Venga, ya está grabando, ¿de acuerdo? Por recordar lo que vimos la
semana pasada. ¿De acuerdo? La semana pasada empezamos con el método de
Gauss. Recordar que hay tres tipos de operaciones elementales que podemos
hacer a las matrices. ¿Vale? Y con ello vamos consiguiendo matrices
equivalentes. ¿De acuerdo? Vimos un método, ¿vale? Para conseguir
matrices equivalentes, que son las matrices, para conseguir matrices
escalonadas. ¿Vale? Vimos lo de una matriz escalonada, ¿de acuerdo? Vimos
la definición. También vimos lo de una matriz escalonada reducida. ¿De
acuerdo? Que es lo mismo como matriz escalonada, lo único que todos sus
pivotes son la unidad y además en la columna donde hay pivotes, ese pivote
es el único elemento que es distinto de cero. ¿De acuerdo? O sea, la
definición de matriz escalonada reducida. ¿De acuerdo? Lo último que
vimos es un teorema que se puede, se puede demostrar con el algoritmo que
vimos para convertir una matriz cualquiera en una matriz escalonada y es
este teorema, que es de cualquier matriz, cualquier matriz que os dé la
gana, es equivalente a una matriz escalonada. ¿De acuerdo? Y lo último
que comentamos es, bueno, la demostración, ¿vale? Lo que os comenté es,
oye, para empezar a habituarnos al lenguaje matemático, a las
demostraciones, no está mal que el algoritmo, que es bien sencillo, que lo
vimos paso a paso, ¿vale? Leerlo en lenguaje matemático, como está en el
libro, es sencillo. Lo último que vimos, que creo que lo comentaste tú,
es cuando hicimos un ejercicio, creo, dijiste, oye, pues esto no está mal
hecho, porque aquí tenía como una especie de, no un error, ¿vale? Pero
un paso como un poco rápido, ¿vale? Entonces dijimos, oye, es que esta
matriz, porque con el 4, pues también es equivalente, en serie escalonada
reducida, si yo aquí... A ver, a ver, que se sume el doble. Uy, parece que
lo he puesto al revés. Es que ahí, efectivamente, iba un poco raro. Vale.
Lo he dicho. Pues, por ejemplo, no sé, también es equivalente a 3, 6, 1,
2, y esta vez se lo multiplico por un medio, ¿no? Pues me quedaría en 0,
0, 1, 3, y esta sí la multiplico por un cuarto, en 0, 0, 0, 1, 0. 0, 0, 0.
Esta matriz también es escalonada, ¿vale? Esta también serviría, ¿de
acuerdo? Entonces lo que dije es, oye, vale, lo siguiente que vamos a ver
es que toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada, pero
esa matriz escalonada no es única, ¿vale? Sin embargo, esa matriz
escalonada no es única y el siguiente teorema que vamos a ver es, oye,
toda matriz es equivalente a una única matriz escalonada reducida, ¿de
acuerdo? ¿Vale? Entonces, como hemos visto que esto es una relación de
equivalencia, ¿vale? Una matriz escalonada reducida me define una clase de
equivalencia, ¿vale? Que está formada por todas las matrices, ¿vale? Que
son equivalentes a esa única matriz escalonada reducida, ¿vale? ¿De
acuerdo? ¿Vale? Entonces, toda matriz es equivalente a una matriz
escalonada reducida, ¿vale? Y esta matriz escalonada lo que veremos es que
es única, ¿vale? Entonces, aquí tenemos un ejercicio, pues bueno, hay
una, una, ¿vale? El asterisco es una porque lo que se ha avanzado es que
es única, ¿vale? No es una, sino que es única. Es la única matriz
escalonada reducida. Entonces, si queréis, pues bueno, no sé si podéis
practicarlo o queréis hacerlo, ¿vale? Seguir el algoritmo, el algoritmo
que vimos el otro día, ¿de acuerdo? Venga, o bueno, si no queréis, o
sea, si se sigue el algoritmo, de la demostración, pues aquí lo vamos a
conseguir siempre. Ahora bien, lo suyo es, pues bueno, coger un poco de
agilidad, hacerlo un poquito más rápido, ¿no? Pues eso, por ejemplo,
aquí que veis 3-6-3-6, pues ahí en un primer paso con lo que podemos
fusilar nos es todo esto, ¿no? Por ejemplo, ¿de acuerdo? Entonces, aquí
un cambio que haríamos, ¿de acuerdo? Pues sería, vaya, pues por ejemplo,
a la fila 3, la voy a convertir en la fila 3, menos la fila 2, ¿no?
Entonces, esto que pasa a ser la 0-0-2-6, la 3-6-1-2, aquí 0-0-1-3 y la
0-0-1-5, ¿vale? ¿De acuerdo? Sigo a lo cual. El siguiente paso que
podemos hacer es intercambiar filas para ponerlo esto un poquito ordenado,
¿vale? ¿De acuerdo? Bueno, pues aquí tendríamos 3-6-1-2, ¿vale? Y
luego, bueno, por ejemplo, 0-0-1-2, la 0-0-2-6 y la 0-0-1-5. La verdad que
no sé si lo estoy haciendo, si lo tengo bien, ¿puede ser? No, vale.
Bueno, para hacer... Entonces, ¿qué es lo que podemos hacer con el
siguiente paso? Pues oye, aquí ya tenemos un pivote número 1 hacia ceros
por debajo, ¿no? Con este pivote de aquí, todos ceros por debajo. ¿De
acuerdo? Serían 3-6-1-2, 0-0-1-2 y con ese 1, ceros por debajo, ¿vale?
Entonces, aquí la fila 3, ¿vale? Será la fila 3 menos 2 veces la fila 1,
entonces será... 0-0-0-x6-4-2, aquí 0-0 y aquí la última fila, la
cuarta, menos la segunda, ¿no? 1-1-0 y 5-2-3, ¿no? Y bueno, y aquí si
queréis seguir, pues bueno, esto lo que tendríamos que hacer es... Pues
esta la multiplicas por 2, esta por 3 y la sumas y evidentemente la última
no desaparece, ¿no? ¿Vale? Bueno, pues la última fila... La fila 3
equivale a la reducida, ¿vale? La que sería equivalente sería... Esto lo
multiplicamos por un tercio, ¿no? Sería 1-2-1-3-2-3. Ya tenemos nuestro
pivote, ¿no? Bueno, antes de hacer todo eso, perdón, pues aquí he ido a
despabilar. Yo creo que es más fácil. A ver... Creo que es más fácil si
primero conseguimos que en este pivote... En este, ¿vale? Los unos,
¿vale? Vamos a hacerlo despacio, ¿vale? 3-6-1-2 para ver el algoritmo
bien. 0-0-1-2. Esta se nos convertiría directamente en 1. Y esto todo en
ceros, ¿vale? ¿Qué nos falta ahora? Pues que la columna donde tenemos
los pivotes sea la única columna... O sea, el único elemento de la
columna. Que sea no nulo, sea el pivote. ¿Vale? ¿De acuerdo? Entonces,
con este 1 de aquí, hacemos 0 ahí y 0 ahí. ¿Vale? Con esta... Con este
1... ¿Vale? Haríamos... Pues todo esto por aquí, ceros. ¿Vale? Pues
estos son ceros, pues no aplica absolutamente nada para acá. ¿De acuerdo?
¿Vale? Entonces sería aquí 0 directamente lo que voy a poner y 0
directamente. Pero esto se nos cae bien. ¿Vale? Y ahora lo mismo. Aquí
que tengo un 1, siguiente paso... Con menudo orden estoy teniendo, ¿eh?
¿Vale? Con ese 1 de ahí, pues un 1 por ahí. ¿Vale? Con este 1 de
ahí... Con ese pivote... Hago ceros ahí. ¿Vale? Pues el mismo paso que
te daría, pues eso nos queda igual. 0-0-1-3-2-0-1-0. Y ahora aquí, pues
eso. Esta nos quedaría 3-6-0-0. ¿Vale? Y ya el último paso, 3 está por
un tercio. ¿No? Nos quedaría 1-2-0-0-0-0-1-0-0-0-1. ¿Vale? Entonces esa
es la punto ampli de escalonada reducida a la que es equivalente esta
magnicinencia. ¿Vale? Hay muchas más matrices que son equivalentes a
esta. ¿Vale? A esta... A esta escalonada reducida. ¿Vale? Pues cualquiera
que sea, multiplica esta por 12. Esta fila por 12. Pues esa fila también
es equivalente a esta única matriz escalonada reducida. ¿Vale? O
cualquier combinación. Pues se mete aquí otra combinación de 7 veces
esta más 3 veces la primera. Esa también será equivalente a esta única
matriz escalonada reducida. ¿Vale? ¿Sí? Pues bueno. Eso es lo que queda
para transmitir. ¿Vale? Que en el teorema la matriz escalonada reducida es
única. ¿Vale? ¿De acuerdo? Y luego, definición. ¿Qué es la forma que
permite por filas? Pues la forma que permite de una matriz A es la única
matriz escalonada reducida equivalente a por filas. ¿Vale? Realmente aquí
lo de por filas no existe. ¿Vale? Pero más adelante, ¿vale? Lo que es la
forma de Hermite tal cual. ¿Vale? Pero esto, esta primera definición o
cuando veáis esto en el libro, es la forma de Hermite por filas. ¿Vale?
Porque la hemos conseguido haciendo, realizando operaciones elementales por
filas. ¿Vale? Por lo que veíamos, pero bueno, ya sabéis que las
operaciones elementales por filas, ¿vale? Es multiplicar la matriz
inicial, ¿vale? Por matrices elementales. ¿Vale? Y esta sería, pues, la
matriz de Hermite. ¿Vale? Eso os acordáis, ¿no? Las operaciones que
estamos haciendo, las operaciones elementales, no es más que multiplicar
la matriz A, ¿vale? Por la izquierda por matrices elementales. Las
matrices elementales serán la identidad a la que hago la operación que
estoy haciendo. Y si quiero intercambiar dos filas, pues cojo esas dos
filas de la matriz identidad y las intercambio. ¿Vale? ¿Vale? Eso para el
proceso lo vimos, ¿no? ¿Sí? Vale, ¿no? Entonces, esto representan las
operaciones elementales que he realizado por filas. ¿De acuerdo? ¿Vale?
Eso os acordáis, ¿no? O sea, voy a poner un ejemplo. Este primer paso,
¿vale? Si esta es la matriz A, esta es la matriz A, ¿vale? Este primer
paso que hemos hecho. Oye, a la fila tres restarle la fila dos. ¿Vale?
Pues esa matriz A multiplicada por la matriz identidad es la que tiene unos
en la diagonal. ¿Vale? Entonces, a la fila tres restarle la fila dos,
¿vale? La matriz identidad será uno, cero y cero, cero, uno, cero, cero y
ahora si a la fila tres y el resto de la fila dos no es más que cero menos
uno, uno, cero, cero, cero, uno. Si esta matriz la multiplico por esta A
obtengo esta. ¿Vale? Nos acordamos de eso, ¿no? Porque todas estas, todas
esto si lo interpretamos como coeficientes, como escalares, estos escalares
lo que me está diciendo es cógete una vez esta fila, cero veces esta,
cero veces esta y cero veces esta. Esta lo que me está diciendo es cógete
cero veces la primera fila, una vez la segunda fila, cero veces la tercera,
cero veces la cuarta. Y esta de aquí, que es la que me cambia esto,
¿vale? La que me cambia esto. Lo que me está diciendo es, oye tío
cógete la segunda fila multiplicada por menos uno y le sumas la segunda y
obtienes esto. Y el resto te lo dejas exactamente igual. ¿Vale? Lo que os
dije de interpretar el producto de matrices como lo que es. Oye, que no es
más que combinar filas o combinar columnas. ¿Vale? ¿De acuerdo? Vale.
Bueno, pues la forma de desminte por filas es la única matriz escalonada
reducida a la que es equivalente a la matriz infinita. ¿Vale? ¿De
acuerdo? Bueno, y cualesquiera dos matrices, ¿vale?, serán equivalentes
si tienen la misma forma de desminte. ¿De acuerdo? Si os dan dos matrices,
no intentéis pasar, no intentéis pasar si os dicen, oye estas dos
matrices son equivalentes. No intentemos pasar por reacciones elementales
de una a la otra porque eso es bastante complejo decir, es que como llego
de la una a la otra, lo único es apuntar el algoritmo que hemos visto, la
forma, el algoritmo de Gauss para conseguir la misma forma de desminte.
¿Vale? Es decir, la misma matriz escalonada reducida. ¿Vale? Si obtengo
la misma, pues esas dos matrices son equivalentes. ¿Vale? Entonces
cualquiera de ustedes que os diga, oye A y B son equivalentes, no,
intentemos de una pasar a la otra directamente porque eso es bastante más
complejo que conseguir una única forma de desminte. ¿Vale? Pues este
teorema, importante. ¿Vale? Acordaos de eso. Oye, si os preguntáis si las
matrices son equivalentes, pues lo más rápido es oye, ¿tienen la misma
forma de desminte? Si las tienen, sí. A no ser que sea muy evidente,
¿no?, que con dos operaciones para resolver la una a la otra. Bueno,
normalmente el ejercicio no es ese. ¿Vale? Vale. Una vez visto esto, bueno
antes de pasar a lo que es el tramo. ¿Vale? Todo esto que hemos visto,
dale por filas, todo, se puede hacer exactamente igual, exactamente igual
por columna. ¿De acuerdo? ¿Vale? Me voy a ir un momento a la pizarra.
¿Vale? Entonces, lo mismo, operaciones elementales por columna se definen
exactamente igual. ¿Vale? Si tú tienes una matriz a uno cero menos uno,
dos cero uno, uno, uno dos, ¿vale? Si yo quiero hacer operaciones por
columnas, tienes los mismos tres tipos de operaciones. ¿Vale? Tres tipos
de operaciones elementales. Multiplicas una columna por escalar, ¿vale?
Por decir, oye, aquí la columna uno la considero siete veces la columna
uno. Este es un tipo de operación elemental por columna. ¿Vale? Entonces
esta se me convierte en la siete cero menos siete. ¿Vale? Dos cero uno y
la uno uno dos. ¿De acuerdo? Otra operación elemental que puedo hacer,
pues oye, el intercambiar. ¿Vale? La columna uno pasa a ser la columna
tres. Pues entonces, la uno cero menos uno viene de aquí y la uno uno dos
me aparece ahí. Y esta la dos cero uno. ¿Sí, no? Y el otro tipo de
operación elemental que dijimos, pues es, oye, la columna dos pasa a ser
la columna dos menos la columna uno. ¿Vale? Pues entonces, esta se me
queda igual, la tercera también y esta de aquí en medio pasa a ser dos
menos uno, uno. Cero menos cero, cero. Uno menos menos uno, dos. ¿Vale? Lo
mismo pero por columnas. Exactamente lo mismo. ¿De acuerdo? Ahora, lo que
os pregunto. Una vez explicado lo que eran las matrices elementales,
¿vale? Por filas. ¿Cómo serán las matrices elementales por columnas?
Multiplico, eso es la matriculación que tengo, pero la tengo que
multiplicar por la derecha. Y las matrices elementales son las mismas de
por filas, pero oye, yo lo que hago es cambiar de la matriz identidad, me
cambia las filas. ¿Vale? Cambia la columna. A tomar por saco. ¿Vale? ¿De
acuerdo? Entonces, por ejemplo, si intentásemos decir, pues, no sé, esta
operación, vamos a escribirla como producto de matrices elementales por
columnas. ¿Vale? Digamos que esta es la matriz A. ¿Vale? ¿De acuerdo? Y
queremos conseguir esta. ¿Vale? La B. ¿Cuál es el producto que tengo que
hacer a A para conseguir B? Pues A. ¿De acuerdo? La tenemos que
multiplicar por la derecha, porque yo lo que voy a hacer es combinar
columnas, ¿no? Combino columnas como combino columnas. Mi columna de la
derecha la interpreto que los coeficientes están por columnas. ¿Vale?
Entonces, a la matriz identidad le hago esta transformación. ¿Vale?
Entonces, la matriz identidad es la que tiene unos en la diagonal. Aquí,
como a la columna 2 le voy a restar la columna 1, no sé. ¿Vale? Oye, la
columna 1 se me queda exactamente igual. La columna 3 se me queda
exactamente igual. Y ahora la columna 2, que es la 0, 1, 0, le tengo que
restar esta. Es decir, que siempre haría así. Menos 1, 0, 0. ¡Uy, va!
Este no es un 0. Eso de ahí es un 1. ¿Vale? Vale, identidad. ¿Vale? Le
restamos. Vale, pero es lo que os decía. Si ahora interpretamos este
producto como, oye, aquí yo tengo coeficientes. Y lo que voy a hacer es
combinar columnas de la matriz de esta. ¿Vale? Esto, lo que me está
diciendo es, cógete una vez esta. Esto es coeficiente. Cógete una vez la
columna 1, le sumas 0 veces la columna 2 y le sumas 0 veces la columna 3.
Por eso se te queda exactamente igual esta columna. Esto, esto es
coeficiente, lo que me están diciendo es, multiplica esta columna por
menos 1, le sumas esta otra multiplicada por 1 y 0 veces esta. Menos 1, 1,
0. Es decir, ¿qué es lo que estás haciendo? La columna resta, resta. Por
eso nos sale aquí eso de ahí. La 1, 0, 2. Y esto, si esto es un
coeficiente, lo que me dice es 0 veces esta, 0 veces esta, 1 vez esta. Por
eso nos queda exactamente igual. ¿Visto? ¿Vale? Entonces ahora por
columnas, las matrices elementales, si las hacemos por columnas, pues se
las multiplico para aquí. Primera transformación. Creo que en el libro,
en vez de elementales por filas... La veréis como Fs. Creo que la
notación, ¿eh? Si no lo miro ahora un momentito. Fs, ¿no? Pues estas,
las matrices elementales, si las hacemos por columnas, las llama Fs. Bueno,
pues será por ahí una, la primera, esta otra vez A. Y si hago K
transformaciones elementales, pues estas son las K transformaciones,
¿vale? Por columnas hechas a la matricina. ¿De acuerdo? Y exactamente lo
mismo. Una matriz es equivalente por columna. A una matriz escalonada. Pero
esa matriz escalonada no es única. ¿De acuerdo? Exactamente lo mismo. Una
matriz es equivalente por columnas a una única matriz escalonada reducida.
Por columnas. ¿Vale? Y lo mismo, la definición de lo que es escalonada y
lo que es escalonada reducida, pues igual, pero por columnas. ¿Qué será
escalonada? Escalonada, pues una cosa así. ¿Vale? Pues, por ejemplo,
aquí yo tenga 1, 0, 2, 3, aquí un 2, 0 y aquí un 4. Y el resto todos
ceros. Eso es escalonada por columnas. ¿Vale? ¿Qué es esa escalonada
reducida? Pues si este y este, pues es menos. ¿Vale? Porque aquí no. Pero
vamos a hacerlo de esta forma. ¿Vale? Estoy viendo muy raro. Esta. Si la
queremos. Escalonada reducida. ¿Vale? Que ese pivote está bien. Voy a
volver a hacerlo. 1, 0. Esto tendría que ser un 1, esto un 0, esto un 0,
esto un 0 y es un 1. ¿Vale? Porque el pivote tiene que ser el único nudo
en su fila. ¿Vale? Entonces en esta fila. Pero en esta fila el pivote no
es la unidad y no es el único nudo. Y aquí lo mismo. ¿Vale? No es la
unidad y no es el único nudo. ¿Vale? Es escalonada por columnas,
escalonada reducida por columnas. ¿De acuerdo? ¿Vale? Y lo mismo.
Entonces una matriz es equivalente a una única matriz escalonada reducida
por columnas. ¿De acuerdo? O sea, todo lo que hemos visto se puede hacer
exactamente igual. ¿Vale? Por columnas. ¿Vale? O sea, que hay una única
forma de ermite por columnas. ¿Vale? ¿De acuerdo? ¿Vale? Yo creo que
falta de esto. Sí, para que quede ya todo listo. Ah, vale. Claro. Lo
último que quiero ver sobre las transformaciones. Las transformaciones por
columnas. Hacer transformaciones por columnas es lo mismo que hacer
transformaciones por filas a la matriz. ¿Vale? ¿De acuerdo? Claro, que si
queréis hacer transformaciones por columnas o las de tipo columna, o la
transponéis y las hacéis por filas. Exactamente lo mismo. ¿De acuerdo?
¿Qué más? Pues, evidentemente, las matrices elementales son las mismas,
¿no? O sea, no. Sí. A la matriz identidad. ¿Vale? Hacer una
transformación por filas de tipo, pues no sé, las matrices elementales,
no sé. La de intercambiar filas, por ejemplo, ¿no? Fila 1 por la fila 2.
Es exactamente lo mismo que la matriz elemental por columnas. La columna 1
por la columna 2, ¿no? Se ve, ¿no? Si este intercambio lo hace a dos
filas, ¿no? Pues esto me queda... O sea, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1. Y
si lo pienso por columnas, pues, bueno, lo mismo, ¿no? Está para allá.
Esta columna es la primera, pero esa es la segunda. Y la segunda es la
primera, ¿no? ¿Vale? Pues estas matrices elementales, aunque se denoten
de manera distinta en el libro, pues es la misma. ¿Vale? Me da igual hacer
la operación por filas o por columnas. ¿Vale? ¿De acuerdo? No, a ver, lo
de las clases. Lo he comentado al inicio de la clase, ¿vale? Todavía no
lo he solucionado. He preguntado a ver cómo las puedo subir al área de
documentos para que sea más sencillo. Me he deportado en el campus, pero
no me han respondido. ¿De acuerdo? Entonces, lo tengo pendiente a ver si
lo puedo resolver esta semana, ¿vale? El próximo día o el día. ¿De
acuerdo? Vale, venga. Bueno, yo creo que del método de Gauss, yo creo que
está todo. Dime. ¿Tienen algo que ver? O sea, si yo te he dado matrices
para la red de columnas por filas, y hay una matrices para la red de
columnas, es la red de columnas, ¿qué es lo que va a ocurrir? ¿Es lo
mismo que el segundo? Eso es. Vale. O sea, si te pides una red de columnas,
puedes hacer por filas y luego transformarla y ya está. Si te piden una
matriz escalonada por columnas, puedes hacerla por filas y transformarla.
Fíjate. ¿Vale? Eso es. Vale, yo creo que... Vale, bueno. Por último,
solo una cosa, ¿vale? Cuando se dice equivalente por filas o equivalente
por columnas, luego está lo que viene a ser la relación de equivalencia.
¿Vale? Se dice que... A es equivalente a B y esto, ¿vale? ¿Vale? Si
puedes hacer, puedes hacer a la vez transformaciones por filas o por
columnas. ¿Vale? Es decir, si... ¿Qué es esto? Bueno, en fin. ¿Estáis
en casa de ir lo que me sale por aquí o no? Igual no. Vamos, intento
escribir arriba. ¿Vale? Vale, vale, venga, perfecto. Vale, entonces,
puedes hacer transformaciones por columnas o transformaciones por filas y
obtener la matriz B. ¿Vale? Entonces, esta matriz A que se dice
equivalente, no se dice ni equivalente por filas ni equivalente por
columnas, es equivalente a la matriz B, ¿vale? Si realizamos
transformaciones por filas y transformaciones por columnas, ¿vale? ¿Vale?
Eh... Puedo obtener... De la matriz inicial puedo obtener la... La
siguiente, ¿vale? Vale, entonces, tened en cuenta eso. Equivalente por
filas solo hace transformaciones por filas. Equivalente por columnas solo
hace transformaciones por columnas. Luego, que la transformación es por
filas o por columnas es lo mismo que hacer las transformaciones por filas y
la transpuesta. Pero luego, hay dos tipos de transformaciones. Cuando
empiezan a mezclar las dos, y ahí... No, ¿no? ¿Vale? ¿De acuerdo? Vale,
entonces, equivalente, matriz de equivalentes, matriz de equivalentes por
filas y matriz de equivalentes por columnas. ¿Vale? Por filas y por
columnas, ¿sabéis que con la transpuesta una cosa está haciendo la otra?
¿Vale? Pero en cuanto empiezan a mezclar las dos, pues ya no. ¿De
acuerdo? ¿Vale? Vale, pues yo creo que con esto podemos ir ya a ver el
rango. ¿Vale? Que sería lo siguiente. ¿Vale? Nos queda por ver el rango.
La inversa... La inversa y el determinante. ¿Vale? Bueno, estas tres
cositas ya hemos visto un poco un repaso del alto de la matricial. Y ya
pasaríamos a... A siguiente, que son solo los sistemas de pasión de
lineas. Al siguiente... Al siguiente tema. ¿Vale? Entonces, lo primero de
definición, ¿qué es el rango de una matriz? ¿Vale? El rango de una
matriz, pues hay que pensar como que es la dimensión real de la matriz.
¿Vale? O sea, nosotros nos dan ahí el tamaño de la matriz. Pues vale,
tiene filas y columnas. Lo que tenemos que pensar es la dimensión real o
la dimensión real de la matriz. Que tiene escondida esa matriz. ¿De
acuerdo? Entonces, el rango de A. ¿Vale? El rango de una matriz. Va a ser
el máximo número de filas independientes que tiene la matriz A. ¿Vale?
Recordad lo que eran filas independientes. ¿Lo recordamos o os acordáis
de lo que eran filas o columnas? Lo mismo, ¿eh? Cuando antes hablábamos
de filas independientes, exactamente lo mismo. Se puede pensar como
columnas independientes. ¿Vale? Pensad que lo que estamos viendo ahora
como filas o columnas, en un futuro cuando pasemos a espacios vectorales
serán vectores o elementos. Pero en el espacio vectorial. ¿Vale? ¿De
acuerdo? Vale, entonces. Recordad lo que eran filas linealmente
independientes. ¿Vale? Filas linealmente independientes es cuando ninguna
de las filas es combinación lineal de las demás. ¿Vale? Es decir, que no
hay ninguna que yo haciendo una combinación lineal de ellas consigo la
otra. ¿De acuerdo? ¿Vale? Entonces, ¿qué es el rango? Pues el número
máximo de filas linealmente independientes que tiene la matriz O.
Exactamente lo mismo. Podría ser el número de columnas linealmente
independientes que tiene la matriz A. ¿De acuerdo? Vale, entonces.
Proposición. Que esto lo podéis hacer porque es bien sencilla. ¿Vale? El
rango de una matriz escalonada es el número de filas no nulas que tiene.
¿Por qué es el número de filas no nulas que tiene? Si lo pensáis un
poco, al ser escalonada, ¿vale? Al ser escalonada, por ejemplo, en
relación, ¿vale? Que todo esté cero, cero, cero, cero, ¿vale? Si esto
tuviese tres filas, ¿vale? Cuando sea uno, dos, tres, tres, tres, ¿vale?
¿Por qué estas tres filas son linealmente independientes? Porque al ser
escalonadas son linealmente independientes. ¿Cuál es la idea de la
demostración? ¿Cómo lo intentaríais demostrar vosotros? Bueno, por lo
que haya... Hay aquí otra nula, ¿vale? O sea, el que digamos... Oye, lo
que digo es... ¿Por qué el rango de una matriz escalonada es el número
de filas distintas de la matriz nula? O de la fila nula. El rango de una
matriz nula es el número de filas distintas de la matriz nula. O sea, no
sé si lo has explicado bien, pero sí. O sea, ¿qué es lo que pasa con
este elemento? ¿Vale? O sea, una combinación lineal... O sea, serían
linealmente dependientes si yo combinando este... Es decir, alfa veces esta
fila. Alfa uno más alfa dos veces esta fila obtuviese esta tercera.
¿Vale? ¿Hay alguna manera que multiplicando siete veces cero más tres
veces cero obtengas un número que es distinto de cero? Ni de coña. Ni de
coña, ¿no? ¿Vale? O sea, estas tres filas tienen que ser linealmente
independientes. Fijo, pero fijo, fijo. Porque es escalonada. Es decir,
porque ahí hay un elemento no nulo y por mucho que combines aquí
elementos nulos, no sale del cero. No sale del cero ni de coña. ¿Vale?
Entonces, cuatro veces... Eso es. ¿Vale? O sea, más bien es... Oye, ahí
en una dimensión, hay una dimensión que es no nula donde el resto son
todos nulos. Ves esa dimensión en la que me estás. Oye, por mucho que
combines de ahí, no sales. ¿Vale? No sales del cero. Aquí en esta
dimensión... Digamos, la primera coordenada... Bueno, no sé lo que son
coordenadas de vector o tal, ¿vale? Pero así hablando, yo creo que os
acordáis de bachillerato. Esta primera coordenada, si esto fuese un vector
o el primer elemento de la fila, este, ¿vale? Al ser no nulo, por mucho
que combines con estas otras dos filas que tienen todos los elementos
nulos, el primer elemento, nunca vas a conseguir aquí nulo, por mucho que
lo consigas. ¿Vale? Entonces, con estas dos filas... Es decir, con estas
dos... ¿Qué tenemos aquí? Las dos. Las una y la tercera. Es imposible
conseguir la primera. Ni de cuenta. ¿Vale? Entonces, por eso las
escalonadas... ¿Vale? Las escalonadas... Porque si dices el rango de una
matriz escalonada es el número de filas distinta de la fila nula. ¿Vale?
Entonces, en este caso, ¿qué rango tendría esto? Pero que tiene rango 3.
¿Vale? Porque tiene... Es una matriz escalonada. Y tiene tres filas
distintas de la fila nula. ¿Vale? ¿Se entiende? Vale, entonces... Esta
proposición, lo mismo. ¿Vale? Es el concepto que he dicho. Que oye, es
que es imposible que yo combinando aquí ceros obtenga el S1. ¿Vale? Pues
eso. Tenéis la demostración formal, pero básicamente es esto. ¿De
acuerdo? Lo mismo, yo os recomiendo leerlo para irnos acostumbrando. Pero
ver que es simplemente eso. ¿De acuerdo? Lo que he dicho aquí es sencillo
de palabra, pero escrito. ¿De acuerdo? ¿Vale? Teorema. ¿Por qué dos
matrices equivalentes tienen el mismo rango? ¿Cómo lo hemos traído? ¿O
cuál es la idea? Porque dos matrices equivalentes tienen la misma forma de
hermite. Eso es. Y entonces son las mismas filas nulas. Eso es. Esa es la
forma de hermite, por ejemplo, que es una matriz escalonada. Como hemos
visto anteriormente. El rango de una matriz escalonada es el número de
filas nulas. Es decir, tenemos dos matrices equivalentes. Dos matrices
equivalentes tienen la misma forma de hermite. Y la forma de hermite es una
matriz escalonada. Por lo tanto, es la misma matriz escalonada. ¿Vale?
¿De acuerdo? Vale, es decir, que la relación de equivalencia, la
relación de equivalencia que hemos definido, en la que se debe hacer por
filas y equivalencia por columnas, mantiene el rango. Es decir, que el
rango es un invariante. ¿Vale? Por transformaciones elementales. Tú
puedes estar transformando las matrices con operaciones elementales y el
rango se mantiene. El rango, por mucho que hayas tus combinaciones ahí, el
rango es otro. ¿De acuerdo? Cuando pasemos a los espacios vectoriales,
pues se verá lo mismo. Oye, tú por mucho que combines vectores, que el
número de vectores que tienes ahí independientes son un conjunto de
vectores. ¿Vale? Son cuatro vectores. Por mucho que los combines siete
veces un vector más ocho veces otro, más un medio y otro más, por mucho
que los combines, ¿vale? Siempre vas a tener el mismo número de vectores
normalmente independientes en ese conjunto de vectores. ¿Vale? ¿De
acuerdo? Entonces también os recomiendo que todo lo que vamos viendo para
matrices, ¿vale? Y por filas y por columnas, lo miréis con un poco de
futuro a cuando estemos en los espacios vectoriales. ¿Vale? Y trabajando
con ellos. ¿De acuerdo? Mira, pues aquí está la demostración. Os había
puesto una para ir practicando, ¿vale? Demostración del teorema de dos
matrices equivalentes. En el mismo rango. Entiendo que estará metido lo de
la proposición. Si queréis, lo miramos con detalle. ¿Vale? Vale,
entonces las filas nulas de una matriz no forman parte de ningún conjunto
de filas independientes. ¿Vale? Entonces las filitas nulas estas, pues, ni
punta. No es exactamente igual. ¿Vale? En la demostración del teorema.
¿Vale? Luego basta demostrar que todas las filas no nulas son
independientes. Entonces nos venimos a lo que he cogido yo, que
básicamente de la última fila me he olvidado. De la última fila me lo he
olvidado. En el ejemplo que os he puesto. ¿Vale? Entonces, sea una matriz
del tamaño que sea, una matriz escalonada cuyas filas no nulas son las T
primeras, por ejemplo. Yo las reorreno, me dejo abajo las últimas, las
nulas, y voy a las T primeras filas, son las que son distintas. ¿Vale?
Pues supongamos que son dependientes. Entonces tiene que existir alguna
combinación no trivial. Una combinación no trivial es decir, oye, pues
multiplico todo por cero, entonces obtengo cero. Pero eso no vale. ¿Vale?
O sea que todos los alfas sean cero. ¿Vale? Eso es una combinación
trivial. Entonces tiene que haber al menos un elemento alfa de una escala
que sea distinto del cero, para que sea no trivial. ¿Vale? Tiene que
existir alguna combinación no trivial tal que cuando yo coja las T
columnas, obtenga la fila . ¿Vale? Evidentemente aquí es imposible.
Porque para conseguir la 0, 0, 0, este alfa de aquí tendría que ser cero.
Este beta para conseguir la fila 0, 0, 0, 0, 0, 0, como estos dos aquí son
ceros, yo esto lo tendré que multiplicar por cero. ¿Sí? ¿Vale no?
¿Vale? Entonces suponemos que hay una combinación lineal no trivial. Que
puedo obtener la matriz nula. O la fila nula, mejor dicho. La fila nula.
Entonces, sea acá el primer elemento de esta suma para el cual el elemento
que por lo menos tiene que haber uno que sea distinto de cero. ¿Vale?
Porque es no trivial. Como es una combinación lineal no trivial, por lo
menos tiene que haber uno, un alfaca que es distinto de cero. Nos cojamos
el primero. ¿Vale? Entonces, ¿qué es lo que pasa? Pues que todos estos
elementos, ¿vale? Esta combinación será igual... Está un poquito mal
escrito, ¿no? Esto está... Vale, es que aquí... Vale, esto debería
llegar hasta k-1. Se me ha ido ahí el subíndice, ¿vale? Disculpadme. k-1
¿Vale? Vale, esos subíndices... Esto es el contra c contra v debería ir
a la fila. ¿Vale? Disculpadme. ¿Vale? Entonces, la combinación lineal de
la derecha de la igualdad tiene un elemento no nulo. ¿Vale? Entonces, esto
de aquí de la derecha es no nulo. ¿Vale? En la posición del primer
pivote k, entonces sería distinto de nulo con lo que llegaríamos a una
contradicción. ¿Vale? Por lo tanto, todo esto tendría que ser cero en
una combinación lineal trivial. ¿De acuerdo? Es decir, esto sería todo
cero y aquí tenemos ese elemento que es nulo. ¿Vale? ¿De acuerdo? ¿Se
entiende? Vale, bueno, yo recomiendo eso para las demostraciones. ¿Vale?
Ahora al principio, que se entienden muy bien explicándolas... Oye,
leerlas no viene mal. ¿De acuerdo? Luego, realmente en el examen son tres
puntos creo que de teoría-demostración y siete de problemas. Entonces,
también... Bueno, enfocaros en si diréis. ¿Vale? Pero bueno, que siempre
hay tres preguntas o tres puntos de demostraciones o de teoremas. ¿Vale?
¿Qué más? Teorema importante. ¿Vale? Tenemos una matriz de orden n.
¿Vale? Pues a ver... Estos tres enunciados básicamente significan lo
mismo. ¿Vale? Tenemos una matriz cuadrada. Es decir, oye, que la matriz
cuadrada tenga rango n es exactamente lo mismo que decir... Oye, la matriz
cuadrada es equivalente a la identidad. ¿Vale? O es equivalente... Es
exactamente lo mismo a decir que es producto de matrices elementales.
¿Vale? Matrices elementales por filas, matrices elementales por columnas o
combinación de ambas. ¿Vale? Es lo mismo. Es decir, oye, una matriz
cuadrada tiene rango n es lo mismo que decir... Oye, una matriz cuadrada es
equivalente a la identidad. O una matriz cuadrada es producto de matrices
elementales. ¿Vale? Pues si queréis hacemos alguna demostración. Bueno,
de hecho están aquí. ¿Vale? A ver, porque esto es lo mismo que esto.
¿Vale? Pues a ver... Dado que dos matrices equivalentes tienen el mismo
rango... El número de filas independientes en una matriz que no es nada
reducida será n. Y su forma de ermite, por lo tanto, será la identidad.
¿Vale? Por lo tanto, si su forma de ermite es la identidad, A es
equivalente a la identidad. ¿Vale? Y todo esto se puede leer en otro
sentido. ¿Vale? Pero estás demostrando que uno implica dos y que dos
implica uno. ¿Vale? Luego, pues eso, que si A es equivalente a la
identidad, pues A es producto de matrices elementales. ¿No? ¿Esto cómo
se puede demostrar? Pues bueno, como decíamos, por ejemplo... Vale. Que A
sea equivalente a la identidad, como la equivalencia es simétrica, se
puede decir... Oye, la identidad... Bueno, aquí no hace falta. Sí, la
identidad... Vale. A es equivalente a la identidad, entonces... Sí. Como
la relación de equivalencia es simétrica, pues oye, que A sea equivalente
a la identidad implica que la identidad sea equivalente a su n. ¿No?
Entonces, cuando son equivalentes quiere decir que existen matrices
elementales por filas o por columnas. f sub 1 f sub k y sub 1 de tal manera
que consigo la matriz. ¿Vale? Si quitamos la identidad, pues veis que A se
puede describir como producto de matrices elementales. ¿Vale? Esto lo
convertís en E1 o en F1. Esto. Y ya está, ¿no? Entonces se llega a
que... F1 Fk Es la matriz A. Es decir, la matriz A se puede describir como
producto de matrices elementales. ¿Vale? ¿Sí? Vale. Venga, más. Por
ejemplo, pues eso. Si tenemos dos matrices de tamaño m por n, las
siguientes afirmaciones son ciertas. Pues eso. Que A es equivalente a B si
y solo si. A traspuesta es equivalente a B traspuesta. ¿Vale? Que si A es
cuadrada, pues A es equivalente a B traspuesta. ¿Vale? Que el rango de A
es el mismo que su traspuesta. Y que el rango de A es menor o igual al
mínimo del número de filas o el número de columnas. ¿Vale? Vale, aquí
ponía, por hacer un ejercicio, demostrar los puntos 1, 2 y 4. ¿Vale?
¿Queréis intentarlo vosotros un poco y luego hacemos ahora todos juntos?
Venga, ¿cómo demostraríais? Pues por ejemplo, yo creo que lo más
sencillita es A2, ¿no? Que si A es cuadrada, pues A es equivalente a B
traspuesta. ¿Por qué tenéis el mismo rango? Porque si haces... Es lo que
dice aquí, ¿vale? Que tiene el mismo rango. O sea, como utilizáis su
traspuesta, tiene el mismo rango. Sí, pero si haces la escalona de
reducción de A... Sí, sí. Va a tener el mínimo número de columnas del
mundo, pues el mínimo número de filas de A2. Eso es. ¿Vale? Vale, pues
eso sería una... Una manera de demostrarlo, ¿no? La matriz es cuadrada.
¿De acuerdo? ¿Vale? Tiene el mismo número de filas que de columnas.
¿Vale? Entonces, que sea equivalente. O sea, que sean equivalentes, ¿no?
Podemos decir que la matriz A al final acaba siendo equivalente a su forma
de admite, ¿no? La forma de admite de A. ¿Qué pasa con esta forma de
admite de A? Y de traspuesta. ¿Qué pasa con ellos? Vale, a ver. Espera.
Vamos a... A ver, la forma de admite... Es que yo creo que he ido un
poquito rápido. La forma de admite por filas. Ni por filas ni por
columnas. La forma de admite, ¿qué forma tiene? ¿Cómo es la forma de
admite? De una relación de equivalencia. De la relación de equivalencia
tanto por filas como por columnas, ¿vale? ¿Cómo se hace la forma de
admite? De una matriz A. No, no, no. Bien. Es escalonada reducida. ¿Vale?
Sí, pero ¿qué más? Si aplicas transformaciones por filas y por
columnas, al final, ¿qué llegas a obtener? Yo creo que aquí pasa un poco
de penada. A ver, la forma de admite, ¿dónde está? ¿Dónde está? Vale.
¿Cómo será la forma de admite? ¿Alguna idea? La matriz de identidad,
casi. O sea, la forma de admite, ¿vale? Si lo escribimos por bloques,
¿vale? Aquí tiene la identidad, ¿no? Eso sí, ¿no? Eso es lo que
quería decir, ¿vale? La forma de admite, cuando hacemos transformaciones
por filas y por columnas, digamos una cosa de este tipo. ¿Vale? Pues esto
nos diría, esto nos diría que esa matriz A tiene el rambo de esa matriz A
es... Es la identidad de orden R. Es la señal R. Eso es. ¿Vale? Esto
igual nos lo pasa un poquito rápido, ¿vale? Pues la forma de admite,
tanto transformando por filas y por columnas, llegamos a una forma así.
¿Vale? Si hacemos transformaciones, eso. Elementales por filas y por
columnas. Llegamos a obtener aquí la matriz identidad. ¿Vale? ¿De
acuerdo? Entonces, ¿qué es lo que ocurre cuando... Para demostrar esto,
por eso que sea cuadrada... A ver si es equivalente a su traspuesta.
¿Vale? Pues la matriz A será equivalente a su forma de admite. ¿Vale?
Que esto será de la forma... Pues así, ¿no? Y a traspuesta es
equivalente a la forma de admite de su traspuesta. Pero la forma de admite
de su traspuesta, ¿vale? Pues será exactamente la misma. ¿Vale? Por eso
tiene... Eso. Son equivalentes, ¿vale? Porque tienen la misma forma de
admite. ¿De acuerdo? ¿Vale? Vale, entonces la forma de admite... ¿De
acuerdo? Vale, esto es importante. La forma de admite de una matriz de
rango R es de esta forma. ¿De acuerdo? ¿Vale? Y luego, evidentemente,
pues bueno... Por eso el rango en la matriz A será el mínimo del número
de filas y de columnas. Por eso si tenemos... Por eso en la matriz... No
sé... ¿Vale? A ver... ¿De dos por tres? ¿Cuál será su forma de admite
común? Muchísimo. ¿Cómo puede ser su forma de admite? ¿Qué dos
matrices...? O sea, ¿qué formas de admite podría tener? Pues... Una que
no... Que no... Una que no quiero... Pero que no quiero... ¿Esta no? Ah...
¿Vale? O la otra... Espera, que tuviese aquí la identidad. A ver si es
esta. Eso es, ¿no? O esta o esta. O sea, podría tener rango 1 o rango 2.
Rango 0, evidentemente, se lo tiene si toda la matriz es la matriz nula.
Vale, rango 1 o rango 2. Lo que no puede tener es rango 3 porque aquí no
entra... Aquí dentro no entra la matriz identidad. Tarda en tres. ¿Vale?
Entonces como mucho será el mínimo entre el número de filas de columnas.
Dicho de otra manera, porque es una matriz de n, m por n. ¿Vale? Tenga, m
filas, m columnas... Como mucho aquí dentro la identidad de... Mucho del
mínimo entre m y n. ¿No? Vale, aquí dentro, por ejemplo, no entra la
identidad de orden 3. ¿Vale? ¿Sí? Vale, bueno, pues eso... El rango de
la matriz cuadrada es igual a su traspuesta. El rango que es el mínimo
entre el número... Es menor o igual al mínimo entre el número de filas y
columnas. Y... Igual. Vale, aquí tenéis otras propiedades. Que bueno, que
se pueden mirar. ¿De acuerdo? Hay alguna bastante bonita. La
demostración. ¿Cuál es esta? Está muy chula. Por si la queréis mirar
en el libro. ¿Vale? Que va por... Matrices por bloques. ¿Vale? La
demostración. Que es bastante bonita. Eh... Yo le echaría un ojo de
cuerda. Podéis. Vale, esta del rango... De la matriz suma es menor o igual
que el rango de... A más el rango de B. Está muy bien. Esta es sencilla.
También el rango de A que es igual al rango de... La matriz A. Está
multiplicado por un escalar. ¿Vale? Y estas columnas que utilizamos. ¿De
acuerdo? Pero bueno. Eh... También. ¿Vale? Yo os recomendaría eso. Que
si la podéis echar un vistazo. Sobre todo esta. Está bastante... La
demostración que le he emitido. Vale. Y yo creo que de rangos... Eh... No
tenemos muchos. ¿De acuerdo? Quedaos con esto. El rango, el número de
filas, el número de columnas. Líneas muy independientes. Que tiene la
matriz. ¿De acuerdo? ¿Sí? Vale. Entonces. Eh... Vamos a la inversa.
¿Vale? Que es una matriz inversa. ¿Vale? Entonces. Una matriz de orden n.
Una matriz cuadrada. Se diría que es invertible. ¿Vale? Invertible, que
tiene inversa o que es regular. Si existe otra matriz de orden n. Que se
llamará la matriz inversa. Que la denotaremos como elevado a menos uno.
¿Vale? ¿Que qué es lo que cumple? Pues que al multiplicarlo por la
derecha. La matriz original. O por la izquierda de la matriz original. Se
obtiene. La matriz identidad. ¿Vale? Y luego, definición. Pues el... La
matriz que no tiene inversa. Singular. ¿Vale? Lo llamaremos matriz
singular. ¿Bien? ¿Qué más? Eh... La matriz inversa. Es un tau. ¿Vale?
Tenemos. Bueno. La demostración es sencilla. Si ya es una matriz
invertible. Y C y D son sus inversas. Suponemos que son distintas. ¿Qué
nos pasa? Pues C es la identidad. La identidad podríamos verla como A por
D. Porque D sería su inversa. A por D. Sería la identidad. ¿No? Porque D
es la inversa de A. ¿Vale? Como el producto de matrices es distributivo.
Pues este paréntesis lo podemos mover para allá. ¿Vale? Ahora, como C
también es la identidad. Perdón. Como C también es la identidad. La
inversa de A. Este se convertiría en la identidad. Y obtenemos lo igual,
¿no? ¿Vale? Las matrices inversas son únicas. ¿Vale? ¿De acuerdo?
Vale. Eh... Las inversas de las matrices elementales. Bueno. Pues...
Cambiar filas por columnas se queda exactamente igual. Eh... Al hacer la
combinación lineal. Lo único es que nos cambia el signo. La combinación
que realizamos. ¿Vale? Y el producto por escalares de una fila. Pues es el
producto por elementos inversos. ¿Vale? Pues bueno. No sé si lo queréis
comprobar. Pues cogeis una matriz elemental que sea... Bueno, es que...
Eh... Esta fila multiplicada por 2. ¿Vale? Si queréis comprobar esta.
¿Vale? Pues si la multiplicas por esta. Que es la que se supone que sería
la inversa. ¿Vale? La inversa es esta. ¿Se cumple? Pues sí. Al
multiplicar esto por esto. Obtenemos la identidad. Y si lo multiplicas de
otra manera. Pues no es de la misma. Esto es una... ¿Vale? Si lo
multiplicas por esta. También tienes la identidad. ¿Vale? Es decir que
estas matrices. Pues la inversa de esta. ¿Vale? Un ejemplo. Simple.
Matrices elementales. Las inversas de las elementales. Pues lo que hay que
tener en cuenta. Este cambio de signo aquí. Y esto voy a multiplicar
por... Por el elemento inverso. ¿Vale? Importante. Si tenemos K... Vale.
Eh... Tenemos estas matrices. K matrices invertibles. K más 1 más 2.
¿Vale? K más 2 matrices invertibles. Dado en N. ¿Vale? Se cumple el
siguiente. La transpuesta. La transpuesta de la inversa. Es la inversa de
la transpuesta. Y el producto de la inversa. ¿Vale? Que cambia de orden.
¿Vale? El... La inversa de un producto. Pues es... La inversa de la
segunda. O la inversa de la primera. Y lo mismo si lo estuviéramos
multiplicando K matrices. ¿Vale? Este es importante. Este problema. ¿De
acuerdo? Estas propiedades. ¿Vale? De las matrices inversas. Eh... ¿Qué
más? Este teorema es lo mismo. Eh... Tenemos la matriz de orden N. ¿Vale?
Todos estos enunciados son equivalentes. ¿Vale? A... A es invertible.
Luego puse A es inversa. Si A es invertible o tiene inversa. ¿Vale? Aquí
sí que podríamos aplicar esta propiedad. ¿Vale? Que si B por A es igual
que C por A. Entonces la matriz B y la matriz C son las mismas. ¿Vale?
Esto no se cumple. Evidentemente. Lo que vimos cuando nos titulamos
matrices. Si la matriz no tiene inversa. ¿Vale? Lo mismo. B por A del
producto de las matrices sea nulo. ¿Vale? Si A es invertible. Implica que
B tiene que ser la matriz nula. ¿Vale? Si A es invertible. B tiene el
rango n. ¿Vale? Evidentemente su forma de admite es la identidad. Y A se
puede escribir como producto de matrices elementales. ¿Vale? Esto de
aquí. Pues es lo que ya habíamos visto antes. ¿Vale? Un teorema
anterior. ¿Vale? E... ¿Cuál teorema era este? Este no. Lo que aquí
decíamos es. Un rango A es igual a la identidad. Y es el producto de
matrices elementales. Como tiene rango n. Pues es invertible. ¿Vale?
Entonces. ¿Vale? Como es invertible. Tiene rango n. Y estas dos. Porque
son demostraciones que ya se habían visto antes. ¿De acuerdo? ¿Vale?
Entonces si tiene inversa. Recordad estas dos propiedades. Que decíamos.
Oye. Que esto no se cumple en el producto de matrices. Pues bueno. Si la
matriz A es invertible. Pues sí que se cumple. ¿Vale? Vale. Entonces un
ejemplo. ¿Vale? Tenemos esta matriz. ¿Vale? Vale. Entonces. Tiene rango
menor que tres. ¿Por qué? Pues si nos fijamos un poco. ¿Vale? La fila
tres. Esta de aquí. Da menos uno, cinco. Menos dos. ¿Vale? Es. Eso es. Si
una matriz es invertible. Su rango es n. N. ¿Vale? ¿De acuerdo? E... A la
fila. A. Uno. Le sumamos dos veces la fila dos. Ya tenemos la fila tres.
¿Vale? Es decir. Uno menos dos. Menos uno. Menos cuatro. Menos cinco. Y
dos. Menos cuatro. Menos dos. ¿Vale? Pues como tenemos una fila. Que es
combinación lineal de las demás. O bueno. Estas tres filas. O estas tres
filas. No son linealmente independientes. Esto no tiene rango tres. ¿Vale?
¿Se entiende? ¿Vale? Porque son filas linealmente dependientes. ¿Vale?
Esto la pide Jovena. ¿Vale? Es decir. Con esta combinación lineal.
Obtenemos la matriz nuda. ¿No? Una vez. Que esto es una combinación
lineal. No trivial. Porque no todos los coeficientes son cero. Es decir. De
hecho. Son todos distintos de cero. Como no es la combinación lineal. La
combinación lineal es trivial. Y obtengo la matriz fila nula. Estas tres
filas son linealmente dependientes. Es decir. Eso no tiene rango tres.
¿Vale? Entonces la matriz A no tiene inversa. ¿Vale? ¿De acuerdo? Si
cogiésemos de precisamente esta combinación. Uno, dos menos uno. ¿Vale?
Lo que ya os he dicho muchas veces. Uno, dos menos uno. Obtengo la matriz
nula. Porque una vez esta fila. Dos veces esta. Menos una vez esta. Es
cero, cero, cero. Es la matriz nula. ¿Vale? Un ejemplo para esto de aquí.
¿Vale? ¿De acuerdo? Sin embargo si tuviese inversa. Esto no pasaría.
¿Cómo que si la primera columna es igual a la tercera? ¿Envía la
columna? También. Lo mismo. ¿Lo sabéis? Por columnas se ve claramente.
¿Vale? Eso es. Y lo mismo podrías haber hecho. Eso es lo que tú dices,
¿no? Pues la matriz A. Multiplicada por. ¿Por qué matriz? Para
obtenerla. Cero, cero, cero. ¿Por qué matriz la tienes que multiplicar?
Para obtener la columna nula. Uno. Bueno, por dos. Por dos. Cero. Uno. Eso
es. Menos uno donde quieras. El menos dos aquí o aquí. Ahí. Aquí. Cero,
cero. ¿Vale? La matriz A por la matriz esta menos dos cero uno se obtiene
la columna nula. ¿Vale? ¿Por qué pasa esto? Pues porque A no es
invertible. Si fuese invertible no podrías conseguir esto. ¿Por qué?
Pues porque no es combinación lineal ni de fila ni de columna. Porque las
filas y las columnas son linealmente independientes y no puedes conseguir
la columna o la fila nula. ¿Vale? A no ser que todas las filas y todas las
columnas las conviertas en cero. Todos los coeficientes en cero. Y esta
combinación lineal trivial. ¿Vale? ¿Sí? Vale, se me ha falado. ¿Vale?
Venga, más propiedades. Tenemos dos matrices, dos en N. ¿Vale? Entonces,
si al multiplicar las matrices obtenemos la identidad. Entonces, a la menos
uno la inversa de A es B. Y lo mismo. Si al multiplicar dos matrices de
orden N obtenemos la identidad. Entonces, es que uno es la inversa del
otro. ¿Vale? Automáticamente. ¿De acuerdo? Vale. Entonces, métodos para
obtener la inversa. ¿Vale? Hay muchos métodos para obtener la inversa o
no. ¿Vale? Una forma es a partir de intentando calcular la forma de A.
¿Vale? ¿De acuerdo? Entonces, transformación de A en la forma de admite
por filas y cálculo de la inversa. Entonces, un ejemplo. ¿Vale? Esta creo
que es la misma de antes. No lo es. Vale, nada. A ver, vamos a sacar la
inversa. Entonces, para eso. Calculamos la forma de admite por filas.
¿Vale? Y una matriz invertible P tal que cumpla esto. ¿Vale? Luego
hacemos lo mismo por columnas y una matriz invertible Q que cumpla esto.
¿De acuerdo? ¿Vale? Estas serían matrices elementales, productos de
matrices elementales. Y esto también. ¿Vale? Estas serían productos de
matrices elementales por columnas. Y estas matrices elementales por filas.
Así es. ¿Vale? ¿De acuerdo? Entonces, ¿cómo lo podemos hacer? Por el
método de Gauss. ¿Vale? Cogemos aquí. Aquí ponemos la matriz A. ¿De
acuerdo? Y aquí la identidad. De orden 3. ¿Vale? ¿Qué es lo que tenemos
que conseguir? Pues hay que poner aquí a la izquierda. A la izquierda.
Aquí conseguir la matriz A. La matriz identidad. Y aquí entonces, ¿qué
obtendremos aquí, este lado aquí? Aquí lo obtendríamos, pues como así
hacemos la transformación por filas, obtendríamos esta P. Que no es más
que producto de matrices elementales. ¿Vale? Es decir, aquí, esto, aquí
que nos ha salido. En esta primera transformación. A ver, que recuerde que
hemos hecho aquí. Conseguir ahí un 0, básicamente. Ya está. ¿Vale? Es
decir, lo que hemos hecho en esta transformación es. A la fila 2, ¿no?
Sumarle a la fila 1. ¿Vale? Entonces, si aquí, en esta transformación.
¿Qué matriz obtenemos aquí? La matriz elemental esta. La matriz
elemental esta, ¿no? Que la fila 2 la convierte en la fila 2 más la fila
1. ¿Vale? Entonces, todo lo que vamos aquí añadiendo. ¿Vale? Esta
última será pues la E1, E2, E3, E4. ¿Vale? Que es la que hemos llamado
antes P. O Q. Y otras. P. ¿Vale? Entonces, ¿qué es lo que tenemos que
hacer? Hacemos el método de Gauss. ¿Vale? Y conseguimos. Tenemos que
cascar aquí la identidad. O la forma de ermite. ¿Vale? Llegamos a
modificar la forma de ermite. Así que ahí lo hacemos un poco más
detallado. ¿Vale? Pero aquí lo único que hemos hecho es con el pivote.
Con el pivotito. Ceros por debajo. ¿Vale? Lo único que hemos hecho es
conseguir ahí un cero. ¿Vale? Una vez tenemos el primer pivote y ceros
por debajo. Nos vamos a la siguiente fila. ¿Vale? El primer elemento en el
1. Podemos irnos a este y hacer ceros por debajo. O intercambiarlas. Que yo
creo que aquí es lo que se ha hecho. Se ha intercambiado la fila 2 con la
fila 3. ¿Vale? Para tenerla ya escalonada. ¿Vale? Aquí ya está
escalonada. Y dirías, oye, esto arranco 3. Por lo tanto tiene inversa.
Inversación. ¿Vale? Porque aquí la matriz A ya veo que tiene el rango 3.
Porque ya está escalonada y tiene 3 filas distintas de la matriz fila
nula. ¿Vale? Pues aquí ya sabemos que tiene inversa. Aquí sabemos que
tiene rango 3. Perfecto. Oye, ahora voy a conseguir aquí la matriz
identidad. ¿Vale? Entonces con mi pivote. Con mi pivote aquí hago ahora
ceros por arriba. Que es lo que se ha hecho aquí. ¿Vale? Cero por arriba.
Es decir. Básicamente lo que se ha hecho es. A la fila 1 la conviertes en
la fila 1. Menos 2 veces la fila 3. Y la fila 2 la conviertes en la fila 2.
Menos 2 veces la fila 3. ¿Vale? Entonces pones 1 y 2 por arriba. Y ahora
en el último paso es con este 1 poseo un 0 por arriba. Ahí. Sumarlas.
¿Vale? Desde este paso lo que se ha hecho es la fila 1 la convierte en la
fila 1 más la fila 2. ¿De acuerdo? Entonces con este método. A lo que se
ha llegado es. Oye la matriz A. Si a esta le llamamos P. Esa matriz A. Es
igual a qué. O bueno. Esto, ¿no? Si multiplicamos la matriz A por esa
matriz P obtenemos la identidad de orden 2. No es más que la forma del
MITE. En este caso. De la matriz A. ¿Vale? Lo mismo. Si lo hacemos por
columnas. Nos ponemos aquí la matriz A. Y aquí la matriz identidad de
orden 3. ¿Vale? Hacéis lo mismo pero por columnas. ¿Vale? Pones el
pivote. 0 es por aquí. Es lo que hemos hecho ahí. ¿Vale? Aquí. Aquí lo
que se ha hecho es. A ver qué me dice esta columna. Está cambiada. Y al
fin se ha cambiado la columna. ¿No? Empieza a cambiar la columna 3 por la
columna 2. ¿Vale? Y aquí ya está escalonada por columnas. ¿Sí? ¿Vale?
Ahora aquí con ese 1. 0 es por acá. ¿Vale? Recibe de ahí un 0. Y en el
último paso. Con este. Tiene un 0 por ahí. ¿Vale? Una vez que hemos
llegado aquí. ¿Vale? Lo que decimos es que. A por esta matriz de aquí.
Que es la identidad orden 3. ¿Vale? Entonces. Esta es una manera de sacar
la inversa. ¿Vale? Esto de aquí. Sigue la inversa. ¿No? Por este. Por
este color agregado. ¿Vale? Si os fijáis. Por si se nos ha tenido que
salir aquí. La misma matriz. ¿No? Menos 3, 4, 1. Menos 2, menos 2, 1. 1,
1, 0. ¿Vale? Menos 3, 4, 1. Menos 2, 2, 1. 1, 1, 0. ¿Vale? ¿De acuerdo?
Es una manera de. Tener la matriz inversa. ¿Vale? Con ese color agregado
anterior. No este. ¿Vale? Un buen método de este. Pues oye. Si aquí
llegas a la matriz escalonada. Y ves que. Por ejemplo. Esto no te convierte
en un 0. Podría salir todo de inversa. En el método del Gauss. Llega un
momento que dices. Oye. Pues si de aquí es el rango. Si el rango no es n.
Pues esto no tiene inversa. ¿Vale? Vale. O sea que en el mismo paso.
Puedes sacar si tiene inversa o no. ¿Vale? Ehh. Incluso. Si aplicáis esto
mismo. Aunque no son matrices. No sean matrices cuadradas. Pues bueno.
Ahora no estoy aquí. No. Ya va. Lo que iba a comentar. Venga. Vamos un. Un
poquito más. Y nos vamos. ¿Vale? Alguna definición más. Sobre las
matrices. Sobre las. La matriz inversa. Vale. Ya terminamos el. El tema. El
próximo día. ¿Vale? Entonces. Definición. ¿Vale? Tenemos una matriz.
De tamaño m por n. ¿Vale? Bueno. De hecho es a lo que os iba a comentar
antes. ¿Vale? Tenemos matrices inversas por la izquierda. Y matrices
inversas por la derecha. ¿Vale? Cuando no tenemos una matriz cuadrada.
¿Vale? Es una inversa por la izquierda de A. Es una matriz de tamaño n
por m. Que cumple esto. ¿Vale? Como la matriz A. Tiene tamaño m por m.
¿Vale? La matriz X. ¿Vale? Para poderla multiplicar. Por la matriz A.
Tiene que tener tamaño m por m. Y obtener una matriz cuadrada. ¿Vale?
Para obtener una matriz cuadrada. De orden n. ¿Vale? La matriz de X. Tiene
que ser de tamaño n por m. ¿Vale? Eso es lo que se define. Matriz inversa
por la izquierda. ¿Vale? Matriz inversa por la derecha. Pues lo mismo. Por
el tamaño de la matriz. Ehhh. por ejemplo 1, 0 1, 1 y queremos usar su
matriz inversa por la derecha o por la izquierda esta es una matriz de
tamaño 2x3 si queremos la matriz por la derecha tendrá que ser una matriz
de tamaño 3x2 y que el resultado sea de orden 2 la I2 ¿qué es lo que
metemos aquí? la matriz identidad lo que tenemos que conseguir aquí es la
matriz identidad aquí dentro ¿vale? ¿sí? ¿vale? ¿sí? bueno, entonces
eso pues aquí ya está escalonada para conseguir la matriz identidad aquí
dentro pues esto lo multiplicamos por 2 y solo restamos la de arriba
¿vale? entonces nos quedaría 0, 1, 1 0, 1 y ahora todo esto por 2 y solo
restamos la de arriba y nos quedaría 1, 0 ¿no? ¿sí? menos 2 1, menos 2
¿vale? 1, 0 menos 2 1, 0 menos 2 vale a ver si es que ahora estoy
enseñando la matriz de orden 3 es por columnas ¿no? vamos a poner aquí
la matriz de orden 3 ¿eh? bueno, quedaros con esto vale, el próximo día
continuamos aquí, vale y continuamos por aquí para sacar la matriz por la
derecha, la matriz inversa por la derecha pues lo voy a hacer por columnas
pero si queréis haremos este ejemplo más despacito el próximo día vale
pero bueno, quedamos con el concepto de que hay matriz inversa por la
derecha y matriz inversa por la izquierda ¿y cómo se ve cuando tiene o
no? ¿por qué va a haber matriz inversa por la izquierda? no no todas
tienen matriz eso es según el número de según el rango por ejemplo, si
esta tuviese rango 1 esta va a tener matriz inversa por la derecha por la
izquierda bueno si tuviese rango 1 este va a estar así porque tiene rango
2 pero si tuviese rango 1 no lo vemos pues mira, tiene que tener el rango
máximo para que se vea eso es vale sí, tú dale sí lo vemos el próximo
día vale lo vemos con la también la de tamaño 3 vale, de orden 3 ¿os
parece? terminamos el ejercicio este si queréis pongo un ejemplo más
claro y lo vemos, ¿vale? venga, gracias a ver y... vale, pues ya está el
próximo día os cuelgo las clases, ¿vale? ¿os parece? venga, hasta el
próximo día