Grabación correspondiente a la asignatura Geometría Básica, capítulo
4, ángulos. En esta grabación se ofrece un resumen de las definiciones
principales del capítulo y los resultados asociados. Se dan las
definiciones, después se hablan de los resultados, pero no se incluyen las
demostraciones. El consejo sobre cómo utilizar la grabación sería,
vistos los enunciados que se tienen, comprobar si se conoce cómo demostrar
cada una de las propiedades que se van diciendo. Una vez que esto se sabe,
el consejo sería intentar recordar todas estas propiedades y todas estas
definiciones sin necesidad de recurrir a esta grabación. Bien, pues en
este capítulo lo primero que aparece será la definición de ángulo.
Después, una vez que ya hemos definido el ángulo, ver las principales
operaciones que hay con los ángulos. Que será comparar ángulos y
sumarlos. Por último, como aplicación, se hablará de los triángulos.
Los triángulos exóceles y los triángulos equiláteros. Y además, se
demostrará la propiedad conocida de cuánto suman los ángulos de un
triángulo. Bien, pues entonces se comienza con la definición de ángulo.
El punto de partida es cuál debería ser la definición intuitiva. Ya
conocemos los ángulos. Obviamente, para nosotros es esa zona que queda
entre dos rectas. O más concretamente, entre dos semirrectas. Esa
propiedad común es de la que queremos hablar. Y será ángulo. La
propiedad común que tenga una semirrecta. Para nosotros, un ángulo es esa
zona que hay entre dos semirrectas, pero el ángulo puede estar situado en
cualquier lugar del espacio. Por lo tanto, hay algo que transforma un
ángulo en otro. Dejándolo iguales. Bien, entonces... La pregunta que nos
surge es, ¿cuándo un par de rectas o semirrectas, que para nosotros será
un ángulo, será igual a otro par? ¿Cuándo dos ángulos van a ser
iguales? Pensándolo un poco, pues debe haber una isometría que transforme
un par de rectas en otro. Si una aplicación conserva longitudes, o sea, si
es una isometría, pues es lógico pensar que también conservará
ángulos. Ese es el punto de partida para la definición de ángulo. Por lo
tanto, definimos un ángulo como un par de rectas. Un par de semirrectas, a
las que llamamos lados, que tienen un mismo origen, que se llama vértice.
Conviene observar que cuando tenemos dos rectas que se cortan en un punto,
determinan cuatro ángulos. Como se aprecia en la figura. Aparte de eso,
definimos el ángulo nulo, que es el que forma una semirrecta consigo
misma. El vértice sería el extremo de la semirrecta. Y el ángulo llano,
que es cuando las dos semirrectas forman toda una recta. Además, es bueno
dejar claro cuál es la notación que se va a utilizar. Siempre en
matemáticas puede ser un problema el abuso de notación o el tener
demasiada notación para indicar los conceptos. En este caso, convendremos
en que el ángulo entre dos rectas con vértice nube lo escribiremos de dos
maneras, siempre que no cause confusión. Con un símbolo de ángulo y las
dos semirrectas, o bien directamente con un símbolo de ángulo y el
vértice. Según nos sea más conveniente y no cause confusión. Como
ejemplo más importante sería el de los ángulos de un triángulo. El
símbolo para triángulos sería la letra griega delta mayúscula. Bien,
una vez que se ha definido lo que es un ángulo, hablaremos de cuándo dos
ángulos van a ser para nosotros iguales. O con el lenguaje que estamos
utilizando, congruentes. La definición obvia tiene que ser que haya una
isometría que lleve un ángulo a otro. Esto es una relación de
equivalencia. Y por tanto también... Podríamos llamar ángulo a cada
clase de equivalencia en módulo de esta relación. Es decir, nosotros
tenemos una región del espacio, pero no nos importa mover esa región por
isometrías. Como ejemplo importante de cuándo dos ángulos son iguales,
tenemos la bisectriz de un ángulo. Ya es conocido lo que es una bisectriz
de un ángulo, que es lo que la divide en dos partes iguales. Pero queremos
ver cómo se podría obtener esa bisectriz. La obtención de la bisectriz
es el método habitual. Que es simplemente tomar un punto en cada una de
las semirrectas que estén a la misma distancia del vértice. Y considerar
el punto medio del segmento que los une. Todos esos puntos medios forman
una semirrecta, que es la que se llama bisectriz. Los dos ángulos que
define la bisectriz se demuestra que son iguales. Otra definición
importante es la de ángulos opuestos por el vértice. Se demuestra que son
también iguales o congruentes. Por último, asociado al concepto de
ángulo, tenemos el de ángulo recto. Que es el que está formado por
rectas perpendiculares o semirrectas que son perpendiculares. Se demuestra
que todos los ángulos rectos son congruentes. Es conveniente notar que
aunque hemos definido el concepto de ángulo recto, no le hemos asociado
todavía una medida en numérica. Aunque no es necesario todavía para la
definición de ángulo recto. Sí que es necesario, como hemos visto, el
concepto de perpendicularidad. Bien, pues entonces pasamos a ver las
operaciones que hay con los ángulos. La primera operación es que se
pueden comparar. A pesar de que no tenemos todavía una medida numérica,
sí que podemos decir cuando un ángulo es mayor que otro. Intuitivamente,
pues parece obvio decir que para que dos ángulos que se puedan comparar,
para que uno sea menor que otro, simplemente el menor debe estar dentro del
mayor. Eso sería para ángulos que tienen el mismo vértice. Para ello
necesitamos definir el interior de un ángulo. El interior de un ángulo
intuitivamente se ve bien, pero hay que conocer cuál debe ser la
definición de interior. Para ello nos basamos en los semiplanos que define
un ángulo. Cuando tenemos uno de los segmentos, hay un semiplano en el que
está el segmento, el otro segmento del ángulo, y otro segmento del
ángulo. Y otro semiplano en el que no está. Nos quedamos con el
semiplano, después con el otro segmento hacemos la misma operación. La
recta en la que yace divide el plano en dos semiplanos. Bien, pues nos
quedamos con el que contiene a la otra semirrecta del ángulo. La
intersección de ambos semiplanos nos da lo que llamamos interior del
ángulo. Bien, pues ahora ya sí estaremos en condiciones de comparar los
ángulos. Antes de eso, convendría ver el teorema de la barra transversal.
Que nos dice cuando una semirrecta está en el interior de un ángulo. Es
una caracterización que dice que podemos tomar un punto cualquiera en cada
una de las rectas. Consideramos el segmento que los une. Y si la semirrecta
corta ese segmento, entonces la semirrecta está en el interior del
ángulo. Esa es la caracterización que tenemos. Que hay que conocer la
demostración. Bien, pues entonces pasamos a la definición de comparación
de ángulos. Decimos que un ángulo es menor que otro cuando a través de
una isometría el ángulo que queremos que sea menor cae dentro del que
decimos que va a ser mayor. En el dibujo se aprecia que esta definición
recoge la noción intuitiva de que un ángulo sea menor que otro. Luego por
convención diríamos que el ángulo menor de todos es el nulo y el ángulo
mayor de todos es el llano, que se han definido ya previamente. Bien, pues
una vez que se ha definido la comparación de ángulos queremos ver algunas
propiedades. La más importante es que es invariante por isometría. Esta
comparación es invariante por isometrías. Si un ángulo es menor que
otro, cualquiera de los que son equivalentes cumplirá esa misma condición
de que siga siendo uno menor que otro. Además de eso, si estamos
definiendo una relación de orden nos interesará saber que se pueden
comparar siempre dos ángulos. Y que o bien uno es menor que otro, o bien
son congruentes. Bien, pues comparando entonces con el ángulo recto
tendríamos la definición de agudo, aquel que es menor que el resto, u
obtuso, aquel que es mayor que el resto. Estas definiciones están bien
definidas, las isometrías también, por lo anterior, ya que siempre
podremos comparar. Una vez que ya se tiene la comparación de ángulos
pasamos a dar algún tipo de aritmética sobre ellos, en este caso a
poderlo sumar. Conviene notar que estamos definiendo la suma a pesar de que
todavía no tenemos medidas numéricas. Recurrimos otra vez a cuál
debería ser la noción intuitiva de suma de ángulos. Cuando los ángulos
comparten el vértice, sumarlos debería ser que podamos concatenarlos. La
suma debería ser la concatenación de ellos. Para eso los segmentos o las
semirrectas que definen el ángulo tienen que ser una, luego la otra ser la
siguiente semirrecta en la que empiece el siguiente ángulo. Es decir, los
ángulos deben compartir una de las semirrectas, uno de los lados. En ese
caso la suma será simplemente la concatenación de ellos. Para ello
necesitamos hablar del interior y simplemente que el lado que comparten sea
el que está en el interior de la suma. Bien observando el dibujo se ve que
esta definición que se ha puesto aquí recoge la definición que daríamos
intuitivamente. Bueno, pero la definición además hay que saber que esto
se puede ampliar a toda la clase de congruencia. Es decir, no tienen por
qué ser los ángulos compartir el mismo vértice para poder sumar ni
compartir uno de los lados. Además el resultado de esta suma es único. No
podemos sumar ángulos y que salgan sumas diferentes. Y por último las
propiedades más importantes de la suma que será la conmutativa y la
asociativa. Estas propiedades hay que saber comprobar que la suma de
ángulos las verifique. Luego por último sobre la suma de ángulos, aunque
viene un poquito después en el texto, una propiedad muy importante es la
suma de los ángulos en un triángulo que suman un ángulo llano. Conviene
observar que para demostrar este resultado se necesita utilizar el asema de
las paralelas y en el texto se recalca que este asema es esencial para
darlo. Es decir, no se puede hacer una demostración que no utilice este
asema. Porque hay geometrías en las que este asema no es cierto y tampoco
es cierto el resultado en el que los tres ángulos suman un ángulo llano.
En este caso la utilización que se hace es hablando de los ángulos
alternos e internos definidos por dos paralelas y una recta transversal.
Con esto se puede hacer una clasificación de los triángulos atendiendo a
sus ángulos. La clasificación es la que ya conocemos. La de acutángulo
cuando los tres ángulos son agudos, octusángulo si un ángulo es octuso y
rectángulo si un ángulo es recto. Bien, y por último en el texto aparece
hablando sobre las propiedades de triángulos isósceles y equiláteros. Se
habla de sus simetrías. En principio se define lo que es la simetría de
una figura que es simplemente una isometría que da el eje invariante y
seguido. Se hace notar que las simetrías que tiene una figura forman un
grupo porque son subgrupo de las simetrías del plano. Este grupo se llama
grupo de simetrías de la figura. Entonces lo que se procede es a estudiar
el grupo de isometrías del triángulo isósceles y del triángulo
equilátero. Se define el triángulo isósceles como aquel que tiene dos
lados congruentes, o sea dos lados iguales y se estudian las propiedades.
En este caso los triángulos isósceles son simétricos respecto a la
bisectriz del ángulo que forman los lados congruentes. Es un resultado que
ya se conoce pero que hay que saber probarlo. Luego también los ángulos
opuestos a los lados congruentes hay que saber probar que son iguales.
Conocidos estos resultados se pueden pasar a un triángulo equilátero en
el que todos los ángulos son congruentes y por tanto las propiedades
vistas del triángulo isósceles se pueden aplicar para cada par de lados.
En particular se obtendrá que los tres ángulos del triángulo equilátero
son congruentes, o sea iguales y además tenemos tres simetrías que son
reflexiones y luego componiendo obtenemos dos simetrías que son
rotaciones. Estas rotaciones siempre tienen el mismo centro, que es el
centro del triángulo, el centro de rotación y las dos son, la primera es
la que transforma el vértice C en el dibujo vértice C en el vértice A y
la otra es digamos que el giro hacia el otro sentido la que transforma el
vértice A en el vértice C. Y aquí termina la exposición de los
principales resultados que aparecen en el capítulo.