Bien, buenas tardes. Vamos a empezar esta segunda sesión de Asignatura de
Física en los distintos grados de Ingeniería. Hoy vamos a trabajar aquí
los temas 4 y 5, las leyes de Newton y aplicaciones. Vamos a hacer
ejemplos, vamos a intentar hacer ejemplos y si al final tenemos un poco de
tiempo recordamos algo del tiro parabólico de la última sesión, aunque
bueno, tenéis los ejercicios que os puse, los documentos, etcétera. Bien,
pues vamos a... bueno, empecemos primero hablando de la primera ley de
Newton, ¿no? ¿Qué nos dice la primera ley de Newton? Que cuando un
cuerpo, la resultante de las fuerzas que actúan es nulo o no actúan
ninguna fuerza, el cuerpo se encuentra en equilibrio o en movimiento
rectilíneo uniforme, ¿vale? Veamos. Ojo, pensemos. Una cuestión.
Primero, no podemos encontrarnos un cuerpo en un campo gravitatorio como es
la Tierra en que no actúe ninguna fuerza. Entonces, tenemos que estar
pensando que un cuerpo se encuentra en reposo o MRU cuando la resultante de
las fuerzas que actúan sobre el mismo es nulo. Y ya está. Diríamos que
este sistema, este cuerpo está en equilibrio. La tenéis aquí en forma
vectorial y también la podemos ver en las componentes si nos ponemos en el
plano XY, ¿vale? De las componentes sobre el eje X igual a cero y la suma
de las componentes de las fuerzas sobre el eje Y igual a cero, ¿vale?
Segunda ley de Newton. ¿Qué nos dice la segunda ley de Newton o la ley
fundamental de la dinámica? Bueno, aquí, para hablar aquí, introducimos
un poquito el concepto de la masa inercial. La masa inercial es la masa
que, digamos, que tiene cada cuerpo y que, entre comillas, ofrece una
resistencia al cambio del estado... ...de, digamos, de la partícula o del
movimiento. Sabemos que los cuerpos que tienen mayor masa tienen mayor
inercia. Si nosotros queremos cambiar el movimiento de un cuerpo de una
masa pequeña, va a ser más fácil que una masa mayor. La inercia, la masa
inercial, evidentemente, para cuerpos más grandes, mayor masa inercial,
¿no? Queremos detener un camión, va a ser mucho más complicado que
detener, digamos, un cuerpo de menor masa. Fijaos, esa masa inercial, ¿no?
Sería el módulo de la fuerza, ¿no?, partido por la aceleración. Dice,
la fuerza, ¿cómo se expresa? En newtons, ¿no? Y es la fuerza que
proporciona una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por
segundo al cuadrado. ¿Vale? Ahora bien, vectorialmente, ¿cómo escribimos
la segunda ley de Newton, no? La ecuación fundamental de la dinámica.
Pues la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula... ...es
igual a la masa por la aceleración, ¿vale? La masa por la aceleración.
Esta fuerza resultante es una magnitud vectorial y nosotros, si estamos en
el espacio, lo podemos desglosar en tres componentes, x, y, y z. ¿De
acuerdo? Y la tercera ley de Newton, importante, importantísima. Cuando un
cuerpo ejerce una fuerza de acción sobre otro, el segundo ejerce sobre el
primero una fuerza de reacción... ...de igual módulo. Y dirección, pero
de sentido contrario. Estamos hablando de fuerzas que tienen el mismo
módulo, misma dirección, pero sentido contrario. Y sobre todo, que no hay
que confundirse, están aplicadas a cuerpos distintos. Están aplicadas a
cuerpos distintos. Porque si no, alguien diría, oiga, usted me dice que
sobre este cuerpo una fuerza de acción y no una fuerza de reacción. Yo
ejerzo una fuerza de acción sobre el suelo. ¿No? Por ejemplo, a ver...
Tengo aquí un cuerpo apoyado, ¿no? ¿Y qué tenemos? El peso. Y que
ejerce una fuerza de acción sobre el suelo. Y es la normal, la fuerza de
reacción. ¿Vale? Es decir, este peso, que es la fuerza con que mata de la
tierra, yo ejerzo una fuerza de acción sobre el suelo. ¿Vale? Y entonces,
esta normal es la fuerza de reacción que ejerce el suelo sobre mí.
¿Vale? Y evidentemente, sobre este cuerpo... Dos fuerzas. La fuerza que
ejerce la tierra sobre el cuerpo, que es el peso. Y por estar en contacto
sobre el suelo, el suelo ejerce una fuerza de reacción de igual módulo de
dirección y de sentido contrario. De manera que n vector es igual a menos
p vector. ¿Vale? Menos p vector. ¿De acuerdo? El módulo de ambas fuerzas
va a coincidir... El módulo de n coincide con el módulo de p. N igual a
p. ¿Vale? Por ejemplo. Vamos allá a ver aplicaciones. Vamos a ver qué
aplicaciones podemos considerar. ¿De acuerdo? Voy a quitar esto un poquito
para que pueda escribir mejor en la pantalla. A ver... Bueno, veamos.
Bueno, aquí tenéis en pantalla... Pues mirad, un carro por un planeta. Un
enclinado. Mirad, nosotros siempre que hagamos trabajar un, digamos, un
problema de dinámica, lo primero que tenemos que hacer es aislar cada
cuerpo y dibujar sobre cada cuerpo todas las fuerzas. Todas las fuerzas. Es
decir, ¿qué quiere decir aislar cada cuerpo? Pues lo que os pone vuestro
libro, el Prima, lo que os dice. Que dibujemos un diagrama libre, ¿no? De
todas las fuerzas que actúan. Aislamos cada cuerpo. ¿De acuerdo? Si
aislamos este cuerpo, ¿no? La cubeta, esta que tenemos aquí vertical,
¿no? ¿Qué fuerzas actúan? Tenemos el peso hacia abajo. Y la tensión.
¿Qué es la tensión? La fuerza que soporta la cuerda. Y es una fuerza que
va siempre dirigida del cuerpo hacia la cuerda. ¿De acuerdo? Hay más
fuerzas o no, porque este cuerpo no está en contacto. Me voy a dar un
enclinado, el carrito este. ¿Vale? Lo tenemos aquí. Vamos a analizar.
¿Qué tenemos? Primero, el peso. El peso. Pero este peso, que se llama W,
¿no? Lo descomponemos en dos fuerzas perpendiculares entre sí. Y por eso
sustituimos este peso, lo sustituimos por una componente X, que le podemos
llamar Px. Permitidme que conozcais con la costumbre de llamarle Px, ¿no?
Le llamo Px. O W por seno de 15. ¿Por qué el seno? Porque es el cateto
opuesto. Y aquí tendríamos Ppi. ¿Por qué? Asociada al eje Y. Entonces,
nosotros podemos sustituir el peso por una Px y una Ppi. ¿Vale? Px y Ppi.
¿Qué más tenemos? La normal. ¿Alguien podría pensar que la normal la
pintaría vertical? No, pues no. La normal no es vertical. Porque la normal
es la fuerza de reacción que ejerce la superficie de contacto. ¿Es esto
la normal? No, señor. Esto no es la normal. Esto es la normal. ¿Por qué?
La perpendicular a la superficie. ¿Vale? Esto no es la normal. Esto sí es
la normal. La perpendicular a la superficie. Cuidado con estos detalles.
¿Vale? Y después que tenemos la tensión, otra vez la fuerza que va del
cuerpo hacia la cuerda. ¿Alguien nos podría decir? ¿Y la polea? ¿Por
qué no dibujamos la polea? Siempre en este tema, siempre vais a considerar
poleas de masa despreciable. Y aún así, oiga, yo no veo por qué no
incluye. Aunque sea de masa despreciable. ¿Y por qué pongo la misma T a
cada lado? Tenemos aquí, ¿por qué tiene que tener la tensión la misma
al carrito que a la jugueta? ¿Alguien lo podría pensar? Lo contaré una
vez, ¿no? Te lo explico, ¿eh? Aunque después lo podemos contar también
para, vamos a ver. Hoy os voy a dibujar para que al menos una vez os lo
contaré. ¿Vale? Aquí tenemos la tensión, aquí tenemos la tensión,
aquí tenemos una tensión, y aquí tenemos otra tensión hacia abajo.
Supongamos Supongamos que las tensiones sean distintas, ahora supongamos
que sean distintas. Que esto es T1, esto es T1, esto es T2 y que esto es
T2. ¿Vale? Aislemos la polea. La polea tiene dos tensiones, ¿vale? Voy a
dibujar. La polea tenemos una tensión para aquí y otra tensión para
acá. Supongamos que tenemos dos tensiones, ¿vale? A esta le hemos llamado
T2, esta T1. Esto es una polea que tendría una masa M, pero después
veremos que es una polea de masa despreciable. Bien, aplico la segunda ley
de Newton, F igual a M por A. ¿Fuerzas a favor? Si esto va a ir, no
sabemos hacia dónde va, sube, ¿no? El carrito parece que quiere subir,
¿no? Pues bueno, pues sería T2 menos T1 igual a M por A. Pero, ¿qué
ocurre? Que la masa es despreciable. Si la masa es despreciable, esto es 0.
¿Y qué me queda? Que T1 es igual a T2. Y por ello, no distingo las dos
tensiones. La tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda. Si la
polea es de masa despreciable con respecto a los dos carritos, al carro y a
la cubeta, entonces la puedo quitar de aquí. Entonces, me queda que T2
menos T1 es igual a 0. Luego, T1 es igual a T2. Por lo tanto, la tensión
es la misma en las dos ramales, ¿no? De la misma polea. Y por lo tanto, en
todos los puntos de la cuerda se da la misma tensión. Cuando veamos el
tema del sueldo rígido, donde las poleas no son de masa despreciable, ahí
sí que vamos a tener que considerar las tensiones diferentes. ¿De
acuerdo? Seguimos. Bueno. Aquí hay cosas que muchas veces, cuando
dibujamos las fuerzas, muchas veces dibujamos mal la aceleración. No hay
que confundir la aceleración con las fuerzas. Lo tenéis en el libro. Ojo.
Cuando dibujamos un diagrama de fuerzas, la aceleración no la dibujemos
sobre una flecha que parta del cuerpo. No. La aceleración me va a indicar
hacia dónde está acelerando el cuerpo y punto. Y no lo pongo sobre. ¿Lo
veis? Lo que es correcto y lo que es incorrecto. Acostumbraros a dibujar
bien. Esto os ayudará mucho a la hora de resolver problemas. ¿Vale?
Bueno, aquí tenéis este sistema. Cuerpo, polea, ¿no? Y estamos con un
dibujo muy parecido al anterior. ¿No? Aquí si aplicásemos la segunda ley
de Newton sería m2g-t igual a m2 por a sub 2i. ¿Y aquí qué tendríamos?
T1-0 igual a m1 a sub 1x. Claro, esto parece que da a entender que hay dos
aceleraciones pero no es el caso porque todo va solidario. Se mueve con la
misma aceleración. De manera que a sub 1x es igual a sub 2i y es igual a
a. Y pondremos una única a. Una única aceleración. ¿Por qué? Porque la
polea es fija. No se mueve. ¿No? No es el caso de una polea móvil. ¿No?
Ya hemos dicho que la tensión es la misma en cada rama. ¿No? Ponemos la
misma tensión. ¿No? Aquí no hacía falta poner el subíndice 1.
Perdonadme. ¿Vale? Y, ¿de acuerdo? Una única aceleración. Bueno. ¿Qué
pasa si tenemos rozamiento? Bueno, la fuerza de rozamiento es una fuerza
que siempre se opone al movimiento. Siempre va en contra del movimiento. Si
nosotros tenemos una superficie, ¿no? Y sobre la misma descansa. Descansa
un objeto. La fuerza de rozamiento siempre se opone al posible movimiento.
Al posible movimiento. Si nosotros lo que hacemos es llevar este cuerpo
hacia la derecha, ¿no? ¿La fuerza de rozamiento hacia dónde hay que
pintarla? Hacia la izquierda. En sentido contrario a ese posible
deslizamiento. ¿Vale? Siempre en sentido contrario a ese posible
deslizamiento. Uy, perdón. Entonces, ¿qué nos dice? Que la fuerza de
rozamiento es proporcional a la normal. Y ese coeficiente de
proporcionalidad es lo que se llama el coeficiente de rozamiento. ¿Vale?
Aquí tenemos el peso. Y aquí tenemos la normal. Peso, W. Eso sería N.
Puedo ponerlo en mayúscula. Aquí lo tenéis en minúscula. Y FK sería la
fuerza de rozamiento. ¿Vale? Entonces, podemos hablar de un coeficiente de
rozamiento estático o dinámico. ¿Eh? ¿Qué es el estático? Mirad. Esto
es lo más interesante. Lo he puesto a propósito. Mirad. Guardemos el
cuerpo. No se aplica ninguna fuerza. La fuerza de rozamiento es nula. A
medida que yo aplico una fuerza y el cuerpo no se mueve, va creciendo la
fuerza de rozamiento. Porque, ojo, la fuerza de rozamiento no es núcleo
anormal. Siempre no. Claro, porque si la fuerza de rozamiento alguien
pensaría, ah, la fuerza de rozamiento es más grande que la fuerza que yo
aplico, entonces me tiene que ir hacia la izquierda el cuerpo. No, no, no.
La fuerza de rozamiento va creciendo a medida que yo voy aplicando la
fuerza. ¿Veis esta línea? Que va creciendo la pendiente positiva. Y llega
un momento en que aplicamos justo la fuerza a la cual empezaría a
deslizarse. Y ahí tenemos la fuerza de rozamiento máxima, donde le
correspondería un coeficiente de rozamiento estático. ¿No? Máxima. Muy
estático por la normal. ¿De acuerdo? ¿Y qué pasa? Que cuando empieza a
moverme el coeficiente de rozamiento es menor. Es el dinámico o cinético.
Y por eso la fuerza de rozamiento es... Menor. Muy estático... Uy,
perdón. Muy dinámico o cinético por la normal. Siempre, siempre el muy
estático es mayor que el muy dinámico o cinético. ¿Vale? Esto lo
tenéis, lo tenéis fácil vosotros porque, y todos lo tenemos fácil,
queremos empujar un coche y siempre cuesta más empezar a empujar que no
con la energía este movimiento. Porque el coeficiente de fricción entre
los dos cuerpos es mayor cuando está en reposo que cuando ya está en
movimiento. ¿Vale? Otro caso en el que pueda aparecer una fuerza de
rozamiento que no es por contacto con la superficie es los fluidos con el
aire. ¿Eh? Cuando tenemos un cuerpo que se mueve en un fluido a una baja
rapidez, ¿no?, la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad, k
por v. ¿De acuerdo? Entonces, a partir de aquí, claro, cuando tenemos un
cuerpo, por ejemplo, en caída libre, ¿no?, y la velocidad que alcanza es
relativamente pequeña, ¿no?, las fuerzas que actúan sería el peso menos
la fuerza de rozamiento igual a m por a. Sería el peso mg menos k por v
igual a m por a. Pero, claro, esta velocidad que va adquiriendo la
partícula, tenemos una velocidad límite. Es decir, cuando caen los
cuerpos en el aire, esa fuerza de rozamiento, esa fuerza de resistencia
depende de la aerodinámica, ¿no?, depende de la geometría del cuerpo.
Pero llega un momento en que se alcanza una velocidad límite cuando la
aceleración es cero, ¿no?, porque no puede ser negativa, ¿eh? Entonces,
mg menos k por la velocidad límite igual a cero y obtendríamos esta
velocidad límite. Aquí tenéis unas gráficas de cómo es la
aceleración, ¿no?, ¿eh?, cómo es la aceleración sin resistencia y con
resistencia. ¿Veis cómo va disminuyendo? Cómo es la velocidad, ¿no?,
que en el caso de con la resistencia tenemos una transformación, una
especie de parábola, ¿no? Y también cómo es, digamos, la posición con
el tiempo, ¿no?, que va una cosa más lenta, ¿no?, avanza menos con el
tiempo. ¿Vale? Bueno, aquí tendríamos la ecuación cuando tendríamos
cuerpos con una alta rapidez donde aquí la fuerza de resistencia sería
proporcional al cuerpo. ¿Vale? Y uno que tiene una velocidad de 90 km al
cuadrado de la velocidad. Todo eso lo tenéis en el priman, ¿eh?, que se
ha extraído del priman, ¿vale? Bueno, dinámica del movimiento circular.
Vamos a ver, ¿qué quiero deciros ahora? Siempre que tengamos un
movimiento circular, siempre que tengamos un movimiento circular,
permitidme que os dibuje un círculo... ¿no?, ¿vale? Una partícula que
describa un movimiento circular uniforme, uniforme... Bueno, siempre que
sea circular está sujeto a una aceleración radial. Acordaos que esto lo
vimos. Una aceleración radial o también llamada aceleración centrípeta.
Que es v cuadrado partido por r o si queréis también esta aceleración
radial la podemos poner como omega al cuadrado multiplicado por r. ¿Y esto
por qué? Porque la velocidad lineal es igual a la velocidad angular
multiplicado por el radio. Entonces nosotros podemos sustituir la v por
omega por r, todo ello al cuadrado y por lo tanto me quedará omega al
cuadrado multiplicado por r. Ahora bien, como omega es 2pi partido por el
periodo, también podemos tener esta otra expresión. Pero normalmente las
personas, el estudiante y los profesionales aprenden la aceleración radial
como v cuadrado partido por r. Ahora bien, como omega es 2pi partido por r
o si queréis también esta otra expresión. Siempre hacia el centro. ¿De
acuerdo? Y la velocidad, acordaos, que es tangente a la trayectoria.
Entonces si gira en sentido horario, esto sería la velocidad, esto sería
la velocidad, esto sería la velocidad, esto sería la velocidad. Es muy
importante que aprendáis a dibujar bien los vectores. Eso os ayudará
mucho a la hora de hacer problemas. Esto sería v. Esto sería r. V, esto
sería V y la aceleración normal o radial, aquí lo tenemos ¿vale? lo que
os estaba dibujando lo tenéis aquí ¿si? la aceleración, la velocidad
¿no? y si nosotros queremos aplicar la segunda ley de Newton sobre esta
partícula ¿qué tendremos a aplicar? pues F igual a M por A y esta A es
la aceleración normal o aceleración radial ¿vale? y habría que ver qué
fuerzas actúan sobre la partícula ¿vale? esta fuerza bueno, os digo si
queréis en forma vectorial es lo mismo ¿de acuerdo? la fuerza neta va
dirigida hacia el centro siempre en un movimiento circular uniforme,
circular uniforme porque en el circular uniforme la velocidad es constante
no hay aceleración tangencial y la aceleración va dirigida hacia el
centro del círculo si fuese un movimiento circular uniformemente variado
tendría aceleración tangencial y la aceleración resultante sería la
composición de dos aceleraciones la normal y la tangencial y ya no
estaría dirigida hacia el centro formaría un ángulo determinado porque
si tuviésemos ¿eh? lo que pasa es que no nos va a entrar en ese caso,
tendríamos dos aceleraciones una normal y otra tangencial ¿eh? y por lo
tanto a ver, no me quedo tranquilo si no lo dibujo ¿vale? aquí
tendríamos una aceleración aquí tendríamos otra aceleración voy a
cambiar de color a ver que color pongo para que no coincida con los que ya
están bueno, este azul oscuro ¿veis? esto sería una aceleración
tangencial ¿vale? entonces la aceleración total sería esta ¿eh? ojo, si
no fuese uniforme ¿eh? esta sería la tangencial esta sería la normal y
esta sería la total de manera que la total sería la suma de la tangencial
más la normal ¿eh? pero no es el caso estamos siempre con movimiento
circular uniforme por lo tanto, esta aceleración tangencial fuera, no la
tenemos y solo tenemos la normal bueno, ejemplos de aplicación un cono
esto tenemos un péndulo que está dando vueltas en forma coniola y como
sería las fuerzas ¿cómo podemos nosotros está claro que problemas de
esto tenéis en el libro etcétera y aquí ya tenéis un poquito cómo se
dibujan las fuerzas fijaos esta fuerza aquí tenéis aquí dibujado
permitidme que yo la volveré a dibujar un poco con una nomenclatura es lo
mismo lo que vais a ver pero bueno como la fuerza que soporta la cuerda
siempre le llamamos tensión ¿estáis de acuerdo? le podemos llamar F pero
es la tensión, ¿no? porque así... a veces, muchas veces nos ayuda el que
le pongamos la inicial a lo que representa ¿vale? la tensión esta F es la
tensión y la podemos descomponer evidentemente en dos componentes
perpendiculares entre sí como ya veis aquí ¿sí? ay, perdonad ¿vale? y
tendríamos pues ambas componentes lo que tendríamos aquí sería la TI
como veis, ¿no? esto sería la componente Y y esto sería la componente X
como este ángulo sigue siendo B, ¿no? como podéis ver aquí, ¿no?
nosotros si queremos estudiar la dinámica de este movimiento y queremos
aplicar la segunda ley de Newton que es F igual a M por A ¿qué tenemos
que hacer? aplicarlo en las dos componentes sumatorio de F sub X igual a M
por A sub X que sería la dirección radial y sumatorio de F sub pi igual a
M por A sub pi que sería vertical que ya sabemos que es cero porque no
tiene aceleración sobre el eje Y sólo tiene aceleración normal radial
hacia el centro sobre el eje Y, ¿qué tendríamos? pues la fuerza que va
hacia arriba que sería T sub pi menos el peso igual a cero y aplicando la
segunda ley de Newton ¿qué fuerza tenemos? T sub X igual a M por la
aceleración normal ¿vale? por la aceleración normal entonces, si quiero
seguir un poquito más aquí que aquí no me va a caber T sub X, ¿qué es?
es seno de beta igual a M voy a ponerlo en función de omega que es la
velocidad angular del giro por omega cuadrado por R y Ti, que es T coseno
de beta igual a mg y nos damos cuenta que podemos dividir las ecuaciones y
si nos va la tensión la tangente de beta es omega cuadrado R partido por G
omega cuadrado R partido por G claro, de aquí me pueden decir, oiga,
díganme usted ¿para qué velocidad angular formaría 30 grados o 40
grados? pero, ojo R no lo sé, y R depende del ángulo ¿qué me falta
aquí por hacer? poner R en función del ángulo fijaos, seno de beta ¿a
qué es igual? a cateto opuesto que es R partido por L luego R es igual a L
seno de beta entonces, si sustituyo aquí R sustituyo R por L seno de beta
¿qué me quedará? la tangente es seno partido por coseno ¿sí? entonces
me quedará 1 partido coseno de beta igual a omega cuadrado por L partido
por G lo voy a poner aquí más grandecito 1 partido coseno de beta igual a
omega cuadrado por L partido por G bueno, he llegado a deducir esta
expresión ¿no? ¿omega qué es? las radianes por segundo, las reducciones
por minuto ¿beta? el ángulo es decir, aquí, pues tanto si me dan omega o
beta o viceversa hemos encontrado una relación ¿qué podemos hacer para
la tensión? pues fácilmente con la fórmula que queda este coseno de beta
igual a mg es un ejemplo que veamos cómo estamos aplicando las leyes de
Newton en otro caso un vehículo que toma una curva plana un vehículo para
que tome una curva plana tiene que tener una fuerza de rozamiento si no hay
fuerza de rozamiento no puede tomar una curva ¿no? este dibujo lo tenéis
también ahí en el capítulo 5 del primal y entonces dices, bueno ¿y qué
tenemos aquí? ¿cómo sería aquí la fuerza de rozamiento? bueno, ¿qué
fuerzas tendríamos aquí? dibujamos las fuerzas ¿qué tendríamos aquí?
la fuerza de rozamiento vertical la normal hacia arriba ¿sí? la fuerza de
rozamiento en sentido contrario al posible deslizamiento ¿hacia dónde
saldría derrapando el coche? ¡hacia fuera! por lo tanto, esto sería la
fuerza de rozamiento ¿vale? entonces, ¿qué tendríamos aquí? la normal
el peso y la fuerza de rozamiento ¿y qué nos queda por dibujar? la
aceleración pero la aceleración no es una fuerza no lo dibujo sobre el
cuerpo ¿vale? la aceleración normal o aceleración radial entonces, lo
que tenemos aquí aplicamos la segunda ley de Newton F igual a m por A
¿qué fuerza actúa? la fuerza de rozamiento yo estoy aplicando
simplemente F igual a m por A fuerza la fuerza de rozamiento igual a la
masa por la aceleración radial que es aquí, no hablemos de velocidad
angular por la función de la velocidad lineal porque yo creo que si es la
velocidad lineal con que va el coche, ¿no? el sentido común me dice esto
sería m por A sub n ¿y qué era la fuerza de rozamiento? venga era mu por
la normal en un plano horizontal ¿qué es la normal? mg por lo tanto,
sería mu mg igual a mv cuadrado por r ¿vale? y a partir de aquí podría
sacar la máxima velocidad a la que podría ir el vehículo para no
derrapar ¿no? máxima velocidad a la que podría ir el vehículo para no
derrapar v máxima igual a raíz cuadrada de r mg, por ejemplo ¿vale? pero
esto es sencillo porque estamos en un horizontal no tiene peralte, pero
¿qué pasa si tenemos peralte? las cosas se complican bastante si tenemos
un peralte vamos a trabajar un poco la protección del peralte, un poquito
venga, voy a irme a la pizarra para poder hacer el dibujo un poquito más
grande y primero vamos a plantearlo un poquito sin rozamiento y enseguida
le metemos el rozamiento y vemos las ecuaciones voy a ir a la pizarra, si
os parece bien yo creo que el cuadrado no se puede poner inclinado
efectivamente voy a dibujar aquí el cuerpo, ¿no? y va a haber unos ejes
de coordenadas x e y y vamos a dibujar las fuerzas que tenemos el peso es
vertical la normal es perpendicular a la superficie esto será la normal de
manera que si esto es alfa esto es alfa ¿vale? esto es la normal esto es
el peso esto es la aceleración ojo con la aceleración no es una fuerza es
radial esto es la aceleración normal o aceleración radial ¿vale? claro
de entrada esto así bueno, vale hay que hacer algo más vamos a
descomponer sobre eje x y sobre el eje y la normal vamos a sacar la
componente x aquí tendríamos la n sub x y la n sub i ¿de acuerdo? nx y
ni de manera que vemos fácilmente que nx es n seno de alfa y vemos que ni
es n coseno de alfa ¿vale? ¿de acuerdo? entonces aplicamos la segunda ley
de Newton para en este caso sin rozamiento sin rozamiento ¿qué aplicamos?
equilibrio sobre el eje y no hay rozamiento tan sencillo como decir le voy
a poner en la bueno ¿qué sería? pues sería simplemente sobre el eje x
nx igual a m por la aceleración normal n seno de alfa igual a m v cuadrado
partido por r ¿no? sobre el eje x y sobre el eje y pues n sub i menos p
igual a cero n coseno de alfa igual a mg ¿de aquí que podemos deducir?
pues que la n es mg partido coseno de alfa ¿no? ¿estáis de acuerdo? a
ver y aquí podéis sustituir la otra ecuación ¿no? ¿y qué me quedará
sustituyendo la n? pues me quedará que la tangente de alfa me quedará que
la tangente de alfa es v cuadrado partido por r bueno, no voy a hacer más
desarrollo no sé si lo veis aquí por una parte esta ecuación ¿no? y
esta otra ecuación si sustituimos aquí pues podéis obtener digamos esta
relación que la tangente de alfa es v cuadrado partido por r eso sería
para el caso de que no hubiera rozamiento la relación que hay entre el
peralte la velocidad y el radio ¿y si hay rozamiento? se complican las
cosas si hay rozamiento aquí vamos a pensar que la fuerza de rozamiento en
sentido contrario al posible deslizamiento que puede ser hacia adentro o
hacia afuera pues si estamos con un vehículo será hacia afuera ¿no? si
estamos en una pista de estos velódromos cosas que tienen mucho peralte el
ciclista podría caer hacia adentro también pero aquí estamos con un
vehículo que toma una curva entonces permitidme que consideremos
exclusivamente que la fuerza de rozamiento ¿hacia dónde va? en sentido
contrario al posible deslizamiento y por lo tanto sería esto paralela al
plano cambio de color, sí sería esto ¿vale? ¿sí? de acuerdo ¿esto
qué sería? la fuerza de rozamiento nos damos cuenta que tendríamos que
descomponer esta fuerza de rozamiento en dos componentes perpendiculares
entre sí una fuerza de rozamiento x y una fuerza de rozamiento y f rx y f
r y ¿vale? y ahora ¿qué tendría que hacer? volver a aplicar la segunda
ley de Newton con estas dos componentes adicionales recordando que la
fuerza de rozamiento es muy paranormal ¿vale? ¿sí? os lo pongo voy a
cambiar de página sería lo siguiente mal no recuerdo voy a intentar
cambiar de color para que bueno sería nx más frx igual a la masa por la
aceleración normal ¿no? ni menos fri menos p igual a cero fijaos es frx
más nx por un lado y aquí ni menos fri menos p ¿vale? si desarrollamos
esto un poquito más os lo voy a poner aquí desarrollado alfa más fr
coseno de alfa igual a m por a n coseno de alfa menos fr seno de alfa igual
a mg ¿no? recordemos n seno de alfa más mu por n coseno de alfa igual a m
por a n coseno de alfa menos mu por n seno de alfa igual a mg y a partir de
aquí nosotros podemos obtener la normal despejando en la ecuación de
aquí abajo por ejemplo si queréis lo hacéis tranquilamente en casa
partido coseno de alfa menos mu seno de alfa y si voy a la ecuación
anterior ¿no? podemos sacar factor común n ¿no? si de aquí saco factor
común n a ver que no me pierda 1 por n vale es decir salvo fallo u
omisión sería de la siguiente manera n que es mg coseno de alfa menos mu
seno de alfa factor común de seno de alfa más mu coseno de alfa partido
por m igual a la aceleración ¿vale? de manera que nosotros podemos tachar
esta masa con esta masa esta aceleración que sería v cuadrado partido por
r bueno yo creo que lo podéis hacer tranquilamente en casa si queréis
¿no? y bueno os llegáis a esta expresión vamos a continuar trabajando
con más ejemplos ¿vale? quiero haceros ejemplos porque quedas o no
estábamos aquí todo lo que nos ha dado todo esto ¿no? ah bueno aquí
¿qué pasa cuando por ejemplo a ver ah aquí ya no hay vale aquí antes de
pasar a los problemas que tengo por ahí en otros archivos este caso de
aquí ¿no? por ejemplo un vehículo que da vueltas da vueltas ¿no? a
velocidad constante pues no estamos es el tema siguiente trabajo y energía
que puede cambiar la velocidad aquí de momento no cambia la velocidad
aquí nos podríamos plantear cuál es la fuerza de reacción de la
superficie de contacto sobre el vehículo vamos a dibujar puertas ¿vale?
nos lo han pintado abajo y arriba ¿no? pero nos lo podrían haber pintado
también horizontal ¿no? o no tiene sentido ¿eh? no sé qué pensáis lo
voy a pintar aquí también ¿vale? vamos a dibujar fuerzas venga bueno lo
primero si queréis podemos dibujar aceleraciones la aceleración no es una
fuerza hemos dicho y no se pinta sobre el cuerpo entonces esto sería la
aceleración hacia el centro ¿vale? ¿esto qué es? la aceleración normal
¿y qué otras fuerzas tenemos? el peso ¿vale? ¿y qué más tenemos? la
fuerza de reacción que es la normal la fuerza de reacción aquí sería
esta y esta sería la fuerza de reacción n aquí no hay fuerza de
reacción porque no hay una fuerza de reacción n esto sería p p y p
¿vale? ¿cómo sería la segunda ley de Newton? en las posiciones a y b
porque en b claro no tengo ninguna fuerza en b ¿no? ¿vale? ah claro, no
tiene sentido plantear allí ninguna fuerza de reacción ¿vale? otra cosa
es que tuviese una cuerda ahí, esto lo podemos ver el próximo día si
queréis en un caso con una cuerda o después si hay algún ejemplo por
ahí mirad, si aplicamos la segunda ley de Newton en la posición a, ¿qué
tendríamos? pues n menos p igual a m v cuadrado partido por r entonces la
normal la fuerza de reacción sería mg más mv cuadrado partido por r y
aquí arriba pues tendría n más p igual a m por a sub n n igual a mv
cuadrado partido por r menos mg ¿vale? ¿dónde es máxima la normal?
abajo claro ¿y qué tiene que suceder para que el cuerpo en b no caiga
verticalmente? que al menos la normal sea cero porque si es negativa
caerá, no dará la vuelta para que dé la vuelta al menos n ha de ser cero
para que dé la vuelta como mínimo entonces mv cuadrado partido por r
sería mg y tendríamos la velocidad mínima para que dé la vuelta ¿de
acuerdo? vamos ahora a trabajar tengo dos archivos os he puesto unos
ejercicios vamos a ver tenemos todavía 15 minutitos a ver os he puesto dos
dos dos archivos con problemas yo siempre os aconsejo que veáis os he
puesto en el foro de tutorial la grabación del año pasado yo suelo
cambiar los ejemplos de un año para otro y os voy a hacer ejemplos aunque
tengamos documentos similares ejemplos diferentes yo como os lo pongo en el
foro de tutorial algún día si queréis me los pedís y yo os los envío
no tengo ningún problema si no las encontráis permitidme que a ver este
archivo que me gustaría aquí hay una cosa interesante este es un examen
que cayó en el 2020 está explicado en la anterior clase yo creo que
simplemente aquí os voy a contar por ejemplo en el caso de esta polea
móvil una polea móvil que es el siguiente ejercicio es este de aquí esta
es la polea móvil esto es una polea móvil y esto siempre genera problemas
hacer un ejercicio de estos con poleas móviles pero simplemente lo digo
porque también hay un ejemplo hay un examen lo puedo descargar a ver aquí
este es un examen que cayó en el 2020 antes del cambio de sistema hay este
problema está resuelto aquí permitidme que ahora vaya aquí donde lo
hemos dejado y simplemente os voy a hacer un razonamiento un razonamiento
la gente siempre esto la confusión aquí tenemos una polea una polea
móvil y permitidme que os la dibuje no dibuje las fuerzas claro aquí hay
una tensión estáis de acuerdo conmigo creo que aquí tenemos una tensión
esta tensión es la misma por aquí otra tensión por aquí y esta tensión
vale una tensión pero aquí tenemos otra tensión vale una tensión que va
de proporcional a cuerda además del peso no en negro esto sería el peso a
ver si nos entendemos esto sería el peso aquí tendríamos una T1 y aquí
una T2 claro esto sería T1 también vale T1 y T1 ¿qué relacionalidad
existe con estas tensiones? claro si nosotros queremos estudiar la
relación bueno vamos a ver el secreto de este ejercicio como todos estos
hasta la fecha en estos temas es que las poleas son de masa de especial
sino las cosas serían más complicadas fijaos a ver f igual a m por a ¿a
quién? a la polea ¿qué fuerzas tengo hacia abajo? el peso y la tensión
2 ¿y en contra? T1 y T1 igual a la masa de la polea o la aceleración de
la polea que le puedo llamar a sub 2 ¿vale? todo esto ¿sí? vale ¿pero
qué ocurre que la polea es de masa despreciable? esto se me va ¿y qué me
queda? me queda que T2 es 2 veces T1 o lo que es lo mismo T1 es T2 partido
por 2 ya tenemos una relación de las tensiones la tensión que soporta
cada rama de la polea móvil es la mitad de T2 porque claro este cuerpo que
tenemos aquí abajo ¿qué fuerzas actúan? tenemos el peso y la tensión
T2 perdón no sé qué pasa ahora con el puntero esto sería T2 y esto
sería P2 es decir, P2 menos T2 es igual a M2 por A sub 2 ¿no? A sub 2
porque eso sí las dos aceleraciones son distintas ¿eh? ¿por qué? porque
recorre la mitad de espacio en el mismo tiempo ¿eh? un cuerpo que el otro
acelera de esta manera la aceleración será distinta la aceleración no es
la misma cuidado ¿eh? ¿y cuál es la relación de aceleraciones? tienes
aquí desarrollado no sé si os dais cuenta que la polea 2 que es móvil
recorre la mitad de espacio que el cuerpo 1 y por lo tanto el cuerpo 2
recorre la mitad de espacio que el cuerpo 1 en el mismo tiempo recorre la
mitad ¿eh? la aceleración será la mitad si queréis plantear el problema
este o el del examen el archivo por estas cosas que os he explicado es lo
novedoso ¿vale? y aquí me gustaría este está hecho por ahí el 599
también lo tenéis a ver este de aquí este ejercicio que no lo resolví
en otra sesión está aquí fijaos una cuenta esto es una cuenta que está
que puede deslizarse en este halo circular ¿vale? está en un plano
vertical un momentito vale entonces vamos a ¿qué queremos hacer? el
ángulo beta para que la cuenta esté en equilibrio que gira ¿a cuánto? a
4 revoluciones por segundo ¿vale? w son 4 revoluciones por segundo y ya
sabéis que hay que pasar las radianes por segundo 2 pi radianes es una
revolución luego será 8 pi lo sabéis bueno, pero os dan el radio ¿no?
el radio ¿de acuerdo? ¿qué fuerzas tenemos aquí? vamos a ver un poquito
las fuerzas esta es la radial como siempre si esto está dando vueltas esto
sería la aceleración no lo apinto sobre el cuerpo es una aceleración
¿de acuerdo? a su pene bueno, pues vamos a dibujar y vamos a descomponer
esta fuerza ¿no? esto sería la fuerza de reacción he pintado un par de
flechas ahora ¿no? en dos componentes x e y bueno ¿vale? de manera que
tendríamos aquí si esto lo quiero llamar por ejemplo t este ángulo de
aquí sería beta ¿de acuerdo? ¿vale? por lo tanto, ¿qué tendríamos?
tendríamos un tx seno de beta y un ti que es t coseno de beta ¿vale?
¿qué más tenemos aquí? el peso, que no lo he dibujado ¿vale? entonces,
si aplicamos la segunda ley de Newton ¿qué tendríamos? ¿no? no hay
aceleración solo hay aceleración sobre el eje x si me pongo aquí va a
ser peor bueno, vamos a ver pues ¿qué tendríamos? t voy a poner aquí t
seno de beta igual a m omega al cuadrado por r y t coseno de beta igual a
qué? a mg ¿de acuerdo? y a partir de aquí nosotros podemos encontrar una
relación una relación entre el ángulo entre el ángulo y la velocidad
angular ¿cómo? dividiendo la tangente de beta ¿a qué será igual? a
omega al cuadrado por r partido por g omega al cuadrado por r partido por g
¿vale? lo hemos puesto en función de omega tenemos omega es 8pi y a
partir de aquí nosotros claro, el problema cuál es que es lo que todavía
no hemos determinado ¿cuál es el radio? esta r es la distancia del eje de
giro la vemos, que no la hemos calculado todavía esta distancia de aquí a
aquí esto es r y permitidme que haga una cosa lo voy a modificar para os
va a ayudar para entender el ejercicio un momentito, perdonadme y voy a
poner esta r en minúscula r y r ¿qué es esta r de aquí? porque una cosa
es el radio ¿no? de este aro r mayúscula y otra cuestión es el radio en
la cual se encuentra en función del ángulo de manera que el seno de beta
es r minúscula partido por r mayúscula donde r es el radio el cual te
encuentras en cada momento entonces a partir de aquí nosotros podemos
poner seno de beta partido por coseno de beta igual a omega al cuadrado r y
en vez de r poner r mayúscula por el seno de beta y partido por coseno de
beta y a partir de aquí ya tenemos una relación entre la velocidad
angular y y el ángulo ¿qué ángulo es? lo tenéis aquí la solución en
las siguientes páginas ¿no? sale un ángulo de 81 grados calcule el
ángulo en el cual pues sería 81 grados la cuenta podría mantenerse a la
misma altura que el centro del aro ¿no? lo que tenemos aquí pues ya vemos
que esto no sería posible si lo veis ¿no? lo podéis analizar tenéis la
solución y a partir de aquí vamos a cambiar este ejercicio os dejo que lo
miréis la solución que tenéis aquí y permitidme que os cambie a otro
ejercicio ufff un momentito aquí hay algunos que me gustaría comentaros
57, 81 vamos a ver un momentito que lo busco para no ir uno a uno el 57 a
ver 51 57, 81 a ver 87 vamos a ver el 87 que es de fuerzas es interesante
vamos a verlo 81, aquí está vamos a verlo esto está en la página 16
rápidamente vamos a ver si lo encontramos aquí está dice el bloque A de
la figura pesa 1,9 N y el bloque B pesa 4,2 N entre todas las superficies
es decir que roza A sobre B y roza B sobre el suelo calcular el valor de la
fuerza necesaria para arrastrar B hacia la izquierda a velocidad constante
os quiero comentar este ejemplo un par de minutos al menos porque nos demos
cuenta todas las fuerzas que actúan habría que aislar individualmente
cada cuerpo A y B quiero que os deis cuenta que A va a deslizar sobre B
cuando B se mueve hacia la izquierda A se va a deslizar entonces va a haber
una fuerza de rozamiento de A sobre B pero después va a haber una fuerza
de reacción de esa fuerza de rozamiento que tiene A sobre B que va a
actuar de B sobre A fijaos el ejemplo porque yo creo que vale la pena que
lo comentemos aunque está aquí resuelto vamos a ver un poquito las
fuerzas vamos a ver está muy pequeñito aquí si queréis lo puedo como
tenéis el documento y lo podéis descargar el cuerpo A que está encima
¿qué fuerza es actual? tenemos el peso vale tenemos el peso tenemos la
normal tenemos una fuerza de rozamiento de contacto sobre el suelo y la
tensión de la cuerda repito esto sería el peso de A esto sería la
tensión de la cuerda la fuerza de rozamiento de A y la normal N sub A que
sería igual a qué a P sub A a M sub A por G estas serían las fuerzas que
habría que aplicar al cuerpo A y si aplicamos la segunda ley de Newton
sería T menos F R A igual porque dice que va con aceleración nula vale
donde F R A es mu para normal lo tenéis aquí calculado vale mu por M A G
vale y vamos al cuerpo B el cuerpo B tenemos el cuerpo B ojo tendremos el
peso de acuerdo vamos a ver si lo entendemos el peso por un lado ¿qué
más? la fuerza que estoy aplicando tirando de él ¿qué más tenemos?
tenemos la normal ojo la normal que ejerce el suelo ¿cuál es la normal
que ejerce el suelo? N B por G pero tenemos la fuerza de reacción la
fuerza de reacción ¿no? de la normal que ejercía el suelo del bloque B
sobre el A N sub A ¿y qué más tenemos? la tensión de la cuerda claro la
teníamos ahí sujetando ¿si? ¿y qué más? la fuerza de rozamiento en
contra a ese posible deslizamiento ¿no? si esa es A F R ¿vale? esa es A F
R tenemos que ir acabando es A F R pero es que además permitidme que nos
demos cuenta que también hay una fuerza de rozamiento encima de ese bloque
esto es lo que cuesta ver ¿vale? tengo una fuerza de rozamiento ¿vale? y
otra fuerza de rozamiento que es la fuerza de reacción esta sería la
fuerza de rozamiento del bloque B y esto sería la fuerza de rozamiento del
bloque A acordaos que en el bloque A la fuerza de rozamiento iba hacia la
izquierda aquí iría hacia la derecha estas son todas las fuerzas a
considerar en cuanto de esto ¿lo veis? a ver tenemos alguna cosa más
aquí escrita no bueno pues esto sería un poquito el ejercicio aquí
tenéis la solución ¿no? y de hecho no nos engañemos es que estas dos
fuerzas de rozamiento las podríamos englobar en una única fuerza de
rozamiento total que es lo que después os hace aquí la solución os pone
la suma de las dos normales y por lo tanto sería sería por lo tanto
digamos la fuerza de rozamiento total sería la contribución de las dos
masas porque los dos coeficientes son los mismos bueno, os aconsejo que
hagáis algún ejercicio más tenéis aquí más ejercicios para realizar
muchas gracias y hasta el próximo día un saludo