¡Gracias! Gracias! ¡Gracias! Muy buenas tardes ¡Gracias! Y bienvenidos
a la segunda tutoría del tema 1 de vibraciones y ondas Antes estaba
sonando la sintonía de mis tutorías, que es la canción del físico de
partículas ¿Me decís si me escucháis bien a mí ahora? ¿Me escucháis
bien? Vale, perfecto Muy bien Pues vamos a comenzar la tutoría 2 que es
dinámica como podéis ver en el tutorial con el título dinámica de
movimiento armónico simple o dinámica de las oscilaciones libres Lo que
vamos a plantear en esta tutoría es cómo a partir de las leyes de la
física descubrir si sistemas con un grado de libertad que es de lo que va
el tema 1 oscilan como un movimiento armónico simple Si la contestación
es que sí que el sistema oscila con un movimiento armónico simple, la
solución es la que vimos La solución es la que vimos en la tutoría
anterior con la normalización coseno. En la transparencia que tenéis,
pues es un diagrama conceptual, empieza con el paladro dinámica de un
sistema físico y nos vamos por la izquierda, seguimos a aplicar la segunda
ley de Newton o aplicar la ley de conservación de la energía. Si
aplicamos la segunda ley de Newton a nuestro sistema con un grado de
libertad, lo que tendremos es que la suma de todas las fuerzas que actúan
sobre la partícula es igual a la masa por la aceleración de la partícula
del grado de libertad visto por un observador de inercia. Si nos fijamos en
el principio de conservación de la energía mecánica, tendremos que la
energía mecánica del sistema, que es igual a su energía cinética más
su energía potencial, si no hay rozamientos, es constante y podemos
derivar respecto al tiempo esta ecuación, derivada de la energía
mecánica, que será la derivada de la energía cinética respecto del
tiempo, más la derivada de la energía potencial respecto del tiempo. Al
ser una constante, esta derivada es cero. Pues o bien de una manera o bien
de otra, de lo que se trata es de ver si la ecuación diferencial a la que
nos lleva o bien plantear la segunda ley de Newton o bien plantear la
conservación de la energía mecánica y tomar la derivada, si es de la
forma de la plantilla aceleración del grado de libertad más una constante
que no depende del tiempo por posición igual a cero. Y aquí lo mismo, si
nos lleva esta plantilla, x cuadrado más omega cero cuadrado x igual a
cero. Si por ambos caminos o por cualquiera de los dos caminos
encontramos... Si por ambos caminos encontramos la plantilla aceleración
más constante por posición igual a cero, diremos que nuestra dinámica
viene regida por un más y la solución es la que vimos en la clase
anterior, x de t igual a una amplitud a por coseno de la frecuencia natural
más el desfasaje con las condiciones iniciales. Pues digamos este es el
esquema que hay que tener en mente en toda la lección. Bueno, se me ha
olvidado comentaros que ya estamos grabando, ya está la grabación
funcionando. La he puesto al principio con la sintonía para que no se me
olvidara. Y si alguien quiere hacer algún comentario o alguna duda,
seguimos. Alguna reflexión que se me ha olvidado decir antes de comienzo
de la clase. No decís nada en el chat, pues seguimos, ¿no? O si alguien
quiere comentar cualquier cosa, como siempre, pues estoy un poco pendiente
del chat y me lo decís. Bien, pues seguimos con este plan en la cabeza. A
ver, dice Mel Moussa4, vamos a ver la asignatura ecuaciones
diferenciales... Pese a qué te refieres. Vamos a ver, E2, ecuaciones
diferenciales ordinarias. Parciales no. El fenómeno de las parciales
estará cuando lleguéis en ondas. Digamos que osciladores son ecuaciones
diferenciales ordinarias y ondas ya ecuaciones en derivadas parciales.
Vale. Pues seguimos. Vale. Pues eso, recordad. Simplemente que el patrón,
si el patrón al que llegamos es esta ecuación diferencial... Pues ya
tenemos una solución que es la que vimos en el tutorial anterior y la
tenemos ya una solución física en función de las condiciones iniciales,
posición inicial, velocidad inicial y para el desfasaje en función de la
posición inicial y la velocidad inicial para cada problema dada la
amplitud por esta expresión y dado el desfasaje por esta expresión en una
normalización que es la de mis notas que es coseno. x de t igual a coseno
de omega cero t más delta. Esto es una oscilación que como ya vimos en la
clase anterior pues viene bien representarlo como una flecha con dos
cabezas. Una oscilación que unas veces dado este problema estarás a la
derecha con x de t y en otro instante estarás a la izquierda de la
posición de equilibrio con x de t. Si realizamos el diagrama de suelo
libre que lo tenéis aquí, me voy un momentito a borrar. Me ha durmido
esto, a ver un segundo. Vale, pues si hacemos el diagrama de suelo libre en
un instante dado, es decir, yo puedo hacer el diagrama de suelo libre
cuando la masa M está a la derecha o cuando está a la izquierda de la
posición de equilibrio. Y lo haga de una manera o de otra la dinámica no
cambia, debo obtener el mismo resultado. Vale, pues aquí cojo un instante
de tiempo. ¿Qué fuerzas actúan sobre la masa M? Separo la masa M del
muelle. Pues la... La reacción normal que hace el suelo sobre la masa,
reacción normal. El peso que hace la gravedad sobre la masa y la fuerza
que hace el muelle sobre la masa. Pues bien, aplico la segunda ley de
Newton en el eje vertical. El sistema de referencia es x, y, que he puesto
aquí. En el eje vertical no hay aceleración, toda la aceleración está
en el eje de las x. Pues en el eje vertical, normal menos mg igual a cero.
La reacción normal es igual al peso. No estamos suponiendo fricción. Es
un suelo suficientemente pulido para despreciar la fricción. Y en el eje
de las x me queda menos kx igual a m por a. Con la notación a igual a x
dos puntos, me queda mx dos puntos. Paso menos kx a la derecha. Cambia de
signo y dividiendo por la masa. Y que he obtenido el patrón de un más.
Luego vuelvo al principio del problema que es aquí y diré que esta
dinámica, debido a que su ecuación diferencial cumple la condición
aceleración más constante por posición igual a cero e identifico esa
constante que no depende del tiempo k partido por m con omega cero
cuadrado. Luego esto es una dinámica de un sistema que obedece un más con
una frecuencia natural k partido por m, por lo tanto w sub cero igual a la
raíz de k partido por m. Pues bien, llamaremos a este sistema con un grado
de libertad el representante canónico de todas las oscilaciones con un
grado de libertad. De alguna manera cualquier otro sistema físico con un
grado de libertad sería equivalente a un muelle horizontal que oscila
sobre una superficie de rotación. Un rozamiento despreciable. ¿Preguntas,
observaciones? Seguimos. Vale, pues si esto fuera un problema ya con
números, como hemos identificado de la ecuación diferencial nuestro
patrón, eso nos permite identificar quién es la frecuencia natural y
directamente el periodo como la inversa 2pi partido omega cero. Si el
problema tuviera números ya sé que la solución es x de t es una amplitud
por un coseno donde la amplitud y el desfasaje están dadas en función de
la frecuencia natural. De la posición y la velocidad inicial que deberían
de ser datos que están en el enunciado del problema o información en el
problema que me permita encontrar esos datos. Vale, el siguiente sistema
que vamos a ver es las oscilaciones del péndulo ideal. Pues el péndulo
ideal es una masa m, una bolita de masa m que cuelga de un hilo de longitud
l. El hilo es ideal en el sentido de que es inextensible. Y consideraremos
que estamos... Pues la gravedad es toda vertical y hacia abajo, g. Y las
oscilaciones que van a aparecer sobre ese péndulo se deben a la acción de
dos fuerzas en todo instante de la trayectoria. Aquí tenéis la
trayectoria de la bolita, que es una circunferencia. En todo instante de la
trayectoria las fuerzas que actúan sobre la bolita son la tracción
gravitatoria, que es el peso, y la fuerza que hace el cable sobre la masa
m, que es la tensión. Como la cuerda es ideal, la tensión va a ser
constante. Y veremos que en este problema vamos a fijar como grado de
libertad el ángulo tecta. El ángulo tecta es el ángulo que forma con la
vertical, en cada instante de tiempo, con la vertical, el ángulo que forma
el hilo. Bien, pues entonces vamos a aplicar la segunda ley de Newton.
Resultante, que es la suma de todas las fuerzas que actúan, es igual a la
masa por la aceleración. ¿Qué aceleración? La de esta masa m respecto
de o. Pues solo voy a pintar aquí mi sistema de referencia. x e y. Vale,
pues observo que la descomposición que tengo de fuerza, bueno, la fuerza
sin descomponer es la tensión y el peso. Y me queda en el eje de las x, me
queda masa por aceleración en el eje de las x, igual a menos t seno
detecta, mirad el t seno detecta. Y en el eje vertical, masa por
aceleración, componente y de la aceleración, igual a t menos coseno
detecta menos mg. ¿Algún problema? ¿Todo el mundo sabe llegar aquí?
¿Algún problema? ¿Alguna observación? Vale, perfecto. Bien, pues ya
adelanto que el péndulo ideal no es un más a menos que no lo
linealicemos. Linealizar es considerar ángulo pequeño. Si considero
ángulo pequeño, entonces ¿qué ocurre? Que para ángulos pequeños el
seno detecta, recordad que el seno detecta, el desarrollo de Taylor del
seno, el seno detecta, es aproximadamente detecta, a primer orden, y coseno
detecta es aproximadamente 1. Luego puedo sustituir el seno detecta por
detecta y el coseno detecta por 1 para ángulos pequeños. Entonces
sustituyendo esto en esta ecuación obtenemos masa por componente x de
aceleración aproximadamente igual a menos t por detecta, he sustituido el
seno por detecta, y coseno lo he puesto por un 1. Entonces en estas
ecuaciones puedo introducir la geometría donde seno detecta es x partido
por l, coseno detecta es y partido por l, x entonces es l seno detecta, y
en la aproximación de ángulos pequeños x es l por detecta e y es l por
coseno detecta que es l. Por lo tanto, la x dos puntos me va a quedar l que
es constante por detecta dos puntos y como la y es l a primer orden, pues
la y dos puntos me da 0. Luego toda la dinámica... Se va a quedar en la
primera ecuación y la y dos puntos igual a cero, lo único que te dice es
que la tensión m por y dos puntos es 0, que la tensión es mg. La tensión
es aproximadamente mg y la dinámica es m por x dos puntos aproximadamente
a primer orden menos mg x partido por l. Observación pregunta, se llega
aquí, ¿vale? ¿Seguimos? ¿Bien? ¿Por qué usamos dicha aproximación? J
guardiola, usamos dicha aproximación porque si no se usa esa
aproximación, primera contestación, las oscilaciones del péndulo no son
un más. La pregunta es interesante. Primero, el péndulo no es un más
porque date cuenta que aparece un seno. El patrón de una dinámica de un
más es aceleración más constante por posición. Si te aparece una
función de la posición ya no es un más. ¿Se entiende eso? Y anotar que
el péndulo no linealizado, el péndulo con el seno detecta, tiene una
solución exacta pero que se corresponde con una de las funciones de la
matemática. ¿Alguien me lo sabe? ¿Lo dice en el chat? El péndulo
linealizado tiene solución, que es el movimiento armónico simple. La
pregunta es, si yo no linealizar al péndulo, si dejara el seno detecta, la
ecuación diferencia. ¿La ecuación diferencial a la que llego tiene
solución exacta? ¿Alguien se lo sabe? ¿Ecuaciones del caos tienen que
ver con eso, Melmolusas? Sí, pero bueno, no es que veamos las ecuaciones
del caos. Eso es, de mozos necesitan las integrales elípticas. Necesitan
en concreto las integrales elípticas de Jacobi. Las integrales elípticas
de Jacobi son una generalización de las integrales trigonométricas con
dos parámetros, uno es el parámetro elíptico Y resulta que en vez de
usar el seno, usas el seno de Jacobi. El seno de Jacobi, esa función
helística es la solución exacta del péndulo. Nosotros no lo vamos a ver.
El año pasado hice unas notas y me lo pedís en el foro. Pues usó unas
notas si queréis una pequeña y jugar con matemática. ¿Cuándo se dan?
Pues la verdad es que te puedes pasar la carrera sin darla de motos 3. Yo
me pasé la carrera sin darla. Me las tuve que estudiar cuando me introduje
en investigar temas de caos. Muy bien, pues subir eso. Unas notas no son
muy matemáticas. Son de andar por casa y conectar rápidamente con
matemática porque con matemática puedes jugar con las funciones
helísticas. Las funciones helísticas de Jacobi tienen... La gran
propiedad física que tienen desde mi punto de vista es que el parámetro
helístico varía entre 0 y 1 y barra toda la forma de onda entre el seno
para m igual a 1 y para m igual a 0 la onda cuadrada. Digamos que tienes un
parámetro que variando sus infinitos valores entre 0 y 1 es el significado
del parámetro helístico te da todas las formas de onda. Y eso pues hasta
se puede jugar con matemática y entre cacharrear con matemática de las
notas alguien nos puede hacer una idea. Pues bueno, luego entre hoy y
mañana lo subiré y yo lo pondré en el foro. Pero aquí estamos con las
oscilaciones del movimiento armónico simple. Entonces tenemos que
linealizar y lo ponemos aquí, ¿vale? Muy bien, pues entonces observo que
en esta ecuación diferencial pues ya voy a poner el igual paso todo esto
positivo y me queda aceleración más constante por posición igual a 0. Si
no hubiera linealizado, observar que lo que obtendría a ver dónde lo
puedo poner voy a borrar el trazo este que me ha salido que no sé... La
pantalla es táctil en cuanto no me di cuenta le paso el dedo me aparecen
trazos. Vamos a ver si lo barro. Vale, pues digo que me hubiera salido x
dos puntos más g partido por l seno detecta si no hubiera linealizado. Y
entonces tendría que decir que esa ecuación diferencial no es un más
porque no es de la forma aceleración más constante por grado de libertad
igual a 0 sería aceleración más constante por seno del grado de libertad
igual a 0. En cambio la linealizada sí, esto es un más porque tiene un
valor de 0. Tiene la forma aceleración más constante por posición más
constante por grado de libertad igual a 0 donde la constante que hace el
papel de frecuencia natural pues es g partido por l. Pues bien, esta es la
frecuencia natural al cuadrado esta es la frecuencia raíz de g por l y
tomando la inversa me da el periodo. Pues ya si tuviera el problema
números con las condiciones iniciales construiría la solución.
Preguntas, ¿entienden? Daros cuenta de lo importante que es siempre hacer
el análisis de fuerzas es la clave de la dinámica de desoxidación es
saber hacer muy bien el análisis de fuerzas aplicando las leyes de Newton.
Podéis también usar con la mecánica del primer cuatrimestre construir el
de Arangiano y las ecuaciones diferenciales a las que se llega son las
mismas. Pero ojo con el tema de lograr Arangiano y los Hamiltonianos porque
mi modesta opinión tanto de estudiante como luego de profesor es que la
gente acaba en las facultades de física sabiendo no renormalizar y
haciendo lo mismo que la gente con teoría cuántica de campo pero no se
sabe aplicar la tercera de Newton. Bien. para observar los problemas de la
dinámica. No es más ni eres más listo porque saques las ecuaciones de la
mecánica a partir del método de Lagrange o de Hamilton frente a la
tercera de Newton. De hecho, yo diría que es mucho más fácil sacarla con
la dinámica lagrangiana o hamiltoniana que no con la dinámica vectorial.
Y ahora veréis por lo que quiero decir. Bien, pues el siguiente ejemplo
que vamos a ver es el de las oscilaciones elásticas. Vamos a considerar
que tenemos por elasticidad una barra inicialmente de longitud L que por
tracción, por fuerzas F que tiran de los extremos de la barra hacen pasar
la barra de longitud L, la barra pasa de longitud L a una longitud esterada
L más X. Pues la teoría de la elasticidad nos dice que el cociente
tensión bajo ciertas condiciones ideales el cociente tensión-deformación
es constante siempre que las deformaciones sean menores, por ejemplo, que
el 0,1% de la longitud. Esta tensión es una presión, es fuerza por
superficie imaginar que esta barra es un alambre. Pues fuerza partido
superficie y ¿qué es la deformación? La longitud X que has aumentado
partido la que tenías inicial. Bien, ese cociente tensión partido
deformación es igual a menos, un menos compuesto, que es el menos de la
ley de Hooke, este Y mayúscula que es el coeficiente de Young del
material. Esto es coeficiente de Young. Vale, entonces yo puedo despejar la
F que está haciendo tracción sobre el sistema físico y podría poner
aquí mejor vector F igual a menos una constante esta sería la... perdón,
ya me han aparecido aquí las... voy a borrar un segundo, disculpad. Vale,
decía que voy a poner aquí vector y esta es la K de Hooke. O sea, la K
sería menos A que es la sección del alambre por el módulo de Young que
depende del alambre partido la longitud. Pues vamos a ver las oscilaciones,
dinámica de oscilaciones elásticas y ver que esa dinámica sigue el
patrón de un más. Bien, siempre las oscilaciones, los problemas de
oscilaciones es fundamental sobre todo cuando en T, cuando en las
condiciones de los programas de la Universidad de Madrid. iniciales el
sistema está deformado y una energía potencial elástica, comenzar con
las condiciones de equilibrio y a partir de las condiciones de equilibrio
la dinámica. Entonces en equilibrio, tener en mente este dibujo, tenemos
aquí un alambre y del alambre cuelgo una masa M. ¿Qué hace la masa M?
Estirar el alambre y se queda quieto el alambre y la masa. ¿Vale? Pues que
hago el diagrama de suelo libre de este sistema en reposo y que tengo sobre
la masa M, que es donde estoy haciendo el diagrama de libre, actúa el peso
y la fuerza que hace el alambre sobre la masa. Segunda de Newton, fuerza
menos peso igual a cero, fuerza menos MG igual a cero y esta fuerza sabemos
que vale en módulo la sección del alambre por el módulo de Young partido
la longitud por una XE que es la X de equilibrio. ¿Qué es la X de
equilibrio? Pues cuando yo cuelgo la masa M de la barra de alambre Lo que
se ha estirado, la muy pequeñita cantidad que se ha estirado el alambre Y
se queda en equilibrio, x sub e Bien, pues yo sé que hay una ecuación a
la que llamamos ecuación de ligadura de equilibrio Que se tiene que
satisfacer L y la x de equilibrio no pueden ser cualquier cosa Sino que
satisfacen M por L partido A por el módulo de Young Es igual a x e, lo que
se ha estirado de equilibrio partido por g Vale, una vez que he resuelto el
equilibrio Y me guardo la ecuación de equilibrio Aplico la dinámica Es
decir, vuelvo a ver Si tengo aquí el alambre Que cuelga del techo Aquí he
puesto la masa M Pues sobre el equilibrio se perturba el alambre De manera,
perturba la masa, perdón De manera que en un instante dado la masa M está
por encima De su posición de equilibrio Y en otro instante puede estar por
debajo Si oscilas lo que ocurrirá una vez está por encima o por debajo
Pues bien, hago el diagrama de su equilibrio Y cuando está por encima o
por debajo Y aislando otra vez las fuerzas que actúan Sobre la masa M Pero
ahora aplicando la segunda de Newton Masa por aceleración Y me queda
fuerza elástica menos peso igual a masa por aceleración El módulo de la
fuerza elástica Vale esto, lo pongo aquí Divido todo por la masa La
aceleración es la fuerza elástica Es X dos puntos Y la ecuación que me
queda es X dos puntos más A por módulo de ya un partido de por M Por X
más G igual a cero Pregunta, ¿es esto un más? A ver, decidme en el chat
¿Aceleración más constante? ¿Sí? ¿Me lo usa? ¿Seguro? ¿Directamente
es un más? ¿Qué era más? No por la G, muy bien, R. Castro No es un más
pero se parece Claro, el... ¿Me lo usa? No cumple la ecuación porque el
más recuerda Que era grado de libertad Más constante Por grado de
libertad igual a cero Y aquí nos apareció una cosa Que cuelga, ¿vale?
Vale, pero en este caso es muy fácil Convertirlo en un más con un cambio
de variable Si a la X El grado de libertad de X le llamáis Un nuevo grado
Y menos Y sub E Donde tenga X dos puntos Tendré Y dos puntos Y donde tenga
X tengo Y menos Y sub E Pero en este Y menos Y sub E se nos cuela esta
ligadura De forma que pasamos de esta ecuación A esta, y ahora esto sí
que es un más ¿Se entiende? Vale Pues bueno, esto que en principio Se
entiende, daros cuenta que En el ejemplo que si os vais al French Que
están estas oscilaciones elásticas Ni se plantea obtener la segunda ley
de Newton Os dice que vibra con una frecuencia Hace unos razonamientos De
palabra Pero no aplica la segunda ley de Newton Lo que voy a hacer ahora es
Intentar, voy a borrar Pues yo ya habría cumplido A mi clase, pero aquí
hay mucho Tomate Que aparece en este contexto y en cualquier problema De
resolución de dinámica por oscilaciones Con un grado de libertad Y vamos
a enfrentarnos con El lado esotérico De aplicar la segunda Y la tercera
ley de Newton A sistemas que oscilan Quiero decir que Voy a dedicar una
serie de transparencia A esta ecuación Que se está ¿Qué exactamente es
A? ¿Qué es? Sería la aceleración de la masa M que estira el alambre,
¿no? Vale, pues vamos a ver cómo aplicar la segunda y la tercera de
Newton a esos sistemas oscilatorios y veréis que aquí hay tomate, ¿no? Y
son cosas que nunca se dicen, no están escritas en ningún libro que yo
conozca. Bien, pues voy a considerar mi primera condición de equilibrio,
que es el mismo problema, solo que vamos a hablar detalle. Y llamaré XV a
lo que se estira el alambre cuando he colocado una masa M. Aíslo la masa
de su entorno, eso es aplicar la tercera ley de Newton, y me quedan sobre
la masa M qué fuerzas actúan. Las masas van a pares. La fuerza que hace
el alambre sobre la masa... La fuerza que hace la masa, la he puesto en
verde, y la fuerza que hace la tierra sobre la masa, el peso. Bien, como el
cuerpo está en reposo, ahora ya he aplicado la tercera ley de Newton,
ahora aplicaré la segunda ley de Newton, suma de fuerzas igual a cero,
pues me queda la condición de fuerza menos Mg igual a cero y el módulo de
la fuerza, aplicando la ley de elasticidad, es A por módulo y A en
partículas. Entonces, voy a aplicar la tercera ley de Newton, que es x por
L, que será la x de equilibrio menos Mg igual a cero, y esta es la
ecuación de la condición de equilibrio del problema, y te la guardas
antes de obedecer la masa. Siempre que aplicas las condiciones de
equilibrio, en este método de procedimiento, obtienes una ligadura de
equilibrio. En este problema, hasta yo podría calcular la x de equilibrio,
pero si fuera un problema con dos o tres muelles, te dará una condición
de ligadura sobre las tres posiciones de equilibrio, una de cada muelle. Es
una condición de equilibrio. Una sola ecuación con tres ecuaciones no se
puede resolver, muchas veces no te hace falta, pero establece una
condición de ligadura entre las tres deformaciones de los muelles en
reposo. Ya veremos ejemplos. Y ahora, una vez que has resuelto el
equilibrio, te vas a la dinámica. Pero voy a hacer este problema, la
dinámica la voy a hacer de cuatro maneras. Voy a hacerlas con la ley de
Hooke vectorial y dos posiciones posibles para la masa M y con la ley de
Hooke solo en módulo y con dos posiciones posibles para la masa M. Pues si
considero la ley de Hooke vectorial, aquí la tenéis, entonces cuando yo
aplique la tercera ley de Newton tendré que considerar la tercera ley de
Newton con la ley de Hooke con el signo vectorial, fuerza opuesta a
desplazamiento. Vale, pues voy a considerar un instante de tiempo de la
dinámica donde la masa M, diagrama 1, donde la masa M sube una cierta
posición desde su posición de equilibrio. Vale, pues respecto a la
posición de equilibrio, me hago mi diagrama. La masa M sube una cantidad
XX de T. ¿Qué es X de T? Lo que se ha movido la masa M respecto a la
posición con el cable y la masa en equilibrio. En este caso, subir. Otra
posibilidad es bajar, que será el siguiente diagrama. ¿Qué fuerzas
actúan sobre la masa M? El peso, que es fácil. Y ahora si considero la
ley de Hooke con 5, la fuerza que hace el cable sobre la masa M. Si la masa
M está subiendo hacia arriba, la masa M comprime al alambre, por lo tanto
el alambre hace una fuerza hacia abajo sobre la masa. ¿Estáis de acuerdo?
Hacia arriba positivo. Pues paso menos f y menos mg a la derecha positivos,
ahora ya es fácil todo, divido por la masa, sustituyo f ya por su módulo
porque la información del signo la he gastado aquí. Ahora esta f ya es el
módulo de f. Y sustituyo el cambio de variables que hemos visto antes.
Ahora la x azul la sustituyo por y menos xe para eliminar el g porque tengo
la sospecha de que eso es un más. Hago el cambio de variables y daros
cuenta que una vez que he hecho el cambio de variables, la ecuación de
equilibrio se nos cuela en la dinámica, nos ayuda. Ahora la ligadura de
equilibrio que está aquí se nos cuela. Tengo amlm por y, amlm por xe
compensa a la g. ¿Vale? ¿Preguntas? Ahora voy a hacer lo mismo pero la
masa M en vez de subir va abajo. ¿Vale? Pues lo mismo con la masa M ahora
bajando, desplazándose hacia abajo. ¿Vale? Me desplazo hacia abajo. Pues,
leyes de Newton. ¿Qué fuerzas actúan? Pues ahora si la masa M se está
desplazando hacia abajo de su posición de equilibrio, la masa M está en
vez de comprimiendo el alambre, está estirando el alambre. Por lo tanto la
fuerza recuperadora con signo de la ley de Hooke, estoy usando la ley de
Hooke con signo, aparece un alambre. Es una fuerza opuesta hacia arriba.
¿Estáis de acuerdo? ¿Se ve el signo ahora de la fuerza F? Muy bien. Pues
entonces ahora ya es suma de fuerzas igual a masa por aceleración.
Pregunta, ¿de dónde aparece este signo negativo? Alguien me lo dice en el
chat, ¿de dónde aparece el signo negativo? A ver, que no he visto la
contestación. Va para abajo, muy bien, R. Castro, muy bien, Stoner. Vale,
porque baja perfecto J. Martínez, Mursa, todo va para abajo. Por lo tanto,
si va para abajo, pongo aceleración hacia abajo en una sola dimensión el
signo negativo. Bien, pues ahora es operar, si no me he equivocado. Claro,
y ahora observar que aquí aparece un menos. ¿Cuál será el cambio de
variable que habrá que hacer para obtener el más? Ahora, x aquí será
igual a y. Vale, pues operamos. Más, correcto. Ahora cambia el signo del
cambio de variable. Y más la x de equilibrio. Perfecto, J. Martínez, muy
bien. Acerrano también. Entonces introducimos ahora el cambio de
variables. Y la condición de equilibrio nos deja limpiar la mecánica de
la relación con la x de equilibrio. Se nos va, es que se nos cuela siempre
la... Y es bueno, pues es el método de la condición de equilibrio para
limpiarnos la dinámica. Y obtenemos el patrón de más aceleración, más
constante por posición igual a cero. Bien, pues... Así os recomiendo que
no hagáis los problemas. Sistemas más complicómos, a ver si me explico.
Intentar hacer la dinámica cuando apliquéis fuerzas no aplicando el signo
en la ley de Hooke. Porque cuando tenéis un sistema de más de un muelle,
eso se complica y al final te lías. ¿Qué alternativa tenemos? La que
vais a ver ahora en los siguientes dos ejemplos. Que es usar la ley de
Hooke en módulo. Y que los signos te los dé la tercera línea de Newton.
Bien. Pues vamos a hacer ahora... El mismo problema, pero usando la ley de
Hooke en módulo. F igual a K por X. Entonces, siempre que yo haga suba
para arriba o para abajo la masa, mi diagrama va a ser este. Es como
considerar que la fuerza que hace el alambre, la fuerza que hace el alambre
sobre la masa es como una tensión de una cuerda. Entonces yo aquí siempre
pongo F. Vale, pues entonces consideraré que mi ley de Hooke es que F es
igual a K por X. Solo me preocupa el módulo de F, que será A por el
módulo de Y a un partido de L por X de T. Pues si la masa M... Voy a hacer
el diagrama en un instante de tiempo donde la masa M ha subido una cantidad
X de T. Perdón, aquí será Y de T. Ya directamente Y de T. Vale, pues...
A esto le llamo diagrama 3, como veis. ¿Qué es diagrama 3? Diagrama 3
frente a los otros. La masa M sube. Y solo considero el módulo de la
fuerza. Pues tengo el peso. La fuerza siempre la voy a pintar para arriba.
Para pasar como una tensión. ¿Y ahora qué es Y de T? Y de T es lo que
sube la masa M. Cuando hacemos los problemas así, solo considerando el
módulo de la ley de Hooke, tenemos que indicar dos símbolos para dos
variables. Y diferenciar lo que se mueve de la partícula... de lo que se
comprima o estire el alambre o el muelle. Entonces, Y es lo que sube la
partícula. En el instante, hago una foto cuando la masa m ha subido una
cantidad y de t. Entonces, perdón, me he perdido aquí. Vale, pues
entonces aplico la segunda ley de Newton. F para arriba positiva menos mg
para abajo igual a m por i dos puntos. ¿Por qué esta es positiva? Pues
estoy considerando que sube hacia arriba. Vale, pues entonces divido por la
masa y me queda esta ecuación. Y ahora mi problema es sustituir f.
¿Cuánto vale el módulo de f? Daros cuenta que el módulo de f es k por x
en el instante de t. ¿Qué es el símbolo de x en este problema? Y lo
hemos reservado a lo que se mueve la partícula. Pues x de t es lo que se
estira o comprime el alambre. Luego, x de t será lo que se ha estirado o
comprimido el alambre cuando la partícula ha subido y. Muy importante que
tengan dos símbolos diferentes. Bien. ¿Alguien me puede decir cuánto
vale x de t? ¿Cuánto está deformado el alambre cuando la masa m ha
subido y de t? ¿Menos i? No. Acordaros de dónde partís. Partís de un
alambre que ya estaba estirado una cantidad xv. Cuando, eso es, a cámara,
hay que tener en cuenta el xv. xv menos i o i menos xv depende de cómo lo
pongas en el módulo. Pues ese es el símbolo. El significado. Cuando
jugamos con la ley de Hooke solo en módulo, tendremos que gastar un
símbolo para el desplazamiento de la partícula que está en contacto con
el muelle o con el alambre en este caso y un símbolo x para lo que se
deforma que es comprimir o expandir el muelle o el alambre. En este caso,
como tenía xe y subo xe menos i. ¿Todo el mundo lo entiende? Vale, pues
entonces f será a módulo de sección por módulo de ya un partido
longitud por x de t que es x sub e menos i de t. Introducimos esto aquí
con esa forma. Me queda esta ecuación y ahora introduzco la ligadura de
equilibrio porque esta ecuación me queda menos primero por xe menos por
menos más y esta cantidad y esta me dan cero. A mí esta forma de plantear
los problemas me parece más físico. La otra es, tienes que introducir el
cambio de coordenadas que no deja de ser un artilugio matemático. Aquí
estás controlando la posición de la partícula en paralelo con lo que se
comprimen o estiran los muelles. No sé si me entendéis. ¿Vale? Y se
llega a la misma ecuación diferencial. Daros cuenta de la cantidad de
física que había ahí donde nos quedamos en la primera transparencia
donde solo había puesto en i y en muchos problemas, veréis que en muchos
libros de problemas pues solo te ponen la i y se ha acabado. De aquí
física. Pregunta de observaciones. Se ve que hay dos cosas que controla en
paralelo. Hay que controlar. Lo que se sube hacia arriba o hacia abajo la
masa con lo que se comprime o expande el alambre o el muelle. Bien, pues el
diagrama 4 es lo mismo que el 3, pero ahora la masa M vamos a coger un
instante de tiempo donde va hacia abajo. Ahora la masa M desciende. Voy a
considerar la ley de Hooke solo en módulo, pues me quedo en un instante de
tiempo cuando la masa M se ha desplazado y llega de T de la posición de
equilibrio. La posición de equilibrio era masa y alambre de quietos con el
alambre deformado XE. Vale, pues entonces ahora las leyes de Newton son
daros cuenta que en esta forma de ver la dirección de la fuerza elástica
no la cambio nunca. Es como la dirección de un cable de tensión. Entonces
me queda F menos Mg igual a menos masa. ¿De dónde viene este menos? Pues
todos veis que ahora la aceleración va hacia abajo en esa gráfica. Vale,
pues F menos Mg igual a menos masa por aceleración. De F voy a volver a
tomar el módulo. Ahora la clave es, en este problema, ¿cuánto vale X de
T? ¿Alguien me lo puede decir? Cuando la masa M se ha desplazado Y hacia
abajo, perfecto, a Mateo 18, lo que se te ha deformado ahora el cable es XE
más Y. Ahora no es compresión, ahora es todo estiramiento. Lo que habías
estirado XE más lo que estira de más la masa. Pues ahora X va a ser el XE
más Y, XE más Y y sustituyes. Entonces, nos volverá a aparecer la
condición de equilibrio, la ligadura se satisface, luego nos llevamos la
ecuación de la ligadura, esto se va con esto y nos queda otra vez el
patrón de un más, aceleración más constante por posición igual a cero.
¿Preguntas, observaciones? Y tenerlo en mente este, en todo el desarrollo
de los problemas de dinámica, estas dos posibles formas de trabajar. Yo
recomiendo la segunda, parece que yo por lo menos me equivoco menos,
manteniendo el módulo. Jugando con el módulo de Diehug y que la tercera
de Newton me dé el significado de la fuerza, el signo de la fuerza. Por
una fuerza de contacto como un cable. Bien, pues volvemos al problema. El
problema era entonces que este planteamiento vale para un muelle y para
cualquier sistema de recastro. Aquí en la tutoría tenemos oscilaciones en
termodinámica, en fluidos vale para todo. Vale, pues entonces este era mi
sistema físico. Y lo llevo a mi representante canónico. Digo, pues este
es mi sistema real, sería equivalente a tener una masa m la misma que el
cuervo de alambre con una constante k que es a sub i por l. Eso me viene a
identificar mi omega cero cuadrado. El omega cero cuadrado de este problema
es a i partido por l y lo identifico con la constante de l. El problema de
la oscilación del muelle. Usted me entiende, ¿no? Lo importante es que
afecto de periodo, porque yo ya sé que el periodo de las vibraciones,
claro que el ojo no las ve, de las vibraciones. de la masa M, pues será
2pi raíz de ML partido la sección por el módulo de Y. ¿Preguntas o
observaciones? Vale. Bien, pues un ejemplo que tenéis aquí es solo un
ejemplo numérico. Se cuelga una masa M de 3 kilos de un alambre de cobre y
se deja oscilar libremente en la dirección vertical. Pues aquí tenéis la
representación. ¿Cuál es la frecuencia en éxitos aproximada de
oscilación? La longitud de alambre es 36 centímetros y su superficie es 2
por 10 a menos 7 metros al cuadrado. Pues del problema que acabamos de
resolver, T es igual a 2pi por la raíz de ML por la sección por el
módulo de Young. Pues el módulo de Young te tienes que ir a unas tablas.
Yo en su mayoría encontraría que el módulo de Young para el cobre es 11
por 10 Newton partido metro cuadrado. La sección te la han dado en metros
cuadrados. La masa es 3 kilos y la longitud es 36 centímetros. Pues eso.
Eso sería el periodo, 0,044 segundos y esa frecuencia 22,72 hercios.
¿Preguntas? Vale. Bien, el segundo problema sería el MAS, el movimiento
armónico simple, es algo fundamental en física porque es sumamente ubico.
Aparece en casi cualquier fenomenología física, ¿no? Pues vamos a pasar
de barras a oscilaciones en fluidos. Dice un tubo en forma de U. Está
abierto. Por ambos extremos, es decir, que el tubo, aquí tienes presión
atmosférica y aquí tienes presión atmosférica. El tubo está lleno de
un fluido incompresible, densidad constante Rho, lo que tenéis aquí
rayado, lo rayado es el fluido. El área de la sección transversal del
tubo es uniforme, luego esta área, esta área es A, y no varía. Y la
longitud total de colunas... La longitud total de colunas de líquido es L.
Aquí tenemos, aquí tenéis dos fotos, esto sería el sistema físico en
equilibrio y esto sería una foto en un instante donde está oscilando
perturbado. Y la L es toda la longitud que tenéis de fluido. Ahora,
¿cómo se pone esto en movimiento? Pues aquí tendrás un pistón, le das
un poco al pistón, le das al pistón y esto empezará a oscilar. Ahora,
así, así, así, así. Y voy a borrar y lo que tú tienes que hacer es una
foto respecto a un patrón de referencia donde considerar esa oscilación.
Me enseño que borre. Borramos todo. Vale, pues voy a considerar respecto
al equilibrio un instante dado donde la columna ha subido X. ¿Qué es la
variable X en el instante T en la que he hecho esta foto? La cantidad de
columna que a la derecha ha subido respecto a su nivel de referencia. La
pregunta es obtener la frecuencia del movimiento resultante. Suponer flujo
laminar y no enrojeamiento de las paredes significa que estamos en las
condiciones iniciales, que el fluido en el tubo... ... No entra en régimen
caótico, sino se mantiene el flujo laminar. No hay entre las capas del
fluido una interacción. He visto algo de fluidos en primero. Bien, pues
entonces voy a hacer este problema, recordar cómo empezó... A ver,
¿alguna pregunta? No veo nada, veo solo OK. No veo a nadie aquí que me
haya preguntado. Vale. Digo que recordar cómo empezó el esquema de esta
tutoría, podemos hacer los problemas a partir de la segunda de Newton o
por conservación de la energía. Esto lo vamos a hacer por conservación
de la energía. Vale, me voy a fijar aquí en un incremento de M que luego
va a estar aquí. Entonces voy a tomar un nivel de energía potencial cero
aquí. Vamos a colocar esto en negro. Energía potencial igual a cero. Y
esa cantidad que tengo en rojo de fluido habrá ascendido una cantidad X de
T en el instante T. Y será una cantidad de fluido incremento de M. Ese
incremento de M será ro por A por X. Recordar que X depende del tiempo,
¿eh? Eso en una foto. Como el fluido tiene densidad constante, ¿no? Ro es
igual a masa partido volumen. Esto es masa por sección. La sección la
estoy llamando A por el grado X que te mueves. A por X es el volumen. Luego
si esta es la energía potencial cero, todo ha subido aquí, tienes una
energía potencial que será la cantidad de masa que tienes por G por X. La
cantidad de masa es ro por A por X. Por G por X me queda un término
cuadrático en X. Y para calcular la energía cinética, la energía
mecánica será la suma de la cinética más la potencial, pues esta
cantidad de masa que ha subido X tendrá una velocidad V de X que es la
derivada de X respecto de T. ¿Vale? Pues como la energía mecánica es
constante, se da igual a su energía cinética más la potencial, la
energía cinética será un medio de la masa de fluido, todo el fluido que
tengo es ro a L, lo mismo de aquí, aquí ro a L, por la velocidad al
cuadrado de todo el fluido, más la energía potencial que es ro a G, la
que acabo de calcular en el término cuadrático. Bien, pues si la energía
mecánica es constante, derivo al derivar respecto al tiempo esta
ecuación, el derivar respecto al tiempo esta ecuación, obtengo la
segunda, cero es igual a la primera derivada, la derivada de la velocidad
es 2V, un 2 con un 2 se va, te queda 2V derivada de V respecto de T, más
la derivada de X respecto de T, un 2 que nos aparece aquí por la derivada
de X respecto de T. Pero daros cuenta que en este problema toda la V del
fluido coincide con la VX que es derivada de X respecto de T, ¿estáis de
acuerdo o no? La velocidad en un medio fluido es la misma de todas las
partículas del fluido, ¿sí o no? Esto que he llamado aquí V sub X de
esa pequeña columna coincidirá, con toda la velocidad del fluido. Bien,
pues me queda entonces esta ecuación, la 2 me queda cero igual factor
común por esta cantidad, para que esto sea cero necesariamente el
paréntesis tiene que ser cero y esta es la ecuación del más.
Aceleración más constante por posición igual a cero. Identificamos
entonces que la frecuencia es la raíz cuadrada de esa cantidad.
¿Preguntas o observaciones? ¿Vale? Pues esto sería equivalente a las
oscilaciones de un muelle con esa frecuencia. ¿Preguntas? ¿Queda claro?
Vale, muy bien. Pues el siguiente ejemplo va de oscilaciones en un circuito
con una autoinducción y un condensador. Dice, considerar un circuito
formado por un condensador inicialmente cargado, veis que aquí pone carga
más, carga menos, C es la capacidad del condensador, y una bobina ideal,
tanto el condensador como la bobina se consideran elementos ideales sin
pérdidas. Aquí tenemos la bobina con una autoinducción L. Se denomina
frecuencia natural del circuito a la frecuencia con la cual se transfiere
energía desde el campo electrostático del condensador a la bobina y
viceversa. Determinar la frecuencia natural del circuito. Bueno, pues aquí
lo que tenemos básicamente es un sistema donde dentro del condensador,
veis que he dibujado el campo eléctrico, pues sabéis del
electromagnetismo que en una región donde hay campo eléctrico hay una
densidad de energía electromagnética. Y aquí en la bobina habrá campo
magnético, en una región del espacio donde hay campo magnético habrá
energía magnética. Pues este circuito, considerado ideal sin pérdidas,
lo que hace es continuamente estar intercambiando la energía
electrostática del condensador en energía magnética en la bobina y
energía magnética en la bobina se transfiere al tiempo eléctrico. Es
decir, la energía electrostática del condensador. Y la frecuencia con la
que se hace eso es la frecuencia natural del más. Este sistema es
equivalente a su dinámica a un movimiento armónico simple. Vamos a verlo.
Aquí tenéis dos fotos, la referencia de estos gráficos tan chulos pues
está en la Wikipedia, la tenéis ahí. Entonces yo tengo instantes de
tiempo donde la placa de arriba del condensador será positiva e instantes
de tiempo donde la placa del condensador será positiva. Y la placa del
condensador de arriba es negativa y se intercambian los sentidos de la
corriente. De algún momento la intensidad sale del condensador, llega a la
bobina y luego pasa de la bobina y en otros instantes de tiempo la
intensidad sale de la bobina y llega al condensador. Esa polaridad de signo
en el condensador va cambiando con el tiempo a la vez que va cambiando el
sentido de las líneas de campo magnético en la bobina. Bien, pues vamos a
obtener a partir del día del circuito la ecuación diferencial. La
ecuación diferencial del movimiento. A serrano no está conectado a
ninguna batería, es espontáneo. Es por tener autoinducción. No hay
ninguna fuente de energía. Bueno, si hay una fuente de energía porque
para hacer esto previamente cargaste el condensador pero una vez que tienes
el condensador cargado lo conectas solamente a la bobina. ¿Se entiende?
Gastaste una energía inicial en cargar el condensador. Y el modelo es
ideal. En el mundo real tienes pérdidas en el condensador en la bobina y
esto no será un oscilador libre. Pero estamos bajo la hipótesis de
oscilador libre. Esto se reflejaría, el efecto mejor, la pérdida de
energía en un oscilador amortiguado. Pero estamos en la lección de
dinámica del más. ¿Vale? Pues paso a la siguiente transparencia. Pues
para obtener la dinámica tengo que montarme un circuito de una sola malla
donde aquí tengo el condensador y aquí tengo la bobina Y cojo un instante
de tiempo donde la corriente sale de la placa superior positiva del
condensador, podría hacerlo en un instante de tiempo donde la placa
estuviera negativa, la dinámica no va a depender del instante donde lo
tome, pues tomo una foto cuando ocurre esto. Vale, pues entonces se
cumplirá que hay una caída de tensión por la ley de Lenz, la ley de
Ferrari-Henry en la bobina, la bobina tiene una caída de tensión que es
la autoinducción L por la variación de intensidad por unidad de tiempo,
con esta polaridad llamo a este punto A, a este punto B y la dinámica la
obtengo de la segunda ley de Kirchhoff de los voltajes suma de caída de
tensión debe ser cero. A lo largo de ese circuito de tensión. Es
sencillo, pues tenéis que V sub A menos V sub B, V sub A menos V sub B, V
sub A menos V sub B más V sub B menos V sub A, ese es mi camino de
integración, es cero. Lo que implica que, ¿qué vale V sub A menos V sub
B? En V sub A menos V sub B encuentro la polaridad positiva de la bobina,
por lo tanto tengo una caída de tensión positiva que es L derivada de I
respecto de T, pero cuando entro en el condensador... Cuando entro en el
condensador en resistencia de tiempo paso de negativo a positivo, luego
tengo una polaridad negativa, una caída de tensión menos Q, que depende
del tiempo, ojo, todo esto aquí está la dependencia en el tiempo, menos Q
partido por C. Ahora tengo en cuenta que estoy en un sistema donde está
saliendo carga del condensador, luego por unidad de tiempo la intensidad
decrece, la intensidad que va saliendo del condensador. Luego si la I es
menos derivada de Q respecto de T, con este signo la tengo que introducir
aquí y así obtengo la ecuación diferencial. La ecuación diferencial del
más, introduciendo esto aquí me queda segunda derivada de la carga más
constante que es 1 partido de LC por Q igual a 0, es decir, tengo Q2 más 1
partido LC por Q. Luego esto es un más si es de la forma aceleración
derivada segunda del grado de libertad por constante que no depende del
tiempo por el grado de libertad, por lo tanto mi frecuencia natural al
cuadrado para identificar con el más, que es identificar con X2. Entonces,
más omega cero cuadrado X, me identificaré omega cero cuadrado como 1
partido LC, por lo tanto W es la raíz de 1 partido LC, esa es la
frecuencia natural del más. Imagino que es lo que aparece en esta
transparencia. ¿Y cuál será la solución? Pues Q de T será Q, la
amplitud, por coseno de omega cero T más delta. Esa amplitud Q y el
desfasaje hay que darlo en función de las condiciones iniciales. ¿Qué
es? Que en T igual a 0 la carga del condensador es la máxima, Q sub cero,
y la intensidad de corriente del circuito es Y sub cero. Esas serían las
condiciones iniciales para la ecuación diferencial que representa la
transferencia de energía que está habiendo en ese circuito. ¿Preguntas,
observaciones? Veis que estamos tocando varios palos, ¿eh? Mecánica de
elasticidad de formaciones, hemos visto un ejemplo de hidrostática,
estamos con un ejemplo de circuitos, y nos aparecen situaciones de
dinámica de movimiento armónico simple. vale, pues lo único que hace
tanta transparencia es que este sistema es equivalente a este vale, en
general y esto es un tema interesante hay una rama de la física donde tú
puedes hacer experimentos mecánicos, pero en vez de hacer los experimentos
con cachos macroscópicos mecánicos, que siempre es más difícil de
controlar implementas circuitos equivalentes a sistemas mecánicos la idea
es que la masa mecánica es equivalente a un circuito a la autoinducción
de la bobina, la constante K de un muelle es equivalente a la inversa del
condensador y el grado de libertad de la posición de un sistema mecánico
es equivalente a la carga con esas relaciones tú puedes hacer experimentos
de modelización de sistemas mecánicos con teoría de circuitos siempre es
más fácil el control, estaréis de acuerdo conmigo en en circuitos que no
con cachos macroscópicos de mecánica en un laboratorio la mecánica
siempre es muy difícil de controlar y más cara Amateur dice esto tiene
que ver con el cambio de variable JV en la función de transferencia en
circuitos no lo sé ahora mismo eso me suena un poquito electrónica creo
que directamente no lo que yo he dicho es una asociación entre
investigación de fenómenos mecánicos, pero haciendo montajes
experimentales con teoría de circuitos y daros cuenta que ahora eso es un
campo de investigación friki para la gente la gente joven que os estáis
formando con el tema uy, que se me mueve Yoda que no se me mueva Yoda que
todas estas tutorías están bajo la vocación de Yoda ¿os suena Arduino?
Arduino ¿vale? el controlador de electrónica Arduino vale, pues uno puede
se compra el Arduino por 75 euros y si tienes MATLAB con el controlador de
MATLAB de Arduino no tienes ni que ni que probar en C y puedes hacer todos
los experimentos de electromecánica a dos pesetas Arduino más MATLAB si
no quieres programar en C el Arduino a Serrano Arduino es un sistema de
código y de información abierta de de un controlador en electrónica
entonces puedes montar sistemas electrónicos ¿se puede programar Arduino
con MATLAB? sí desde las últimas dos versiones de MATLAB cuando te cargas
los paquetes de MATLAB lleva de hecho yo lo he dirigido a un alumno de
aquí de ingeniería de Albacete su trabajo fin de grado con usar Arduino
para hacer una una tarjeta de adquisición de datos y comparar con tarjetas
profesionales y el control y el paquete de MATLAB para controlarlo ¿75
euros? bueno hay más baratos J Guardiola, con 75 euros es uno que me
quiero comprar ahora que lleva ya un montón de sensores, motores pero a lo
mejor un Arduino básico por 30 euros lo tienes los 75 es si quieres que
haya muchas cositas que haya motores, un montón de complementos para lo
que se saca de él no es nada claro estoy de acuerdo J Martínez daros
cuenta que el Arduino es como el Linux en informática el Arduino lleva
unos 10-12 años y básicamente lo que abrió las fronteras a los
controladores en electrónica que antes había 4 o 5 de 400 grandes
empresas ¿eh? es más que el hardware es la información que se obtiene
cuando te metes en ese mundo y copia más barata haciendo y es brutal lo
que la gente hace con él un mini aficionado porque yo soy físico teórico
no soy de electrónica pero bueno el trabajo fin de grado escribir pues
hemos visto que puedes transferir otra cosa así las pelis es otra cosa
para feria es un ordenador y tú puedes usar los datos del controlador
pasarlos al raspberry por ordenador y el raspberry una cosa buena que tiene
es que es la única versión de hardware y sistema operativo que os
pongáis donde el matemática lo tenéis gratuito con raspberry pi te bajas
el matemática gratuito para ver bien es la única versión gratuito que
hay de matemática se me había olvidado comentarlo pues sí sí buscar la
versión de matemática para ver y ese es el gratuito vale seguimos venga
pues acordaros de las palabras de arduino rafael y los que tienen más lo
que sabéis menos los que no sabéis nada pues si estáis tuyendo física
enganchados a eso para qué existe y para qué se usa una información de
las tutorías que puedes jugar con con arduino a través de mal lado bien
pues un péndulo físico vamos a ver oscilaciones en sólidos lo que
tenéis en este dibujo es pensar en un volumen esto es una especie de
patata mi sólido patata entonces en algún punto p tengo un eje de giro
que pasa por pedir a este sistema de referencia es x y y zeta perpendicular
entonces por el punto te pasa el seno, para ángulos donde el seno del
ángulo se puede aproximar a tecta. ¿Y de qué ángulo estamos hablando?
Del ángulo que forma con la vertical la distancia del eje al centro de
gravedad. En esta notación, alfa es la segunda derivada del ángulo. Bien,
pues para controlar las oscilaciones en un sólido hay que hacer uso del
momento y nos calculamos el momento mecánico de la fuerza resultante, que
es el peso, respecto al punto P. Ojo con la desgraciada anotación, no hay
que confundir la P de peso con la P de punto del eje. ¿Vale? Entonces,
¿qué era el momento mecánico de una fuerza respecto al punto? El momento
mecánico es el vector que va del punto donde me calculo momentos al punto
de aplicación de la fuerza por la fuerza. Por lo tanto, será el vector
que va de P a G por el vector P. El vector que va de P a G por el vector P.
Gira en este sentido. ¿Y cómo sacaría ese módulo? El módulo del
producto vectorial sería, pues, menos seno de tecta por b por mg en la
dirección menos k. Todos veis el valor del momento, hay un problema con el
momento, ¿vale? Ese es el momento. ¿Y cuál es la dinámica de la
rotación? La dinámica de rotación es suma de momentos igual a momento de
inercia por aceleración angular. Es decir, el momento que me he calculado
tiene que ser igual al momento de inercia. ¿De quién? Momento de inercia
del sólido respecto de un eje que pase por p y sea paralelo a z. Momento
de inercia de un sólido respecto de un eje que pase por p y sea paralelo a
z multiplicado por la aceleración angular. Multiplicado por la
aceleración angular, que es la segunda derivada de ese ángulo. Vale, pues
esta es la ecuación diferencial del movimiento para la rotación lineal.
Si yo he utilizado el seno de tecta, lo he aproximado a tecta. Pues
dividiendo por la masa me queda que la ecuación diferencial es
aceleración angular, tecta dos puntos, más una constante por tecta igual
a cero. Luego esto es la ecuación de un más. Para cada sólido concreto
tendré que calcularme el momento de inercia del sólido respecto de un eje
que pase por el punto p del eje y sea paralelo al eje z, que es el eje de
giro. Una vez que tengáis controlado eso... ... ...lo pongo en el
denominador y en el numerador la distancia de p al centro de masas por el
módulo del peso. Y eso es la identificación de un más. Preguntas,
observaciones, ¿se entiende? ¿Vale? Pues en la siguiente transparencia es
aplicar esta fórmula... ...a ver, he visto una pregunta... ...una
observación. Vale, J. Martínez, dime. J. Martínez, 51-23, tenía una
observación, te escucho. Ah, bueno, gracias por recordármelo. Pero he
visto que en el nuevo sistema se puede mantener hasta dos horas. Entonces,
como hoy tengo que acabar a las seis menos cuartos, si os parece, no
hacemos descanso para aprovechar más el tiempo. ¿Os parece bien? Porque
hoy a las seis menos cuartos me tengo que ir. ¿Vale? La de jueves ya será
un poquito más largo. Hoy a las seis menos cuartos tengo que cortar. Y no
hace falta que corte porque me han preguntado, y ya lo he recordado el año
pasado, que hasta dos horas me han dicho que se mantiene la grabación.
Bien, pues en el problema 2-4... ...tenéis tres sólidos... ...una regla,
veis el punto P, un eje pasa por aquí, perpendicular al plano. Aquí
tenéis un anillo donde hay un eje que pasa por el punto P, por el punto P.
Y aquí tenemos un disco que puede girar a lo largo de un eje que pasa por
el punto P, pero quería pintar en azul para que se viera. Vale, pues es
aplicar simplemente la fórmula anterior. Esta fórmula. Para estos tres
casos. Lo que tenéis bien es cómo calcular, lo tenéis resuelto, cómo
calcular en los tres casos el momento de inercia. Que como son rotaciones
en el plano no es una matriz, sino va a ser siempre un escalar. Este es el
caso del péndulo. Tenéis el anillo. Resuelto. Y tenéis el disco. Y aquí
la comparación de los tres. No creo que tengan más dificultad, pues les
voy echando un vistazo y tenemos cualquier duda, como siempre. en los foros
de la tutoría, ¿vale? pues hacemos el siguiente problema el siguiente
problema son oscilaciones en un muelle vertical obtener la ecuación de
movimiento para la masa M, para esta masa y a partir de la ecuación de
movimiento oscila el sistema B en su caso, en caso de costil obtener
frecuencia y periodo C, determinar la posición de la masa M en todo
instante de tiempo muy bien, pues entonces voy a partir, como os propongo
acá que es estos problemas partimos del equilibrio y consideramos la ley
de Hooke en módulo bien, pues entonces yo considero que tengo un muelle
que en equilibrio estará deformado y llamo delta de E con una letra que no
es que... oye, me ha aparecido un garabato otra vez, vamos a disculpar si
puedo borrar... vale pues digo que tengo delta de E que es el muelle
vertical ¿qué es? delta de E no es coordenada, es la longitud que está
deformado el muelle en equilibrio yo tenía ese muelle vertical sin nada
por el hecho de ponerle una masa M el muelle se habrá deformado delta E y
me ha vuelto a aparecer el maldito garabato que cada vez que lo doy con el
codo a la pantallita pues me aparece, a ver si lo puedo dibujar bien sin
darle con el codo a la pantalla vamos a ver, estoy con borrador he puesto
lápiz, vale, lápiz aquí pongo la masa M y esta cantidad es delta de E
delta de E es lo que se ha estirado el muelle en equilibrio intento que no
llamarle con letras que no sean ni X ni Y que las guardaré para el
movimiento de la partícula como estoy en equilibrio hago el diagrama de
sólido libre aquí lo tenéis, las fuerzas que actúan sobre la masa M
son... la tracción gravitatoria y la fuerza que hace el muelle sobre la
masa por lo tanto me queda F sub K menos Mg igual a cero ¿y qué vale F
sub K? uso la ley de Hooke en módulo, K por delta E luego yo sé que delta
E no puede valer cualquier cosa se tiene que cumplir que K por delta E
menos Mg sea igual a cero y me guardo esa ecuación que es la ligadura de
equilibrio y ahora paso a la dinámica es decir, cuando esté perturbado el
sistema habrá instantes donde la masa M sea igual a cero cuando la masa M
esté por encima y otros instantes donde esté por debajo de su posición
de equilibrio y yo puedo hacer mi diagrama de sólido libre en el instante
que me dé la gana por arriba o por debajo si en la tutoría lo voy a hacer
por abajo vosotros hacéis el mismo problema la misma dinámica por arriba
y veréis que os da la misma ecuación y así os enfrentáis al jaleo de
los signos entonces yo tomo una coordenada Y igual a cero cuando el muelle
estaba en equilibrio cuando el muelle y la masa estaban en equilibrio y esa
será mi posición igual a cero. Y de T igual a cero ¿qué marca Y? la
coordenada de la masa en un instante hago una foto cuando la masa M está Y
por debajo de su posición de equilibrio vosotros podríais hacer el mismo
problema cuando la masa esté aquí en vez del muelle estirado el muelle
comprimido una cantidad I de T vale, pues entonces llamaré delta de T Ya
el muelle no está estirado lo que estaba antes, delta E, ahora el muelle
estará estirado delta de T. Y en todos los problemas tienes que buscarte
la vida para relacionar lo que está deformado el sistema de muelles en el
instante de tu diagrama con lo que se ha movido la partícula. En este
problema, ¿qué relación hay entre delta de T, perdón, e Y? Pues vuelvo
a hacer el diagrama de sólido libre y aquí tenéis que las fuerzas que
actúan son el peso y la fuerza elástica. Pero ahora eso ya no es cero,
eso es igual a masa por aceleración. ¿Y qué relación habrá entre delta
e Y? Os parece bien la que he puesto aquí. Ahora, ¿cuánto estará
estirado la masa M? Lo que estaba estirado en equilibrio más lo que ha
estirado... Perdón, lo he dicho mal. ¿Cuánto estará estirado el muelle?
El muelle delta de T es lo que está estirado el muelle. Estará estirado
en el instante T lo que estaba estirado en equilibrio más lo que tira de
él la masa. Y de T. ¿Todos de acuerdo con eso? ¿Vale? ¿Todo el mundo de
acuerdo? Pues esta relación en este problema es sencilla, en otras será
más complicado, pero esto me hay que razonar. ¿Vale? Por lo tanto, pues
ahora aplico la segunda ley de Newton. F menos Mg. ¿De dónde sale este
signo menos? Porque estoy haciendo mi diagrama cuando la masa va para
abajo. La masa va para abajo. Aceleración negativa en la segunda ley de
Newton. ¿Vale? Pues F de K que vale K por delta de T, lo que se ha
deformado el muelle, que es lo que estaba en equilibrio más lo que ha
tirado. ¿Vale? Pues a eso me queda M por aceleración más K delta E. M
más K delta E menos Mg más K por I. Y aquí se nos cuela la condición de
equilibrio. Por eso hay que hacer los problemas siempre empezando por el
equilibrio. ¿Y qué hemos obtenido? El patrón de un más. ¿Vale?
Aceleración de la partícula más constante que el muelle. Que es K por M
por posición de la partícula en cada instante de tiempo igual a cero. Eso
es un patrón de un más donde la frecuencia natural al cuadrado es K
partido por M. Y esto me da el periodo y todo lo que sea del más.
¿Preguntas, observaciones? ¿Pasa el problema? ¿Preguntas, observaciones?
Vale. Lo que viene es bastante importante y es teórico. Que es el concepto
de pequeñas oscilaciones y linealidad. ¿Por qué es tan importante el
más? Pues este apartado nos lo va a contestar. Porque resulta que casi
cualquier potencia... Cualquier potencial continuo con una cierta
condición, que ahora comentaremos. Pero casi cualquier potencial que no es
de la forma una parábola, un medio de KX cuadrado, que es la energía
potencial elástica de un muelle, a primer orden se puede aproximar a un
más. Y eso es el concepto de pequeñas oscilaciones y linealidad. Entonces
leo un sistema con un grado de libertad X de T. Es lineal si su ecuación
diferencial del movimiento Edo es una función lineal de la condición. De
la coordenada o del grado de libertad X de T que especifica el sistema.
Esto es, la ecuación diferencial de movimiento del sistema, que es la
segunda ley de Newton, debe ser suma de términos lineales en X.
Conteniendo a lo sumo la potencia de X elevado a 1. Mirad estas dos
ecuaciones. La ecuación 1 y la ecuación 2. La ecuación 1 es aceleración
más constante por velocidad más constante por posición. Luego, esto es
una ecuación diferencial en el grado de libertad x porque aparece elevado
a 1. Y esto es igual a g de t. La segunda ecuación, aquí hay una h que
explicaré aquí, y nh, y nh es inhomogéneo, h es la palabra homogéneo,
es aceleración más constante por velocidad más constante por posición
igual a 0. 1 y 2 son dos casos de ecuaciones diferenciales lineales. De
segundo orden las dos. La primera se llama homogénea porque está igualada
a 0. La segunda se llama inhomogénea porque está igualada a otra función
del tiempo. Bien, veremos que en la tercera tutoría vamos a tratar esta
ecuación diferencial, la homogénea, porque es la ecuación diferencial de
las dos situaciones amortiguadas. Y en la cuarta tutoría trataremos la
ecuación... La ecuación homogénea, que es la 1, que es la ecuación
diferencial de las oscilaciones forzadas. Pero si ahora borro, voy a
borrar... Bien, el principio de oscilaciones de linealidad en ecuaciones
diferenciales es importante porque nos permite construir que la solución
de la 1, llamaré x1 solución de t, ¿cómo obtengo una solución de la?
La ecuación homogénea es una x solución de la ecuación 2, llamaré x de
2 de t a la solución de la ecuación diferencial 2, más una ecuación
particular de la ecuación 1, p de particular de la ecuación 1. Y de hecho
cualquier combinación lineal. Es decir, las ecuaciones diferenciales
lineales permiten obtener soluciones por superposición. Por eso es
importante, y un caso particular es que la ecuación diferencial
inhomogénea, su solución se obtiene como la solución general de la
homogénea igualada a 0, más una solución particular que se encuentra de
la ecuación 1. Pues eso lo veremos con detalle en la articularía 4 de
oscilaciones forzadas. Bien, pues por un lado entonces tenemos el principio
de superposición y el significado de la invariancia bajo traslación
temporal. si un sistema es lineal, cumple el principio de superposición.
Si un sistema es lineal, ¿qué quiere decir? Si su ecuación diferencial
es lineal, se cumple el principio de superposición. Que dice que dadas dos
soluciones de la ecuación diferencial, su combinación lineal también es
solución. Es decir, que si tengo una solución, pues cualquier
combinación lineal, ya lo dice el enunciado, lo seguiré haciendo. Dice
aquí, se deduce a partir del principio de superposición que siempre
podemos escribir. La solución más general de uno, para cualquier fuerza
externa, aquí hay una rata que no debería ser f de t, porque en la
transparencia anterior le he llamado g de t a la que no está igualada a
cero. Es lo que he dicho como suma de la ecuación, la solución general de
la homogénea y una solución particular de la uno. Un ejemplo de
aplicación del principio de superposición. Y la invariancia bajo
traslación temporal es muy importante porque nos dice que en esta
ecuación diferencial, solo en la homogénea, es invariante bajo
traslación temporal. Y nos dice que si x de t es una solución de la
homogénea, x de t' que se obtiene trasladando en el tiempo la solución x
de t como x de t más a también lo es. La invariancia temporal tiene una
justificación matemática y una justificación física. La justificación
matemática es que la operación derivar respecto del tiempo y sustituir t
por t más a conmuta. Puedo primero hacer el cambio de variable t igual a t
más a y luego derivar o primero derivar y luego hacer el cambio de
variable. Básicamente, si lo veis, es la regla de la cadena. Y el
significado físico de la invariancia de la traslación temporal es la
razón de que yo siempre puedo resolver la operación diferencial con x de
t y reajustar las condiciones iniciales, que sería como reajustar mi reloj
que mide tiempos, para que... pueda usar la solución x de t más a. O sea,
mi sistema no distingue si una condición inicial está en t de la
condición inicial en t más a. Serían los significados físicos y el
significado físico de la invariancia bajo traslación temporal de una
física asociada a una ecuación diferencial. En este caso insisto que es
solamente el homogéneo. Y la inhomogénea no porque esa no estaba igualada
a cero. Estaba igualada a una función del tiempo g de t y depende de la
forma... de esa g de t. Habrá casos en los que sí, casos en los que no.
Vale, pues entonces, bueno, esto es volver a... a decir... en las pequeñas
oscilaciones sin realidad, pues vamos a leer los puntos, estamos en
teoría. Entonces, consideramos un sistema físico con un grado de
libertad, x de t, que está sometido a una fuerza conservativa. Eso es
importante, por lo tanto, si está sometido a una fuerza conservativa, f de
x es menos el gradiente de una energía potencial y como sólo tengo un
grado de libertad, será menos la derivada respecto de x de la energía
potencial por y. Ya he vuelto ya al cacharro este que me sale aquí, que se
me olvida el codo, venga. Para esto es un borrón. Bien. Es importante que
mi sistema con un grado de libertad esté en una posición de equilibrio y
ahora en la siguiente transparencia comentaré qué tipo de... no vale
cualquier posición de equilibrio. Entonces la pregunta que nos hacemos es
si tengo ese sistema y le aplico una perturbación pequeña al objeto, a
partir de su posición de equilibrio, obtendré oscilaciones armónicas y
la contestación es que en una amplia gama de situaciones, sí. Y ahora
vamos a explicar cuáles son esa amplia gama de situaciones. Es decir, si
tienes cualquier potencial y una partícula sometida a una fuerza que
deriva de un potencial en una posición de equilibrio, independientemente
de cómo sea la forma de esa energía potencial, el sistema se va a
comportar y a oscilar como un más en muchas ocasiones, como si fuera la
ecuación de la energía potencial de un muelle que era una parábola, kx
cuadrado. Es decir, la situación de una parábola es la situación
asociada a un muelle elástico. Aquí tenéis el dibujito. Un muelle sujeto
a una masa M con constante k. Pues aquí tenéis para una energía
constante, tenemos la energía potencial en azul. A ver, alguien
pregunta... ahora contestaré ese reno porque tiene que ser pequeña para
que no te saque porque le vamos a exigir que el equilibrio sea estable
entonces las perturbaciones pequeñas son las que tienen tendencia a no
sacarte del equilibrio estable si tienes equilibrio estable te separan de
la posición de equilibrio y tiendes a volver a recuperar tu posición pero
siempre que la perturbación sea pequeña, sea lineal sean términos
lineales en el potencial ¿vale? se juntan dos cosas que el equilibrio
tiene que ser estable y que si la perturbación tiene una intensidad grande
pues te saca del equilibrio y no vuelves la idea entonces es que todo se va
a parecer a la situación que conocemos del mar ¿vale? pues entonces esto
ya va a ser más concreto, estos son los pasos, vamos a considerar un
potencial o una energía potencial aunque ponga aquí V no significa
potencial significa energía potencial vamos a considerar una energía
potencial unidimensional donde f de x como es una de sus dimensiones menos
el gradiente que es menos la derivada del potencial observar que pongo coma
coma en esta nota significa derivada respecto de x y cuando aparezca punto
es derivada respecto del tiempo entonces dice sea x igual a x0 un punto de
equilibrio estable esa es la condición ¿vale? para poder tener
oscilaciones armónicas que el potencial tenga en un punto equilibrio
estable pues si una partícula de masa m está inicialmente en reposo en x
igual en x estable entonces cualquier perturbación suave de esa condición
inicial te separas del x u e comienza a oscilar como un más demostración,
para demostrarlo y esto daros cuenta que es importante porque algunas veces
cuando ha caído algún problema en exámenes finales del tema 1 suelen ser
de esto cogemos el desarrollo de v en torno de la posición de equilibrio
¿qué desarrollo hacemos? el desarrollo de Taylor yo puedo decir que v es
v en la posición de equilibrio más la primera derivada por x menos x0
más un medio de la segunda derivada en x igual a x0 que es la posición de
equilibrio por x menos x0 cuadrado más términos pequeños que
desplaciaré como en x igual a x0 el potencial tiene un punto de equilibrio
recordad que con disminución de x0 la posición de equilibrio significa
que la primera derivada es 0 y la segunda es positiva pues ya sabes que no
puede ser negativo ¿vale? pues entonces ¿qué te va a quedar? pasando
esta fórmula aquí me queda que v es v que es una constante este término
es cero desaparece y me queda a que es un medio de la segunda derivada por
x menos x al cuadrado luego este potencial v es como un punto de equilibrio
es un oscilador armónico siempre pregunta stoner ¿qué es la segunda
derivada de v? la segunda derivada de v va a ser la segunda derivada de v
respecto a la posición va a ser básicamente la constante del muelle un
medio de la segunda derivada de v respecto de t mira la identificación es
lo que multiplica x menos x0 va a ser la constante del muelle equivalente
si stoner si ¿lo pillas? vale pues eso es lo que hay que hacer daros
cuenta que todo esto solo funciona si el equilibrio es estable vale, pues
entonces si hacemos esto lo que preguntaba Stoner la segunda derivada,
aquí la tenéis la segunda derivada de v respecto de x al cuadrado en x el
punto de equilibrio es la constante elástica y la frecuencia natural será
la raíz cuadrada de la constante elástica partido por x vale, pues aquí
daros cuenta que he puesto un ejemplo aquí tenemos un potencial, el
potencial del problema es este, que no es una parábola pero aquí hay un
punto de equilibrio estable entonces lo que le pasa a la parábola lo que
le pasaba a la parábola le va a pasar a ese potencial con cualquier forma
para pequeñas oscilaciones a partir de la de la separación de ese
equilibrio pues vamos a ver algunos ejemplos bueno aquí tenéis la
procedura la suma de todos los puntos digamos que para preparar el examen
estaría bien que tuvierais esta transparencia en la cabeza problema dada
una fuerza unidimensional conservativa encontrar el movimiento de una
partícula de masa m bajo la interacción de esa fuerza en entorno del
punto de equilibrio estable ¿qué hay que hacer? a partir de la fuerza
obtener la función potencial a partir de la función energía potencial a
partir de la función energía potencial obtener los puntos de equilibrio
estable si existe una vez que tienes los puntos de equilibrio estable y los
llamas x sub cero haces el cambio de variable x prima igual a x menos x
cero ese cambio lo haces tanto en la fuerza como en el potencial y
redefines tu nuevo x prima como x para no estar andando siempre arrastrando
el x prima calcula, parado 5 calcula la derivada segunda del potencial en x
igual a cero como has hecho este cambio pues lo que era el punto de
equilibrio ahora va a ser siempre x cero el sistema oscila en torno de los
puntos de equilibrio estable el sistema oscilará en torno de los puntos de
equilibrio estable con esta frecuencia que te puedes calcular el grado de
libertad del sistema evoluciona en el tiempo como un más de esta
frecuencia y la validez de la aproximación es hasta donde mantienes el
desarrollo de Taylor que es que el módulo de x por la tercera derivada
respecto a la posición de la energía potencial en x igual a cero en el
punto de equilibrio tras el cambio de coordenada sea mucho más pequeño
que la segunda derivada pues vamos a ver una vez que tenemos un ejemplo del
valor resuelto el problema 2.6 lo tenéis resuelto es más teórico
básicamente resume lo que hemos visto en la teoría y es un problema más
físico es el 2.7 dice una partícula de masa m se mueve sobre el eje de
las x sometida a una energía potencial v de x igual a menos a medios de x
al cuadrado más b cuartos por x a la cuarta donde a y b son constantes
positivas números reales positivos determinar uno las dimensiones y
unidades en el sistema internacional de las constantes a y b dos los puntos
de equilibrio estable para la partícula tres la frecuencia angular para
pequeñas oscilaciones de la partícula en torno del punto de equilibrio y
cuatro la validez de la frecuencia obtenida pues vamos allá lo primero que
hacemos es coger mi energía potencial v de x energía no potencial y la
frecuencia menos a medios de x al cuadrado más b cuartos de x a la cuarta,
y lo primero que me piden en el apartado A, veo que son dimensiones y
unidades en el sistema internacional. Pues aplico el principio de
homogeneidad, a la izquierda de la ecuación tengo energía y a la derecha
tengo que tener energía. Si aquí tengo energía, menos a medios de x
cuadrado tiene que ser energía y b cuartos de x a la cuarta tiene que ser
energía. Por lo tanto, las dimensiones de A, en las que pongo corchetes,
son las de v, que son energía, partido de x al cuadrado. Y las de b,
¿qué serán? Pues las de b serán energía partido de x a la cuarta. Las
de v, energía partido de x al cuadrado, las dimensiones de la energía son
fuerza por distancia, f por l, partido de l cuadrado, luego esto es ml t a
la menos 2 partido de l cuadrado, ml menos 1 t a la menos 2. Dimensiones de
A. D a, ml menos 1 t a la menos 2, unidades en el sistema internacional, un
kilogramo metro por segundo a la menos 2. Pregunta de observaciones, pues
lo mismo para b. B tendrá que ser energía partido por x a la cuarta, pues
hacemos el desarrollo si no me he equivocado, me da dimensiones ml a la
menos 3 por t a la menos 2, una unidad de b en el sistema internacional,
kilogramos metro cubo, kilogramos partido metro cubo por segundo a la menos
2. Los puntos de equilibrio, ¿qué había que hacer? Cogemos el potencial
y buscamos los puntos de equilibrio, derivamos el potencial respecto de x,
lo igualamos a 0 y obtengo tres soluciones, x igual a 0, x igual a más
menos a partido por b. A ver, dice Amade, es partido la s de la 2, ¿no? A
ver, no sé... Explícame lo que quiere decir Amadeo, que no sé lo que me
quiere decir, es partido de s. Es elevado a 2, no a menos 2. ¿Te refieres
a las dimensiones de A o B? En las dimensiones de B, ml t a la menos 2
partido de la 4, esto pasa con menos 4, menos... No, aquí hay un 1, ¿no?
Y aquí hay un 4, m elevado a 1. A ver. El tiempo, es el tiempo, estoy
repasando. L elevado a 1, L elevado a 4, L elevado a menos 4, menos 3. Y el
tiempo... Ah, bueno, aquí, vale, tienes razón, aquí. Vale, eso es una
rata. Perfecto. Muchas gracias, ¿vale? Te referías a eso, ¿no? Aquí
está bien, vale, aquí está bien, vale, hay una rata. Ahora está bien,
antes no estaba bien. Correcto. Muy bien. Bueno, entonces, los puntos de
equilibrio son... Pero necesitamos puntos de equilibrio estables. Por lo
tanto, habrá que calcular la segunda derivada y ver el signo. Entonces, la
segunda derivada de la energía potencial en X igual a 0 es negativa, por
lo tanto, ese punto es inestable. Y en los otros dos es estable. F
Sánchez, dices... F igual a ML, masa por aceleración, ¿correcto? Y F por
L, a ver, F por L, ML, T a la menos 2, ML, T a la menos 2. Bueno, quiero
decir que me faltaría poner aquí, a ver si lo estoy bien, la fuerza es,
energía de fuerza por longitud, ML, T a la menos 2 multiplicando por L,
¿vale? Que me queda ML2, vale, sí, correcto, faltaba ponerlo. Falta un
cuadrado en L del numerador, correcto, pero bueno, esta L con esta L se va
y esta solución es correcta, ¿estáis de acuerdo? Pero sí que me faltaba
poner aquí un 2, vale, correcto. Vale, entonces nos lo hemos aclarado,
¿no? Hemos quitado las erratas, nos centramos ya en el equilibrio, ¿vale?
Muy bien, perfecto, pues entonces tenemos que X igual a 0 es inestable y
más menos A partido por B, menos A partido por B y más A partido por B,
la segunda derivada es positiva, por lo tanto, solo tengo dos puntos de
equilibrio estable. Ojo que aquí hay una errata, este menos de esta sí
que me he dado cuenta, va con este, pero esto es más, luego aquí pondría
más, ¿eh? Luego esto es más. Bien, pues tengo solo dos puntos de
equilibrio estable de los tres, muy bien. Pues hoy represento aquí... Pues
esto está hecho con matemática para esta energía potencial, la curva en
rojo es la energía potencial, aquí tengo los equilibrios, en los
mínimos, los equilibrios estables y aquí está el equilibrio inestable.
Vale, pues la frecuencia angular para pequeñas oscilaciones de la
partícula en torno del punto de equilibrio, pues lo tengo que hacer en los
dos puntos de equilibrio estables. Voy a coger, por ejemplo, el equilibrio
estable positivo, que sería el 3, no el 2, para ser consecuente con la
transparencia anterior, aquí debería poner un 3. Voy a borrar, hay un 3.
Entonces en la procedura que os he puesto, pues hacemos el cambio de
variable. El cambio de variable es llevarme que los puntos estables siempre
sean x igual a 0, ese es el objetivo del cambio de variable. Entonces hago
que x sea igual a x' más el x02, por lo tanto la nueva variable x' es la x
menos x02, que es x menos la raíz de a partido por b. Por lo positivo.
Entonces en el potencial, donde tienes la x, pones el cambio de variable x'
más x02, eso es lo que he hecho aquí. Y ahora renombras el v de x' para
no andar con tanto lío, pues le llamas otra vez v de x. Renombramos. Vale,
bueno, un segundo, que tengo un problema, como habéis visto en esta
tutoría puedo conseguir los efectos de ecuación a ecuación, pero con una
trampa porque los efectos del powerpoint los subes aquí igual. O es
conferencia y no funciona. El problema es que cuando el documento largo es
muy largo, pues la trampa deja de funcionar, entonces voy a cambiar de
documento. para seguir el problema porque a partir de aquí, de la 200, los
efectos ya no me los ha hecho más. Eso es todo rápido, es cambiar
documento. Este no es el fit, me paso a este. Vale, pues estamos en el
mismo sitio que lo había preparado antes. Vale, pues entonces esto es lo
que estoy haciendo. Estamos aquí, renombramos al v de x' que es todo esto,
es lo mismo con x. ¿Y ahora qué tengo? Pues ahora tengo que la fuerza,
que va a ser el equivalente al airhook, que es menos la derivada respecto
de x, que es desarrollo de Taylor, menos v' en x igual a cero, menos x por
la segunda derivada que va a ser cero, menos un medio de x cuadrado por v3
que desprecio. Perdón, la que es cero es esta. La primera derivada es
cero, la segunda no. Y entonces esto es el equivalente de la ley de Hooke.
Vale, pues entonces me queda... Uy, me queda... Esta f de x y saco que la
frecuencia natural del sistema es la raíz de k partido por m, que como
hemos visto en teoría es la segunda derivada en x igual a cero, una vez
que he hecho este cambio de variable. Y en este problema la segunda
derivada en x igual a cero es 2a. Luego la frecuencia de pequeña
oscilación en torno a este punto, cuando el sistema lo separe, oscilará
como un más. Oscilará como un más con esta frecuencia. Preguntas,
observaciones... ¿Entiendes? La frecuencia va con la segunda derivada en
el punto de equilibrio siempre x igual a cero, una vez que has hecho este
cambio de variable. Stoner dice no es 2b partido porque 2b. A ver, ¿por
qué es 2b? A ver... El v de x vale esto. V de x vale esto. Hago la primera
derivada. Esto me da cero. A ver, un segundo, que es que justo... A la
ventana que veo mal. A ver, 2a más 3b, esta es toda la v de x. Si hago la
primera derivada, esto es cero. Esto es 3b, pierdo la x. Esto me queda... x
por esto. No, yo creo que yo veo 2a. Vale, vale. Entonces es 2a, ¿no?
Perfecto. ¿Eh? Es 2a. Vale. Uy, primero tiene que mover fuera de la
pizarra. Vale. Una pregunta más. Si la perturbación inicial, no. En el
ejercicio final vamos a contestar a Serrano... Me dice a Serrano que si la
perturbación inicial fue de medio metro, también hubiera un más.
Posiblemente no. Bueno, para contestar lo que dice Serrano, el apartado 3
lo tenía resuelto. Es hacer lo mismo pero en el otro punto, en el que es
negativo. Y la contestación es el límite de validez de esta
aproximación. Es la última propiedad que hemos visto en teoría. Todo
esto será válido... ...para esta contestación. ...para esta condición.
x por la derivada tercera en x igual a cero tras el cambio de variable
tiene que ser mucho más pequeño que la segunda derivada en x igual a
cero. Esta es la segunda derivada en x igual a cero. Esta es la tercera
derivada en x igual a cero. Este problema sólo tiene sentido para x que
cumplan esta condición. y hay que ver ya los valores de ibe para ver si el
medio metro funciona contestado a serrano de 162 por eso esta propiedad es
importante os dais cuenta no poco para los exámenes y es a veces en muchos
textos está un poco liado yo aquí lo he preparado de la forma más carita
que yo la entiendo con esto se contesta todo vale bien pues como estamos ya
casi fuera de tiempo os comento que quedan problemas resueltos entonces voy
a ir a comentar el material que tenéis el siguiente problema es un
problema divertido si lo podéis ver es un problema bueno con cierta
originalidad propone que modifiquemos la segunda ley de newton que es
atractiva con un término repulsivo acción al término repulsivo en
física en gravitación hoy en día existen términos repulsivos en
gravitación hoy en día masa negativa energía oscura mejor hay dos cosas
que son de energía oscura la energía oscura es la que no sabe muy bien
qué es un contenido de masa que sólo se ve por los efectos de
gravitación sobre galaxias y lo que ésta hace es que en vez de atracción
genera una repulsión hay candidatos pero son observaciones astronómicas y
mucha ignorancia volvemos a estar un principio como principios del siglo 20
en física no no no no confundir la energía oscura con la otra con la
materia oscura la materia oscura es otra cosa la energía oscura es a un
nivel más grande a nivel de repulsión gravitatoria esa es la energía
oscura la más oscura es el básicamente el que no se cumple la tercera ley
de kepler porque hay más masa que no ves pero la energía oscura sería un
contenido que hace que el universo a gran escala esté expansionando sino
con velocidad constante que era un buen día de la carrera sino con algo
que se descubrió a principios de este siglo del siglo 21 en observaciones
en observaciones astronómicas que es que el universo está en expansión
acelerado por lo tanto si está acelerado tiene que ver una masa que tire
vale pues esto es un divertimento pues pongamos que sea una cosa así a
cierta escala la gravitación se puede cambiar con algo que tira positivo
pues os pregunta la energía potencial de las partículas bueno
básicamente es lo que hemos visto en el problema anterior de oscilaciones
pero a nivel gravitatorio aquí tienes una masa m1 más m2 esta acción
aquí tenéis que construir el potencial con la energía potencial y
considerar cuando tendrías oscilaciones y equilibrios divertimento los
siguientes problemas son mecánicos no nos preocuparon si no lo vemos en la
siguiente tutoría porque los volveremos a ver en la tercera tutoría pero
con amortiguadores aquí donde funciona bien lo que os decía de mirar con
muchos muelles la ley de hook sin solo el módulo no sin signo de estos hay
una colección grande de problemas bueno este problema es divertido mi
charla un vistazo tiene que ver con el principio de equivalencia dentro de
un ascensor bueno pues aquí una oscilación también problema interesante
este problema es básicamente que perforas la tierra pero fueras la tierra
con una capa cilíndrica y esto sería un sistema de transporte en una
película de ciencia ficción basada en esto sería como tener una vagoneta
que baja por masa en el campo gravitatorio. ¿De acuerdo? Aquí este
problema se plantea resolviendo el teorema de Gauss para la gravitación y
lo que tenéis es estas oscilaciones. La masa M esta estará oscilando.
Problemas físicos, luego existen problemas con sólido rígido y
péndulos, los que hemos visto antes en teoría, y varios sistemas
mecánicos con muchos muelles, pero que esto nos aparecerá en la tercera
tutoría, además con amortiguadores. Y si quisiera hacer un comentario
después de estos problemas de mecánica, los dos últimos problemas son
interesantes, unas oscilaciones en termodinámica y otra otra vez en
hidrostática. A ver si llegamos. Bueno, me voy a ir directamente al final.
Vale. Un poquito antes. Este es el problema 20. En el problema 20 tenéis
un pistón de fricción despreciable donde inicialmente a la izquierda
tenéis 3P0, a la derecha P0 y aquí hay una cierta longitud conocida.
Entonces se trata de controlar, ver que las oscilaciones de este pistón
siguen un más y después cómo tratar un sistema termodinámico. Es
importante que aquí la comparación será estado 1. O sea, la comparación
que hay que hacer es estado izquierda en la situación 1 con estado
izquierda en la situación 2. Derecha en el estado 1 con derecha en el
estado 2. Para aplicar la suma de fuerzas igual a masa por aceleración, lo
que hacemos aquí es suma de... Aquí tenemos la situación de equilibrio
como con los muelles. Aquí la situación dinámica y aplicarla la segunda
ley de Newton. Y el último problema, el 21, es un problema de
hidrostática. Echarles un vistazo. El jueves tendremos más tiempo. Si
tenéis algún problema con esto me lo decís y si no pues hacemos la
tercera tutoría que son... Oscilaciones amortiguadas con la ecuación que
hemos visto homogénea y lineal y se dan muchos problemas con muelles. Ahí
nos aparecerán problemas mecánicos con muelles y amortiguadores. ¿Alguna
pregunta más? Pregunta, observación. Ahora os subiré esta tarde, os
subiré el material de la tercera tutoría para que os echéis un vistazo
el jueves. Y el jueves recordad que tendremos las tutorías a las 7. De 7 a
9 como el jueves pasado. Pregunta, observación. Voy poniendo la sintonía
y si queréis decir algo pues me lo decís en el chat. Vale, estáis ahí,
¿no? Nos ha cortado esto, ¿no? Hola, hola. A mí me parece que nos han
cortado. Muy bien. Pues nada, ponemos la sintonía y nos vemos el jueves
que viene. Recapto, prometo poneros la letra de la sintonía. A ver. Yo la
subo en el material. Joda Guardiola la canción es la canción del físico
de partículas cantada por el coro del CER en el centro neuroárquico del
CER podéis buscar esta en Youtube os pondré también un enlace Joda
Guardiola