Y a continuación voy a compartir el escritorio. Podríamos titular esta
sesión o gran parte de la sesión como tratamiento del teorema de Gauss.
Dentro del TIPLER es en el segundo tema donde hace el tratamiento, porque
esto está enmarcado dentro del cálculo de campos generados por
distribuciones continuas de carga. Pero sin embargo, por su interés y por
su importancia, merece la pena subrayarlo y destacar el teorema de Gauss.
Yo en este PowerPoint actualizado, que lo tengo que reenviar porque tiene
añadidos, tiene comentarios manuscritos. Primero, respecto a este
enunciado, es muy típico. Siempre han salido problemas relacionados con
distribuciones esféricas en Gauss. Por eso no me voy a salir del guión.
Quizás algún problema complementario que se envía, que no sea una
esfera, pero no lo comentaré aquí en la sesión. Aquí, esto es una
sección, un corte transversal de las esferas concéntricas que estamos
visualizando en la imagen. Y básicamente es un sistema de tres esferas.
Una de radio A, donde todos son conductores. Aquí no hay, de momento,
problemas con dieléctricos. Donde hay una carga distribuida en esa... Voy
a leerlo. Una corteza esférica conductora de radio interior B y exterior
C. Estamos en la carcasa exterior, que es el espesor C menos B. Ahí hay
una carga Q. Después, una esfera densa, maciza, de radio A, donde hay
distribuida una carga. Entre la esfera interior y la corteza esférica no
hay nada. O sea, lo que hay entre radio B y radio A, no hay nada. Entonces,
los dos conductores están aislados uno del otro, no se tocan. Si no, se
produciría una descarga de cargas. Y, bueno, se definen tres zonas. Aquí
lo dice el enunciado. Pero normalmente los problemas de Gauss... No lo
comentan. Aquí sí. Este sistema de esferas concéntricas divide todo el
volumen del espacio en tres zonas. Una zona 1, que es el exterior de todo
el sistema. Una zona intermedia entre los radios B y A, que es la zona
donde no hay nada entre esferas. Y una zona interior en puntos menores que
A. Bueno, pues me pide calcular. El campo eléctrico en esas tres zonas,
que es en todo el espacio. Y el campo eléctrico y el potencial eléctrico.
Curiosamente aquí es más fácil calcular el campo eléctrico. Bueno, más
fácil. Más limpio, con menos cálculos que el potencial. Yo aquí voy a
subrayar dos cosas de este problema, que se va a repetir en todos los
problemas de Gauss. La aplicación de la integral propia de Gauss. Del
flujo del campo eléctrico. Y cómo se calcula un potencial de una
distribución continua. Cuando esa distribución continua es esférica. Muy
bien. Bien, comentarios al respecto. Mirad, he puesto aquí un pequeño
manuscrito, recetario, sobre las implicaciones de Gauss. Bueno, la teoría
de Gauss es muy extensa, pero aquí vamos a ir a lo práctico. Mirad.
Reconoceréis la expresión de Gauss por esta expresión integral, que es
un flujo del campo eléctrico por diferencial de superficie, que es igual a
la carga partido por la constante dieléctrica en el vacío. En principio,
esta es la descripción literal. Pero, ¿qué es Conte? ¿Cómo se aplica,
mejor dicho? Solo se aplica el término de Gauss cuando las cargas se
distribuyen en esferas, o en paralelepípedos, o en planchas de espesor,
que, por ejemplo, podemos considerar despreciable, o en cilindros. Nada
más. Por una sencilla razón, y es que, a priori, ya sabemos cuál es la
dirección del campo eléctrico. Mirad, un ejemplo aquí. ¿Cómo se aplica
el campo, el tránsito de Gauss? Al final, con el tránsito de Gauss, solo
calculamos el módulo del campo eléctrico. No podremos calcular nunca su
dirección. De hecho, solo aplicamos el tránsito de Gauss cuando, a
priori, sabemos cuál es la dirección del campo que nos piden, y no se
podría calcular. Eso es un a priori. Si no, no se podría calcular. Bien,
vamos a poner este caso, que no es específicamente el problema que nos
atañe, pero que, como explicación, creo que será suficiente. Tengo una
esfera maciza con una carga Q extendida por todo su polígono, y me piden
calcular el campo en un punto P exterior a esa distribución. Bueno,
entonces, ¿cómo se aplica el término de Gauss? Primero, hemos de trazar
una superficie de Gauss, matemática, conceptual, en donde se encuentre
insertado el punto donde tenga que calcular el campo. Es decir, esa
superficie de Gauss, en este caso, como el punto es exterior a la
distribución real, en su interior va a estar toda la carga real y el punto
va a estar marcado en la superficie. Aquí lo tengo más o menos dibujado.
Segundo, la Q que aparece en el segundo miembro del teorema de Gauss es la
carga real que ha quedado dentro de esa superficie de Gauss. De esa bolsa
de Gauss. En este caso, ha quedado dentro toda la carga real. ¿Y ese
integral cómo se resuelve? Bueno, primero, en este dibujito yo ya sé que
el campo... Bueno, he puesto B, perdonadme. Es E, campo eléctrico. Que el
campo eléctrico es radial, que el vector superficie de una sección
esférica también es radial, y por tanto, B y S en cualquier punto de la
esfera siempre mantienen la misma dirección y sentido, que es cero grados
y el coseno de cero es uno, que es el coseno que aparece en el desarrollo
de este producto escalar. Concluyendo, siempre en el interior de esta
integral desaparecerán las flechas porque el coseno es cero grados y es
uno. Es E por diferencial de S. Además, yo sé que el campo solamente
tiene dependencia radial. Eso también lo sé a priori. Y el elemento
diferencial de superficie esférica es, para toda la superficie, cuatro pi
R cuadrado diferencial de R. Esto lo tenemos que poner como una etiqueta,
sin entrar demasiado en profundidad en coordenadas esféricas. Sustituimos
todo en la superficie de Gauss y mirad, siempre llevo una expresión
similar a esta que tengo aquí, E por cuatro pi R cuadrado partido por Q
épsilon sub cero. Despejo la R y tengo el módulo del campo. Luego, si lo
pongo en notación vectorial, yo ya le añado el vector radial. Pero porque
sé que a priori va hacia la superficie exterior. Esta es la parte de la
teoría. También ocurre para cilindros y también ocurre para el
epípedos. Una superficie irregular no se puede utilizar Gauss porque no
podemos llegar... a ninguna conclusión sobre cuál es el ángulo que forma
el campo eléctrico con el vector superficie. Puede ser una variable más,
que nos complica el problema hasta el punto de no poder resolverlo. O bien
que la distribución continua de carga es muy irregular, con lo cual
tampoco nos permite utilizar todo el potencial de Gauss. Gauss cuando se
puede aplicar, nos resuelve rápidamente el ejercicio, pero es muy exigente
en cuanto a las condiciones. Han de ser distribuciones esféricas,
cilíndricas o planas. A priori sabemos cuál es la dirección del campo
que tenemos que calcular, con lo cual Gauss solamente nos proporciona el
volumen. Bien, pues con esta pequeña introducción teórica vamos al
ejercicio. El ejercicio es calcular el campo. Voy a ir de fuera hacia
adentro, en la zona 1, en la zona de puntos del exterior. Entonces, en la
zona del exterior, pues aquí tengo más o menos este dibujito croquis. El
punto está muy alejado de toda la estructura de esferas. Fijado el punto
delimito la superficie de Gaussiana, cuyo requisito es que en alguna marca
de esa superficie haya el punto. Y esta esfera que no he terminado de
dibujar sería una esfera que engloba, en este caso, a toda la
distribución de carga. Con lo cual aquí aplico Gauss, hasta aquí todo
igual, despejo y la Q que aparece en el numerador es toda la carga real del
ejercicio que haya quedado en el interior de la superficie de Gaussiana. En
este caso, toda la carga. Q sub a más Q sub v. Toda. No importa dónde
esté. Como estoy en un punto fuera del volumen real de cargas, pues es la
Q a, como esté distribuida, y la Q v esté como esté distribuida. Que
haya zonas del interior donde no exista carga, pero estoy en el exterior y
he de contabilizar la suma escalar, la suma total con sus signos, de todas
las cargas. Podría darse la circunstancia de que el campo en el exterior
fuese cero si el valor en Coulombius de curso a y el valor en Coulombius de
curso b fuese el mismo pero de signo contrario. ¿Eh? Pero bueno, esto el
problema no nos da el dato escalar de Q sub a y Q sub v. Con lo cual, el
valor de E en el exterior pues es, en realidad si los observáis con
atención, es el campo coulombiano creado por una carga puntual a una
distancia r del centro de la esfera. Donde Q es el valor de toda la carga
que haya sido incluida. Bien. La segunda zona. En principio,
matemáticamente es lo mismo. Vamos a llegar a una expresión similar a
esta primera que tenéis aquí. Para no dar el tono oscuro de la foto pero
bueno, era manuscrito y lo he procurado hacer bien. Ahora mirad el dibujo.
Ahora estoy en un punto que se encuentra en la zona intermedia entre los
dos entre la esfera maciza de radio A, que es esta pequeñita que he
dibujado ahí y la corteza esférica de radio C menos b que se encuentra
ahí. Entonces yo estoy en puntos que están dentro de la de la corteza
esférica que está entre B y C. Es de proceder de la misma manera. En
principio, el campo yo sé que es radial que es paralelo al vector
superficie que el campo solamente depende del módulo de la distancia al
centro pero esta Q ahora mismo ¿qué carga real ha quedado dentro de esa
superficie de caos? Pues ha quedado toda la que tiene la esfera de radio A
que es Q . Más, claro, más parte de la carga que ha quedado englobada
dentro de esta superficie donde la R es variable dentro de los límites de
C y de B. ¿De acuerdo? Entonces como suponemos que esa distribución ha
sido continua ha sido... pues entonces yo voy a coger la parte proporcional
entonces mirad que aquí este pequeño cálculo que hago es una
proporcionalidad directa. Esta resta de volúmenes es el volumen del del
volumen delimitado por la superficie de caos menos el volumen de radio
esférico de radio B. La resta es precisamente el volumen del casquete
esférico que está dentro de la superficie de caos. He de considerar sólo
la carga que se encuentra en esta zona y la carga total que hay en ese
casquete es la que hay en el volumen en la resta de dos volúmenes
esféricos, el de radio C y el de radio B. Pues trazo la proporcionalidad y
la carga que queda es una proporcionalidad directa. Cuanto más se acerca
la R pequeña al valor de C más se acerca esa carga encerrada a Q sub B.
Cuanto más cerca está esa R de B pues menos carga de ese casquete queda
contenido en la superficie de caos. Resumiendo, trazo la proporcionalidad
directa y me queda pues esta expresión que es una fracción de la carga
total que queda encerrada en ese casquete. Aquí como veis cuando la R es B
no hay carga encerrada y cuando la R es C toda la carga posible. Pues
entonces perdón bien pues entonces volviendo al teorema de Gauss pues la
carga que he de colocar en la expresión número 2 es a Q suma de Q sub A
que ya de origen ya viene incluida en la superficie de caos más esta parte
proporcional de la carga que ha quedado incluida. Esa es toda la Q que
queda ahí partido por 1, partido por 4 tiene que ser R al cuadrado. Claro,
aquí ya podemos entender que no siempre aquí se ve claramente que el
campo creado por esa distribución esférica más ese trozo de carga que ha
quedado distribuida en un casquete esférico aquí ya es una expresión que
evidentemente está en función de la geometría del problema. Tiene una
parte colombiana que es la primera, se quitó el corchete y una segunda
parte que arriba es de grado 3 el polinomio y abajo de grado 2 pues bueno
la dependencia ya no es colombiana. ¿Qué pasa en la tercera zona? En la
tercera zona son puntos que están dentro del volumen interior A. He de
proceder siempre de la misma manera. En la zona 3 disculpad, aquí no se ve
muy bien vamos a ver si puedo ampliar aquí en la zona 3 bueno aquí el
dibujo realmente es mejorable solamente me interesa la esfera de radio A y
el punto está en el interior esa R pequeña varía entre 0 y como máximo
A pequeña y la superficie de Gauss ha quedado encerrada para valores
menores que A entonces la carga que ha quedado encerrada es un poco el
mismo proceder es la parte proporcional de toda la carga que hay si para
todo el volumen es Q sub a para el volumen que corresponde a R pequeña
será Q me sale esta proporcionalidad que es la que sustituyo arriba en Q y
me da su expresión aquí sí que se simplifican claramente un R cubo
arriba con un R cuadrado abajo y me queda que el campo es lineal este
resultado es análogo e idéntico al que se obtiene aplicando el problema
de Gauss para calcular el campo gravitatorio estamos hablando de la
asignatura anterior para en zonas interiores del planeta Tierra donde el
campo gravitatorio es lineal es que es el mismo desarrollo exactamente el
mismo cambia la constante universal sale valor negativo porque es siempre
atractivo y no depende de la carga Gauss solamente me da el módulo y como
veis siempre le añado perdón, siempre le añado la dirección radial y su
dependencia radial que esto es una priori con lo cual ya tenemos esta
función a trozos del campo eléctrico para las tres zonas esta para
valores de R menores que A y la anterior para valores de R perdón para
valores de R situados entre A y B y para valores exteriores que es la zona
1 que es la expresión colombiana cuando hemos considerado toda la carga
del sistema este como esté distribuida para puntos alejados de toda la
estructura de cargas ya está el campo ya lo hemos calculado una función
en tres zonas tiene tres trozos y ahora me piden calcular el el potencial
bueno lo he utilizado, lo he hecho como me sugieren aquí el potencial
colombiano en el infinito es cero es obvio que es cero porque sino
tendríamos un problema de discontinuidad mirar aquí la expresión
colombiana va como uno sobre R al cuadrado en R cero el campo no está
definido estamos esquivando siempre el origen de la esfera entonces no
puede ser nunca el origen de una esfera donde hay la carga o si es una
carga discreta la posición donde está la carga el origen del campo o el
origen del potencial porque ahí diverge la función donde la función
tiene un valor constante independientemente del sistema de referencia en el
infinito en el infinito el potencial es cero el campo en el infinito
significa muy alejado de la influencia del campo eléctrico es cero y es
ahí desde donde tenemos que partir para calcular cualquier tipo de
potencial colombiano digo colombiano porque más adelante nos vendrá
algún problema de cálculo de potenciales donde no hará falta poner el
sistema de referencia en el infinito porque el campo es constante es cuando
estamos en un condensador en un condensador el campo siempre vale lo mismo
esté donde esté siempre que estemos en el interior del condensador es
constante entonces el origen puede ser precisamente una de las placas pero
no es el caso en esta situación con lo cual como se procede para
potenciales pues mira siempre se procede de la misma manera en la zona 1
recordad que es la zona que va desde el infinito voy a poner el dibujo que
va desde desde el infinito hasta puntos tan cercanos como yo quiera a c sin
tocarlo voy a calcular el potencial en cualquiera de esas en esa zona en
esa zona el campo que interviene es el primero que he calculado el
colombiano los potenciales en esta situación siempre se calculan como
diferencias de potencial aquí muy bien vamos a proceder en la zona 1
potenciales para posiciones mayores que el radio exterior de todo el
sistema trazo esto es la hay que recordar que el campo eléctrico es el
gradiente del potencial con respecto a la posición cambiado de signo si
despejamos el potencial nos sale este integrar con respecto a la posición
este campo y el campo lo integro desde el origen de potenciales el origen
es infinito siempre tengo el infinito como referencia hasta el punto donde
estoy calculando el campo, aquí estoy empezando del infinito hasta el
punto donde considero y el último será la distribución que está fijada
en el espacio pero será la última zona a tener en cuenta voy al revés
normalmente los problemas uno entiende que hay que empezar establezco el
origen de potenciales en el 0,0 de mi sistema y voy hacia el infinito no,
aquí cuando estamos hablando del coulomb el origen que es el infinito
nuestro sistema de referencia es de donde van a partir todos los cálculos
de potenciales pues desde infinito hasta esta posición donde R siempre es
mayor que el radio exterior de la esfera más grande el campo es el de la
zona 1 esto es un logaritmo, porque todo es constante e íntegro y me sale
la expresión del potencial coulombiano no hay esta es la expresión del
potencial electrostático creado por una carga puntual en posiciones
alejadas de la posición del punto en la zona 2 veis que aparecen dos
integrales porque tengo que llegar de infinito hasta R, pero esta R esta R
voy a poner el dibujo aquí es una R que está entre entre B y C una R que
está en esta zona para llegar a esta zona viniendo del infinito tengo que
ir del infinito hasta C y de C hasta ese punto ¿por qué tengo que hacer
ese cambio? porque cuando atraviese la primera superficie el campo ya será
distinto entonces la integral tiene que cambiar necesariamente entonces, la
integral de infinito hasta R, en realidad van a ser dos integrales de
infinito hasta la separación de las dos esferas y de C hasta R que es lo
que vamos a hacer a continuación ¿de acuerdo? la integral más o menos se
desarrolló espero no haberme equivocado, luego lo repasaré pero me
interesa la forma de resolverlo para puntos entre radio exterior C y B pues
voy de infinito hasta C que ya tocar la primera superficie y de C hasta esa
posición el campo ha cambiado en la primera es U1 y en la segunda es U2
esta primera integral en realidad es esta función sustituyendo R por el
valor C es una constante que voy a arrastrar y la segunda integral bueno,
pues la tengo que resolver donde E2 tengo puesto literalmente todo su valor
es inmediata evidentemente es inmediata pero bueno, tiene su álgebra
porque al quitar el paréntesis tengo una parte de coulomb que es esta de
aquí este menos de aquí de fuera de la integral es este menos de aquí y
el segundo término del corchete es esta segunda integral que no es
difícil en sí porque es un polinomio es una integral inmediata y el
denominador es constante la integral de arriba es R4 partido por 4 y B cubo
por R entre C y B pues sustituyo aquí aquí ya está para R esto es una
integral definida para R y C aquí ya hay un término en variable de R y
aquí un término en R cubo y me da toda esta expresión esto normalmente
se reajusta es decir, se ordenan los términos todos los que dependen de R
todos los que dependen de R al cuadrado al cubo, a la cuarta y uno partido
por R pero como veis siempre vamos arrastrando términos constantes desde
el infinito esto de luego ya no se parece a un potencial colombiano y la
zona interior pues arrastramos la zona de tres veis que ahora ya no son dos
integrales sino que nos salen tres porque hemos de atravesar otra segunda
esfera de infinito a C que es para cuando uno contacta con la primera
esfera de C a B que es atravesar el casquete esférico con carga después
de B hasta R que es el tercer valor del campo claro, las dos primeras
integrales en realidad la primera integral es el valor que ya llevo
arrastrando de la anterior la segunda integral es el segundo término para
R igual a B y la tercera integral aquí la tengo abajo todo esto lo he
llamado V0 porque al fin y al cabo es un número que voy arrastrando que
seguramente se puede simplificar se puede hacer ese primer paréntesis que
es una resta de fracciones y bueno me cabe alguna simplificación y la
tercera integral en el campo interior yo he renombrado todo esto como V0 y
el término en R acordaros que el término del campo eléctrico en el
interior de la última esfera era lineal con lo cual este problema junto a
otro de Gauss que os reenviaré comentado y un tercero de Gauss pero
cilíndrico donde me piden siempre campo y potencial vais a ver que el
potencial siempre tiene esta forma de proceder no es una expresión
automática de V es igual a K por Q partido por 4 pi Epsilon C esto
solamente funciona cuando la carga que me está creando el campo es puntual
está en una posición definida del espacio y bueno pues todo sin ningún
problema se puede integrar desde el infinito hasta ese punto que coincide
precisamente con la sustitución del valor del potencial electrostático
que es de las primeras expresiones que os encontráis en el primer tema de
la electrostática de Coulomb para el potencial esta es la idea entre este
fin de semana poner el límite de fin de semana os reenviaré este archivo
y dos complementarios de Gauss resueltos uno salió en un examen es
parecido a este que hemos comentado y otro que no ha aparecido en el examen
sino en una prueba de elaboración continua de hace algunos años pero que
también se resuelve por Gauss y me piden tanto el campo eléctrico como el
potencial bien, otra situación la verdad es que muy bien otra situación
de distribución continua de carga que sí que quiero vamos a ver si
consigo reducir un poco el campo esto es lo he añadido yo para hacer una
aclaración pero bueno sobre esto ya no es Gauss pero sí corresponde al
cálculo de campos debido a distribuciones continuas de carga
distribuciones continuas por ejemplo este es un hilo que lo han doblado en
forma de semicírculo semianillo y piden calcular el campo en el puntito
blanco, en el origen y este por ejemplo es una varilla la tengo aquí de
longitud L conocida y me piden que calcule el campo eléctrico debido a
toda la carga distribuida continuamente a lo largo y ancho de esta varilla
en un punto de su eje longitudinal y otra configuración de la misma
varilla podríamos decir que es esta donde me piden lo mismo calcular el
campo pero no en un punto del eje longitudinal sino en un punto del eje de
su mediatriz la distribución es la misma pero el punto es diferente el
cálculo es completamente diferente en estas tres situaciones no se puede
aplicar Gauss no es una distribución no es una distribución esférica ni
cilíndrica ni paralelepípeda es decir caja de cerillas con o sin espesor
en estos casos en los que no podemos reducir la distribución de carga a un
punto y donde no podemos aplicar Gauss hemos de aplicar lo que se llama la
expresión directa del campo electrostático ¿de acuerdo? entonces vamos a
empezar con el caso que considero más sencillo que es este me hice una
varilla unidimensional posee una carga Q pero distribuida puntada a lo
largo de esa varilla en un punto alineado alineado con la varilla tal y
como indica el dibujo me da como datos el dibujo no viene con el problema
es decir hay que diseñarlo entonces claro aquí como vamos a terminar en
una integral tenemos que definir muy bien cuál es nuestro origen de
coordenadas porque va a ser nuestro origen de integración donde está el
punto en ese sistema de coordenadas aquí no es difícil porque todo se
distribuye en una misma línea esto va a ser un integral de línea de una
sola dimensión porque todo está en el mismo eje X es uniforme uniforme
significa esto que tenéis aquí que la densidad de carga Q partido por L
da igual que cojáis toda la longitud que una cata de esa varilla la
densidad es la misma es lo que significa esto que si cogéis toda la carga
partido por toda su longitud ese cociente es el mismo que si cogéis una
cata en este diferencial de Q partido por la longitud diferencial de X que
tiene esa carga el valor es el mismo porque es homogéneo y ese valor de
coulombios partido por metro es la lambda que es la densidad ¿de acuerdo?
pues bien esto siempre se procede de la misma manera voy a olvidarme que la
carga está en la varilla sino solamente voy a fijar mi atención en ese
diferencial de Q como si solamente estuviera ese diferencial de Q tan
pequeño como yo quiera tan pequeño que puedo aproximarlo a una carga
puntual pues bien en ese caso sí que sabemos resolver el campo
directamente es la expresión de coulomb donde me dice que el campo es el
valor el módulo es K bueno, 1 partido por 4 pi Y sub 0 o el valor de la
carga que es diferencial de Q partido por la distancia que hay de la carga
al punto es lo que estoy utilizando aquí donde estoy suponiendo que en el
punto estoy colocando la unidad de carga positiva siempre, por convenio nos
hemos puesto de acuerdo en el universo entero para que cuando calculemos un
campo eléctrico la unidad de carga que coloquemos en un punto es siempre
la positiva para definir direcciones y sentidos de los campos ¿de acuerdo?
quiere decir que en este caso si la diferencial de Q es positiva bueno, no
lo sé pero si fuera positiva yo el campo lo dibujaría del punto P hacia
los positivos del eje X bueno, pues esto es esto es K por Q partido por la
distancia de carga a punto si veis aquí en esta distribución geométrica
si la X es la posición de ese elemento de carga respecto a mi sistema
respecto a mi origen la distancia de esa carga al punto pues bueno, es
cuestión de poner L más D menos X esta elección no es única depende de
donde coloquéis el 0 si el 0 es el punto cambia la distribución de
distancias por supuesto y cambia la distancia pero también cambia los
límites de integración esta es una de las varias posibles elecciones que
podemos hacer que es L que es D y que es X aunque aquí en el ejercicio ya
me determina la distancia D de uno de los extremos al punto ¿de acuerdo?
bien, pues hay que hacer la integral entonces la integral en la carga el
diferencial de Q utilizo la expresión de uniformidad de la carga
diferencial de Q es lambda, diferencial de X cojo la segunda igual a que es
la que me interesa sustituyo su valor e integro la Q entre qué valores de
longitud las puedo elegir desde el 0 hasta la L mayor de L no hay cargas
aquí estoy integrando para todas las cargas reales entonces aquí
evidentemente se integra entre 0 y L esta expresión ¿de acuerdo? más o
menos complicada más o menos sencilla aquí lo he dejado todo en función
de la lambda pero esta lambda al final es Q partido por L vuelvo a salir la
L y obtengo la expresión situación similar la encontramos que ocurre
cuando la carga la hemos distribuido en un semi anillo, no semicírculo
semi anillo y quiero calcular el campo en el centro de esa circunferencia
el procedimiento es exactamente el mismo aquí en algún sitio me tiene que
decir o me tiene que dar a entender que la densidad es homogénea me dice
que el hambre se carga hasta tener una carga total Q distribuida de manera
uniforme, siempre esa frase aparece en algún punto del enunciado que se
traduce en esta expresión en la expresión de que da igual que coja todo
el semi anillo o una cata de ese trozo de anillo de longitud diferencial de
L, que contiene una diferencial de Q, ese cociente es el mismo veis que ese
razonamiento es el mismo lo único que aquí ya no es un integral es de
línea pero no es un integral cartesiano es un integral polar operando en
ángulo porque diferencial de Q es lambda diferencial de L y diferencial de
L aquí lo veis con mi letra el arco de una circunferencia siempre es el
radio por el ángulo abierto con lo cual siempre podemos poner la carga en
función de la variable de integración que en este caso es el ángulo esto
también es un desarrollo muy común el que vimos en el ejercicio anterior
y es y como es una carga puntual es Coulomb es decir, el campo creado por
ese diferencial de Q es K por su carga partido por la distancia al punto
que es el radio al cuadrado precisamente y diferencial de Q es la densidad
de carga lineal por radio por diferencial de ángulo lo sustituyo todo y la
integración va de 0 a pi, no integremos de 0 a 2 aquí depende del dibujo
esta es la abertura del abanico y ese ya es directamente el campo el campo
aquí no he puesto lo calculado en módulo K por Q partido por R2 cuando
pones la densidad en función de la Q y de la longitud una aclaración y es
la longitud es PR estos son resultados básicos geométricos que tenemos
que saber la longitud de la circunferencia 2PR por eso ha desaparecido de
aquí la pi porque la longitud es pi por R y esta segunda R con la R que ya
tengo es R al cuadrado ¿qué dirección tiene? radial, es decir unidad de
carga positiva, unidad de carga positiva el campo siempre va en la
dirección de radio porque si cambio la Q cambio la E pero siempre mirando
en la dirección del vector unitario radial y bueno me piden el potencial,
pero aquí el potencial es mucho más sencillo empiezo por Coulomb en el
diferencial de carga que está a una distancia R hago la misma sustitución
porque es el mismo diferencial interior de 0 a pi y me da el valor
correspondiente y una cuarta geometría que me interesa que la veamos antes
de finalizar la sesión que vuelvo a la varilla que es esta pero ahora el
punto ya no está en el eje longitudinal sino que está en un punto de la
mediatriz como veis en el dibujo bueno me pide la fuerza y la energía pero
voy a calcular el campo eléctrico una vez que sepa el campo eléctrico de
ese punto la fuerza que se ejerce de ese punto cuando coloca la carga Q es
E por Q, ya está, no tiene más entonces aquí la clave es campo esta
expresión que viene aquí es la expresión literal e integrada del campo y
aquí hay que describir lo que es cada cosa mirad, vamos a ver la lambda es
la densidad de carga que me hayan distribuido en este caso en la varilla R
sin primas es la posición del punto en donde me piden que calcule el campo
con lo cual R sin prima esa R no es una variable está fijada de antemano
en el ejercicio en este caso la R es la distancia del punto a mi sistema de
referencia como el sistema de referencia ya ha cogido el eje que es el de
la varilla y el eje Y es de la mediatriz con lo cual el punto donde me
piden calcular el campo está en el eje Y y el punto donde me piden
calcular el campo es en dirección J en el eje OI y de valor D este es el
valor del vector R prima es la posición de cualquier diferencial de Q que
considere por ejemplo este diferencial de Q de la derecha del diagrama
está en una posición voy a fijar solo en uno ese X sí que es variable
porque ese diferencial de Q puede variar en la varilla desde el punto
central de la varilla hasta cualquiera de los dos extremos en más X y en
menos X R menos R prima es la resta de estos dos vectores son dos vectores,
yo los resto y están entre barras que es el módulo de esos dos vectores
este es el cálculo del módulo donde D está fijado y la X es variable
estamos construyendo la intera y el diferencial de L es la coordenada en
donde se mueve el diferencial de Q ese diferencial de Q lo puedo poner en
diferentes puntos de X, pues si la muevo un poco lo estoy moviendo en
diferencial de X es escalar, es el diferencial de X ya lo tengo todo lo
sustituyo en la integral la densidad es constante me dicen que es una
densidad del lineal de carga la anda constante esta resta de vectores es
esto de aquí y esto de aquí abajo es el cubo de ese módulo y diferencial
de L es diferencial de X y esto está integrado como mi origen está en la
mitad de la varilla está integrado desde este extremo que queda en la
parte negativa y este extremo que queda en la parte positiva aquí tengo
acabo de tener un pequeño despiste bueno, despiste no yo he dado por hecho
que la longitud de la varilla es A acabo de leer que la varilla tiene
longitud 2A esto lo han puesto para no poner yo fracciones en los límites
de integración si yo sigo las indicaciones del ejercicio la integridad
sería de menos A hasta más A porque la varilla tiene longitud 2A es la
integral dando por hecho que la longitud de toda la varilla es A ¿de
acuerdo? bueno, pues la integral aquí uno dice parece complicada la
integral tengo la no sé por dónde tirar pero mirad antes de coger libros
de tablas matemáticas y demás esta es la integral que nos puede salir en
cartesianas mirad por eso el sentido del dibujo para cada diferencial de Q
yo tengo otro diferencial de Q podríamos decir como espejo al otro lado
del cero que sobre ese punto ejerce exactamente el mismo campo eléctrico
¿de acuerdo? pero que se anulan las componentes X porque una va hacia el
sentido positivo otra va hacia el sentido negativo y sólo quedan la
componente vertical sumada dos veces porque en eso sí que es un efecto
aditivo debido al error diferencial de Q resumiendo que ese campo solamente
va a tener componente J por la simetría del ejercicio la componente Y se
va a anular es decir de esta integral que en el numerador veis que es una
resta el XI es cero si hace la integral va a dar cero también pero aquí
nos evitamos hacerlo y nos queda solamente la integral de la primera parte
del paréntesis vamos a ver esta integral tengo resuelta esta integral he
de reconocer que tengo que buscar las tablas pero sale todo lo que es
constante esta D sale fuera esta J sale fuera porque es un vector unitario
constante y es la integral dos veces entre cero y A a medios de esta
integral que es la integral de una raíz es inmediata y me da el valor del
campo si sé el campo, sé la fuerza por qué multiplicar el campo que he
obtenido por la carga que me ha dicho que coloque en ese punto siempre que
os piden calcular la fuerza os están pidiendo que calculeis el campo y el
potencial se hace exactamente igual la ventaja del potencial pues que la
integral no es tan complicada si comparáis la expresión del apartado B de
la expresión literal del potencial veis que arriba solamente está la
densidad de carga en este caso es constante y R-R' que es el módulo ¿de
acuerdo? y esta integral es una integral logarítmica que he de buscar en
las tablas si se tiene potencial se tiene la energía potencial que
multiplicar por la Q por la carga este de la varilla veis como cambia la
situación por completo siendo la misma varilla si estoy en un punto de su
eje longitudinal o si estoy en un punto de su mediante estas dos integrales
he podido ponerlas al principio de toda la sesión porque son las más
digamos, complejas sí que es verdad que cuando salió este ejercicio en la
adenda bueno en los anexos en los formularios matemáticos o de expresiones
teóricas de electricidad aparecía un catálogo de integrales indefinidas
y aparecían estas dos eso es verdad pero bueno no os quiero con esto
poneros en alarma no salen habitualmente estas integrales con frecuencia
pero sí que conviene que las sepamos tratar cuando estamos en
distribuciones continuas y el último problema que quería comentaros es
uno de distribución discreta van a ver más parecidos a este pero que vais
a ver que el tratamiento es completamente diferente es calcular la energía
electrostática de una distribución discreta de cargas es esta expresión
pero podéis olvidaros de un medio en teoría es el sumatorio de las cargas
por los potenciales en realidad es esta expresión lo he puesto así para
evitarme muchas palabras es la suma de todas las energías potenciales de
todos los pares posibles generados por esas cuatro partículas la 1 con la
2, la 2 con la 3 la 3 con la 4 la 2 con la 1, la 2 con la 3 la 3 con la 4
la 4 con la 1, la 4 con la 2 todo eso me da el contenido de las energías
potenciales pero hay que dividirlo por dos porque al hacer la energía
potencial de 1 con la 2 y de la 2 con la 1 está calculando lo mismo
duplicado por eso se divide por dos en la expresión es el caso de la
energía electrostática esto es una cuestión que salió también de las
más antiguas yo no sé si hay cuestiones o no vamos a ver si cambio de
escritorio compartido o no, siempre hay un momento difuso yo primero siento
ir tan rápido mi idea es embutiros unos tres o cuatro problemas los que me
da tiempo a comentaros más los que el fin de semana que tenemos pegados os
envié relacionados para que los trabajéis o los ojéis toda la teoría de
Gauss muy bien explicada, suficientemente desarrollada está en el tema de
distribución continuas de carga y en las distribuciones discretas de carga
que es el primer el primer tema se centra demasiado en la carga eléctrica
sí que es importante pero bueno efectos de problemas pues tampoco hay que
teóricamente hablando no nos lo mandan preguntar muchas cuestiones al
respecto de la carga eléctrica y su valor fundamental y las experiencias
que permiten obtener la carga ¿no? me interesa sobre todo en la sesión
siguiente mostraros más cuestiones discretas de distribuciones discretas
cómo se manejan las expresiones y alguna expresión continua de cálculo
directo del campo con varillas o semicircunferencias ya no van a salir más
integrales estas dos integrales que os he comentado son las únicas si sale
alguna otra son inmediatas como las que hemos visto al principio con la
varilla y el punto en su longitud o la semicircunferencia que también es
una, es lineal ¿de acuerdo? bueno esperar el enlace que tenéis vale, es
válido lo único que ir ojeándolo de vez en cuando porque ahí iré
alojando las actualizaciones y bueno si alguien se va incorporando a las
sesiones pues también le enviaré el enlace es un drive que tengo por ahí
donde estarán las cuatro unidades un powerpoint este fin de semana
cambiaré ese powerpoint por este de la actualización que será la de la
segunda sesión y habrá otro fichero que pondré complementario o añadido
en fin, que lo veáis distinto no son los problemas complementarios de los
de la explicación ¿de acuerdo? bueno pues nada si vais teniendo dudas
pues me las vais enviando como podáis o bien por el correo o por el creo
que el foro me viene también al correo y espero que ya esta vez a la
definitiva que la próxima semana nos podamos ver por Teams por ver o por
lo menos oír y podéis hablar con bueno, podéis intervenir con más
naturalidad bueno, me están echando ya casi bueno muchas gracias por la
atención y espero que os sea que os haya servido de ayuda esto, ahora o en
el futuro cuando abordéis la asignatura de acuerdo, pues nada