Bueno, pues buenos días. Soy Claudia Soriano y voy a impartir la tutoría
de la asignatura de álgebra del grado de física. Entonces, en primer
lugar, perdón por el retraso porque hoy era el primer día, problemas
técnicos, suele pasar, pero bueno, vamos a empezar. Entonces, en primer
lugar, si tenéis alguna duda en algún momento, paradme sin ningún
problema, ¿vale? Bueno, aquí se me ha borrado un poco porque se me ha
tapado, pero bueno, básicamente... Voy a comentar, las tutorías de la
asignatura de álgebra van a ser cinco lunes, el 4, el 5, 15, 19 y 10 de
enero, en el aula 5. Se me ha tapado un poquito, pero no pasa nada.
Entonces, importante, no sé si tenéis el calendario a mano, pero daos
cuenta que no son lunes consecutivos, sino que hoy tenemos clase el día 4.
Pero no volvemos a tener clase hasta el día 25. Es decir, la semana que
viene es puente, no hay clase. El 18 tenéis tutoría de otra asignatura y
después ya pasamos al mes de noviembre que el 1, el 8 no habrá clase y
habrá clase el 15 y el 29. Diciembre no hay ninguna tutoría y la última
la tendríamos el día 10 de enero, justo antes de los exámenes, que
seguramente serán estas últimas semanas de enero, principios de junio.
Vale, en principio no tiene que haber ningún problema con el horario. En
caso que por algún motivo excepcional se hubiese que cambiar la clase, se
avisaría con antelación, con la máxima antelación posible y se
propondría otro día, acordaríamos entre los presentes aquí, otro día
para poder... Recuperarlo. Vale, hasta aquí todo claro. Vale, entonces,
importante, la asistencia como tal no es obligatoria. Es recomendable si a
cada alumno le va bien. Es decir, hay gente que le va muy bien ir a su
ritmo, sin necesidad de tener una persona física adelante. Otras personas
en cambio necesitan una persona constante que les vaya guiando, que les
vaya diciendo un poco qué hacer en cada momento. Entonces, sentidos libres
de hacer lo que queráis. Voy a pasar una hoja para controlar la
asistencia, pero básicamente es por cuestiones estadísticas. No es por
puntos ni por nada. O sea, no cuenta académicamente para nada. Entonces,
os la paso y vais a ir llenando el nombre y los apellidos. Entonces, si
algún día no podéis venir, si no queréis venir, las tutorías van a ser
transmitidas en inglés. Perfecto. Y van a ser también grabadas. Entonces,
hoy sí que estamos usando la plataforma Avid, pero la idea es que de cara
a las próximas sesiones pasemos a Google Mix. ¿Por qué? Porque
básicamente para los que están en casa, yo ahora mismo no puedo ver, o
sea, no puedo interaccionar con ellos. Únicamente lo que puedo hacer es ir
atrás, volver aquí al chat y mirarlo. En cambio, si tenemos Google Mix...
No, no puedo. Si estáis en casa me podéis interrumpir en cualquier
momento y acceder a cualquier pregunta o consulta o lo que necesitéis.
Vale. Pero hoy... lo estamos haciendo con Avid porque es el primer día y
era lo más práctico a nivel organizativo. Entonces... vale. El objetivo
de las tutorías es básicamente intentar hacer un resumen, repaso de todo
el tema. O sea, en 10 horas que tenemos no vamos a tener tiempo para
repasar todo, todo, todo, ni para explicar en detalle todos los contenidos.
Pero la idea es intentar focalizar aquellos puntos más importantes y
repasar lo que generalmente suele costar un poco más. ¿Vale? Igualmente,
si tenéis alguna duda o, yo qué sé, habéis hecho algún ejercicio en
casa, nos ha salido, intentad avisar un poco de antelación y así nos lo
podríamos también intentar mirar de cara a la siguiente tutoría. Vale,
entonces, yo recomiendo que de cara a las tutorías, a ver, cada uno tiene
su vida, tiene sus obligaciones, tiene su tiempo y lo organiza como, un
poco como puede. Pero yo os recomiendo que de cara a las tutorías
intentáis venir con la batería un poco mirada, aunque sea un poco leído,
para que os suene y que una vez estuviese en la clase y haces temas para
hacer preguntas sobre lo que no habéis entendido en casa y solidificar un
poco más el contenido. ¿Vale? Pero bueno, ningún problema, pero os doy
más que nada como consejo porque muchas veces viene alguien que no ha
mirado nada, hace... O sea, entiendo también que hay gente quizá que hace
mucho tiempo que no toca temas sobre todo de matemáticas, hay otros que
no, si pues habéis terminado un chillerato o habéis terminado hace poco
alguna prueba de acceso a la universidad y... Vale. Gracias. ¿Todo está
destinado? Bueno, pues lo que comentaba, que hay gente que hace mucho
tiempo que no toca la asignatura, entonces... No sé qué estaba diciendo.
Bueno, ya sabréis si habéis mirado el contenido de la asignatura, hay
principalmente seis temas. Dos bloques, por así decirlo. El primer tema
van a ser sistemas de ecuaciones lineales, también van a haber un poco de
sistema de ecuaciones cuadráticas, pero bastante sencillo. Esto si venís
de bachillerato lo habéis visto hace muy poco y si no, ningún problema,
vamos a hacer un poco de memoria. Ves un ronosa de matrices,
determinantes... Espacios vectoriales, aplicaciones lineales y espacios de
inestracio o estilio, que eso seguramente no os ha tocado tanto en
bachillerato. Sobre todo si venís de un bachillerato bastante estándar.
Entonces... Vais a ver que la matemática que hay detrás se parece mucho a
la de bachillerato o pruebas de acceso, pero que quizá hace un pasito un
poco más allá para entrar en ese nivel un poco más universitario. Y no
quedarse tanto en lo que se ha hecho en bachillerato. Esto es una
recomendación, esto es lo que hay en la guía docente o en los documentos
si miráis el campus virtual. Entonces, esto es una propuesta de
organización de cara a cómo estructurar la asignatura y cómo repartirse
un poco los temas. Obviamente es orientativo. Uno puede dejarlo así.
Dejarlo todo para el último mes, si lo necesita o si se va mejor. Pero la
idea es intentar ir poco a poco para que no se acumule todo al final. Y
nada, hacemos semana 1, semana 2 e intentar hacer tema 1. Así semana 3, 4,
tema 2 y así sucesivamente. Lo aproximado es un par de semanas por cada
tema. Primera semana quizá ver un poco más la teoría. Los ejemplos del
libro. Y la segunda semana hacer todos los ejercicios. Pruebas de
autoevaluación. Ejercicios extra que podéis buscar por internet,
etcétera, etcétera. Y yo sí que os recomiendo que os dejéis un poco de
margen. Que intentad no ir justos con el tiempo porque depende de la semana
que os toque. Si os toca en la primera semana de exámenes o en la segunda.
Si vais justo, si os va a solapar el hecho de estudiar el último tema, pon
el examen. Entonces intentad dejaros un par de semanas antes del examen
para preparar y repasar los ejercicios principales de cada tema. Porque si
no, os os va a solapar y no vais a tener tiempo de repasar lo que habéis
visto las primeras semanas. Y lo tendréis un poco más lejos. Vale, al
final ya basta aquí. Voy a mirar un momento el chat. Perfecto. Vale,
entonces seguimos con la bibliografía. La bibliografía básica, básica
es este libro de aquí. Abre, quebra, lineal, sistemas, matrices y
vectores. Importante, segunda edición previsada y aumentada 2018. Porque
si buscáis por internet vais a encontrar segunda edición pero que no
esté el 2018. ¿Qué cambia? Cambia sobre todo lo que son ejercicios.
Entonces vais a ver que si miráis la edición del 2018 tiene un poquito
más de contenido de práctica. Bueno, tenéis aquí los datos por si
necesitáis ir a la biblioteca para cogerlo o pues ir a comprarlo. Lo
podéis comprar también por internet, por la UNED y quizá, no estoy
segura si por alguna otra plataforma. Pero por la UNED seguro. Como
bibliografía complementaria tenéis este otro libro. Árbitra, lineal y
geometría vectorial. Que es también segunda edición este del 2019. Y lo
que sí que tenéis que dar claro es que lo que va a entrar en el examen, o
sea, lo que puede entrar en el examen es lo que hay aquí. Es lo que hay en
la bibliografía básica. Es decir, que los ejercicios de la bibliografía
complementaria os van bien para practicar. Perfecto. Pero no puede salir a
nivel de contenido nada. Nada. Que haya salido aquí. Sí que te lo pueden
preguntar de otra forma. Eso sí, pero no pueden incluir temas que, por
ejemplo, aparezcan en la bibliografía complementaria. Vale. Vale,
entonces, lo veremos después también, pero sí vais al campus virtual.
Vais a ver un documento de ratas de este libro. De Árbitra Lineal. Hay
algunos pequeños errores que han sido corregidos y en ese documento pues
se detallan. Entonces, a ver, lo que os he comentado, esto es lo básico,
pero por internet y sobre todo a nivel de algebra hay muchísima materia,
muchísimos contenidos. Si buscáis PDFs vais a ver PDFs de muchísimas
universidades que repiten lo mismo que aquí. Es decir, no sé si habéis
ojeado un poco el libro, pero este libro utiliza un lenguaje bastante
técnico, que sí que es verdad que es, a ver si estamos en la universidad,
pues es lo que nos vamos a encontrar. Pero que hay veces que es un poquito
de retojar. Entonces, no tengáis ningún problema en, pues si estáis
haciendo análisis de sistemas para ver si es compatible determinado,
indeterminado, etc. De la cuestión. Cogéis los apuntes de bachillerato,
buscáis por internet, no pasa nada. Al final eso es lo mismo en cualquier
sitio. Vale, entonces lo interesante en relación a, a ver si se haga un
argumento. Vale, fecha 2015. Vale, a ver, para, no veo el nombre, una
persona que me ha comentado por el chat. Lo siento, pero... No veo
exactamente el nombre. A ver, bueno, ASINV. Vale, lo consultaré si es la,
o sea, quizá es la primera versión de 2015 y la revisión de 2018. Si
pone revisar y aumentar, en principio no habría ningún problema.
Igualmente lo voy a revisar para que no haya ningún problema. ¿De
acuerdo? Vuelvo al web. Vale, pues... Continúo con la evaluación. A ver,
vais a ver que en el campus a veces hay alguna actividad no evaluable.
Ejercicios extra que podéis ir haciendo a vuestro ritmo sin ningún
problema. Eso no va a contar. Lo que va a contar para la nota final del
examen, o sea, de la nota final de la asignatura, son dos ítems,
básicamente. Las pruebas de evaluación continua y el examen final. ¿Qué
son las pruebas de evaluación continua? Son como una entrega, unos
ejercicios. De unos cuatro o cinco problemas. Que va a tener como fecha de
entrega seguramente a mediados de diciembre. Y, bueno, esto es un
calculador de cada examen. La prueba la vais a hacer en vuestra casa y vais
a tener un cierto margen, unos días suele ser, para hacerlo y entregarlo.
Entonces, esta prueba de evaluación continua vale un 20% la nota de la
asignatura. No es mucho, pero sí que es verdad que si después de cada
examen sacas un 4,5 y el APEC ha sacado un 7, seguramente vas a estar
aprobado. Si hacéis los cálculos comprobadlo, pero más o menos va a ser
eso. Entonces, muchas veces esa P te salva un poco de esas decimillas que
no te terminan de cuadrar a la hora de hacer el examen. Vale, esto es la P.
Entonces, por otro lado tenemos el examen final. El examen final, si
hacéis la P, vale un 80%. Suele durar, bueno, dura 120 minutos, un par de
horas. Y son problemas similares a los de las P. Es decir, esto es un poco
como un entrenamiento en vuestra casa con más tiempo. Quizá aún sin ver
todo el contenido, un poco más a vuestro ritmo. Y, pues, el examen final.
Van a ser esos 120 minutos. Y lo que sí que es importante en el examen
final es que no se puede utilizar calculadora. Es decir, si ya sabéis que
el examen final no es adherir la calculadora, intentad hacer los ejercicios
sin calculadora. Sí que es verdad que matrices, determinantes, no se
necesita mucho. Pero, a ver, yo he tenido alumnos en bachillerato que hacen
con la calculadora un 4x3, por ejemplo. Aunque sea, o sea, a veces
simplemente es por la propia seguridad personal de lo estoy haciendo bien,
incluso cuando estás haciendo un examen. Pero, intentad ganar esa
confianza matemática en los pequeños cálculos del día. ¿Vale?
Entonces, importante, si habéis hecho la P, la nota final va a ser una
combinación de 20% asociado a la nota de la P, más el 80% asociado al
examen final. Si hacéis el examen final, pues es un 100% evaluación
única y la P, pues si no habéis hecho P, no se tiene en cuenta. Pero
fijaos, la nota que os va a quedar al final va a ser la nota máxima entre
la opción de hacer P, o sea, examen, más P, y la opción del examen
final. Es decir, siempre nos quedamos con lo... con lo mejor, entre
comillas. ¿Me seguís con esta fórmula? ¿Alguna duda? Sí. Básicamente,
lo que pasa es que si saco mejor nota en el examen que la media, bueno, la
suma de esos dos, se coge la nota del examen. Claro, si tú aquí, claro,
fijaos que pones máximo, la opción de PEC y examen son examen. Es decir,
si la... Claro. Si sacas mejor... Si sacas mejor nota en el examen que
pones de cómputo, pues te vas a quedar eso con el examen. Eso, claro,
significaría que la P no la has hecho bien. Entonces, claro, normalmente
la P es una cosa que tienes tiempo de sobra para hacerlo bien si no lo
haces a última hora y si lo llevas un poco al día. Entonces, la idea es
que quizá esto te sume un punto a esto. Es decir, compense y sube unas
lecciones. ¿Sí? Dime. Pues este año seguro que será más. Sí, por lo
que me han comentado, va a ser presencial. Aún así, se comunicará por el
campo virtual las fechas y si es 100% presencial. Vale, entonces, estos
exámenes, en el caso de esta asignatura, que es una asignatura de primer
semestre, van a ser en el 11 de febrero. Las fechas, pues por confirmar. No
sé si ya tenéis la opción de mirar los calendarios. Normalmente a estas
alturas aún no aparecen, pero en el campo virtual tenéis la opción de
ver mis calendarios de exámenes o algo así. Entonces, ¿qué pasa si no
aprobáis? Es decir, si hacéis el examen o hacéis el examen y la P y no
sale la media aprobada. ¿Por qué? Pues tenéis la opción de ir a
septiembre, ¿vale? Entonces, simplemente sería un examen similar al
examen final, a este examen de aquí. Aquí no aparece, pero aquí pone
septiembre. Tiene un examen similar a este examen aquí final y el
contenido que aparecería sería el mismo contenido que habéis hecho
durante el curso. Vale, perfecto. Vale. Entonces, si miráis. Si miráis el
campus virtual, vais a ver algo llamado equipo docente y grupo de tutoría
o tutoría centro social o algo así. ¿Qué diferencia? A ver, el equipo
docente va a ser responsable de resolveros todas las dudas que tengáis
sobre la asignatura. Después lo veremos, pero si abrís el campus virtual
vais a ver tema uno, tema dos, bla, bla, bla. El equipo docente va a ser
responsable de resolver todas las dudas que tengáis sobre la asignatura.
Es decir, el encargado de ir contestando esos foros. Entonces, como persona
de contacto para esta asignatura, tenéis a Ernesto Martínez García, que
es el coordinador, y aquí están sus datos de contacto en caso que
necesitéis contactar. No obstante, si son dudas de la asignatura al
tipo... Y en este tipo de matrices que no sé qué, no sé cuántos.
Entonces, yo recomiendo que lo pongáis por el foro porque es más
dinámico. Si todos los alumnos también lo pueden ver y si alguien tiene
la misma duda, pues lo resolvéis de golpe. Tenéis aquí los datos de
contacto, también los horarios de guardia para resolver dudas. Claro que
estamos en Barcelona, no vais a ir presencialmente tampoco a Madrid, pero
en caso que necesitéis la información aquí la tenéis. Esto sería el
equipo docente. Entonces, encargados un poco del examen, del contenido de
la asignatura, etc. Por otro lado tenemos la figura del profesor tutor.
¿Qué hace básicamente el profesor tutor? Pues lo que vamos a hacer, el
profesor tutor es un poco el encargado de hacer estas tutorías. En este
caso voy a ser yo, que durante estos cinco días que nos vamos a ir viendo,
vamos a estar repasando el contenido de la asignatura y va a servir un poco
para... para tener más contacto y que quizá hay alguna cosa que por el
foro no queda muy clara, pues que la podéis comentar también aquí y
también yo que sé algún problema con la PAC, con la PEC, etc. ¿Vale?
Vale, a ver. Entonces, ¿habéis abierto el campus virtual? Vale. ¿Alguien
ha tenido algún problema? Pues si lo habéis abierto... Bueno, en teoría
os debe parecer algo así. El tablón de noticias a veces no se usa mucho.
Lo que sí que se usa mucho es el foro de debate, que ahora vamos a ir. Y
la guía del estudio, que bueno, es una recopilación de lo que hemos
comentado hoy. Importante. Aquí se van a ir colgando todos los documentos
de la asignatura. ¿Qué hay hasta ahora? Orientaciones específicas. Lo
que hemos comentado del libro de texto y la bibliografía. Aquí están los
errores. Introducción al laboratorio de álgebra y álgebra lineal con
máxima. Esto es una herramienta que podéis usar para resolver ejercicios
tipo, pues, inversa de una matriz, multiplicación de matrices, etc. Y
ejercicios más complicados. Yo particularmente no suelo usar estos, aunque
estos son los que se recomiendan en esta asignatura. Si buscáis por
internet podéis usar... Cualquiera otra herramienta matemática, por
ejemplo, Symbolab o WolframAlpha, os voy a poner, si queréis, los enlaces
en el chat del foro y así lo vais a tener. Pero es básicamente a la hora
de hacer ejercicios. Pues mira, he hecho una multiplicación de matrices,
me invento, y no sé si me da. Lo metéis ahí y automáticamente os lo
calculo. Vale, ahora mismo... Aparte de lo que hemos visto hasta ahora,
pues hay la información de la evaluación. Hay también soluciones a
exámenes y soluciones a las pruebas de evaluación continua. Podéis abrir
estos documentos y vais a ver que al final los ejercicios del aspecto son
bastante parecidos a los de los exámenes. No cambia básicamente la
estructura como tal. Vais a ver que tenéis distintos apartados con los
distintos... ...temas, la introducción para el tema 1 y vais a tener unos
ejercicios de autoevaluación. Estos ejercicios no cuentan. Básicamente
son para que podáis practicar y podéis ver un poco cómo vais. Debajo
tenéis las soluciones también. Vale, pues esto lo tenéis para cada uno
de los temas. Si vamos a los foros, pues un poco lo que hemos comentado.
Estos serían para consultas generales de la asignatura, cuando serán los
exámenes... ...esto lo podéis mirar vosotros mismos también, pero
preguntas más a nivel de la estructura de la asignatura como tal, no tanto
del contenido. Este es el foro de estudiantes, habrá de entre vosotros,
ahí nadie lo va a moderar. Este es para el laboratorio de álgebra y estos
para el contenido de las asignaturas como tal. Estás en el tema 2, tienes
una duda sobre matrices, pues vas aquí, escribes la duda... ...y en
principio... ...un miembro del equipo docente lo va a resolver. Entonces,
este grupo de aquí, el grupo de Tutoría 9, es el de las personas que
forman parte de la tutoría... ...tanto las que están aquí presenciales
como las que están en casa, como las que no se conectan. Son las de los
centros de Barcelona y las de los museos. Si tenéis alguna pregunta sobre
algo que hemos visto en la tutoría, sobre el Power... ...vas a colgar el
Power, pues lo podéis comentar por ahí. ¿Hay un error? Sí. Lo podéis
poner sin ningún problema, ¿vale? Vale, entonces, álgebra. Álgebra es
algo que no se empolla, sino que se practica desde el primer día.
Entonces, cada uno a su ritmo y también cada uno un poco con su propia
técnica. Aún así, lo recomendable sería ir tema a tema, pero ir tema a
tema no significa que empiezo con el tema 1... ...me atasco y no avanzo.
Sino que empiezo con el tema 1, insisto, insisto, insisto. Si necesito
ayuda, la busco y avanzo al tema 2 y así sucesivamente. Entonces, leemos
el tema, buscamos si no hemos entendido los vídeos por YouTube...
...comentamos con los compañeros, preguntamos en las tutorías,
preguntamos en el foro, etcétera. Hacemos ejercicios de ese tema, hacemos
la autoevaluación y una vez que lo tengamos todo... ...pues eso, venimos
aquí también a resolverlo. Vamos a ver las dudas. Lo que yo sí que
recomiendo mucho en la UNED es hacer exámenes desde el primer día. Yo he
hecho una carrera por la UNED y, de verdad, los exámenes no cambian mucho
de un año a otro. O sea, al final, la dinámica es siempre la misma. Si
cogéis tema 1, a ver qué ejercicios de todos los exámenes que tengo son
del tema 1. Pues este, este, este y este. Los hago todos. ¿Me salen?
Perfecto. ¿No me salen? Pues mira, a ver qué me falla. Y así para cada
uno de los temas. Entonces, ¿de dónde sacamos los exámenes para
practicar? Pues en un municipio hay un par de depósitos de exámenes, el
de Calatayud y el de Barbastro... ...que con el usuario deberíais poder
acceder fácilmente. No sé si alguien lo ha probado. Hay algunos que
están como restringidos. Vale. Es decir, a lo mejor dejan en el 2018,
cosas así. Hay algunos que no están. No sé si es que los retira el
equipo docente o... Lo voy a mirar, a ver si me da acceso a todos o no.
Vale. Aun así, mirad cuáles podéis acceder vosotros, a ver si son 2 o 3
o si realmente hay 8, 9 o 10 que tengáis como referencia y tengáis
suficientes. Y los que... Vale. Y lo que os he comentado antes. Máxima.
Máxima es un ejemplo, pero hoy en día yo recomiendo otros como Ciro
Quibolaco o Wolfram Alfa para resolver cosas más del día a día. ¿Vale?
¿Alguna duda con todo esto? Vale. Pues esto sería la presentación de la
asignatura. ¿Alguna impresión, comentario? ¿Cómo lo veis? Dime. Una
pregunta. El laboratorio de álgebra. Sí. Eh... El laboratorio de
álgebra... En principio... A ver. Voy al campus, así lo voy a enseñar.
Vale. Voy a abrir el documento. Lo del laboratorio de álgebra básicamente
es un poco todas estas herramientas que existen en Máxima, pues que nos
ayudan a resolver los problemas no tanto a mano, sino con la ayuda de los
profesores. Con la ayuda de un ordenador. Al final, Máxima es un software,
como los otros que os he comentado. Aquí todas las guías, todos los
documentos que vais a ver van a ser con este. Sobre todo también lo vais a
ver un poco más adelante, como para decir la asignatura de física
computacional. Aquí tampoco os tenéis que preocupar demasiado. O sea,
como mucho vais a ver algún PDF, algún álbum. Aquí tenéis unas guías
para que podáis ir practicando lo que hacéis en los ejercicios, pues
aplicarlo al laboratorio. Pero... En principio es eso. En caso de que
hubiese alguna novedad os lo digo y ya está. ¿Vale? Esto sí que ir
revisando el campus virtual porque van a ir colgando más contenido. O sea,
sobre todo revisad el foro. Vale. Aquí en negrita os van a aparecer los
mensajes medios. ¿Vale? Y importante que a veces aparece un mensaje. Por
ejemplo, voy a abrir esto. Esto no es el mensaje entero. Si no clicáis
aquí no vais a ver todas las respuestas a la pregunta. ¿Alguna duda?
¿Algo más? ¿Algún comentario más? Pues si no hay más comentarios
entonces empezaría con el tema uno. Voy a cambiar el power. Bueno, una
dudilla. Dime. Aparte de los exámenes que hay en cada taller, en el mismo
campus, ¿el equipo docente suele subir algún cierto examen o algún PDF?
Aquí hacia el principio hay exámenes, un par de exámenes. Vale. Mira,
esto es un Apple. Vale. Pero estos dos... Estos dos son exámenes. Para que
veáis uno de ejemplo. Esto ahora tampoco os dice nada, pero hago como
referencia. Vamos a ver si lo veis todos bien. Un ejercicio. Tendríais
aquí la solución paso a paso con la explicación. Otro ejercicio.
También indica la puntuación. Solución. Otro ejercicio. Y solución. Y
el último. Tenéis un par. Mirad lo que he dicho. Mirad cuáles podéis
acceder en el depósito de exámenes y me comentáis, ¿vale? Vale. ¿Más
dudas? Ok. Pues si no hay más dudas voy a cambiar entonces de power. Y voy
a ir al del tema uno. Vale. Dejadme comprobar en el chat de momento… A
ver. Vale. A ver. El tema uno, sistemas de ecuaciones lineales. Lo que he
comentado antes. Si venís de bachillerato o pruebas de acceso recientes lo
vais a recordar fácilmente. Si hay alguien que hace más tiempo que no ve
estos contenidos lo vamos a refrescar poco a poco. paradme, no sé lo que
digo, no sé cuál es vuestro background y de dónde venís, o sea, no pasa
nada si no os acordáis de las ecuaciones lineales de primer grado. Nada,
interrumpidme y vamos a irlo comenzando, ¿vale? Vale, ¿qué veremos en
este primer tema? Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y concretamente los
sistemas de ecuaciones lineales. Vamos a trabajar el método de Gauss. El
método de Gauss-Jordan y vamos a discutir los distintos sistemas de
ecuaciones. Vale, aquí si tenéis el libro, antes de empezar el tema, hay
como un apartado de introducción que os define qué es un grupo, qué es
un anillo y qué es un cuerpo. Al final esto nos va a servir para decir
cuándo un sistema, o sea, para definir ¿cuándo? ¿Cómo lo diríamos? Lo
que serían, dejadme poner la siguiente diapositiva. Para construir todo el
álgebra, básicamente. Exacto, exacto. Vale, para construir todo el
álgebra y, por ejemplo, cuando estamos analizando soluciones de
ecuaciones, pues para decir, pues mira, esta ecuación tiene solución en
todos los reales y reales o solo tiene solución en los naturales.
Entonces, la definición del grupo anillo y cuerpo la tenéis detallada con
los distintos puntos en el libro. Aquí he puesto los puntos más
identificativos de cada uno, pero ahí los tenéis numerados y además os
hace inciso en la diferencia entre anillo, por ejemplo, y semianillo. Vais
a ver que un semianillo, por ejemplo, no cumple todas las propiedades de un
anillo. Repasemos un poco las propiedades básicas, haced una lectura de lo
que serían las propiedades que aparecen en el libro y si hay alguna duda
me comentáis el próximo día. Hoy entiendo también que es el primer día
y que quizá no habéis visto nada. Entonces, grupo. Un grupo al final
tiene una estructura de un grupo, o sea, un conjunto de elementos que tiene
la propiedad de la suma. ¿Qué significa? Pues, por ejemplo, el 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 21, 23,
24, 25, 26, 27, 28, 29, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33,
34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 5, 6, 7, 8, sería un conjunto
de elementos que formarían un grupo y que además los puede sumar entre
ellos. Pero ¿qué propiedades hace falta que siga ese grupo? Aquí tenemos
las tres más características. Insisto que leed el libro porque ahí van a
estar detalladas con más precisión. petición. La propiedad asociativa es
decir, si sumamos x más y con un paréntesis y sumamos un tercer elemento
zeta, nos va a tener que dar igual a x más paréntesis y más. La del
elemento neutro. La del elemento neutro es que existe un elemento dentro de
este grupo tal que si sumamos este elemento a cualquier elemento del grupo,
continuamos teniendo este elemento. ¿Vale? ¿Conocéis esta notación de e
barra? Ok, por si acaso, es que no todo el mundo lo ha visto. O sea, hay
cosas que para algunos van a ser obvias, pero para otros quizás. Voy a
seguir. Y la tercera propiedad principal que tienen que cumplir los
elementos para formar un grupo es el elemento simétrico. Es decir, existe
un elemento x en el grupo y un elemento y tal que si lo sumo me forman el
elemento neutro. Por ejemplo, tres elementos menos tres igual a c. ¿Alguna
duda? Esto no he subido pero lo voy a subir. Sí. Igualmente lo que digo,
sobre todo de este punto las propiedades están más detalladas en el
libro. Voy a hacer un repaso general. Bueno, esto sería el grupo. Después
tenemos el anillo. ¿Qué diferencia hay entre un grupo y un anillo? El
hecho de que existe una segunda operación que sería la multiplicación.
¿Qué propiedades cumple el anillo? El anillo, al final, no es nada más
que un grupo, pero que es un grupo abeliano. ¿Qué significa que sea un
grupo abeliano? Pues que es lo mismo hacer X más Y que Y más X. El orden
no nos importa, por decirlo de alguna forma. Además, el anillo también
cumple la propiedad asociativa con la multiplicación. ¿Por qué? Porque
con la suma ya lo cumple, porque ya es un grupo. Entonces, todas estas
propiedades seguramente se van a seguir cumpliendo. Y, por último, el
anillo también es distributivo respecto a la multiplicación. Lo mismo, X
por Y más Z con paréntesis, va a ser lo mismo que X por Y más X por Y.
¿Dudas? ¿Qué has dicho? El anillo es un grupo, pero que es un grupo
abeliano. Sí, o sea, un anillo, o sea, las propiedades para que sea un
anillo es que sea un grupo abeliano. Y que sea abeliano significa que X
más Y es lo mismo que Y más Z. Entonces, como es grupo, un anillo, una de
las propiedades es que sea grupo, va a cumplir las propiedades del tercer
grupo. ¿Me explico? A nivel de las generaciones que el grupo constata,
¿sería una ecuación que tenga sumas y multiplicaciones en ella? ¿Se
expresa como ecuación o el anillo como se expresa? O sea, al final son
grupos, pero no, son conjuntos de elementos que tienen una suma en el caso
del grupo y tienen la operación también de la multiplicación en el caso
del anillo. O sea, son más bien vectores. No, podemos representar como
vectores, por ejemplo, en un grupo de anillos. En el tema de, por ejemplo,
espacios vectoriales y demás. Sí, sí. Todas esas propiedades. Claro,
claro. Claro, ahora vamos a ver, por ejemplo, lo que hemos visto antes,
¿no? En el caso de los números naturales, los números naturales van a
ser un serianito. Los enteros van a formar un anillo. Y lo que son los
racionales... Los reales y los complejos van a formar un cuerpo. Pero esto
simplemente es a nivel conceptual. No vamos a entrar con detalle a cada uno
de los apartados. Simplemente es para poder identificar cuándo va a tener
solución un elemento, o sea, una operación, perdón, y en qué espacio va
a tener solución. ¿Vale? Vale. Y por último, el cuerpo. El cuerpo... El
cuerpo al final es un anillo unitario y que además, si a estos elementos
que están dentro de nuestro cuerpo le restamos el elemento neutro, junto
con la operación de la multiplicación, formarían un grupo. Es decir, las
dos... Perdón, vuelvo a explicarme, que no lo he dicho demasiado bien. Es
decir, las dos propiedades necesarias para que sea un cuerpo es que sea un
anillo unitario y que además... El conjunto de los elementos, exceptuando
el elemento neutro, junto con la multiplicación, forme un grupo. Es decir,
siga estas tres propiedades. ¿Vale? Vale. Lo que digo es abstracto.
Léoslo en casa con calma. Apuntad dudas y el próximo día, que ya lo
habréis leído con calma, resolvemos dudas. ¿Sí? Vale. Vamos a lo que es
el tema... Como tal, vamos a empezar con las ecuaciones básicas. Ecuación
con una incógnita. Primero de la ESO. Vamos a identificar un poco cada
cosa para hacer memoria y después ya lo vamos a ir complicando. ¿Vale?
Entonces, si recordamos, cuando tenemos una ecuación, lo que distingue una
ecuación de una expresión matemática estilo polinomio es la igualdad.
Una ecuación tiene un igual. Si tuviésemos una linea ecuación,
tendríamos el símbolo de la desigualdad hacia un lado o hacia otro.
Entonces, en cualquier ecuación vamos a tener la incógnita. Suele
representarse con letras del alfabeto en minúsculas y los distintos
valores. Y pues simplemente, si queremos resolver la expresión,
aislaríamos haciendo lo contrario. Menos tres pasaría más tres. Aquí. Y
aquí, como tenemos que el 2 es igual a 3. Si traemos dos multiplicando
pasaríamos el 2 al otro lado a dividir y habríamos resuelto la ecuación.
Esto es sencillo para hacer un poco de memoria. Entonces, lo que comentaba.
En ese caso existía la solución porque era una ecuación fácil. Pero no
siempre va a existir la solución en los naturales o en los enteros o en
los racionales. Es decir, puede ser que estemos haciendo una raíz de un
número negativo. entonces claro, si lo analizamos en los reales ahí no va
a tener solución pero si vamos a los complejos sí que va a tener
solución ¿vale? Entonces aquí por eso la definición de un grupo, de
anillo para indicar las distintas agrupaciones que tenemos y para poder
decir cuándo o en qué conjunto de elementos tiene solución o no tiene
solución ¿vale? También, hagamos memoria ¿cuánto un conjunto de
valores son solución de una ecuación? ¿qué tiene que pasar? ¿alguien
se acuerda? ¿puedes volver a preguntar? Sí yo tengo un conjunto de
valores x, y, z y quiero saber si son solución de una ecuación ¿cómo
sé si esa x, esa y y esa z z dadas son solución o no? Eso es el punto en
que se aplica hacer la memoria Exacto, es decir si al sustituir me da igual
a cero en este caso van a ser solución solo que uno de ellos ya no sea el
valor exacto para la solución pues no me va a cuadrar en este caso parece
bastante obvio pero claro, en este caso tengo x igual a 1 y igual a 1 se le
va a dar 3 en principio si lo sustituyo me va a dar cero pero no va a ser
la única solución porque aquí tenemos tres incógnitas una ecuación
seguramente va a haber muchísimas infinitas prácticamente o sea se tenía
que comprobar muchísimas opciones que me den igual a cero esto lo vamos a
discutir después con lo que serían sistemas compatibles determinados
indeterminados y incompatibles y ahí vamos a ver las distintas soluciones
que tenemos en este caso que tenemos cuando cuando tenemos una ecuación
dos ecuaciones tres ecuaciones y también en función del número de
incógnito vale repasemos ecuaciones lineales una incógnita dos
incógnitas pero lo que importa es que tienen grado 1 entonces en este caso
si queremos resolver sería similar a la de a la de antes pasaríamos a la
de dividir y el 3 a restar ¿qué podemos hacer? ¿qué tiene en particular
esta ecuación? tendría una única solución si pasamos a ecuaciones
lineales de dos incógnitas aquí tendríamos infinitas soluciones ¿por
qué? porque tenemos un parámetro libre si tuviésemos aquí aparte de x
más 3 igual a y si tuviésemos una segunda ecuación por incógnitas x e y
podría ser que tuviésemos una única solución para x y para y en
función de lo que hemos comentado si es sistema compatible determinado
indeterminado o incompatible pero todo eso lo veremos a continuación
¿sí? vale entonces como digo aquí en general necesitamos tantas
ecuaciones como incógnitas tenemos esto va sobre todo por cuando estamos
hablando de sistemas de ecuaciones líneas vale si pasamos a las ecuaciones
cuadráticas pues distinguimos básicamente tres tipos las del tipo ax
cuadrado igual a c pues en este caso 5x cuadrado menos 25 aquí pasaríamos
el 25 al otro lado el 5 a dividir nos quedaría x cuadrado igual a 5 por lo
tanto las dos opciones soluciones a esta ecuación serían x igual a más
menos raíz y x igual para este caso sacaríamos la x de factor común
tendríamos una opción x igual a 0 y la otra nos quedaría dentro del
paréntesis 5x menos 25 por lo tanto 25 entre 5 x igual a c por dos
soluciones también x igual a 0 alguna duda y la del tipo 3 que es la
típica de la ecuación x es igual a menos b más menos raíz cuadrada c al
cuadrado menos 4c partido por 2a todos los elementos y aquí vamos a
discutir el número de soluciones en función del discriminante qué es el
discriminante lo sabéis todos vale voy a pasar lo voy a escribir porque
así también si alguien está en casa no sé por qué ahora compartir un
momento a ver si puedo compartir un momento a ver si puedo un momento a ver
vale lo que hemos dicho x es igual a menos b más menos raíz cuadrada
menos 4 para c partido por 2 la ecuación que eso estaría ahí está esto
de aquí es el discriminante y suelen implicarse en accidente Si vuelvo al
power, las ecuaciones cuadráticas en función del discriminante tienen
distinto número de soluciones. Entonces, si este discriminante es
positivo, nos va a quedar más menos la raíz de un número positivo. Hay
unos números que nos da la raíz positiva con el más fuera o con el menos
fuera. Si nos da igual a cero, vamos a tener únicamente una solución.
Porque vamos a tener cuatro más menos raíz de cero. Raíz de cero es
cero, por lo tanto, una opción. Y discriminante que no se ve demasiado
bien. A ver si clico aquí, no creo que pase nada. Y discriminante
negativo, aquí vamos a tener cero soluciones. Pero claro, como os he
comentado antes, cero soluciones en los reales. Vale, vamos a ver un caso
donde nos queda este discriminante negativo. Tenemos x cuadrado menos 2x
más 5 igual a cero. Sustituimos en la ecuación que hemos escrito antes. 2
más menos 2 cuadrado menos 4 por 5 entre 2. Y nos queda 4 menos 4 por 5,
20 menos 16 centros de la raíz. Por lo tanto, raíz de un número negativo
nos va a quedar complejo. ¿Cómo? ¿Cómo transformamos un número
negativo dentro de la raíz en un número complejo? Es decir, ¿cómo
cambiábamos esta notación? Pues vamos a separarlo con la parte negativa y
la parte positiva. Es decir, el menos al final es como si tuviésemos el 16
multiplicado por menos 1. Por lo tanto, raíz de 16 y raíz de menos 1.
Menos 1 sabemos en los complejos que es igual a i. Por lo tanto, nos va a
quedar raíz de 16. Y raíz de 16 es igual a i multiplicado por 2.
Terminamos de operar. Raíz de 16 es 4. 2 más menos 4i partido por 2. Por
lo tanto, va a ser 1 más menos 2i. ¿Sí? Pues aquí sí que tenemos dos
soluciones. Pero en los complejos, en los reales, no tendríamos solución.
Vale, entonces, si hacemos memoria también una particularidad de las
situaciones cuadráticas, es que nos sirven para resolver ecuaciones que no
son cuadráticas. Sería, por ejemplo, el caso de las bicuadráticas. De la
forma ax a la 4 más bx a la 2 más e igual a 6. En este caso, ponemos como
ejemplo este de aquí. Fijaos que la estructura de la ecuación al final es
como una ecuación cuadrada. Tiene los mismos elementos. Lo que cambia son
los siglos. Tiene desde la x y de la x, aquí en este caso es a la 4 y
aquí sería a la 2. Antes teníamos x a la 2 y x a la 1. Por lo tanto,
existe una analogía. ¿Qué vamos a hacer? Vamos a hacer un cambio de
variable. Es decir, x cuadrado va a ser t a partir de ahora. Aplicamos otra
vez la expresión de la ecuación del segundo grado. ¿Pero por qué?
Porque en este caso nos habrá quedado t a la 2 menos 13. T. Vamos a tener
36 igual a t. Por lo tanto, va a ser a la 2. Lo aplicamos y vamos a tener
dos soluciones. Importante, no os olvidéis. Estas dos soluciones son
soluciones para t. Pero claro, lo que queríamos encontrar es x. Por lo
tanto, t igual a x cuadrado. Vamos a tener que recuperar cuánto vale la x.
De modo que vamos a tener que hacer la raíz de 9 y la raíz de 4. Como
tiene grado 4, vamos a tener cuatro soluciones. ¿Alguna duda? Vale. Hasta
aquí serían las ecuaciones aceitas. Vamos a hablar de los sistemas de
ecuaciones. Esto es de la ESO. Es decir, si lo tenéis fresco, va a ser muy
fácil. Si no, hacemos memorias sin ningún problema. Sistemas de
ecuaciones. ¿Qué son sistemas de ecuaciones? Son conjuntos de ecuaciones
que tienen más de una hipócrita. Y lo que queremos es... Combinar estas
ecuaciones para ver cuál es su solución. La solución de la x y la
solución de la y. Vamos a repasar los distintos métodos. Entonces,
método de sustitución. ¿En qué consiste? Pues tenemos estas dos
expresiones. Para sustitución vamos a coger una de las dos. Y vamos a
aislar una de las variables. Generalmente se aísla la que no tiene un
coeficiente multiplicando o dividiendo. Vamos a coger esta y aislar la x.
Igual que hemos aislado la x. ¿Qué va a hacer? Podríamos haber aislado
la y. Es independiente. Se puede hacer para cualquiera. Pero lo más
recomendable es la que está lo más aislada posible. Entonces nos
quedaría x igual a 3 menos y. Y como es sustitución, la sustituimos en la
segunda expresión. Por tanto, en la segunda expresión donde tenemos la x,
vamos a poner lo que hemos sustituido de la primera como x. Es decir, 3
menos y. Y hacemos ahora 2 por 3 es 6, 2 por menos y, menos 2y, menos y
igual a cero. Pasamos el 3y al otro lado. Pasamos el 3 a dividir y nos
quedaría y igual a 2. Una vez tenemos la y, sustituimos en cualquiera y
vamos a encontrar automáticamente la x. Aquí, por ejemplo, ha hecho, pues
ha reutilizado el hecho de aislar la x y ha puesto x. Es igual a 3 menos y.
Por lo tanto, x es igual a 3 menos 2. De modo que nos queda elísimo. Este
último paso al final es el mismo para todos los miembros. Lo que cambia es
el primer paso para encontrar la primera encomienda. ¿Dudas? Vamos pues a
la igualación. A ver, que no se nos pase la duda. Vamos a la igualación.
Entonces, igualación. Vamos a igualar. ¿Qué vamos a igualar? Pues dos
incógnitas que son iguales. Vamos a coger la y en este caso de la primera
ecuación y la vamos a aislar. De modo que nos va a quedar y. Esta x la
vamos a pasar aquí. Y es igual a 3 menos x. Y para la segunda ecuación,
lo mismo. Pasamos la y aquí. Nos va a quedar y es igual a 2x. Como y es
igual a y, igualamos estos dos lados. Nos va a quedar 3 menos x. Y es igual
a 2x. Y x pasa a sumar, 3 pasa a dividir, y x igual a 1. Lo mismo que
antes. El último paso es idéntico. Cogemos la variable que hemos
encontrado y la sustituimos en cualquiera de las dos expresiones. En este
caso, sustituido a la primera nos quedaría y es igual a 3 menos x. Es
decir, 3 menos 1 es 2. Y el último método. Aparece. Parte del gráfico
que no lo vamos a comentar, pero al final es representar las dos líneas
rectas. Si alguien trabaja una duda, lo podemos repasar. Pero estos son los
tres matemáticos que más se utilizan. El último método sería la
reducción. ¿Qué hacemos en la reducción? Pues combinamos las
expresiones de modo que alguna de las dos variables, alguna de las dos
incógnitas, se nos anule. En este caso, pues colocaríamos primera
ecuación, segunda ecuación. Y lo que hacemos es multiplicar la primera
expresión por menos 2. ¿Por qué por menos 2? Porque si multiplicamos
aquí por menos 2, aquí nos va a quedar menos 2x menos 2y igual a menos 6.
Y esta primera expresión, el término del menos 2x se va a acachar con el
término del 2x de la segunda expresión. De modo que nos va a quedar menos
3y igual a menos 6. Y a partir de aquí ya es análogo. y va a ser menos 6
entre menos 3. este y va a ser igual. Lo mismo, el último paso es
idéntico. En este caso, la y la he sustituido en esta vez. Por lo tanto, x
más 2 igual a 3, x igual a 1. ¿Sí? ¿Dudas? ¿Comentarios? Sé que para
algunos quizá no es obvio, pero para otros va a ser bastante reciente.
Repasamos porque para eso estamos. Si tenéis más dudas, comentad. Estos
tres métodos que hemos visto eran para sistemas de ecuaciones lineales, es
decir, son para cualquier tipo de sistema, pero son los tres discutidos
para sistemas de ecuaciones lineales que al final son los casos más
sencillos. Si ahora intentamos aplicar a uno de estos sistemas, a uno de
estos métodos, a ecuaciones no lineales, ¿qué podemos hacer? Por
ejemplo, vamos a este sistema. Este sistema no es lineal. ¿Por qué no es
lineal? Porque la x está elevada a cuadrada y la y está elevada a
cuadrada. Por lo tanto, aquí se ha roto la linealidad. ¿Qué vamos a
hacer? A ver. Aquí ya veis la solución. Lo más fácil sin mirar la
solución sería coger la x o la y independientemente en este caso, porque
ninguna tiene ningún coeficiente multiplicando, aislarla y sostenerla a la
primera. Y de hecho es lo que hace. Cogemos la y, la aislamos y nos queda y
es igual a 7 menos x. Esta y la sustituimos en la primera expresión. Nos
va a quedar x cuadrado igual más 7 menos x, todo el paréntesis elevado a
x. Y esto va a ser igual a 25. ¿Qué hacemos a partir de aquí?
Desarrollamos. Venimos aquí y desarrollamos la identidad notable.
Importante. Es bastante obvio, pero acordaos que esto es una identidad
notable. Que 7 menos x al cuadrado no es 49 menos x cuadrado. Lo digo
porque hay veces que pasa que estos errores no se... no se tienen
presentes. ¿Vale? ¿Alguna duda con las identidades notables? ¿Hacemos
memoria o están todas prestas? Si no decís nada, yo continúo. O sea,
no... Pues, ¿qué haríamos aquí? Nos hemos quedado en este paso. Vamos a
combinar los elementos que tienen el mismo grado. x cuadrado con x
cuadrado. Nos va a quedar 2x cuadrado menos 14x y 49 menos este 25 que ha
pasado aquí más 24. Va igual a... Eh... Vale. Aquí, como paso opcional,
dividimos la expresión entre 2. Podríamos hacerlo o podríamos no
hacerlo. Esto es simplemente para simplificar la expresión. Y con esta o
con esta, con la que elegimos, aplicamos la ecuación del segundo grado
para encontrar las soluciones. Entonces, importante aquí, nos va a quedar
7 más 1 entre 2, 4 y 7 menos 1 entre 2, 3. Vamos a tener dos soluciones.
Por lo tanto, si para la x tenemos dos soluciones, para la y, por lo
general, también vamos a tener dos soluciones. Cogemos estas dos
soluciones, las sustituimos. Aquí va a ser la opción más sencilla y
automáticamente vamos a encontrar la y también. ¿Sí? Vale. En este caso
no pasa nada porque son polinómicas, pero en el caso en que fuesen
logarítmicas o racionales tendríamos que comprobar que realmente son
soluciones. Porque quizá nos da una x o una y, que cuando la escribes
dentro de la raíz te da una raíz negativa. Entonces no sería la
solución. Es decir, para logarítmicas y racionales, comprobar las
soluciones. ¿Dudas? Otro ejemplo de sistemas de ecuaciones no lineales.
¿Qué tendríamos aquí? Tendríamos 1 partido por x cuadrado más 1
partido por y cuadrado igual a 13. Y 1 partido por x menos 1 partido por y
igual a 1. Lo más práctico es hacer cambio de variable. Podríais
intentar arrastrar haciendo MCM la x con la y. Os liarías. Lo más
sencillo, cambio de variable siempre que tengáis la incógnita en el
denominador. Una vez hacemos el cambio de variable, a partir de aquí es
análogo. Es decir, 1 partido por x en este caso le vamos a llamar u y a 1
partido por y le vamos a llamar u. Nos va a quedar 1 partido por x cuadrado
u cuadrado 1 partido por y cuadrado u b cuadrado igual a 13. Y para la
segunda, 1 partido por x va a ser u y 1 partido por u va a ser u. Perdón,
por y va a ser u. Y esto es igual a 1. Podemos utilizar cualquier método.
En este caso, usamos la sustitución. Sustituimos o sea, aislamos de esta
expresión la u y la sustituimos en la primera. Nos va a quedar u es igual
a 1 más u y la escribimos en la primera 1 más u cuadrado más u cuadrado.
Desarrollamos la identidad, sumamos términos que tienen el mismo grado y
vamos a... Nos va a quedar la expresión de segundo grado otra vez que
vamos a resolver haciendo otra vez la fórmula de seguimiento. Igualmente,
como la raíz es positiva, es decir, como el discriminante es positivo,
tenemos dos soluciones y van a ser 2 y menos 3 y también vamos a tener dos
soluciones para la u que van a ser 3 y menos 2. Importante. Nosotros no
buscábamos u y v, sino que buscábamos x e y. Por lo tanto, tenemos que
deshacer el cambio. Volvemos al cambio que hemos hecho y donde teníamos la
v ponemos el 2, aislamos la i y donde teníamos la u ponemos el resultado.
Y lo igualamos a 1 partido por x y encontramos la x. Esto sería para el
caso en que la v daba 2 y esto es análogo para el caso en que la v es
menos 3. ¿Sí? ¿Dudas? No sé si estabais copiando... Vale. Hasta aquí
bastante sencillo. ¿Qué tenemos a partir de ahora? Sistemas de
ecuaciones. Vamos a ver. Sistemas de ecuaciones compatibles, sistemas
compatibles indeterminados y sistemas incompatibles. ¿Cuáles serán las
principales características? El sistema compatible determinado tiene una
única solución. El sistema compatible indeterminado, infinitas
soluciones. Y el sistema incompatible no tiene solución. Vale. Vamos a ver
ahora un caso de cada uno y vamos a hacer también la interpretación
geométrica de qué significa que sea compatible determinado, incompatible,
etc. Si vamos al caso del sistema compatible determinado, yo como ejemplo
he escogido la discusión con un sistema de dos incógnitas y dos
ecuaciones. Pero lo podríamos haber hecho con un sistema de tres
incógnitas y tres ecuaciones también. Entonces, si representamos, o sea,
si probamos de resolver este sistema, ¿qué nos va a pasar? Lo mismo que
hemos hecho hace un momento. En este caso la X nos va a dar dos,
sustituimos en este caso en esta de aquí y la Y es alto en los casos
porque son al final bastante cerquitos. La Y nos va a dar tres. X igual a
dos e igual a tres. Hemos encontrado un punto, es decir tenemos una recta,
otra recta que interceden en un punto, en un punto de coordenadas igual a
dos e igual a tres. En este caso sería un sistema compatible y determinado
porque tiene una única solución. Antes he dicho cuando estábamos
discutiendo los tipos de métodos para resolver los sistemas de ecuaciones
que había un cuarto método, que era el método gráfico. Al final el
método gráfico sería coger cada una de las dos rectas, coger un par de
puntos para cada una y ver si interceden en un punto. Si interceden en un
punto tienen solución, si no interceden no tienen solución o en caso de
que sean paralelas como veremos a continuación tienen infinitas
soluciones. Segundo tipo de sistemas de ecuación, sistemas compatibles
indeterminados. Lo mismo, intentamos resolver estas dos expresiones, este
sistema con dos expresiones. Probamos hacer en este caso reducción y
fijaos que se nos tachan todos los términos. Aquí hemos multiplicado la
primera expresión por menos dos. Se nos han tachado todos. ¿Qué pasa? O
sea, nos queda cero a la derecha, cero a la izquierda. Cero igual a cero.
¿Qué significa esto? Significa que al final va a ser esta expresión y
esta expresión la misma recta por lo tanto si una recta coincide con otra
recta que es la misma, todos los puntos son comunes y van a haber infinitas
soluciones. Y el último caso son los sistemas incompatibles. Es muy fácil
en este caso identificarlo visualmente. Vuelvo un momento al anterior.
Fijaos aquí si cogéis el sistema ya veis que la primera es la mitad que
la segunda. La segunda es el doble que la primera. En este caso como una es
el doble de la otra ya veis que tiene que ser indeterminado, es que al
final es la misma recta superpuesta. Pero si vamos al sistema incompatible
fijaos que los primeros términos sí que son iguales pero el término
independiente el término libre que no quiere multiplicar ninguna de las
incógnitas no es igual. Es decir o sea no es múltiplo. Entonces ¿qué
tendríamos? Aquí tendríamos una recta que tiene el mismo pendiente la
una con la otra pero que está desplazada respecto de la primera. Por lo
tanto aquí si intentamos resolver el sistema probamos, hacemos reducción
a la parte de la derecha perdón de la izquierda se nos va a tachar y nos
va a quedar cero pero a la parte de la izquierda de la derecha nos va a
quedar menos cuatro. ¿Es verdad que cero es igual a menos cuatro? No.
Nunca es verdad. Entonces aquí no va a haber ningún punto que sea
solución. No tenemos solución para este conjunto de expresiones. ¿Sí?
¿Dudas? Vale. Perfecto. A partir de aquí esto sería para dos ecuaciones,
podríamos hacerlo con tres pero si vamos intentando combinar tres
expresiones para hacer reducción, igualación, sustitución para sistemas
de ecuaciones de más de dos ecuaciones vamos a tener problemas. Lo más
sencillo es hacerlo mediante el método de Gauss o el método de
Gauss-Johr. ¿Lo tenéis presente? Pues entonces vamos a hacer memoria.
Como ejemplo he cogido aquí un sistema de tres expresiones tres ecuaciones
con tres incógnitas y el método de Gauss consiste básicamente en
escribir estas expresiones en forma de matriz y hacer cero lo que estaría
por debajo de la diagonal principal, es decir por debajo de cuatro menos
uno y uno. Vamos a hacer este como ejemplo y si hay alguna duda lo
comentamos. Tenemos las tres expresiones las ponemos en forma de matriz.
Acordaos que el término independiente lo separamos mediante una parte.
Entonces queremos que este, este y este sean cero. ¿Qué es el primer paso
que podríamos hacer aquí? Cambiar de fila. Esta primera fila esta primera
fila la vamos a pasar aquí. Esta la vamos a pasar aquí y esta la vamos a
pasar aquí. Hacemos un cambio en el orden de las filas. Siguiente paso.
Nos ha quedado esto. ¿Alguna duda está aquí? Siguiente paso. Aquí hacen
unos cuantos pasos de golpe, entonces vamos a vigilar. Primera fila la
dejamos igual. ¿Por qué la dejamos igual? Porque ya son unos, ya es
sencillo ya nos queda algo que al final de todo en el último paso no vamos
a tener que operar mucho. Pero aquí sí que necesitamos tener un cero.
Entonces ¿qué opciones tenemos para que aquí me quede un cero? Pues
cogemos la fila dos, original y le sumamos cuatro veces la fila uno. Por lo
tanto nos va a quedar cuatro más cuatro, uno menos a ver, uno así lo que
será el uno más cuatro veces, o sea uno más cuatro cinco menos dos más
cuatro y este diecisiete. Y ahora que tenemos este cero vamos a hacer este
cero. De modo que cogemos la tercera fila original y le sumamos tres veces
la primera fila. ¿Por qué tres veces? Porque este es un uno por lo tanto
si multiplicamos por tres vamos a tener menos tres y este término ya se
nos va a anotar. Cero, dos, siete y trece, si aplicamos los cambios a cada
uno de los elementos. ¿Dudas? Último paso este dos que nos queda en esta
posición, por lo tanto ¿qué opciones tenemos? La primera fila final ya
la dejamos así porque no necesitamos hacer ningún otro cambio la segunda
también y la tercera pues vamos a coger a ver, claro antes la ventaja que
teníamos es que aquí había un uno, por lo tanto era fácil era
prácticamente fácil combinarlo con esta y esta. En este caso, cuando
ninguna de las dos sea un uno vamos a tener que multiplicar cada una de las
filas por el número opuesto o sea, por el número que hay en la otra fila
si aquí hay un dos, pues vamos a multiplicar por cinco, y si aquí hay un
cinco pues vamos a multiplicar por dos como en este caso las dos son
positivas una de las dos multiplicaciones va a ser negativa es decir, en
este caso hemos hecho cinco por la fila tres menos dos por la fila dos así
lo que conseguimos es que este sea cero y nos quede ya por debajo de la
diagonal principal triángula, por lo tanto treinta y uno igualmente una
vez llegamos a este punto ya es bastante inmediato treinta y uno zeta igual
a treinta y uno ¿qué hacemos aquí? pues esta posición de aquí son las
zetas, estas son las y, estas son las x, por lo tanto reconstruimos el
sistema pero con lo que nos ha quedado haciendo las distintas
transformaciones treinta y uno zeta igual a treinta y uno por lo tanto
aislamos la zeta y nos queda zeta igual a uno tenemos la zeta, la
escribimos en la segunda expresión cinco y más dos igual a diecisiete y
llega pues aislamos, diecisiete menos dos zeta entre cinco y llegamos al
igual a ocho y con el resultado de la y y el resultado de la zeta por lo
tanto aislamos la x nos quedaría x x va a ser igual a y más zeta menos
cinco y con las otras dos ya encontradas encontramos la x ¿dudas? vale,
este sería el método de Gauss un método que es prácticamente igual al
método de Gauss es el método de Gauss-John ¿qué diferencia hay? la
principal diferencia es que en vez de hacer solo por debajo de la diagonal
vertical hacemos todo cero todo cero, me refiero a todo cero excepto a la
diagonal por lo tanto las transformaciones son las mismas lo único es que
quizá necesitamos hacer más pasos para que nos queden además de estos
elementos, estos elementos también ¿sí? ¿habéis hecho los dos métodos
o sólo uno? vale, a ver un momento vale, como el método de Gauss-Jordan
es análogo al método de Gauss o sea, análogo excepto el hecho de añadir
estos pasos para hacer este cero vamos a pasar, os dejo este como ejemplo
pero voy a discutir ahora qué pasaría cuando nos encontrásemos con con
un sistema compatible e indeterminado o sea lo hiciésemos en forma así de
matriz con Gauss-Jordan vale, pues vamos a probar el método de Gauss
Gauss-Jordan aquí no habría mucha diferencia entre uno y el otro pero
bueno, vamos a probarlo para el caso de un sistema compatible e
indeterminado ¿qué pasa aquí así de primera? tenemos tres expresiones
pero tenemos cinco incógnitas por lo tanto, ya sabemos que una única
solución no vamos a encontrar ¿por qué? porque tenemos tres expresiones
y cinco incógnitas, es imposible que encontremos una solución para cada
una de las de las incógnitas ¿qué vamos a hacer? pues lo mismo vamos a
escribirlo en forma de matriz dos menos cinco, cuatro uno menos tres y
sucesivamente primer paso, a ver ¿qué podríamos hacer? cambiamos filas
siempre nos interesa a ser posible tener la primera fila con un número uno
delante para poder hacer mejor los trucos, eso ya es un poco a gusto de
consumidor pero es recomendable, entonces ¿qué podemos hacer aquí?
podemos hacer vale, aquí simplemente el cómputo de las, esta por esta la
cambiamos y ya está vamos ahora a hacer ceros vamos a hacer ceros este y
este multiplicamos esta por dos, negativo y le sumamos esta expresión toda
esta fila por lo tanto, este automáticamente es cero, nos va a quedar
aquí menos uno dos, tres, menos tres y menos tres lo mismo con esta, aquí
no vamos a tener la multiplicación sino que directamente a la fila tres le
restamos la fila uno es uno menos uno pero, menos cuatro menos menos dos
menos dos y así sucesivamente para todos los términos, ahora ya tenemos
cero estos dos términos, vamos a hacer cero esto ¿qué haremos? ¿qué
podemos hacer aquí? podemos coger la fila tres y restarle dos veces la
fila dos, entonces la suma va a ser cero para este término esto será
cero, cero, uno menos tres, seis, treinta y uno y como además nos interesa
tener ceros por encima también vamos a tener que operar este menos dos de
aquí, ¿cómo hacemos este menos dos cero? pues también combinándolo con
la segunda expresión nos va a quedar fila uno menos dos fila dos por lo
tanto este va a quedar cero manteniendo también este en fin, lo que no nos
interesa es que este se nos anule la idea es que se vayan anulando los que
están por encima pero no los términos que están en la propia diagonal
¿sí? vale, pues ¿qué faltaría ahora? faltaría este y esto sí
faltaría este y esto ¿qué vamos a hacer? pues vamos a coger fila uno
más tres fila tres y se nos va a anular este término de aquí y fila dos
menos dos fila tres fila dos menos dos fila tres porque así
multiplicándolo con este menos dos al sumar a este dos, este va a quedar
cero vale ¿qué pasaría? o sea ¿qué pasa aquí? que como tienen más
sincógnitas que ecuaciones, estos de aquí no los podemos anular porque
están como por encima pero no es posible no hay ninguna combinación
posible para que se quede para que se quede cero, por lo tanto lo vamos a
dejar así, ¿qué pasa? tres expresiones cinco incógnitas aquí hay
parámetros libres, es decir hay parámetros que los vamos a tener que
indicar nosotros si queremos encontrar una solución exacta por lo tanto
tendremos infinitas posibilidades en función de el parámetro que
determinemos o el valor que le demos a ese parámetro en este caso a la U
le hemos llamado lambda y a la V le hemos llamado mu suelen usarse lambda y
mu bastante, a veces también se usa alfa, beta, gamma vais a ver que toda
esta anotación en letras griegas sobre todo en minúsculas se va a usar
bastante en cálculo y alto, entonces dime ¿no hace falta llegar hasta
hasta la no, no, no porque es mucho más fácil la anterior que esa
prácticamente ¿cómo? para sacar las las ecuaciones, para sacar los
valores es mucho más fácil esa porque los terminados independientes son
mucho más pequeños claro, claro sí, sí, sí yo es que lo he puesto como
ejemplo de Aux Jordan pero no hace falta llegar a triangular por arriba o
sea, si tú estás más cómodo triangulando sólo por abajo y el ejercicio
no te dice que triangules por arriba exacto ningún problema entonces y una
pregunta esto de no usar calculadora ¿qué es? a ver, no es necesario
realmente o sea las expresiones que se hacen aquí no te van a aparecer
números piensa, matriz difenses, determinantes no son operaciones, o sea
las operaciones matemáticas que necesitas como tal son sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones como mucho alguna raíz pero si es alguna
raíz bastante sencilla ya te digo que no no lo necesito, o sea si vas al
súper y sabes que te dan bien la vuelta sabrás hacer los cálculos
mentalmente que necesitas hacer también puedes hacer, si es una
multiplicación más larga pues a mano, típico no creo o sea, no te van a
pedir una raíz de 155 que la raíz seguramente lo habrás hecho una vez en
la ESO y a mí te acordarás, eso no te lo van a pedir, ¿más dudas? ok
vale, lo he puesto como ejemplo pero como ha dicho él si os es más fácil
quedaros en un paso anterior ningún problema, la idea es que al final en
este caso determinéis dos pasos parámetros libres y aisléis las otras
tres incógnitas en función de esos parámetros ya está aquí hemos
escogido la U y la V pero podrían haber sido cualquier cualquier otro par
de incógnitas vale vamos a comentar rápido qué pasaría en un caso de
sistema incompatible lo mismo aquí cuatro ecuaciones tres incógnitas nos
colocamos en forma de matriz empezamos triangulando en este caso fácil si
queremos hacer estos 0 porque este es un 1 directamente por lo tanto fila 2
menos 3 fila 1 fila 3 menos 5 fila 1 fila 4 más 2 fila 2 0, 0, 0 y los
respectivos elementos si queréis practicar pero os va a dar esto vale,
hasta aquí perfecto vamos a hacer ahora pero por debajo de esta diagonal
por lo tanto el menos 2 y el 1 qué podemos hacer pues aquí estas dos sí,
aquí a ver, un segundo vale, sí porque también estamos haciendo los
dados rotos por lo tanto también hacemos 0 fila 1 más fila 2 este 1 de
aquí fila 3 menos 2 fila 2 fila 3 menos 2 fila 2 y fila 4 más fila 1 por
lo tanto fila 4 fila 4 más fila 1 a ver si aquí hay un error creo que
tendría que ser menos para poderlo anular vale, aquí tendría que ser
negativo ¿me seguís o no? si tenemos aquí 1, 1, menos 1 y lo que
queremos es hacer este 0 uno de los dos tiene que ser negativo para hacerlo
0 menos, menos está bien pero si quieres hacer este 0 sí, pero entonces
el 0 de al lado se convertiría en menos 1 ¿puedes repetirlo otra vez lo
que me has dicho? si utilizas la fila 1 exacto, ahora vale, el error está
aquí porque es fila 4 más fila 2 me acuerdo exacto pues entonces eso, lo
sumamos lo sumamos y entonces no es un 7, entonces sería 7 aquí hay un
número que sería un 7 y aquí sería un 6 repito y si no lo voy a asumir
otra vez tendría 1, si quiero hacer este 0 lo combino con este por lo
tanto fila 1 más fila 2 queda 3 y aquí queda menos 1 ningún problema
ahora vamos a este queremos hacer este 0 por lo tanto lo combino con este
también aquí va a quedar fila 3 menos 2 fila 2 por lo tanto este está
bien 9 menos 8 1 y menos 3 más 4 1 y fila 4 más fila 4 puede ser que haya
perdido la fila 3 el resultado de la fila 3 de la operación anterior pues
ya ha hecho la fila 4 el resultado de la fila 3 ha perdido la operación f3
menos 2f2 ¿qué ha perdido esto? si tú quieres hacer este 0 tienes que
combinarlo con esta o con esta si lo combinas con esta puedes hacer fila 2
más fila 4 va a quedar 0 7 y 6 y si lo coges con esta multiplicar esta por
2 va a ser 2 menos 2 0 3 por 2 3 por 2 6 menos 9 menos 3 vamos es que creo
que me he saltado un paso o algo entre medias lo voy a apuntar si no lo voy
a subir corregido otra vez con el paso arreglado aún no los he colgado
justamente por eso hay algún error y al hacerlo en clase lo vemos entonces
lo voy a subir con esas soluciones arregladas básicamente obviando este
error de aquí al final teniendo en cuenta esto es lo que nos quedaría se
lo voy a comprobar ¿qué pasa? fijaos queda 1 menos 1 1 y 0 fijaos que
este es un 0 también ¿qué pasa? que queda 0 0 0 o sea 0 x 0 y 0 z es
igual a 5 no hay ninguna opción que sea igual a o sea que 0 más 0 más 0
sea igual a 5 por lo tanto sistema incompatible ¿vale? ¿dudas? yo había
más o menos preparado hasta aquí no pensaba tampoco que íbamos a ir tan
rápido lo que quedaría pendiente del primer tema es la discusión de los
sistemas en función de parámetros, es decir si imagínate que aquí
tienes en vez de tener un 5 tienes una alfa, pues cuando el sistema
compatible ha terminado, cuando se ha determinado cuando es incompatible y
el comentario de sistemas equivalentes al final cuando estamos haciendo
todas estas transformaciones el sistema es equivalente porque no estamos
cambiando la solución del conjunto de las expresiones esto lo vamos a ver
el siguiente día y a ver qué hora es vale nos queda más o menos un
cuarto de hora podemos hacer algún ejercicio de algo que no haya quedado
claro comentarios, dudas ¿cómo lo veis? ¿bien? ¿tenéis el libro ya?
¿alguien tiene el libro? ¿no lo lleváis? ¿es la última versión? ¿lo
habéis mirado? ... ... por no indicarlo de una forma concreta. ¿Me
explico? Fíjate que aquí también lo explica porque es la solución de un
examen, pero aquí dice desarrollamos, o sea, para alinear el rango de la
matriz, calculamos su determinante, lo determinamos por los medidores de la
primera fila. Podrías indicarlo directamente y ya queda bastante claro lo
que estás haciendo. Con una pequeña frase. No hace falta, o sea, no es
tampoco ir tanto al detalle. La cuestión es que sepas hacer bien el
ejercicio. ¿Más dudas? ¿No? Bueno, pues si no hay más dudas lo podemos
dejar aquí y el próximo día continuamos con las dudas de lo que hemos
visto hoy, o sea, miraos el libro bien con detalle, haced los ejercicios,
probad también la autoevaluación y si hago un ejercicio que no quede
claro lo comento. Y continuamos con el tema 2. Sí que está mal, creo que
el ejemplo es... ¿Cómo? O sea, el ejemplo es de la 1, de la 1, me parece
que está mal. Sí, sí, lo has probado. Bueno, a ver, o sea, me falta
triangular todo esto de mi mano, tan sucio que lo hago. O sea, aquí ya
quiero ser como tú decías. Vale, claro. Entonces, me falta seguir todo lo
que te pasa. No lo voy a hacer. No, no, no. Lo voy a corregir y voy a...
Pues hasta el próximo lunes.