Bien, pues buenas tardes. Vamos a empezar con esta segunda sesión de la
asignatura de bases físicas del medioambiente, la T2, la semana pasada fue
festivo, como bien sabéis, ¿no? Y vamos a trabajar hoy esencialmente el
tema 3, ¿no?, de vuestro manual, de lo que establece el equipo docente, de
dinámica, aunque la dinámica aquí abarca no solo dinámica, abarca
términos no solo de fuerza, sino también de trabajo, energía, y vamos a
ver todos estos aspectos y os pasaré material también, y vamos a ver
hasta dónde podemos llegar hoy y seguimos el próximo día. Vale, bueno,
antes de empezar, sí que al último día tuvimos algún problema para
escribir, ya está todo solucionado, ¿no?, todo muy bien, bien, entonces
os quería comentar que aquí desde el centro hay un curso cero que ponemos
en marcha a partir del 25 de este mes, los lunes, por la tarde, que puede
ser presencial, en directo por internet y grabado, y que está abierto a
cualquier persona matriculada en una asignatura de física de primero de
ciencias o ingeniería. Pues aquellas personas que tengan los conocimientos
de física obsoletos, lejanos, o quieran actualizarlo, pues yo os sugiero
que, bueno, que os animéis, y que lo hagáis, no tenéis por qué seguir
el horario que hay establecido, ni mucho menos, porque se emite en directo,
se graba, y siempre serán contenidos que os van a refrescar o ayudar a
poder después desarrollar asignaturas como esta. En concreto, ¿no?, si
estamos hablando de ciencias ambientales, como puede ser de otros grados de
ciencias e ingeniería. También el curso os daría un crédito de CTS y
simplemente, os abro aquí un poquito, ¿no?, está aquí un poquito el
programa, ¿eh?, y, un momentito, bueno, aquí son los lunes, ¿no?, y,
bueno, y está abierto, pues a cualquier persona interesada, ¿eh? Está
claro, esté uno matriculado también de una asignatura de estas, ¿eh?,
porque al final para superar el curso, pues, tenéis que hacer ejercicios
muy parecidos a los que se van a desarrollar en las distintas clases, y,
bueno, y se van a ver, pues, temas que a todos ellos... pues, os son de
interés, ¿eh?, todos ellos los veis en, digamos. Bueno, pues, este era
este inciso que quería hacer, ¿vale? Ahora ya nos metemos ya sin más
dilación al tema, ¿vale? Entonces, vamos a hablar del tema 3, leyes de
Newton, ¿vale? Y cuando hablamos de las leyes de Newton, ¿no?, vamos a ir
viendo, bueno, pues, por una parte, bueno, la... ecuación fundamental de
la dinámica, ¿cuál es la ecuación fundamental de la dinámica? F igual
a la derivada de la cantidad de movimiento con respecto del tiempo, ¿no?,
para una partícula. Eso es la segunda ley de Newton, ¿vale? Recordemos
que la primera ley de Newton era el principio de inercia, y cuando la
resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nula, el
cuerpo está en reposo o MRU. La segunda ley de Newton nos lleva a que la
derivada temporal de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a
la fuerza aplicada. Si tenemos un sistema de masa constante, que es el
ejemplo que tendríamos aquí, ¿vale? Veis que la masa es constante, ¿eh?
Sale fuera de la derivada y, por lo tanto, me quedaría m por la derivada
de v con respecto de t, que es la aceleración. Esta fuerza, ¿qué nos
representa? La fuerza resultante que actúa sobre una partícula. Pero,
¿qué pasa cuando tenemos un sistema de partículas? Que las partículas
pueden interaccionar entre sí. Cada partícula puede estar sujeta a
fuerzas externas, ¿no?, y a fuerzas internas. ¿Y qué son las fuerzas
internas? Fuerzas de interacción. Fuerzas de interacción entre dos
partículas, ¿vale? Una partícula 1 y una partícula 2. Podemos tener la
fuerza que ejerce 2 sobre 1 o la fuerza que ejerce 1 sobre 2. De manera que
f21 es igual a menos f12, ¿vale? ¿De acuerdo? ¿Veis qué ocurre? Que
toda la suma de las fuerzas internas es cero, ¿vale?, cuando tenemos un
sistema de partículas porque se anulan 2 a 2, ¿vale? Entonces, nosotros,
cuando queremos aplicar la segunda ley de Newton para un sistema de
partículas, y todo esto lo tenéis en el material complementario que
aporta el equipo docente, tenemos que pensar que la resultante de todas las
fuerzas que actúan sobre una partícula sería la suma de todas las
fuerzas internas más la suma de todas las fuerzas externas. Entonces, la
resultante de todas las fuerzas internas es cero. ¿Por qué? Porque se
anulan 2 a 2, ¿de acuerdo? ¿Sí? Y este término de aquí, que tenéis
aquí, sería la resultante de las fuerzas externas. La resultante de las
fuerzas externas. Bien. Entonces, permitidme que introduzcamos, lo tenéis
en vuestro manual, el concepto. El concepto del centro de masas. La
posición del centro de masas, ¿no?, que tiene esta expresión matemática
que veis aquí, tanto para la posición como para la velocidad, ¿eh?
Bueno, estos sumatorios dependerán del número de partículas que
tengamos. Os hago esta observación porque, a partir de esta demostración
que tenéis aquí, nosotros podemos demostrar, podemos justificar, y si
tenéis alguna duda me lo comentáis en algún momento si no lo entendéis,
que la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de
partículas es igual a la masa total por la derivada de la velocidad del
centro de masas con respecto del tiempo. La derivada temporal. ¿Y qué es
la derivada temporal de la velocidad del centro de masas del sistema de
partículas? Esto, por definición, es la velocidad del centro de masas.
Uy, perdonadme. En la aceleración del centro de masas. ¿Vale? Este
resultado es muy importante porque cuando... Este resultado nos está
diciendo que cuando nosotros tenemos un sistema de partículas nosotros
podemos aplicar ¿No? La segunda ley de Newton. ¿No? De manera como si
todas las fuerzas estuviesen aplicadas en el centro de masas ¿Vale? Y el
sistema se moviese con una aceleración que es idéntica al centro de
masas. Eso es importante, que lo tengamos presente. ¿Vale? Bueno. ¿Qué
pasa si la resultante de las fuerzas externas es 0? Pues si la resultante
de las fuerzas externas es 0 la velocidad del centro de masas será
constante porque hemos dicho que la resultante de las fuerzas externas
¿No? Es igual a m por la derivada temporal. ¿No? Si esto es 0, esto
implica que la velocidad del centro de masas la velocidad del centro de
masas es constante. Pero ojo, además puede pasar que la partícula
estuviese en reposo si la x del centro de masas, si la r... Si además r es
constante es decir, no se mueve ¿No? Esto implica que la velocidad del
centro de masas, que es la derivada, sería 0. ¿Vale? Tenedlo presente
esto, ¿eh? Si la posición del centro de masas fuese constante la
velocidad del centro de masas sería 0. ¿Por qué? Porque la velocidad del
centro de masas, recordad es la derivada del vector centro de masas con
respecto del tiempo. ¿Vale? ¿Sí? Bueno. Para que la velocidad del centro
de masas cambie la resultante de las fuerzas externas no puede ser 0.
¿Vale? Bueno, ¿qué es lo que produce un cambio de velocidad en las
partículas? Pues un trabajo. ¿Y qué es eso del trabajo? Aquí no está
la definición de trabajo ¿No ha quedado? Bueno, está aquí, esta aquí.
Bueno, os la voy a poner. El trabajo realizado... Ay, perdonad. El trabajo
realizado por una fuerza constante por una fuerza constante es F por
incremento de R. Es un producto escalar. Sería el módulo del primero por
el módulo del segundo por el coseno del ángulo que forman ambos vectores.
Ahora bien, el trabajo total que actúa ¿Eh? Que actúa sobre una
partícula se invierte en qué? ¿No? Si se aplica una fuerza como es en
este caso en la misma dirección que la velocidad se invierte en modificar
la velocidad de la partícula. Y por lo tanto, hablaremos de que el trabajo
es igual a la variación de la energía cinética de la partícula. ¿Y
qué es eso de la energía cinética de la partícula? ¿Qué es la
energía cinética? Es la energía que posee el objeto en función de su
velocidad. Un medio de mv cuadrado de m. Tanto la energía cinética y el
trabajo tienen las mismas unidades. Si no, no sería una ecuación
homogénea. Estábamos hablando de los Curios. Pero el trabajo también
puede ser debido a un cambio de altura aunque ejercemos una fuerza y se
produzca un cambio de altura. Entonces cuando se produce un cambio de
altura una fuerza lo que hace es ejercer un trabajo para generar un cambio
de altura. ¿No? El trabajo ya no genera una variación. De la energía
cinética. Sino una variación de lo que se llama la energía potencial. La
energía potencial. Bien. Claro, ¿y cuándo es que hablamos de energía
potenciales? Hablamos de energía potenciales esto lo tenéis en el libro
cuando nuestras fuerzas son conservativas. ¿Y qué es una fuerza
conservativa? Una fuerza es conservativa os recuerdo, os refresco la
memoria de todo lo que tenéis digamos en el documento anexo y lo que
tenéis en el libro una fuerza es conservativa cuando el trabajo que
realiza dicha fuerza no depende del camino seguido sólo depende del punto
inicial y del punto final. Sólo depende del punto inicial y del punto
final y no del camino recorrido. Sólo en estos casos el trabajo realizado
por una fuerza conservativa es igual a menos la variación de energía
potencial. Y hablaremos de la energía potencial gravitatoria cuando la
causa de esa energía potencial sea el peso. Y hablaremos de una energía
potencial elástica cuando la causa sea la constante elástica de un
resorte que la fuerza es menos k por x. Es decir, si la fuerza que actúa
es el peso, la energía potencial es mgh. Si la fuerza que actúa es la
fuerza elástica de un resorte la energía potencial es 1 medio de k x
cuadrado. ¿Vale? De manera que existe una relación entre la fuerza y esta
expresión que veis aquí que pone menos gradiente de la energía
potencial. ¿Y qué es eso del gradiente de la energía potencial? Os lo
voy a explicar en el caso de la fuerza elástica. Mirad, f, el gradiente es
la derivada con respecto a cada una de las componentes que tenga la
energía potencial. Si la energía potencial sólo depende de x como en el
caso de un resorte la fuerza nos dice aquí que es menos la derivada de la
energía potencial con respecto a x y por un vector unitario en la
dirección de x que puede ser el vector y. No sé si os dais cuenta que si
nosotros derivamos esta expresión de energía potencial respecto de x, la
derivada de x cuadrado es 2x y el 2 con el 2 se me va. ¿Y qué me queda?
Pues me quedará que la fuerza es igual a menos k por x por y. Que es lo
mismo que teníamos aquí. ¿Vale? Porque x vector es igual a x por y.
¿No? Estamos sobre un eje de coordenadas, sobre el eje x. Entonces esta
interconversión de energía potencial en fuerza. ¿Cómo se puede calcular
en otro sentido? Mediante la integral. Vamos a dejarlo de momento. ¿Vale?
Ahí estamos, ya de momento. El trabajo de una fuerza variable sería a
través de esta integral de f diferencial de r. Sería el trabajo. ¿De
acuerdo? Este trabajo, si la fuerza no es constante, habría que hacer cada
componente de la fuerza tendría que depender de x y z hacemos tres
integrales y se resolvería. No es habitual en esta asignatura tener que
desarrollar este tipo de integrales. Mucho menos. Es mucho más habitual la
derivación. Pero bueno, que lo sepáis y de hecho el equipo docente lo
pone en los apuntes. Este tema. Si la fuerza es constante sale fuera de la
integral y os queda la expresión que yo os he escrito antes que el trabajo
es el producto escalar de f por r. ¿Vale? Esto es un producto escalar, por
lo tanto, el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno
del ángulo que forman ambos vectores. ¿Todas las fuerzas generan trabajo?
Depende. Tienen que generar desplazamiento. Si no hay desplazamiento, no
hay trabajo. Y si la fuerza y el desplazamiento forman 90 grados tampoco
hay trabajo. ¿Y el trabajo es siempre positivo? No. Si el ángulo que
forma la fuerza y el desplazamiento es menor de 90 grados el trabajo será
positivo. Pero si es mayor de 90 grados el trabajo será negativo porque el
coseno de 180 es menos uno. ¿Vale? Claro, si yo ejerzo una fuerza en
sentido contrario al desplazamiento generaré un trabajo negativo en contra
del sentido del movimiento en el cual se esté desplazando la partícula.
Aquí hay unas expresiones muy interesantes y de hecho en los cuestionarios
las preguntas que hay de la autoevaluación y algunas cuestiones que han
salido después lo hablaremos nos hablan de equilibrio puntos de equilibrio
estable e inestable. ¿Eh? Equilibrio estable e inestable. De hecho hay
algún ejercicio ahí ¿No? Si os acordáis, si lo habéis visto que os
habla nos da la energía potencial y nos dice, por ejemplo, este ejercicio
es también está caído también en alguna prueba ¿No? Un momentito.
Vamos a ver esto. Energía potencial igual a 2x cubo menos 3x cuadrado.
Bueno. Fijaos, cuando tenemos una curva de potencial hay puntos de
equilibrio. ¿Y qué es un punto de equilibrio? ¿Equilibrio estable o
equilibrio inestable? ¿Qué es un punto de equilibrio estable? Es un
mínimo. ¿Veis? Un pozo de potencial. ¿Y por qué es un equilibrio?
Primero, ¿qué quiere decir que sea un punto de equilibrio? Que la fuerza
resultante sea cero. ¿Y cuándo es que la fuerza resultante es cero? ¿No?
Cuando la primera derivada es nula. Si yo hago una derivada ¿No? E igual a
cero en este caso sería 6x cuadrado menos 6x igual a cero. ¿Vale? Esto
sería la primera derivada. Entonces habría dos puntos, ¿no? Una si
sacamos factor común, lo veis enseguida ¿No? Sería 6x menos 6 por x
igual a cero. Para que el punto sea cero o bien x es cero o bien x ha de
ser uno. ¿No? Y tendríamos dos puntos de equilibrio. Entonces, para saber
si es un equilibrio estable o es inestable ¿Qué tendríamos que hacer? La
segunda derivada. Porque el equilibrio es estable si tenemos un mínimo. Un
mínimo. ¿Y por qué? Porque en el mínimo las fuerzas... ¿Veis que las
fuerzas tiran hacia el mínimo? ¿No? Si se separa ligeramente una
partícula de este pozo de potencial, tiene tendencia a volver al mínimo.
Pero sin embargo, si una partícula aquí se separa de esta posición de
equilibrio inestable, se alejaría indefinidamente. ¿Vale? Porque irían a
puntos de menor energía potencial. Por eso se llama equilibrio inestable y
estable. En este caso, si yo hago la segunda derivada ¿Vale? Y
sustituyo... ¿No? La segunda derivada es esto. 12x menos 6 Para x igual a
cero ¿Qué ocurre? Que la segunda derivada ¿Qué es? Negativa. Luego es
un máximo. ¿No? Para x igual a cero ¿No? Es negativo y por lo tanto
tenemos un máximo. Y será inestable. ¿Vale? Ahora bien, para x igual a 1
la segunda derivada es un número positivo. Es 6. Es mayor que cero. Por lo
tanto, tendré un mínimo local. Mínimo. ¿Eh? Y por lo tanto es un punto
con equilibrio estable. Estable. Para x igual a cero sería inestable y
para otro sería estable. ¿De acuerdo? Bueno, así habéis visto la
aplicación. Importante estos conceptos. Que lo tengáis presente. Han
salido algunas veces. Conservación de la energía. Bueno, es que sobre una
partícula pueden actuar fuerzas. Vamos a ver. Globalmente, nosotros hemos
dicho que el trabajo que ejerce una fuerza conservativa es igual a menos la
variación de energía potencial. Y el trabajo total es igual a la
variación de energía cinética. Claro, podemos igualar ambas expresiones
y como veis aquí lo que nos está diciendo es que la variación de
energía potencial más cinética es cero. Por lo que es lo mismo. Que la
suma de ambas energías es constante y es la suma de estas dos energías lo
que se llama la energía mecánica. Entonces, siempre que tengamos un
sistema en que solo actúan fuerzas conservativas fuerzas conservativas
solo fuerzas conservativas la energía mecánica va a ser constante. Va a
ser constante. La energía mecánica va a ser constante. Si solo actúan
fuerzas conservativas, cuidado. Pero si actúan otras fuerzas no
conservativas tenemos que pensar que el trabajo de fuerzas conservativas
Mecánica. Ojo, y como fuerza no conservativa por excelencia la fuerza de
rozamiento. Y por lo tanto, trabajo de rozamiento. Importante. Aquí
tenemos cosas de choques. ¿Qué pasa en los choques? En los choques se
produce la conservación de la cantidad de movimiento. La cantidad de
movimiento antes del choque es igual a la cantidad de movimiento después
del choque. Pero esto en cualquier choque. En cualquier choque la cantidad
de movimiento antes y después es constante. P igual a P' igual a P de Cdm
a la cantidad de movimiento del centro de masas. Porque la velocidad del
centro de masas en los choques permanece constante porque el resultado de
las fuerzas externas es nulo. En los choques la velocidad del centro de
masas es constante. Esto tenerlo presente. Y la cantidad de movimiento
antes y después es constante. Todo esto nos ayuda mucho a la hora, digo
choques como puede ser explosiones. Volveremos a algún ejemplo. Algo que
explota en distintos fragmentos. La cantidad de movimiento de las
partículas antes del choque es igual a después del choque. ¿De acuerdo?
Esto es importante que lo tengáis presente. Y la velocidad del centro de
masas antes y después de la explosión ha de coincidir. ¡Ojo! Y si la
partícula está en reposo si está en reposo la velocidad del centro de
masas seguirá siendo cero. ¿Por qué? Porque no se desplaza. La posición
del centro de masas es constante. ¿Pero qué pasa? Que tenemos distintos
tipos de choques. Esta expresión que tenéis aquí es propia de los
choques estrictamente elásticos. ¿Y qué es un choque elástico? Un
choque elástico es tipo bolas de billar donde la energía cinética antes
y después del choque se mantiene constante. La suma de las energías
cinéticas antes y después del choque es constante. Pero esto sólo ocurre
en los choques elásticos tipo bolas de billar. Todo esto si trabajásemos
esas dos ecuaciones que tenemos aquí, ¿no? Podríamos simplificar y
llegar a esta otra ecuación que es muy útil a la hora de hacer problemas.
Y que siempre os la recomiendo. Esta o la de la derecha. Cualquiera de las
dos. Y así nos ahorramos en una prueba a la hora de resolver un examen
pues tener que resolver ecuaciones de segundo grado. Lo cual no es que sea
difícil pero siempre es tiempo. Lo podemos pasar al otro extremo, a los
choques perfectamente inelásticos. Donde por ser un choque se conserva la
cantidad de movimiento pero ya aquí ya no se conserva la energía
cinética. Hay un trabajo realizado por las fuerzas internas tipo choque
inelástico pues una bala se incrusta en un bloque de madera. Una
plastelina un bloque de plastelina queda incrustado en otro bloque. Ya sea
de plastelina o de otro material adherente. ¿Vale? O algo que explota.
Algo que explota es como el inverso de un choque inelástico. Algo que sale
despedido. Entonces hay un trabajo realizado por las fuerzas internas.
¿Perdona? Es igual a la variación de energía cinética del sistema.
Energía cinética final menos inicial. Después hacemos algún ejemplo.
¿Vale? Ojo. Siempre que no sea perfectamente elástico, la energía
cinética no se va a conservar. Y hay un trabajo realizado por las fuerzas
internas. ¿En qué se invierte? En calor, lo que sea. Deformación.
¿Vale? Rozamiento. Muy importante. La fuerza de rozamiento es una fuerza
no conservativa. El trabajo, la fuerza de rozamiento se define como múpula
normal. La normal es la fuerza de reacción. Todavía no os he dibujado
fuerzas, pero ahora voy a empezar a dibujaros fuerzas. ¿Qué es eso de la
fuerza normal? Pues venga. Tenemos una superficie ¿No? Y un bloque que
descansa. ¿Vale? ¿Qué fuerzas actúan? Veamos. Bueno, yo puedo ejercer
una fuerza si tiro de aquí. ¿Vale? El peso, que es la fuerza de acción
¿No? La tierra atrae al cuerpo. Entonces se ejerce una fuerza, es la
fuerza de atracción. La normal, que es la fuerza de reacción que ejerce
la superficie de contacto sobre el cuerpo. Y ya que hemos dicho de
rozamiento, esto sería la fuerza de rozamiento. Una fuerza que se opone al
movimiento. Esto es una fuerza que se aplica. Esto sería el peso. Esto
sería la normal. Eso sería la fuerza de rozamiento. ¿Vale? Entonces, la
fuerza de rozamiento sabemos que es muy por la normal. Y hay que definir
dos coeficientes de rozamiento. Un coeficiente de rozamiento estático o un
coeficiente de rozamiento dinámico o cinético. Podemos poner K de
cinético. ¿No? De manera que siempre el MU estático es mayor del MU
cinético. Entonces, ¿qué vale esta fuerza de rozamiento? ¿Qué vale la
fuerza de rozamiento? Muy por la normal. En este caso la normal, si
nosotros calculamos la normal va a ser igual al peso aquí. No hay ninguna
otra fuerza sobre el eje Y. Es el peso. Después hablaremos de planos
inclinados, etcétera. ¿Vale? Pero hay una cuestión. Por ejemplo, el año
pasado pusieron un ejercicio que se aplicaba una fuerza sobre un cuerpo y
nos pedían qué valía la fuerza de rozamiento. ¿No? Y nos pedían qué
valía la fuerza de rozamiento. Mirad, es que la fuerza de rozamiento
depende de cómo está el cuerpo. Es decir, si yo aplico una fuerza aquí y
esta es la fuerza de rozamiento alguien me puede decir, la fuerza de
rozamiento vale siempre lo mismo. No. No es constante. ¿De qué depende?
Pues ahora lo vamos a ver. A ver si aquí puedo escribir. Bueno, eso es la
fricción de fluidos. Bueno, y esto ya sería... Eso ya no nos da tiempo de
verlo hoy y haremos ejercicios. Bueno, voy a aprovechar este... Voy a
dibujar aquí. ¿Me permitís? Si no me paso la pizarra todavía. Ahora me
pasaré. Mirad. Quiero que nos demos cuenta vamos a hacer una pregunta de
examen. Yo dibujo aquí unos ejes de coordenadas y aquí pongo el valor de
la fuerza de rozamiento y aquí la fuerza picada o tensión, si es una
cuerda. Yo puedo tirar con una cuerda hacia la derecha. ¿Vale? Y yo aplico
una fuerza. Mirad. Voy a hacer un poquito exagerado. ¿Eh? Y bueno. Mirad.
A medida que yo aplico una fuerza F ¿No? La fuerza de rozamiento va
aumentando. Va aumentando. Es igual a la fuerza de rozamiento. Ojo. Pero
llega un punto máximo aquí que es la fuerza de rozamiento estática. Mu
estática por la normal. Y cuando ya empieza a moverse tenemos aquí otra
fuerza de rozamiento que es la fuerza de rozamiento dinámica o cinética
que es mu cinética por la normal. ¿Eh? Le pongo acá. Aunque después no
pondremos ningún subíndice. ¿Qué es lo que ocurre? Es que mu estática
es ligeramente mayor que mu cinética. Pero si yo aplico una fuerza ¿No?
Ahora imaginaos que yo tengo que la fuerza de rozamiento estática máxima
es de 80 newtons. Y la fuerza de rozamiento dinámica es de 70 newtons. Si
yo aplico una fuerza de 30 newtons estoy por aquí. ¿Cuál es la fuerza de
rozamiento? ¿Es 70 o 80? No. Es 30. La fuerza de rozamiento es 30. Porque
la fuerza de rozamiento no va a ser mayor que la fuerza aplicada sino el
cuerpo se iría hacia atrás. Es un absurdo. La fuerza de rozamiento se va
incrementando a medida que voy aplicando la fuerza hasta que llega un valor
máximo. ¿Qué es cuando empieza a deslizar? Y justo cuando empieza a
deslizar, en ese valor máximo baja la fuerza de rozamiento ligeramente y
aquí, os lo he pintado lineal, pero después siempre ya sabéis que el
rozamiento experimentalmente siempre podemos tener pequeñas oscilaciones.
Aunque esto no aparece en los problemas. Pero experimentalmente es muy
difícil que dependerá de la rugosidad de la superficie. Lo digo porque
esto fue una pregunta de 80 de una prueba del año pasado. Y entonces,
claro, la gente se pregunta oye, pues será como está en reposo le
corresponderá a 80. No. No. Porque si yo aplico 30 la fuerza de rozamiento
solo es 30. Y si no hay ninguna fuerza la fuerza de rozamiento es cero. Si
tú tienes un cuerpo en reposo y no aplicas ninguna fuerza la fuerza de
rozamiento es cero. A medida que tú aplicas una fuerza la fuerza de
rozamiento va creciendo. Igual a la fuerza aplicada hasta que tengas un
valor máximo. ¿De acuerdo? ¿Lo entendemos? Bueno, aquí de fricción en
fluidos ya sabéis que cuando tenemos la caída por ejemplo de cuerpos
podemos tener que sobre todo cuando va con una cierta velocidad que una
fuerza de rozamiento que dependa de la velocidad. Como veis aquí el peso
hacia abajo y una fuerza de rozamiento k por una velocidad v. En el caso de
la velocidad límite es cuando la aceleración ya vale cero o no y por
tanto a partir de aquí despejamos la velocidad del límite que es mg
partido por k. Esto lo tenéis ahí y algún ejemplo aparece. Permitidme
que ahora vamos a hacer algunos ejercicios. Lo primero de todo voy a ir a
la pizarra tenemos la mitad de la clase antes de ponerme... Bien, vamos a
ver ¿Cómo dibujamos las fuerzas en un cuerpo? Tenemos un sistema con
poleas por ejemplo. Hay una cuestión que hay que tener siempre muy clara
con los cables las tensiones. Siempre lo que tenemos que hacer es aislar
cada cuerpo y dibujar todas las fuerzas y a partir de ahí, pues bueno
aplicar la segunda ley de Newton a cada cuerpo de manera individual.
Permitidme que os haga un ejemplo rapidito ¿No? Un momentito. Bueno. Voy a
ponerlo así en primer lugar ¿No? Imaginaos que tenemos aquí dos cuerpos
¿De acuerdo? Uno y otro y que están unidos mediante una cuerda ¿Vale? Y
vamos a dibujar todas las fuerzas que actúan aquí y cómo se resolvería
la aceleración la tensión, ¿no? Y consideremos que hay rozamiento ¿Hay
rozamiento sobre la superficie de contacto? ¿No? ¿Y cuál es la
condición para que el sistema se mueva? Simplemente hagamos un análisis
sencillo ¿Eh? Bueno. ¿Qué tendríamos aquí? Voy a cambiar de color voy
a dibujar las fuerzas por ejemplo ¿Esto qué sería? El peso ¿Esto qué
sería? Una tensión y esto sería otra tensión que soporta la cuerda
aquí arriba ¡Uy! Y aquí otra tensión el peso la normal la fuerza de
reacción y la fuerza de rozamiento en sentido contrario al posible
movimiento evidentemente ¿No? De manera que esto podría ser P1, esto
sería T, aquí pongo T. Claro, de entrada yo podría poner T1 y T2 aquí
T1 y T2 ¿Vale? ¿Mmm? Esto sería P2 esto sería N2 esto sería FR Un
inciso Vamos a ver Siempre que tengamos poleas de masa despreciable como es
en este caso pero ya cuando pasemos al sólido rígido las poleas no son de
masa despreciable y ahí se aplicarían otras ecuaciones pero no es el caso
¿Eh? Poleas de masa despreciable aplicar la ecuación de dinámica
fundamental de la dinámica a esta polea ¿No? Es F igual a M por A ¿Qué
sería? Pues sería T1 menos T2 igual la masa de la polea por A, pero la
masa de la polea es cero ¿No? Porque es de masa despreciable entonces las
dos tensiones serían iguales entonces no tiene sentido poner T1 y T2 y por
eso nunca habréis escrito T1 y T2 pero creo que lo entendáis al menos una
vez ¿Eh? No ponemos T1 y T2, ponemos una única T por cada polea una
única T ¿Vale? Esto sería T esto sería T y de hecho no dibujamos las
tensiones en la polea aunque en este caso por una vez las dejaré Bien.
¿Qué haríamos a continuación? Bueno, primero queremos saber si
realmente bueno, aquí tendríamos un cuerpo y otro cuerpo y claro, se me
impide la aceleración del sistema, la tensión ¿No? Lo primero que
tenemos que saber es si esto se mueve o no se mueve ¿Qué tiene que
suceder para que esto se mueva hacia la derecha? Pues que P1 sea mayor que
Fr, por lo que es lo mismo M1g sea mayor que Mu estático por M2g ¿Por
qué? Porque Fr es Mu por la normal Mu por Mg Mu por Mg ¿De acuerdo? Digo
Mu estático porque muchas veces ni te dan el Mu estático solo te hablan
de una única Mu pero en realidad si está en reposo sería el Mu
estático. Si me dan dos Mus pensadlo que para que empiece a moverse Mg
tiene que ser mayor que el Mu estático por Mg ¿Vale? La normal es el
peso, lo hemos comentado antes Si se cumple esto, vamos a ser capaces de
calcular la aceleración Claro, si no se mueve ya no tiene sentido ¿No?
Claro, no tiene sentido ¿Cuál sería la tensión si no se mueve? Pues el
peso que está colgando Pero si esto se mueve ya no es el peso, la tensión
La tensión va a ser menor ¿Vale? Vamos a verlo Aplicamos la segunda ley
de Newton a cada cuerpo P1 menos C igual a M1 por A De aquí T menos Fr
igual a M2 por A Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. Se puede mejorar
esto Sí. Aquí se puede poner T menos Mu Mg2 igual a M2 por A Y si sumáis
las dos ecuaciones elimináis la tensión, calculáis la aceleración y a
partir de la aceleración podéis obtener la tensión. Fijaos que al
despejar la tensión del cuerpo que está colgando ¿A qué es igual? A P1
menos Ma Es menor que el peso La tensión es M1G menos M1A ¿De acuerdo?
Pues este era un ejemplo que os quería poner, pero permitidme qué pasa
por ejemplo antes de pasar a los ejercicios que tenemos ahí Imaginaos un
vehículo que toma una curva Toma una curva y queremos saber la máxima
velocidad que puede ir para no derrapar por la curva Voy a pintar así el
vehículo ¿Vale? ¿Cuál sería la máxima velocidad? ¿De qué va a
depender? La máxima velocidad ¿Qué puede tomar un vehículo en una curva
para no derrapar? Bueno, hay que pensar que tiene que haber una fuerza de
rozamiento Si no derrapará, eso está claro Tenemos claro, ¿no? Bien Pero
dices, bueno, ¿qué fuerzas actúan aquí? Pues vamos a verlo El vehículo
toma la curva Ahora vamos a dibujar las fuerzas Venga, el peso siempre
hacia abajo, la normal como fuerza de reacción ¿Vale? ¿Y cómo es la
fuerza de rozamiento? ¿Qué me hace la fuerza de rozamiento oponerme al
posible movimiento? ¿Y cuál es el posible movimiento? Derrapar hacia la
parte exterior de la curva Por lo tanto, la fuerza de rozamiento se
opondría a ese movimiento de derrape ¿No? Es decir, aquí ¿qué
tendríamos? El peso, aquí la normal y aquí la fuerza de rozamiento ¿Y
qué más tenemos aquí? Una aceleración ¿La aceleración es una fuerza?
No Hay que dibujar la aceleración sobre el cuerpo No lo hagáis, para no
mezclar fuerzas y aceleraciones Evidentemente que aquí hay una
aceleración Es una aceleración normal Movimiento circular, recordémoslo
Voy a dibujarlo Este vector Pero lo voy a poner de otro color No sé de
qué color utilizar Bueno, este mismo Uy, perdonad Lo he hecho, lo he
dibujado Después de la ficha Esto sería la aceleración normal o
aceleración centrípeta ¿Vale? La aceleración normal o aceleración
centrípeta ¿Vale? Que va dirigida hacia el centro ¿Sí? Bueno Entonces,
¿cuál es la condición para que esto no derrape? Pues si yo aplico la
segunda ley de Newton F igual a m por a La condición es que al menos la
fuerza de rozamiento sea igual a m por a que es la única fuerza que actúa
Al menos debe ser igual a m por a la fuerza de rozamiento ¿No? ¿Y qué es
la aceleración aquí? La aceleración normal Entonces, mu por mg es igual
a m v cuadrado partido por r Y a partir de aquí puedo sacar la velocidad
máxima Que sería raíz cuadrada de qué De mu gr Velocidad máxima Raíz
cuadrada de mu gr ¿Por qué? Porque si me va la masa ¿No? Y esto sería
la máxima velocidad. ¿De qué depende? Del radio y del coeficiente de
rozamiento ¿Eso qué quiere decir? Que las curvas de mayor radio, cuanto
mayor sea el radio de la curva menos cerrada puede tomarla a mayor
velocidad Lógico ¿No? Siempre cuando vayamos a tomar una curva en la
carretera ¿No? Siempre podemos ir a mayor velocidad por la parte más de
mayor radio Y evidentemente a mayor coeficiente de rozamiento mayor
rugosidad mayor adherencia, mayor velocidad posible ¿De acuerdo? Bueno
Seguimos Vamos a ver Bueno aquí hay algo de cuestiones Esto cayó en
algún Vamos a ver este archivo si os parece Hay cuestiones que están por
resolver y algunas resueltas ¿Vale? Dice aquí, esto fue un examen, dice
una masa de dos kilos está sujeta donde esté una cuerda cinco metros de
longitud ¿No? La masa se mueve con una trayectoria circular sobre la
superficie sin fricción Aquí no hay rozamiento y nos dice que la tensión
de rotura es de cuarenta newton, pues es la máxima velocidad que podemos
tener ¿Vale? Nos dice la máxima velocidad nos da la longitud de la cuerda
que son cinco metros Vamos a ver las fuerzas a actuar ¿Si? Esto sería el
peso ¿Vale? Esto sería la tensión ¿Vale? Y esto sería la normal Las
fuerzas a actuar Qué importante es saber dibujar las fuerzas bien en cada
momento El peso La normal y la tensión ¿Vale? Son fuerzas que están
aplicadas sobre el cuerpo Hay más fuerzas No, en un principio no hay más
fuerzas ¿Vale? ¿Si? Bueno, alguien me dice ¿Por qué dibujas la normal
sin el rozamiento? Bueno, pues es una fuerza que actúa Pero evidentemente
lo que hace es que el sistema esté en equilibrio El módulo de la normal
será igual al módulo del peso y punto No hay rozamiento, no tenemos nada
que decir Pero aquí este cuerpo está dando vueltas ¿Si? Está dando
vueltas ¿Y qué ocurre al dar vueltas este cuerpo? Pues este cuerpo está
dando vueltas y tiene una aceleración normal ¿Dirigida hacia dónde?
Hacia el centro ¿Vale? Vamos a dibujarla pero no la vamos a dibujar
aplicada al cuerpo como hemos dicho antes sino por aquí ¿Vale? Esto
sería la aceleración normal Entonces ¿Qué nos pide el problema? La
máxima velocidad ¿Cuál será esa máxima velocidad? Pues aquella que
haga que al aplicar la segunda ley de Newton F igual a m por a a este
sistema la tensión sea igual a la masa por la aceleración normal Es
decir, la tensión sea mv cuadrado partido por r que es el radio que es la
longitud de la cuerda Entonces la máxima velocidad aquí ¿Eh? Porque no
podemos superar esta tensión es cuando el término m por a sea como
máximo la tensión que son los 40 newtons o sea, la raíz cuadrada de t
por l partido por m ¿No? Y a partir de aquí tendría la máxima velocidad
¿Eh? Sería la tensión que es 40 por la longitud que es 5 serían 200
partido por 2 serían 100 y la raíz de 100 es 10 ¿No? Esta sería la
solución ¿No? Si sustituimos ¿Vale? Bueno, un poquito más A ver esta
Dice, se suelta un péndulo ¿No? que estaba separado a un cierto ángulo
de la vertical cuando pasa por la vertical la tensión de la cuerda es
igual al peso es menor ¿No? La tensión de la cuerda es mayor ¿Qué pasa
con la tensión abajo del todo? ¿No? Bueno, vamos a verlo este en
concreto, aunque lo podemos hacer extensible a un problema mucho más
amplio un péndulo que esté dando vueltas ¿No? Aquí tenemos una
posición aquí tenemos otra posición y aquí tenemos una posición
horizontal ¿Vale? Por ejemplo Acá también tenemos la otra posición
horizontal pero no nos va a aportar nada nuevo Voy a dibujar las fuerzas en
los tres casos, aunque después también podemos dibujarlo para un ángulo
cualquiera Sería un poquito más complicado pero vamos a empezar con esta
que sigue más sencillo ¿Vale? Bien, pues veamos Pujamos y dibujemos El
peso, el peso siempre es vertical y dirigido hacia abajo Aquí no tienes
que tener ninguna duda ¿Eh? Ninguna duda El peso siempre es vertical hacia
abajo ¿Vale? Puntero ¿Vale? Bien, la fuerza, la tensión ¿Qué será la
tensión? La tensión siempre es una fuerza que va del cuerpo hacia la
cuerda Recordarlo La tensión siempre es una fuerza que va del cuerpo hacia
la cuerda La voy a dibujar de otro color ¿Vale? Esto sería la tensión
Ahora después pondré letras ¡Anda! Esto es la tensión y esto es la
tensión ¿Vale? En azul la tensión en rojo el peso Y nos quedaría por
dibujar la aceleración Esto es un movimiento circular y la aceleración
iría hacia dónde? Hacia el centro ¿Qué color cogemos? Por ejemplo, por
aquí la aceleración por aquí la aceleración ¿Vale? Pues vamos ya a
poner letras Esto es la aceleración normal ¿Vale? Siempre hacia el centro
En rojo hemos dicho que era el peso en los tres casos Y la tensión en azul
La tensión ¿Qué relación tenemos aquí? Vamos a aplicar la segunda ley
de Newton en las tres posiciones Ya sé que aquí el ejercicio solo me pide
la posición más baja Pero me permitís que o lo haga y así lo hago más
extensible y lo generalizamos ¿No? Bien Aplico, bueno voy a ver distintas
posiciones A ver Ven Posición 1 Posición 2 y la 3 que es la que nos cuida
el problema La 1 Veamos F igual a m por a Todas las fuerzas tienen el mismo
sentido que la aceleración Luego será peso más tensión igual a m por a
sub n Por lo tanto la tensión será mv cuadrado partido por r menos mg Eso
sería 1 Y el 2 Posición horizontal Ojo, el peso ya no interviene Es
perpendicular a la aceleración La tensión es igual a la masa por la
aceleración normal La tensión es igual a mv cuadrado partido por r Siendo
r la longitud de la cuerda ¿No? ¿Vale? Y posición 3 que es lo que nos
piden Ojo, tensión que tiene el mismo sentido que la aceleración menos el
peso es igual a la masa por la aceleración normal Luego la tensión es
igual a mg más mv cuadrado partido por r Bueno, entonces ¿Qué podemos
decir? Que en la posición más baja la tensión es mayor que el peso de lo
que nos pide el ejercicio ¿No? ¿La energía cinética de la lenteja es
igual al trabajo que sobre ella ha realizado la tensión? No. Esto es muy
importante Quiero que os deis cuenta que la tensión aquí no realiza
ningún trabajo ¿Sabéis por qué no realiza ningún trabajo la tensión?
Porque siempre es perpendicular al desplazamiento Os dije antes en un
momento determinado que el trabajo es fuerza por desplazamiento por el
coseno del ángulo que forma la fuerza y el sentido de movimiento Todas las
fuerzas generan trabajo No. Primero tiene que haber desplazamiento ¿Aquí
hay desplazamiento? Sí Pero la fuerza, la tensión en concreto en concreto
la fuerza es perpendicular siempre al desplazamiento porque el
desplazamiento no lo determina quién la velocidad que es tangente a la
trayectoria está dando vueltas por lo tanto, la C no puede ser y la
tensión tampoco es igual al peso sólo puede ser igual en ningún caso es
igual al peso hay que tener en cuenta. Si estuviese en reposo sí si
estuviese en reposo sí que sería igual al peso y fijaos que la posición
más alta ¿No? La tensión ¿Dónde es máxima la tensión? Siempre en la
posición más baja Cuando tenemos algo que está dando vueltas ¿Dónde se
va a romper? Siempre en la posición más baja ¿Eh? Porque la tensión es
mayor ¿De acuerdo? Bueno, aquí tenéis uno que está resuelto os invito a
que lo miréis hay algunos también de cinemática Aquí por ejemplo una
persona está de pie en un ascensor ¿Cuál es la fuerza que ejerce el piso
del ascensor sobre la persona? Pues depende no tiene por qué ser el peso y
alguien dice ¿y esto por qué no tiene por qué ser el peso? Depende si el
ascensor está en reposo o está acelerando, claro la fuerza de reacción
fijaos, claro esta pregunta tiene una cierta dificultad ¿no? Imaginaos que
tenemos un ascensor y un cuerpo dentro y claro si el ascensor está en
reposo o MRU la fuerza de reacción sí que es el peso porque solo hay
estas puertas no hay nada más Es decir, tenemos el peso y la normal ¿eh?
el peso y la normal ¿de acuerdo? De manera que la normal perdón es igual
al peso igual a MG la normal es igual al peso igual a MG ¿sí? Bien, pero
¿qué pasa si eso tiene aceleración? ¡Ojo! Si tenemos una aceleración
imaginaos que tenemos una aceleración hacia arriba no lo pinto, ya no lo
pinto sobre el cuerpo, no es una fuerza ¿eh? Es una aceleración Para
saber la normal tendría que aplicar la segunda ley de Newton F igual a M
por A ¿Fuerzas a favor de la aceleración? La normal. ¿En contra? El peso
igual a M por A Luego la normal sería igual al peso más MA. Aquí la
fuerza de reacción sería mayor que el peso. De hecho si esta persona
estuviese aquí sobre una báscula si el ascensor está en reposo o un
movimiento no tiene un uniforme la báscula marcaría el peso, pero si sube
hacia arriba marcaría más la báscula, que es la normal peso más MA. Y
si fuese la aceleración hacia abajo, lo contrario marcaría menos ¿vale?
Bueno, estas son cosas de cinemática que os invito a que, si no lo habéis
visto todavía pues, el gradiente de un escalar en un punto el gradiente,
no lo hemos comentado lo tenéis en la teoría ¿no? Nosotros tenemos
curvas de nivel ¿no? Curvas equipotenciales ¿no? Yo dibujo curvas
equipotenciales ¿no? Esto sería potencial constante ¿no? El gradiente
acordaos que os puse que la fuerza es igual a menos el gradiente de la
energía potencial ¿no? El gradiente es este gradiente, ese vector, es un
vector que siempre es perpendicular a las líneas de campo a las curvas de
nivel es perpendicular a las curvas de nivel perpendicular a las curvas de
nivel, perdón, perpendicular a las curvas de nivel y va dirigido pues de
menos a mayor, claro, incremento Otra cosa es la fuerza que tiene sentido
contrario a ese gradiente pero siempre es perpendicular a las curvas de
nivel ¿vale? Nos indica la dirección de máxima variación del campo
cuidado con ese sentido nos indica la dirección de máxima variación del
campo vectorial ¿no? De la fuerza bien, bueno aquí este ejercicio lo
hemos visto antes, vamos a ir a otro archivo si os parece bien ahora por
ejemplo, este ejemplo de aquí que es muy interesante ya os comenté el
otro día de que los ejemplos que nos pone el equipo docente para trabajar
os recomiendo que lo consideréis y vamos a trabajar un poco esto porque es
un problema de trabajo y energía aunque no lo voy a desarrollar sí que
voy a poner bueno, pues voy a poner algo parecido a esto ¿no? A lo que
veis aquí con un resorte, para que veamos un poco qué es lo que se cumple
qué es lo que se deja de cumplir qué es lo que podemos aplicar en cada
tramo este es un ejercicio donde simplemente para pasar de A a B, la
energía potencial elástica del cuerpo se transforma en cinética, junto
con la energía potencial ¿no? Pero vamos a verlo con un par de ejemplos,
permitidme, voy a cambiar ahora me voy a poner la pizarra y os pongo algún
ejemplo de la pizarra un poquito más sencillo que este para que, bueno,
sencillo no tan, con tantos apartados ¿no? y ahora lo vamos a ver os queda
poquito, pero vamos a ver este ejemplo y ya el próximo día vemos ya
cuestiones de choques, aunque abriré el archivo pues si tenéis tiempo
mirad, tenemos un cuerpo en una superficie horizontal ¿no? está apoyado
aquí no hay variación de altura ¿vale? y tenemos aquí en el extremo un
resorte ¿vale? aquí tenemos un cuerpo de masa m1 que va a una velocidad
v1 y aquí un resorte de constante k y tenemos aquí un coeficiente de
rozamiento y queremos saber la máxima distancia que se comprimirá el
muelle vamos a suponer que hay rozamiento o que no hay primero rozamiento y
después con rozamiento ¿vale? bien, este cuerpo se dirige como veis hacia
la derecha ¿no? y vamos a ver primero en el caso ¿qué queremos calcular?
queremos calcular queremos calcular ¿qué queremos calcular? queremos
calcular lo que se comprime ¿eh? ¿cuánto se comprime este muelle? vamos
a hacerlo con letras todo ¿vale? esta distancia que tenemos aquí le vamos
a llamar de ¿vale? del cuerpo hasta el muelle pero vamos a necesitar en
algún caso sí y en otros no ¿vale? entonces si no hay rozamiento si mu
es cero, no hay rozamiento claro, aquí ¿cuál es la situación? la
situación final la situación final es el cuerpo que comprime este muelle
¿no? ¿vale? ¿cuánto lo comprime? pues una distancia x lo comprime una
distancia x ¿vale? bien, entonces veamos lo que tenemos que darnos cuenta
es que si no hay rozamiento trabajo de rozamiento es cero la energía
mecánica es constante pues simplemente ¿qué va a pasar aquí? que toda
la energía cinética del bloque un medio de m por v sub 1 cuadrado se va a
transformar en energía potencial elástica del resorte, porque al final el
cuerpo se parará cuando ya no se comprime más ¿vale? de manera que a
partir de aquí podemos sacar la distancia que se comprime y ya está
¿qué pasa si hay rozamiento? ya acabamos, lo dejamos pues me voy a seguir
con más ejemplos ojo si hay rozamiento si el trabajo de rozamiento es
distinto del cero, hay que dibujar fuerzas peso, la normal y el rozamiento
ay, perdón he equivocado, peso la normal y fr ¿vale? ¿y qué es fr? mu
por la normal en este caso, mu por el peso solo ¿vale? ¿de acuerdo?
entonces ¿qué aplicamos aquí? pues decimos que el trabajo de rozamiento
es igual a la variación de energía mecánica del sistema es decir, la
fuerza de rozamiento con el espacio recorrido que es d d más x, cuidado
por coseno de 180 porque va en sentido contrario al movimiento ¿a qué es
igual? a la energía mecánica final que solo es la potencia elástica del
muelle menos la energía cinética del cuerpo y de aquí tenemos una
ecuación de segundo grado donde tenemos que despejar la x y la fuerza de
rozamiento es mu por la normal ¿de acuerdo? bueno, pues hasta aquí este
ejemplo me vais a permitir que os abra algún archivo más que había
traído porque ya lo trabajaremos el próximo día este aquí es de unos
ejercicios interesantes, si lo queréis tenéis tiempo y queréis trabajar
estos días alguna cosita más a ver esta no esta no era a ver, a ver lo
vamos a ir dejando ejemplo este lo hemos abierto, sí un momentito tengo
por aquí abajo aquí aquí tengo este estos son unos ejercicios que el
próximo día vamos a trabajar un poco ¿eh? lo que puede ser interesante y
también este de un examen si lo queréis mirar es interesante ¿eh? bueno
y este otro que tengo aquí este también este otro que también os había
preparado y ya si acaso veré y os cuento el próximo día un poquito es un
ejemplo de fuerzas que bueno, os lo contaré un poquito ¿eh? venga pues
tenéis material para trabajar ¿eh? pensad siempre en las recomendaciones
del equipo docente, venga ánimos hasta la próxima