Ya estamos empezando a grabar esta sesión de hoy del Seminario de
Econometría Aplicada. Y bueno, ya veo que tenemos unos cuantos compañeros
conectados. Está, como digo aquí en presencial, Margarita y Patricia. Y
en internet tenemos a Ana Ruiz, Aurora, Carvallido, Carles, Carlos,
Cipriano, Ignacio, Jesús Alberto, Alberto, Dolores, Manuel Perea, María
José Lara, Victoria Martínez. Un grupo interesante. Vamos a empezar ya,
como digo, con el seminario. Ya estamos grabando y voy a mostrar en
pantalla la presentación que vamos a manejar hoy. Estáis ya viendo todos
en pantalla la página web del seminario, ¿verdad? Os mandó Cipriano un
correo explicando que todo... Todos los contenidos van a estar disponibles
desde esta página web. Es muy sencillo. Tenéis que ir bajando. Igual que
accedéis a Teams desde aquí mismo, ¿no? Desde este enlace. Un poquito
más abajo os explicamos que a medida que se vaya avanzando en el seminario
los contenidos estarán disponibles en diferido a través de este enlace.
¿Lo veis ahí? Siempre hay que ir ahí a buscar los contenidos, ¿de
acuerdo? A ver, porque sigue llegando gente en sala de espera. Entonces,
antes de seguir, vamos a admitir a la gente que va llegando. Vale.
Entonces, está bien la página web. Si pinchamos en este enlace, ahora
veréis que ya hay unos cuantos contenidos disponibles. Se desplegará...
Además, esto es responsive. Esto lo vais a poder ver también en el
móvil, si queréis. Se desplegará un menú como este, en el que ya, si
empezamos a navegar, pues hay unos cuantos contenidos. O sea, hay una breve
introducción que hemos hecho aquí para que todo el mundo lo tenga un
poquito presente. Aquí tenéis también enlaces al software Gretel IR.
Esta parte ya os la explica Cipri el martes, que seguiréis con la parte
práctica los martes a la misma hora, a partir de las 4. Y si vamos
avanzando aquí en la parte superior derecha, pues veremos que aquí
tenéis el vídeo de la semana pasada. ¿Lo veis? El vídeo de la semana
pasada, la sesión que expliqué yo, lo tenéis aquí. Y no solo eso, sino
que tenéis también el PDF que yo estoy manejando en la sesión. ¿Lo
veis? El PDF, el PDF ahí arriba, donde pone presentación del seminario, y
abajo el vídeo. De la misma forma, si seguimos avanzando arriba a la
derecha, este es el vídeo que grabó Cipriano, ¿lo veis aquí? Y ahí
tenéis la presentación que usa Cipriano. ¿Vale? Y así sucesivamente, si
seguimos avanzando hacia arriba y hacia la derecha, pues lo subimos. Y en
los siguientes casos que vamos a ver, tanto conmigo como con Cipriano,
tendréis un caso 2, que es un supuesto básico de regresión lineal
múltiple. Un caso 3, de función de demanda a través de regresión lineal
múltiple. Un caso 4, de función de producción de tipo copduglas. Y ya
tenéis aquí el PDF también. Si los queréis ir ya ojeando, ahí estarán
los casos 2, 3 y 4, que serán los que veremos a continuación. Y de hecho,
si seguimos avanzando arriba a la derecha, aparecerán los casos 5 y 6,
demanda u oferta de tabaco y la tuba de philips. ¿Y ya veis el enlace
ahí? ¿Vale? O sea que todo el material, tanto vídeos como PDFs, irá
apareciendo aquí además con la suficiente antelación. ¿Vale? Fijaros
que ya están 6 casos subidos con la suficiente antelación. ¿De acuerdo?
Entonces vamos a seguir. Vamos a seguir. Voy a seguir yo con la
presentación. Que tocaba en la sesión en la que estamos, que insisto,
estamos dentro de la introducción al seminario. Nosotros, el vídeo de la
semana pasada mío lo tenéis aquí. Y estábamos usando un PDF, que es
este, que vamos a seguir usándolo hoy. ¿Vale? Bueno, por dicho esto,
espera, que tenemos agentes. Tenemos agente, no, ya está toda la gente
dentro del sistema. Vamos a ver, la semana pasada, ¿dónde lo habíamos
dejado? Os enviaremos algún correo más, lo enviará Cipriano de vez en
cuando recordando de dónde podéis encontrar el material. ¿Eh? Pero
bueno, ya veis que va a ser muy fácil. Teníamos este caso, que vamos a
llamarle caso número 1, que es el que estáis viendo con Cipriano,
¿verdad? La semana pasada lo visteis con Greter, cómo empezar a trabajar
con este caso, que es muy sencillo. Habíamos comentado su gráfico.
Habíamos explicado la semana pasada la metodología de mínimos cuadrados
ordinarios de manera muy básica, tanto para lo que es una regresión
lineal simple. A ver, seguimos aceptando compañeros en la sala. Regresión
lineal simple, aquí tenéis lo básico. Y regresión lineal múltiple, que
también habíamos insistido que hay dos planteamientos. Datos originales y
los sumatorios, o mucho más. Lo más habitual, varianzas, covarianzas y
media. Y habíamos insistido mucho que fijaros bien lo que hay dentro de
las matrices. Aparece la n multiplicando a las varianzas y covarianzas y
sólo cuando se haga el cálculo para la estimación de los parámetros
beta1 y beta2 y se haga la inversa de x'x a la menos 1 y se multiplica por
x'y, en ese momento desaparecerán las n's, porque una que multiplica se
simplifica con una que divide. También hicimos un breve recordatorio de
cuestiones básicas de estadística que necesitamos manejar. ¿A que sí?
Por ejemplo, definiciones de esperanzas matemáticas, de varianzas y de
covarianzas. Y hoy vamos a añadir estos conceptos clave que van a ser
imprescindibles para seguir avanzando. En esta diapositiva veis varios
conceptos clave. Veis por una parte el concepto suma de cuadrado residual,
SCR, suma de cuadrado residual. Y tenéis su expresión matricial. La
expresión matricial que es muy importante manejarla que nos permite
calcular la suma de cuadrado residual. La expresión matricial es y'y menos
beta' que multiplica por x'y. Se le puede llamar suma de cuadrado residual
o también de mayúscula de discrepancias, o residuos, o errores. En
definitiva es la suma de cuadrados de los errores. La semana pasada vimos
con todo detalle lo que era x'y. Si trabajamos en desviaciones a las
medias, ahí lo veis ¿verdad? Vector columna de dos filas por una columna.
Y si trabajamos no en desviaciones a las medias sino que trabajamos con los
datos de sumatorios, lo veis ahí. Vector columna tres filas por una
columna. ¿A que sí? O en el supuesto de regresión lineal simple, ahí lo
veis. Vector columna dos filas por una columna. Entonces está claro que
x'y lo tenemos bien identificado ¿verdad? ¿Qué será el beta'? Pues es
el vector traspuesto ¿de cuál? Del vector b que lo veis ahí. Veis el
vector b que tiene tres filas por una columna y tres filas por una columna.
Vector b, tres filas por una columna. Son el vector de estimación de los
parámetros estructurales del modelo. En una regresión lineal múltiple
como esta que vemos aquí con dos regresores x1 y x2 los tres parámetros a
calcular son alfa, beta1 y beta2. Luego el vector b, tres filas por una
columna. ¿Qué será beta'? El traspuesto. Una fila por tres columnas.
¿De acuerdo? Y si estuviésemos en esta estimación de regresión lineal
simple sólo estamos estimando alfa y beta, el vector b sería de dos filas
por una columna y beta' que sería una fila por dos columnas. Bien, ya
tenemos identificado también lo que es beta', ¿qué será y'y? Y era el
vector columna original, el vector columna original de doce filas por una
columna, ¿qué es y'? El traspuesto. Una fila por doce columnas. ¿No?
¿Y'y por i se puede multiplicar? Sí, porque el número de columnas del
vector que premultiplica coincide con el número de filas del vector que
posmultiplica, siendo el resultante una fila por una columna. O sea, es un
número, es una constante. ¿Cómo es posible que podamos hacer un
ejercicio matricial en el que tenemos una constante y'y menos una
expresión matricial beta'x'y, que también habrá de ser una constante?
Vamos a razonarlo. Estas cosas son muy sencillas en la Algebra Lineal, pero
por si acaso lo quiero dejar claro, ¿no? El beta' hemos quedado que era,
en los ejemplos, por ejemplo, en este ejemplo de Regresión Lineal
Múltiple, el beta' quedamos que era una fila por tres columnas. Y el x'y
es tres filas por una columna. ¿Se puede multiplicar? Sí. ¿Cuál es el
resultante? Una fila por una columna. Es un número. Conclusión. Siempre
el resultado de esta expresión matricial que veis ahí, y'y menos beta'
que multiplica por x'y, siempre va a ser un número. La resta de los
números. ¿De acuerdo? Es una constante. A esa constante la llamamos suma
de cuadrados residual. Suma de cuadrados de los errores. ¿De acuerdo? Otro
concepto muy importante. La suma de cuadrados explicada. SCE. También
tenéis aquí una expresión matricial. El beta' x'y es justamente el mismo
beta' x'y que teníamos en la expresión anterior. Es el mismo. ¿Lo veis?
Beta' x'y, por tanto lo hemos reflexionado ya, que es una constante. Una
fila por una columna. ¿Sí o no? A esa constante hay que restarle menos n,
tamaño de la muestra en este ejemplo 12, que multiplica por el cuadrado de
quién? El cuadrado de la esperanza matemática de la variable dependiente
y. ¿Cómo se hallaba la esperanza matemática de y? Fácil, ¿verdad? En
este caso sumatorio de y partido por n. Bueno, si ya tenemos definida la
suma de cuadrados residual y la suma de cuadrados explicada, ahora vamos a
definir la suma de cuadrados total. SCT. Que es suma de cuadrados explicada
más suma de cuadrados residual. ¿Lo veis ahí? Suma de cuadrados total. Y
de ahí saltamos, saltamos al concepto que está abajo del todo, a la
última fila. Pone R cuadrado, coeficiente de determinación, se define
como un cociente. Un cociente. ¿Un cociente entre quién? La suma de
cuadrados explicada dividido la suma de cuadrados total. ¿No? Además se
nos recuerda R cuadrado, coeficiente de determinación, siempre estará
comprendido entre 0 y 1. Porque la suma de cuadrados explicada es más
pequeña con carácter general que la suma de cuadrados total. Más
pequeña. Por tanto, con carácter general R cuadrado estará comprendido
entre 0 y 1. Y R cuadrado, coeficiente de determinación, lo que representa
es una bondad del ajuste a nivel muestral. Bondad de ajuste a nivel
muestral. Si nosotros estamos estimando en regresión lineal simple, lo que
estamos estimando es la ecuación de una recta. Una recta. Una recta de
regresión cuya ecuación es I sub T igual a alfa más beta que multiplica
por XT. Eso es una recta. Que se ajustará mejor o peor a una nube de 12
puntos. Si imagináis una nube en el espacio bidimensional, bidimensional
eje X y eje Y, una nube de 12 puntos, esa recta se ajustará mejor o peor.
¿Y si estamos en una regresión lineal múltiple y pasamos al espacio
tridimensional? Pues I igual a alfa más beta1 que multiplica X1 más beta2
que multiplica por X2 es un plano de regresión. Es un plano, por tanto,
bidimensional. Y ese plano bidimensional se ajustará mejor o peor a la
nube de puntos en el espacio de tres dimensiones X1X2Y. ¿De acuerdo?
Bueno, voy a cambiar de presentación un momentito. Tengo aquí otro caso
que vamos a llamarle el caso 1 bis, caso 1 bis, que es un caso en el que
vamos a empezar a hablar con regresión lineal múltiple. Regresión lineal
múltiple. Es el siguiente caso que con CIPRI vais a ver el martes que
viene. ¿Vale? Caso 1 bis. Claro, ya no es tan sencillo como el que veíais
el martes pasado con CIPRI. En este caso hay dos variables explicativas.
X1, T... Perdón. X2T y X3T. La variable explicada es y las explicativas
son X2 y X3T. ¿Lo veis? Caso 1 bis. Lo vais a ver con CIPRI y con Gretel y
etcétera, etcétera. Claro. Ahí tenéis las gráficas las gráficas
correspondientes a las tres variables objeto de análisis. La variable
dependiente Y y las variables explicativas X2 y X3. ¿Las veis? Y en color
rojo X2 en color azul X3 en color verde. ¿Veis el plano de regresión? Hay
una nube de puntos que están marcados ahí con estas X. ¿Las veis? Esa es
la nube de puntos y veis el plano que es una trama de color rojo, rosaje,
¿verdad? Plano de regresión que se ajustará mejor o peor a la nube de
puntos. ¿De acuerdo? Vale. Volvemos al caso que nos ocupaba. Hombre,
evidentemente nosotros deberíamos tener unos conceptos matemáticos
básicos y estadísticos básicos, claro. Yo ahora todo esto no debería
estar explicándolo mucho. Esto no os va a puntuar nada en el examen, ¿eh?
Todo esto se supone que lo sabéis. Por eso yo no voy a explicarlo justo
pero no voy a profundizar más porque no hay tiempo material de
profundizar, ¿no? Vale. Entonces, insisto. ¿Qué mide R cuadrado? Vamos a
reflexionarlo muy bien. ¿Por qué mide la bondad de ajuste a nivel
muestral? Y solo a nivel muestral con lo poco que eso significa porque a
nosotros no nos interesa nada. Esos 12 puntos que salen de una población
mucho mayor es una simple muestra de las muchas muestras con las que
podríamos estar trabajando. Esta aproximación muestral solo es una
aproximación al problema. Nosotros estamos interesados siempre en el nivel
poblacional. Poblacional. Por tanto, siempre es crítico la parte que
veremos más adelante de inferencia estadística. De pasar de lo muestral a
lo poblacional. Si tuviésemos una sólida base estadística lo que os
estoy contando me estaríais entendiendo muy bien de lo que es una muestra,
de lo que es una población y de lo que implica la inferencia. Bueno, ¿por
qué? ¿Por qué el R cuadrado solo mide la bondad de ajuste a nivel
muestral? ¿Por qué mide eso? Claro, mide eso porque fijaros en la
definición. Suma de cuadrados explicada dividida por suma de cuadrados
total. La suma de cuadrados total sumatorio de i al cuadrado i prima i
sumatorio de i al cuadrado concepto también muy simple de algebra lineal
representa de manera muy sencilla, es una aproximación al total de la
variabilidad de la variable i. Vamos a expresarnos en nuestros términos
coloquiales. Total de variabilidad de la variable i. De ese total de
variabilidad de la variable i hay una parte que viene explicada por el
modelo. Por la recta o por el plano de regresión. Esa parte que viene
explicada por el modelo, la recta o el plano de regresión es lo que
llamamos SCE. Suma de cuadradas explicada por el modelo. Pero hay una parte
que no viene explicada por el modelo. Esa parte que no viene explicada es
el error discrepancia, residuo o perturbación aleatoria. ¿Verdad? La SCR
o D mayúscula. ¿Qué representa por tanto el cociente SCE partido por
SCT? Lo podemos interpretar o en tanto por uno, que es como está en la
fórmula. O si multiplicáis ese cociente por cien, lo podemos interpretar
en tanto por ciento. Si no multiplicamos por cien, tanto por uno. Si
multiplicamos por cien, tanto por ciento. ¿Qué es? Es el tanto por ciento
que representa la suma de cuadrado explicada respecto de la suma de
cuadrado total. Es decir, del total de variabilidad de la variable I la
parte que sí viene explicada por el modelo. Y a eso nos referimos con la
bondad del ajuste a nivel muestral. Parte de variación de I que viene
explicada por el modelo. Hay otra parte que no, que es la discrepancia,
error, residuo o perturbación aleatoria. Bueno, esta parte es muy sencilla
y tampoco tiene demasiada importancia. Es muy sencilla. Mucho más
importante es el concepto penúltimo que veis ahí. El penúltimo que pone
sigma cuadrado igual d mayúscula partido por n menos k. ¿Lo veis ahí
todos? Hoy hablamos un poco de la perturbación aleatoria. Es crítica. La
perturbación aleatoria es crítica. Tenéis que pensar aquí lo ideal es
que tuvieses una base muy sólida de estadística teórica o estadística
probabilística o estadística inferencial. Que viene a ser más o menos lo
mismo. Un buen curso de estadística, en definitiva. No la estadística
introducida o descriptiva que es el preámbulo o antecedente de esto que
estoy diciendo. Si tuviésemos esos conceptos estadísticos claros no
tendríamos ningún problema con ese tema. La perturbación aleatoria o
error o discrepancia o residuo es una variable aleatoria que debe cumplir
cuatro hipótesis de trabajo para que nosotros realmente podamos aplicar
esta metodología de los mínimos cuadrados ordinarios a un planteamiento
lineal lineal, sea recta de regresión o sea plano de regresión estamos
hablando de planteamientos lineales, o sea las variables x no están
elevadas al cuadrado ni son raíces son expresiones lineales las cuatro
hipótesis eran os lo recuerdo esperanza nula homoscedasticidad no
autocorrelación y normalidad o sea el error se comporta con una variable
normal cuya media es cero y tiene una varianza constante a la varianza del
error que por la hipótesis de homoscedasticidad es constante la llamamos
en general sigma cuadrado sigma cuadrado es la varianza de la perturbación
aleatoria o error o residuo o discrepancia y nuestra hipótesis de trabajo
es que es constante sea cual sea el periodo t en el que estamos trabajando
en nuestra serie temporal nuestra hipótesis de trabajo es que esa varianza
se va a mantener constante homoscedasticidad pues bien como se podría
estimar como se podría estimar esa varianza esa varianza que es
desconocida nosotros suponemos que es constante es una hipótesis de
trabajo pero en realidad es una varianza desconocida pues esta expresión
que aparece aquí en penúltimo lugar es una estimación insesgada es un
estimador insesgado de esa varianza de la perturbación aleatoria o error o
sea una forma de estimar esa varianza de la perturbación aleatoria o error
cuál es pues es dividir la suma de cuadrado residual entre qué entre n
menos k siendo n el tamaño de la muestra y siendo k el número de
regresores incluyendo el término independiente es decir en una regresión
lineal simple como esa dos regresores k igual a 2 en una regresión lineal
múltiple como esta tres regresores k igual a 3 en k incluimos el término
independiente este es un concepto importantísimo varianza de la
perturbación aleatoria o error y un estimador insesgado de dicha varianza
que se obtiene a partir de la suma de cuadrado residual bien os acordáis
que habíamos dicho el otro día de los estimadores alfa beta1 y beta2 que
se obtienen por ejemplo por mínimos cuadrados ordinarios con esta
expresión matricial que veis aquí este alfa sería el alfa estimado alfa
estimado alfa con un sombrerito que le pondríamos aquí un sombrerito el
beta1 le pondríamos un sombrerito es el beta1 estimado y el beta2 le
pondríamos un sombrerito beta2 estimado estimado quiere decir que a partir
de una muestra concreta con la que estamos trabajando hemos obtenido una
estimación concreta a la que le ponemos el capuchito otra cosa es que a
nivel poblacional o sea a nivel de cualquier muestra con la que pudiésemos
trabajar cuál es el alfa poblacional cuál es el beta1 a nivel poblacional
y cuál es el beta2 a nivel poblacional la semana pasada os dije todos
estos estimadores de estos parámetros estimador de alfa estimador de beta1
y estimador de beta2 se comportan como una distribución t de studen con
n-k grados de libertad eso quiere decir que son variables aleatorias con
esa distribución que me muestre él pues bien claro esas variables
aleatorias t de studen con n-k grados de libertad como cualquier variable
aleatoria tendrán sus medias y tendrán sus desviaciones típicas y
tendrán pues todas las características de una variable aleatoria su
puntosi, su simetría lo que sea lo que tiene cualquier variable aleatoria
de momento sabemos aquí tenemos gente en la sala de espera perdonad un
momentito sabemos que la distribución es t de studen con n-k grados de
libertad en esta expresión que está aquí ahora la la expresión que
está debajo de la suma de cuadrados total la expresión que pone es una
expresión matricial que pone sigma cuadrado multiplica por x prima x a la
menos uno la veis esa expresión es crítica es muy importante qué
significa qué significa sigma cuadrado lo acabamos de decir sigma cuadrado
significa varianza de la perturbación aleatoria o error y un estimador
insesgado de dicha varianza de la perturbación aleatoria o error acabamos
de decir que sería la suma de cuadrado residual dividido entre n-k pues
ahí veis y por cierto estamos estimando un número es una constante es un
número en términos matriciales una fila una columna una fila por una
columna pues esa constante está multiplicando a la matriz inversa de x
prima x la matriz inversa de x prima x que esa matriz inversa de x prima x
en un caso como éste sería una matriz de dos por dos y en un caso como
éste sería una matriz de tres por tres o sea un número que multiplica
por una matriz ¿cómo se multiplica un número por una matriz? buena
pregunta ¿verdad? algebra lineal muy básica ese número multiplica a
todos los elementos de la matriz ¿vale? a todos los elementos de la matriz
pues esa expresión resultante que evidentemente es una expresión
matricial es la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores de los
parámetros estructurales del modelo repito porque es muy importante es la
matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores de los parámetros
estructurales del modelo imaginaros que estuviésemos en el ejemplo que
estabais trabajando con Cipri el martes pasado dos por dos la matriz X'X a
la menos uno dos por dos la multiplicáis por sigma cuadrado y sigue siendo
una matriz de dos por dos ¿verdad? hay una diagonal principal de esa
matriz de dos por dos una diagonal principal en la que están los elementos
fila uno, columna uno fila dos, columna dos y además de esa diagonal
principal por encima de la diagonal principal está el fila uno, columna
dos y por debajo de la diagonal principal el fila dos, columna uno
deberíamos tener un dominio exquisito de álgebra matricial ya ves que no
estoy explicando muchas cosas porque sé que tenéis un dominio exquisito
de álgebra matricial ya doy por hecho que tenéis un dominio al cien por
cien de álgebra lineal bueno entonces ¿qué será el elemento fila uno,
columna uno? el elemento fila uno, columna uno será la varianza del
estimador de alfa y en el fila dos, columna dos ¿qué tendremos? la
varianza del estimador de beta y en el fila uno columna dos y en el fila
dos, columna uno que va a ser simétrico va a ser simétrico ¿qué
tendremos? la covarianza la covarianza de los estimadores alfa y beta estas
covarianzas a nosotros no nos van a ser útiles ¿de acuerdo? llegado a
este punto dichas covarianzas no van a ser útiles pero las varianzas que
están en la diagonal principal son críticas las varianzas de la diagonal
principal la varianza de alfa y la varianza del estimador de alfa y la
varianza del estimador de beta son críticas y ahora vamos a hacer una
reflexión teórica muy importante si todo lo que os dije el otro día es
cierto y lo que os dije el otro día es que estamos en un modelo helio o
bleue ¿os acordáis? en inglés bleue en castellano helio estimación
lineal insesgada óptima dado que hemos aplicado mínimos cuadrados
ordinarios a una estimación lineal en base a unas premisas a unas
hipótesis de la perturbación aleatoria quedan cuatro normalidad,
esperanza nula no autocorrelación y que me queda homosedasticidad claro,
insesgado y óptimo si es insesgado ¿cuál será la esperanza matemática
de alfa capuchito? del estimador de alfa respuesta, si es insesgado esa
esperanza matemática será igual a alfa al alfa poblacional ¿de acuerdo?
la esperanza matemática de la variable aleatoria que estamos utilizando
para estimar dicho parámetro estructural variable aleatoria que tiene una
distribución en el muestreo t de student con n-k grados de libertad dado
que dicha estimación es insesgada dicha esperanza matemática coincide con
el parámetro que pretendemos estimar a nivel poblacional ¿de acuerdo? es
una afirmación muy importante la varianza de dicho estimador la varianza
del estimador alfa capuchito ¿de dónde la estamos sacando? de esta
expresión matricial que tenéis en pantalla de la expresión matricial
sigma cuadrado que multiplica x prima x elevado a menos uno y concretamente
de la diagonal principal concretamente del elemento fila uno, columna uno
si el estimador es bueno si el estimador es eficiente si el estimador es
óptimo es que esa varianza que sale de esa estimación matricial fila uno,
columna uno es pequeña es mínima para que sea óptimo y para que la
eficiencia sea máxima dicha varianza sea mínima no sólo nosotros en
realidad en la práctica no vamos a trabajar con la varianza vamos a
trabajar con la desviación típica que es la raíz cuadrada de la varianza
por tanto nos tenemos que quedar con una idea nuestro estimador alfa que es
una distribución en el muestreo TED-STUDENT con n-k grados de libertad
tiene dos características básicas su media y su desviación típica la
media dado que es insesgado, la esperanza matemática dado que es insesgado
es el parámetro alfa que queremos estimar a nivel colacional y la
desviación típica de dónde se saca se saca de esa diagonal principal de
la matriz sigma cuadrado que multiplica x'x a la menos uno ahí estaría la
varianza en el fila uno, columna uno y aplicando raíz cuadrada tendríamos
la desviación típica toda esta información que os he dado es crítica
para el siguiente paso que es el más importante de todos ahora estamos
llegando a la hora de la verdad aún nos queda mucho en realidad pero
bueno, estamos bastante más cerca esto ya es muy importante claro porque
os dije antes, vamos a ver el r cuadrado a nivel muestral nos mide la
bondad del ajuste si r cuadrado nos da cero cero ocho cero ocho es que a
nivel muestral al nivel de los doce puntos con los que estamos trabajando
la resta que estamos calculando pasa por el 80% de los puntos de la nube
por decirlo de alguna manera así gráfica y no pasa en absoluto por el 20%
restante o mucho mejor dicho el modelo representado por esa resta explica
el 80% de la variabilidad de la variable dependiente que pretendemos
explicar habiendo un 20% de error de residuo de discrepancia que no está
explicado por el modelo variabilidad de i que no explica por el modelo y
por tanto es el error pero francamente eso a nivel muestral es poco
relevante lo que es mucho más relevante es esto la parte de inferencia
estadística la inferencia estadística como todos sabéis nos lleva de la
muestra a la población aquí vamos a plantearnos cuestiones relativas a la
población a lo que está pasando al nivel poblacional ¿qué tenéis en
pantalla? tenéis una reflexión teórica muy sencilla que todos
deberíamos manejar muy bien que es oye cómo se hará cómo se hará un
proceso de inferencia estadística eh como el que aquí tenemos que
plantear es decir imaginaros que yo tengo un parámetro beta el beta de la
relación lineal simple por ejemplo ¿no? que pretendo estimar a nivel
poblacional y de momento lo que he calculado con este metodología de
mínimos cuadrados ordinarios he calculado el beta capuchito que al final
bueno podría demostrar que es la covarianza de i respecto a x partido por
la varianza de i o sea es un número que he estimado ya bien tengo su
estimación a nivel muestral pero yo ahora me pregunto ¿pero qué estará
pasando a nivel poblacional? ¿qué estará pasando? y me planteo un
proceso de inferencia estadística un contraste de hipótesis que se llama
inferencia estadística a nivel individual individual porque me estoy
centrando en un solo parámetro el beta después en un segundo paso me
podría centrar en otro parámetro distinto el alfa serían planteamientos
individuales por separado para beta y para alfa recordad cómo se trabajan
los contrastes de hipótesis en estadística ¿qué es lo primero que
hacemos siempre? definir unas hipótesis la hipótesis nula y la
alternativa ¿cuál es el segundo paso que hacemos siempre? definir un
estadístico de contraste nos suena ¿verdad? el estadístico de contraste
adecuado para esas hipótesis ¿cuál es el tercer paso que hacemos
siempre? definir en consecuencia las regiones críticas y las zonas de
aceptación y de rechazo de las hipótesis zonas de aceptación y de
rechazo ¿en base a qué? en base a lo que llamamos una región crítica
que tiene que ver el tamaño de dicha región crítica tiene que ver con el
nivel de significación que queramos asumir en dicho contraste de
hipótesis una vez que tengamos definidas esas zonas de aceptación y de
rechazo en base a ese tamaño de la región crítica y en función del
nivel de significación lo último que tenemos que hacer el último paso es
verificar si nuestro estadístico de contraste que nos ha dado lugar a un
dato concreto a un dato que llamamos empírico el resultante de este
contraste concreto si ese resultado empírico del estadístico de contraste
cae en la zona de aceptación se acepta la hipótesis nula y si el
estadístico empírico de contraste cae en la zona de rechazo se rechaza la
hipótesis nula esto suena a estadística en estadística nos dedicamos
todo el tiempo a hacer esto estas cuatro fases del contraste pues bien,
fijaros porque aquí tenemos ya unas hipótesis tenemos una hipótesis
aquí hipótesis nula H0 la veis abajo hipótesis nula H0 que el parámetro
beta a nivel poblacional el parámetro estructural beta a nivel poblacional
sea cero una alternativa H1 que dicho parámetro beta a nivel poblacional
sea distinto de cero esto es una forma de plantear el contraste ¿no? lo
podríamos plantear de muchas otras formas podríamos haber planteado
hipótesis nula que beta sea igual al número que vosotros queráis 1,76 o
cualquier otro se puede plantear el contraste como queramos como queramos
una forma muy práctica de hacerlo y muy sencilla de hacerlo es plantear
hipótesis nula que beta es igual a cero ¿por qué? porque es muy
práctico y muy sencillo y muy útil el beta está multiplicando ¿por
quién? acordaros en nuestro modelo econométrico ¿por quién multiplicaba
beta? por x y si no fuese una regresión lineal simple y fuese una
regresión lineal múltiple habría un beta 1 multiplicando por x1 y un
beta 2 multiplicando por x2 o un beta 2 multiplicando por x2 y un beta 3
multiplicando por x3 etc etc etc si esos betas son cero ¿qué implica
inmediatamente desde el punto de vista económico barra econométrico?
económico en definitiva si ese beta es cero es que dicha variable x al
multiplicar por cero se va del modelo no es significativa en el modelo eso
ya tiene una interpretación económica directa esa variable x que tendrá
una interpretación económica concreta no es significativa en el modelo
explicativo si el beta es cero por el contrario si el beta es distinto de
cero esa variable económica x si tendrá un peso tendrá un papel
explicativo en el modelo no se va del modelo no multiplica por cero por
tanto no se va del modelo por tanto es muy útil y muy pragmático plantear
de esta forma las hipótesis beta igual a cero beta distinto de cero
insisto se puede plantear de otras muchas formas pero una forma muy
sencilla y muy práctica de hacerlo es esta claro en la parte de arriba
tenéis toda una formulación lo veis en la parte de arriba que vosotros
deberíais conocer porque es de estadística pura y dura ahí dice una t de
studen con n-k grados de libertad si mi estimador beta capuchito se
comporta como una t de studen con n-k grados de libertad cuál debería ser
el estadístico de contraste a utilizar en este proceso de inferencia
fijaros en la expresión que está a la derecha del todo que es la que
seguro que vais a recordar más fácil la que está a la derecha del todo
pone beta i perdón pone bi no beta bi menos beta i dividido por d
paréntesis bi qué será el bi que está en el numerador será el valor
que nosotros hemos estimado concretamente en este caso por mínimos
cuadrados ordinarios el valor que hemos estimado para ese parámetro beta o
sea es la estimación muestral concreta que hemos obtenido para el
parámetro beta eso es el bi menos donde pone beta i en el numerador eso
sería el valor que la hipótesis nula establezca para el parámetro a
nivel poblacional en este caso hemos reflexionado que podría ser cero una
forma práctica de hacerlo ¿verdad? repito valor que la hipótesis nula
establezca para el parámetro a nivel poblacional por ejemplo cero podría
ser otro pero por ejemplo cero y en el denominador qué significará d
paréntesis bi d paréntesis bi significa la desviación típica del
estimador del parámetro beta desviación típica del estimador del
parámetro beta que nosotros hemos obtenido de qué expresión matricial
hemos obtenido de la expresión matricial sigma cuadrado que multiplica x
prima x a la menos uno de la correspondiente diagonal principal si en este
caso hablamos no de alfa y hablamos de beta hablamos del fila dos columna
dos ¿vale? bueno por tanto ya tenemos un estadístico de contraste típico
estadístico de contraste típico que además nosotros podríamos calcular
a través de esta fórmula que veis arriba a la derecha podríamos calcular
lo que se define como el T empírico o sea el estadístico de contraste
empírico con ese bi que hemos calculado a nivel muestral con esa
desviación típica de bi que hemos también calculado a nivel muestral y
estableciendo la hipótesis nula de que beta es igual a cero operáis y os
da un número concreto un dato concreto del estadístico de contraste
empírico ¿de acuerdo? vale y ahora hay que definir como tercer paso las
regiones críticas y las zonas de aceptación y de rechazo y abajo veis
veis una gráfica que se parece a la normal se parece a la típica campana
de Gauss ¿verdad? pero no es la normal es la T de Studen con n-k grados de
libertad que tiene un comportamiento gráfico similar a la normal T de
Studen con n-k grados de libertad y aparece ahí menos tc y más tc ¿lo
veis? menos tc y más tc esos no son los T empíricos esos son los T
críticos ¿qué es eso del T crítico? que no es el T empírico recordad
estadística todo esto lo sabemos de estadística ¿qué es el T crítico?
en la práctica es un valor que sacamos de unas tablas de la T de Studen
¿os acordáis? es un valor que sale de una tabla pero ¿cómo lo sacamos
de la tabla? sabiendo dos cosas en el caso de la T de Studen los grados de
libertad n-k y sobre todo el nivel de significación ¿os acordáis de
cómo se manejan las tablas? ¿qué es el nivel de significación en un
contraste de hipótesis? os voy a recordar varios conceptos básicos de
cualquier contraste de hipótesis vamos a ver nosotros podemos cometer
varios tipos de errores básicamente dos tipos de errores el error de tipo
1 y el error de tipo 2 el error de tipo 1 tiene que ver con el nivel de
significación y el error de tipo 2 tiene que ver con la potencia del
contraste hay dos grandes conceptos en los contrastes el nivel de
significación y la potencia ¿os suena? vale vamos con el error de tipo 1
que tiene que ver con el nivel de significación el error de tipo 1
consiste en rechazar la hipótesis nula cuando ésta es cierta rechazar la
hipótesis nula cuando ésta es cierta la probabilidad de que se cometa un
error de tipo 1 es el nivel de significación y lo contrario del nivel de
significación se llama nivel de confianza por tanto el nivel de confianza
nos da la probabilidad de no cometer ese error de tipo 1 la probabilidad de
no rechazar la hipótesis nula cuando sea cierta en la práctica ¿con qué
valores solemos trabajar de nivel de significación habitualmente? solemos
trabajar con el 1% o con el 5% eso es lo habitual podríamos trabajar con
cualquier otro con lo que nos dé la gana pero habitualmente el 1% o el 5%
si el nivel de significación es el 1% el nivel de confianza es el 99% si
el nivel de significación es el 5% el nivel de confianza es el 95% el
nivel de significación nos da el tamaño de la región crítica la región
crítica se dibuja en función de lo que nos diga la hipótesis alternativa
H1 ¿os acordáis? y en ese caso siempre había dos grandes opciones los
contrastes unilaterales o los contrastes bilaterales en el caso que tenemos
pintado en la pantalla es un contraste bilateral porque la hipótesis
alternativa H1 que dice β distinto de 0 y distinto significa que o bien es
mayor que 0 o bien es menor que 0 ¿qué habría sido un contraste
unilateral? habría sido aquel en el que la hipótesis alternativa opta por
sólo una de las dos opciones o mayor o menor pero no ambas pero dicho esto
como estáis viendo ahí en el β distinto de 0 ya implica automáticamente
una región crítica de dos colas a la derecha de más tc y a la izquierda
de menos tc ¿verdad? a la derecha de más tc y a la izquierda de menos tc
región crítica de dos colas si el nivel de significación fuese el 1% el
área el área que tiene esta gráfica que veis aquí a la derecha de más
tc y a la izquierda de menos tc sería un área igual a 0,01 y por tanto el
área entre menos tc y más tc sería el 99% aquí tenemos pintado otra
cosa aquí pone 95% entre menos tc y más tc porque estamos trabajando con
un nivel de significación del 5% con lo cual a la derecha de más tc
habrá 2,5% de probabilidad y a la izquierda de menos tc 2,5% de
probabilidad ¿vale? 0,025 a la derecha 0,025 a la izquierda bueno ya no os
digo nada de que en realidad todas estas áreas se darían con integrales
integrales porque la distribución t de student es continua continua
integrales y nosotros deberíamos saber calcularlo eso es lo que se estudia
en estadística ¿verdad? os voy a pedir que cerréis unos micros por favor
para que no tengamos retornos ¿a qué sabríamos hacerlo con cálculo
integral? yo creo que se estudia en estadística el cálculo integral a
hacer funciones de tipo continuo ¿a que si? os va sonando ¿no? bueno pues
ya por último por último si hemos dibujado la región crítica o zona de
rechazo porque hemos sacado de la tabla t de student con n-k grados de
libertad y con el nivel de significación requerido por ejemplo 5% esos t
crítica y menos t crítica el último paso del contraste ¿cuál es?
comprobar si ese estadístico que estaba arriba a la derecha arriba a la
derecha, el t empírico t empírico es el que sale de este cálculo
muestral concreto comprobar si ese t empírico cae o bien en la zona de
aceptación o bien en la zona de rechazo la zona de aceptación es la zona
comprendida entre menos tc y más tc de área 0,95 de nivel de confianza
95% y la zona de rechazos a la derecha de más tc y a la izquierda de menos
tc con un área total del 5% 0,05 distribuida en dos colas iguales de 0,025
¿os suena verdad que si? bueno, pero podemos hacer también y esto lo
explicaremos el próximo día porque no nos da tiempo hoy otro tipo de
inferencia podemos hacer una inferencia que no sea a nivel individual es
decir a nivel de parámetro por parámetro primero alfa después beta 1
después beta 2, después beta 3 y así sucesivamente de forma individual
hay otra alternativa que es lo que se llama la inferencia a nivel global no
parámetro estructural por parámetro estructural a nivel global el enfoque
es distinto el enfoque es coger el modelo en su conjunto ¿qué es eso del
modelo en su conjunto? en la regresión lineal simple la resta de
regresión en la regresión lineal múltiple con solo dos regresores x2, x3
o x1, x2 el plano de regresión etcétera ¿no? el modelo en su conjunto y
ver si ese modelo es adecuado o no adecuado válido o no válido en
términos para que me entendáis muy intuitivos vendría a ser algo así
como decir hipótesis nula no simplemente que beta sea igual a cero sino
que hipótesis nula que todos los betas todos sean simultáneamente iguales
a cero ¿por qué? porque si todos los parámetros estructurales son
simultáneamente iguales a cero ¿qué le ocurre al modelo? que se evapora
desaparece, no hay modelo ¿me entendéis? esa es la filosofía de la
inferencia a nivel global, la inferencia a nivel global ya no trabajamos
con la T de student trabajamos con la F de Fisher o de Snedecor la F de
Fisher o de Snedecor a su vez si repasáis estadística depende de las
distribuciones chi cuadrado aquí tenéis ahora dos distribuciones chi
cuadrado que lo veremos el próximo día y tendremos que reflexionar
tendremos que reflexionar cómo se plantea cómo se plantea todo esto y en
los tres minutos que nos queda, os dije el otro día que era muy importante
la salida del ordenador ¿verdad? lo que estáis viendo con Cipri ¿verdad?
pues mirad, aquí ya tenemos calculado lo que nos da, donde pone
desviación típica, lo veis en esta columna donde pone el coeficiente ya
sabéis que este es el alfa estimado alfa capuchito 86.2905 y el beta
estimado, beta capuchito menos 1,10056 veis donde pone desviación típica
eso ha salido ¿de qué matriz? sigma cuadrado que multiplica por x prima x
a la menos uno de la diagonal principal las varianzas y tomando raíces
cuadradas las desviaciones típicas fila 1, columna 1 8,88456 fila 2,
columna 2 0,317864 siguiente columna donde pone estadístico t los t
empíricos los t empíricos os recuerdo bi menos beta i dividido de
paréntesis bi que es el estadístico de contraste que hemos reflexionado
¿verdad? 9,7124 resulta de dividir 86,2905 entre 8,88456 menos 3,4624
resulta de dividir menos 1,10056 entre 0,317864 ¿de acuerdo? esos son los
t empíricos si tuviéseis unas tablas con 10 grados de libertad y con un
nivel de significación en el que vosotros queráis ya resolveríais el
contraste o alternativamente con lo que pone aquí a la derecha el valor de
probabilidad que es una forma alternativa de hacerlo el valor de
probabilidad esto también lo veremos el próximo día veis el triple
asterisco 0,0001 y 0,000610 ambos son números más pequeños que 0,01 1%
del nivel de significación o incluso 0,05 5% del nivel de significación
esos valores de probabilidad son más pequeños que los dos niveles de
significación con los que solemos trabajar el 1% o el 5% cuando esto
ocurra el próximo día reflexionaremos el porqué y es muy importante
dedicar un buen rato a reflexionarlo cuando eso ocurra vamos a rechazar las
hipótesis nulas y vamos a aceptar las hipótesis alternativas y sí vamos
a considerar significativos los parámetros estructurales o sea, no se va X
del modelo y ni siquiera se va alfa del modelo me estoy explicando,
¿verdad? pues hasta aquí por hoy ¿vale? esto que hemos visto es todo muy
importante ahora con Cipri el martes vais a seguir trabajando con el caso 1
y con el caso 1 bis igual todavía no el caso 1 bis que es una regresión
lineal múltiple que ya tenéis los datos ya los tenéis en vuestro enlace
lo podéis bajar ya en casa ese caso 1 bis regresión lineal múltiple yo
lo empezaré a explicar también el próximo día ¿vale? pues nada, oye
gracias por asistir y nos vemos yo el próximo viernes y con Cipri lo veis
el próximo el próximo martes, ¿verdad?