2 de números reales, pero que ya se
están saliendo de la diagonal. Y por último, el valor propio complejo
para lambda4 daría lugar a este otro bloque de aquí, que tendría, sería
como si fuera una matriz, una caja de Jordan, igualita a esta, solo que en
vez de tener, donde tenemos valores propios, lo que tenemos son... el
bloque correspondiente a cada valor propio complejo, es decir, la caja C, C
menos D, DC, C menos D, DC, y en vez de un 1 aquí, pues aquí este 1 ha
engordado hasta ser una caja identidad de tamaño 2. ¿De acuerdo? Entonces
realmente, evidentemente todo lo que no está puesto es porque es cero.
¿Vale? ¿Está esto entendido? Porque básicamente... Esto es, en
realidad, un poco el retumen de en qué consiste la diagonalización real.
¿De acuerdo? La forma de Jordan real. De hecho, la forma de Jordan real
también se aplica. Se habla de forma de Jordan real aunque estemos
hablando de diagonalización real. Es decir, que no haya... En lambda4 la
geométrica sería... la multiplicidad geométrica no, la multiplicidad
algebraica sería 2 y la multiplicidad geométrica sería 1 ¿de acuerdo?
porque piensa que están también los conjugados es decir, en realidad lo
que tendría sería lambda 4, lambda 4 cuadrado, cada uno con multiplicidad
2 y cada subespacio propio con dimensión 1 ¿vale? bien o sea, en realidad
el procedimiento entonces, fijaros que el procedimiento no hay nada nuevo
aquí el procedimiento es idéntico al procedimiento de cálculo de una
forma de Jordan, es decir hay que sacar cuáles son los valores propios las
multiplicidades las dimensiones de los espacios propios generalizados y
hacer la y hacer el correspondiente diagrama y luego lo único que hay que
hacer es separar partes reales y partes imaginarias en el lambda 3 la
algebraica sería 1 y la geométrica también sería 1 efectivamente, en
caso de lambda igual a 3 es lo que he dicho antes en este caso estaríamos
en este de aquí voy a cambiar el color para que a ver un momentito en este
caso de aquí si estuviésemos dentro del campo de números complejos y no
del campo de números reales eso sería indistinguible del primer ejemplo,
del primer de lambda 1 ¿de acuerdo? si fuera diagonalizable ahí no
habría problema digamos aquí el único problema que hay por eso sale una
caja es porque queremos trabajar con números con números reales ¿de
acuerdo? por así decirlo lambda 1 y lambda 3 serían equivalentes en el
sentido de que son los dos el mismo caso es decir, serían los dos el mismo
caso de tener valor propio multiplicidad 1 y multiplicidad geométrica
también 1 si estuviésemos dentro de números complejos esto me da un
escalar, lambda 1 y esta caja se me convertiría en una diagonal lambda 2,
lambda 3 y lambda 3 cuadrado la suma algebraica es la dimensión del
espacio sí, en este caso es 9 ¿Por qué lo dices? Porque solo tienes
cuatro. En realidad, fíjate que sí, porque tendríamos... ¿Cuáles
serían las algebraicas? Lambda 1 tendría multiplicidad 1. Esta tendría
multiplicidad 1. Lambda 2, aquí tendríamos multiplicidad 2. Lambda 3
tendríamos multiplicidad... Tendríamos multiplicidad 1. Pero también
está lambda 3 conjugado, y tendría multiplicidad 1. Lambda 4 tendría
multiplicidad 2. Y lambda 4 conjugado tendría multiplicidad 2 también.
Entonces, si sumas ahora todas las multiplicidades, tenemos 1 y 2, 3, 3 y
1, 4, 4 y 1, 5 y 2, 7 y 2, 9. La multiplicidad geométrica también...
Claro, evidentemente, tienen la misma multiplicidad. O sea, un vector
propio de su conjugado. Y la multiplicidad de un valor propio también es
la de su conjugado. Tienen la misma multiplicidad. O sea, un valor propio
complejo y su conjugado tienen la misma multiplicidad algebraica. Tienen
los vectores propios de uno, son los conjugados del otro. Y tienen las
mismas dimensiones geométricas. Y mismas multiplicidades geométricas.
¿De acuerdo? Entonces, efectivamente... O sea, si aquí estuviéramos
haciendo de todo... Y desde el campo de números complejos, pues
seguiríamos teniendo una matriz 9x9. Solo que tendríamos que estar
contando los distintos valores propios y valores propios conjugados. Cuando
hablamos de valores propios reales, cuando hablamos de diagonalización o
forma de Jordan real, simplemente cogemos uno de los dos. Un número
complejo o un valor propio conjugado. Me daría igual. De hecho, daría
exactamente lugar a las mismas cajas. ¿De acuerdo? Y solo me quedo
entonces con la mitad de ellos. Pero claro, para obtenerlo, de hecho, por
cada valor propio bloqueado es engordarlo. Lo multiplico por 2 porque las
cajas que me salen son del doble de tamaño y por eso al final me sigue
cubriendo una matriz 9x9. ¿De acuerdo? ¿Está entendido este ejemplo? Que
es un poco así más recopilatorio. Bueno, pues ahora íbamos a hacer... yo
tenía intención de hacer alguno de los problemas propuestos. A ver,
porque se nos ha echado un poco el tiempo encima a lo bruto con la
tontería del micrófono. A ver... el 4. Vale. Ya me imaginaba que iba a
haber más o menos unanimidad en ese. Bien, el 4. Sí, ya más de uno
quiere el 4. Bien. El ejercicio propuesto 4. En realidad, fijaros que lo
que nos pide es demostrar que la forma de Jordan respecto de una base
ortonormal y eso que está entre paréntesis es importante. De una
insonetría es una matriz de la forma 1, unos, luego tendría aquí menos
unos, menos unos y luego las cajas, las famosas cajas. ¿De acuerdo? Y cero
fuera. ¿Vale? Bien, ¿qué es lo que hay que demostrar en realidad? En
este ejemplo, fijaros, evidentemente lo primero que tendríamos que
demostrar es... ¿Qué es? Hay una implicación que es muy fácil, que si
esto es la forma de Jordan, entonces la matriz es una isometría. O sea, el
endomorfismo es una isometría. Esa es la parte fácil. ¿Por qué? Porque
como nos están diciendo que la matriz de paso P es ortogonal, esta matriz
es ortogonal, entonces claro, A es P por J por P a la menos uno. Pero P a
la menos uno es la P traspuesta, porque es ortogonal. Por lo tanto, si J es
esta de aquí, si J es la que nos han puesto, si la matriz de Jordan tiene
esta pinta, esta matriz es ortogonal. Es fácil. Es muy fácil comprobar
que, por un lado, que J por J traspuesto, bueno, J traspuesto por J me da
igual. Antes se suele poner el traspuesto primero, pero bueno. Que J por J
traspuesto es la identidad. ¿Por qué es así? ¿Alguien me podría decir
por qué? A simple vista, porque esta matriz J que hay ahí puesta es
ortogonal. Nadie. ¿Por qué es ortogonal esa matriz? ¿Cómo? ¿Cómo son
las columnas de esta matriz? Si las multiplicamos escalarmente entre sí,
¿cómo son? ¿Cuánto da? Si yo multiplico la matriz en la columna 1, 0,
0, 0 por la 0, 1, 0, 0, 0 queda 0. Y si hago 8 con todos los que son, lo
que no son bloques, si hago 8 con todos, da 0. Por lo tanto, toda la parte
que está con 1 y menos 1 es de 0. Si yo multiplico las columnas que hay
aquí con los 1 y menos 1 por las columnas que tienen los bloques, no, la
matriz no es diagonal, ojo. La matriz no es diagonal porque las fechas bis
son bloques 2x2 que no son diagonales. ¿De acuerdo? Entonces, lo que sí
que es verdad es que cuando multiplique una de las partes de los 1 y menos
1 con cualquier columna de estas de aquí, de las que tienen los bloques,
va a dar 0. Más que nada porque los bloques, porque aquí es todo 0 hasta
llegar al bloque. Y por debajo de aquí es todo 0. Por lo tanto, si yo
multiplico estelarmente va a ser 0x0. Y ahora la pregunta es, ¿las
columnas de una de esas cajas C subida a 0? Bueno, las cajas estas C,
¿cómo son? En realidad, en general son... A menos B, BA. ¿Y cómo son
las columnas de C? ¿Cómo son las columnas de C? Ortogonales. Si
multiplicamos el vector A, la columna A menos B por la columna BA, da 0.
Por lo tanto, todas las columnas de esta matriz están formadas por
vectores... O sea, las columnas de esta matriz forman en realidad una base
ortogonal. Ortonormal, de hecho. ¿De acuerdo? Es decir, lo que sabemos es
que... Oh, perdón. Perdón. Creía que estaba borrando. Fijaros. Si la
matriz C... La matriz C es el coseno, el seno, menos el seno y el coseno.
¿De acuerdo? Esta matriz, ¿por qué es ortogonal? Este bloque C. Porque
primero, si yo multiplico... La primera columna por la segunda columna, si
yo multiplico columna 1 por columna 2, el resultado es cero. Porque es el
coseno por el menos seno más el seno por el coseno y eso da cero. Y si yo
multiplico c1 por c1, la columna 1 por la columna 1 me da coseno al
cuadrado más el seno al cuadrado. ¿Y cuánto vale coseno al cuadrado más
seno al cuadrado? Uno. Y si multiplico la c2 por la c2, ¿qué me da? Me da
menos el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado. ¿Y eso cuánto da?
Uno también. Por lo tanto, los bloques c con senos y cosenos son
ortonormales. ¿De acuerdo? Por lo tanto, esta matriz j que nos han dado,
esta matriz j, es ortogonal. ¿De acuerdo? Pero claro, si la matriz j es
ortogonal y la base p, porque me lo dicen que es una base ortonormal, pues
resulta que p también es igual a... O sea, a es el producto de tres
matrices, que es p por j por p transpuesto, que son ortogonales. Y el
producto de matrices ortogonales es ortogonal. ¿De acuerdo? Es decir, que
lo que tendríamos... A ver... Tendríamos... Que a es p por j por p
transpuesto, y resulta que j es ortogonal, y que p es ortogonal, y por lo
tanto, pues a es ortogonal. Y si a es ortogonal, entonces a es una
isometría. ¿De acuerdo? Pues esto era la parte fácil. Esto era la parte
fácil, porque esto es demostrar que si la matriz de Jordan es con respecto
a una base ortonormal, es j, es esta que me han dado, pues entonces a es
una isometría. La parte difícil sería demostrar que si es una
isometría, entonces la matriz de Jordan con respecto a una base ortonormal
es la que me han dado. Tiene que tener esa pinta. Bien, en realidad fijaros
que aquí lo que nos están pidiendo, bueno vamos a ver una cosa. Si
miramos cómo es la matriz, la matriz J, es decir, fijaros que la matriz J
tiene unos, luego tiene menos unos y luego tiene las cajas. ¿De acuerdo?
Las cajas 2x2. Pero fijaros que no hay nada, o sea, esto ha sido una matriz
diagonal, entre comillas. Es decir, estas cajas C8y salen porque hay
valores propios complejos, pero no hay nada fuera de la diagonal. No hay
bloques de Jordan en el fondo. ¿De acuerdo? En realidad mi matriz no tiene
bloques de Jordan. Es decir, si tuviese bloques de Jordan tendría algún
hino por aquí encima o alguna identidad por aquí arriba y no las hay.
¿De acuerdo? ¿Vale? Entonces, vamos a ver esto en dos pasos. En realidad
bastaría con demostrar primero que si es una isometría y P es una base
ortonormal, J también es una isometría. J es una matriz ortogonal. Eso es
inmediato. O sea, vamos a ver, primero... ¡Epa! Ya me he cansado del rojo.
Primero, si A es ortogonal... Y P es ortogonal, J es ortogonal. ¿Vale? El
motivo de que esto es así, pues claro, pues que si A es P por J por P
traspuesto, puede despejar la J. ¿Qué sería la J? Multiplicaríamos
primero a la izquierda por P traspuesto, traspuesto, luego tendríamos la A
y luego tendríamos la P. Entonces A es ortogonal, P es ortogonal y por lo
tanto J sería una matriz ortogonal. ¿Vale? Segundo paso. Perdona, no, si
J no, si A. Si A es una matriz ortogonal, ¿cómo son los valores propios?
¿Alguien me lo puede decir? ¿Cómo son los valores propios? ¿Los valores
propios son reales? No. Esto es que es simétrica. Si es simétrica, esos
valores propios son reales. Si es ortogonal, no. De hecho, si fueran
reales, no me saldrían cajas de senos y cosenos. Porque en el fondo, esa
caja que sale ahí, que me pone en la matriz J, es una caja 2x2 que
simplemente indica que es que ahí había un valor propio complejo.
Fijaros, ¿cuál sería? Imaginaros que lambda es valor propio y X es el
vector propio. ¿Cuánto es el vector propio? ¿Cuánto sería la norma de
A por X? La norma de A por X sería la norma de lambda veces X. Lambda
puede ser un valor real o un valor imaginario. Por lo tanto, esto
simplemente es, y esto es el valor, el módulo, vamos a llamarlo módulo,
de lambda por la norma de X. ¿Vale? Hasta ahí, claro. Pero por otro lado
sabemos que este A es ortogonal, es una isometría. Y si es una isometría,
¿cuánto vale la norma de A por X? Si es una isometría, la norma de A por
X es igual a la norma de X. Por lo tanto, lambda pues va a ser un número
que puede ser real o que puede ser complejo, pero que tiene norma 1, que
tiene módulo 1. ¿Y cómo son los valores propios, o sea, perdón, cómo
son los números de módulo 1? Si lambda es real, pues significa que lambda
es... 1 o lambda es menos 1. No hay otra opción. ¿De acuerdo? Y si lambda
pertenece al campo de números complejos, entonces ¿cómo es? Claro,
¿cómo es un número complejo de módulo 1? Pues entonces lambda no es
más que elevado a Y. Perfecto. Así son todos los números complejos. Los
módulos de módulo 1 son de la forma elevado a Y. Pero elevado a Y no es
más que el coseno de Y más Y por el seno de Y. ¿De acuerdo? Entonces
fijaros, la forma de Jordan, la forma de Jordan real de esta matriz, tiene
que ser primero ortogonal. Voy para atrás un momentito. Si es ortogonal,
si la matriz J tiene que ser ortogonal, no puede tener unos por aquí
arriba, ni identidades por aquí arriba. Porque si, por ejemplo, tuviera un
1 por aquí arriba, y aquí tiene un 1, el producto de la primera columna y
la segunda columna no sería 0, no sería una matriz ortogonal. Con lo que,
como hemos visto, que si A es ortogonal con respecto a una base ortogonal o
una base ortonormal, J tiene que ser una matriz ortogonal, explica que no
puede haber nada por encima de la diagonal en el caso de los reales, ni
cajas de identidades en el caso de los números complejos. Es decir, desde
un punto de vista del campo complejo, esta matriz sería diagonalizable. Y
segundo, por otro lado, lo que hemos visto es que sus valores propios...
...que es lo que va a haber en la diagonal, tienen que ser números
complejos de módulo 1. Y eso, o bien, si son reales, es porque vale 1, son
números 1 o números menos 1, o si son complejos, son números de la forma
que se no detecta más y se no detecta. Claro, las cajas, con respecto a
los números reales, vamos a tener los valores 1 y menos 1 en la diagonal.
Y con respecto a los valores complejos, ¿cuál será la caja?
¿Correspondiente a un valor complejo que es coseno detecta más y se no
detecta? Pues claro, sería parte real, coseno detecta, parte imaginaria,
seno detecta, menos parte imaginaria y parte real. ¿De acuerdo? Con lo que
entonces lo que sabríamos es ya cómo van a ser las cajas. Y esto ya
completaría la demostración. ¿De acuerdo? Es decir, tendríamos el hecho
de que la matriz J necesariamente sea ortogonal, excluye la posibilidad de
que haya unos por encima, en las cajas de Jordan, unos por encima de la
diagonal o identidades por encima de las cajas de la identidad, en el caso
complejo. Y por otro lado... Como es ortogonal, sus valores propios tienen
que tener módulo 1 y entonces tendré unos en la diagonal. Es decir, al
final lo único que me va a quedar es una matriz que por un lado o tiene
unos en la diagonal o tiene menos unos en la diagonal. Fuera de esta
diagonal no puede haber nada porque si no se perdería la ortogonalidad. Y
luego con respecto a los valores propios complejos tendría cajas 2x2 de la
forma coseno-seno-seno-coseno pero no tendría ninguna identidad por aquí.
Esto de aquí no puede haber porque si tuviese una identidad por aquí la
matriz J dejaría de ser, inmediatamente dejaría de ser ortogonal. ¿De
acuerdo? Bueno, está más o menos claro el problema 4 que creo que es uno
de los más... ¿De los más liados que había? ¿Más o menos? Regular.
¿Qué parte es la regular? ¿Qué parte? ¿Quieres que repita algo? Bueno,
vale. ¿Alguien más tiene alguna preferencia por algún problema en
concreto? Los valores posibles de los complejos. ¿A qué te refieres?
¿Por qué son seno-coseno-coseno-seno? ¿Por qué son de esa forma? Es
decir, te estás refiriendo a esto de aquí. Espera. ¿A esto? Vale. Esto
es un problema, no es ya tanto un problema de álgebra como un problema de
análisis de números complejos. Análisis complejo. Esto simplemente
recuerda que si tú tienes un valor propio, un número complejo... ¿De
acuerdo? En realidad, si tienes un número complejo, es decir, tienes un
número z perteneciente a c, z tiene una parte real y una parte imaginaria,
¿de acuerdo? Y por lo tanto puede representarse en lo que se llama el
plano complejo. Aquí pondríamos la parte real de z, aquí pondríamos la
parte imaginaria de z, y el número complejo sería un punto que aquí
tendría la a y un punto que aquí tiene la b, ¿de acuerdo? Esto sería el
módulo de z, a ver si me sale un poquito mejor, es que la resolución de
la pizarra... Esto sería el módulo de z y esto es lo que sería el famoso
tecta, ¿de acuerdo? Entonces fíjate que a ¿qué es? A porque... La
trigonometría sería z, bueno, perdón, sería el módulo de z por el
coseno de tecta y b sería... Opa, está igual, me ha salido. Y b sería el
módulo de z por el seno de tecta, ¿vale? Pero ¿cuánto vale, en nuestro
caso, cuánto vale el módulo de z? Si el módulo de z vale 1, entonces la
a... Es el coseno de tecta y la b es el seno de tecta, ¿de acuerdo? El
juntar esas dos cosas, es decir, que entonces lo que tendríamos es que
entonces z es el coseno de tecta más el seno de tecta, ¿vale? Esto, si lo
miras en cualquier libro de análisis complejo, hay una fórmula que se
llama la fórmula de De Moivre, ¿de acuerdo? que me relaciona la
exponencial de cualquier número complejo con las funciones senos y
cosenos, que aunque como funciones reales parecen muy distintas, en el
campo complejo en el fondo son las mismas. De acuerdo, todo es la función
exponencial. Entonces está claro de dónde sale el hecho de que un número
complejo de módulo 1 sea de la forma coseno detecta más iseno detecta,
con lo que entonces la caja de Jordan, o sea, si esto es lambda, la caja de
Jordan asociada tendrá la forma coseno seno menos seno coseno. ¿De
acuerdo? ¿Está claro entonces ya este problema? Vale. ¿Alguna pregunta,
algún problema más en concreto que queréis que miremos? O planteo de
uno. El ejercicio 2 creo que todo el mundo más o menos sí que... Bueno,
el ejercicio 1 todo el mundo la verdad es que creo que lo hizo bien. No sé
si queréis que lo haga o preferís que... Que haga otro. El 2. De acuerdo.
El ejercicio 2 me da un endomorfismo... Un endomorfismo, bueno, la
anotación está un poco así, un endomorfismo de R8 que tiene lambda igual
a 2i como un valor propio de multiplicidad algebraica 4. ¿De acuerdo? En
el primer caso lo que me dicen es que... E4 de 2i es ya el maximal. ¿Vale?
Claro, si E4... ¿Cómo es...? En los dos casos solamente hay una
posibilidad. Si E4 es el maximal, y al final la dimensión del subespacio
maximal tiene que ser la multiplicidad algebraica del valor propio, es
decir, 4, pues claro, solamente podemos tener que tener este esquema de
aquí. Es decir, yo tengo que llegar en 4 pasos, siempre aumentando la
dimensión, tengo que llegar en 4 pasos a un espacio de dimensión 4. Por
lo tanto, la única opción es que esto sea E1, E2 tenga dimensión 2, E3
tenga dimensión 3 y E4 tenga dimensión 4, que ya es la maximal. Por lo
tanto, ¿cuántas cajas de Jordan va a haber? En el fondo lo que estoy
teniendo es que la multiplicidad geométrica de este valor propio es 1, por
lo tanto voy a tener una única caja de Jordan. De orden 4, de acuerdo, de
aquí yo obtendría, esto sería V4, V3, V2 y V1. ¿Vale? Esa sería la
única opción. ¿Y cómo estaría entonces la caja de Jordan? La matriz de
Jordan en realidad sería... La caja, claro, tiene que ser imaginada una
matriz 8x8, una matriz de orden 4, una única caja de orden 4, que tendrá
aquí C, C, C y aquí la identidad, la identidad y la identidad. ¿De
acuerdo? ¿Dónde? ¿Qué sería la matriz C? Pues el valor propio era 2Y.
¿De acuerdo? La parte real de la matriz C es 0 y la parte imaginaria es 2.
Y la matriz I, pues es la matriz identidad, en cualquier caso será la
matriz identidad de orden 2. ¿De acuerdo? Y esta sería la única opción
en el primer caso. ¿Cuál sería en el segundo caso? En el segundo caso lo
que me dicen es que E3 es el maximal. Bueno, y aunque ponga aquí E1 de 2I
es 2, es que la dimensión de E1, o sea la multiplicidad geométrica, es 2.
¿Cuántos bloques tendremos? Si la multiplicidad geométrica es 2, habrá
dos bloques de Jordan. El número de bloques siempre es la multiplicidad
geométrica. Y lo que tendremos será que... Bueno, perdón, que yo quería
escribir el esquema. Claro, yo tengo que llegar a E3. E3 tiene que tener
dimensión 4. E1 tiene dimensión 2. Pues... ¿Qué dimensión tiene que
tener E2? ¿Alguien me podría decir qué dimensión tendría E2? 3,
efectivamente. Es la única opción posible. Por lo tanto aquí tendría
dos vectores. ¿Por qué? Aquí solo tendría 1, puesto que la diferencia
de dimensiones es 3 menos 2, 1. Y aquí tendrías también solamente un
vector, porque la diferencia de dimensiones es 4 menos 3, 1. En total, el
total evidentemente tiene que ser 4, que es la multiplicidad geométrica.
Por lo tanto yo voy a tener dos bloques de Jordan. tengo un bloque de
Jordan por cada fila, y el orden del bloque de Jordan me lo da el número
de vectores que tiene cada fila. Por lo tanto, tendré un bloque de Jordan
de orden 3 y un bloque de Jordan de orden 1. Mi matriz J sería aquí un
bloque de Jordan, bueno, ese es el bloque de Jordan evidentemente, que
tendría que haberlo puesto ya con la C. Sería un bloque de Jordan C, y
luego aquí otro, este sería el bloque de Jordan de orden 1, y luego
tendría aquí otro bloque de Jordan de orden 3. Donde, otra vez, C es
exactamente la misma caja, ya que el valor propio es el mismo, 0, 2, menos
2, 0, y la matriz I es la matriz identidad. ¿Vale? ¿Está esto entendido?
Y evidentemente fuera de todo eso que he marcado sería 0. ¿Vale? Bueno,
sí, efectivamente. Podríamos poner, en realidad, es casi, es decir, la
unicidad del bloque de Jordan, o sea, un bloque de Jordan, una matriz de
Jordan, una forma canónica de Jordan, es única salvo permutaciones de los
bloques. ¿De acuerdo? Me daría lo mismo poner el bloque de orden 3 arriba
que abajo. Al igual que el orden de los valores propios en una matriz
diagonal, da lo mismo. Muchas veces se prefiere poner en orden descendente,
por ejemplo, de módulo, en orden de módulo descendente los valores
propios, porque aquello de que luego lo que importa es el valor propio
dominante, también sí que se podría poner, y luego el resto, ceros. ¿De
acuerdo? En principio... No sé si en el libro... Puesto de una manera
específica, es decir, en lo que se refiere al álgebra, si esto es J y
esto es J, teniendo la precaución de poner bien la matriz T, poner en el
orden correspondiente los vectores propios y generalizados, de cualquier
manera se tendría esto, independientemente de cómo pongamos los bloques
de Jordan. Es decir, si cambiamos aquí los bloques de Jordan, pues aquí
cambiamos los vectores correspondientes para que esté todo, entre
comillas, en orden y al principio daría lo mismo. Luego lo que no sé es
si en ciertos sitios se tiene como criterio poner primero los bloques más
grandes y luego los más pequeños. Pero al principio le digo que eso es
más que nada un convenio. Más preguntas. Lo digo porque ya el 3 en el
foro está bien resuelto. ¿Qué es lo que está bien resuelto? ¿El
problema 3? No, creo que no. No, vamos a ver, di indicaciones. En realidad
el problema 3 es un caso particular del 4. Es decir, el 4 es una
generalización del problema 3. ¿De acuerdo? Fijaros que en el caso de...
Lo que sí que es verdad es que en el libro tenéis, cuando habla de las
isometrías... Página 170 creo por ahí, ¿no? No. A ver dónde están las
isometrías. Donde habla de isometrías en el espacio, en realidad ahí ya
lo que demuestra es justamente eso. ¿De acuerdo? Es decir, el problema
está en realidad en la sección 4.3 Isometrías en R3, la página 178.
Aquí ya habla exactamente de qué tipo de isometrías en R3 puede haber.
Fijaros que en el caso de R3 la cosa es mucho más simple porque un
polinomio de grado 3... O tiene una raíz real y luego una compleja y
subconjugada. o tiene tres raíces reales. En los casos en los que tenga
tres raíces reales, en el fondo es hablar de decir que tecta es cero o
tecta es pi. Entonces la matriz sería 1, 1, 1 o 1, menos 1, menos 1 o
menos 1, 1, 1, etc. O tiene un número real y un complejo subconjugado pero
también de norma 1. Por lo tanto tendríamos exactamente lo mismo. No sé
si me he explicado. La verdad es que como estoy haciendo bastante
deprisa... Es decir, en realidad se puede entender como un caso particular
del 4. El 4 es la generalización a un espacio de dimensiones. Hay un
detalle. En realidad en el fondo hay un detalle que simplifica mucho el 4.
Si no, el ejercicio 4 podría ser muchísimo más difícil. Y de hecho yo
he encontrado una demostración pero vamos, en un libro de la
Springer-Berlach de Greus de álgebra y es que aquí se especifica que la
base es ortonormal. ¿De acuerdo? Si no nos especifican nada, el resultado
de 4 también es verdad. Pero la demostración es bastante más complicada.
En el caso R3 aquí no nos dicen nada de la base. Pero claro, cuando es una
isometría es un movimiento muy concreto que o bien deja invariante un
plano o bien deja invariante una recta, etc. Y dependiendo de qué es lo
que deja invariante pues tienes un subespacio propio de dimensión 2 o un
subespacio propio de dimensión 1. ¿De acuerdo? Y por ahí van los tiros
de la demostración pero esa ya digo que es la demostración que se hace en
la sección 4.3 de cómo son las matrices de una isometría en el R3. Y en
el fondo lo que vienen a decir es cuál es la forma de Jordan de una
isometría en R3. ¿De acuerdo? Pero vamos, de cualquier manera si no, lo
escribiré con detalle si os interesa mucho. Si queréis tener más
información con detalle puesto el ejercicio 3 yo os lo mando al foro.
¿Alguna cuestión ya más para finalizar? Si no, de cualquier manera la
semana que viene os recuerdo que tendremos la web tutoría de formas
bilineales. De cualquier manera si algo quedara aquí en el candelero pues
ya nos... el tintero lo resolvemos en... También la próxima semana.
Bueno, pues entonces con esto creo que ya voy a despedirla. Vamos a
despedirla. Y siento mucho de los problemas técnicos del principio, pero
ya la semana que viene que no haya estos problemas. Me han consultado una
cosa y es que el miércoles que viene, que es cuando tengo puesta la
videoconferencia esta, la web tutoría, es festivo en Madrid. No sé si hay
mucha gente que sea de Madrid dentro de este grupo. Yo no tendría
inconveniente en cambiarlo a otro día. El problema es que otro día de la
semana me puede ser muy complicado, de esta misma semana, o sea, de la
misma semana, de la semana que viene. Yo no tendría inconveniente en
posponerlo a la siguiente. Cabría entonces la posibilidad de que tú,
claro, no sé cuándo va a ser la videoconferencia, la sesión tutorial 11.
Porque esta es la 9, la de la semana que viene es la 10 y luego tendríamos
la de la 11. Lo digo porque siga siendo la 10 antes que la 11. Hablaré si
acaso con Beatriz para ver si ella tiene algún problema. Yo por mi parte
no hay ningún problema en hacerlo una semana que otra. Si la mayor parte
de la gente no es de Madrid, porque tampoco se... Si se pospone no da
tiempo. A menos que la semana siguiente hubiese dos. Claro. Eso es lo que
estoy proponiendo. Por lo tanto... El... Yo si no voy a mantenerlo porque
en principio es festivo en Madrid pero no es festivo en ningún otro lado.
Entonces yo en principio, si no me decís nada, yo se lo comentaré de
cualquier manera a Beatriz y a ver qué me dicen. En principio se mantiene
para el miércoles que viene, ¿vale? Si ya viéramos que hay mucho
trastorno porque la mayor parte de la gente sea de Madrid, cosa que no
creo, pero bueno, pues ya lo miramos. ¿De acuerdo? Eso es lo que estoy
preguntando en el fondo. Si hay mucha gente de Madrid. Bueno, pues lo
dicho. Buenas tardes a todos. en cuanto sea posible, es decir no sé
exactamente