Espero que va a durar sobre hora y medio, quizá un poquito más, y dentro
de 45 minutos haremos un pequeño descanso. Bien, pues en concreto la
tutoría de hoy va de movimiento armónico simple más y superposición de
vibraciones. A ver, lo que vamos a ver es la cinemática del movimiento
armónico simple y la superposición o suma de vibraciones que son
movimientos armónicos simples. Se corresponde básicamente esta tutoría
con los capítulos 1 y 2 del FRENCH, que es el libro de referencia para
seguir la asignatura según los profesores de la sede central. Bueno, pues
aquí tenéis una serie de objetivos. Es importante, pues, cuando tengáis
el material que lo leáis y si podéis más o menos orientar ya un poquito
al día de esto, pues ya que os subo el material que os leéis los
objetivos de las tutorías antes de comenzar, pero no la voy a leer aquí
en voz fuerte. Tenéis el material. Bien, pues lo que vamos a empezar en la
cinemática del más es con describir las herramientas matemáticas y con
los nombres propios de la física del movimiento armónico simple. Entonces
se dice que un movimiento armónico simple, en general, un movimiento más
general, un movimiento es oscilatorio o vibratorio, si se reproduce
idénticamente a sí mismo después de un cierto intervalo de tiempo al que
llamamos, denotamos como T mayúscula, y que llamaremos periodo. Bien, se
dice que esa vibración efectúa un ciclo durante ese intervalo de tiempo
al que hemos llamado periodo. El intervalo de tiempo-periodo, unidad
internacional segundos, nos mide la duración de un ciclo de vibración. Y
el inverso del periodo le llamamos frecuencia, o bien con la letra nu o con
la letra f, y al ser el inverso del periodo, pues se medirá en segundo a
la menos uno, y eso en física se llama un hercio. Un hercio es un segundo
a la menos uno, unidades en el sistema internacional. El movimiento
armónico simple, M.MAS., movimiento armónico simple, será un caso
particular de un movimiento oscilatorio o vibratorio. Definición de MAS,
¿qué es un movimiento armónico simple? Bueno, no lo he comentado, en el
chat, en cualquier momento que queráis preguntar o intervenir, pues me lo
decís, ¿no? Yo estoy entreprendiendo en la transparencia y si le decís
algo en el chat. Diremos que una partícula en general. En general,
cualquier sistema físico, no solo una partícula, el movimiento armónico,
es lo mismo oscilatorio que vibratorio, o más adelante, oscilatorio y
vibratorio son sinónimos. Y ya, movimiento armónico simple es un caso
particular de oscilatorio o vibratorio. ¿Vale? Contestado de recastro,
¿no? Ok. Pues decimos que en general cualquier sistema físico con un
grado de libertad, no necesariamente una partícula material, y habrá que
precisar qué quiere decir grado de libertad, pero bueno, es como habéis
definido un grado de libertad en la asignatura del primer cuatrimestre de
mecánica, ¿no? Pues se dice que un sistema con un grado de libertad que
denotamos x de t, pero x puede ser cualquier cosa, no necesariamente una
longitud, x de t... ... realiza un movimiento armónico simple si el grado
de libertad x es una función que sigue este patrón luego un grado de
libertad es una función real de variable real x si sigue la plantilla a
coseno de omega 0 tema delta aquí hay que decir que esta definición de
cinemática del más no es universal hay textos que definen el más como a
coseno hay otros textos que definen el más como así no y hay otros textos
que definen el más como a x dt como a coseno de omega 0 t más b seno por
seno seno de omega 0 que en particular el french creo recordar que lo
define así yo creo que desde el punto de vista matemático para trabajar
con las condiciones iniciales es mucho más interesante definición solo
tienes un coseno o tienes un seno aunque pagas un precio una cierta
ambigüedad porque entonces las condiciones iniciales con este modelo las
fijas en función de a la amplitud que veremos en amplitud y del desplazaje
y claro en las funciones trigonométricas como sabéis son multivaluadas no
son una función estrictamente y eso genera salvo 2 pi una cierta
indeterminación pero conociéndolo en ningún problema esta forma de
definir el más pues en la forma de definir el más es más compleja
matemáticamente pues tiene un coseno y seno pero las condiciones iniciales
están totalmente determinadas bien lo que haremos en esta tutoría es
aprender a pasar de uno a otro pero todas las fórmulas con los que vamos a
trabajar para el más en esta tutoría en la siguiente que dinámica del
más es este patrón si te dan un más que no es este patrón y quieres
comparar pues tendrás que saber cómo se pasa De la expresión matemática
de un más a otro. Bien, pues dado el movimiento armónico simple como esta
función, amplitud que no depende del tiempo por coseno de un argumento que
depende del tiempo como W sub 0 T más delta, en esta función matemática
hay nombres con sentido físico. A se llama la amplitud de la oscilación.
Bien, W sub 0 se llama la frecuencia angular o pulsación del sistema y su
unidad del sistema con un grado de libertad y su unidad en el sistema
internacional de radianes partido segundo. La frecuencia del movimiento
armónico simple, que estoy viendo que aquí hay una rata, aquí no
debería de poner n, debería de poner nu, si tenéis que quitar esta rata.
La frecuencia es la nu que hemos... dicho antes, que esté a la menos uno y
se mide en hercios. Entonces ojo con la palabra frecuencia, no hay que
confundir la frecuencia angular, que es radianes por segundo, con la
frecuencia a secas, que son hercios. Bien, el periodo T segundos y nos
podemos fijar en el argumento, nos podemos fijar en el argumento del
coseno. Entonces el argumento del coseno es otra función del tiempo. A esa
función del tiempo le llamo phi mayúscula de T, la defino como omega T,
aquí he hecho otra rata, en vez de D debería decir delta. O sea, phi de T
es omega T más delta. Con esta definición el más queda X de T por A
coseno de esa función del tiempo. Gracias. Bien, cuando todo el argumento
del coseno lo expreso como una función del tiempo, a esa función del
tiempo, phi de t se le llama fase o ángulo de fase. Entonces, esa phi de t
es dos términos lineal en el tiempo, frecuencia, la W sub c también se
llama frecuencia natural, un nombre muy bueno en física es, todo sistema
físico tiene una frecuencia natural. Bueno, incluso el sistema más
sencillo con un grado de libertad que oscila, sería la frecuencia natural
del sistema que oscila, y entonces la fase es omega sub cero por t más
delta, la frecuencia natural por el tiempo más delta, y entonces vemos,
interpretamos este delta como la función phi de t en t igual a cero, y se
le suele llamar desfasaje o desfase o fase inicial. Luego delta, que es el
desfasaje o fase inicial, es la fase en t igual a cero. Son palabras con
las que hay que profundizar. No hay que profundizarse, porque los
enunciados de los problemas hacen referencia a este tipo de palabras. Bien,
pues entonces podemos ver el más de esta manera, o con la definición de
la fase, de esta otra manera, x de t igual a coseno phi sub cero t. Es muy
importante que en el más tengamos claro que la amplitud no depende del
tiempo, y el desfasaje en t igual a cero tampoco. A igual a cero. Y delta,
la amplitud y el desfasaje inicial, o desfase inicial, son dos constantes
que dependen de las condiciones iniciales que veremos, que son la posición
y la velocidad inicial. Esas dos constantes matemáticas dependen, en los
problemas del mundo real, los problemas físicos, dependen de la posición
y la velocidad inicial, como cualquier ecuación diferencial de segundo
orden, cuando veamos, depende de esas dos constantes, cuando veamos en la
siguiente tutoría la dinámica de demás. Pero ahora estamos con la
cinemática. Bien, hay dos propiedades importantes. Proposición 1, y son
propiedades que tienen que ver con el periodo de las funciones
trigonométricas, coseno o seno, en este caso coseno. Durante un ciclo
completo de un movimiento armónico simple, la fase aumenta en 2pi.
Proposición 2, en un más se cumple que el periodo es 2pi partido la
frecuencia natural W subtero. Es decir, si ya tenemos clara la diferencia
de las dos frecuencias, una diferencia nu, que es la inversa del periodo, y
son hercios, y la otra frecuencia, la frecuencia angular, W subtero, es tal
que el periodo es 2pi partido la frecuencia que se mide en radianes por
segundo. Aquí tenéis, por ejemplo, dos señales de más con dos fases,
dos condiciones iniciales diferentes. Delta igual a 0 en rojo y delta igual
a pi cuarto. Se dice que un movimiento armónico simple y otro están
desfasados. En la siguiente transparencia tenéis la demostración de estas
dos propiedades. Echaros un vistazo, por no perder tiempo, es la
periodicidad del coseno en 2pi. Si tenéis algún problema con la
comprensión, durante todo el curso estoy en las tutorías de este tema
para intentar ayudaros en lo que pueda. Pero básicamente las propiedades
es que la función trigonométrica coseno tiene periodo 2pi. Bien, y la
proposición 2 es una consecuencia de la 1. Vale, pues entonces podemos
escribir la cinemática del más, como os lo he dicho, en función del
coseno, pero también sería un más en vez de poner la frecuencia natural,
radianes por segundo o pulsación angular, W subtero, ponerlo en función
de la nu. Como ya sabemos que omega sub cero es 2pi partido por t y sabemos
que nu es 1 partido por t, pues podemos sustituir la frecuencia natural por
2pi por nu. Y sería otra forma de dar el más. Y una tercera forma es no
darlo ni en función de la frecuencia natural, perdón, de la pulsación
angular, la frecuencia natural como pulsación angular, ni darlo en
función de las frecuencias secas de inercio, sino darlo en función del
periodo. Estas son tres expresiones equivalentes de un movimiento armónico
simple con la referencia coseno. Bien, la propiedad 3 es importante porque
nos va a decir cómo construir la física de la cinemática. Desde un punto
de vista me gusta decir que la definición del más como una función x de
t que es a coseno de omega sub cero, aquí debería decir, seamos
consistentes aquí, omega sub cero, mejor, frecuencia natural de
existencia. No es un tema, porque en esta lección va a haber muchas
frecuencias, la primera es la frecuencia natural. Bien, pues esta es una
forma matemática de definir un más. Pero los máses del mundo físico
tienen que venir de la física, y la física viene de las condiciones
iniciales, que son la posición y la velocidad. Entonces, la amplitud y el
desfasaje delta no dependen del tiempo. Perdonad un momento, un segundo,
porque se me ha olvidado grabar, ¿verdad? Ah, no, estoy grabando, el
apuntito, perdón. Estoy grabando, menos. Perdón, mal. Creía que se me
había olvidado. Bueno, pues vuelvo a la lección. Digo que la amplitud y
el desfasaje inicial no dependen del tiempo, pero sí van a depender de las
condiciones iniciales. Para poder tener un movimiento en el mundo real
tienes que tener unas condiciones iniciales. Entonces aquí tenéis esta
proposición, te dice que la amplitud es una función, De la posición x0 y
la velocidad v0. Y el desfasaje es arco tangente de menos la velocidad
partido de x0 y aparece la frecuencia natural como un factor. Ojo que x0 y
v0 llevan signos. Pensad un movimiento vibratorio donde un objeto está
oscilando como un más. ¿Cómo es en el mundo real esto? Pensad por
ejemplo un muelle horizontal con una masa. Correcto. Amateur x0 es x en t
igual a 0. Y v0 es x punto de t, o lo mismo, v0 x punto de 0, es v que es
la derivada de x en t igual a 0 o a t sub 0. Entonces decía que en un
mundo real... En un mundo real, para que algo oscile, pues le tienes que
dar, lo tienes que perturbar. Pensad por ejemplo en un muelle horizontal.
Vamos a ver que un pequeño dibujo. Aquí tú tienes un muelle lineal, una
masa m. Y esto si no lo perturbas, en su vida va a ser un más. Por eso hay
una sutil diferencia entre un más matemático y un más físico. ¿Qué
significa perturbar? Dar una condición inicial. Yo puedo coger, por
ejemplo, la masa m y desplazarla. Hacia la derecha, una cantidad x sub 0. x
sub 0, 2 centímetros a la derecha, sería positivo. En mi sistema de
referencia, si me lo llevo a la izquierda, 2 centímetros negativo. Y lo
suelto con esa posición inicial y velocidad inicial 0 o... también le doy
una velocidad inicial, o simplemente puedo perturbarlo, voy a borrar, en
vez de darle una posición inicial, le puedo dar una velocidad inicial.
¿Cómo sería un movimiento con una velocidad inicial? Pues cojo con un
martillo y golpeo. La posición inicial de la masa es cero, pero su
velocidad inicial le doy una percusión no. Entonces tendré tres tipos de
cinemáticas físicas. Aquellas con posición inicial cero y velocidad
inicial cero, aquellas con posición cero y velocidad inicial distinto de
cero, y aquellas que tienen posición y velocidad inicial diferentes de
cero. Y todo lo que esté a la izquierda en posición y velocidad es
negativo y todo lo que esté a la derecha es positivo. Estamos movimientos
en una dirección, entonces las posiciones y la velocidad son vectores en
una dimensión, el signo interviene. Aquí, como va al cuadrado, no me va a
dar muchos problemas con la amplitud, pero donde el signo va a ser muy
importante es en el desfasaje, daros cuenta que la V0 puede ser positiva o
negativa, la X0 puede ser positiva o negativa y encima aquí hay un signo
menos. ¿Vale? ¿Preguntas? ¿Se entiende? ¿Vale? Pues seguimos. Muy bien.
Entonces aquí tenéis hecho para todos los problemas para que no
tengáis... Tengáis que sacar las condiciones iniciales para cada
problema. En el libro del French ya os he dicho que el más es A coseno
más B seno y en cada problema es un lío, no es que sea un lío, pero es
un jaleo siempre tener que sacar el A y el B, este voy a escribirlo en el
French, es algo así como A, el más es A coseno. de omega cero t más b
seno de omega cero t te dan la x cero te dan lo b sub cero y tienes que
montarte la vida para sacar cuánto vale a y b en función de esas
condiciones iniciales para cada problema si el feno lo define en función
del coseno a ver, R. Castro solo en función del coseno no lo define como
coseno más seno ah, perdón, perdón tienes razón ok, ok, R. Castro, no
es el frein es el really el really es un libro que se llama Ingeniería
Mecánica y muchos de los problemas o bastantes problemas de los que vamos
a trabajar en la segunda y la tercera tutoría están sacados del really
dos tomos de Ingeniería Mecánica el último capítulo Vibraciones y Ondas
y entonces ese es el que tiene seno coseno bien, entonces el frein es
verdad el frein solo tiene coseno pero no te da las condiciones iniciales y
creo que en vez de más era al menos, voy a borrar esto entonces, ¿qué es
lo que tenéis en esta transparencia? pues, resuelto el problema de cómo
obtener las condiciones iniciales para todos los casos es decir yo tengo mi
normalización la mía y que no sea realmente la mía y aquí estoy
siguiendo un poco el texto de mecánica clásica o dinámica clásica de
arañada bien, que también lo tenéis en la bibliografía del curso pues
tomo la x de t es una amplitud que dependerá de la posición y la
velocidad por el coseno omega cero t más un desfasaje que depende de la
posición y la velocidad pues aquí tenéis obtenido cuánto vale esa
amplitud para todos los casos y cuánto vale ese desfasaje para todos los
casos ¿qué es lo que hay hecho aquí? se pone la información que
conocemos x cero es idénticamente x en t igual a cero me voy a esta
ecuación pongo aquí cero y me queda a coseno de delta Derivo esto
respecto al tiempo, me da la velocidad. En t igual a cero la derivada del
coseno es menos el seno. Y me queda menos v sub cero a seno de delta. Luego
esto es un sistema de dos ecuaciones. Delta depende de v sub cero porque me
pongo en el caso más general. Si no dependiera me saldría que no y vas a
ver que me sale que sí. ¿Te he contestado esto, Nerv? Es justo lo que
estamos viendo en la transparencia. ¿Vale? Entonces tenemos que resolver
este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pero que no es lineal.
Ojo que aquí está el coseno y el seno. Donde lo que sabemos es lo que
vale x cero y v sub cero. Y queremos despejar a y delta. Pues una forma de
hacerlo es búscate la vida. Coseno de delta de la primera ecuación es x
cero partido por a. Seno de delta es menos v sub cero partido la frecuencia
natural por a. Y yo sé que seno cuadrado más coseno cuadrado es uno. Eso
me permite escribir esta ecuación. Y por lo tanto de aquí puedo despejar
a y luego puedo despejar la delta. Luego vemos que tanto la a como la delta
dependen de x cero y v cero. Y ahora yo puedo escribir mi más físico.
Usaré matemática u otro sistema de cálculo simbólico para trabajar en
problemas físicos donde no pondré a sino pondré esto. Y donde no pondré
delta sino pondré esta expresión. Ya digo que así lo tenéis preparado
para todos los problemas siempre que sea esta normalización. Si no haces
esto en cada problema tendrás que hacer este cálculo. Que es resolver las
condiciones iniciales. Que es dar la amplitud y el desfasaje en función de
x cero y v cero. ¿Se entiende? ¿Preguntas? Seguimos, ¿no? Vale pues...
Bien. Pues la cinemática ya la hemos resuelto. Las funciones cinemáticas
son x, x punto y x dos puntos. La cinemática es algo a lo que puedes
asignar posición, la primera derivada es la velocidad, la segunda derivada
es la aceleración. Daros cuenta que la derivada del coseno es menos el
seno, pero para poder comparar yo tomo la x en función del coseno, saco la
velocidad, la derivada del coseno es el seno, pero pongo el seno en
función del coseno. Y entonces veo que para comparar la velocidad está
desfasada pi medios frente a la posición. Vuelvo a hacer ahora la derivada
de la velocidad en términos de este coseno, la derivada del coseno vuelve
a ser menos el seno y lo pongo otra vez como coseno y me queda que la
aceleración x dos puntos es menos omega cero cuadrado por x. Veremos que
esto es una condición. Es una condición necesaria, aunque no suficiente,
para tener un más. Todo movimiento armónico simple se caracteriza porque
la aceleración, pues la dinámica, se opone al desplazamiento. Aunque no
todo sistema donde la aceleración se opone al desplazamiento es un más.
Por ejemplo, una cinemática de un móvil que se frena, pues la
aceleración, el coche va para la derecha, lo frenas, la aceleración va
para la izquierda, pues esto cumple que la aceleración es opuesta a la
posición, al desplazamiento, pero no es un más. A mayorada, sí. Si
derivo el coseno me dará menos el seno. Pero para poder comparar con el
coseno, pues pongo que el seno de x es el coseno de x más pi medios. ¿Se
entiende, Stoner? A mayorada. Y así comparamos los referenciales. Esta
idea es importante. Si tú defines de una manera la cinemática del más en
función de la función posición, yo lo he definido a coseno, siempre
tengo que comparar con A coseno. Si lo hubiera definido como A seno,
siempre tendría que comparar como A seno. Y aquí hay que jugar con qué
pasa de cosenos a senos a partir de las identidades trigonométricas.
¿Preguntas, observaciones? Muy bien, ¿seguimos? Vale. Pues lo que decía.
Una observación que eso a veces es poco conocido. Voy a borrar. Correcto,
J. Guardiola. Un momento. Que voy a borrar. Vale, pues borro la página,
que esto está muy guarrindongo. Y quisiera hacer una observación. Bueno,
aquí tenemos la posición. Aquí tenemos la velocidad. Hay un segundo que
se me... La pantalla táctil en cuanto le sopla se mueve para escribir.
Aquí tenemos la velocidad. Y aquí tenemos la aceleración. Pensar en la
cinemática de una partícula. Lector, posición. Construimos la
cinemática con posición. Velocidad y aceleración. Sí, J. Martínez. En
estas transparencias veremos que el movimiento circular con velocidad
constante, tanto en el eje X como en el eje Y, son dos casos particulares
de movimiento armónico simple. Pero permitidme hacer una reflexión, que a
lo mejor es curioso y no la habéis visto en muchos libros, que la
cinemática decimos que se construye con la... Dada la posición X, en este
caso, su primera derivada es la velocidad, su segunda derivada es la
aceleración. Mi pregunta es, ¿la tercera derivada de la posición,
¿pensáis que es algo físico? ¿Qué es la tercera derivada de la
posición? La segunda derivada. Sobreaceleración. Muy bien, Scrooge.
Perfecto. Es poco conocido. A eso se le llama en inglés un YERC. Es un
campo que se llamaría J. J de la posición que es la derivada de la
aceleración respecto del tiempo. Ese cambio en la aceleración. Y eso es
físico. Fijaros que es tan físico que hay máquinas que funcionan
calculando los errores de sobreaceleración. Por ejemplo, si tú tienes una
máquina de cortar, una máquina industrial, una cortadora de planchas, te
va a aparecer mucha sobreaceleración cuando la plancha la tengas que
cortar con mucha curvatura. Curvatura, aceleración. Y cuando tienes esa
máquina cortadora, pues te la venden en la publicidad que guay es esta
máquina que te corrige los efectos en el corte de sobreaceleración. Vale,
la sobreaceleración es una cosa muy interesante y de hecho se puede
introducir el concepto de la delta de Dirac. Nos ha aparecido ya la delta
de Dirac en algunas asignaturas. Delta de X es una función realmente, una
distribución. Muy bien, pues buscad por ahí por internet que hay unas
notas muy interesantes de mecánica elemental de la partícula donde para
el movimiento circular se estudia la sobreaceleración y empiezas con el
campo J, el YERC, y acabas en... La delta de Dirac. Dice, pero ¿hasta qué
punto tú puedes derivar la posición y que sea algo físico? Claro,
fíjate, si es físico, ¿qué es la velocidad? Físico es todo lo que
mides. La derivada de la posición los mides, porque son velocidades, por
eso es físico. No sé si te estoy entendiendo o se cambia. Pero quedaros
con esa idea, igual os lo subo a la tutoría en el mapa examen, pero que
veáis una visualización de cómo obtener la delta de Dirac a partir de la
tercera derivada. de la posición como hay que introducir las incógnitas
notas la cuarta derivada yo no la conozco matemáticamente tiene todo el
sentido pero el morusa pero la cuarta derivada yo no conozco qué es
físico aquello que se mide no no no no no conozco problemas donde se
decida y si no bueno se obvia si tú tienes la sobre aceleración en la
deriva es lo que hace estás haciendo en matemáticas haces física cuando
esa derivada la puedes medir y tiene algún significado y por eso digo que
derivar la sobre aceleración tiene todo el significado matemático del
mundo pero no conozco problemas físicos donde eso sea relevante donde se
mira si conozco problemas físicos incluso entre hay circuitos donde la
tercera derivada de la posición de grado de libertad es relevante la
integral de la posición es físico vale es interesante lo digo porque lo
común es que te cojas cualquier libro de ficción que te pongas cualquier
libro de ficción que te cojas cualquier libro de ficción que te pongas
cualquier libro de ficción que te pongas cualquier libro de ficción que
te pongas y tú te vas a la cinemática y parece que después de la segunda
derivada ya no hay nada más pues no por lo menos hay una aceleración
seguimos vale bien pues aquí tenéis los tres vectores con la referencia
coseno x depende de coseno v lo derivó y lo pongo en función del coseno
la relación la vuelvo a deriva y lo pongo en coseno y veo en rojo tenéis
la señal de la posición en azul marino la velocidad los diferentes de
basa de pasajes y en verde la aceleración daros cuenta la absoluta
oposición que hay entre el rojo y el verde está en la posición de fase
la aceleración tiene los máximos donde la posición tiene los mínimos y
es importante para preparar los exámenes y la física de esta lección Que
interpretéis, sabéis interpretar la cinemática de un más tanto desde el
punto de vista analítico, las funciones x de t, v de t y a de t que hemos
visto, como desde un punto de vista gráfico, como que os acabo de poner.
Bien, podemos hacer un primer problema que dice que una partícula realiza
un movimiento armónico simple dado por la expresión x de t igual a 0,3
coseno de 2t más pi sextos, donde x se mide en milímetros y t en
segundos. Obtener a la frecuencia, b el periodo, c la amplitud, d el
desfasaje, h la frecuencia angular y la posición del más y representarlo
gráficamente, j la velocidad en todo instante de tiempo, k la aceleración
en todo instante de tiempo y la pregunta última, que no es importante, si
aquí se me equivocaba el alucinario, será, ¿es el movimiento armónico
simple propuesto un movimiento armónico simple físico? Una sutil
distinción entre movimiento armónico simple desde el punto de vista
matemático y movimiento armónico simple desde el punto de vista físico.
Vamos allá, es un problema para contextualizar que sabemos identificar los
nombres, ¿no? Bien, frecuencia, sabemos que la frecuencia angular de este
problema es v doble sub cero, que es lo que hay que hacer básicamente,
identificar el más que me dan con el patrón que tengo. El patrón que
tengo es x de t es a por coseno de omega cero t más delta. Por lo tanto,
si comparo esto con esto, pues este numerito de aquí es 2 radianes partido
segundo. Y este numerito de aquí delta es pi sectos. Y este numerito de
aquí A es la amplitud que es 0,3. Pues, si sé que la frecuencia angular
es 2pi partido por nu, pues nu, la frecuencia seca en hercios, es W0
partido 2pi. W0 es 2, lo he identificado, partido 2pi me da pi a la menos 1
hercios. El periodo es la inversa, 2pi partido la frecuencia natural, 2pi
partido por 2 es pi segundos. La amplitud es 0,3, que en el sistema
internacional, si no dicen nada y quedan los resultados de las magnitudes
físicas medidas en el sistema internacional, será 3 por 10 elevado a
menos 4 metros. Y el desfasaje es pi sectos radianes. Dar cuenta que los
ángulos se miden en física en el sistema internacional en radianes. Es
una magnitud dimensional que se mide en radianes. Bien. Pues ahora
representar gráficamente el más. Pues ahora es importante, voy a hacer
una pausa, motivaros a que uséis cálculo simbólico. ¿Entendéis lo que
quiero decir por cálculo simbólico? Es muy importante en física desde mi
punto de vista, sobre todo si eres estudiante de la UNED te ayuda
muchísimo, usar herramientas de cálculo simbólico como matemática
máxima, que por ejemplo lo usáis en la asignatura de física
computacional, Maple, Derive, cualquier sistema de cálculo simbólico.
¿Por qué? Porque un problema de física, tú estás solo en tu casa
haciendo un problema, tienes un boletín de problemas, por poner un
ejemplo, tienes el enunciado y los resultados, pues tú estás ahí solo,
te concentras en resolver el problema desde el punto de vista físico y
usas una herramienta de cálculo simbólico para que te resuelva el
problema matemático. Te integre, te saque la transformada de Fourier, haga
lo que tengas que hacer en matemática que ya te lo estudiarás tú para el
examen. Bien. pero en ese día a día, una mitad del trabajo que resuelve
un problema de física, resolver la física del problema o las
matemáticas, te lo hace el ordenador mediante cálculo simbólico. Si al
aplicar las matemáticas te sale un churro, es que el problema no son las
matemáticas, por eso te la está haciendo el cálculo simbólico. El
churro es que no tienes controlada la física que te resuelve el problema.
¿Se entiende lo que quiero decir? Voy a hacer una pequeña estadística
rápida. Si me pides y no, ¿conocéis el matemática? ¿Habéis usuarios
de matemática que haya en...? ¿Usuarios de matemática? No, no. Bueno,
MATLAB es cálculo numérico, lleva un módulo de cálculo simbólico si lo
cargas, ¿no? ¿Matemática nadie? Wolfram Alpha, vale, eso es matemática.
Vale. ¿Queréis...? Máxima, perfecto, Máxima, está en Maple. ¿Queréis
que haga una pequeña... compartir pantalla y os enseño cómo usar
matemática gratis? ¿Con ciertas limitaciones? ¿Eh? Hay una nube de
matemática de Wolfram que la puedes usar para hacer cálculos con
limitaciones. Hasta el año pasado podías subir ficheros. Ahora puedes
trabajar, pero no puedes subir ficheros, solo te los puedes bajar. Bueno,
vamos a hacer un paréntesis. Voy a compartir pantalla. Un segundo, porque
yo creo que siendo estudiante de la Universidad de Física esto os puede
venir bien. Vamos a ver dónde lo tenemos. Compartir pantalla. Compartir
escritorio. ¿Está la pantalla? ¿La he puesto? Vale. Me voy a... A ir a
la... Vale, sí, bien. Vamos a ver un segundo. Necesito un navegador. Aquí
mismo. Voy a ponerme... Bueno, pues lo que tenéis que hacer es que vais a
Google y ponéis aquí Wolfram. Eso es el físico que inventó matemática,
la empresa Wolfram. Wolfram Crowd. Os vais a Wolfram Crowd y lo primero que
tenéis que hacer es, aquí os pone Singham for Free. Te creas una cuenta,
que es pinchar, dan unos datos rápido y te creas una, tienes que dar una
clave y te creas una cuenta. Una vez que hagas eso, pinchas aquí, te piden
un correo electrónico. Si tenéis el correo electrónico, no poner Pepito
de Hotmail, poned el de la UNED. Porque bueno, la empresa Wolfram de
matemática es, en cierto modo, de hecho su éxito fue que empezó a
expandirse a través de los campus, en los 80 con internet cuando no había
web. En ese sentido fue un funcionario y entonces alumnos y profesores del
mundo académico, pues, en fin, se les tiene en consideración. Entonces
aquí poned vuestro mail, mi recomendación es que se adelanten. Primer
nombre, segundo nombre, un password, confirmar el password y te creas la
cuenta. Yo como ya la tengo, entonces una vez que te la creas, a ver que me
acuerde yo, a ver, mi email si es, eso es, mi email. Vale, y ahora me
intento meter mi password, que ahora será el problema que yo me acuerde.
Vale, pues me ha acordado bien, ¿de acuerdo? Pues aquí tenéis una nube,
estos son documentos de matemáticas, son ficheros .ed que son no books.
Por ejemplo, vete aquí a un new notebook. Vale, pues imaginaos que
quisiera definir qué estábamos haciendo. A ver, que vaya un momentito.
Estamos definiendo, es que no me acuerdo de memoria la fórmula. Un
segundo. ¿Dónde tengo el documento? Bueno, voy a definir cualquier otra
cosa. Vale, imagínate que voy a poner X de T. A ver si esto lo veis un
poquito más grande. Bueno, en este menú aquí se ve que se escriben
cosas. Voy a poner 2 más 2. 2 más 2. Pues, matemática en ese sentido es
como máxima. Máxima copia matemática. Son celdas, escribes y ahora
ejecutas mayúsculas enter. Daros cuenta que al ejecutar me ha puesto un IN
de referencia 2 más 2. Me ha dado la salida a 4. Aquí tengo cómo puedo
trabajar con ficheros. Me lo puedo bajar, pero no puedo subir. Y si te lo
bajaras, dices download, te lo bajas. Entonces daros cuenta que aquí,
cuando te lo bajas a tu disco duro, tienes un fichero NB. El problema es
cómo ver este fichero si tú no tienes matemática. No hay ningún
problema. Te bajas el visor de ficheros de matemática. Ya os diré el
nombre, o creo que está al final de la tutería. Te lo instalas. Ese es un
fichero que te permite visualizar los ficheros NB. Te permitirá que lo
hagas e imprimirlos, pero no te permite calcular. Entonces, tú tienes la
nube para trabajar. Lo que te dice es que al mes bájate los ficheros con
tu trabajo y guárdalo porque lo puedes perder. Y visualizas con el
visualizador de ficheros. Veo que me preguntas en el chat, vuelvo al chat.
¿Vale? Abajo a la izquierda, entre ver la pizarra o la pantalla. A ver, un
momentito. Tienes razón. Mostrar solo pizarra. vale estáis viendo ahora
vale un montón de líos es para la gente que dice que no lo ve a ver vamos
a ver otra vez un segundo voy a dejar de compartir vale en qué jaleo no
está el chat ahora porque no veo el chat vale a ver habéis llegado a ver
la nube o no que realmente no me entero lo que ha pasado yo no otros sí
vale a ver lo voy a intentar otra vez de acuerdo vamos a ver otro si voy a
intentarlo otra vez y una tutorial pero creo que merece la pena vale pues
un último intento a ver un segundo vamos a ver si compartiendo solo una
aplicación comparto escritorio vale me podéis decir en el chat que lo que
estáis viendo ahora este voy a hacer esto pequeño vale a ver voy a ver si
se ve la nube de wolfram veis la nube de wolfram 2 más 2 4 a ver qué me
decís ahora sí perfecto muy bien entonces en la nube de wolfram si aquí
ponéis file os podéis bajar los ficheros como estás en modo gratuito no
puedes subir pero esos ficheros que te bajas y como no pagas pues al mes lo
puedes perder o leer o a las dos semanas esos ficheros los puedes abrir con
tu visor y aquí podrías hacer los cálculos que necesites por ejemplo si
yo quisiera definir un más x dt toma a adentramos llamarle de un más
físico no 11 un más matemático no físico nuestra función las
condiciones iniciales puesto le llamaría a por coseno para los que saben
máxima matemática empieza por mayúsculas las funciones coseno mayúscula
en máxima era minúscula y las variables van entre corchetes coseno de
omega más del tanto de convertirte una función simbólica de cuatro
variables me tendré que poner aquí una secuencia vale pues lo metes en
memoria hasta ahora somos escrito código lo metemos en memoria muy bien me
hice sintaxis claro porque le he puesto una llave de más vale pues ya lo
tenemos en memoria y ahora lo quiero dibujar podía dibujarme plot x dt los
x y la única variable es t y lo demás le voy a dar valores 3 al desfasaje
vamos a ponerle pi cuartos en matemática es pi cuartos y pi sextos de
frecuencia gradiones por segundo pi sextos dibújame eso vamos a poner
entre 0 y 10 t lo que nos dibuja lo modificamos y ahora le puedes poner
opciones en la última versión de matemática pues le puedo poner aquí un
plotCM que no lo había por defecto plotCM científic pues esto funciona
aquí a ver que no le ha gustado el valor está es que no le he puesto la
variable la variable es t y está entre 0 y 10 vale pues aquí tenemos
vamos a ponerle más se me viene el más vale pues es re aún más vale
pues es bien esto ya sabéis google wolfram cloud esto es gratis y lo
podéis y podéis trabajar cómo optimizar si ahora yo me quiero bajar el
fichero download te lo bajas y ahora para verlo a ver un momentito no, no
quiero abrirlo con mi matemática no quería hacer eso quiero ir a es que
se me está mezclando aquí eso, eso quiero ir aquí a mostrar en carpeta
el fichero que me he cargado descargado es un fichero punto nb y este
fichero como lo puedes ver pues instalando televisor de ficheros de
matemática que es gratuito y Y no me acuerdo el nombre, pero está en la
tutoría y ya os pondré la información. Y esta es una forma de trabajar
con la nube, por lo menos probar matemática, si te merece la pena
entenderlo o no. Bueno, pues voy a dejar ya de compartir. Un segundo. Vale,
pues dejamos de compartir. Vale, creo que ahora se ha visualizado. Creo que
la mayoría lo han visto, aunque alguien dice que lo ha visto todo negro. A
ver, ¿yo veo todo negro? No sé, pues ya eso no lo sé. No es tanto, es
poner un enlace, ¿vale? Poner un enlace. Y lo mejor es la grabación.
¿Cómo has puesto la flecha? La flecha es barra. La flecha es barra,
guión. Él le pone la flecha, guión mayor. ¿Vale? ¿Cómo he puesto la
flecha? Guión mayor. Menos más. ¿Vale? Y eso, pues, cuando estás solo y
estás haciendo física, y con la matemática, en general, un sistema de
cálculo simbólico, pues si te manejas bien con máxima, pero matemática
te da mucha funcionalidad que no te da máxima. Claro, por eso vale lo que
vale. ¿De acuerdo? Por ejemplo, con matemática puedes hacer ajustes,
tanto lineales como no lineales, y en los ajustes lineales y no lineales te
da el error de cada parámetro de ajuste. Como cosas interesantes. Por
ejemplo, ese seguro que no lleva máxima. Y mientras sea gratis, pues
podéis trabajar. Bien, pues seguimos. Nos hemos retrasado un poco, pero yo
creo que es importante. Primera tutoría que aún no hicierais esto. Bien,
pues entonces aquí lo que tengo hecho con matemática, podéis probar. El
que quiera puede jugar. Podéis, estos códigos que tengo aquí los podéis
ejecutar en la nube. Aquí os pongo un código de matemática. Como veis,
yo he puesto en bastante usuario. Desde hace mucho tiempo de este software
y lo uso porque me facilita la vida, básicamente, ¿no? Además, soy de
los que pago, pago mi licencia y su renovación. Muy bien, pues aquí
tenemos la UNED no da licencias antes. El gran problema que tiene es que es
muy caro, aunque es cierto una cosa. Si tú estás usando el matemática y
te gusta, y en informática como en todo se puede probar antes de pagar,
¿no? Pero a aquellos que les guste matemática, pensar que una licencia de
estudiante de matemática vale pues un 60 o 70% menos que la licencia
profesional. Y lo que te piden para vendértela es básicamente la misma
que la profesional, tener la matrícula en la UNED o en cualquier
universidad. Te acreditas como estudiante universitario. Y tienes una gran
rebaja. ¿Cuándo merece comprar eso? Pues si te lo vas usando, pues ahí
cuando estás en tercero o cuarto y te has hecho muy de matemática, pues
antes de perder la condición de estudiante, pues te compras la licencia,
aunque ya no tendrás el derecho a renovación, pero tienes una licencia
original para tu trabajo. Ese sería mi consejo. No comprar ni ahora ni el
año que viene. Apañaros si os gusta con la nube y probar cómo funciona.
Además, la nube te permite cualquier cosa, ¿no? Estás estudiando
mecánica cuántica o cualquier otra asignatura y no te acuerdas de no sé
qué de las matrices. Entonces, de Jordan, pues estás ahí en la fiesta
bailando y te conectas al móvil y con la nube. En MAPEL sí que hay
licencia o había de la UNED. Sí que había o hay. Seguro que había.
Ahora no lo sé. Hace tiempo que no usaba MAPEL. Como dice WLF1. Mi
motivación es que probéis matemática en la nube gratuitamente. A ver,
MAPEL sí, perfecto. WLF perfecto. Si hay una licencia en la... Si tienes
licencia de MAPEL en la nube... pero la nube en la uned funciona y me
importan bien lo tienes en maldad si la mente en licencia de maldad maldad
lleva a un paquete de cálculo simbólico que si no te lo cargas no lo
usarás nunca pero lo lleva al instalarte los paquetes y con cargar el
paquete de cálculo simbólico y él lo que lleva es mail por el paquete de
cálculo simbólico de maldad en maples vale muy bien pero bueno aquí
tenéis una cosa en la nube lo guay es que hacéis desde el móvil desde
cualquier configuración desde tales puedes estar trabajando con la pega de
que no puede subir fichero bueno pues los visualizan los ficheros con el
visualidad de ficheros bien bueno pues entonces yo defino aquí volvemos al
problema vale este es el problema que me daban pues lo decido esto es un
mario de un más en el sentido matemático una función de variables reales
del tiempo a posee 9000 temas delta pues seguimos bien aquí tenéis con
este código podéis probar el que quiera en la nube plot de x desde lo que
acabo de hacer porque veo y más y como tendría la velocidad pues si lo
quiero hacer con matemática o si no lo hago a mano pues yo definirá una
nueva función v de t a mirar las funciones en matemáticas las variables
que ponen función bajo a la primera vez a la izquierda y usamos una
función diferida el dos puntos iguales como es máxima para funciones y la
derivada es de mayúscula de derivar la función que has definido coma
respecto a quien lo haces la ejecuta su vida da menos a v doblez seno por
la derivada del seno del poleno la llegada del coseno del seno y hago el
plot de esa uve el tema de vibraciones y ondas se presta mucho a usar una
herramienta de cálculo simbólico para que te ayude a visualizar esas
funciones del tiempo trigonométricas bueno, pues lo mismo para la
aceleración podéis probar con el código esto es código antiguo esto ya
tiene sus años, está hecho con la versión 7 de matemática, pero sigue
funcionando en la 12 o la 13 que es por la que van ahora bien, ahora la
pregunta que me parece más interesante de este problema que es ¿es el
ejemplo propuesto de más un ejemplo físico? a ver, ¿qué pensáis de
este ejemplo? ¿qué pensáis que quiere decir esta pregunta y cómo se
contestaría? ¿es el ejemplo propuesto de más un ejemplo físico? ¿es
que puede haber un movimiento armónico simple que lo sea matemáticamente
y que no lo sea físico? ¿alguna idea? ¿o sugerencia? rozamientos,
aceleración olvidaros o sea, no hay rozamiento en condiciones ideales y te
calculan la aceleración y se opone al desplazamiento siendo la
aceleración opuesta al desplazamiento y estando en condiciones ideales y
un rozamiento muy bien, vende de Miguel si no tiene las condiciones
iniciales esa es la idea y cuando eres profe puedes meter la pata
fácilmente poniendo exámenes de esta manera tú te puedes inventar un
más matemático cuya amplitud y desfasaje no se corresponda con las
condiciones iniciales yo pongo aquí un número y aquí pongo un número
que no se corresponda con que ese número A y ese número D cumplan las
condiciones iniciales ¿se entiende lo que quiero decir? un más donde el A
y la delta no cumplan las condiciones iniciales del problema sería un más
matemático y no físico eso es lo que quiero decir Bueno, esto es un
razonamiento particular, no es una cosa que haya leído en ningún libro.
Bueno, pues entonces, ¿qué es lo que tengo que hacer? Hago uso resuelvo,
pues a eso me ayuda la vida, pues no lo tengo que hacer con lápiz y papel,
me ayuda la vida en matemáticas, cálculo simbólico. Resuelvo este
sistema delta igual al arcotangente de la velocidad inicial partido la
posición inicial por la frecuencia a igual a la raíz cuadrada de la
posición inicial, la frecuencia al cuadrado, bueno, esta expresión. Y en
esta ecuación quiero que me dé la posición inicial y la velocidad. Vale,
pues entonces resuelvo el sistema y ahora le paso los parámetros.
¿Cuáles son los parámetros del problema? Barra punto paso parámetros
delta pi sexto radianes a igual a 0,3 por mil metros y la frecuencia dos
radianes partido segundo. Entonces, este más matemático será un más
físico solo si tengo este conjunto de dos instrucciones de condiciones
iniciales. ¿Se entiende? ¿Se entiende lo que he puesto en este problema?
Tiene que haber una relación entre la física y su representación
matemática para que el problema sea físico. ¿De acuerdo? Muy bien, pues
seguimos. Bien, las siguientes ecuaciones representan la posición de una
partícula animada de un movimiento armónico simple. Encontrar la
expresión del mismo según variamos la definición. Bueno, este problema
de qué va, eso es matemáticas. Esta es la definición. Hay mil notas de
lo que es un más. A coseno de mega cero del T más delta. Otros libros, en
otros textos, esto es la definición del más. Esto es la definición del
más. Y esta es la definición del más. B, C, esta es la que os decía del
Riehle y que he confundido con el French. Pues bien, si yo resuelvo un
problema con este más y quiero comparar con soluciones propuestas con
estos máses, con estas tres formas diferentes, ¿qué es? pues tendré que
tener una manera, un camino para pasar de uno a otro. Pues de eso va el
problema. El primer caso, muy sencillito, el primer caso es cambiar el
signo de la fase. Quiero llegar aquí y tengo esto. Pues es evidente que B
tiene que ser A y que delta tiene que ser igual a menos phi. ¿Algún
problema? Si me das esto, ¿cómo tengo esto? En la D pones el A y en menos
phi pones menos delta. Delta. Puedo pasar de una situación o de otra.
¿Vale? El siguiente caso, pues como me dan seno, pues lo primero que
tendré que hacer será poner el seno como el coseno. Usamos la propiedad
que el coseno de un ángulo es seno de A más pi medios. Entonces, donde
tenga F seno, quiero comparar con A coseno. Pues en las amplitudes F y A
van a ser las mismas. F y A van a ser las mismas. Y la diferencia será
entre sí. Y delta. El coseno de omega cero T más delta, el que tengo
aquí, será el seno de omega cero T más delta pi medios. A ver aquí que
he puesto, aquí hay una pequeña rata, que es que el coseno de A... Vale,
sí, no, está bien. El coseno de omega cero T más delta, con esta
fórmula, será el seno de omega cero T, lo que tenía es delta más pi
medios. Y ya puedo comparar con esta manera. ¿Cómo comparo? Pues resulta
que delta más pi medios tiene que ser menos sí. Pues paso de aquí a
aquí haciendo A igual a F y delta igual a menos sí más pi medios.
¿Preguntas, observaciones? Vale. Pues ahora la que es un poquito más
difícil. Vale, pues entonces si me dan el más como B coseno C seno,
bueno, pues voy a saber que ya sé pasar de aquí a aquí. Entonces voy a
partir de cómo unificar D coseno con el signo menos a la combinación de
coseno seno con la B. Para eso tendré que usar esta relación, el coseno
de la diferencia de ángulos, coseno de A menos B, coseno de A por coseno
de B, más seno de A, seno de B, y le aplicamos la definición del más. D
coseno de omega cero T menos phi, pues D coseno de la diferencia de
ángulos, aplicando esta fórmula aquí, me da esto. Y ahora exigimos que
se cumpla la igualdad. Quiero que esto se cumpla. Vale, pues si quiero que
esto se cumpla, D por esta combinación tendrá que ser igual a B coseno de
omega cero T más C seno de omega T. Si quiero que se cumpla esto, aquí
viene el razonamiento un poco curioso, si quiero que se cumpla esto...
...es lo mismo que que se cumpla esto. Si se cumple esto, esto se tiene que
cumplir en todo instante de tiempo. Entonces cojo dos que me interese. En T
igual a cero y en T igual a pi medios. En T igual a cero, si se cumple esta
expresión, llego a esta conclusión. Y en T igual a pi partido 2V0, si se
cumple esta expresión, en este tiempo identifico C y aquí he identificado
B. Pues entonces, ¿cómo pasaré de la forma AB a la forma coseno? La
frecuencia natural por el tiempo menos desfasaje, pues el D es igual a la
raíz de B cuadrado más C cuadrado y B coseno de phi es igual a C seno de
phi, por lo tanto, la tangente del phi es T partido por B. Esta es una
demostración un tanto curiosa, porque exiges que la propiedad general que
quieres que se cumpla, se cumpla en dos instantes de tiempo que te permiten
despejar de la ecuación B y C. Sí, en el ruso 11, ¿te refieres a la
grabación de la clase o a las notas? Sí, la grabación de la clase sí.
En el mismo foro de la asignatura donde están mis tutorías de tema 1
aparecerán los enlaces. Las notas ya están, J. Guardiola, las suelo subir
antes de la clase. Muy bien. Pues seguimos. Seguimos. Bien, pues entonces
ya hemos acabado. Ya sé pasar de uno, sé pasar de este a este y de este a
este era cambiar un signo. Bien, aquí se ha puesto de la Wikipedia. Por
cierto, a ver, la Wikipedia es de las cosas más interesantes que se han
creado finales del siglo XX, principios del siglo XXI. Yo soy un fan de la
ciencia ficción. A ver, pregunta para los fans de la ciencia ficción.
¿En qué libro de ciencia ficción? En la ciencia ficción aparece algo
que es como la Wikipedia. ¿En qué saga? Más que novela. ¿En qué saga
de ciencia ficción? Pista. Es la única saga de ciencia ficción que ha
tenido el premio a la mejor saga de ciencia ficción de toda la fundación.
Perfecto, Segovia, la fundación de Asimov, ¿no? Yo soy un fan. Un fan.
Sí, muy bien. Perfecto. Pues eso, la Wikipedia en el mundo de la
fundación de Asimov. Bueno. Bueno, pues aquí os he puesto algunas
fórmulas tomadas de la Wikipedia. Ah, muy bien, Segovia. No te dejaré
indiferente. Ahora verás, en esta tutoría verás por qué es importante
la fundación y la psiquistoria. Pregunta, ir pensando. ¿Hay algo en
ciencia dura y física que tenga que ver con la física parecido a la
psiquistoria de Asimov? No hagamos spoiler a los que no se han leído la
psicohistoria por si les interesa. A ver, ¿cómo conectaría la
psicohistoria de Asimov, que es de 1946? Ojo, 1946, la primera versión
apareció en revistas de ciencia ficción americanas, revistas no libros,
con la física profesional de hoy en día. Y algo tiene que ver la tutería
esa pregunta. Bien, pues entonces la Wikipedia de Asimov, no la Wikipedia,
se han puesto algunas fórmulas, todo en este tema, la trigonometría de
las relaciones seno-coseno, funciones transgentes, la tenemos por ahí
jugando. Bien, pues la cinemática del MAS, pues ya sabemos, aquí esta
transparencia es redundante con la anterior, la X, la velocidad y la
aceleración y la relación 1WW. En las frecuencias y los desfasajes que
van apareciendo. Bien, pues ahora lo habéis preguntado antes, hay una
analogía entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular
uniforme. Aquí tenéis una bolita que está dando vueltas con velocidad
constante. Entonces, daros cuenta que yo puedo sacar las coordenadas X e Y.
Un segundo, vamos a ver, es que a la hora se corta la grabación. Vamos un
poquito retrasados, pero tengo que cortar la grabación para luego hacer la
segunda parte o vamos a hacer un pequeño descanso de, si queréis, de,
pues eso, de cinco minutos, ¿vale? Corto la grabación, hacemos un
pequeño descanso y seguimos. ¿De acuerdo? ¿Me seguís? ¿Me leéis?
Vale, corto la grabación. Muy bien.