Venga, ya está grabando la clase, ¿de acuerdo? Si os recordáis, el
último día comenzamos con el tema del álgebra matricial. ¿De acuerdo?
Empezamos a ver las matrices, determinadas conceptos de matrices, como lo
que es una matriz pila, una matriz columna, lo de la matriz nula, lo que
son matrices triángulares superiores, triángulares inferiores, lo que es
una matriz diagonal, luego vimos operaciones con matrices, vimos la suma de
matrices, cómo se suman matrices, se suman los elementos de aumento, para
poder sumar dos matrices tienen que ser del mismo tamaño, ¿de acuerdo?
También vimos el producto por escalares, es decir, multiplicar una matriz
por un número perteneciente al cuerpo. Cuando hablamos de cuerpo, pues los
números reales son complejos, ¿de acuerdo? Entonces, para multiplicar una
matriz por un escalar, ¿vale?, perteneciente al cuerpo, pues todos los
elementos o todas las entradas de la matriz se multiplican por ese
elemento, ¿de acuerdo? También vimos el producto de matrices, ¿de
acuerdo? Entonces... El producto de matrices, recordad cómo se tiene que
hacer para que se puedan multiplicar dos matrices, el número de columnas
de la primera matriz tiene que ser igual al número de filas de la segunda,
¿de acuerdo? Y el tamaño de la matriz resultante es el número de filas
de la primera por el número de columnas de la segunda, ¿de acuerdo?
Dijimos ahí, el producto de matrices no es conmutativo, ¿vale? Es decir,
aunque se puedan hacer los dos productos de A por B y de A por A, por
ejemplo, si A y B son matrices cuadradas, ¿vale? Aunque se pueda hacer el
producto... El resultado no tiene por qué ser el mismo, ¿vale? ¿De
acuerdo? O bueno, aunque se puedan hacer el tamaño de la matriz
resultante, puede que no sea el mismo, ¿de acuerdo? Vale, entonces A por B
y B por A, pues no pueden sentar el mismo resultado, ¿de acuerdo? ¿Qué
más? Propiedad de las matrices, pues... Eso, podemos multiplicar dos
matrices que no son la matriz nula y obtener una matriz nula, como también
vimos en el ejemplo, ¿de acuerdo? ¿Vale? ¿Qué más? Yo creo que poco
más vimos así, un tema súper importante, ¿vale? La interpretación del
producto de matrices, ¿de acuerdo? Recordar que se puede interpretar como
una combinación lineal, que lo veremos a continuación, ¿vale? Una
combinación lineal de las filas o de... Perdón, de las filas o de las
columnas de una matriz, ¿de acuerdo? Si lo veíamos que el producto,
pensábamos que los escalares eran la matriz de la derecha, ¿vale?
Hacíamos un... Escalares por columnas, ¿de acuerdo? Lo que estábamos
realizando, digamos, es una combinación lineal de columnas, ¿de acuerdo?
Si pensamos que los escalares son los de la primera matriz, lo que
estaríamos haciendo es una combinación lineal de filas, ¿vale? Y los
escalares serían elementos de las filas. Eso recordáis, ¿no? Yo creo que
eso es un concepto importante. A ver si lo vimos en la pizarra. Eso es,
¿vale? Eh... Si interpretamos que tenemos los coeficientes, los
coeficientes de los escalares, ¿vale? En la matriz inicial, pues pensamos
que tenemos en las filas, tenemos escalares. Y lo que tengo que pensar es
que estoy haciendo una combinación de matrices fila, ¿vale? Fila 1, fila
2 y fila 3, ¿vale? Entonces, ¿qué es lo que estoy haciendo? Una vez la
primera fila más cero veces la segunda fila menos una vez la tercera, ¿de
acuerdo? Si lo interpreto de otra manera... Oye, si lo que quiero hacer es
combinaciones de matrices columna, ¿vale? Lo que vimos... Así, ¿no? Es
decir, oye, yo lo que quiero es combinar estas columnas. Pues me voy a la
primera matriz y digo, oye, lo que voy a hacer ahora... ¿Vale? Es
interpretar que estos son matrices columna. Tengo aquí tres matrices
columna. Uno, dos y tres. Y en la segunda matriz lo que tengo aquí son
coeficientes. O escalares, ¿vale? Entonces, esta primera columna no va a
salir por aquí. Va a ser una vez esta primera columna más tres veces esta
segunda menos una vez esta tercera. Y esto será 6, 1, 1, 1. ¿Vale? O,
oye, que estos son los coeficientes. Uno, uno, uno. Pues, oye, lo que voy a
hacer es una vez esta columna más una vez esta más una vez esa. Y eso
será 4, 1, 1, 1. ¿De acuerdo? Es interpretación, es importante para el
resto del curso. ¿De acuerdo? Bueno, oye, una matriz... O sea, un producto
de matrices, pues hoy lo que estoy haciendo es combinar matrices finas o
matrices columnas. ¿Vale? Según como interprete el producto. ¿De
acuerdo? ¿Vale? Vale, y lo último que nos quedamos es, oye, matrices por
bloques. ¿De acuerdo? Que podemos ir a dividir una matriz en submatrices
en bloques. ¿De acuerdo? Y en algunas situaciones, pues es... Es
interesante hacer el producto de matrices por bloques. Para hacer el
producto de matrices por bloques, pues bueno, lo primero es que tengo que
poder multiplicar la matriz A por la B. ¿De acuerdo? Y luego que el... El
producto de todas las asidicas de su KJ, de casi a mí. ¿De acuerdo? Vale,
entonces, por ejemplo, este... Estas matrices, ¿vale? Lo primero que se
puede multiplicar A por B, pues bueno, porque A es de tamaño o de orden 3.
¿De acuerdo? Y B es de tamaño 3 por 4. ¿Vale? Entonces, como tenemos la
primera, tiene tres columnas y la segunda tres filas, de primeras el
producto se puede hacer. Ahora, con esta división que hemos hecho en
bloques, ¿podremos realizarla? O sea, lo que tendríamos que mirar es que
todos los... ¿Vale? Que todos los A sub i K. B sub KJ. Tienen sentido para
todos los i KJ. ¿Vale? Entonces, si lo probásemos ahora, oye, pues este,
¿no? Digamos que este es el A sub 1 1. Tenemos ahí el A sub 1 2. A sub 2
1 y el A sub 2 2. ¿Vale? Aquí tendríamos una B 1 1. B 1 2. B 2 1. B 2 2.
¿De acuerdo? Pues ahora exactamente lo mismo, ¿no? Cuando multiplicamos
es, oye, A sub 1 1 tiene que ser... Tenemos que multiplicarlo por B sub 1 1
y A sub 1 2 por B sub 2 1 3. ¿A sub 1 1 por B sub 1 1 tendría sentido?
Pues sí, porque este tiene dos columnas y está a dos filas. ¿Vale?
Luego, ¿el A sub 1 2 por el B sub 2 1 tendría sentido? Pues el A sub 1 2
tiene una columna y el B sub 2 1 una fila. Por lo tanto, tendríamos que
multiplicarlo por B sub 1 1. ¿Vale? Para sacar, digamos, si esta es la
matriz, si la matriz C es la resultante, pues la C sub 1 1, ok. ¿Vale? Se
podría hacer. ¿De acuerdo? ¿Y la C sub 2 2 la podemos hacer? O sea, para
poder sacar la C sub 2 2, ¿qué es lo que tengo que hacer? Pues la A sub 1
1 por el B sub 1 2. ¿Vale? ¿Se puede hacer? A sub 1 1 por el B sub 1 2.
¿Vale? Pues aquí tenemos dos columnas y aquí dos filas. ¿Ok? ¿El A sub
1 2 por el B sub 2 2 se puede multiplicar? Pues aquí tengo una columna y
aquí una fila. Pues ok. Este C sub 2 2 también se puede obtener. ¿No?
¿Verdad? ¿Qué más? El C sub 2 1 y el C sub 2 2. Perdón, esto es un
abismo y dos deditos, ¿no? Y un poco... Eso. Ese es el C sub 1 2. ¿Vale?
¿Me decís vosotros si eso se puede hacer? Sí. Si no, ¿qué sub 2 1 por
qué se puede hacer? Porque tiene dos columnas. Aquí tenemos dos columnas,
¿no? Esta matriz, la A sub 2 1, tiene dos columnas. ¿No? Y esta tiene dos
filas. ¿Vale? Luego, el A sub 2 2, que es de tamaño 1 por 1, tiene una
columna. ¿De acuerdo? Y esta, una fila. O sea que, ok, esto lo vamos a ver
también. Y el último, ¿vale? El A sub 2 1, que tiene dos columnas. Es
decir, que tiene dos filas. Y el último, A sub 2 2 y B sub 2 2, es de
orden 1. Esto lo podríamos publicar. ¿Vale? ¿De acuerdo? Entonces,
podríamos hacer el producto, ¿vale? Definiendo estos bloques. ¿Cuándo
es interesante? Pues, bueno, cuando veamos en la alfabra lineal 2 que, por
ejemplo, en matrices de Jordan, ¿vale? Que determina los bloques que son
todos nudos. ¿Vale? Por ejemplo, oye, si aquí no siguiesen puestos, pues
esto es... Perdón. Esto pues un terapia, esto un terapia. Esto también,
esto también. Esto también, esto también, esto también. ¿De acuerdo?
Lo que estaríamos multiplicando es dos matrices diagonales por bloques.
¿Vale? Esto sería diagonal por bloques. Esto también, por ejemplo.
Entonces, multiplicar dos matrices diagonales es mucho más sencillo.
¿Vale? Que si no lo son. ¿Vale? Pero bueno, eso... Pues si no, no sería
mucho más fácil. No. O sea, para este ejemplo, el ejercicio, pues es
una... No diría que... Dice, oye, pues voy a generar estos dos bloques a
ver cómo multiplico. ¿Vale? Pero, por ejemplo, si puedes generar matrices
diagonales por bloques, pues iría en sentido. ¿Vale? Es menos costoso
computacionalmente. Bueno, y si la desamanosla, pues también. Pero bueno.
Simplemente tenerlo en cuenta, ¿no? Que para poderlo multiplicar con estos
bloques definidos, pues bueno, bueno, debe ser un video que se van a hacer
todos los productos. ¿Vale? De los bloques definidos. ¿Vale? Bueno, y
eso. Pues eso. ¿Qué es una matriz diagonal? Dos bloques, que es lo que
acabo de decir, ¿no? Pues vale. Si tengo en la diagonal, ¿vale? Todos los
bloques que no están en la diagonal, pues son matrices. ¿Vale? Vale, y
cómo se multiplican. Pues eso. Se definen más matrices por bloques, pero
lo que había dicho, ¿no? Oye, pues ahí. Aquí tenemos matrices
diagonales que también le podemos hacer. Pues oye, este producto es
muchísimo más simple. ¿Vale? Vale, luego, tema de potencias. ¿No? Pues
oye, potencias. ¿Vale? Al cuadrado. Pues eso. ¿Cómo? Como hemos definido
el producto, ¿no? A por a. ¿Vale? A elevado a n. Pues oye. A por a. Por
a. N veces, ¿no? Entonces, para poder hacer productos ¿de qué tamaño o
de qué orden tenéis en la matriz? Que da cuadrada, ¿no? Ahora, si no es
cuadrada, no puedo hacer a al cuadrado, ni al cubo, ni a la n. ¿Vale?
Entonces, por eso, ojo, o sea, simplemente cuando o mirando aquí, que la
matriz es de orden, n. ¿Vale? ¿De acuerdo? Entonces, una serie de
definiciones que es una matriz idempotente, pues idempotente es cuando al
elevarla al cuadrado se convierte en ella misma. ¿Vale? Milpotente si
llegan a un punto en el que se convierte en la matriz nula. ¿Vale?
Involutiva. ¿Vale? Si al cuadrado se convierte en la matriz identidad.
¿Vale? Definiciones. ¿De acuerdo? ¿La situación de un bucle no tiene un
bucle? Estas. Pero, también, Son algunas que, llevando a la cuarta,
vuelven a ser un bucle. Vuelven, esa es la identidad, ¿no? Claro. Que a la
cuarta es la identidad. Vale, entonces, a la quinta vuelve a ser ella
misma. ¿Vale? Sí. Sí, pero no es ninguna de estas. ¿Vale? ¿De acuerdo?
¿Vale? Vale, entonces, ¿qué más? ¿Qué nos queda por ver antes de
empezar con el método de Gauss? ¿Vale? Nos queda ver ciertas propiedades
de la transpuesta y ciertas propiedades de la traza. ¿Vale? Trasponer,
recordar que la traza es simplemente pues convertir las filas en columnas o
las columnas en filas. ¿De acuerdo? Y la traza es la suma de los elementos
de la diagonal de una matriz de orden. ¿Vale? Una matriz cuadrada. ¿De
acuerdo? Entonces, propiedades de la transpuesta. ¿Vale? Pues, la
transpuesta de la suma. La suma de las transpuestas. Para demostrar esto,
no sé si merezca que nos metamos en alguna demostración, pero bueno, yo
creo que estas son bastante simples. Si lo miráis en el libro, hay
anotaciones. Oye, yo lo único que me tengo que fijar es cuando veis esta
anotación de A más B transpuesta así y con un subíndice. Oye, lo que
estoy refiriendo es al elemento que está a la fila ahí, columna J.
¿Cómo es este elemento en esta matriz? ¿Vale? Las propiedades
Básicamente, se demuestra si el elemento que está en esa posición cumple
esto. Sí, no. ¿Vale? Pero bueno, yo iría mirando un poco las
demostraciones. ¿De acuerdo? Aunque realmente en el examen son pocos
puntos de demostración. Realmente son los 10 puntos pero son 7 de
ejercicios. Y eso de demostraciones no viene mal que el lenguaje
matemático os vayáis ya acostumbrando a ello. ¿Vale? De las
demostraciones. ¿De acuerdo? Si queréis, haremos en algún momento algo.
Pero yo creo que estas son bastante sencillas de entender. ¿Vale? Las
tenéis en el libro y bueno, básicamente es lo que comentaba. Se
demuestran simplemente fijándome en un elemento de la matriz. ¿De
acuerdo? ¿Vale? Entonces, la transpuesta de la suma es la suma de las
respuestas. ¿De acuerdo? ¿Qué más? Pues ahí es muy simple y sencillo.
Una matriz o un escalar es lo mismo, ¿no? Me da igual hacer la transpuesta
de un escalar hasta que el escalar fuera, ¿no? Esta. El producto de una
transpuesta ¿de acuerdo? Es la transpuesta de los productos pero invertir.
¿De acuerdo? Lo mismo vale si tengo un producto de K matrices. ¿De
acuerdo? Producto de K matrices pues el producto es invertir en orden
inverso. ¿De acuerdo? ¿Qué más? ¿Qué pasa al multiplicar A con su
transpuesta? Si sumas A con su transpuesta ¿qué tipo de matriz tienes?
Eso es, ¿vale? En el caso de que la matriz evidentemente sea cuadrada,
¿no? Porque es simétrica. Bueno, ¿cómo lo podemos demostrar? ¿Qué es
lo que hay que demostrar para ver que una matriz es simétrica? Pues que la
transpuesta es la misma. Eso es, o sea, A es simétrica, ¿no? A es
simétrica si A es igual a su transpuesta, ¿no? Entonces, ¿cómo
demostraríamos que esto es simétrico? Pues lo que hay que demostrar es
con apariciones elementales de esto de aquí, por ejemplo, que A más la
transpuesta ¿vale? Es lo mismo que A más la transpuesta más puesta.
¿No? Vale, pues vamos a mostrar esto, por ejemplo, ¿vale? Una mostración
sencilla. A ver, esto es la respuesta de una suma pues, bueno, podemos
aplicar esta, ¿no? ¿Vale? A transpuesta más la transpuesta ¿no? La
transpuesta es la respuesta ¿eh? Pues es la transpuesta más sana y como
la suma sí que es la suma sí que es conmutativa ¿no? Pues eso es A más
la transpuesta ¿no? Lo que queríamos. ¿vale? Pues así simplemente se ve
que A más su transpuesta siempre y cuando A sea cuadrada evidentemente
vale, es una matriz simétrica y A menos su transpuesta pues es
antisimétrica ¿no? ¿vale? Demostración pues muy parecida muy parecida
tenemos que decir oye A es antisimétrica ¿sí? ¿qué cumplía?
¿antisimétrica qué era? Que la la transpuesta lo consiguió cuando eso
es ¿vale? Pues es exactamente lo mismo ¿vale? Que A es A ¿vale? Pues que
esto de aquí cumple eso pues también ¿de ahí? ¿de acuerdo? ¿vale?
¿qué más? Propiedades pues eso si tenemos una matriz cuadrada pues
siempre siempre vamos a poder escribir esa matriz como la suma de una
matriz simétrica y una antisimétrica ¿vale? ¿cómo lo haríais eso? No
sé si está hecho para mí o no ¿vale? Pero lo cuido perdón pero lo
podemos hacer ¿cómo escribiríais por ejemplo eso en cualquier matriz
cuadrada como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica? Eso es un
momento que iré aquí ¿vale? matriz cuadrada ¿vale? con los elementos en
el cuadro entonces se puede escribir siempre que una matriz simétrica más
una antisimétrica ¿no? Pero decíamos ¿vale? ambas respuestas ¿sí?
Esta decíamos que es simétrica ¿no? Sí Y esta otra ¿cómo era?
Antisimétrica ¿y si sumamos esto qué nos sale? Dos Dos canantes que es
lo que tenemos que hacer para que no salga una dosa Pues a correr ¿vale?
Más simple posible ¿vale? Bueno a ver si me he pasado por la ¿no? Eh
suba la A ¿vale? Pues esta de aquí simétrica y esta de aquí
antisimétrica ¿de acuerdo? ¿vale? Eh ¿vale? Y el producto que da por la
respuesta también simétrica ¿de acuerdo? ¿vale? Propiedades de la
respuesta Yo recomiendo que es para ir cogiendo un poco de soltura mire las
demostraciones ¿de acuerdo? Eh pues de todas estas que tampoco es que sean
muy complejas ¿vale? Pero está bien ir pues cojando confianza para el
trabajo matemático ¿de acuerdo? Eh ¿qué más? Eh propiedades de la
plaza ¿de la plaza? ¿de la plaza? Uh Pues sí ¿de la plaza? Bueno pues
lo comentamos ¿vale? Un poco es que es que la plaza creo que me la salta
posta pero bueno propiedades de la plaza pues la utilicen mucho pero bueno
de la plaza por ejemplo ¿vale? La plaza de la suma la plaza de la suma es
de las de la plancha entonces si tenemos o sea la plaza de la suma de las
matrices ¿vale? ¿qué más? de la tasa del producto por un escalar factor
común ¿vale? O sea como esto sería ¿no? Pues lambda a sub i ¿vale?
Desde i igual a 1 hasta n ¿vale? Es decir las a sub i ¿vale? Entonces
sumar los elementos de la diagonal y en la diagonal tendremos lambda ¿no?
Esa es la capa del común y esto es lambda plaza de a ¿qué más? Pues que
la traza de a es igual a la traza de su matriz Y ¿qué más? ¿vale?
Aunque el producto de la matriz a b por b a sea distinta la traza sí que
se mantiene invariante ¿vale? Aunque los productos son distintos los
elementos de la diagonal sí que es la suma de los elementos de la diagonal
¿vale? Vale, viste esto. Venga, vamos a avanzar un poco con el método de
Laus ¿de acuerdo? ¿qué es el método de Laus? ¿vale? Pues el método de
Laus es un proceso ¿vale? Un algoritmo que transforma que transformamos
matrices ¿vale? Transformando matrices o bien por filas o bien por
columnas ¿vale? Que esas transformaciones las llamaremos operaciones
elementales ¿vale? importante ¿vale? De tal manera que convertimos la
matriz original para la que estamos trabajando en otra matriz con una
estructura más sencilla ¿vale? Que llamaremos matrices escalonadas o
escalonadas reducidas ¿de acuerdo? Pero bueno transformamos a partir de
operaciones elementales la matriz original en otra con una estructura más
sencilla ¿de acuerdo? ¿Para qué va a ser muy útil el método de Laus?
Pues sobre todo pues para calcular el determinante del rango de una matriz
¿vale? Para resolver sistemas de parámetros lineales para ver la
dependencia o independencia lineal ¿vale? Que ya veremos un conjunto de
vectores o de momento lo que vamos a trabajar cuando hagamos el diseño de
vectores que es un vector trabajaremos con matrices fila o matrices columna
que básicamente lo que voy adelantando es lo mismo que un vector ¿vale?
Lo que podéis interpretar es igual matrices fila matrices columna ¿vale?
Y para calcular las ecuaciones ecuaciones de un subespacio vectorial
¿vale? Que es lo que veremos más adelante ¿de acuerdo? Cuando hagamos lo
que es un espacio vectorial ¿de acuerdo? Pues será muy útil el método
de Gauss en el siguiente tema ¿vale? Para sacar las ecuaciones que definen
un subespacio igual que lo de la dependencia o independencia lineal ¿de
acuerdo? En este tema utilizaremos sobre todo ¿vale? Para calcular el
determinante y el rango en el siguiente para el sistema de operaciones
lineales y en el siguiente el tercer tema pues para los espacios
vectoriales pues para determinados cálculos ¿vale? Un conjunto de
vectores los cuantos en un conjunto de cuatro vectores cuántos son
linealmente independientes o para sacar las ecuaciones infinititas de un
subespacio vectorial ¿de acuerdo? Sobre todo para calcular ¿de acuerdo?
¿Vale? Vale Entonces vamos a definir el argumento con filas pero todo lo
que hagamos por filas en una matriz luego se puede hacer exactamente igual
aplica exactamente igual por columnas ¿vale? Entonces lo vamos a hacer
vamos a trabajar con filas pero luego tener en cuenta que exactamente lo
mismo se puede hacer por columnas ¿de acuerdo? ¿vale? Entonces
combinación lineal de matrices fila ¿vale? o de filas de una matriz
¿vale? Pues una combinación de filas de una matriz o una combinación
lineal de matrices fila del mismo tamaño es una expresión de esta manera
¿vale? Es decir lo mismo que hemos hecho en el producto de matrices cuando
os decía oye vamos a hacer una combinación lineal de filas o de columnas
¿vale? Es decir yo cojo una fila y la multiplico por un escalar cojo la
otra fila la multiplico por otro escalar cojo la otra fila la multiplico
por otro escalar y lo sumo todo ¿vale? Eso es una combinación lineal de
matrices fila ¿vale? ¿de acuerdo? ¿vale? Es decir oye multiplico una
fila por un elemento del cuerpo multiplico otra fila por un elemento del
cuerpo ¿vale? Y todo eso ¿de acuerdo? Esto esto mismito que hemos hecho a
ver si ¿vale? Esto de aquí esto una vez que esta matriz fila más cero
menos una vez esta matriz fila que me da en la fila dos cero menos dos esto
es una combinación lineal de matrices fila ¿vale? Si no ¿alguna duda
está aquí de los que estáis en casa o no? ¿o no? Había un solo
comentario ¿no? Vale mal que no encontraba la bici vale ¿vale no? Venga
perfecto De acuerdo entonces primero la definición de lo que es una
combinación lineal ¿vale? Y ahora vamos a ver lo que son linealmente
dependientes ¿vale? matrices filas linealmente dependientes o
independientes ¿vale? Entonces un conjunto de filas que son linealmente
independientes ¿vale? Si existe alguna de ellas es combinación lineal de
las demás ¿vale? En caso contrario se dice que las matrices filas son
linealmente independientes ¿vale? Y a estos elementos los elementos del
cuerpo aquí este más ¿vale? Los elementos del cuerpo los escalares
¿vale? Lo llamaremos coeficiente de la combinación lineal ¿de acuerdo?
Entonces cada una de las que son linealmente independientes es decir que no
existe ninguna fila en el conjunto ¿de acuerdo? ¿vale? ¿Qué será una
combinación lineal trivial de matrices? ¿vale? De matrices es la
combinación lineal trivial pues en la que todos los coeficientes son nulos
es decir convierto todas las matrices fila en cero ¿de acuerdo? Es una
combinación lineal trivial ¿de acuerdo? Es decir esto de aquí los
elementos todas las filas lo convierto en cero porque esto lo multiplico
por cero pues sumo todo el rato matrices fila nulas donde eran artísticas
¿vale? Esto se llama combinación lineal trivial que en algunos casos
diremos que no nos puede dar que sea una combinación lineal ¿vale? Vale
¿qué más? Vale proposición ¿vale? Las k filas de una matriz o las k
matrices fila del mismo tamaño son dependientes si si solo si si existe
una combinación ojo con esto ¿vale? no trivial ¿vale? tal que ¿vale?
esta combinación lineal me da la matriz fila nula ¿vale? Realmente esto
es un poquito malo porque esto es una definición debería estar fuera de
la proposición ¿vale? Esto es una definición esto lo tendría que
cambiar ¿vale? Esta definición de lo que es una combinación lineal
trivial ¿vale? la definición de la proposición es esta ¿vale? Un
conjunto de k matrices fila ¿vale? que es linealmente dependiente ¿vale?
si si solo si ¿vale? existe una combinación lineal que no sea trivial es
decir no vale convertir todas las matrices fila en matrices nula ¿vale? De
tal manera que yo tenga una matriz fila nula ¿vale? ¿de acuerdo? ¿cómo
se demuestra esto? ¿o cómo podríamos demostrar esto? ¿vale? Esto es un
sí solo si es decir que es equivalente ¿no? no es la otra entonces
deberíamos demostrar oye primero mi hipótesis si yo lo demuestro en este
sentido ¿vale? ¿cuál es mi hipótesis? ¿vale? Pues que f1 fk
dependientes ¿vale? ¿de acuerdo? Entonces por definición ¿qué quiere
decir que f1 fk sean dependientes? La definición que hemos visto antes que
hay alguno que existe una de las cas ¿no? Que es combinación lineal de
las demás eso quiere decir sin pérdida de generalidad ¿vale? Yo puedo
coger una la que sea pues como por ejemplo que la f1 ¿vale? Que f1 es
alfa2 f2 más alfa k fk ¿no? Esto quiere decir que estas sean dependientes
es decir que existe una que es combinación lineal de las demás coño pues
si se cumple esto ¿qué es lo que pasa? Pues esto eso es ¿no? Pues ella
me lo pasa para el otro lado y digo joder pues que pues eso f1 más alfa2
f2 más alfa m fn es la matriz 1 ¿vale? Entonces con esto he demostrado
que si yo tengo si yo tengo k filas que son linealmente independientes
entonces ¿qué es lo que pasa? Que existe una combinación lineal no
trivial que es la matriz 2 ¿vale? Ahora habría que demostrarlo en el otro
sentido vale oye yo tengo una combinación lineal no trivial ¿vale? Ahora
lo vamos a mostrar por allá mi hipótesis a lo que es cierto es oye yo
tengo una combinación lineal no trivial de tal manera que tengo la matriz
1 ¿vale? Como demostraría entonces que este conjunto de vectores es
linealmente dependiente o que existe al menos un una matriz fila que es
combinación lineal de las demás ¿no? Tú sabes que esto ¿vale? para
demostrar esto tú sabes que esto es una combinación lineal no trivial que
me da la matriz 0 pues si es no trivial es que al menos existe un alfa alfa
sub j que es distinto de 0 al menos existe 1 sin pérdida de generalidad lo
mismo puedo suponer que es el primero alfa sub 1 es distinto de 0 ¿vale?
Si alfa sub 1 es distinto de 0 ¿vale? Suponemos por ejemplo que alfa sub 1
es el elemento que es distinto de 0 ¿vale? y ¿cómo se diría? Pues alfa
sub 1 es igual a alfa sub 1 ¿vale? Es igual a ¿podríamos decirlo? A ver
me voy para acá Está bien ¿no? que alfa sub 1 F1 ¿vale? es igual a pues
eso me voy para acá F2 más menos ¿vale? menos alfa M Fk ¿vale? Y ahora
¿qué es lo que pasa? Que como alfa sub 1 es distinto de 0 ¿qué es lo
que puedo hacer? Paso al otro lado la coma y viendo ¿no? porque es
distinto de 0 si no, no podría hacerlo ¿de acuerdo? Entonces como sabemos
que es una combinación lineal no trivial Fj son nulos ¿vale? pues este
elemento pues basta para allá ¿no? y ahí tenemos eh que hay una fila que
es combinación lineal de las demás ¿vale? entonces si hay una fila que
es combinación lineal de las demás pues se dice oye es que entonces F1 F2
Fk es linealmente dependiente ¿vale? Bueno pues eso proposición ¿no?
pues hay que si eh que si un conjunto de esta matriz es fila son
linealmente dependientes ¿vale? pues si sólo así existe una combinación
lineal no trivial tal que yo puedo convertir eh yo puedo obtener la fila
nula ¿de acuerdo? ¿vale? o dicho de otra manera ¿vale? si yo tengo eh
las filas linealmente independientes linealmente independientes la única
manera de obtener la matriz nula es la combinación lineal eso es ¿vale?
entonces si yo tengo un conjunto de K matrices fila o K vectores ya veréis
lo que es K vectores linealmente independientes la única manera de obtener
la matriz nula ¿vale? con ese conjunto de vectores es convertir todas las
filas nula ¿vale? no consigo con ninguna combinación lineal obtener la
matriz eh la matriz o el vector ¿vale? vale eh visto esto de que son que
es la combinación lineal y que son matrices fila linealmente
independientes vamos a ver el método ¿vale? entonces qué
transformaciones o qué operaciones elementales podemos hacer a las
matrices en el algoritmo o en el método de gráfico ¿vale? vamos a poder
hacer tres tipos de operaciones elementales que es intercambiar filas vale
lo he dicho todo lo que digo por filas luego se puede duplicar todo a
columnas ¿vale? intercambiar filas ¿vale? multiplicar una fila con un
escalar ¿de acuerdo? o a una fila sumarle otra multiplicada ¿de acuerdo?
denotaremos así a esto ¿no? intercambiar la fila i por la columna por
columnas joder la fila i por la fila j lo denotaremos así ¿vale? a la
fila i sumarle otra multiplicada con un escalar lo denotaremos así ¿vale?
y multiplicar una fila i por un escalar lo denotaremos así ¿no? entonces
estas son las únicas tres operaciones que podemos hacer en el método de
Gauss ¿vale? ¿de acuerdo? esas tres operaciones ¿vale? ¿sí? sí claro
¿no? vale más definiciones ¿vale? una matriz elemental de orden n es la
matriz resultante de aplicar a la matriz identidad de orden n a la
identidad alguna de las tres operaciones elementales anteriores ¿vale?
entonces cuando veamos matrices elementales que las no sé si están bien
aquí ¿vale? las matrices elementales por ejemplo cuando veis en el libro
matriz elemental que cambia la fila i por la columna f ¿vale? pues es
aplicar a la matriz identidad esto ¿vale? ¿de acuerdo? entonces por
ejemplo vamos a imaginar i3 ¿vale? matriz identidad de orden 3 que tiene 0
0 1 0 1 0 1 0 si yo tengo la matriz identidad ¿cómo consigo eso?
básicamente sería la a la fila 1 que le he hecho la he convertido en la
fila 1 más 2 veces la fila 2 ¿vale? esa es una matriz elemental ahora
veremos que si esta matriz la multiplicas por la izquierda a cualquiera de
las otras lo que hace precisamente es esa operación ¿de acuerdo? por eso
definí el producto de matrices como os dije antes porque esto que es lo
que está haciendo si esto pienso que son coeficientes bueno, vamos a ver
no hay problema pensad que tenemos esta matriz ¿vale? aquí, ¿qué
operación hemos hecho? aquí hemos hecho dos operaciones elementales
¿vale? a la fila 2 le hemos restado a la fila 1 entonces hemos dicho 1
menos 1, 0 menos 1 menos 1, menos 2 0 menos 1, menos 1 0 menos 3, menos 3
¿vale? entonces hemos dicho esta aquí, ¿se ve no? ¿sí? y ahora a la
fila 3 le hemos restado la fila 1 esta ¿vale? a la fila 3 ya restamos la
fila 1 entonces 1 menos 1, 0 0 menos 1, menos 1 1 menos 1, 0 2 menos 3,
menos 1 ahí ¿vale? ahora ¿qué factor ponen las matrices elementales?
pues oye, si a esta matriz la multiplico por esta matriz elemental que
ahora la escribiría yo y luego por esta ¿vale? entonces, esta matriz
elemental ¿qué me está diciendo? esta es la matriz elemental esta de
aquí es E vamos a ver, he cambiado colores lo he hecho mal perdonad a ver
esa esta es esa de ahí ¿vale? la que convierte la F2 la convierte en F2
menos F1 ¿vale? la matriz identidad que es lo que le he hecho o sea, la
fila 2 de la matriz identidad la fila 2 y la fila 1 entonces aquí me
aparece un menos 1 ¿de acuerdo? y ahora, ¿qué os he dicho yo cuando os
dije oye, interpretar el producto de matrices ¿vale? como combinación
lineal de filas ¿vale? pues si estos son mis coeficientes ¿vale? ahora,
aquí por filas yo he saltado coeficientes y lo que voy a hacer aquí es
combinar filas ¿vale? cuando os he dicho interpretar el producto como
combinación lineal de filas o como combinación lineal de columnas ¿vale?
entonces, esto que me está diciendo 1, 0, 0 oye, pues la primera fila
déjala igual porque va a ser una vez esta fila más cero veces esta pues
oye, la primera fila me la deja exactamente igual ¿vale? esta combinación
de aquí ¿qué te está diciendo? eso es que digas menos una vez esta más
una vez esta más cero veces esta pues justo es lo que diríamos ¿vale?
que a la fila 2 le haces de la fila 1 estos son los coeficientes y tú
estás haciendo combinación lineal por filas ¿vale? y esta lo que me
está diciendo es oye, déjame la tercera fila exactamente igual porque es
cero veces la primera fila cero veces la segunda fila una vez la tercera
fila déjame la tercera fila ¿vale? entonces, por favor intentar
interpretar el producto de matriz por lo que es ¿vale? que no es más que
estás combinando filas o combinando columnas o un combín de filas ¿vale?
entonces en este caso ¿vale? para las matrices de identidad ¿vale?
entonces aquí simplemente hemos hecho esta operación la roja ¿vale? si
os fijáis por la tercera columna que juego de la tercera fila nos ha
quedado esta forma ¿vale? ahora si queremos hacer la siguiente operación
¿vale? pues oye nos fijamos en la siguiente operación y oye a la tercera
fila le resto la primera pues oye a la matriz de identidad le aplico esta
operación ¿qué se aplica a esta operación? pues simplemente un menú y
ya está son tres pasos y lo interpreto exactamente igual esta primera fila
que me dice oye pues aquí la fila que va a sacar es la combinación lineal
de una vez esta fila cero veces esta es decir déjame la primera fila
exactamente esto de aquí lo mismo oye cero veces la primera fila una vez
la segunda cero veces la segunda cero veces la tercera déjamela esta
última y esta es la que me está haciendo la operación que yo he definido
¿vale? me está diciendo oye pues a la tercera fila a la tercera pero esta
es la primera ¿vale? ya tenemos eso ¿de acuerdo? entonces aplicar a la
matriz identidad la operación ¿vale? la operación elemental de
cualquiera de los tres tipos ¿vale? si la multiplicamos por la izquierda
multiplicamos por la izquierda que es directamente hacer esa operación a
la matriz original ¿se entiende? ¿alguna duda hasta aquí? no, no queda
claro pues eso definición de lo que es la matriz elemental ¿vale? lo que
decía es oye realizar una operación elemental a una matriz A es
equivalente a multiplicar A por la izquierda por la matriz elemental que
corresponde a dicho parámetro ¿vale? ¿de acuerdo? si estuviésemos con
columnas ojo porque lo único que hay que hacer es poner la matriz
elemental por columnas en la derecha en la izquierda ¿vale? que yo creo
que eso no merece la pena que lo hagamos porque si no duplicamos toda la
clase ¿vale? si estuviésemos haciendo operaciones elementales por
columnas la matriz elemental no se pone aquí ¿vale? se pone al otro lado
y aquí a la derecha interpreto que tengo los coeficientes y en la
izquierda interpreto que estoy haciendo combinaciones de columnas ¿listo?
¿vale? ¿qué más? más definiciones vamos a definir lo que es un pivote
en el método de Gauss ¿vale? lo que es un pivote lo que es una matriz
escalonada y lo que es una escalonada reducida ¿vale? que son conceptos
importantes ¿vale? cuando hagamos el método de Gauss ¿de acuerdo?
entonces ¿qué es un pivote? es el primer elemento no nulo de cada una de
las filas de una matriz ¿vale? una matriz nula y el frente no tiene
ningún ¿vale? ¿de acuerdo? lo mismo si estuviésemos por columnas y
hiciésemos esto por columna pues lo mismo sería el primer elemento no
nulo de cada una de las columnas ¿vale? ¿qué es una matriz escalonada?
pues una matriz escalonada será la que cumple esta dos propiedades ¿vale?
que si tenemos K filas nulas estas siempre están al final de todo abajo de
todo con las últimas filas ¿vale? y luego será escalonada si todo pivote
de A ¿vale? tiene más 0 a su izquierda que el pivote de la fila anterior
y esta propiedad que hemos dicho aquí no aplica ¿vale? a la primera
¿vale? o sea que básicamente una matriz escalonada por ahí pues se hará
es ¿vale? es decir que si aquí tengo un pivote aquí tengo un 3 ¿vale? y
aquí tengo un 1 ¿vale? pues la aquí no sé 4 lo que me está diciendo es
oye este pivote tiene que tener más 0 a su izquierda que los anteriores es
decir este tendrá pues 1 2 3 4 ¿vale? y este los anteriores pues este
tendrá 3 y el primero tiene 0 ¿vale? y este por los que tenga 4 y otro 4
¿vale? eso sería una matriz escalonada aquí el resto salga de los pies
podéis poner ¿vale? matriz escalonada el primer elemento no nulo esos
serían los pivotes el primer elemento no nulo de cada una de las filas
esos son pivotes ¿vale? pivotitos y para que sea escalonada pues oye lo
que hemos dicho aquí ¿vale? que todo el pivote de A tiene más 0 por su
izquierda que el pivote de la fila anterior ¿vale? pues un ejemplo de
matriz escalonada ¿de acuerdo? ¿y qué es una matriz escalonada reducida?
pues es escalonada reducida si es escalonada adicionalmente todos los
pivotes son 1 o sea que ahí por ejemplo deberíamos de poner todo 1 y
además en su columna son el único elemento no nulo ¿vale? es decir
tendría que tener ahí 1 ahí 1 y además este aquí 0 y este 3 cerizos
por arriba ¿vale? eso sería escalonada reducida ¿vale? ¿entendido? lo
que es un pivote lo que es una matriz escalonada y lo que es una matriz
escalonada reducida ¿sí? lo que es en las otras columnas ¿vale? a ver
está mal mal escrito todos los elementos de A en la misma fila puntivo que
son esto es este A esto debe ser el columna ¿no? lo que decía es o doy o
te llamo a Laura Laura es eso ¿no? lo que decías ¿verdad? esto errores
oye fijaros de verdad porque yo pues eso también también me meto las
patas muchas veces ¿sí? la verdad ¿vale? entonces efectivamente ¿vale?
ahí columna ¿vale? y que no estás preguntando tú lo mismo ¿está lo
mismo o no? en las otras columnas no hay pivote porque no serían el primer
elemento no nudo o sea por ejemplo este aquí imagínate que aquí hay un 2
eso eso no se llama pivote porque no es el primer elemento no nudo de la
fila ¿vale? ahí da igual o sea lo que he dejado vacío da igual el valor
que sea ¿vale? pero eso no se llamaría pivote ¿vale? porque un pivote es
el primer elemento no nudo de una fila ¿vale? vale y o sea eso lo que lo
que he dicho a vuestra compañera ¿vale? en el resto que está en blanco
puede haber el valor desde la ala ¿vale? y seguiría siendo escalonada
reducida ¿sí? ¿claras las definiciones de pivotes escalonadas reducidas?
bien pues bueno un ejercicio si queréis dar una vuelta retornemos yo creo
que es rápido os dejo un minuto y comentamos venga ¿ya habéis dado una
vuelta? ¿sí? la primera ¿qué es? escalonada escalona reducida ¿la
primera es escalonada? porque no tiene nada no es escalonada a ver que
comentáis de casa ¿por qué no es escalonada? Laura ¿por qué no es
escalonada? lo veo coinciden los pivotes no porque tienen el mismo número
de ceros a la izquierda ¿no? la segunda y la tercera tienen el mismo
número de ceros a la izquierda ¿no? o sea un número menor que la
anterior un número de filas eso es un número de ceros pero es menor que
la anterior ¿vale? mira todo pivote de A tiene más ceros a su izquierda
más más estricto ¿vale? más número de ceros a su izquierda que el
pivote de la fila anterior ¿vale? más estricto no mayor o mayor más
¿vale? entonces ¿qué es lo que pasa aquí? que esta no es escalonada
¿vale? o si quieres cuando dibujas de manera rápida cuando dibujas yo no
puedo afilar un escalón de dos tengo que ir de uno en uno siempre ¿vale?
tú cuando dibujas la escalonita si quieres es una manera muy simple es
decir oye lo que no puedo hacer aquí es escalones de dos o de tres en vez
de dos de tres y aquí hacia la derecha los que me salga de los pies el
escalón ¿vale? o sea por ejemplo esto puede ser cero y cero pues sería
escalonada lo que podéis hacer así raca y esto puede ser cero y cero
escalonada o incluso bueno pero entonces no si quiera así ya no sería
escalonada ¿vale? ¿se entiende no? vale pues esta mi escalonada y si bien
que no tiene escalones no es escalonada reducida esta es escalonada la
segunda esta sí ¿vale? cada pivote tiene más ceros a la izquierda
¿vale? esta es escalonada lo que decíamos pues vale los escaloncitos son
de tamaño uno ¿vale? escalonada ¿es reducida? no pues porque
directamente los pivotes no son la unidad ¿vale? y ahora esta y esta es
escalonada esta es escalonada y reducida como hemos comentado cada pivote a
su izquierda tiene más ceros que el de la fila anterior y adicionalmente
todos los escalones los pivotes todos los pivotes son la unidad y además
en su columna son el único elemento no nulo ¿vale? escalonada reducida
¿de acuerdo? ¿sí? ¿alguna duda? venga seguimos ¿qué más? no tienes
equivalentes ¿de acuerdo? eh no sé si habéis visto creo que no eh si
habéis eh dado al quebranolíneas que creo que es segundo ¿no? el tema de
los grupos anillos igual la relación de equivalencia ¿vale? eh tampoco es
necesario básicamente una relación de equivalencia o una relación que es
transitiva reflexiva y sin que ya lo veremos adelante cuando veáis al
quebranolíneas ¿de acuerdo? pero cuando transformamos cuando
transformamos matrices en el método de Gauss ¿de acuerdo? o con alguna de
las tres eh de las tres transformaciones que hemos visto ¿vale? eso define
una relación de equivalentes ¿vale? ¿de acuerdo? entonces en dos
matrices ahí veis son equivalentes de filas no se puede decir por columnas
¿vale? es igual que se denota así las relaciones de equivalencia
normalmente pues eso lo veréis así se denotan así en los libros ¿vale?
entonces dos matrices son equivalentes si se puede transformar una en otra
mediante una sucesión finita de operaciones ¿vale? ¿de acuerdo? entonces
esta matriz es equivalente a esta ¿vale? se diría oye esta matriz es
equivalente por filas a esta ¿vale? cuando se dice que es simétrica
transitiva pero simétrica ¿vale? transitiva y reflexiva simétrica es que
pues ahí se cumple esto ¿vale? transitiva es que si A es equivalente a B
y B es equivalente a C pues entonces A es equivalente a C ¿vale? y
simétrica es que si A es equivalente a B pues entonces B es equivalente
bueno pues son tres propiedades dos tres transitiva reflexiva y simétrica
¿vale? entonces una relación que cumple esas tres propiedades se dice que
es una relación de química ¿vale? pero bueno ya lo veréis en algebra no
línea creo que es de segundo curso ¿vale? entonces cuando definimos oye
cuando vamos transformando matrices con operaciones elementales nuestras
tres propiedades de operaciones elementales como definimos en el método de
la hoja se define una matriz una relación equivalente ¿vale? una
relación equivalente que cumple las tres propiedades ¿de acuerdo?
entonces en este ejemplo pues esta matriz A y esa matriz B serían
equivalentes ¿vale? ¿por qué? pues oye como hemos pasado de aquí a
aquí pues creo que es la misma matriz del ejemplo anterior si ¿vale? creo
que es exactamente la misma desde aquí a aquí hemos hecho dos operaciones
elementales ¿vale? que es pues a la segunda fila restarle la primera y a
la tercera fila restarle la primera ¿vale? y luego una última eh no aquí
hemos hecho dos ¿no? eh a ver ¿no? eh vale esta multiplicarla por menos
uno se convierte en esta multiplicarla por dos y sumarse la que sale
¿vale? desde aquí a aquí creo que hemos hecho eso bueno hemos hecho tres
la verdad voy a ver si la despliego ¿vale? la fila tres la hemos
convertido en menos la fila tres ¿vale? y luego la fila dos la hemos
convertido en la fila dos menos dos de la fila tres y luego lo que hemos
hecho es cambiar la fila dos por la fila tres ¿si? ¿vale? ok y ya veréis
¿vale? pues aquí hemos hecho otras dos dos operaciones vale entonces en
total hemos hecho cinco operaciones elementales y digamos que la matriz A
es equivalente por filas a la matriz B esta matriz es escalonada ¿y es
reducida? no ¿vale? porque los pivotes eso tendría que ser cero y eso
tendría que ser cero pero eso no es pues uno es reducido ¿cómo
conseguiríais una matriz reducida? rápidamente ahí con dos operaciones
elementales rápidas voy a borrar esto ¿vale? de la fila uno de la fila
tres eso es ¿vale? a la fila uno le restamos por ejemplo a la fila tres
¿vale? entonces en un paso diríamos bueno estas dos vamos a sacar un cual
que está muy bien muy bonito ¿vale? y ahora lo que haríamos es a la fila
tres perdón a la fila uno le restamos a la fila tres nos quedaría cero
uno ¿vale? y ahora con otra operación elemental a raíz de este uno
tenemos que editarla y nos quedaría uno y ahora a la primera fila le
restamos la segunda entonces nos quedaría dos menos uno uno cero uno y
ahora esta ya sí que es escalonada y reducir ¿vale? esto es transformar
matrices con operaciones elementales ¿vale? lo que se obtiene es una
relación equivalente ¿vale? entonces las matrices son equivalentes
¿vale? se puede pasar de una a la otra con operaciones elementales ¿de
acuerdo? ¿vale? entonces teorema importante ¿vale? porque ya básicamente
habéis visto un poquito anteriormente ¿vale? toda matriz por operaciones
elementales o multiplicando por la izquierda por matices y mentales puedo
llegar a obtener una matriz escalona para demostrarlo esto que está
escrito pero yo recomiendo pero es básicamente escrito y esto no es más
que un algoritmo o un proceso que si yo lo sigo siempre a cualquier matriz
voy a obtener al final si tú sigues este procedimiento al final vamos a
ver para demostrar que se describe el algoritmo pasito a pasito de
transformación pues buscamos la primera columna de la matriz con algún
elemento no vale podemos suponer por ejemplo que es la columna la primera
columna tenemos un elemento que es lo que hacemos buscamos en esa columna y
la primera fila con el elemento distinto un pivote, ¿vale? En la posición
1J. ¿De acuerdo? Ahora, ¿qué es lo que haremos con ese pivote? Raca todo
cero para abajo. ¿Con qué operación? ¿Con qué operación elemental?
Con ese pivote, ¿vale? Con ese pivote vamos haciendo cero por debajo.
¿Bien? A ver, voy a escribir, ¿vale? La pizza. Igual este es no sé si
contamos un poco contra. Pero bueno, a ver lo que hemos hecho. ¿Vale?
Imaginaos lo que hemos dicho. Oye, la primera columna que tenga un elemento
no nulo. Vale, pues hemos cargado que me llegaba aquí. 2, 3, 4. Aquí
sigue el matrimonio. ¿Vale? Aquí hemos dicho, oye, hemos cogido la
primera columna que tenga algún elemento no nulo. Dijimos, vale, esta es
la tercera. Esa es mi J. Mi J de la demostración. ¿Vale? Ahí. Hemos
llegado hasta ahí. Y le decimos, oye, en esa columna J buscamos en esa
columna la primera fila con un elemento distinto de cero. ¿Vale? Venga,
pues me paro aquí, en el 2. El 2. Y digo, oye, ahora lo primero que hago
es operación elemental. Cambio mi fila 2 para que sea la primera. Y tener
en la primera fila un pivote. ¿Vale? Entonces tendríamos aquí ahora el
cero, cero, dos, lo que venga por detrás de 1, 2. ¿Vale? Aquí
tendríamos la cero, cero, cero, cero, 3, 0, 4. ¿Vale? Y lo que venga por
detrás de esa tránsito. ¿De acuerdo? ¿Qué es la siguiente operación
para yo conseguir una matriz escalonada? Eso es. Entonces, ¿qué
operación voy a hacer aquí? ¿Qué operación voy a hacer aquí? Con el
pivote, con el 2 hago pa, pa, cero para abajo. Con el pivotito ese.
¿Cómo? Pues aquí lo que diríamos es voy a la fila 3, la vas a convertir
en la fila 3, pero le vas a restar, ¿vale? Tres medios de la fila 1.
¿Vale? ¿De acuerdo? Entonces aquí esto, pum, va. En el siguiente nos
convierte en un cero, ¿no? Tenemos 0, 0, 2, el 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.
¿Cómo haríamos aquí un cero? Lo mismo. Hacemos la fila 4, la
convertimos en la fila 4, menos 2 veces la fila 1. ¿Vale? Entonces ya
tendríamos 0, 0, 0. Perfecto. Esto ya empieza a tener una forma
escalonada. ¿Vale? Y ahora lo que tengo que hacer es el mismo
procedimiento pero empezando aquí. Lo que acabo de hacer aquí, pues ahora
empiezo en esta submatriz de aquí abajo. Me olvido de la fila 1. ¿Vale?
¿Se entiende? El algoritmo para conseguir siempre, con este algoritmo,
siempre llego a obtener una matriz escalonada. ¿Vale? Bueno, vamos a
comentar la siguiente operación. Entonces aplica la operación elemental
de tipo 1 para obtener el pivote ahí. ¿Vale? El pivote lambda en la
posición 1J. ¿Qué es lo que hacemos? Aplicamos las operaciones en el
tipo 2 para obtener ceros por debajo del pivote situado en 1J. ¿Vale? Si
la matriz que he obtenido ya es escalonada, hemos terminado. Y en caso
contrario dejamos la primera fila fija y hacemos el mismo algoritmo desde
el punto inicial con el resto de la submatriz. ¿Vale? Entonces con este
algoritmo ¿Vale? ¿De acuerdo? Se llega a obtener una matriz escalonada.
¿De acuerdo? Ahora, yo os recomiendo. ¿Vale? Pues vais al teorema miráis
en el libro y veis esto que hemos descrito así el lenguaje natural y de
casa. ¿Vale? Este algoritmo se entiende para demostrar que es matriz.
¿Vale? Para que uno sabe cuándo el lenguaje de las demás. ¿De acuerdo?
¿Vale? Bueno, pues listo. ¿Vale? Entonces, ejemplo. ¿Vale? Famos este
ejemplo y nos vamos para casa. Bueno, si me arrepiento, si lo arrepiento
muy rápido, pues ¿Vale? Vale, entonces, algoritmo. ¿Vale? Que es lo que
tenemos que empezar. Oye, me cojo la primera columna, que sea no nula o con
algún elemento no nula. Y digo, vale, oye, primera columna, pues mira me
cojo esta primera columna y tiene un elemento perfecto. Oye, lo que quiero
es que este 3 esté arriba de todo. ¿Vale? Pues ¿Qué operación hago
aquí? Pues aquí simplemente cambio la fila 1 por la fila 2. ¿Vale? Y ya
tengo ahí mi tu bote. ¿Vale? Tengo ahí mi tu bote. ¿Qué es lo
siguiente que tengo que hacer? 0 por debajo. ¿Vale? Pues ya tengo dos
ceros. Lo único que tengo que hacer es aquí un 0. Hay un 0. ¿Cómo? Pues
voy a la tercera fila. ¿Vale? Aquí lo que estoy haciendo es a la fila 3
la vas a convertir en la fila 3 menos la fila 1. ¿Vale? Entonces, 3 menos
3, 0. 6 menos 6, 0. 0 menos 1. Menos 1. Menos 1, menos 2, menos 3. ¿Vale?
Ahora, ¿Esta matriz es escalonada? No, pues el algoritmo no ha terminado.
¿De acuerdo? Entonces, me voy a la siguiente fila y digo, oye, ahora me
olvido de esta fila. Y vuelvo a aplicar el mismo algoritmo de antes. Oye,
busco la primera columna que no sea toda nula y digo esta no, esta no,
esta. Y me quedo con el primer elemento no nulo. ¿Vale? ¿Vale? Por
ejemplo, el 2. ¿Vale? Entonces, con ese 2, tengo aquí mi tibote, es
exactamente igual que antes. ¿Vale? Es seguir el algoritmo, el mismo paso.
Otra vez voy a ir con este. ¿Qué es lo que tengo que hacer? 0 por debajo.
¿Vale? ¿De acuerdo? ¿Vale? Vale, entonces, ¿qué operación hacemos
aquí? Pues la que hemos dicho antes, ¿no? Como aquí tengo un menos 1, lo
que tendría que hacer es a la fila 3 y a ver para hacer la fila. Vale, me
parece bien esto. Lo mismo que antes, ¿vale? En vez de multiplicar por
sumar un medio, dices que esta la multiplicas por 2, ¿no? 2 y la sumas la
fila 2, ¿no? ¿Vale? Entonces, esta por 2, esta se va a convertir en un
menos 2, menos 2 más 2, 0. Esta se va a convertir en un menos 6, menos 6
más 6, 0. ¿Vale? Ahora, ¿cómo convierto aquí en un 1? ¿Qué
operación hago aquí? Lo mismo que he dicho antes, ¿no? Si quiero, pues,
a la fila 4, 2 veces la fila 4, ¿no? Y el resto, la fila 2, ¿no? ¿Vale?
Entonces, 2 menos 2, 0 y 10. 10 menos 6, esto es un 4, ¿no? Un 4 como una
casa, ¿no? Pues, esto es un poco espeso. Sí. 10 menos 6, ¿no? 10 menos
6, 4. Vale, pues, esto está fácil. Pero, no. 4, eso es un 4 como una
casa. ¿Vale? Dicho esto, ahora, oye, me olvido de estas dos primeras
filas, ¿vale? Porque ya he conseguido 0 por debajo de mi... Debajo del
pivote y otra vez aplico el mismo algoritmo. Oye, me busco ¿cuál es la
primera columna? No nula, pues esta, la última. Me busco el primer
elemento no nulo, el 4, y me lo pongo el primero. ¿Vale? Pues, oye.
¿Cómo? ¿Y que la fila 4 restas la mitad de la segunda? Sí, sí, sí. O
sea, este 4, pues, lo puedes multiplicar por un medio. Otra operación
elemental. Eso es. ¿Vale? Pero aunque así no quedaba claro, ¿no? Lo que
habías hecho. Claro, y esta la puedes convertir en 1, 3. 1, 3, 2, 1. 1, 3
y 1. Y sería otra operación. ¿Vale? Entonces, con eso que has dicho,
sirve para lo siguiente que podemos ver. Oye, ¿toda matriz es equivalente
a única, a una única matriz escalonada? No. ¿Vale? Esto, que es lo que
veremos el próximo día. ¿Vale? Toda matriz es equivalente por filas a
una matriz escalonada. Pero esta matriz escalonada no es única. Luego, si
lo que vemos, lo que veremos el próximo día es toda matriz es
equivalente, por filas, a una matriz escalonada reducida. Y esa matriz
escalonada reducida sí que es única. ¿Vale? Eso es lo que veremos el
próximo día. ¿Vale? Porque se nos acaba el tiempo. ¿Vale? Entonces,
cuidado con esos dos teoremas. Toda matriz es equivalente a una matriz
escalonada. Pero esa matriz escalonada no es única. Luego, lo que veremos
en el siguiente teorema es toda matriz es equivalente a una matriz
escalonada reducida. Y esa matriz escalonada reducida sí que es única.
¿Vale? Venga. Oye, me quedo como tarea a ver cómo puedo compartiros de
manera sencilla porque en el campus no hay las clases de reglas. ¿Vale? Me
lo quedo como tarea. Y nos vemos la semana que viene. Venga, gracias a
vosotros por asistir a clase. Hasta la semana que viene.