El tema de la relación de equivalencia a las matrices. Yo creo que fuimos
a buen ritmo con lo de las matrices equivalentes por filas, pero no sé si
pasamos un poco rápido por la equivalencia por columnas, y luego lo que
son las matrices de equivalencia en la forma n. Voy a resumirlo un poquito,
a ver si lo tenemos claro. Pasamos luego, volvemos a revisar un poquito lo
del rango y la inversa y seguimos con el determinante, porque sí que me
gustaría que eso quedase claro. Entonces, por aclarar, voy a la pizarra un
momentito. Lo que hemos visto ahora del método de Gauss. En el método de
Gauss, recordad que lo que construimos son matrices equivalentes. Matrices
equivalentes en las que podemos hacer tres tipos de operaciones. Las tres
operaciones principales son multiplicar una fila por un escalar,
intercambiar filas o a una fila sumarle seis veces otra, o otra
multiplicada por un escalar. Cuando hacemos, tenemos una matriz de tamaño
m por n con elementos en el cuerpo. Cuando decimos que dos matrices o una
fila es equivalente por filas a otra, ¿esto qué quiere decir? Si vamos
por filas, quiere decir que existen e sub 1, e sub k, matrices que son como
llamábamos elementales. Tales que cumplían. Pues que si estas matrices,
la G1, G2, Gn, las transformaciones a la matriz A, obtengo la matriz B. Y
estas eran las matrices elementales. ¿Os acordáis de las matrices
elementales? Es la matriz identidad de orden n a la que le he dicho la
transformación que haya aplicado la matriz A. Nos acordamos, ¿no? Y luego
lo que dijimos cuando empezamos con las inversas es, oye, una matriz es
invertible si es producto de matrices elementales. ¿Os acordáis de eso?
Pues esta matriz, el producto de estas matrices, podemos llamarla matriz P,
es invertible, es decir, tiene una inversa. Porque toda matriz invertible
se puede describir como producto de matrices elementales. Es decir, ¿vale?
La matriz identidad a la que le has aplicado una transformación. ¿Vale?
Una transformación elemental de K. ¿De acuerdo? Entonces esa P es
invertible y lo que cumple es esto, ¿no? ¿Vale? Con P invertible. ¿De
acuerdo? Luego exactamente lo mismo pero por columnas. ¿Vale? Dos matrices
serán equivalentes por columnas. ¿De acuerdo? ¿Vale? Si existen... Y lo
llamábamos Fs, ¿no? F sub 1. Y ahora ponemos... Oye, hacemos menos
operaciones elementales por columnas. H. ¿Vale? Matrices elementales.
Tales que... Y ahora aquí como lo que estamos haciendo es combinar
columnas, hay que recordar que las matrices, ¿vale?, los coeficientes, los
que nosotros interpretamos por la derecha, ¿vale? Por columnas. ¿De
acuerdo entonces? ¿Qué es lo que ocurre aquí? Que A por... Ahora, la
primera transformación elemental que hemos hecho aquí por la segunda
transformación así hasta la transformación H obtengo la columna B. La
matriz vector. Y recordad que esta matriz, el producto de matrices
elementales es una matriz Q, ¿vale?, que es invertible. ¿De acuerdo?
¿Vale? Esta matriz P, ¿de qué tamaño es? Pues si estoy multiplicando
por la izquierda, me notifica que es de tamaño M por N. Pues esta P es una
matriz de orden... Cuando hablamos de orden solo decimos, ¿no?, o tamaño
M por N, ¿no? Como lo estoy multiplicando por la izquierda, el número de
columnas de la P tiene que ser igual al número de filas de la A, ¿no?
Esta es una matriz de orden M. Y esta Q, ¿de qué tamaño es? Si lo estoy
multiplicando por la derecha a la matriz A, ¿de qué tamaño es? Eso es,
¿vale? Esta es de tamaño... De orden N. ¿Vale? ¿De acuerdo? Y ahora,
¿qué signos? ¿Qué es la forma de hermite una matriz? Pues cuando yo
puedo hacer operaciones elementales por filas o por columnas. ¿Vale? Oye,
pues hay dos matrices que son equivalentes. Esa es la relación de
equivalencia. Si existen ahora las dos cosas, ¿vale? Existen, pues eso.
E1, EK y F1, FH. Tales que... Bueno, matrices elementales, tales que...
¿Vale? A, por todas aquí las matrices elementales por filas. Y aquí las
matrices elementales por columnas. ¿Vale? Que esto es igual a B. Es decir,
que existen dos matrices invertibles tales que... ¿Vale? Dos matrices son
equivalentes. Lo digo de otra manera, ¿vale? Dos matrices son
equivalentes. Si existen dos matrices P y Q invertibles que cumplen B,
esto. ¿Vale? Que P por A por Q es B. ¿Vale? Con P y Q invertibles.
¿Invertibles por qué? Pues porque son productos de matrices elementales.
¿De acuerdo? Entonces la relación de equivalencia entre las matrices es
que existen P y Q... ¿Vale? Matrices invertibles que cumplen eso. ¿Vale?
Que creo que esto igual fui un poco a lo este. ¿De acuerdo? Vale,
entonces... ¿Qué más? ¿Cómo sacamos esta matriz P? ¿Cómo obtendréis
esta matriz P de manera rápida? Bueno... Espera, espera... Lo que dijimos
es que cualquier matriz... Cualquier matriz es equivalente a una matriz
escalonada reducida. Que lo que llamamos o la denotamos así, ¿no? Pues de
acuerdo. Por filas... Así la palabra hermite por filas. Y esta es,
digamos, matriz escalonada reducida. Y lo que dijimos es que el entero
menorema dice que esta es única. Única. Exactamente lo mismo por
columnas. ¿Vale? Matriz escalonada reducida por columnas. Esto es por
filas. Lo mismo pasa... ¿Vale? Por columnas. ¿Sí? Vale. Y lo que igual
fui muy rápido es... Oye, y esto es equivalente a lo que se llama la
matriz hermite. Si yo puedo hacer operaciones por filas y por columnas,
esta matriz hermite, ¿qué forma tiene? Será una matriz así. ¿Vale? La
identidad y en el resto ceros. Se entiende eso, ¿no? Si yo puedo hacer
operaciones por filas y por columnas, lo que obtengo aquí es la identidad.
¿Sí? De acuerdo, pues lo decimos... Oye, el rango de una matriz,
básicamente en este caso sería R. El rango de esa matriz sería R.
¿Vale? Porque yo obtengo su forma de hermite, y su forma de hermite es
este tipo. Si yo tengo aquí la matriz identidad de orden R, esta matriz
tiene el rango R. ¿Vale? ¿Sí? ¿Vale? Dos matrices son equivalentes,
tienen la misma forma de hermite. ¿Vale? ¿De acuerdo? O dos matrices son
equivalentes y tienen el mismo rango. ¿Vale? ¿Por qué? Porque serán
equivalentes a la misma forma de hermite por filas, o por columnas, o por
filas y columnas. ¿De acuerdo? ¿Sí? Ha quedado un poco más claro todo
lo que vemos esto. Igual pasamos un poquito rápido de esto. ¿Vale? Si
queréis hacemos un ejemplo, por ejemplo. A ver... Bueno, lo voy a hacer
teórico. Por ejemplo, si os preguntasen... ¿Dos matrices son
equivalentes? Bueno, por ejemplo, según el ejercicio no lo sería. Dos
matrices ahí ven... Bueno, antes de eso. Sigo yendo muy rápido. A lo que
iba a decir. ¿Cómo sacaríais o cómo se obtienen rápidamente estas
matrices T, por ejemplo, de aquí? Esta T. ¿Cómo se obtiene rápidamente?
Esa es la pregunta, ¿no? Y obtengo la matriz P invertible que cumple P. Al
multiplicarlo por la matriz A se obtiene la forma de hermite. La forma de
hermite por filas de A. ¿Vale? ¿Cómo haríamos esto? Nosotros sabemos
que cualquier matriz es equivalente a su forma de hermite por filas por A
porque es asumida. ¿Vale? Entonces, sabemos esto. Tiene que existir una
matriz P invertible que cumpla P. P por A en su forma de hermite. ¿No?
¿Sí? ¿Cómo la sacáis rápidamente? ¿Cómo se saca esa P? ¿Vale? Esta
P hemos dicho que es el producto de matrices elementales. ¿Vale? Entonces,
cuando hacemos Gauss, la primera transformación que hacemos tendrá
asociada una matriz elemental. Luego, la siguiente otra, ¿no? Entonces,
una manera de sacarlo muy rápido es... Oye, yo me pongo aquí la matriz A.
Eso lo hicimos el otro día también pero muy raro. Y decimos, oye, aquí
me pongo la identidad de orden. Esta es la matriz M por M. Y todas las
transformaciones KM por filas también se las voy a hacer a la identidad.
¿Vale? Entonces, esto va a seguir haciendo transformaciones. Y cuando
llegues aquí a la forma de hermite por filas de A... ¿Aquí cuál vas a
tener? P. ¿Vale? ¿El qué? Sí, esto es útil. En algunos ejercicios es
muy útil saber esto. Sobre todo cuando vayamos a las aplicaciones
lineales. Las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales básicamente
es algo muy parecido a esto. Pero lo que pasará es que la Q es la inversa
de P. ¿De acuerdo? Pero es muy parecido a esto. Entonces, esto es útil.
Este primer tema es muy útil porque son las herramientas como se utilizan
en el futuro. ¿Vale? ¿De acuerdo? Pero si os fijáis, oye. Si lo que
estábamos haciendo... Si anunciamos transformaciones por BAU. Lo que
hagamos aquí, pues si te pones aquí la identidad y se la aplicas también
a la identidad. Pues lo vas obteniendo aquí en el primer paso. En el
primer paso tendrás aquí una matriz. Y aquí tendrás la primera E1. Esa,
¿no? La primera matriz elemental. ¿Vale? De la primera transformación.
Cuando haces todo, todo así. Aquí lo que obtienes es la P. Entonces
cuando haces el método de Gauss y obtienes la matriz escalonada reducida.
Pero si la acompañas aquí con la matriz identidad, lo que obtienes es
esto. Oye, pues lo que he obtenido es que A multiplicado por esta matriz P.
Obtengo la forma de Hermite por filas de A. ¿Vale? Lo mismo, exactamente
lo mismo, por columnas. Oye, si quiero la forma de Hermite por columnas de
A. Vale, lo que haría es pongo aquí la matriz A. Abajo la identidad de
orden N. ¿Vale? Porque tenemos columnas. ¿Vale? Y las transformaciones
que vaya haciendo aquí por columnas. Pues oye, perfecto. Ahora se la hago
a la A pero también a la identidad. Entonces en el primer paso aquí
obtengo una matriz. Con mi primera transformación elemental. Y aquí
obtendré la primera matriz elemental por columnas. ¿Vale? Y según
vayamos avanzando. ¿Vale? Voy a dejar las operaciones elementales del
método de Gauss. Al final aquí cuando llegas la forma de Hermite por
columnas de A. Y aquí lo que hemos llamado la matriz U. Que la matriz U
esta lo que cumple es eso, ¿no? De A por U multiplicado por la derecha.
Obtengo la forma de Hermite por columnas de A. ¿Vale? Ahora, a lo que iba.
Iba un poco rápido. Si nos preguntasen, oye, A y B son equivalentes. Y si
lo son, obtenme P y Q. ¿Vale? Imagínate un ejercicio. Que es lo que
hacemos ahora. Eso. Confirmas si estas dos matrices son equivalentes. Y en
el caso afirmativo obten las matrices P y Q. Que cumplen que P A por Q es
igual a B. ¿Vale? ¿Cómo lo haríamos? ¿Cómo lo haríais? Las formas de
Hermite, ¿vale? Primer paso, ¿vale? Lo que haríamos es... Vamos a decir
que A es de tamaño M por N. ¿Vale? Pues lo suyo sería ello. Voy a
calcular la forma de Hermite por filas, por ejemplo. ¿Vale? Entonces, lo
que haríamos es... Oye, vamos a hacer la forma de Hermite. Pues empezamos
aquí, ¿no? M. Hacemos transformaciones elementales. ¿De acuerdo? Y
llegamos aquí al tener la forma de Hermite por filas de A. Y aquí
tendríamos una P1. ¿Vale? Esa P1 que cumple, pues eso. P1 por la matriz A
puntual a la forma de Hermite de A. ¿Sí? ¿Vale? Siguiente paso. Vamos a
sacar la forma de Hermite de A. Entonces lo que nos pondríamos es aquí...
La de filas de A. Y aquí la IM. No, a ver, es en el revés, ¿no? Ah, M,
perdón, IM. Por columnas. ¿Vale? Hacemos transformaciones elementales. Y
aquí ya lo que llegamos sería la forma de Hermite de A. ¿Vale? Y aquí
conseguiremos una Q1, vamos a llamarla. ¿Vale? ¿Sí? Por columnas,
entonces aquí tenemos que P1 por A y por Q1 es la forma de Hermite.
¿Vale? ¿De acuerdo? Ahora, si hacemos exactamente lo mismo con B
tendremos que obtener la misma forma de Hermite. Si obtenemos la misma
forma de Hermite, esas dos matrices se unirían. ¿Sí? Hacemos exactamente
lo mismo con la matriz B. Y obtendríamos que hay una P2, que multiplicada
por B, que multiplicada por una Q2 es la forma de Hermite de B. Y ahora nos
preguntaríamos, oye, ¿son iguales? ¿Vale? Y con eso respondemos la
primera pregunta. Es decir, estas dos matrices son equivalentes. Son
equivalentes porque tienen la misma forma de Hermite. ¿De acuerdo? En el
caso en que esta forma de Hermite y ésta sean las mismas. ¿De acuerdo? Y
ahora, si son iguales, ya lo que podemos sacar es la P y la Q. Esa P y la
Q. ¿De acuerdo? ¿Cómo? Bueno, simplemente igualando estas dos cosas.
Como tienen la misma forma de Hermite, podremos igualar esos dos productos
de Hermite. Lo vamos a poner así. ¿De acuerdo? Si estas dos son iguales,
¿qué es lo que tendremos? Que P1AQ1 es lo mismo que P2BQ2. Y ahora
podemos sacar este producto. ¿Por qué? Pues porque la P1, Q1, P2 y Q2 son
invertibles. ¿Vale? Como son invertibles, yo lo que puedo decir es... Oye,
pues aquí mira. P2A-1xP1AQ1 es lo mismo que P2A-1P2BQ2. ¿Sí? Y esto es
una matriz identidad de orden. Esta sería la IM, ¿no? Voy multiplicando a
B por la izquierda. ¿Vale? Vale, entonces esto de aquí es la matriz
identidad de orden M. ¿Vale? Es decir, P2A-1PAQ1 es la B por Q2. ¿Vale? Y
lo mismo como Q2 es invertible, puedo multiplicar aquí por la inversa y
aquí también. ¿Sí? ¿Vale? Y ahora pues esta es la que llamamos P. Esto
es la que llamamos A. Lo que llamamos Q. ¿Se entiende el proceso? Que esto
lo hagamos con ejemplos numéricos o está claramente... ¿Se entiende?
Vale, no. De acuerdo, entonces esto que nos empezamos a ver un poco rápido
el otro día de poner la matriz identidad para calcular la inversa. Quizás
era mejor haberlo explicado cuando estábamos con las relaciones de
equivalencia de las matrices. ¿De acuerdo? Que me fui con la sensación
eso de que no había quedado del todo claro. ¿Vale? Entonces, ¿por qué
se pueden calcular las matrices inversas así? Pues si la matriz A, en vez
de ser de tamaño MxM, es una matriz cuadrada. ¿Vale? Y además tiene
rango N. ¿Vale? A va a ser equivalente a la identidad orden M. ¿No? Es
decir, su forma de Hermite va a ser la identidad. ¿Vale? Su forma de
Hermite va a ser la matriz identidad. Por eso, cuando hoy dije, oye,
¿cómo se puede calcular la inversa de una matriz? La inversa de la matriz
se puede calcular directamente... Aquí la identidad. Y lo que tienes que
conseguir es aquí meter la identidad y aquí te saldrá la inversa. ¿Por
qué? Porque aquí vas a conseguir la forma de Hermite, pero es que la
forma de Hermite es la identidad. Entonces, si por Gauss consigues aquí
meter la identidad, aquí te saldrá. La inversa. ¿Vale? Que la inversa,
cualquier inversa, es un producto de matrices elementales. ¿Vale? ¿Ha
quedado más claro? Porque se puede calcular así la inversa de una matriz,
¿verdad? ¿Sí? ¿Alguna duda? ¿No? Visto. Vale, pues esto es lo que
quería comentar, que me dio la sensación como que... No sé si lo
expliqué bien, se fue muy rápido o... Siempre os queda el círculo.
¿Vale? Venga, visto esto, seguimos más o menos por donde nos quedamos.
¿Vale? No recuerdo muy bien dónde fue... Creo que fue con las inversas
por la izquierda y por la derecha. Y aquí además lo hice un poquito mal.
Voy a borrar esto y lo volvemos a apuntar. ¿Vale? Bueno, no sé si
queréis empezar hasta que lo veamos todo lo de las inversas. ¿Queréis
que recordemos un poco el tema de las inversas? Vale, un poco... Vale,
simplemente... Recordar la definición de matriz inversa. ¿Qué matrices
tienen inversas? Las matrices... Matrices cuadradas siempre y cuando...
...cumplan esto. ¿De acuerdo? Las matrices que tienen inversas se llaman
invertibles y las que no tienen inversas son matrices simpulas. ¿Vale?
¿De acuerdo? La matriz inversa es única. ¿De acuerdo? ¿Vale? ¿Vale?
Propiedades de las matrices, lo que cumplían las matrices elementales...
¿De acuerdo? ¿Vale? Ciertas propiedades que cumplen las matrices... ...si
la matriz tiene inversa, pues eso. ¿Vale? Recordar que si la matriz tiene
inversa, su forma de hermite es la identidad... ...que tiene rango A.
¿Vale? Que el producto... O sea, que si B por A es igual a C por A...
...es lo que implica que B y C son iguales. Que el producto de dos matrices
sea igual a cero... ...implica que la B es nula, si A es invertible.
¿Vale? Lo que habíamos comentado. Que A es producto de matrices
elementales que yo creo que... ...han intentado dejar claro... ...lo que
hemos comentado anteriormente. ¿Vale? ¿Vale? Esto lo vimos también por
ejemplo, ¿no? ¿Vale? Que si una matriz no tiene rango N... ...una matriz
de orden N y no tiene rango N... ...pues no tiene inversa. ¿Vale? ¿De
acuerdo? Vale, esto es lo que he comentado. Ahora... Creo que pasé un
poquito rápido el otro día. ¿Vale? Y aquí el ejemplo de lo que
habíamos dicho, ¿no? De cómo se puede calcular una matriz inversa. ¿De
acuerdo? ¿Y por qué se puede calcular? Si esta matriz A es cuadrada de
orden N... ...va a ser equivalente o su forma de rite va a ser la
identidad. Va a ser equivalente a la identidad. Dicho eso, es decir que yo
aquí cuando hago transformaciones elementales... ...voy a llegar a tener
aquí la matriz identidad... ...y aquí lo que obtendría es la matriz
inversa. ¿Vale? Eso es una forma. Exactamente lo mismo se podría hacer
por volúmenes. Transformaciones simplemente... ...transformaciones por
volúmenes y se obtiene así. ¿Vale? Es lo que dijimos. ¿Vale? ¿Sí?
Vale, y luego lo que dijimos... ...que yo creo que nos quedamos aquí...
...la definición de lo que es una inversa por la izquierda y una inversa
por la derecha. Creo que tú comentaste eso hoy, pero... ...no sé cuál es
tu comentario. Esta matriz que es de tamaño M por N... ¿Vale? ¿Qué
tiene que cumplir para que tenga más M? Matriz inversa por la derecha o
por la izquierda. Pues que el rango tendrá que ser el mínimo entre M y N.
¿Vale? Si no tiene ese rango, no tiene matriz inversa. Por la izquierda o
por la derecha. ¿De acuerdo? ¿Qué más? Las matrices inversas por la
izquierda y por la derecha... ...no son únicas. Tampoco. ¿Sí o no?
¿Vale? Entonces estas X no son únicas. ¿De acuerdo? Ahora, ¿cómo se
pueden obtener? ¿Vale? Que es lo que nos quedamos el otro día. ¿Vale?
Pues no sé si pusimos aquí alguna... Creo que lo escribí al revés. A
ver, una matriz, por ejemplo... Vamos a ir a un búter a menos uno... Dos,
uno... Cero. ¿Esa matriz qué rango tiene? Dos. Sí. Lo he escrito larga
porque luego voy a hacer otra cosa. ¿Qué rango tiene esa matriz? Esa
matriz tiene rango dos. ¿De acuerdo? Pues va a tener inversa por la
derecha. ¿Pero inversa por la derecha por dónde? O sea, perdón...
¿Inversa por la derecha o por la izquierda? A ver... Inversa por dónde.
¿Vale? Una matriz inversa por la izquierda de A es una matriz X de tamaño
M por N... ...tal que X por A es la identidad de orden X. Entonces, en este
caso... ¿Vale? Que tenemos una matriz de dos por tres. ¿Vale? En esta
matriz A. ¿Vale? Esa es la matriz de dos por tres. ¿Vale? Que tiene
rango... Dos. ¿De acuerdo? ¿Sí? Para que tenga... ...inversa, lo que
tendríamos que mirar es una matriz de... O sea, tiene esta matriz. ¿Vale?
Tiene la matriz inversa. Tendrá que ser una matriz de orden tres. ¿Vale?
Y ¿qué es lo que cumple? Que A por X... ¿Qué es lo que tenemos? La
identidad de orden. X por X. ¿Vale? Perdón. Ahí se me ha ido el dedito.
¿Vale? ¿Sí? Entonces, aquí lo que necesitamos es una matriz de orden...
...tres por dos. ¿De acuerdo? Para conseguir esa matriz, lo que nos
pondremos aquí debajo es la matriz de identidad de orden tres. ¿Vale?
¿Sí? ¿Vale? Lo que tenemos que conseguir aquí es la matriz de identidad
de orden dos. ¿Vale? O la forma de mirar. Por columnas. Venga, ¿cómo
operamos? ¿Vale? Por columnas. Con este pivote... ¿Vale? ¿Qué hacemos?
Un cero ahí, ¿no? Entonces dejaría todo eso igual. La uno, cero, cero...
¿Vale? Y ahora a la tercera... ...a la tercera columna le sumamos la
primera, ¿no? Entonces quedaría cero, dos, uno, cero, uno. ¿Vale? Esta
matriz de aquí es la matriz elemental por columnas. Hemos hecho esto para
la tercera columna. Le hemos sumado la primera, ¿vale? Pero vamos a hacer
dos rápidamente para ir un poquito más rápido. ¿Vale? Con este uno de
aquí... ¿Vale? Se entiende que esta es la matriz elemental por columnas
en la que hemos hecho la transformación. ¿Vale? Ahora con este uno de
aquí lo que necesitamos hacer es... ...ceros ahí y cero ahí. Esto sí
que lo vamos a hacer en dos pasos, ¿vale? Un cerito ahí y un cerito ahí.
Y ya tenemos aquí nuestra forma de Hermite por columnas. Que será además
la forma de Hermite. ¿Vale? Porque es... ...aquí la identidad y el resto
ceros. ¿Vale? ¿Sí? Bueno, entonces con esta, la cero, uno... ...cero,
uno, cero... ¿Vale? Cero ahí. Pues oye, a esta tercera columna le resto
dos veces la segunda. ¿Vale? Entonces cero... ...cero... ...uno, menos
dos... ...uno. ¿Sí? ¿Estáis bien? No la he liado, ¿no? Y aquí lo
mismo. A la primera columna le resto dos veces la segunda. Entonces aquí
queda uno... ...cero... ...uno... ...menos dos... ...cero. ¿Sí? ¿He
hecho algo mal, o no? No, ¿no? Vale. Entonces... ...esto aquí, ¿qué es
lo que tenemos? Pues aquí tenemos la I2... ...¿vale?... ...la matriz
cero, cero... ...¿vale? Y aquí tenemos... ...una matriz que llamaremos...
...uno... ...y puro dos. ¿Cuál creéis que es la matriz inversa? Eso es.
¿Vale? La matriz inversa por la derecha, esta que hemos llamado X... ...es
esa que tenemos ahí. Es decir, esto. ¿Vale? ¿Sí? Ahora, ¿las matrices
inversas por la izquierda y por la derecha son únicas? Pues no. ¿Vale? No
son únicas. Hay muchas más. Pues no sé. Podéis poneros... ...los
ejemplos. ¿U2? ¿Qué sería? U2... Es una matriz cualquiera. No, o sea,
para hacer transformaciones es eso. Piénsalo esto. O sea que sirve con lo
que hemos visto anteriormente, ¿no? Para obtener esta matriz, pues
multiplico por la derecha por todo esto. ¿Vale? Es un producto de matrices
elementales. Por columnas. Es decir, si tú multiplicas todo esto... ...por
esta, obtienes esta. ¿Sí? ¿Vale? Multiplica por la derecha para no
decirlo en orden bien. Esta matriz. Por esta... ...obtienes esa. ¿Vale? De
esta por esa... ...obtienes esa. ¿Vale? Vale, entonces esta U1 es la
matriz inversa por la derecha. ¿Vale? Lo que decía... ...las matrices
inversas cualquiera de la derecha, pero no son unidas. Un ejemplo. O...
Uno, dos... ...tres. Encontrarme una matriz... ...inversa por la derecha.
Es un poco... ¿Vale? Esta matriz... ...A... ...multiplicas de tamaño...
...uno por tres. ¿Vale? Para que tenga... ...matriz inversa por la
derecha. ¿Vale? Tendrá que ser una matriz... ...que sea, lo llamaremos
A-1... ...multiplicada de tamaño... ...tres por uno. De tal manera que al
multiplicarla por la derecha obtenga la matriz de identidad de orden...
...uno. Pues venga, multiplicarme... ...uno, dos, tres. Por algo así...
...y obtener la matriz uno. Oye, aquí puedes meter el dedo de los pies...
...así para que ruede rápido... ...y ver que la matriz inversa no es
única, ¿no? Por ejemplo, puedo meter uno, cero, cero. O puedo meter...
...cero... ...un medio... ...cero. O puedo meter... ...bueno, veis, ¿no?
Puedo meter el cero, cero, un tercio. Se entiende, ¿no? Las matrices
inversas por la derecha y por la izquierda. Algo muy importante de las
matrices... ...inversas por la izquierda y por la derecha, pero... ...el
concepto, ¿vale?, la definición. ¿Vale? ¿Entienden? Exactamente lo
mismo si lo queréis hacer... ...si queréis arreglar las matrices inversas
por la izquierda... ...pues, bueno, tendríamos que hacer esto por filas.
¿Vale? Esto que he hecho por columnas... ...si queremos arreglar la matriz
inversa... ...por la izquierda... ...se hace por... ...filas. ¿Queréis
hacer un ejemplo o no? ¿Os vale? Venga. Genial. Venga, pues continuamos,
¿vale? Venga. Vamos a la última parte del... ...del tema, ¿vale? Que son
los determinantes. ¿De acuerdo? ¿Qué son los determinantes? El
determinante es un número. Un número real que está escondido... ...todas
las matrices moderadas. ¿De acuerdo? ¿Cómo lo vamos a calcular... ...el
determinante? Una matriz de orden N, ¿vale? Una matriz de orden N y...
...esto... ...esta anotación que vamos a utilizar es la submatriz. ¿Vale?
Una submatriz de la matriz A... ...que va a ser de orden 1 menos... ...es
decir, de orden N-1... ...en la que hemos eliminado la fila I y la columna
J. ¿Vale? Entonces cuando veamos... ...mayúscula... ...y J, es submatriz.
Submatriz en la que se elimina la fila I... ...y la columna J. Entonces nos
queda una submatriz de orden N-1. ¿Vale? Entonces... ...¿qué es el menor
adjunto? ¿Vale? Pues llamaremos menor... ...adjunto... ...¿vale? A este
elemento. ¿Vale? A este elemento. Donde tenemos aquí una definición que
es determinante de una submatriz. ¿Vale? Que es lo que vamos a ver ahora.
Primero vemos lo que es el menor adjunto... ...¿vale? Y ahora vemos esto,
¿vale? Esta definición del determinante. Entonces el menor adjunto
básicamente va a ser... ...el determinante de una submatriz en la que
hemos eliminado... ...una fila y una columna. ¿Vale? Y aquí lo que se
multiplica... ...¿vale? Es por menos 1 elevado a la fila... ...más la
columna en la que estamos. ¿Eso qué quiere decir? Pues simplemente que al
determinante... ...le cambiamos el signo en función de si la suma... ...de
la fila y la columna es par o impar. ¿Vale? Si estamos en la posición
1-2... ...¿vale? Pues este determinante que obtengamos... ...lo
multiplicamos por menos 1. Si estamos en la posición 2-2, sacamos el menor
adjunto del elemento... ...que está en la posición 2-2... ...¿vale? El
determinante lo dejamos con... ...el signo positivo. ¿Vale? ¿Sí? ¿Se
entiende? ¿De acuerdo? Pues no. ¿De acuerdo? Entonces, definición del
determinante... ...¿vale? Pues para una matriz de orden n... ...¿vale? Lo
vamos a definir de manera recursiva. Primero para una matriz de orden 1...
...¿de acuerdo? Y luego para el resto. Entonces, ¿cuál será el
determinante de una matriz de orden 1? Pues si lo que hemos comentado es
que es un escalar... ...que tiene escondidos las matrices cuadradas...
...¿vale? Pues si la matriz cuadrada es de orden 1... ...¿vale? Tiene uno
o cinco elementos. ¿Vale? El determinante de una matriz de orden 1...
...el elemento que tenga. Ahora, para matrices de mayor tamaño...
...¿cómo lo vamos a definir? De esta manera. ¿Vale? Será... ...¿vale?
Cogemos cualquier fila o cualquiera. Bueno, en este caso... ...cogemos una
columna K... ...una columna K, la que es de La Habana... ...¿de acuerdo? Y
a partir de esa columna... ...vamos recorriendo todas sus filas...
...¿vale? Desde 1 hasta N. Cogemos los elementos... ...los multiplicamos
por el menor adjunto... ...y hacemos el sumatorio de todos ellos. ¿Vale?
¿Se entiende esta notación o no? ¿Sí? Vale, a ver. Tenemos aquí...
...tenemos aquí... ...este es el menor adjunto, ¿vale? Tenemos el alfa,
subijota... ...el menor adjunto, que es lo que tenemos aquí. ¿De acuerdo?
Sí, pues tenemos una matriz de orden N. ¿Vale? N... ...y N. Las filas las
identificamos por I. Las columnas... ...por la J, por el segundo
subíndice. ¿Vale? ¿Sí? Entonces, en este caso... ...estamos haciendo el
sumatorio de las Is. ¿Vale? Es decir, cogemos la columna... ...que nos dé
la gana, pues esta. ¿Vale? Y recorremos cuando la I es 1. Me cojo este
primer elemento... ...ese será el A1K. ¿Vale? Me cojo el A1K... ...que
elimino su fila y su columna. ¡Ay! Perdón. Elimino su fila y su columna.
Me quedo con su matriz... ...esta. Calculo su determinante... ...con su
signito... ...y lo multiplico por el elemento ese que he sacado ahí.
¿Vale? Esto es por el A1K. Y luego más, me voy al siguiente elemento.
Pues el A2K... ...por el menor adjunto... ...que es el determinante que
resulta de eliminar su fila y su columna. ¿Vale? A2K... ...más... ...sigo
sumando hasta que te quedas sin elementos en la columna. ¿Vale? Y esto...
...es una igualdad que, oye, lo que has hecho con una columna... ...si lo
haces para cualquier fila... ...pasa exactamente lo mismo. Es decir, si
esto que he comentado con una columna lo hiciese... ...para una fila...
...pues más de lo mismo. ¿Vale? Es decir, tú tienes una matriz y
dices... ...oye, lo quiero desarrollar por esta fila I. ¿Vale? Pues ahora
lo que voy recorriendo es la J que las columnas tienen. ¿Vale? Este
elemento elimino fila-columna... ...y el determinante de la submatriz no
resulta. Más este elemento... ...elimino fila-columna... ...y el
determinante de la submatriz no resulta. Pon, pon, pon, pon hasta que te
quedo sin fila. ¿Se entiende la notación? Sí, sí. La cosa es que nunca
había visto la definición así... ...y como tampoco he usado mucho...
...no me ha dado cuenta. Vale. O sea, lo que se suele ver en el
instituto... ...es lo que se llamaba la regla de Sarkoz. Creo que se llama
Sarkoz, ¿no? La estrellita, la diagonal... Sí. ¿Pero dónde encuentro
estas? Un poco... Sí que existe una estrellilla, pero... Sí, pero...
...es un poco compleja. Eso ya se hace con 3. Es bastante sencillo. Y 4 es
que tienes ahí como otro triángulo metido por ahí por dentro. Vale,
entonces no se suele utilizar mucho. Entonces, ¿qué es lo que se suele
utilizar? El determinante de lo que se dice es... ...oye, se desarrolla por
una columna, la que tú quieras. ¿Vale? Vale. Bien, entonces, si queréis
vamos a hacerlo... ...de manera iterativa con unas matrices... ...y lo
vemos más claro, ¿vale? Un ejemplo... ...vale, del cálculo del
determinante. Lo que hemos dicho. Matrix... ...de orden n, ¿vale? ¿De
acuerdo? Que si n es igual a 1... ...la matriz A... ...pues será de la
pinta A1 a 1. Entonces, su determinante... ...pues es el elemento. Oye, por
ejemplo... ...si tienes la matriz 1 medio... ...el determinante de esto es
1 medio. No hay mucho más que decir. ¿Vale? Y ahora se define de manera
recursiva. Oye, yo que ya sé el determinante de una matriz de orden n...
...digo, oye, si tuviese n igual a 2... ...lo que me han dicho es que la
haga por adjuntos. ¿Vale? Entonces, la matriz A... ...será A sub 1, 1...
...A sub 1, 2... ...A sub 2, 1... ...A sub 2, 2. ¿Vale? Entonces, a mí lo
que me dicen es... ...oye, si lo haces por adjuntos... ...los adjuntos van
a ser de orden 1. Y tú ya sabes el determinante de una matriz de orden 1.
Que es esto de aquí. ¿Vale? Pues por eso se define de manera recursiva.
¿De acuerdo? Cuando yo haga el determinante de aquí, los adjuntos...
...perdón, no se dice el determinante de los adjuntos... ...cuando calculo
esos adjuntos... ...tengo que calcular determinantes de orden 1. Los
determinantes de orden 1 ya los he calculado anteriormente... ...por lo
tanto, lo tengo que saber. Entonces, el determinante de esta matriz...
...por la fila o columna que os dé la gana... ...si lo desarrollamos como
hemos comentado... ...¿vale?... ...decimos, oye, pues no sé, me cojo la
segunda columna. ¿Vale? Entonces, ¿qué es lo que tendré que hacer? Pues
lo que tengo que hacer es... ...oye, el elemento... A ver, vení. El
determinante de A. ¿Vale? ¿Qué es lo que tengo que hacer? Me cojo este
elemento, el a sub 1,1 por el alfa 1,2... ...más el a sub 2,2 por el alfa
2,2. ¿Vale? ¿Qué es el alfa 1,2? Pues es el determinante... ...de la
matriz que resulta de eliminar... ...esta fila, esta columna. Primera fila,
segunda columna. ¿Vale? Entonces sería el a sub 1,1... ...por el
determinante que elimina esta fila y esta columna... ...sería... ...el a
2,1. Y ahora, como estoy en la posición 2,1... ¿Vale?... ...¿qué signo
le tengo que meter a esto? Un menos. Dos más uno, tres. ¿Vale? Multiplico
eso. ¿Vale? Y ahora... ...más el elemento a sub 2,2... ...y ahora el
menor a punto de la posición 2,2... ...que elimina la fila y la columna...
...sería el determinante de A sub 1,1. ¿Con qué signo va? Pues como
estoy en la posición 2,2... ¿Vale? Como estoy en la posición 2,2...
...el menos 1 es elevado a 4. El menos 1 lo voy a tener aquí. El menos 1
elevado a 4. ¿Sí? ¿Vale? Entonces, básicamente... ...¿este
determinante qué es? Pues sería... ...a ver... ...esto lo he hecho bien.
Esto es un 2, ¿no? Esto... ...es el menos a 1,2... ...o el a 2,1...
...más el a 2,2 o el a 1,1. ¿Sí? ¿Vale? Entendido, básicamente...
...multiplicas... ...una matriz orientada... ...multiplicas los elementos
de la diagonal principal... ...menos los elementos de la diagonal final. El
producto de los elementos de la diagonal principal. ¿Eso está claro, no?
¿Vale? Y exactamente lo mismo si fuese 3. ¿Vale? Y esto ya lo hacemos con
un ejemplo. Si queréis decirme cuál es el determinante de A sub 1,1...
...1,0 a menos 1... ...2,3 y... ...2,4. ¿Vale? Lo mismo. Cogeis una fila o
una columna, la que queráis... ...y desarrollamos el determinante por esa
columna. Bueno, os dejo un momentito y ahora lo hago yo, si queréis.
¿Vale? Bueno, pues ya hemos resultado el determinante. ¿Sabemos el
determinante y cuánto sale, no? No quiero hacer muchos cálculos... ...y
en los presentamientos habrá que tenerlo claro. ¿Qué determinante y
cuánto da? Sí, ¿no? ¿Por qué? ¿Va a cero? Sí. ¿Por qué? ¿Veis
alguna combinación ahí lineal? ¿Esto tiene rango 2 o qué? Rango 1.
¿Sí? Vale, parece que... ...no sé, por ejemplo... Esta. Menos esta. Esa,
¿no? Vale, entonces esto lo veremos más adelante, ¿vale? Lo veremos más
adelante que... Pero bueno, si la determinante es cero... Estoy adelantando
un poco. Entonces cuando hay alguna fila o alguna columna... ...que es
combinación lineal de las células... ...esto tiene el determinante cero.
O si el rango no es n... ...el determinante es 1, ¿vale? Me estoy
adelantando, pero bueno. De todas maneras... ...nos tiene que dar el
determinante cero. Vamos a hacerlo con la definición, ¿vale? ¿De
acuerdo? Entonces, ¿cómo lo calcularíamos? ¿Vale? Determinante de A.
¿Qué es lo que tenemos que hacer para calcularlo? Cogemos cualquier fila
o cualquier columna... ...la que salga de los pies... ¿De acuerdo? Si
cogemos una fila o una columna... ...cuántos más ceros tenga, mejor.
¿Por qué? Bueno, porque como estás multiplicando aquí por elementos...
...estos elementos que estamos multiplicando aquí... ...pues cuantos más
cojas aquí con cero... ...menos cosas tienes que sumar. ¿Vale? Entonces,
cuantos más elementos de la fila o la columna sean cero... ...pues menos
cosas sumas. Pues sumar cero... ...no afecta, ¿no? ¿Vale? Entonces, si
cuando nos sale un determinante... ...pues cuanto más filas... ...cuantos
más elementos nulos de la fila mismo cojamos... ...pues menos casos.
¿Vale? Porque ahí solo tenemos un cero en toda la matriz. Entonces, yo me
cogería o la primera fila... ...o la segunda columna. ¿Vale? Primera
fila, segunda columna. Por ejemplo... ...segunda columna. ¿Vale? Entonces,
el primer sumando no lo hago. ¿Por qué? Porque va a ser cero por el
determinante de la submatriz que resulta, ¿no? ¿Vale? Entonces, no voy
directamente a este. ¿Vale? Entonces, este sería el elemento uno...
...por el determinante... ¿Vale en qué posición estoy? En la... ¿En
qué posición estoy? En la 2-2, ¿no? Entonces, el determinante lo dejo
con el más. ¿Vale? Entonces eliminamos segunda fila y segunda columna...
...y sería el determinante de uno menos uno... ...menos uno menos cuatro.
¿Vale? Y ahora sería más este menos uno... ¿Vale? Más este menos
uno... ...por el determinante que resulta... ...de eliminar a la tercera
fila, segunda columna. ¿Vale? Pero con un signo menos, ¿no? ¿Vale? O
sea, sería menos el determinante de... ...eliminar tercera fila, segunda
columna. Es decir, uno menos uno, dos, tres. Uno menos uno... ...dos, tres.
¿Vale? Bueno, entonces, este determinante... ...menos cuatro... ¿No?
Menos cuatro menos uno... ...cuatro menos uno, todo esto... ...menos cinco.
Y este es el determinante. Tres... ...menos menos... ...menos dos...
...cinco. Con ese menos delante... ...y con este menos... ...cero. ¿Vale?
¿Por qué cero? Porque la fila tres... ...vale, hemos dicho que era, ¿no?
La... ...fila uno menos la fila dos. ¿No? Vale. Esto lo dejamos más
adelante. Vale, entonces, está claro cómo se calculan los determinantes,
¿no? Que coge una... ...fila o una columna que queráis... ...y
desarrolleis el determinante... ...por los... ...los menores adjuntos,
¿vale? Vale, ¿no? Se entiende. Y se entiende la notación. ¿De acuerdo?
Esto es para desarrollarlo por filas... ...¿vale? Lo que va recorriendo es
la i... ...¿vale? Y aquí la bloquea es seleccionar la columna j...
...¿de acuerdo? Y aquí... ...¿de acuerdo? Lo que está desarrollando es
por filas... ...aquí la bloquea es seleccionar la fila k. ¿Vale? Lo que
recorre son las j, las columnas. ¿Vale? Vale, pues lo anterior... ...toda
esa fórmula es lo que se conoce como... ...la fórmula de Laplace. ¿Vale?
Y se desarrolla el determinante... ...pues por una fila o por la columna.
¿De acuerdo? Por ejemplo, un determinante... ...¿vale? Lo que decíamos
aquí... ...cuántas más... ...cuántos más ceros tenga la fila o la
columna que... ...cojamos, pues mejor. En este caso, si coges esta...
...solamente tendrías que hacer un determinante orden 2. ¿No? ¿Vale?
Como estamos aquí en la posición... ...2-3... ...pues es el menos 2 por
el determinante del 1-1... ...menos 1. ¿Vale, no? Un ejemplo sencillo.
¿Vale? Determinantes de matrices triangulares... ...pues qué resultado
tendremos... ...en el determinante de una matriz triangular. Eso es,
multiplicar los elementos de diagonal... ...¿no? Porque si es
triangular... ...si fuese... ...bueno, se pierde, ¿no? No sé si hace
falta. Al ser triangular... ...¿vale? Los únicos elementos... ...que son
nulos están aquí, ¿no? Todos estos son nulos. Nulos, ¿verdad? Pues
cómo desarrollaríamos este determinante... ...pues primero cogeríamos
por este... ...fila, ¿no? Pues sería este elemento... ...por el
determinante que ha resultado... ...eliminar esta fila y esta columna. O
sea, es decir, que nos quedaría aquí... ...otra matriz triangular. Otra
matriz triangular, ¿no? El determinante de esa matriz... ...es este
elemento por eliminamos fila y columna, ¿no? Fila-columna, fila-columna...
¿De acuerdo? Lo que nos queda es el producto de las diagonales, ¿no?
¿Vale? ¿Qué es lo que ocurre a los determinantes... ...cuando realizamos
operaciones elementares... ...por el método de Gauss? ¿Vale? Esto es
bastante útil, pues eso. A la hora de calcular determinantes... ...de
matrices de orden elevada. ¿Vale? Pues una matriz de orden 6... ...no lo
vas a hacer con el método de Laplace... ...porque tienes que hacer
cálculos al casco cuadrado. ¿Vale? Entonces, lo lógico es... ...hacer
transformaciones por el método de Gauss... ...y a partir de las
transformaciones... ...a ver cómo cambia el determinante. ¿De acuerdo?
Vale, entonces... ...si intercambiamos filas... ...el determinante cambia
de signo. ¿De acuerdo? Estas demostraciones no están mal tampoco...
...pero las miréis en el libro, ¿no? Para que os acostumbréis a las
demostraciones... ...y veáis cómo se demostraría esto, ¿no? Y si
queréis os pongo un ejemplo... ...pero bueno, es básico, ¿no? La matriz
identidad que el determinante tiene... ...identidad y determinante...
...uno, ¿no? Si intercambio las filas... ...o las columnas... ...vale...
...esto que determina... ...esto que el determinante tiene. ¿Vale?
Entonces, de intercambiar filas o columnas... ...esa operación lo que le
hace a la matriz inicial es... ...cambiar el signo del determinante.
¿Vale? ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué es lo que ocurre si tenemos dos
filas iguales... ...en una matriz o dos columnas iguales? Que el
determinante es cero, ¿no? ¿Vale? Porque si la cambio y los determinantes
tienen que ser iguales... ...esta sería la transformada, pero la
transformada es la misma. ¿Vale? Esto tendría que ser... ...el único
elemento que es igual a su opuesto sería el cero. ¿Vale? ¿De acuerdo?
Esta demostración viene así, ¿vale? Como el único elemento del
cuerpo... ...que es igual a su opuesto es el cero, pues... ¿Vale? ¿Qué
es lo que pasa si multiplicamos una fila... ...por un escalar? Que el
determinante... ...nos sale multiplicado por ese escalar. ¿De acuerdo? Por
lo tanto, si tenemos una fila nula... ...completamente nula, ¿qué es lo
que ocurre? Que el determinante es cero. Pues lo desarrollo por esa fila o
si saco el factor común al término. ¿De acuerdo? Y luego, si lo
transformamos, hacemos una combinación lineal... ...hay un término que no
cambia. ¿De acuerdo? Dicho esto... ...¿qué es lo que ocurre si tenemos,
como he dicho anteriormente... ...que tenemos una fila que es combinación
lineal de las demás? ¿Por qué el determinante es cero? Pues ya lo
podemos demostrar con esta. ¿De acuerdo? Si yo hago transformaciones de
esto, el determinante no cambia. ¿Vale? Pues podría hacer
transformaciones de este tipo. ¿De acuerdo? Y ahí tendría una fila nula.
Por lo tanto, un determinante tiene que ser nula. ¿Vale? Entonces, si
tenemos una fila que es combinación lineal de las demás... ...o las filas
son linealmente dependientes... ...al determinante de esa matriz... ¿De
acuerdo? Conclusión que se puede sacar de esta proposición. ¿De acuerdo?
¿Vale? Dicho eso, pues el determinante de las matrices elementales...
...si intercambiamos filas es menos uno. Si tenemos una fila multiplicada
por un escalar, ese es escalar. Y si hacemos una combinación lineal de
filas... ...pues el determinante sigue siendo uno. ¿Vale? ¿Sí? Entonces,
el determinante de esto... ¿Qué sería? Uno. ¿Vale? Porque lo único que
hemos hecho es, a esta fila... ...hemos multiplicado dos veces por esto. Y
esto, esa transformación... ¿De acuerdo? No cambia el determinante de la
matriz identidad. La matriz identidad del determinante de la identidad de
orden tres. Uno. Pues como esto es una transformación elemental a la
matriz identidad... ¿Vale? Y que transformación ha utilizado de este
tipo, el determinante sigue siendo uno. ¿Vale? Bueno... ¿Qué más?
Importante también. Una matriz de orden n y una matriz elemental de orden
n... ...que lo ocurre en el determinante del producto de estas dos
matrices... ...es lo mismo que el determinante de la matriz elemental o el
determinante de A. ¿Vale? Venga, entonces, dicho eso, ¿cómo se pueden
calcular determinantes... ...de manera más rápida que con el método de
Laplace, de Arcas... ...hacer operaciones a no ser que tengas filas o
columnas que tengan un borrón de cero? Pues con el método de Gauss.
Consiguiendo matrices elementales. ¿De acuerdo? Por ejemplo, para esta
matriz que tenemos solo un cero. Podríamos hacerlo anteriormente. O coger
el método de Gauss. ¿Vale? Obtener una matriz triangular. No tiene ni por
qué ser escala triangular. Y calcular el determinante de esta otra
teniendo en cuenta las transformaciones que se han realizado. ¿Vale? En
este caso, pues para conseguir una matriz triangular... ...lo único que
hacemos aquí es con ese 1 hacemos un 0 aquí. ¿Vale? Entonces... ...de
aquí a aquí el determinante no ha tenido que cambiar, ¿verdad? Porque lo
único que hemos hecho es a la segunda fila sumarle la primera. Entonces el
determinante de esta matriz con el de ésta es el mismo. ¿De acuerdo?
¿Vale? Y ahora aquí, para convertirlo en una matriz triangular y poder
calcular este determinante... ...que el determinante de esta matriz
triangular es el producto de los elementos de la área diagonal... ...lo
único que hacemos es intercambiar la fila 2 por la fila 3. Y entonces el
determinante de esta matriz será el menos determinante de ésta. ¿Vale?
Porque aquí hemos hecho una transformación en la que hemos intercambiado
las 7. Entonces el determinante de la matriz inicial será menos el
determinante de ésta última. ¿Vale? Porque de aquí a aquí el
determinante sigue siendo lo mismo... ...y aquí simplemente cambia el
signo. Y este determinante es bien sencillo, es 1 y lo único que le pongo
es el "-1". ¿Vale? Entonces calcular determinantes es más sencillo. Y si
relacionamos transformaciones elementales con el método de Gauss, muchas
veces... ...hay que calcularlo con el método de Gauss. ¿Vale? Las reglas
de Sahu... ¿De acuerdo? Lo único que hay que tener en cuenta es eso, las
transformaciones que estamos haciendo. O lo que hemos dicho, esta matriz
A... ...es igual a la triangular ésta. Vamos a llamarla T. Y aquí la he
multiplicado por dos matrices elementales. ¿Vale? Una. Entonces el
determinante de esto es lo mismo que el determinante de eso. Por la
proposición que hemos visto antes, el determinante es éste. Determinante
de E1... ...es el determinante de A. Igual al determinante de estos. De
estos. Uno es uno, o sea, que lo puede fusilar y el otro simplemente lo va
a mejear. ¿Vale? Esto, como he dicho antes, es por... ...esta propiedad.
¿Vale? ¿De acuerdo? Vale, ¿qué más? Este peor es importante. Si el
determinante es distinto de cero, si solo la matriz es invertible...
¿Vale? El determinante del producto de dos matrices de orden m es igual al
determinante... ...de E1 que el determinante de la otra y el determinante
de la matriz, el tipo de su traspuesta. ¿De acuerdo? ¿Vale? También vale
estas demostraciones si podéis mirarlas. Estas son bastante sencillas.
Pero es bueno que os echéis una vista, ¿vale? Venga, ejercicio. ¿Vale?
Calcular los valores de X para los que la siguiente matriz no es
invertible. ¿Para qué valores de X esta matriz no es invertible? ¿De
acuerdo? Vale, esto es una matriz de orden 4... ...en la que ningún
elemento, no sé si el X puede ser cero... Vale, entonces hacer esto por...
...la fórmula de Laplace no tiene sentido. ¿Qué es lo que tendríamos
que hacer? Pues hacerlo por Rao. ¿De acuerdo? Venga, ¿cómo las diteis?
Esta igual aparece en el libro, ¿no? Muy parecida. Eso es. Si os fijáis,
este tipo de ejercicios... ...tanto la suma de todos los elementos de las
filas... ...como la suma de todos los elementos de las columnas... ...son
el mismo valor. Os fijáis, ¿vale? Si sumas todos los elementos de esta
fila va a ser 5 más X... ...6 más X, ¿no? Lo mismo... ...si sumas estos,
también. Si sumas estos, también. Y si sumas estos, también. ¿Vale? Lo
mismo si sumas por filas, ¿no? Todos estos elementos los sumas son 6 más
X... ...todos esos elementos se los sumas 6 más X... ...esto también,
esto también, ¿vale? Es decir, es una matriz simétrica. ¿Vale? ¿De
acuerdo en que si tenemos una matriz simétrica y sumamos todos los
elementos... ...de la fila, de las columnas o de las filas... ...obtenemos
el mismo valor? ¿Eso para qué nos va a servir? Es simple, lo que podemos
hacer es sacar de una columna... ...hacer la suma es hacer una operación
que no cambia el determinado. ¿Vale? Luego nos quedará una fila, una
columna con todo el mismo valor. Con todo el mismo valor y ese valor lo
podemos sacar... ...y multiplicar al determinante de la matriz resultante.
Y esa matriz resultante tendrá todos unos... ...todos unos en una fila o
en una columna. ¿Vale? Y luego ahí es cuando ya podéis hacer cero...
...hacer un determinante ordenado. ¿Vale? No sé si lo tengo hecho,
sino... Vale. Vale, entonces lo que decíamos, por ejemplo... ...todos los
elementos suman x más 6. Entonces aquí este determinante será el
mismo... ...del determinante de esta primera matriz... ...que es el mismo
determinante de esta otra. ¿Por qué? Porque la única de las operaciones
elementales que he hecho es... ...a una fila sumarle... ...perdón, a la
primera columna... ...sumarle a la segunda. A la primera columna sumarle a
la tercera. A la primera columna sumarle a la cuarta. ¿Vale? Entonces el
determinante no cambia... ...porque es una operación elemental que no
cambia el determinante. ¿De acuerdo? Ahora, que tengo aquí todo el
valor... ...este... Vale, aquí se ve... Vale, dos pasos. Podríamos haber
hecho o esto que he hecho aquí... ...o haber dicho, oye, pues este
determinante será... ...x más 6 por el determinante de aquí todos
unos... ...y el resto de la matriz. 1, 2, 3... ...x, 3, 2... ...3, x, 1...
...2, 1, x. ¿Vale? Esto... O ya con el x más 6 hace ceros. ¿Vale? Lo que
comentabas tú. Vale, entonces con el x más 6 hace cero por debajo. Y lo
mismo el determinante no cambia para nada. ¿Vale? Porque no cambia para
nada porque estoy haciendo operaciones... ...que no cambien el determinante
de la matriz. ¿Vale? Hace ceros para abajo. Por debajo no, con el 1, 2,
3... ...por aquí pues eso. Sería x menos 1... ...3 menos el 1, 2... ...y
el 2 menos el 1, 1. Y aquí lo mismo. 3 menos 2, 1... ...x menos 2... ...y
el 1 menos 2, menos 1. ¿Vale? Y ahora aquí 2 menos 3, 1 menos 1... ...1
menos el 3, menos 2... ...y x menos 3. Y ahora este determinante...
...¿vale? Que aquí lo puedo hacer para arreglar la plaza. Desarrollarlo
por la primera columna. Sería x más 6 por este determinante ahora de
orden 3. ¿De acuerdo? ¿Vale? ¿Sí? Aquí, ¿qué es lo siguiente que se
ha hecho? Bueno, ya tenemos una matriz de orden 3. ¿Vale? Lo que podemos
hacer es... ...pues aquí, como obviamente podemos cada uno... ...o lo
veamos aquí ya en infinidad de maneras. ¿De acuerdo? Yo creo que lo que
he hecho aquí es... ...pues a la primera columna... ...le he restado...
...le he sumado... A la primera columna le he sumado la tercera. ¿Vale? X
menos 1, menos 1. X menos 2. 2 más menos 2, 0. Y... X menos 3, más 1. X
menos 2. Ya consigo ahí un cerito. ¿De acuerdo? Y en el siguiente paso lo
que intentaré es... Aquí he conseguido otro 0, ¿no? Con este X menos 2.
¿Vale? En el siguiente paso pues eso. Consigo ahí un 0. ¿De acuerdo? Y
ya tengo otra vez una columna... ...con todos los elementos nudos respecto
a uno. ¿De acuerdo? Y aquí ya otra vez utilizamos el método de
Laplace... ...que sería X menos 6 por X menos 2... ...por este
determinante de orden 2. Sería un determinante de orden 2 con rapidez 0.
¿Vale? Que sería X menos 2 al cuadrado, menos 4. ¿Vale? Nos quedaría
esto. ¿De acuerdo? Es un polinomio cuando se anula. ¿Para qué valores se
anula? Para menos 6. Para 2. Y para 0. ¿Vale? O bien menos 6, o bien 0...
...o bien 2. Esa matriz inicial... ...no sería invertida. Porque su
determinante sería nulo y no tendría matriz inversa. ¿De acuerdo? Vale.
Venga pues seguimos. Otra manera de obtener la matriz inversa es a través
del determinante. ¿Vale? Ya hemos visto un método, el método de Pagos.
Lo que habíamos visto anteriormente de obtener la matriz inversa. Otro
método es con... ...con el determinante. ¿De acuerdo? Entonces si tenemos
una matriz de orden n... ...¿qué va a ser la matriz adjunta? Que lo se
llama matriz adjunta de A. Pues la matriz adjunta es la que está compuesto
por los menores adjuntos. ¿Vale? Aquí el alfa sub ij es el menor adjunto
como he definido anteriormente. ¿De acuerdo? Vale. Entonces, ¿qué es lo
que ocurre al multiplicar la junta... ...la junta de la transpuesta por la
matriz A? Pues al multiplicar esta matriz, la matriz resultante tiene en la
diagonal el valor del determinante por definición. ¿De acuerdo? En la
diagonal obtendremos el determinante. ¿Sí? ¿Se entiende? ¿Sí, no?
¿Eso lo vemos claro? Vale. Entonces para los valores fuera de la
diagonal... ...se está aplicando la fórmula de Laplace por la columna J
del determinante de la matriz que resulta de la columna J por la i. ¿Vale?
Luego tiene dos filas iguales y el determinante sería 1. ¿De acuerdo? Por
lo tanto, la junta de la transpuesta por la matriz A será el determinante
de la matriz A por la identidad. ¿Vale? Y por lo tanto, despejando de
aquí, ¿qué es lo que pasa? Que la matriz inversa es la junta de
transpuesta a partir del determinante. ¿Vale? O multiplicada por el
inverso del determinante. ¿Vale? El determinante... Visto así, al ser un
escalar, pues oye, evidentemente no tenemos matriz inversa si tenemos que
multiplicar por el inverso del valor nulo. ¿Vale? Entonces una matriz no
tiene inversa si su determinante es nulo. ¿Por qué? Pues porque no existe
el valor nulo. ¿Vale? He dicho de otra manera que dividir entre cero no
tiene sentido, ¿no? ¿De acuerdo? Vale, entonces esa sería vuestra manera
de obtener la matriz inversa. ¿Sí? Vale, pues bueno, no sé si queréis
practicarlo un poco. ¿Vale? Eso es. ¿Vale? A ver, rápidamente, ¿vale?
La junta de la transpuesta, ¿vale? Bueno, primero sería traspasar la
matriz. Es bien sencillo. 1, 4, 0. 2, 3, 1 y 0, 1, 1. ¿Vale? Luego
tendríamos que calcular la junta de esa matriz. ¿Vale? La junta es cada
elemento, lo que tenemos que meter es el menor adjunto. ¿Vale? Es decir,
aquí en el elemento que está en la fila 1, columna 1, lo que tenemos que
meter es el determinante que resulta de esta matriz delimitada en la fila
1, columna 1. Sería el determinante de esta matriz. Esta matriz de
determinante tiene 3 menos 2, 2. Como estoy en la posición 1, 1, va con
ese signo. ¿Vale? Aquí tengo que hacer primera fila, segunda columna,
elimino, sería el determinante de la matriz 4, 1, 0, 1. Sería 4. Como
estoy en la posición 1, 2, le cambio el signo. ¿Vale? Aquí, ¿qué
elemento iría? Perdón. 4, ¿no? El determinante de esta matriz. Aquí,
¿qué elemento iría? El menos 2, ¿vale? Aquí, aquí 1, aquí menos 1,
ahí 2, aquí menos 1 y aquí... ¿Vale? Esa sería la funda de las
respuestas. Vale, ahora que terminamos de calcular, lo único que nos
faltaría es el determinante. Y aquí lo calculáis. Si queréis hacer
Gauss, hacéis Gauss. Si queréis hacer Laplace, hacéis Gauss. ¿Vale? Si
queréis practicar un poco lo de Laplace, lo hacemos con Laplace. Aquí
cogemos una fila, una columna, que tenga todo... Cuanto más ceros mejor.
Como aquí solo tenemos dos ceros. Podríamos elegir simplemente una fila o
dos columnas. Perdón, una fila u otra columna. Esta, la última columna.
Ese determinante sería aquí, como estoy en la posición 3-2, ¿vale? Al
menor adjunto tengo que cambiar el signo, ¿vale? Entonces, ¿cuál es el
menor adjunto? Pues el menor a fila de la columna y sería 1. Entonces,
sería menos 1. ¿Vale? Y a este de aquí, el menor adjunto sería 3-8...
menos 5, ¿no? Menos 1 menos 5 es menos 6. Todos estos elementos los
dividís entre menos 6 y ahí tendríamos la impresa, ¿vale? A menos 1,
sabemos que la punta fuera traspuesta por 10 lo determinante. Pues son
todos los elementos que tenemos ahí entre 6. Viene entre 6 multiplicado
por 6. ¿Vale? ¿Sí? ¿De acuerdo? Me queda un poquito... ¿Vale? Vale,
está aquí hecho. Pero bueno. Queda el tema de cómo se calculan los
rangos por menores, ¿de acuerdo? Si queréis, lo vemos rápidamente el
próximo día y hacemos algunos ejercicios de este tema. Pero deberíamos
ir un poquito más rápido, ¿vale? Llevamos 4 clases. Está bien. Si
hubiese terminado hoy con el primer tema, iríamos bastante bien. Pero no
lo hemos terminado, ¿vale? Entonces, lo dicho, el próximo día. 20
minutitos de terminar esto y si queréis hacemos algunos ejercicios. Y ya
empezamos con sistemas de ecuaciones líneas, ¿de acuerdo? ¿Sí? ¿Listo?
Eh... ¿Viene? Vale. Para algunos va un poquito lento, ¿no? ¿Sí? No, no.
De momento vamos bien.