Bueno, pues empezamos con el tercero de las tutorías dedicadas a la
matemática griega. El tema es matemática griega, pero bueno, lo tenemos
dividido en tres partes en el tema 1. Entonces, es ya con la que terminamos
la matemática griega y en realidad es con la que terminamos la
matemática. El temario de la asignatura, a partir de aquí, es física y
más exactamente es astronomía. El tema siguiente es astronomía griega y
luego ya pasamos a la revolución copernicana. Y el nacimiento de la
física, con un poco de hincapié luego en la ciencia, en la metodología
experimental de Galileo, Sobre todo al final volcado en los descubrimientos
astronómicos, porque era un poco lo que más se llevaba en la época y en
el estudio del movimiento. Terminaríamos ya luego con Newton y ya
empezaría la asignatura de segundo el año que viene. Entonces, por
terminar con la matemática, hoy nos queda por ver la obra cumbre de la
matemática griega y probablemente la obra cumbre de la matemática. Y no
universal, ¿vale? O incluso una de las grandes obras cumbres en general de
la humanidad, como dice Jesús en sus videoclases, una de las más grandes
obras de la historia del hombre, ¿vale? Porque es un compendio y un
tratado que aúna no solo tipo de conocimiento, sino que inaugura una forma
de establecer relaciones mediante educación. Muy heredera de Aristóteles,
que son los elementos de Euclides, ¿vale? Luego, el apartado 1 es el más
largo de lo que vamos a ver. El apartado 2 después de Euclides, en
realidad, es una especie de entradilla a hablar de Arquímedes y con un
poquito de nombrar a un par de matemáticos que hubo después, que aunque
fueron matemáticos y desarrollaron mucho la matemática, son más
conocidos por sus aportaciones, en relación a la teoría de los epiciclos
y la teoría de los ecuantes, que luego utilizará Ptolomeo para su sistema
cosmológico, su sistema planetario. Y luego ya terminamos con Arquímedes,
que fue como el supergenio de la época, ¿no? Le conocemos por su famoso
principio, que lleva su nombre, pero bueno, pues fue un tipo que tuvo...
tuvo que ser verdaderamente interesante. De Euclides, de Euclides, ¿vale?
Hay, bueno, poca evidencia real de su vida, ¿vale? Vivió y enseñó
matemáticas en Alejandría entre los siglos IV y III a.C. Estudió en la
Academia de Platón. Dio clase de Aristóteles. Se relacionaron... Todos
los matemáticos de la época estuvieron siempre vinculados a la... a la
pareja griega por excelencia, Platón y Aristóteles, ¿no? O sea, en la
Academia se formaron casi todos los matemáticos que luego dieron clase a
Aristóteles y a su vez la influencia de Aristóteles en ellos, pues un
poco como que determinó el un antes y un después de... de la pareja
Academia-Liceo, la pareja Platón-Aristóteles con las influencias claras
que decíamos el otro día, pitagóricas, en cuanto al concepto de
idealidad y de... y de... de existencia real de las ideas, ¿vale? En este
caso de los números. La información, la única información fiable que
hay es muy tardía, es ya de los siglos III y IV después de... de Cristo,
con lo cual estamos hablando de que la información histórica referente a
Euclides tiene que ver, o sea, está escrita seis siglos después de haber
vivido él. Entonces, como si cualquier referencia que tengamos yo que sé,
sobre Colón fuera algo que se escribiera hoy, ¿vale? Que no se supiera
nada antes, simplemente nos llega un primer escrito. Vale, lo que decía el
señor Matemáticas en Alejandría se le adjudican variaciones de las
obras. De las cuales hay dos que han llegado completas, que son Los
elementos, que es la obra cumbre, y luego Los datos, que es una obra un
poco más pequeña y que es un poco complementaria a Los elementos en el
sentido de que, bueno, toca temas que no estaban en Los elementos o
puntualiza temas que no estaban en Los elementos. Los elementos, esto
que... esta obra que tiene ya nombre propio, ¿vale? Es una obra... Es una
obra principal y recopila y ordena sistemáticamente la mayoría de los
conocimientos matemáticos griegos previos y babilónicos y egipcios,
etcétera, ¿vale? Que habían ido llegando a la matemática griega. Lo
único que recordar es que decíamos que lo previo a lo griego, lo previo a
Tales, era siempre resolución de problemas concretos, de soluciones
específicas para problemas concretos. Y a partir de Tales y, sobre todo, a
partir de Pitágoras, se convierten en reglas generales, que es un poco lo
que lo caracteriza. Entonces, toda la obra que desarrollan los
pitagóricos, que es mucho más que el teorema de Pitágoras o que
desarrolla la escuela de Amilesia, que es más que los dos teoremas de
Tales, y todo el intento que veíamos de cuadrar el círculo, duplicar el
cubo y triseccionar el ángulo, uno pues va dando pie a todo lo que
decíamos de los estudios de Teto, de Memmo, de Arquitas y de todos los
demás. Entonces, Euclides lo que hace es lo recopila, ¿vale? Lo recopila
en esta obra de la que no está claro qué parte es suya y qué parte no, y
cuánto es suyo y cuánto es simple recopilación, ¿vale? Igual que, bueno
pues, lo que sí que va a estar claro va a ser la forma de... Lo que sí
que es claramente euclidiano es la forma de plantear la obra, que es por lo
que quizá se convierte en la obra importante, la obra clave de la historia
de la matemática y de la historia de la humanidad. Los elementos es el
libro con más ediciones de la historia solo detrás de la Biblia, ¿vale?
O sea, es que el segundo libro más editado de la historia de la humanidad
sea un libro de matemáticas dice bastante de nuestro sentido de la
lógica, ¿no? De... Como humanos. Antes de los elementos de Euclides ya
hubo más obras que se llamaba elementos, porque elementos viene a
significar como recopilación o ordenar, como enciclopedia, por así
decirlo, ¿vale? De conocimientos, de recopilación de conocimientos. Hubo
un... Los elementos de Hipócrates de Kíos lo nombramos en el primer día
en la introducción, en el repaso general, que vimos a los varios siglos de
matemática griega. También hubo otro de León, en el siglo IV, y de
Teudio de... Déjenme que recuerdo cómo se llamaba, de dónde era
Teudio... Teudio de Magnesia, ¿vale? Que fue otro de los que escribió
también unos elementos previos a los de Euclides. De hecho, los elementos
de Teudio se elaboraron para... ser material de estudio en la Academia de
Platón, con lo cual Euclides los conocía porque estudió allí. O sea,
posiblemente el manual de matemáticas de Euclides en la Academia fueran
los elementos de Teudio. Con lo cual, bueno, pues Euclides conocía las
recopilaciones anteriores y lo que hace es, pues eso, hacer una nueva...
una nueva recopilación, con un pero que voy a decir un poco después. Fue
tal el éxito a nivel histórico de la obra de Euclides que hay una frase
que he encontrado por ahí que me ha gustado mucho de un tal Foster que
escribió una historia de Alejandría en 1922... Esperad un segundo...
No... Bueno... En 1922, que decía sobre Euclides, dice, nada sabemos de
él, dice, a decir verdad hoy lo consideramos como una rama del saber más
que como un hombre. Ahora mismo Euclides es una rama de la matemática, un
tipo de geometría. Entonces, el aspecto más importante que os decía de
la recopilación del saber matemático previo que hace Euclides es la
ordenación sistemática y deductiva, lo que llamamos axiomática, del
libro en su conjunto. Algo que sí que parece característico de Euclides y
que probablemente tome del planteamiento aristotélico de hacer una
deducción a partir de. Entonces, la idea de Aristóteles es de que la
ciencia se debe basar en una serie de premisas, dejadas claras, algunas
asumidas como válidas, otras necesitadas de una primera demostración, que
sirvan de base y de anclaje a partir de las cuales ir haciendo deducciones
para ir demostrando todo lo demás. Bueno, pues ese esquema demostrativo es
el que sí que es propio de Euclides y lo que le diferencia de los demás
textos previos de los demás elementos. Entonces, los elementos de Euclides
están formados por trece libros, que hoy les llamaríamos capítulos.
Recordad que antes los libros se hacían enrollados y uno no podía hacer
tomos así de gordos, porque tendría unos mazos así. Entonces, bueno,
pues en cada libro era lo que hoy llamaríamos capítulo y en total tiene
132 definiciones, cinco postulados, cinco nociones comunes y 465
proposiciones. Luego iremos viendo lo que significa cada una de estas
cosas, pero básicamente es partiendo de una serie de asunciones que no
necesitan demostración, que son las nociones comunes, principios muy
elementales que son los postulados, va haciendo definiciones y luego va
demostrando teoremas, que son las proposiciones y así demuestra
absolutamente todo siempre de una forma tremendamente metódica. Cada paso,
cada argumentación, cada detalle hace referencia a dónde se ha
demostrado, a qué noción, a qué postulado, a qué definición,
absolutamente a todo. Es una verdadera obra brutal, porque además hay que
tener en la cabeza todo a la vez. Ya desde el punto de vista de estructurar
el trabajo tuvo que ser un trabajo probablemente no único de él, sino con
sus estudiantes o con sus ayudantes, etc., pero una obra monumental. En
este enlace que podéis ver en el pdf, que colgaré mañana o pasado cuando
esté ya editable el vídeo, que lo colgaré en ALF, hay un enlace a una
versión en inglés de los elementos completos en los que vienen
absolutamente todos los libros, todas las definiciones, todos los
postulados y están demostrados desde un punto de vista algebraico. O sea,
está hecho con números, no con geometría de compás y regla como lo
hacía él, porque si no sería una locura, no seríamos capaces de
seguirlo, pero tiene enlaces a todas las definiciones previas. Cuando pone
tal paso hacemos esto y pone proposición no sé cuánto, si le clicas te
vas a ella y está totalmente estructurado. El que le interesen las
matemáticas o simplemente quiera curiosear con los primeros que son
facilitos de demostrar puede pasar un rato sudoku ahí un poco entretenido.
Entonces, haciendo un análisis o un resumen tipo índice de los temas que
tratan los distintos libros de los elementos, tenemos los primeros cuatro
libros que tratan sobre geometría plana. En el primero están los
postulados que luego veremos cuáles son y trata sobre puntos, rectas,
triángulos, paralelas y paralelogramos. Y demuestra el teorema de
Pitágoras. En el segundo trata sobre rectángulos y álgebra geométrica.
Vamos a ver luego un ejemplo de a qué se refiere con ese, pero si os
acordáis de las matemáticas de un cuadrado perfecto, por ejemplo, de un
binomio perfecto, a más b al cuadrado es a al cuadrado más b al cuadrado
más doble veces ab, esa identidad notable que recordaréis como algo que
había que aprenderse en el Instituto de Carrerilla, bueno, pues está
demostrado geométricamente ahí. El libro tercero habla de círculos y el
libro cuarto de polígonos regulares inscritos en círculos. Como tú
tienes un círculo y puedes ir inscribiendo polígonos y recordar que eso
también tiene la intención un poco de aproximar el cálculo del
perímetro de la circunferencia y por tanto aproximar el valor de pi. Estos
libros parecen formar parte de una unidad y probablemente fuera si no la
mayor parte, sí como el núcleo de los elementos de Hipócrates que
decíamos al principio, como la primera parte que recopiló de Hipócrates.
Los libros cinco y sexto hablan de las proporciones. Recordad que cuando
veíamos a Pitágoras que hay dos tipos de relaciones de proporción, las
que son conmensurables, es decir, las que se relacionan de forma racional
mediante fracciones, un cuarto, un tercio, y las que son inconmensurables,
las que no se pueden construir mediante una razón de números que son las
que le costaron supuestamente la vida a Hipasos de Metaponto cuando
descubre los irracionales y entonces a los pitagóricos se les viene un
poco el se le caen los palos del sombrajo porque ven que los números no lo
pueden explicar todo, los números enteros, los números completos no lo
pueden explicar todo. La segunda parte de esta teoría de las proporciones
es la aplicación de la geometría plana como esto lo aplican a las figuras
geométricas y a los cálculos ya geométricos y ahí esta parte es
atribuida sobre todo a Eudoxo en general tanto el libro 5 como el libro 6to
a Eudoxo de Nido. Luego, los siguientes libros los libros 7, me parece que
están agrupados 7 al 9 van a tratar que no quiero decirlo sin que aparezca
perdonadme tratan sobre aritmética a ver si carga el otro día lo que hice
fue volver para atrás y luego volver para delante y cargó rápido igual
no me estáis oyendo, ¿me estáis oyendo? ahora sí ha cambiado, vale, ya.
Los libros 7 y 9 tratan sobre aritmética o sea, sobre números y el tema 7
es sobre proporciones y productos entre números y por ejemplo aquí tratan
ya conceptos como mínimo común múltiple y máximo común divisor que son
ideas muy prácticas para manejar fracciones como recordaréis muchos del
instituto y a la hora de hacer relaciones de proporcionalidad a la hora en
la que yo puedo establecer comparación entre distintos elementos también
hablan de números en progresión geométrica y de los números primos que
son los números que solamente son divisibles entre sí mismos ¿vale? Este
libro séptimo de los tres libros sobre aritmética el primero de ellos que
es el que trata sobre teoría de números comienza con 22 definiciones muy
sencillas de lo que es un número de lo que es un primo, de lo que es un
par de lo que son cosas como muy simples pero bueno luego veremos algunas
de ellas como por ejemplo esas que están puestas ahí que es unidad que es
número, que es parte que es múltiplo, que es par, que es impar que es
primo, que es primo relativo que es proporción que es un número perfecto
todo ese tipo de cosas las va estableciendo como definiciones al principio
siempre basadas en algo y luego las va a ir utilizando como argumento
demostrativo a continuación el libro diez es el más complicado además es
el más complicado también formalmente es el más oscuro el más
intrincado el más complejo matemáticamente y es el que se atribuye a
Teetito es el que tiene que ver con la magnitud inconmensurable con los
irracionales es un tema que se le ve distinto un poco a los demás tiene
aspectos bastante diferentes los libros once al trece los últimos ya
hablan sobre geometría sobre geometría sólida sobre figuras geométricas
lo primero elementos básicos definición, qué es un sólido qué es una
arista qué es un vértice qué es un radio qué es un diámetro qué es
una diagonal en figuras geométricas luego atribuido a Eudoxo los métodos
de desahución para aproximar figuras como por ejemplo la aproximación de
a la esfera o la aproximación de los conos o la aproximación de las
figuras que no tienen una forma paralelográmica toda ella para el epípeda
y la de sólidos regulares vale de la existencia de los distintos sólidos
regulares que es atribuido también a Teetito como veis Eudoxo y Teetito
están en medio de todo formaban parte un poco del del kit de matemáticos
que lo hicieron curioso en el libro 13 Teetito no sólo demuestra da la
vuelta y encuentra todas las relaciones entre los cinco sólidos regulares
entre el cubo, el tetraedro el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro sino
que además demuestra que no hay más demuestra que sólo existen esos
cinco vale tiene tela hacer una demostración de que no es posible
construir más sólidos formados por caras regulares se demuestra en el
libro 13 entonces como decíamos la parte más significativa de de los
elementos es la construcción demostrativa mediante el método axiomático
Euclides lo que hace es que hace unas definiciones ¿vale? es que unos
elementos básicos como par, como número, como línea establece también
unas nociones comunes que son unos enunciados lo suficientemente evidentes
como para que no requieran demostración luego lo vamos a ver y aunque
están enunciados de una forma un poco rara porque tenemos que ser
conscientes de que ellos pensaban de forma geométrica, no de forma
numérica no de forma algebraica sino un número era una medida no un valor
no un símbolo pues está expresado de una forma un poco raro pero se
comprende, se interpreta con facilidad y luego los postulados que son
principios más específicos que se piden que se acepten para realizar las
demostraciones entonces vamos a ir viendo ahora cuáles son algunas de
estos elementos más básicos las naciones comunes hoy las llaman y los
postulados los llamaríamos axiomas como cosas de las que partimos como
válidas lo único es que las nociones comunes son mucho más generales y
los postulados que plantean son más matemáticos por ejemplo bueno, antes
del por ejemplo la obra entonces va avanzando deduciendo teoremas
deduciendo proposiciones que es como lo llama él a partir de estas
definiciones cada paso siempre lleva a partir de unas nociones comunes y de
unas definiciones elaboran o demuestran postulados y con estos postulados
junto con las nociones comunes y las definiciones van elaborando teoremas y
cada teorema sirve para junto con lo demás ir demostrando más teoremas de
forma que se va avanzando siempre en construyendo una base sólida
construyendo siempre hacia arriba de forma que descansa siempre sobre cosas
completamente demostradas y que no generan ningún tipo de duda entonces
por ejemplo el libro 1 tiene 23 definiciones, luego hay más definiciones
en otros de los libros pero el libro 1 tiene 23 definiciones y os he puesto
las que ha puesto Jesús y luego he hecho un pequeño resumen del resto de
las 23 vale definiciones son tremendamente obvias pero igual son obvias
porque hemos estudiado matemáticas si no, no serían tan obvias la primera
un punto en lo que no tiene partes vale ya empezamos con una definición
típica del matemático supongamos una vaca esférica como los chistes en
los que el matemático tiene que resolver el problema un punto en lo que no
tiene partes bueno pues eso existe bueno pues vamos a llamar punto a eso
una línea es una longitud sin anchura los extremos de la una línea son
puntos tercera la cuarta una línea recta es aquella que yace por igual al
respecto de los puntos que están en ella tiene varios puntos y está
apoyada yaciendo sobre todos ellos por igual vale, por eso nuestra curva
vale una superficie ha descrito punto y línea ahora, una superficie es lo
que solo tiene longitud y anchura no tiene espesor los extremos de una
superficie son líneas cojo un plano una superficie termina en líneas una
superficie plana es aquella que yace por igual respecto a las líneas que
están en ella se repite la estructura de puntos a líneas y luego de
líneas a planos y luego lo va a hacer en el 8 y el 12 claro, una vez que
tenemos dos líneas podemos definir ángulos entonces entre el 8 y el 12 va
a definir ángulos del 13 al 14 define figuras figuras van a ser las que
están cerradas del 15 al 18 trata sobre círculos que tiene que ver sobre
las líneas que no son rectas cuando las cierro y encierro una superficie
hablo de polígonos y en el 23 va a hablar de rectas paralelas aquí ya no
habla de volúmenes porque eso va a quedar para otro de los libros pero,
todo esto son definiciones de partida es un fact la pregunta más frecuente
si tú estás estudiando cualquier apartado una línea definición 2 y así
va a ir avanzando las nociones comunes cuando las lees que cosa más simple
nociones comunes sólo hay en el libro 1 cosas iguales a una misma cosa son
iguales entre sí vale eso qué quiere decir luego ahora las especifico si
se añaden iguales a iguales los todos son iguales si se sustraen iguales a
iguales los restos son iguales eso entendido desde la geometría está
haciendo referencia a magnitudes de una misma clase por ejemplo a rectas o
a áreas dos rectas iguales una recta es una cosa igual a otra con lo cual
dos rectas son dos rectas si añado una recta a otra recta me sale una
recta si a una recta le quito una recta lo que me sobra también es una
recta estoy diciendo resta en vez de recta si a una recta le resto una
recta me sale una recta esas serían esas tres primeras luego las cosas que
coinciden una con otra son iguales entre sí puedes decir el todo es mayor
que la parte claro entendido desde la geometría los tres primeros puntos
tienen que ver con eso magnitudes de una misma clase rectas y rectas peras
con peras y manzanas con manzanas como decía nuestra ex alcaldesa el
apartado 4 hace referencia al principio de superposición si yo tengo una
figura y esa figura me la puedo superponer sobre otra y a la superponerla
queda igual es que son iguales son la misma cosa pensad que ellos hablaban
de forma geométrica siempre es como decir 6 aquí es 6 aquí esta figura
aquí es esta figura aquí y luego trata sobre desigualdades mayor que o
menor que el todo es mayor que la parte nos está distinguiendo lo igual
por encima y lo igual por debajo hay una cosa más grande que un ángulo
recto por ejemplo que va a ser un poco lo que va a determinar en geometría
muchos de los aspectos entonces los postulados los cinco postulados del
libro completo están todos en el libro 1 y son los que poco van a
determinar como usar la regla y el compás y como manejar ese mínimo de
geometría necesaria para poder luego hacer los demás razonamientos el
primero dos puntos cualquiera determinan un segmento de recta yo tengo una
recta y pongo dos puntos lo que hago es he determinado un segmento yo tengo
ahí mi compás tengo un segmento un segmento de recta se puede extender
indefinidamente en una línea recta un segmento si yo corro los puntos se
me abre y tengo una línea recta o sea podemos decir que por dos puntos
pasa una recta dos puntos determinan un segmento y a su vez dos puntos por
dos puntos solo puede pasar una recta nada más que una recta el tercero se
puede trazar una circunferencia dado un centro y un radio yo tengo un punto
central y tengo un radio tengo una circunferencia también de primero de
primero de compás estos tres primeros postulados son los que hacen
referencia a la regla de Platón del compás que se cierra y la regla sin
medidas vale yo tengo una regla sin medidas pero puedo hacer marcas en el
dibujo con lo cual determino segmentos o dos puntos los puedo alargar y
tengo una recta y con el compás puedo pinchar en uno de los puntos y puedo
determinar distintas figuras por ejemplo círculos el cuarto postulado es
tremendamente obvio todos los ángulos rectos son iguales entre sí claro
si son ángulos rectos serán iguales entre ellos me da igual como estén
colocados vale un poco es como una noción común es tan obvio que igual no
tenía que ser un postulado sin embargo como los conceptos matemáticos no
eran tan obvios como el todo es mayor que la parte o lo que es igual a otra
cosa es igual entre ella y cosas de ese estilo sino como es un concepto
matemático lo añade aquí un poco por si pilla a un no matemático a leer
el tema que un ángulo recto bueno pues tu ves un ángulo recto y no es tan
obvio que sea recto puede ser parecido a recto y el quinto es un poco más
complicadete vale dice si una recta corta a otras dos y forman ángulos en
un lado de la primera menores que dos rectos las dos rectas se cortarán si
se prolongan por este lado o sea yo tengo una recta esta la corto con otras
dos esta y esta que forman ángulos menores que rectos vale menores que
rectos este este es mayor que recto a en un lado vale menores que dos
rectos las dos rectas se cortarán si se prolongan por este lado con lo
cual si es mayor no se va a cortar si yo prolongo prolongo prolongo voy a
cortar esto es equivalente a decir que por un punto exterior a una recta se
puede trazar solo una paralela porque si yo trazo una que sea más pequeña
que recto lo voy a cortar y si trazo una que sea más alto se me va a abrir
y se me va a alejar vale con lo cual paralela solo va a haber una si yo
tengo una recta y tengo un punto solo hay una paralela posible a esa recta
que pase por ese punto los que hicierais matemáticas en el segundo
bachillerato de estas cosas os hartaría de hacer problemas de este estilo
entonces algunas peculiaridades de los trece libros que ha puesto jesús en
el powerpoint digamos oficial es que todos los libros menos el ocho, el
nueve, el doce y el trece contienen definiciones pero solo el primero tiene
nociones comunes y postulados esas verdades fundamentales que no necesitan
demostración solo están en el uno y eso es como razonable si yo voy a
escribir un tratado lo más básico y elemental lo pongo en el apartado al
principio lo que es extraño es la ausencia de ciertos postulados sobre
todo en los libros dedicados a la aritmética porque de las proposiciones
hay conceptos básicos de la aritmética que no están en las proposiciones
previas que no se han demostrado antes entonces es como si en los libros
dedicados a la aritmética a partir del siete hiciera falta algún tipo de
postulados básicos acerca de los números pero bueno lo arregla con
definiciones y en el fondo el resultado es satisfactorio no hay que hacer
ningún tipo de acto de fe los matemáticos de la antigüedad los
posteriores euclides se extrañaron ya del quinto de los postulados los
cuatro primeros postulados son como muy sencillos y el quinto es un poco
más complicado entonces el quinto pensaron o se pensaba que en realidad
debe haber sido un teorema debía tenerse que poder demostrar eso de que si
se prolonga y el ángulo es menor que recto etcétera etcétera bueno pues
se aceptó como postulado si se aceptó como postulado pero en el siglo XIX
se demostró que tendría que haber sido demostrado previamente como un
teorema no aceptado como un postulado porque es independiente sólo que en
un tipo de geometría que todavía no se había empezado a usar que es lo
que se llama la geometría o no euclidiana que es la que está hecha sobre
superficies no planas como por ejemplo la que puedes trazar sobre una
circunferencia nosotros si trazamos paralelas en el suelo y las prolongamos
va a llegar un momento en el que van a confluir en el polo norte eran
paralelas pero van a confluir en el polo norte porque es la propia
superficie sobre la que hacemos la geometría la que está curvada euclides
no contó con eso ni con la esférica ni con la de tipo silla de montar que
la geometría es como arqueada hacia al revés lo que sepáis muchos de
matemáticas entenderéis bien estas cosas yo aquí ya me pierdo bastante
pero esto no se inventa entre comillas o no se construye una teoría hasta
el siglo XIX se comprueba que esto era independiente de la geometría
euclidiana y se genera otra por un lado y por otro a partir de curvar para
acá o curvar para allá una superficie plana entonces algunos de los
teoremas y os he puesto los que ha puesto Jesús no he puesto más y los he
escrito de tal manera que quede claro la estructura axiomática
Proposición 1 del libro 1 o sea lo primerito lo primero el primer
postulado el primer teorema que demuestra cómo construir un triángulo
equilátero sobre un segmento dado yo quiero construir un triángulo
equilátero esto es de dibujo lineal que nos enseñaban en el cole dibuja
un círculo de centro A y radio AB vale yo tengo un segmento con lo cual
tengo los puntos A y B y tengo la línea que los une ese es el punto de
partida ese es el problema dibujo un círculo de centro A y radio AB pincho
el compás en el punto A abro el compás al B trazo un círculo siguiendo
el postulado 3 ¿qué nos decía el postulado 3? se trata de trazar una
circunferencia dados un centro y un radio cualquier ¿vale? fijaros que
hasta esa cosa tan simple la puntualiza dibuja el círculo de centro B y
radio AB pinchas el compás aquí abres hasta A y haces el segundo de los
círculos lo mismo postulado 3 dibuja los segmentos BC y AC siendo C el
punto donde cortan los círculos donde cortan los círculos ¿vale? al
hacerse los dos círculos se determina el punto C y dice que dibuje los
segmentos AC y el segmento BC en función de lo que me dice el postulado 1
que es dos puntos determinan un segmento pongo los dos puntos, cojo mi
regla y trazo el AC y trazo el BC y puedo decir ya no, pero yo por ahora no
he demostrado que los lados sean iguales he pintado un triángulo pero
podría no ser podría no ser un triángulo equilátero y continúa A y C
es igual perdón, AC y AB y BC y BA son iguales entre sí por ser radios
del mismo círculo definición 15 si nos vamos a la definición 15 es la
razón que nos permite hacer esa afirmación segundo, AB o sea, a
continuación AB y BA por tener los mismos extremos también son iguales y
de B a A son iguales porque tienen los mismos extremos postulado 1 entre
dos puntos determina un segmento no habla del orden y como cosas que son
iguales a una tercera son iguales entre sí noción común 1 por tanto AC
es igual a BC y es igual a AB y el triángulo es equilátero tócate las
narices o sea demostrar eso que nos parece hasta obvio mirándolo claro
como un triángulo bueno pues tiene todos estos pasos de demostración
fijaros hasta qué punto es detallista postulado 3 postulado 1 definición
15 postulado 1 noción común primera y queda demostrado a partir de aquí
la proposición 1 se convierte en algo demostrado posteriormente puedo
hacer referencia a ella con lo cual en cualquier momento yo puedo decir
hago un triángulo a partir del punto A y el punto B construyo un
triángulo equilátero y pondría libro 1 proposición 1 ya incorporo como
una regla lo que he demostrado previamente o pongo este también porque lo
ha puesto Jesús es el pons ansinorum que le llamaban en la edad media los
elementos de Euclide han sido libros de texto en la universidad hasta el
siglo XIX tal cual así sin anestesia luego ya no sé en qué año
exactamente se habrá dejado de utilizar en el formato digamos puro pero ha
sido un libro de texto que se ha utilizado hasta hace 4 días la
proposición 5 fijaros estamos en el quinto paso solo de 400 y pico que hay
los estudiantes que no pasaban que no comprendían este teorema le llamaban
el puente de los asnos porque si lo cruzabas todavía pero si no te
quedabas en asno no valías para esto de la geometría este es un teorema
que lo he escrito por si alguien se quiere entretener en leerlo es muy
entretenido seguirlos sobre todo con una regla y un compás tú te pones y
vas y lo vas siguiendo básicamente fijaros lo que trata de demostrar en un
triángulo isósceles este el ABC los ángulos en la base son iguales y si
los lados son iguales si los lados iguales se alargan los ángulos situados
bajo la base también son iguales o sea que si yo los alargo los ángulos
que me forman abajo también son iguales se dice pues claro si es una
cuestión de son triángulos semejantes el teorema de Thales los lados son
proporcionales pero el teorema de Thales no demuestra el teorema de Thales
simplemente enseña ¿vale? pero no hace una demostración geométrica de
ello pues aquí lo tenemos aquí lo mismo fijaros libro primero definición
20 primero definición 3 primero definición 4 noción común 3 libro
primero definición 4 noción común 3 o sea siempre haciendo referencia a
donde ha demostrado previamente que eso se puede hacer no hay que vamos ni
aprendérsela ni que se os ocurra vamos libro segundo ¿vale? recordad que
el libro segundo trataba sobre los rectángulos y el álgebra geométrica
que es por ejemplo esta es la demostración o la el teorema que afirma lo
que ahora conocemos como la identidad notable que un binomio al cuadrado es
a al cuadrado más b al cuadrado más dos veces ab ¿vale? pero planteado
de forma geométrica si se corta al azar una línea recta esta línea
¿vale? la diesta diagonal y la corto por aquí por g el cuadrado de la
recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el
rectángulo comprendido por los segmentos ¿vale? y aquí queda demostrado
fijaros geométricamente esta es la línea que yo corto por el punto g
bueno pues el cuadrado de esa línea es el cuadrado de uno de los segmentos
más el cuadrado del otro de los segmentos más dos veces el rectángulo
que está formado por uno de los segmentos por el otro de los segmentos y
aquí está toda la definición geométrica toda la demostración
geométrica de cómo se hace en la línea bla bla bla digo que no sé qué
libro 2 apartado 4 libro 2 definición 4 libro 1 46 libro 1 29 libro 1 34
entonces si uno lo va siguiendo obviamente tiene que tener bien comprendido
lo anterior para ser capaz de ir siguiendo la demostración o ir
volviéndote loco pasando páginas o desarrollando libros cuando lo hacían
en la academia y en el liceo ¿vale? este álgebra geométrica nosotros lo
hacemos con ecuaciones y con variables y de forma algebraica cosas que
ellos no hacían pero tenían que resolver los problemas de todas maneras
porque tenían que hacer luego tenía su utilidad práctica a la hora de
construir máquinas o a la hora de hacer las obras de ingeniería que
hicieran en el libro 6 este si que viene un poco demostrado por Jesús y
sí que ha insistido un pelín dar a dos rectas hallar una media
proporcional con las raíces entonces Euclides se dio cuenta que este
problema de hallar una media proporcional a dos rectas es lo mismo que
encontrar geométricamente una raíz cuadrada es un poquito quizá difícil
de seguir porque hay que andar saltando de diapositiva entonces el
razonamiento es el siguiente si zeta es la media proporcional entre x e y
quiere decir que es el valor digamos que cumple la regla proporcional x es
a z como z es a y eso es lo que significa que z es la media proporcional
entre x e y si yo hago esta operación multiplico la z aquí multiplico la
y aquí me queda que z al cuadrado es x por y es decir z es la raíz
cuadrada de x e y entonces la forma de resolverlo hace lo siguiente si
queremos conocer la raíz de un número de n lo dividimos en dos números
tales que al multiplicarse den n entonces n lo dividimos en x e y de manera
que x por y sea n por ejemplo queremos hallar la raíz de 16 para ello lo
dividimos en 8 y 2 porque 8 por 2 es 16 vale? me seguís con este primer
paso yo tengo el 16 y hago 8 por 2 podría haber hecho 4 por 4 también en
este caso hago 8 por 2 dibujo una recta formada por x más y por este 8
más 2 o sea una recta que me mide 10 con lo cual me ha quedado determinado
dos trozos el trozo x que es del punto a al punto b y el punto y el trozo y
que va de b a c es decir esto de aquí yo he cogido x y he cogido y y me ha
quedado una recta x más y y me queda dos segmentos de a a b que es x y de
b a c que es y dice formamos un semicírculo entre a y c hallando primero
el centro vale? este segmento a b traza este semicírculo vale? hay que
hallar primero el centro si os acordáis se pincha en a así se pincha en b
así con el mismo radio de esta manera tengo el centro pincho aquí y puedo
trazar el semicírculo vale? he encontrado el punto y he podido trazar el
semicírculo a c sigue trazamos una línea que vaya de b hasta el
semicírculo y entonces su longitud es z y resulta ser la raíz de n no la
raíz de z vale? que es esto de aquí si yo trazo de aquí del punto b al
punto en el que me corto con el semicírculo que he pintado esta línea z
es la raíz cuadrada del número que estaba buscando vale? por una
cuestión de proporcionalidad por el teorema de Thales como los triángulos
a b d y los triángulos b c d son semejantes los lados son proporcionales a
entre b perdón el lado a b entre bd tiene que ser igual a entre bc esto de
aquí que se corresponde con el x partido por z es igual a z partido por y
con lo cual me sale la raíz cuadrada que z es la raíz cuadrada mirarlo
con números con números se entiende mejor quiero calcular la raíz de 16
vale? para ello divido en 8 por 2 porque 8 por 2 es 16 entonces trazo una
línea más 2 2 marco 8 marco y trazo un círculo completo averiguo el
centro y trazo un círculo el punto este lo uno con este lado de aquí y
este valor es justo la raíz cuadrada de 8 por 2 y si lo hacéis y lo
medís sale perfecto 8 por 2 es 16 y esta medida z mide 4 que es su raíz
cuadrada da igual con qué números lo hagáis sale yo lo he puesto con
números que sale una raíz exacta para que lo veamos mejor pero de esta
manera ellos podían calcular gráficamente la distancia lo divido en yo
tengo este fragmento mide 14 pues 7 hago 1 de 7 hago 1 de 2 vale? con lo
cual tengo un lado de 9 sale este fragmento y este fragmento me había
perdido estoy conectado, perdonadme ha sido mucho tiempo ahora ya no sé si
estoy grabando vale, entonces no he perdido nada prácticamente no he dicho
nada raro simplemente que es eso que es una forma geométrica de calcular
una raíz cuadrada aunque yo no pudiera medirlo porque no tengo una regla
con medición como como decía como marcan los cánones pero yo soy capaz
de calcular un valor irracional de una forma geométrica con lo cual al fin
y al cabo consigue resolver el problema de representar un irracional que
era una de las formas que tienen un poco complicadas una de las cosas que
tienen un poco complicadas de hacer vale? en el libro primero la
proposición 47 que demuestra el teorema de Pitágoras vale? tampoco va
mucho más allá porque no os pongo más de lo que pone Jesús en la
presentación digamos oficial vale? y el libro 9 la proposición 20 que
demuestra que hay más números primos de la cantidad propuesta
inicialmente de números primos, es decir que hay infinitos números primos
básicamente vale? una demostración de que no hay un número limitado de
números primos esta si que la cuenta Jesús en el vídeo con lo cual esta
si os la detallo un poco más mira, la demostración dice lo siguiente
supongamos que hay una cantidad limitada de números primos AB hasta el C
vale? que creemos que hay esos números primos solo ABC que queráis entre
medias podemos decir solo ABC dice formemos el producto de todos ellos si
yo formo el producto de todos los números primos el número que me sale
será divisible entre cada uno de los números primos con lo cual
obviamente no es primo pero si le sumo 1 vale? me sale el número D y ahora
dice hay dos opciones D es primo o no lo es? dice si D es primo tiene que
existir un número primo mayor que ABC vale? porque si es primo es que no
se puede dividir en ninguno de los anteriores con lo cual existe otro
número primo que no hemos tenido en cuenta y como hemos tenido en cuenta
hasta un momento determinado pues tiene que estar después vale? si no es
primo será divisible por algún número primo vale? por definición y eso
según la proposición del libro 7 la proposición 31 dice pero D no es
divisible por A ni es divisible por B ni es divisible por C porque si lo
hago de resto me va a quedar siempre 1 vale? porque no va a salir exacto
porque le he sumado 1 con lo cual T va a ser divisible por algún número
primo que no está entre los números que habíamos supuesto por lo tanto
los números que hemos supuesto no pueden ser todos los números primos
esto nos da pie a que ampliemos lo que ampliemos los números primos
siempre habla un posible número primo mayor vale? con lo cual está
hablando de la infinitud vale? aunque no manejaban el concepto de infinito
pero si está hablando de forma indirecta de la infinitud de números
primos siempre va a haber un número primo con el que ya no hayamos contado
vale? siempre esto es como cuando éramos pequeños y decíamos pues me
piden ese que pues yo tal, pues yo infinito, infinito más 1 vale? pues ese
más 1 te chafa los números primos parece una tontería de niño chico
pero el más 1 cuando se multiplica o sea cuando todos los demás están
multiplicados te chafa el la existencia o la idea de haber llegado al
último de los números primos y con esto terminamos con Euclides vale? es
un poco arduo la verdad el los ejemplos en algunos Jesús insiste en los
que Jesús insiste va a preguntar vale? por eso yo os he explicado con más
detalle y he expresado en el powerpoint con más detalle los que él
expresa con más detalle porque son los que son susceptibles de preguntar,
dime Gemma no, no es el hecho de nombrar infinito sin decirlo en realidad
se están refiriendo a que hay infinitos porque si siempre hay uno más
vale? desde el punto de vista de que ya tienes el concepto de infinito
entiendes que si siempre hay uno más estás hablando de infinito pero no
manejaban el concepto de infinito con lo cual no es que fuera nombrar
infinito sin decirlo pero si le hubiéramos puesto nombre a esa idea vale?
habrían tenido que decir que hay infinitos números primos vale? lo que
pasa es que no le pusieron el nombre y no lo conceptualizaron por lo menos
de esa manera después de Euclides vale? en la época helenística que
vimos en mi primer capítulo que ya eran dos siglos tres para acá vale?
después de la época clásica en son la edad de oro de la matemática
griega sobre todo por los desarrollos que se hacen a partir de todos estos
conceptos y también un poco la aplicación vale? Jesús destaca a estos
tres autores mucho más a Arquímedes al que le dedicamos un capítulo y de
Apolónio y de Hiparco dice muy poquito pero como luego nos va a salir
cuando hablemos de de Ptolomeo en la astronomía yo os he puesto una
diapositiva de cada uno vamos que tampoco he puesto nada del otro mundo
pero os he puesto un pelín vale? como curiosidad de Apolónio ha
sobrevivido su tratado de las cónicas, Apolónio es uno de los que
desarrolla más el tema de las cónicas que ya había tratado Menegmo vale?
recordar el concepto aparte de círculo de elipse, de parábola y de
hipérbola bueno pues Apolónio por ejemplo le pone los nombres la llama
así recordar que si habéis visto la película de Ágora Hipatia descubre
en la película las elipses tiene dos focos bueno pues es un poco Menegmo
ya había hablado de las elipses y Apolónio las llama elipses las había
descrito claramente y todo lo que tiene que ver con la conceptualización
de la ciencia y de que son unas ecuaciones complejas de manejar y ellos lo
hacían de forma siempre regla con par vale? también a Apolónio se deben
los conceptos de excéntrica, de epiciclo y de deferente que luego los
desarrolla también Hiparco y los veremos en Ptolomeo con lo cual
simplemente dejo aquí nombrado que son cosa un poco de Apolónio vale?
aunque también formaban parte de la misma escuela que tuvo los anteriores
con lo cual bueno todo iba junto digamos que es un poco el continuo de la
evolución matemática de estos griegos resolvió como curiosidad el
problema de encontrar una circunferencia tangente a tres elementos dados
vale? si yo tengo por ejemplo esta circunferencia, esta y esta como hallar
una tangente a las tres o a tres puntos, yo doy tres puntos vale? como
hacer una circunferencia que pase por tres puntos bueno pues eso no es
inmediato vale? y este lo describió y resolvió el problema que parece que
lo tenían probablemente como problema teórico pero con sus aplicaciones
Hiparco del siglo II inventa, por ejemplo se le considera inventor de la
trigonometría vale? en el sentido de la relación de los lados de un
ángulo y publica una tabla de cuerdas entendiendo cuerda por línea que va
de un punto de una circunferencia a otra, a otro punto vale? entonces
publicó una tabla de cuerdas que es como una tabla trigonométrica y que
le permitía resolver triángulos sin tener que recurrir a otros métodos
descubrió inventó la trigonometría introdujo la división del círculo
en ángulos en 360 grados la circunferencia de 360 grados que manejamos hoy
la introduce él pero casi todo lo que hacía tenía que ver con sus formas
de medir distancias astronómicas de medir la relación de la distancia
Tierra-Sol con la distancia Tierra-Luna y con el tamaño de la Tierra vale?
trabajaba más en ese ámbito astronómico por ejemplo realicé el primer
catálogo de estrellas y también hablaremos un poco de él cuando hablemos
de de la Tóstenes cuando mide la Tierra y luego cuando se empiezan a medir
distancias y se empieza a averiguar que todo está más lejos de lo que se
pensaba vale? pero bueno ya hablaremos o saldrá colación un poco hiparco
y terminamos con Arquímedes al que sí que le dedicamos un capítulito,
Arquímedes es el uno de los más influyentes pensadores griegos ya de la
época helenística de la aplicación y desde un punto de vista
metodológico de la aplicación de la matemática a la física y de la
forma de aplicar o de resolver problemas geométricos para resolver
problemas mecánicos y al revés vale? la relación entre lo teórico y lo
aplicado entonces amplió el dominio de la matemática eucleodiana desde la
matemática pura a la mecánica a la aplicada vale? tanto a lo mecánico al
equilibrio de líneas y equilibrio de planos y de mecanismos como a la
hidrostática a la teoría de los cuerpos flotantes vale? que es el
concepto que le conocemos sobre todo a Arquímedes es por el principio de
flotabilidad no? introduce la noción de peso como magnitud vale? la
distancia como magnitud e introduce el peso como magnitud como cosa medible
y que va a influir en las cosas vale? hasta entonces como solo se movían
en lo geométrico el peso no forma parte de la matemática pero cuando lo
traslada a la física el peso si forma parte del problema forma parte del
intento de resolver entonces a pesar de ese intento de Arquímedes de
juntar lo físico y lo matemático vale? se mantiene la separación durante
la antigüedad y la edad media vale? entre la matemática como algo
abstracto algo puramente formal y que solamente permite resultados exactos
y lo físico que es lo perecedero, lo corruptible como decía Aristóteles
y que estudia los cuerpos materiales y que predomina lo cualitativo y lo
finalista lo teleológico entonces Arquímedes su trabajo era muy variado
vale? primero por la diversidad de problemas que trata luego por la
profundidad en la que aplica métodos previos a él como aplica la
proporcionalidad como aplica la exaunción a la resolución de problemas
cómo desarrolla una imaginación metodológica al considerar un problema
geométrico como si fuera mecánico para una vez hallar a la solución
ofrecer una demostración puramente geométrica yo lo geométrico lo pienso
como mecánico como algo real, como algo físico lo manipulo
intelectualmente de esa manera y al final lo demuestro de forma geométrica
o construyo algo y luego lo utilizo para resolver un problema teórico es
curioso como han sobrevivido algunos de los textos de Arquímedes se le
conocen varios libros o lo que hoy serían capítulos hallados en esto es
curioso lo he puesto aunque no insiste mucho Jesús en ello pero a mi me
llama mucho la atención y por eso lo he puesto desde el punto de vista
histórico muchos de los libros de Arquímedes se han encontrado en un
eucologion un eucologion es un libro de oraciones ortodoxas entonces de
piel de cabra del siglo XIII entonces estos libros los libros en general de
piel de cabra eran unos libros caros difíciles de hacer, costosos eran
poco más de dinero entonces muchas veces se cogían libros antiguos se
borraban, raspándolos se sometían a un procedimiento químico que le
eliminaba parcialmente la tinta, luego lo raspaban y luego reescribían
encima entonces un monje ortodoxo en el siglo XIII se encontró un libro lo
trató para quitarle la tinta lo encuadernó en formato ya medieval y
escribió encima o meditaciones ortodoxas bueno, pues en 1906 un tipo
descubrió que había un eucologion que en realidad era un palimpsesto que
era esto de borrar y escribir encima y en este eucologion estaba este
eucologion estaba escrito sobre textos de Arquímedes y en ese libro se
encontró él sobre el equilibrio de los planos sobre las espirales medida
del círculo, sobre la esfera del cilindro sobre los cuerpos flotantes el
método de los teoremas mecánicos y el estomaquium que son gran parte de
los libros que se conocen y que han llegado hasta nosotros de Arquímedes
obviamente no era el manuscrito de Arquímedes una copia tardía pero una
copia original en griego este es el palimpsesto escrito así como lo
veríais encuadernado esta sería la línea de encuadernación está
escrito aquí las oraciones del monje del siglo XIII y eliminando limpiando
el texto del siglo XIII aparece en otro formato en el formato de enrollar
el texto de Arquímedes escrito así con sus gráficos y sus ilustraciones
entonces en el sobre equilibrio de los planos su tratado sobre mecánica el
aporte fundamental que hace Arquímedes esencial para la física y para la
ingeniería es la idea del centro de gravedad es el punto en el que se
concentraría toda la masa de una figura si se pudiera reducir a un único
punto por así decirlo el punto en el que mantendría el equilibrio una
determinada figura si lo sujetara ahí a partir de ahí demuestra la ley de
la palanca que ya se conocía y determina centros de gravedad de figuras y
cuerpos geométricos distintos elementos de círculos de esferas de
políhedros de distintos tamaños de distintas figuras lo que quisiera la
frase célebre que vemos ahí a Arquímedes de tener un punto de apoyo y
gobernar el mundo he encontrado un cálculo curioso no recuerdo ahora mismo
quien lo ha hecho lo he encontrado en un tratado sobre Arquímedes que dice
que han calculado que un hombre de 80 kilos con una palanca de 20 millones
de kilómetros al cabo de 20 billones de años conseguiría mover la tierra
a 25 milímetros ha habido alguien que se ha molestado en intentar calcular
que palo le haría falta a Arquímedes para mover el mundo lo que no está
claro donde lo podría apoyar pero bueno alguien lo ha calculado un dato
curioso luego sobre hidrostática formula el principio de Arquímedes que
considera que los pesos a los que está sometido un volumen de un líquido
considerando los pesos a los que está sometido los volúmenes de un
líquido en la esfera de la tierra y sustituyendo mentalmente sus
volúmenes por otros idénticos más o menos pesados de manera que analiza
las condiciones de flotación y el equilibrio de los diversos sólidos
cuando yo meto un objeto en un líquido va a tender a flotar con una cierta
intensidad o como mínimo a hundirse más despacio de lo que se hundiría
si no hubiera agua vale el principio es todo cuerpo experimenta un empuje
vertical hacia arriba que es igual al peso del líquido que desaloja yo
meto una esfera dentro del agua y el volumen del agua sube el equivalente
al volumen de la esfera y la fuerza con lo que vale al volumen de la esfera
eso va a depender al final de la densidad la densidad no es lo mismo si yo
meto una bola maciza que si meto una bola hueca va a flotar o no va a
flotar en función de la densidad no sólo del volumen no lo leo entero por
no enredarme más vale como se le ocurre la historia de cómo le encarga el
rey de Xura Siracusa a un orfebre que haga una corona de oro y entonces
cuando se la entrega sospecha que haya utilizado alguna aleación para
ahorrarse el oro pero el caso es que pesa como tiene que pesar entonces le
encarga a Arquímedes un método para sin cargarse la corona poder
comprobar si era de oro o no era de oro entonces estándose bañando y
comprobar que la pierna tendía a flotarle y que conforme metía la pierna
en el agua, subía el volumen del agua o se salía de la bañera se dio
cuenta y salió gritando él lo encontré, lo encontré el famoso Eureka de
Arquímedes y entonces cogió la corona la sumergió en agua cogió una
cantidad de oro de igual peso la sumergió en agua y como desalojaban
distinta cantidad de agua porque tenían distinta densidad vale entonces la
corona no estaba hecha de oro puro y al pobre orfebre le costó la cabeza
el descubrimiento de aquí todos morían cada vez que se descubría algo
era como el de los irracionales sobre matemáticas haya fórmulas para
calcular volúmenes de esferas y centros utiliza el método de esa opción
para calcular pi que lo calcula de una forma bastante aproximada sobre
conoides y esferoides en esa obra calcula volúmenes de cuerpos en
revolución o sea, si yo tengo una línea inclinada y la hago girar me
forma una figura y puede calcular esa figura sin recurrir a la integral
cuadra una parábola muy curiosa en el arenario que hay una versión en
internet en español que la podéis encontrar si queréis el contador de
arena se hace un un razonamiento de la cantidad de granos de arena que
podría haber en el universo entonces más allá de lo anecdótico que
pueda ser el cálculo que utiliza cálculos pues de la época de mediciones
astronómicas actuales lo que sí que es inventa un sistema similar a las
potencias de 10 basado en 10 elevado a 4 el 10000 entonces habla de
miríadas y miríadas de miríadas y con eso es capaz de calcular números
enormes cambiándole en papel es un sistema para poder manejar números
enormes también inventa mecanismos como el tornillo de Arquímedes que
sirve para extraer agua de un pozo por ejemplo también inventó diversas
máquinas de guerra como catapultas variadas que se utilizaron en teoría
para la defensa de Siracusa de los invasores parece que construyó un
planetario mecánico que le servía para calcular números de los astros
conocidos y se especula sobre el mecanismo de Antiquiquera no sé si
sabéis lo que es un mecanismo que se encontró oxidadísimo en el
Mediterráneo en un pecio si podía ser una copia del planetario o una
máquina basada en el invento de Arquímedes como curiosidad el estomaquion
es un puzzle geométrico este de aquí en el que descompone en 14
polígonos 11 triángulos 2 cuadriláteros y un pentágono que todas las
áreas son razones exactas de su lado un sexto, un doceavo, un
veinticuatroavo un dieciséisavo, cuarenta y ocho, siete cuarenta y
ochoavos y un cuarenta y ochoavo lo fracciona de esta manera en el caso de
que el lado fuera doce medirían eso y entonces juega en este libro sobre
las formas de resolverlo ¿vale? y demuestra las 536 formas de resolver ese
puzzle que genera ahí pues igual como simple divertimento o como ejercicio
mental ¿vale? bueno, y con esto terminamos con la matemática griega