Hoy vamos a hacer la primera parte, vamos a hacer un curso de maturación
en la cadena, que va a ser la cuenta de ejercicios, cuando viene el
ejercicio se va a ir al año anterior, cuando viene el ejercicio se va a ir
al año anterior, cuando viene el ejercicio se va a Vamos a hacer dos
preguntas cerradas con otras materias, y aquí vamos a hacer básicamente
tres cosas. El primer ejercicio va a constar cinco ejercicios de siete
partes, ¿vale? Realmente siempre suele entrar en la última parte, o
menos, porque es el año, y hay unos ejercicios que diría que también
suelen poner una fecha, ¿vale?, que diría que es el número, ¿vale?, que
son los últimos, los últimos años y siempre habría cinco ejercicios,
¿vale? Bueno, tal vez de eso, ¿eh? En el ejercicio hoy vamos a empezar
por, hoy vamos a empezar por el tema este, ¿vale?, con los tres
preliminares, ¿vale?, y entonces en continuidad de funciones vamos a
buscar los mínimos, ¿vale?, y todo esto, ¿eh? A ver, a ver si oye más
ahora, pasamos, ¿vale?, aquí, ¿eh? O sea, hoy vamos a tratar de números
complejos, ¿vale?, continuidad de funciones, dominios, ¿vale?,
representación gráfica de funciones, esto es lo que tratará básicamente
esta sesión, ¿eh? Diferentes ejercicios que han salido en exámenes
anteriores. Estos son los preliminares, apéndice número, números
complejos, capítulo uno, límites y continuidad, apéndice tres, funciones
contiguas, ¿vale? Dice cuál es el dominio, ¿vale?, y el rango, rango
quiere decir el recorrido de la función f de x igual a raíz cuadrada de
ocho menos dos x. Bueno, esto lo voy a enviar por acá dentro, o sea, si
queréis tomar notas y tal, pero si no, que funciona correctamente, ¿eh? Y
viene prisa y tal, a lo mejor no podéis. Entonces, lo vais a decir, ¿eh?
O sea, mañana o el siguiente día, pues, si queréis, este f de x, ¿eh?,
¿vale? Ya estaba grabando, a ver si puedo después. Bueno, aquí dice
cuál es el dominio y el rango de f de x, ¿vale? Por tanto, para buscar el
dominio, ¿qué tiene que ser? Como es una raíz cuadrada, tiene que ser
ocho menos dos x mayor o igual que tres, ¿vale? Esta inequación, la
solución es, si pasamos al otro lado, sería menos dos x mayor o igual que
menos ocho, por tanto, la x sería menor o igual, porque si dividimos por
menos dos, le cambiamos el signo de la raíz cuadrada, por tanto, x menor o
igual que cuatro, ¿vale? Por tanto, sería de menos infinito hasta cuatro,
¿vale? Esto sería el dominio, que podemos poner de esta forma, de f igual
a menos infinito, siempre abierto, y el cuatro cerrado, ¿vale? Fijaros que
el cuatro se constituyó, le quedaría ocho menos dos por cuatro es ocho,
este sí que está dentro, pero, por ejemplo, si tomo un número mayor que
cuatro, ¿vale? Sería, por ejemplo, el cinco sería ocho menos diez, por
tanto, la raíz de menos dos no existe en el número de la raíz, ¿vale?
Por tanto, el dominio es el intervalo cerrado por cuatro abierto menos
infinito, o sea, menos infinito, los extremos infinitos siempre son,
¿vale? Es una tendencia, pero no es un valor, ¿vale? Bueno, después
podemos observar, si se puede, si calculamos el límite, cuando x tiende a
menos infinito, f de x, esto sería más infinito, ¿vale? Si aquí
sustituyo la x por valores muy grandes negativamente, ¿vale? Me quedará
un número bastante grande, ¿vale? No tanto como el que sustituyo, porque
es una raíz cuadrada, pero esto tendría a más infinito, ¿vale? Por
tanto, y f de cuatro es cero, por tanto, ¿de dónde irá esto? Irá de
cero a más infinito. En fin, los números que se van a multiplicar son los
valores que son imagen de los de dominio, ¿vale? Los valores que toma la
función. Esta función que si hacemos la derivada de ocho menos dos x, o
raíz cuadrada, es... sería menos uno partido por raíz cuadrada de ocho
menos dos x, que siempre será negativa dentro de este dominio. Por tanto,
la función siempre será decreciente porque la raíz de ocho menos dos x,
ya hemos visto que siempre es igual a positiva, pero con el menos delante,
la función siempre es decreciente, entonces, creciente. ¿Vale? Por tanto,
el recorrido será de 0 a más infinito. ¿Vale? Por tanto, aquí ya
estaría resuelto. ¿Vale? Mejor poner esto también, no solo limitaros a
poner el dominio, ¿vale? Ojo, es agregar esta en la ecuación, que es
fácil, ¿vale? Poner esto del límite, ¿vale? Para añadir el recorrido.
Otro ejercicio dice dibujar la gráfica de la función x cuadrado menos 1
partido por x cuadrado menos 4. La gráfica es esta, pero si acaso la vamos
a comentar. Es que hay mucha intensidad y no se apreta. La idea es que
está en la presentación. Sí. ¿Esta primera? Sí. Bueno, no sé yo... Es
el proyector. No sé si os paramos de acá. Es el proyector, ¿no? Un poco.
Muy bien. Ahora se ve mejor o... Sí. Bueno, la segunda tendremos a...
¿Esta? Pero... ¿Se ve mejor ahora o no? No sé, a mí. A mí no lo sé.
Bueno, a ver, esto, la gráfica es un poco trazo muy fino, ¿vale? La
gráfica es... Bueno, ahora vamos a ir abriendo los elementos, ¿vale? Las
asíndotas verticales, ¿cuáles son? Los valores que anotan el
denominador, ¿vale? Por tanto, sería x al cuadrado menos 4 igual a 0. Por
tanto, serían menos 2 y 2. ¿Vale? Fijaros que si yo sustituyo por menos 2
y yo por 2, la función salta ahí. ¿Vale? Aquí habría una simetría
igual a menos 2 y 2. Después, presenta simetría par. Si yo sustituyo
menos x, tendría, o sea, f de menos x sería igual a menos x al cuadrado
más 1 partido por menos x al cuadrado menos 4. Menos x al cuadrado sería
x al cuadrado y, por tanto, tendría x al cuadrado menos 1, x al cuadrado
menos 4. Por tanto, esta gráfica es simétrica respecto a la f y. ¿Vale?
Los puntos de corte son, con los f, ¿vale? Es igual a 0, ¿vale? La
función x, x al cuadrado menos 1 partido por x al cuadrado menos 4 igual a
0 sería el número igual a 0. Por tanto, sería x al cuadrado menos 1
igual a 0. Por tanto, la x al cuadrado sería igual a 1. La x sería la
raíz de 1 que sería más 0. Por tanto, la f sería menos 1, 0 y el
número 0. ¿Vale? Con la f y sustituyo la x por 0, me quedaría 0 al
cuadrado menos 1 sería menos 1 y partido por 0 al cuadrado menos 4 sería
menos 1, 4. Por tanto, sería menos 1, 4. Punto de corte, ¿vale? De f y
sería este, sería el punto 0 a 0, 1, 4 y este sería menos 1, 0 y 1, 0.
¿Vale? Bueno, si buscamos la derivada ¿vale? La derivada del cociente
sería la derivada la derivada del cociente o la derivada de 2x por x al
cuadrado menos 4 menos x al cuadrado menos 1 por 2x que es la derivada de x
al cuadrado menos 4 partido por x menos 4 al cuadrado. Si hago operaciones
aquí tendré 2x cubo menos 2x cubo se va tendré menos 8x más 2x tendré
menos 6x. Por tanto, me quedaría menos 6x partido por x al cuadrado menos
4 elevado al cuadrado. ¿Vale? Por tanto, el signo de la derivada me
depende básicamente del numerador, ¿vale? De esto. El signo de este
factor. Porque abajo tengo un cuadrado. ¿Vale? Por tanto, posibles
intervalos de crecimiento y decrecimiento. ¿Vale? A los intervalos de
crecimiento y decrecimiento ¿vale? Se tienen que tener presente también
los valores que no forman parte del dominio. Los valores que no forman
parte del dominio están aquí. No los he puesto aquí. Los valores que no
forman parte del dominio son también los dos libros. Allí donde hay las
asíntotas del total. ¿Vale? O sea, para x igual a menos 2 y x igual a 2
la función no está definida. Porque arriba tendría un número y abajo
tendría cero. ¿Vale? Por tanto, la función salta al infinito. ¿Vale?
Por tanto, estos valores no forman parte del dominio. O sea, el dominio
sería igual todos los números reales menos el menos 2 y el menos 2. Este
sería el dominio. Para hallar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento tengo que tener presente los valores que anulan la derivada.
Y los que no forman parte del dominio en las funciones racionales.
Entonces, aquí tenemos que los posibles intervalos de crecimiento y
decrecimiento serían el que va de menos infinito a menos 2. Aquí
obtenemos la derivada sobre ese índice igual a cero. Por tanto, tendría
de menos infinito a menos 2, de menos 2 a cero, de cero a dos y de dos a
más infinito. Tengo esto. ¿Vale? La derivada es positiva en los
intervalos menos infinito menos dos. Cuando la equis es negativa ¿vale?
Esto es positivo ¿vale? Menos 6x es positivo por tanto la función es
creciente y cuando la equis es positiva ¿vale? En cero a dos y dos más
infinito la función es decreciente. Por tanto, la función será creciente
en los intervalos menos infinito menos dos y menos 2 a cero ¿vale? Y
decreciente en cero a dos y dos más infinito. ¿Vale? El punto pf ¿vale?
El punto p3 sería un máximo local. ¿Vale? O sea, la función hasta aquí
¿vale? Hasta aquí sería creciente ¿vale? O sea, hasta aquí ¿vale?
Esto de aquí sería aquí decreciente. O sea, de menos infinito a menos
dos tendría aquí separado porque aquí hay como un corte ¿vale? Después
también sería de menos dos a cero. De cero a dos sería decreciente.
También hay un corte que es alto infinito y después aquí estaría en dos
¿vale? Y la función sería siempre decreciente ¿vale? Hasta ir a parar a
la recta esta que sería la síndota horizontal. Esta sería la síndota
horizontal que sería y igual a uno ¿vale? Para ir a la síndota
horizontal busco el límite cuando x tiende a más menos infinito de x
cuadrado menos uno partido por x cuadrado menos cuatro. Por tanto, busco
este límite que esto lo puede poner igual al límite cuando x tiene más
menos infinito de x cuadrado partido por x cuadrado porque la tendencia me
lo marca la variable de mayor grado al infinito. Por tanto, sería igual a
uno ¿vale? Por tanto, esta a la recta igual a uno es la síndota
horizontal. ¿vale? Por tanto, tendría estas representaciones simétricas
¿vale? Aquí sería un punto este de curtiéndolo a la derivada que es
paréntesis igual a cero ¿vale? Aquí es decreciente antes y después, o
sea, creciente antes y después decreciente. ¿vale? Y aquí la función
siempre empieza menos infinito está cerca de la síndota horizontal y
después crece ¿vale? Después aquí salta aquí abajo le abría la
síndota dos la síndota vertical ¿vale? ¿de acuerdo? Aquí va a parar
entonces aquí salta aquí abajo ¿vale? Entonces viene aquí y me va a dar
síndota que sería un dos ¿vale? Esta sería la síndota vertical, equis
igual a menos dos y esta sería equis igual a dos y esta sería i igual a
uno que sería la última. Por tanto esto no sólo es dibujar la gráfica
sino que es hacer un poco los cálculos ¿vale? Para la representación.
Asimetría, asíndotas, crecimiento de crecimiento ¿vale? Básicamente
esto ¿vale? Y dominio, dominio sí para formar los intervalos. Aquí hay
otro que dice resolver la inequación x más uno. Valor absoluto mayor que
x menos tres valor absoluto. En este caso ¿qué hay de valor absoluto? Lo
mejor es elevarlo al cuadrado a cada lado ¿vale? Si el valor absoluto de x
más uno es mayor que el valor absoluto de x menos tres pues los cuadrados
también ¿vale? Por tanto entonces desarrollo esto sería x cuadrado más
dos x más uno mayor que x cuadrado menos seis x más uno. Aquí puedo
cambiar de lado ¿vale? Como si fuera una ecuación. Si tengo este x
cuadrado y este x cuadrado esto se baja. El seis x que está restando lo
pasa lo paso y sumamos ahí. Dos x más seis x sería ocho x y el uno lo
paso al lado derecho restando, por tanto le quedaría ocho x mayor que ocho
por tanto la equis tiene que ser por tanto la solución serían todos los
puntos a la derecha del uno sin tomar el uno porque ahora en seguridad es
estricta. Pero si fuera mayor o igual el uno también entraría pero en
este caso dice estrictamente mayor. Por tanto la solución sería mayor o
igual. La solución es la semirrecta de uno a y tengo uno ¿no? Tengo uno y
el cero es hacia más uno. ¿Se da la cuadra? ¿No es la única manera de
eliminar el valor absoluto? Bueno, la única no pero es la más la más
factible. Por tanto tendría que ser x porque entonces tendrías además si
hay dos aún es más podría puedes poner definición de valor absoluto
entonces tendrías que buscar dos posibles soluciones ¿vale? O sea menos
uno y más el otro. Vale, dice si f es igual a x más uno partido por x y f
compuesto con g la composición de funciones ¿vale? es igual a x dice
hallar la expresión de g ¿vale? O sea f compuesto con g de x es por
definición f claudátolo paréntesis g de x O sea aquí me dicen que f de
x es esta ¿vale? Es x más uno partido por x dice ¿cuál es la expresión
para g de x? A partir de aquí yo sé que componiendo f en este caso fg de
x es igual a claudátolo paréntesis g de x esto la composición me da
igual a x ¿qué tengo que hacer? f compuesto con g de x si yo buscara f de
3 ¿qué haría? sustituiría a la x por 3 tengo f de 3 3 más uno partido
por 3 si busco f de 4 sustituiría a la x por 4 si buscara sustituiría a
la x por 4 si busco f g de x ¿qué tengo que hacer? sustituir la x por g
de x f compuesto con g de x sería g de x más uno partido por g de x en
vez de x pongo g de x por tanto tengo la igualdad g de x más uno partido
por g de x igual a 1 y ahora tengo que despejarlo a g de x aquí paso a g
de x multiplicado al otro lado me queda g de x más uno igual a x g de x
como tengo que despejar la g de x paso al lado izquierdo me quedaría g de
x menos x g de x igual a menos uno saco al lado izquierdo y paso al lado
derecho por tanto saco factor común la g de x g de x igual a 1 sería por
1 menos x igual a menos 1 saco factor común la g de x me quedaría g de x
partido por g de x es uno y x g de x partido esto es un miembro tanto me
quedaría esto me quedaría g de x igual a menos uno partido por el otro o
si quiero quiero tener el positivo número multiplicado por menos uno
arriba y abajo me quedaría uno arriba y abajo me quedaría x menos uno por
tanto ya tendría la g de x esto es fácil simplificar el número complejo
y ponerlo la forma dinámica a más i b a sería la parte real y b la parte
material tengo un número complejo z igual a i partido por 1 más i raíz
de 3 yo aquí para poner esto cuando tengo un cociente siempre multiplico
el denominador si tengo uno más i raíz de 3 multiplico por uno menos i
raíz de 3 para tener una diferencia de cuadrados en el denominador
entonces yo veo que tengo que multiplicar por el conjugado de este o el
conjugado si este es más sería menos si fuera menos sería con más por
tanto como este es más multiplico arriba por uno menos i raíz de 3 por
tanto tendré menos i raíz de 3 partido por uno más i raíz de 3 por uno
menos i raíz de 3 por tanto aquí lo que tengo que hacer abajo que tendré
tendré a uno al cuadrado menos i raíz de tres al cuadrado sería tres y
cuadrado arriba hago operaciones también tendré i por uno es i y i por
menos i sería menos i cuadrado raíz de tres y sabéis que es la raíz de
menos uno por tanto i al cuadrado es igual a menos uno por tanto aquí
sustituyo i cuadrado por menos uno menos menos uno raíz de tres más i y
abajo tendré uno menos tres por i al cuadrado tendré uno menos tres por
menos uno y aquí quedará menos menos uno es uno uno más tres es cuatro
por tanto tendría raíz de tres más i partido por cuatro entonces como le
dije que lo pongo la forma a más de i por tanto en vez de poner raíz de
tres más i partido por cuatro pues pongo raíz de tres partido por cuatro
más un cuarto de i siempre tengo cuando tengo siete números complejos
para ponerlo de la forma a más i tengo que hacer esto como si
racionalizara vale pero aquí hay números complejos abajo me quedará un
número real y después arriba me quedará realmente un número complejo
por tanto ya no tiene forma que me quedará un número pues en fracciones
generalmente este es semi teórico vale dice decir la relación que existe
entre los límites ordinarios y los límites por la derecha o por la
izquierda de una fuente los límites por la derecha vale coge del intervalo
central vale tengo aquí tengo a esto sería un intervalo central del
límite por la derecha solo cojo la parte derecha del intervalo y por la
izquierda la parte izquierda vale aquí me aproximo a para valores menores
que a y aquí me aproximo a para valores mayores que a valores que estaba a
la derecha vale por tanto si los límites vale si los límites laterales de
una función existen, existen quiere decir que tienen un valor numérico
vale no son infinito y están definidos por ejemplo que me va cambiando de
teléfono una vez sale uno otra vez es cero pero no va tendiendo a un
número cinco cuando voy por la izquierda el límite cuando x tiene a para
valores menores que a vale no batizarlo estoy utilizando la pantalla solo
vale entonces si los límites laterales existen y son iguales vale entonces
existe el límite y es igual a esto vale y al revés vale si existe el
límite quiere decir que tiene un valor numérico tendiendo todos los lados
entonces si los límites laterales por el lado izquierdo y por el lado
derecho existen quiere decir que tienen un valor numérico y son iguales
también existe el límite en global esta es la capacidad inicial que los
límites laterales sean iguales implica que el límite bueno entonces los
límites vale si existen los límites laterales y son iguales implica que
existe el límite a la inversa si existe el límite vale tiene un valor
finito vale entonces también existen los límites laterales esta es la
capacidad inicial los límites la existencia de los límites laterales vale
su igualdad implica la existencia del límite vale bueno vemos otro cuando
miras por la derecha o por la izquierda y son iguales como sería así si
si sería así bueno pues puede ser por ejemplo así vale por ejemplo este
es el punto vale la función pues te vas por la izquierda tendría un valor
te vas por la derecha en el principio si tiene que coincidir esto sería
cuando pasa esto sería por lo menos si saldrá sería una continuidad o
mucho tendría una discontinuidad evitable la función sería continua
depende si el límite existiría sería igual pero por lo menos sería
continua o sería discontinuidad evitable por nuestra definición del punto
es vale bueno aquí tenemos esta función nos dice calcular que compuesta
con qué por tanto que compuesta con qué vale es que parece ser g de x
vale por tanto g de x que es g de x es 1 menos x partido por 1 más x vale
ahora si yo tengo que buscar g de 3 que hago pues sustituyo la x por 3 si
tengo que buscar g de 4 pues sustituyo la x por 4 si tengo que buscar g de
esta expresión vale g de esta expresión de aquí vale sustituyo la x por
toda la x 1 menos x pondré 1 menos la función 1 menos x partido por 1
más x 1 más x en vez de x pondré 1 menos x partido por 1 más x ahora ya
tengo hecha la composición y hago operación vale este lo vas
multiplicando por 1 vale me quedaría 1 más x menos 1 menos x partido por
1 más x vale abajo igual esta la vas multiplicando aquí me quedaría 1
más x más 1 menos x partido por 1 más x ahora hago operaciones 1 menos 1
se va x menos sería más x sería 2x partido por 1 más x aquí sería 1
más 1 es 2 y x menos x se va por tanto me quedaría 2x partido por 1 más
x y 2 partido por 1 más x voy a simplificar este de aquí me quedaría 2x
partido por x que es x vale y entonces dice especificar su dominio el
dominio cuando no existirá cuando el denominador sea 0 vale por tanto si
el denominador es 0 será cuando x sea igual a menos 1 esta es una función
racional que solo me dará problemas de dominio cuando x sea igual a 1 que
no estaría definida vale si x fuera igual a menos 1 vale tendría
sustituyendo g de menos 1 sería 1 menos menos 1 sería 2 partido por 0 que
no existe el punto por tanto el dominio serían todos los números reales
menos el número este es fácil este es de composición y a veces son
fácil hay que dibujar la gráfica de la función a todos los números
reales vale aquí dice dibujar la gráfica de esta función vale entonces
aquí es dar valores a los más conocidos vale por ejemplo 1 menos seno de
x más pi cuartos pi cuartos son 45 grados entonces que le doy por ejemplo
hagamos el 0 vale si la x es igual a 0 yo tendré 1 más seno de pi cuartos
el seno de pi cuartos es el de 45 grados que es raíz de 2 partido por 2
por tanto sería para x igual a 0 el valor es 1 más raíz de 2 partido por
2 para x igual a pi cuartos que tendría 0 pi cuartos 3 pi cuartos 5 pi
cuartos 6 pi cuartos 7 pi cuartos vale entonces para x igual a 0 tendría
el seno de pi cuartos que es el de 45 grados que es raíz de 2 partido por
2 por tanto sería 1 más raíz de 2 partido por 2 para x igual a pi
cuartos tendría pi cuartos más pi cuartos 3 pi medios que es el de 90
grados el seno de 90 es 1 1 más 1 que es 2 para pi medios tendría el 0 de
pi medios más pi cuartos que serían 3 pi cuartos que es el seno de 3 pi
cuartos es el de 135 grados que es igual al seno de 45 por tanto sería
raíz de 2 partido por 2 es un menos o un más creo que hay entre el 1 y el
5 aquí es un más también es un más esto ya lo veis mejor en el pdf
cuando lo voy a enviar yo lo voy a comentar si lo voy a enviar si se consta
ahora que ya lo he conocido todo esto es del mismo pdf las notas las notas
que ponga en general bueno después para 3 pi cuartos sería 3 pi cuartos
más pi cuartos serían 4 pi cuartos que es el seno de pi el seno de pi es
0 por tanto es apagado para pi sería el seno de pi más pi cuartos que
sería el de 225 sería 180 más 45 que son los 5 25 que el seno es igual
que el de 45 pero en negativo sería raíz de 2 partido por 2 pero en
negativo sería 1 menos raíz de 2 partido por 2 para 5 pi cuartos tendría
5 pi cuartos más pi cuartos son 6 cuartos 6 pi cuartos son 3 pi medios que
son 270 grados y el seno de 270 es menos 1 por tanto sería menos 1
después el de 6 pi cuartos sería 6 pi cuartos más pi cuartos son 7 pi
cuartos que sería el de 305 que sería igual a menos el seno de 45 por
tanto sería 1 menos raíz de 2 partido por 2 para 7 pi cuartos sería 7 pi
cuartos más pi cuartos son 8 pi cuartos que son 2 pi el seno de 2 pi es 0
por tanto sería 1 más 0 y para 2 pi más pi cuartos que es el mismo que
el de pi cuartos sería la posibilidad de dar una vuelta entera hasta 45 si
iba al seno de 45 ya tendría esto que sería 1 más raíz de 2 partido por
2 más o menos y como está hecho un cuadrado importante me ha gustado más
una serie de valores más o menos de esta forma vale pues resolverlo ahí
en el cuadro vale aquí me dice que x menos 1 es igual a 1 menos x o sea x
menos 1 en valores absolutos es igual a 1 menos x o sea aquí sí que he
aplicado la definición de valor absoluto el valor absoluto de x menos 1
¿cómo será? será igual a x menos 1 si x menos 1 es mayor que 0 igual
que 0 en este caso sería x menos 1 si mayor o igual que 0 tiene que ser la
x mayor o igual que 1 ¿vale? o es igual a menos x menos 1 si la si menos x
menos 1 es menor que 0 si menos x menos 1 es menor que 0 sería x menos 1
menos x menos 1 sería menos x más 1 menos x menos 1 por tanto menos x
más 1 por tanto esto sería esto sería x menor que 1 ¿vale? por tanto
entonces la solución x menor sería x menor o igual que 1 si la x es menor
o igual que 1 tendría que ser menos infinito a 1 lo puedo probar si yo
cojo un número menor que 1 por ejemplo 0 el valor absoluto sería 1 esto
es igual a 1 menos 1 si pongo por ejemplo el menos 2 tendría menos 2 menos
1 es menos 3 por tanto el valor absoluto de menos 3 es igual que 1 menos
menos 2 que sería 3 por tanto la solución sería x menor o igual que 1
aquí hay otro de números complejos el 10 dice z igual a menos 4 allá las
raíces cuartas de menos 4 por tanto aquí os pongo más o menos donde
tenéis la teoría de esta de las raíces que es en las páginas ni el 100
ni el 101 del libro z igual a menos 4 sería el módulo sería 4 módulo de
menos 4 raíz cuadrada módulo de menos 4 al cuadrado es 4 el módulo es 4
y el argumento el ángulo sería pi menos 4 el ángulo tiene 80 grados por
tanto el ángulo es pi entonces las raíces cuartas yo pondría se pone zk
la raíz cuarta sería 4 elevado a 1 cuarto o la raíz cuarta de 4 4
elevado a 1 cuarto entonces el argumento podemos pi más 2kpi partido por 4
si es la raíz cuarta si fuera la raíz tercera podría pi más 2kpi
partido por 3 si fuera la raíz segunda sería pi más 2kpi partido por 2
entonces esto poniendo en forma trigonométrica es r por el coseno del
ángulo más i por el seno del ángulo ¿cuántas hallaré? la k tomará
valores si estoy en raíces cuartas caigo a la 0, 1, 2 y 3 si estuviera en
raíces cúbicas sería 0, 1, 2 si fueran raíces cuadradas sería 0 y 1
entonces aquí lo que tengo que hacer es poner la forma general que vais a
encontrar y vais a ver que es esto entonces hallar para diferentes valores
hallar los ángulos y hallar todo esto aquí no dice si se da en forma
binómica sólo dice calcular mejor si no dice nada si hay tiempo y tal
podría poner en forma polar sería más fácil sólo poner el módulo que
sería 4 elevado a 1 cuarto partido por k igual a 1 me daría pi cuartos a
la 3 y dejarlo así pero es mejor si puedo ponerlo en forma trigonométrica
y después hallar los valores en forma binómica es un poco más largo z1
que está acá igual a 0 sería 4 elevado a 1 cuarto raíz sería 4 elevado
a 1 cuarto y el argumento es pi cuartos sería este el argumento de la
frase fijaros que sería este pi más 2kpi partido por 4 si la acaba de 0
será pi más 0 partido por 4 sería 4 elevado a 1 cuarto que es lo mismo
que la raíz cuarta de 2 a la 2 pi cuartos por tanto será raíz cuarta de
2 a la 2 que es raíz cuadrada de pi cuartos los índices el periodo de
exponentes me queda raíz cuadrada de 2 coseno de pi cuartos más y seno de
pi cuartos el coseno de pi cuartos es raíz de 2 partido por 2 y el seno es
raíz de 2 partido por 2 si multiplico por raíz de 2 pues me quedaría
raíz de 2 por raíz de 2 me quedaría 2 partido por 2 que es 1 y aquí
igual me quedaría 1 más 5 para acá igual a 1 pues tendré pi más 2pi
partido por 4 3pi partido por 4 por tanto sería raíz cuarta de 2 a la 2
3pi partido por 4 esto sería raíz cuadrada de 2 igual que aquí arriba
coseno de 3pi cuartos menos seno de 3pi cuartos el coseno de 3pi cuartos es
igual a menos el coseno de 45 y el seno de 3pi cuartos son el mismo y el
nuevo valor sería menos 1 más 5 después para acá igual a 2 tendría pi
más 4pi que sería 5pi partido por 4pi raíz cuarta de 2 a la 2 5pi
partido por 4 por tanto será raíz de 2 coseno de 5pi partido por 4 más y
seno de 5pi partido por 4 el coseno de 5pi partido por 4 es el mismo que el
de pi partido por 4 pero en negativo por tanto sería menos raíz de 2
partido por 3 y el seno de 5pi partido por 4 igual, es el mismo que el seno
de 45 pero en negativo por tanto sería si hago operaciones porque raíz de
2 por raíz de 2 me queda 2 partido por 2 en este caso sería menos 2
partido por 2 menos 2 partido por 2 por tanto será menos 1 menos 5 y ya me
queda para acá igual a 3 pi más 3pi partido por 4 por tanto sería 7pi
partido por 4 por tanto raíz cuarta de 2 a la 2 7pi partido por 4 por
tanto sería raíz cuadrada de 2 7pi partido por 4 es el mismo que el
coseno de pi partido por 4 y el seno de 7pi partido por 4 sería el mismo
que el de pi partido por 4 pero en negativo sería 1 menos 5 por tanto ya
tenemos las cuatro raíces si buscara z5 vería que repetía z1 por tanto
ya digo si es 4 tengo que buscar de 0 a 3 si es 3 de 0 a 2 si es 5 sería
de 0 a 4 utilizar la definición formal del límite para verificar que el
límite cuando x tiende a 2 de x menos 2 partido por 1 más x cuadrados
igual a 4 aquí no tengo que hallar el límite si hago límite aquí
sustituyo me queda 2 menos 2 que es 0 partido por 5 sustituyo por la
tendencia y me da 0 aquí dice que lo haga a partir de la definición del
límite o sea la definición del límite aplicado aquí es para todo y
mayor que 0 existe un delta tal que para x menos 2 menor que delta quiere
decir que me voy acercando para valores bastante cercanos a 2 por ambos
lados entonces se cumple que x menos 2 partido por 1 más x cuadrados menor
que y sería la función menos 0 x menos 2 menos 0 por tanto ahora tengo
que verificar que en función que delta tengo que tomar para que se cumpla
esto yo cojo x menos 2 partido por 1 más x cuadrados esto es menor que si
esto aquí 1 más x cuadrados si divido por 1 más x cuadrados siempre es
menor que si divido por 1 por tanto x cuadrados siempre por lo pequeño que
sea siempre es mayor que 0 por tanto si en vez de dividir por x cuadrados
divido por 1 esto es menor que x menos 2 partido por 1 y x menos 2 partido
por 1 va a dar nosotros x menos 2 por tanto si x menos 2 quiere ser menor
que delta ¿qué delta tomaré? tomando delta igual a epsilon ya se cumple
vale y esto lo he puesto automáticamente a partir de la definición vale
esto es fácil calcular las raíces del polinomio x cuarta más 6x cubo
más 9x cuadrado si hay raíces repetidas indicar su multiplicidad escribir
el polinomio en forma de producto de factores lineal aquí para descomponer
este polinomio x cubo por 9x cuadrado de entrada saco factor común x
cuadrado x cuadrado me quedaría x cuadrado más 6x más 9 si observo yo
puedo pensar que esto 6x cuadrado más 6x más 9 como tengo un cuadrado y
el 3 también es un cuadrado busco el doble del primero por el segundo que
sería si este es x y este es 3 por tanto tengo 2 el doble del primero por
el segundo sería 2x por 3 por tanto 6x por tanto veo que esto es x más 3
al cuadrado por tanto ya lo tengo descompuesto tengo f de x igual a x
cuadrado por x más 3 al cuadrado entonces aquí nos queda hay raíces
repetidas si el 0 es sobre vale al cuadrado y en menos 3 también la raíz
es sobre raíz quiere decir los valores que anulan este polinomio los
valores que lo anulan serían el 0 y el menos 3 por tanto las raíces en
este caso pues serían 0 y menos 3 0 es doble y menos 3 también es doble
ponerlo en forma de tres factores lineales sería x al cuadrado por x más
3 al cuadrado aquí resolver la inequación pues un poco como hemos visto
antes tengo esta inequación de x menos 3 menos 2 por valor absoluto de x
tenemos dos valores absolutos si el 0 es elevado al cuadrado cuadrado x
menos 3 y al cuadrado del primero x al cuadrado 2x por 3 6x menos 6x más
el cuadrado del segundo el cuadrado de 2x sería 4x al cuadrado por tanto
aquí lo paso todo al lado al otro lado me quedaría 0 menor que 4x al
cuadrado menos x al cuadrado más 6x menos 9 4x al cuadrado menos x al
cuadrado son 3x al cuadrado 6x positivo y menos 9 positivo entonces aquí
puedo sacar factor común en 3 me queda 3 por x al cuadrado más 2x menos 3
por tanto si descompongo en factores resolviendo la ecuación de segundo
grado que las raíces son 1 y 3 me quedaría 3 por x menos 1 y por x más 3
como posibles soluciones tenemos aquí tendría los intervalos de menos
infinito a menos 3 de menos 3 a 2 que sería 1 y de 1 a más infinito las
posibles soluciones serían de menos infinito a menos 3 de menos 3 a 1 y de
1 a infinito y los extremos serían estos si esto fuera mayor o igual que 0
estos extremos entrarían porque aquí se hace 0 pero aquí ahora no pueden
entrar estos extremos por tanto yo tengo que ver de estos intervalos en
cuáles se cumplen y en cuáles no en los extremos este y este no entrarán
porque si la x fuera menos 3 esto me daría 0 y si fuera 1 también me
daría 0 si dijera mayor o igual que 0 sí pero dice estrictamente mayor
por tanto tengo que ver cuáles son sus de menos infinito a al menos
infinito menos 3 9 este aquí por ejemplo cojo el menos 5 menos 5 menos 1
me quedaría me quedaría menos 6 esto me quedaría menos 6 y aquí me
quedaría menos 5 más 3 me quedaría menos 2 por tanto el producto este es
positivo por tanto veo que los números que están aquí dentro
sustituyendo con uno de ellos cumplo lo necesario vemos para 1 más 1 si
cojo un número mayor que 1 por ejemplo el 2 tendría 2 menos 1 que es 1
por tanto este se cumple 2 más 3 que 5 también se cumple el producto es
positivo en cambio si cojo el 0 que está entre menos 3 y 1 entonces por 3
sería menos 3 por 3 independientemente esto es positivo este sería que
sí este sería que no y este sería que sí por tanto la solución sería
de menos infinito a menos 3 y de de esta forma incluyendo el intervalo 1
más 1 sería menos infinito menos 3 el intervalo menos 3 de 1 la
desigualdad es negativa bueno aquí hay otro que es un poco en función lo
que se tiene que hacer si el límite cuando x tiende a 2 de f de x menos 5
partido por x menos 2 es igual a 3 calcula el límite cuando x tiende a 2
de f de x yo tengo esto, tengo el límite cuando x tiende a 2 de f de x
menos 5 partido por x menos 2 esto es igual a 3 todo puede poner esto el
límite cuando x tiende a 2 de f de x menos 5 partido por x menos 2 y el
resto de 3 igual a 3 puede tener esta igualdad entonces el límite si aquí
es una constante puede poner límite cuando x tiende a 2 de esta expresión
que ya lo tengo menos el límite cuando x tiende a 2 de 3 evidentemente es
3 entonces aquí aplico las propiedades de los distintos esto lo puedo
poner como el límite de la diferencia límite cuando x tiende a 2 de f de
x menos 5 partido por x menos 2 menos 3 entonces aquí pues hago
operaciones este x menos 2 lo paso multiplicando al otro lado que queda f
de x menos 5 menos 3 por x menos 2 partido por x menos 2 si este límite es
0 quiere decir que de entrada para que eso sea posible tendría que dar
arriba también 0 tener una indeterminación esto de entrada por tanto la
parte de arriba cuando x tiende a 2 de f de x menos 5 menos 3 por x menos 2
sigue siendo igual a 2 entonces yo aquí pongo el límite cuando x tiende a
2 de f de x menos esto de aquí al límite cuando x tiende a 2 de 5 más 3
por x menos 2 entonces yo aquí tendría esto tendría que ser igual a todo
esto por tanto aquí me quedaría el límite cuando x tiende a 2 de 5 más
3 x menos 2 esto tendría que ser igual el límite de f de x tendría que
ser igual vale entonces yo tengo que el límite cuando x tiende a 2 de f de
x es igual al límite cuando x tiende a 2 de 5 menos 3 por x menos 2 menos
eso por tanto esto será más vale por tanto esto me queda el límite
cuando x tiende a 2 de 5 más 3 x menos 2 si sustituyo por 2 vale esto me
quedaría a menos 2 o sea 2 menos 2 es 0 3 por 3 es 0 y 5 por tanto es
igual a 0 por tanto yo tengo el límite cuando x tiende a 2 de f de x es
igual al límite pero aquí hay dos ejercicios por un lado resolver esta
inequación y por otro hallar calcular el centro y el rango de la
circunferencia que tiene esta ecuación cuadrado más cuadrado más 4y x
cuadrado más y cuadrado más a x igual a 0 es una actitud digamos
coeficientes aquí son lo mismo son 1 o son 5 son los coeficientes iguales
entonces yo tengo una actitud este ejercicio y este no están relacionados
aunque sea el mismo ejercicio no están relacionados por un lado hay sobre
la inequación y por otro y por otro pues aquí bueno y bueno otro
ejercicio dibujar la gráfica de coseno de pi x partido por 4 este
ejercicio se componía de por un lado tenemos 3 partido por x menos 1 menor
que 2 partido por x más vale entonces aquí yo paso al otro lado esto es
restante bueno esto lo paso allí 2 partido por x más 1 vale menos 3
partido por x menos 1 sería mayor que 0 sería 0 menor paso esto al otro
lado sería 0 menor o esto mayor que 0 no miden por aquí son 0 menos 3
entonces yo hago operaciones que hago el mínimo común x más 1 por x
menos 1 son dos partes diferentes este pasa aquí multiplicando por x menos
1 y el otro sería menos 3 por x más 1 aquí sería 2x menos 3x sería
menos x menos 2 menos 3 sería menos 5 partido por esto entonces aquí
tendría dos operaciones que menos x menos 5 partido por x más 1 por x
menos 1 esto es lo mismo si multiplico por menos 1 arriba que x más 5
partido por x más 1 que sería menos 3 partido por x más 1 posibles
soluciones todo puede variar los posibles intervalos cuando el numerador
sea 0 sería x igual a menos 5 cuando algún denominador sea 0 que sería
el menos 1 y cuando el otro sea 0 que es x igual a 1 por tanto tendría
tendría menos 5 menos 1 menos 5 los posibles intervalos serían de menos
infinito a 5 de menos infinito a menos 5 de menos 5 a menos 1 de menos
infinito a menos 1 de menos infinito a menos 5 de menos 1 a 1 y de 1 a más
infinito vale entonces tendría que ver cuáles pueden ser iguales por
ejemplo si opongo 5 cojo un número por ejemplo el menos 6 si sustituyo por
menos 6 arriba será negativo abajo será negativo y también negativo por
tanto sería abajo sería negativo partido por positivo por tanto aquí
arriba sería menos negativo partido por positivo es negativo esto tiene
que ver con negativo porque es menor por tanto de menos infinito a menos 5
sería sobre 5 vale de menos 1 a 1 también tengo que buscar por ejemplo el
0 para el 0 tendría positivo arriba abajo sería positivo por negativo
sería negativo por tanto también sería solución de menos 1 a 1 también
sería solución de 1 a más infinito ¿qué tendría? tendría por ejemplo
2 ¿vale? 2 más 5 partido por 3 por 1 por tanto sería positivo partido
por positivo no es negativo por tanto esto no es 0 y de menos 5 a menos 1
que no sé porque no lo he puesto por ejemplo el menos 4 ¿qué me
quedaría arriba? arriba me quedaría 1 y abajo me quedaría vale tampoco
si arriba por ejemplo el intervalo que hemos dicho de menos 5 a menos 1 por
ejemplo pongo el menos 4 aquí en el intervalo este arriba sería 1 abajo
sería negativo ya que este factor es negativo porque menos 4 más 1 sería
menos 3 y menos 4 menos 1 sería menos 3 el producto es positivo por tanto
sería positivo partido por positivo el resultado no es 0 la solución
sería esta de menos infinito a menos 5 y de menos 1 a 1 los otros
intervalos que aquí no he puesto este no sé porque no lo he puesto el
menos 5 a menos 1 por tanto este tampoco no es por tanto la solución
sería menos infinito a menos 5 y de menos 1 a 1 bueno el otro ejercicio
que es hallar el centro y el radio básico en este caso paso primero una
circunferencia de centro AB y radio R tiene esta ecuación elevado al
cuadrado desarrollando esto desarrollando esto me quedaría X al cuadrado
más I al cuadrado menos 2 A million X al cuadrado menos 2 A E um más A I
Q más E por tanto lo puedo poner ordenado eventos X al cuadrado más I al
cuadrado menos 2 A más H O sea, por y más a al cuadrado más a al
cuadrado más menos a al cuadrado paso a la izquierda igual a c. Entonces,
por otro lado, pongo una expresión de la forma x al cuadrado más a al
cuadrado más a x más a y igual a c. Entonces, identifico, ¿vale? x al
cuadrado y a y al cuadrado está igual, ¿vale? Menos 2a tiene que ser
igual a a, ¿vale? Por tanto, la será menos a partido por 2. Menos 2
sería una b. O sea, menos 2b tendría que ser igual a b mayúscula. Por
tanto, la b mayúscula será menos b partido por 2. Por tanto, cuando el
centro será a igual a menos a partido por 2 y la b igual a menos b partido
por 2. Después, cuando tengo a y b, tendré que a al cuadrado más b al
cuadrado menos r al cuadrado igual a c. Por tanto, la r al cuadrado sería
igual a a al cuadrado. Más b al cuadrado menos a al g, ¿vale? Por tanto,
como la a es menos a partido por 2, la a al cuadrado será a al cuadrado
partido por 2. La b es menos b partido por 2, la b al cuadrado será b al
cuadrado partido por 2. Entonces, sería a al cuadrado partido por 4 más b
al cuadrado partido por 4 menos b. Sacando el mismo común, yo tendría a
al cuadrado más b al cuadrado menos a al cuadrado menos b partido por 4.
Por tanto, yo, cuando tengo la ecuación de este tipo, tengo a x al
cuadrado más y al cuadrado, aquí la a, ¿vale? La a minúscula sería c.
El centro sería cero partido, sería a partido por cero, partido por 2,
¿vale?, sería a partido por 2, que es cero. Por tanto, en este sería x
menos 0 al cuadrado, la i sería 4 partido, o sea, menos 4 partido por 2,
que es menos 2. Por tanto, la i sería i menos menos 2, que sería i más
2, igual a r al cuadrado, que en este caso sería 4. Aquí la c vale 0,
¿vale?, y la b vale 4. Por tanto, sería 4, ¿vale? Por tanto, sería x al
cuadrado más y más 2 al cuadrado igual a 4. Por tanto, tendré que la
circunferencia será el centro 0 menos 2, y el radio, que aquí es igual a
r al cuadrado, por tanto, será la raíz de 4, que es 2. En este tipo, ver
las páginas, definitivamente, el texto base, la ecuación de la
circunferencia del centro ab y radio r, que es esta forma, después he
desarrollado aquí. Más o menos, allí hay más explicación, no sé si
está más detallado o no, pero más o menos es esto. Y la gráfica de la
función, que era la c, que era coseno de tx partido por 2. Pues también
está dando valores, ¿vale? Valores, vale, en este caso, coseno es el que
da el exacto, ¿vale? Vamos a poner los valores. La gráfica es esta. Vamos
a ver lo que nos queda de este lado, ¿vale? Empezamos. Para x igual a 0,
tendría coseno de 0 partido de t por 0, coseno de 0 es 0, ¿vale? Para x
igual a 1 medio, para que me salgan radianes, si le doy 1 medio, tendré t
partido por 4, que es el de 40, que es raíz de 2 partido de t. Si pongo 1,
la int 1, tendré coseno de t partido por 2, que es el de 90, que es 0,
¿vale? Si pongo 3 medios, tendré 3 t partido por 4, que es el de 135,
¿vale? Por tanto, sería el coseno de 135 igual que menos el coseno de 45,
por tanto, será menos raíz de 2 partido por 4. Si le doy 2, ¿vale?,
tendré el coseno de 2pi partido por 2, que sea el coseno de pi, que es el
de 180 grados, que es el de 95, ¿vale? Si le doy 5 medios, tendré el
coseno de 5pi partido por 4, que es el de 225, que es igual a menos el
coseno de 45, que es menos raíz de 2 partido por 2. Si le doy 3, tendré
el coseno de 3pi partido por 2, que es el de 270 grados, que es 0, ¿vale?
Si le doy 7 medios, tendré el coseno de 7pi partido por 2, que en este
caso sería igual que el de 715, ¿vale?, que sería igual que menos 45
grados, en la misma posición, que es igual que el de 45, que es raíz de 2
partido por 2, ¿vale? Si le doy 4, tendré un coseno de 4pi partido por 2,
que es el coseno de 2pi, que vale 1 igual que el de 4, ¿vale? Si le doy 9
medios, tendré el coseno de 9pi partido por 2, que sería el de 45 grados,
¿vale?, que sería 45 grados más 360, o 5 cuartos más 2pi, ¿vale? En
este caso es igual que el de 5 cuartos y 45 grados, que es el mismo. Si le
doy 5, tendré el coseno de 5pi partido por 2, que en este caso sería
igual que el de 90 grados, ¿vale?, Me quedo่¿ Pues aquí tenemos otro
de límites, ¿vale? Si el límite cuando x tiende a 0 de f partido por x
cuadrados igual a menos 2, calcularé el límite cuando x tiende a 0 de f ,
y el límite cuando x tiende a 0 de f de x partido por x ¿vale? un poco lo
que hemos visto antes ¿vale? yo solo pongo el tipo igual al del límite,
paso el menos 2 aquí, aplicado a 0 sería límite cuando x tiende a 0 de
paso aquí de esta suma ¿vale? puedo poner límite cuando x tiende a 0 de
f de x partido por x cuadrado más límite cuando x tiende a 0 de 2, esto
es igual a 0 ¿vale? entonces para copiar entre los límites esto lo puedo
poner con el límite de una suma de puntos que esta sea la función
constante pero con el límite cuando x tiende a 0 de f de x partido por x
cuadrado más 2 ¿vale? entonces esto puedo pasar el x cuadrado
multiplicando y me queda igual el límite cuando x tiende a 0 de f de x
más 2x cuadrado partido por x cuadrado, o sea para que este límite exista
¿vale? tiene que ser el de arriba igual a 0 ¿vale? para que sea 0 partido
por 0 ¿no? por tanto límite cuando x tiende a 0 de f de x más 2x
cuadrado es igual a 0 por tanto el límite de este será igual a menos el
límite cuando x tiende a 0 de 2x cuadrado que es límite cuando x tiende a
0 de f de x es igual a 0 ¿vale? y ahora vamos a ver el otro vale, hasta
aquí tenemos igual ¿vale? pasamos del 2 a aquí, por tanto igual ¿vale?
más el límite cuando x tiende a 0 de 2 ¿vale? entonces la suma de los
límites va a la límite de la suma y queda f de x partido por x cuadrado
más 2 igual a 0 ¿vale? entonces aquí yo lo que hago pongo la fracción f
de x partido por x más 2x partido todo por x ¿vale? o sea aquí pongo 2x
vale, puedo poner f de x partido por x y esto partido por x partido por x
valee evidentemente para que x dois chista tiene que ser un límite de
eigentlich tiene que ser 0 parte del límite terminado cúgarlo como dao
por tanto se verifica que el límite cuando x tiende a 0 de f de x más 2x
es igual a 0 por tanto, pasaré los 2x a un otro lado y me quedaría línix
cuando x tiende a 0 de f de x partido por x igual a menos el límite cuando
x tiende a 0 de f de x partido por x es igual a menos el límite cuando x
tiende a 0 de f de x partido por x Tenemos otro. He puesto una hoja por
aquí. ¿He hecho pasar una hoja? Sí, está aquí. Ah, vale, vale. Vamos a
ver. A ver. Entonces, dice, calculamos límites laterales cuando x tiende a
2 más por la derecha y a 2 menos por la izquierda. Aquí, ¿qué hacemos?
Cuando x tiende a 2 por la izquierda, esto es igual al valor absoluto de x
menos 2 para valores menores que 2. Por ejemplo, si esto vale 1,99, esto
sería 1,99 menos 2, es negativo. Por tanto, esto sería igual a menos x
menos 2. El valor absoluto para los negativos es menos el valor menos el
número. El valor absoluto de x es igual a x, si a la x me viene igual que
0 y menos x, si a la x me viene igual que 0. Por tanto, cuando voy por la
izquierda, si aquí pongo valores de x menores que 2, esto es negativo. Por
tanto, el valor absoluto será menos x menos 2. Abajo, descompongo en
factores x cuadrado más x menos 6 o por Ruffini o haciendo la ecuación de
segundo grado y me da x menos 2 por x más 2. ¿Vale? Por tanto, yo tengo
esto y esto lo podré simplificar. Menos, x menos 2 partido por x menos 2
esto será, me queda menos límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de
x más 3. Por tanto, si voy esto, por ejemplo, por la izquierda sería
1,99, lo puedo ir por tanto, esto va para sería menos 1 partido por 2. Si
voy por la derecha, entonces el valor absoluto de x menos 2 como es mayor
que 0 siempre tendría valores mayores que 2 ¿vale? son valores mayores
que 2 entonces me quedaría el valor absoluto de x menos 2 es x menos 2
¿vale? Por tanto, este y este lo simplifico y me queda el mínimo valor x
tiende a 2 de 1 partido por x más 3. Si cojo valores cercanos a 2 pero
mayores que 2 pues eso va a parar, más o menos, va a parar a 2 ¿vale? Por
tanto, esto sería 1 partido por 2 más 3 que 5. Por tanto, por la
izquierda vale menos un quinto ¿Cuál es el grado del polinomio de dx?
Esto es un igual, ¿eh? x cubo x cuadrado más 2x más 5 al cuadrado.
¿Cuáles son sus raíces? Más o menos las raíces y ¿cuál es la
multiplicidad de cada raíz? Por tanto, ¿qué tengo que hacer?
Evidentemente, el grado 3 y esto sería 4 ¿vale? Si le doy un cuadrado y
tengo un x cuadrado por tanto, multiplico por x3 y tendré la potencia
máxima será x a la 7. Por tanto, el grado será 7 ¿vale? ¿Cuándo pede
x es igual a 0? Pues, igual en todo esto a 0 será cuando este factor sea 0
o este otro factor sea 0 ¿vale? Si este factor es 0 es cuando x es igual a
0 x al cubo igual a 0 es x igual a 0 El otro factor es 0 también cuando el
factor es 0. Por tanto, cuando x cuadrado más 2x más 5 es igual a 0
¿vale? Por tanto, entonces pues, los codos de la ecuación y aquí me da
números completos. Ahí quedaría menos 2 más menos raíz cuadrada de 2
al cuadrado es 4 menos 4 por 5 es 20 ¿vale? Por tanto, 4 menos 20 es menos
16 que la raíz sería menos 4i ¿vale? Por tanto, ahí quedaría menos 2
más menos 4i partido por 2 ¿vale? Por tanto, ahí quedaría menos 2
partido por 2 es menos 1 y 4i partido por 2 será 2i ¿vale? Cuando sea
menos 1 más menos 2i el límite me da 1 en el complejo y eso concluya
¿vale? Estas como están elevadas al cuadrado las raíces estas menos 1
más 2i menos 1 menos 2i generan multiplicidad 2 Como x está elevada al
cubo el grado de multiplicidad será 3 ¿vale? Una 0 multiplicidad 3 más
otras dos complejas conjugadas multiplicidad 2 Bueno, aquí hay otro El
límite cuando x viene a de 1 partido por 2 por x menos 1 partido por a por
x menos a ¿vale? Hay tres ejercicios Otro, el límite cuando x tiene a
menos infinito de raíz cuadrada de x cuadrada más x menos x Y después,
para que valores de m es continua esta función Por un lado, x menos m
cuando la x es menor que 3 y por otro lado 1 menos mx si la x es mayor o
igual que 3 para todo x que es igual a r ¿vale? Evidentemente, esta rama
es continua, esto ya lo veremos Por tanto, los únicos puntos el único
punto de discontinuidad es aquí donde cambia la definición Tienen que
empalmar una rama con otra por tanto, el límite por la izquierda de 3
tiene que ser obviamente por la derecha para que empalme la rama Está
definida en 3 si fuera estrictamente mayor que 3 la función no podría ser
continua si no, como máximo tendría una discontinuidad Evitamos, ¿vale?
Pero en principio los límites laterales es 3 con el valor de 3 y en la
derecha si se limita a la derecha existe el valor de la función y si el
límite por la izquierda lo igualamos veremos que tenemos la función sea
continua Por tanto, vamos a resolver este ejercicio con estos ejercicios
Bueno, aquí calculamos el límite Este evidentemente me da ventaja Veamos,
aquí en la entrada multiplico saco a loco pero esto La A la paso
multiplicando y me queda A menos X partido por AX y partido por X menos A
Por tanto, esto será el límite cuando X tiende a A menos X partido por A
por X y X menos A Entonces, A menos X y observo que puedo poner menos X
menos A y A menos X menos A Por tanto, el valor lo tengo así pues puedo
simplificar porque yo cuando tiendo A por la derecha y por la izquierda
cojo todos los valores cercanos a A pero no son valores iguales a A Por
tanto, puedo simplificar y al límite no va a ir bien Por tanto, me
quedaría que es igual al límite que es A menos 1 partido por AX por lo
cual, si fuera el límite me quedaría el límite que es A menos 1 partido
por AX por tanto, será menos 1 partido por A4 Este de aquí el otro el
límite Si esto fuera un más tendría una indeterminación porque sería
infinito menos infinito pero en este caso no tengo indeterminación Por
tanto, aquí yo lo puedo hacer directamente Si la X tiende a menos infinito
lo que me marca es el cuadrado este y me suprime este de aquí lo que marca
la tendencia es el cuadrado este Y esto sería menos menos X sería más X
Por tanto, el límite este será más infinito Por tanto, no es infinito
Por tanto, este límite sería más infinito este campo que tiene menos
menos infinito del otro por tanto, sería más infinito más infinito que
es más infinito por tanto, el límite es más infinito y no tengo que
hacer multiplicar con el cuadrado para sacar una indeterminación sino que
A directamente no es indeterminado para la tendencia es más infinito Y el
otro es el de la función continua para que sea continua Esta rama es
continua para todo M y esta también independientemente Por tanto, ¿qué
pasará? La masa está definida como he dicho antes NX igual a 3 Este valor
es igual que el límite por la derecha o igual al valor de la función y A
ya estará Ya tendré el valor de N para que sea continua ¿Qué tengo que
hacer? El límite por la izquierda del 3 sería 3 menos M Y el límite por
la derecha del 3 sería 1 menos 3M OX de 3 Sería igual a un ser igual a un
El valor de la función para 3 y el límite por la derecha del 3 tendrán
el mismo valor Entonces igualaría El límite por la izquierda sería 3
menos M y el límite por la derecha 1 menos 2 Tengo que igualar los
límites laterales 3 menos M igual a 1 menos 3M 3M pasaría aquí 3M menos
M que sería 2M igual a menos 2 1 menos 3 menos 2 3M Bueno, sería un
último ya Escribir una pareja de inecuaciones que representen el exterior
de la circunferencia de centro 0,0 y radio 2 y que está en el interior de
la circunferencia de centro 1,3 que pasa por origen de corte de manos De
entrada, una circunferencia que o sea, una circunferencia de centro 0,0 y
radio 2 sería x cuadrado más i cuadrado igual a 4 Esta sería la
circunferencia haciendo 0,0 igual a 2 La circunferencia de centro 1,3 y
radio r Tengo una de centro que pasa bueno, éste en el interior tengo una
de centro 1,3 que pasa por origen Por tanto, no me da nada Tengo que
calcular Por tanto, una circunferencia genérica que pasa por el punto por
el centro si hago 1,3 es x menos 1 al cuadrado más i menos 3 al cuadrado
igual a r al cuadrado ¿Cómo haría en radio? Pues con la condición de
que pase por el punto 0,0 Si pasa por el punto 0,0 y al sustituir la
índice por 0, ahí tiene que ser la igual Por tanto, al sustituir la
índice por 0 x menos 1 al cuadrado la índice por 0 que sea 0 menos 3 al
cuadrado será 1 más 9 igual a r al cuadrado Por tanto, sería la
ecuación sería r al cuadrado igual a 10 por tanto, la f sería la raíz
de 10 positiva Por tanto, la ecuación sería x menos 1 al cuadrado más i
menos 3 al cuadrado igual a 10 y la otra ya lo he dicho x al cuadrado más
i al cuadrado igual a 4 al cuadrado Si tiene que ser, sería x menos 1 al
cuadrado más i menos 3 al cuadrado y por el otro x al cuadrado más i al
cuadrado mayor a 4 Por tanto, esta sería la ecuación Por tanto, esto es
más o menos lo que he preparado para estos 20 ejercicios y después el
próximo día haremos el tema 2 de la parte tal como está puesto allí no
sé si son aplicaciones de las derivadas y básicamente aplicaciones de las
derivadas la otra será integrales y los últimos serán series Los
últimos serán de series y van a funcionar Más o menos lo pueden repartir
sobre todo en 5 ejercicios que tienen un nivel de dificultad más o menos
es lo que hay estos sí que son ejercicios que han salido en exámenes
preparando también T es una P me parece que es el 14 de diciembre ¿Y
cuánto cuenta? Máximo un punto ¿Pero sumando? Si no la haces no podrás
Bueno esto es todo cada día es muy denso porque lo hacemos aquí es muy
importante no sé, aquí podemos dar unas ideas esto ya os lo mandaré lo
he explicado muy rápido si hay algún paso o algo que no entendéis si hay
un punto o algo que no entendéis me enviáis un email os voy a enviar este
PDF y aquí lo veréis está todo bastante explicado a lo mejor hay un paso
que no he hecho pero en principio creo que haciendo tal si no lo veis está
bastante detallado animaros a seguir estudiando y esto se tiene que
preparar poco a poco no puedes 15 días antes hacerlo porque es muy
difícil casi