Bien, buenas tardes. Vamos a iniciar esta nueva sesión de bases físicas,
de medio ambiente. Y hoy vamos a trabajar oscilaciones, movimiento
vibratorio y lo que podamos ver también un poquito de ondas si podemos
empezar ya ondas. ¿De acuerdo? Como aparte de un bloque muy interesante,
todo lo que son oscilaciones, ondas y fenómenos ondulatorios como ondas
estacionarias, como interferencias. Vamos a ver entre estas dos clases,
vamos a verlo todo aunque ya os voy a poner bastante material para que
podáis trabajar y también avanzar vosotros si queréis. Bien, pues
hablamos de movimiento vibratorio, movimiento oscilatorio, ¿no? Bueno,
¿qué es un movimiento periódico? Es aquel que se repite, ¿no? Que
repite la posición del móvil, ¿vale? Está claro, un movimiento circular
es un movimiento periódico, las aletas de un reloj, ¿no? Un tío vivo que
va dando vueltas. Y un movimiento oscilatorio o vibratorio es aquel que
realiza movimientos de vaivén sobre la misma trayectoria. Y ejemplos
típicos es el resorte y el péndulo. ¿Qué se entiende por periodo? El
tiempo que invierte la partícula en realizar una oscilación o una
vibración completa. ¿Y qué es una oscilación o una vibración completa?
Pues una oscilación en sí, de un extremo al otro extremo y volver. ¿Una
vibración completa? Si parto de arriba es bajar abajo del todo y volver a
subir, ¿vale? Eso es el periodo. ¿Y qué es la frecuencia? La frecuencia
es la inversa del periodo. La frecuencia es el número de oscilaciones o
vibraciones completas que se realizan por segundo. Bien, ¿eso qué quiere
decir? Pues esto quiere decir que si el periodo se expresa en segundos,
¿no? Porque el periodo, un momentito, el periodo se expresa en segundos,
la frecuencia se expresa en segundos a la menos uno. Segundos a la menos
uno o hercios, si queréis, o ciclos partido por segundo. Todo es
equivalente. Vibraciones por segundo. En definitiva, segundos a la menos
uno, ¿eh? Segundos a la menos uno porque ciclos o vibraciones no es una
magnitud fundamental, ¿eh? ¿Vale? Bueno, un movimiento oscilatorio
podemos hablar de equilibrios estables e inestables muy rápidamente. Un
equilibrio estable, pues aquí lo tenéis a la derecha. Si lo separas
ligeramente en la posición de equilibrio, vuelves a esa posición. Sin
embargo, un equilibrio inestable, eso lo hemos visto. Si os acordáis en
las curvas de potencial, lo separas ligeramente y ya no vuelves a esa
posición, ¿no? Te alejarías en teoría al infinito o donde proceda. Si
tenemos oscilaciones libres, que no hay fuerzas disipativas, no hay fuerzas
de rozamiento, el sistema oscilaría indefinidamente. Mientras que si
tenemos fuerzas disipativas significativas, fuerzas de rozamiento o del
aire, tendremos oscilaciones amortiguadas. Y hablaremos de movimiento. Un
movimiento oscilatorio amortiguado, que será lo último que veremos de las
oscilaciones. ¿De acuerdo? Bueno, ¿por qué decimos que es un movimiento
armónico? Bueno, un movimiento armónico, ¿no? Cuando oscila por acción
de fuerzas restauradoras. Que son fuerzas que son proporcionales a la
distancia a un punto. Bueno, es decir, que es una fuerza restauradora.
Bueno, aquí lo que estamos diciendo es que una partícula tendrá un
movimiento armónico simple, un movimiento armónico, ¿no? Cuando oscila
bajo la acción de fuerzas restauradoras. De una fuerza que es proporcional
a la distancia a la posición de equilibrio. Fuerza proporcional a la
distancia a la posición de equilibrio. K por X. ¿Y qué quiere decir el
signo menos? El signo menos quiere decir que está dirigida siempre hacia
el centro. Hacia el centro, hacia la posición de equilibrio. Esa fuerza.
Que va en sentido contrario al desplazamiento. Si me alejo, cuando
incrementa a X, la fuerza va hacia atrás. ¿De acuerdo? ¿Cómo podemos
sacar la ecuación de un movimiento de estas características? Pues
aplicamos la segunda ley de Newton. F igual a M por A. Muy rápidamente.
Perdona. F igual a M por A. ¿La fuerza cuál es? Menos K por X. Si
resolvemos esta ecuación diferencial, que nos la vamos a parar nosotros
mucho menos ahora. ¿Eh? Nosotros. ¿Eh? Nosotros. Podemos demostrar que
omega, esta W es la pulsación angular o frecuencia angular es raíz
cuadrada de K partido por M. ¿No? Y una solución de esta ecuación
diferencial es esta de aquí. Esta ecuación que tenéis aquí, tanto la
podemos encontrar con seno como con coseno. ¿Vale? Ya veis, X A seno de
omega T más delta y O X igual a A coseno de omega T más delta. ¿Y qué
representa cada letra? ¿Qué representa cada letra? Bueno, lo primero de
todo que tenemos que saber. Lo primero de todo que tenemos que saber es que
un movimiento viator hegemónico simple es una partícula, ¿no? Que vibra
periódicamente, ya sea en vertical, una vibración o que oscila. ¿Vale?
Que oscila. ¿Vale? Y que tanto se puede expresar con una función seno
como una función coseno. ¿Cuál es la diferencia de una a otra? Pues
será la fase inicial, esta delta. Esta delta que tenéis aquí. ¿Eh? Esta
delta que tenéis aquí, que tenemos aquí. ¿Eh? Se llama la fase inicial
y depende de las condiciones iniciales, es decir, de la posición para
tiempo cero y la velocidad para tiempo cero. Pero hay otros parámetros muy
importantes como es la X. ¿Qué es la X? La X es la distancia a la
posición de equilibrio y también se le llama elongación. Elongación.
¿Qué es la A? La amplitud o la máxima elongación. ¿Eh? La A, la
amplitud o máxima elongación. ¿Y qué es la frecuencia angular? La
frecuencia angular o pulsación, omega, que es como en el movimiento
circular, dos pi partido por el periodo o dos pi multiplicado por la
frecuencia. Y como os decía, esta delta es la fase, constante de fase o
fase inicial y que se determina a partir de las condiciones iniciales, es
decir, para tiempo igual a cero, ¿qué vale la elongación? Si la
elongación vale cero, si vale A o vale menos A o cualquier otro valor y a
partir de ahí. Vamos a dejar delta y delta, por ejemplo aquí dice que
para tiempo cero tiene una elongación X sub cero. ¿Vale? Entonces, ¿qué
vale la delta? Pues delta será el arco cuyo seno vale X sub cero partido
por A. Lo veremos algunos ejemplos. ¿Vale? Veremos algunos ejemplos.
Bueno, pues aquí tenéis cuál que vale la delta si la X sub cero vale A.
Si vale A, pues el seno de delta es uno. Y la delta, ¿qué valdrá? Pues
pi medios. ¿Vale? ¿Sí? Pero si es una función coseno, ¿para cuándo el
coseno vale uno? Eso es diferente. El coseno vale uno, ¿para cuándo? Para
delta cero. Por lo tanto, aquí no tendremos delta, la delta será cero,
sin embargo, aquí arriba el seno vale uno cuando delta es pi medios y por
eso tenemos aquí el pi medios. ¿Vale? Igualmente se puede sacar la delta
si inicialmente la X sub cero vale menos A. ¿No? ¿Vale? Lo cual, a partir
de ahí podemos sacar que la delta puede valer menos pi medios o pi. ¿No?
Y también si nos fijamos en la posición de equilibrio. ¿Vale? Por
ejemplo, en la posición de equilibrio cuando X vale cero y nos dirigimos
hacia la derecha con velocidad positiva. Bueno, con velocidad positiva.
Entonces, ¿qué tenemos aquí? Tiene que suceder, bueno, si tengo una
función seno, ¿cuándo es que el seno vale cero? Para cero. ¿No? Para
cero. ¿Y el coseno? ¿Cuándo es que el coseno vale cero? Para noventa
grados. ¿No? O menos noventa grados. Aquí sería menos noventa grados
porque queremos que la velocidad sea positiva. ¿Eh? ¿De acuerdo? Es que
la velocidad, si esto es X de t, esto es A. ¿Vale? A. O seno de omega t
más delta. La V de t será menos A omega, seno de omega t más delta.
¿Vale? Si queremos que la velocidad sea positiva tendré que tomar una
delta negativa o el seno de menos noventa. El seno de menos noventa es
menos uno y menos por menos me da más. Pero bueno, tanto más fácil como
tomar siempre una función seno. Así no os liáis, ¿eh? No os liáis.
Siempre si tomáis una función seno va a ser más fácil para vosotros.
Bueno. ¿Y qué es la velocidad? La velocidad y la aceleración de un
movimiento armónico simple. Bueno, pues nos damos cuenta, ¿no?, que esta
es la ecuación del movimiento y la velocidad es la derivada temporal de la
posición con respecto del tiempo. Si tenemos esta función seno, ¿no? La
velocidad es la derivada temporal que será una función coseno. Y tendrá
un valor máximo esta velocidad. ¿Qué será este valor máximo? Pues
cuando el coseno de omega t más delta valga menos uno, A omega. Eso será
siempre la velocidad, ¿eh?, la velocidad máxima. ¿Vale? Que se puede
expresar en función de la elongación con la demostración que tenéis
aquí. No os hago la demostración pero es importante que sepáis este
resultado que os pongo en el recuadro. Y tenéis que saber que en un
movimiento armónico simple. Y esto es muy importante. Que la velocidad es
nula en los extremos. Porque, ¿qué hacen los extremos? La partícula se
para y cambia de sentido. ¿Y qué es máxima en la posición de
equilibrio? Positiva si va hacia la derecha. Negativa si va hacia la
izquierda. ¿Vale? Y la aceleración. ¿Qué pasa con la aceleración? Pues
importante que sepáis que la aceleración en función de la elongación es
menos omega al cuadrado por x. ¿Vale? De manera que la aceleración va a
ser nula. Va a ser nula en la posición de equilibrio. Y va a ser máxima
en los extremos. Y siempre va a ir dirigida hacia el centro. Siempre va a
ir dirigida hacia el centro. Esta sería la aceleración máxima. Cuando x
es igual a a. ¿Vale? De hecho, si queréis podríamos dibujar brevemente
una recta. ¿No? Y decir, bueno, esto es la elongación. ¿Qué vale la
elongación? x igual a menos a a la izquierda. x igual a menos a a la
derecha. Y x igual a cero en la posición de equilibrio. Y la velocidad
será nula en los extremos y más menos a omega, ¿no? En la posición de
equilibrio. Y la aceleración será nula en la posición de equilibrio. La
aceleración es nula en la posición de equilibrio. Y menos omega al
cuadrado por a en el extremo derecho para ir hacia la izquierda. Y más
omega al cuadrado por a en el extremo izquierdo para ir hacia la derecha.
Esto es importante que lo sepamos y que lo entendamos. ¿Eh? Y las
fórmulas que nos hacen llegar a estos resultados. Esas fórmulas que os he
puesto en recuadro resaltadas en azul. Importante que lo tengamos claro.
¿Y qué será el periodo? El periodo es el tiempo que tarda en ir de un
extremo a otro, ¿no? En realizar una vibración completa o una
aceleración completa. Por ejemplo, si parto del extremo de la derecha,
¿no? Ir al otro extremo y volver, eso es el periodo. Por ejemplo. Me dicen
que el periodo es ocho segundos. ¿Qué tipo tarda en ir de un extremo al
otro extremo? Bueno, pues si el periodo es ocho, que es ir y volver, serán
cuatro segundos. El tiempo de cuatro segundos es ir del extremo de la
derecha al extremo de la izquierda. Cuatro segundos. ¿Y si quiero ir del
extremo a la posición de equilibrio? Eso es la mitad. Dos segundos. Dos
segundos para ir de un extremo a la posición de equilibrio. Siempre dos
segundos. Cuatro segundos, esto si estoy tomando periodo ocho, ¿eh? Te voy
a dar un ejemplo. Cuatro segundos si quiero ir de un extremo al otro
extremo o de la posición de equilibrio a volver a la posición de
equilibrio por primera vez, que es la mitad del periodo. ¿Sí? Pero estos
tiempos son cuando vamos de un extremo al medio o al otro extremo. No es lo
mismo cuando nos ponemos en cualquier posición intermedia. Eso no es lo
mismo, ¿eh? Habría que verlo porque no nos olvidemos que aquí no tenemos
una aceleración constante, ¿eh? ¿Vale? Habría que verlo. Hay algún
ejercicio ahí sobre este tema, ¿eh? Pues lo vemos. Bueno, aquí tenéis
las gráficas. Espacio, velocidad y aceleración-tiempo. El despase que hay
con ellas. ¿Vale? ¿Sí? Como he dicho antes, la pulsación angular era
raíz cuadrada de k partido por m. ¿Y cómo se saca esa pulsación
angular? ¿De dónde viene? Pues mirad. Sabemos que la segunda ley de
Newton es f igual a m por a. ¿Sí? F igual a m por a. La fuerza que
actúa, ¿qué es? Menos k por x. Y la aceleración, ¿a qué es igual? A
menos omega cuadrado por x. Ah, muy bien. Entonces de aquí podemos tachar
las x y los signos menos. ¿Y qué me queda? Que la k es igual a m omega
cuadrado. La k es igual a m omega cuadrado. De manera que omega, que es la
frecuencia angular, es raíz cuadrada de k partido por m. O también, si
queremos poner la omega en función del periodo, ¿no? Lo tenemos aquí.
Periodo igual a 2pi raíz cuadrada de m partido por k. Entonces, en un
oscilador armónico, ¿no? Vemos que el periodo es proporcional a la raíz
cuadrada de la masa. E inversamente proporcional, ¿eh? Inversamente
proporcional, ¿a qué? A la constante elástica. Daos cuenta que el
periodo no depende de la amplitud. ¿Vale? No depende de la amplitud, el
periodo. ¿Eh? De la oscilación. Puedo oscilar con una amplitud de dos
centímetros o de cuatro centímetros. Pensad que todo esto es ideal, que
no hay fricción con el aire, ¿eh? Porque en realidad siempre hay
fricción con el aire y el sistema se amortiguará. Esto en teoría
oscilaría indefinidamente. ¿Vale? Bueno, importante, la energía
potencial elástica. Aunque ya lo hemos visto un poco en mecánica, es muy
importante recordar que la fuerza elástica de un muelle, o la fuerza
elástica en general de un resorte, es una fuerza conservativa y por lo
tanto deriva una potencial, una energía potencial. Y que el trabajo
realizado por una fuerza conservativa es igual a menos la variación de
energía potencial. ¿Vale? Entonces, el trabajo que realiza la fuerza
recuperadora, al desplazarse desde un extremo a la posición de equilibrio,
pues sería la fuerza, ¿no? La integral, el trabajo sería integral de x a
cero de la fuerza por diferencial de x. ¿Y qué vale la fuerza? Menos k
por x, diferencial de x. Y de aquí ¿qué obtendríamos? La energía
potencial, ¿eh? Que sería la energía potencial inicial en los extremos,
en los extremos, ¿no? Mientras que la energía potencial sería nula
aquí, en la posición de equilibrio. Y sería máxima en los extremos. Un
medio de k a cuadrado. Un medio de k a cuadrado sería la energía
potencial en los extremos. Máxima en los extremos y nula en la posición
de equilibrio. ¿Vale? La energía potencial elástica. Esto es una curva,
es una parábola, ¿no? Como veis. ¿De acuerdo? Y veis aquí cómo
depende. Esta energía potencial. ¿Y la energía cinética? ¿Cómo varía
en un movimiento armónico simple? Bueno, la energía cinética va a ser
nula en los extremos. ¿Por qué es nula la energía cinética en los
extremos? Porque la velocidad es 0. En los extremos. Y va a ser máxima en
la posición de equilibrio. Donde es nula la energía potencial. La
energía cinética máxima será igual a qué? A 1 medio de la masa por la
velocidad máxima al cuadrado. 1 medio de la masa por A cuadrado omega
cuadrado. ¿Vale? Sería la energía cinética máxima. ¿Vale? ¿Y la
energía mecánica? La energía mecánica siempre suma de la cinética más
la potencial. Pero hay dos situaciones extremas donde sólo hay potencial
que es en los extremos o que sólo hay cinética que es en la posición de
equilibrio. Es decir, que la energía potencial máxima coincide con la
energía cinética máxima y coincide con la energía mecánica. ¿Y qué
es la energía mecánica? Pues o 1 medio de K por A cuadrado o si queréis
1 medio de M A cuadrado omega cuadrado. Y alguien dice ¿y esto? ¿No os
acordáis que hemos escrito antes que la K es M omega cuadrado? ¡Ah! Y es
verdad que la K es M omega cuadrado. Las dos fórmulas son idénticas. No
estamos descubriendo nada nuevo. Son idénticas. ¿Eh? Bueno, energía
mecánica suma de cinética más potencial. Aquí tenéis estas curvas
¿no? De la energía cinética y de la energía potencial en función del
tiempo. ¿Eh? Y de la elongación. Fijaos que cuando la elongación es
máxima es aquí elongación máxima ¿no? Toda la energía ¿qué es?
Potencial ¿no? Energía potencial ¿vale? ¿Y qué vale la energía
cinética? 0 ¿no? Porque los extremos de energía cinética es 0 ¿vale?
Que al revés cuando estamos en la posición de equilibrio vemos que la
energía cinética es máxima ¿eh? Y sin embargo la energía potencial es
nula ¿vale? Es interesante que esta gráfica también nos ayudará a
entender ¿no? Esta variación de la energía cinética y la energía
potencial en función del tiempo de la elongación. Bueno el el péndulo
simple por ejemplo se puede asociar un movimiento armónico simple cuando
las oscilaciones sean menos de 30 grados menos de 30 grados entonces sí
que podemos decir ¿no? Que tenemos un movimiento también armónico simple
y el periodo de oscilación sería 2 pi raíz cuadrada de L partido por G y
la ecuación del movimiento se podría obtener de esta manera como veis
aquí ¿no? En función del ángulo o como aparece en la siguiente página
¿eh? Relacionando el ángulo con el arco y el radio ¿no? Y vemos que hay
una relación ¿no? entre el ángulo el arco y el radio de manera que la
longitud del arco X ¿no? es igual al ángulo el radio eso no sé si os
acordáis en matemáticas la relación que hay entre la longitud del arco
el radio y el ángulo en radianes ¿eh? Siempre en radianes ¿eh? Es decir
que podemos poner la ecuación de un movimiento armónico simple de un
péndulo aquí en función de X y de A o en función del ángulo ¿vale?
¿eh? Como hemos visto antes ¿de acuerdo? Ángulo ángulo máximo ¿eh? o
bien a través de esta expresión Bien permitidme que hablemos ahora un
poquito más sobre partes bueno antes de pasar a ver oscilaciones forzadas
y amortiguadas voy a ir a la pizarra y voy a haceros mirar Nosotros
podríamos pensar ¿no? en ese movimiento armónico simple ¿no? lo
represento en la línea recta que me va a ser más fácil ¿no? Esto lo
hemos visto hace un momento ¿eh? ¿vale? ¿no? Y hemos dicho que aquí la
X vale menos A cero y más A Bueno y ya hemos dicho lo que vale energía
cinética y potencial en cada uno de los puntos pero puede ser es decir
alguien podría pensar oiga díganme aquí cuando cuando X es igual a
medios ¿qué pasa con la energía cinética y potencial? ¿es la misma o
no es la misma para X igual a medios? ¿Qué relaciona ahí entre la
energía cinética y la energía potencial? Podríamos pensar que son que
como estoy a la mitad de camino es la mitad una y otra cuidado esto no es
así fijaos ¿qué vale la energía potencial? para perdona para medios de
hecho hay algunos ejercicios de esto en otros documentos que abriré
después un medio de K por A medios al cuadrado ¿sí? ¿esto qué será?
un octavo de K por A cuadrado esto sería la energía potencial y la
energía mecánica la energía mecánica puede ser es siempre un medio de K
por A cuadrado constante y hay que saber también que la energía mecánica
siempre es igual a la suma de cinética más potencial ah luego la energía
cinética yo la puedo calcular despejando mecánica menos potencial un
medio de K A cuadrado menos un medio de ay perdón no lo escribo bien un
medio de K A cuadrado menos un octavo de K A cuadrado un medio serían
cuatro octavos menos un octavo son tres octavos de K A cuadrado sería la
energía cinética entonces ¿qué relación tenemos aquí? energía
cinética y energía potencial ah pues en este punto que cumple que se
cumple bueno la energía cinética partido de la energía potencial ¿a
qué sería igual? pues tres octavos de K A cuadrado y aquí un octavo de K
A cuadrado ah esto es tres luego ¿qué quiere decir esto? que la energía
cinética es tres veces la energía potencial en este punto ¿habéis
visto? es decir creíamos que iba a ser la misma pues no la energía
cinética es tres veces la energía potencial ¿veis? bueno pues todo esto
nos lleva a que a veces nos pregunten oiga me dicen oiga dígame en qué
punto ¿no? pues la energía cinética es nueve veces la energía potencial
por ejemplo ah pues estará a uno a un noveno ¿no? de la amplitud por
ejemplo bueno no esto no va así ¿eh? es suma de cinética más potencial
¿si? la energía mecánica sería nueve veces la energía potencial más
la energía potencial diez veces la energía potencial ¿qué es la
energía mecánica? un medio de k por a cuadrado ¿qué es la energía
potencial? un medio de k x cuadrado puedo simplificar el un medio con el un
medio la k con la k y de manera que la x ¿a qué será igual? a más menos
a partido raíz de diez es decir cuando nos encontremos en esta posición
de la x más menos a partido raíz de diez es decir a la derecha a la
izquierda ¿no? ahí nos encontraremos en el punto donde la energía
cinética es nueve veces la energía potencial casualmente ¿vale? bueno
pues estos ejemplos os los quería comentar seguimos veamos aquí bueno
esto lo tenéis en los documentos ¿no? oscilaciones amortiguadas ¿qué es
una oscilación amortiguada? pues hay una fricción hay una fricción con
el aire el sistema se amortigua la amplitud no es constante la amplitud no
es constante se puede demostrar en fin en el libro no se pide que vosotros
lo sepáis ni mucho menos que la alongación en un movimiento amortiguado
viene dada por esta ecuación que os he puesto en el recuadro donde la
amplitud veis que la amplitud es una función temporal no es constante es
igual a una amplitud máxima por elevado a menos gamma medios de t ¿vale?
gamma medios t eso sería la amplitud ¿si? ¿vale? y es que es este gamma
gamma es b partido por m ¿no? y nos mide el amortiguamiento de hecho b es
un coeficiente de viscosidad ¿no? a mayor gamma mayor amortiguamiento
¿eh? ¿vale? la frecuencia de oscilación no será la frecuencia natural
será ligeramente inferior cuando tenemos un movimiento amortiguado ¿no?
la frecuencia de la oscilación ¿eh? disminuye ¿eh? debido a este
coeficiente de amortiguamiento gamma y cuanto más grande sea gamma mayor
será esa diferencia evidentemente pero creo que os deis una cuenta que os
deis cuenta ¿no? de que esta frecuencia y por lo tanto del periodo que el
periodo de oscilación no depende del tiempo en un movimiento amortiguado
omega la frecuencia angular el periodo o la frecuencia normal es el número
de vibraciones por segundo es independiente del tiempo es constante pero si
cambia la amplitud que es función del tiempo cuidado con estos detalles la
amplitud decrece con el tiempo y por lo tanto la energía depende con el
tiempo es que en un movimiento oscilatorio ¿no? la energía lo hemos visto
es proporcional al cuadrado de la amplitud acordaos de la energía del
oscilatorio un medio de k por a cuadrado ¿eh? a mayor amplitud mayor
energía pero ¿qué pasa? que si está amortiguado hay una pérdida de
energía y la pérdida de energía en cada periodo pues viene dado por esta
expresión que tenéis aquí que es un resultado interesante que para
amortiguamientos pequeños gamma mucho menor que la unidad se puede
transformar en la ecuación que tenéis aquí yo quiero deciros que es
importante que sepáis bueno esta es la definición del factor de calidad
que es la frecuencia natural partido del coeficiente de amortiguamiento
fijaos cuanto más pequeño sea el coeficiente de amortiguamiento mayor
será el factor de calidad factor de calidad a menor amortiguamiento mayor
factor de calidad y menor pérdida de energía por ciclo ¿qué nos
interesa a nosotros? ¿qué nos interesa a nosotros? que tengamos sistemas
amortiguados que pierdan poca energía por ciclo entonces que tengan factor
de calidad elevados que nos relacionan ¿no? el factor de calidad con la
frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento que es gamma b
partido por m b partido por m y la pérdida relativa de energía para
amortiguamientos pequeños se puede representar como 2pi partido por q
donde q es el factor de calidad vale q omega partido por gamma omega y
gamma que es b partido por m vale bueno de todas formas esto es para que
veamos un poco de que depende la pérdida relativa de energía ¿no? es
directamente proporcional a b también impresamente proporcional a la masa
vale y a la frecuencia natural ¿no? esto es la expresión que nosotros
debemos normalmente relacionar pero bueno os lo he desglosado para que
veáis como se podría dejar también en función de este b este
coeficiente de viscosidad de esa masa y de esa frecuencia natural omega sub
cero es lo que se llama la frecuencia natural de oscilación ¿no? es la
frecuencia natural ¿qué quiere decir? pues la frecuencia que tendría si
no hubiera amortiguamiento ¿vale? y qué relación hay entre la pérdida
relativa de la energía y la pérdida relativa de la amplitud pues como la
relación la energía con la amplitud es una relación al cuadrado ¿vale?
la pérdida de energía la pérdida de energía es el doble que la pérdida
de energía perdón que la pérdida relativa de la amplitud cuidado no es
la misma pero no es el cuadrado una del otro es el doble cuidado la
energía depende del cuadrado de amplitud de la onda la pérdida de
amplitud por ciclo es la mitad de la pérdida de energía por ciclo ¿eh?
la pérdida de amplitud la pérdida relativa ¿eh? porque esto es pérdida
relativa está dividido por E o por A ¿eh? la pérdida relativa de
energía es el doble que de la amplitud ¿eh? por una pérdida relativa de
amplitud dada se pierde el doble la pérdida de energía la pérdida
relativa de energía es el doble bueno oscilador forzado resonancia bueno
un un oscilador que además de tener fricción no de un coeficiente de
amortiguamiento se aplica una fuerza externa periódica una fuerza externa
F que es igual a F sub cero por coseno de omega t es decir es una fuerza
que tiene una pulsación omega una frecuencia omega y no nos engañemos
siempre que estemos sometiendo a un oscilador en régimen estacionario en
régimen estacionario la frecuencia de oscilación la frecuencia de
oscilación del oscilador forzado es la frecuencia de la fuerza externa
esta omega vale esta omega es la frecuencia de la fuerza externa en periodo
estacionario siempre nuestro sistema adquirirá la frecuencia angular de la
fuerza periódica externa aplicada de acuerdo entonces tenemos esta
resolución que se puede demostrar donde la amplitud fijaos la amplitud
como varía la amplitud de la oscilación lo veis este denominador claro
aquí se define una frecuencia w una frecuencia de resonancia que es la
frecuencia de resonancia pues cuando la frecuencia de oscilación omega
igual a omega sub cero decimos que el sistema está en resonancia es decir
la frecuencia de resonancia es aquella que hace que la frecuencia no aquí
de la fuerza periódica externa coincida con la frecuencia natural de
vibración como si no hubiera fricción no hubiera fuerza externa vale
entonces cuando esto ocurre la amplitud es máxima la amplitud es máxima
eso es importante la máxima amplitud eso tendrá sus aplicaciones después
también en corriente en los circuitos de corriente alterna por ejemplo
bueno pues la amplitud será máxima de hecho si no hubiera amortiguamiento
si gamma fuese cero si gamma fuese cero que valdría la amplitud es que
esta fórmula hay que sabérsela no si la si gamma fuese cero y
estuviésemos en resonancia sería algo partido por cero y algo partido por
cero sería infinito tendríamos una amplitud infinita eh si estuviésemos
en resonancia bueno y a tangente de delta pues nos indica el desfase para
siempre que tengamos que omega sub cero sea mayor que omega no tendremos un
desfase positivo y la partícula oscilará en el mismo sentido que la
fuerza exterior pero si la omega es mayor que la omega sub cero habrá un
desfase negativo irá en sentido contrario la el sistema oscilará en
sentido contrario a la fuerza externa bueno eh aquí lo tenéis no quedan
grandes amplitudes la solución estacionada lo hemos comentado y aquí os
hablaba de la anchura la anchura de la curva de resonancia no es
inversamente proporcional al factor de calidad qué quiere decir esto pues
a nosotros nos interesa una anchura estrecha cuanto más estrecha sea mejor
y cómo conseguiré una anchura estrecha no aguda no cuando tenga un factor
de calidad grande un factor de calidad grande es decir que pierde poca
energía por cada ciclo cuando pierdas muy poca energía por cada ciclo
tendré una curva grande no y por lo tanto la anchura la variación
relativa de la anchura será menor tendremos una anchura de la curva de
resonancia aguda todo lo contrario será amplia cuando tengamos un factor
de calidad pequeño eso querrá decir que se pierde más energía no por
ciclo no la pérdida de energía relativa por ciclos es grande bueno menos
a ver que habíamos escrito la anchura de la curva es impresionante por
mencionar el factor de calidad a mayor factor de calidad no menos
amortiguamiento el oscilador almacena más energía cada ciclo la curva de
resonancia sería más aguda más estrecha factor de calidad mayor y lo
viceversa vale bueno bien ahora permitidme que os abra tengo aquí por
ejemplo un archivo de cuestiones de movimiento armónico simple que han ido
saliendo en pex no aquí ya hemos hecho alguna cosa cosas relacionadas qué
fracción cuando no mira este hemos hecho cuando estaba en medio no esto lo
hemos hemos estado mirando un poquito qué fracción de energía tenemos
bueno tenéis una serie de ejercicios aquí bueno aquí también os quería
comentar algo de esta cuestión esta cuestión fijaos esto es una cuestión
lo digo porque la anterior hemos hecho algo ya parecido creo que si lo
leéis vosotros y lo estudiáis esta quizá sea un poco diferente vamos a
verlo aquí tenemos uy no sé qué está pasando a ver aquí tenemos una
partícula que está oscilando ¿no? vale y dice que el periodo es 8 el
ejemplo que os puse antes ¿no? y amplitud 12 y inicialmente se encuentra
la posición de equilibrio dice la distancia recorrida de 0 a 2 es mayor o
menor que la distancia recorrida de 1 a 3 segundos que es de 0 a 2 y aquí
es tiempo 0 eso es tiempo 2 segundos ¿qué distancia ha recorrido? pues la
amplitud eso es la amplitud de 0 a 2 ¿por qué? porque si es 8 todo el
periodo un cuarto porque esto es un cuarto eh es del centro a un extremo es
un cuarto de todo el recorrido son 2 segundos pero ¿y la distancia
recorrida de tiempo 1 a tiempo 3? eso ya no es tan sencillo alguien puede
decir pues lo mismo ¿no? pues no no es lo mismo porque ¿dónde nos
encontramos para tiempo 1? vamos a ver para tiempo 1 segundo mirad si
tenemos la fórmula de un movimiento armónico simple sería x igual a seno
de 2pi partido por el periodo y por t minúscula ¿vale? ¿dónde nos
encontramos para tiempo igual a un segundo? ¿no? a seno de 2pi partido por
8 sería pi cuartos ¿vale? ¿y qué es pi cuartos? que es 45 grados es
decir a raíz de 2 partido por 2 ¿vale? me encontraría ahí y para 3
segundos ¿qué pasaría para 3 segundos? para 3 segundos sería a seno de
2pi partido por 8 3 a seno de 3pi cuartos ¿vale? seno de 3pi cuartos es
135 sigue siendo positivo ¿eh? sería más a raíz de 2 partido por 2
volvería a estar en el mismo punto volvería a estar en el mismo punto es
decir iría de aquí y volvería a estar en el mismo punto ¿eh? para t de
t a 1 a t3 ¿eh? muy bien para el espacio que he recorrido es decir que
espacio recorro de 1 3 pues recorreré todo lo que es a menos a raíz de 2
partido por 2 esto es ir de aquí al extremo y después volver es decir
recorreré dos veces lo mismo ¿vale? recorreré dos veces lo mismo ¿vale?
y esta distancia ¿qué pasa? pues que esta distancia es menor que a es
menor que a de hecho vamos a ver si lo hacéis multiplicáis esto por 2 el
2 y el 2 después se me va del denominador me queda 2a menos a raíz de 2
raíz de 2 es 1,4 2a menos 1,4 es 0,6 ¿no? es menos que a ¿vale? y lo
hemos demostrado pero también lo podríamos ver directamente viendo que ya
nos encontramos en un punto esta raíz de 2 es es 1,4 partido por 2 0,7
¿no? 0,7a está más de la mitad si vuelves vas a recorrer menos ¿no? en
ir y volver que a es menos espacio bueno pues esto es lo que os quería
comentar bueno en un movimiento oscilatorio armónico la velocidad tiene el
mismo signo que la posición no la velocidad tiene siempre la aceleración
tiene siempre el mismo signo que la posición ninguna de las anteriores es
correcta bueno ninguna es correcta ¿no? aquí abajo lo tenéis ¿no?
demostrado ¿no? la velocidad no tiene por qué tener el mismo signo ¿no?
la x es positiva puede ir en sentido contrario la velocidad y la
aceleración tampoco es decir esto lo hemos visto en unos cuadros de antes
¿no? nosotros nos podemos mover fácilmente estamos aquí y aquí ¿no? yo
me dirijo hacia la derecha la x es positiva la velocidad es positiva y la
aceleración es negativa ¿y qué hago cuando me voy hacia la izquierda? me
voy hacia la izquierda ¿no? me muevo hacia la izquierda la aceleración es
negativa la x es negativa y la velocidad en este caso iría hacia la
izquierda negativa pero la x la posición de la x todavía es positiva la x
todavía es positiva ¿eh? ojo porque estoy en el lado derecho vale a ver
la aceleración bueno si yo tomo como sentido vamos a tomar un convenio de
signos yo me muevo hacia la derecha velocidad es positiva la posición es
positiva y la aceleración es negativa me muevo hacia la izquierda de
manera que tomaré positivo lo digo para tomar positivo fijaos me muevo
hacia la izquierda ¿qué pasa si me muevo hacia la izquierda y tomo
positivo hacia la izquierda tomo positivo hacia la izquierda ¿qué pasa?
la aceleración va hacia el centro ¿no? si tomo positivo sería positivo
la velocidad también positiva y la x bueno la x ¿no? tendría también
positivo en este caso ¿no? bueno de todas formas aquí tenéis la
demostración matemática también si nos pusiésemos al otro lado
veríamos signos cambiados pero la x y la v no tiene por qué tener el
mismo signo por ejemplo me voy aquí a la izquierda donde la x es negativa
y la v es positiva porque me voy hacia la derecha y la x me encuentro en el
lado negativo ¿veis como tiene signo cambiado también? bueno seguimos
bueno aquí dice aquí tenemos dos osciladores armónicos la frecuencia
natural del primero es omega sub cero y la del segundo dos omega sub cero
ambos tienen el mismo coeficiente de fricción y están sometidos a la
misma fuerza cuando cada uno de ellos oscila en resonancia con la fuerza
externa ¿qué pasa? ¿qué pasa cuando oscila en resonancia? cuando oscila
en resonancia ¿no? la amplitud ¿cuál es? pues f sub cero partido m omega
sub cero es omega esto es cero me quedará gamma por omega sub cero porque
tiene raíz cuadrada esto sería la amplitud ¿vale? cuando está en
resonancia ¿y qué pasa? pues esto sería para el primero y para el
segundo pues ¿qué tendríamos? m gamma dos veces omega sub cero esto
sería para el segundo ¿qué quiere decir esto? que la amplitud del
segundo sería la mitad que la del primero o la amplitud del primero sería
el doble o mayor ¿eh? entonces nos iríamos a este resultado la amplitud
del primero sería mayor m o la del segundo la mitad como queráis ¿vale?
bueno aquí tenéis otro ejercicio que también está hecho dice un objeto
de dos kilos unido a un muelle oscila con una amplitud de quince
centímetros su aceleración máxima es de cuatro ¿qué vale su energía?
bueno es que esto simplemente es aplicar jugar con las fórmulas que
tenemos ¿eh? ¿lo veis? me da la amplitud me da la aceleración máxima
¿qué es la aceleración máxima? a omega cuadrado ¿vale? si tengo la
amplitud y tengo la aceleración máxima puedo sacar la omega ¿no? y de
aquí podéis sacar la energía por ejemplo o calcular la K y después la
energía lo que queráis bueno como veis tenéis un conjunto de actividades
que creo que conviene que las veáis ¿no? este es de amortiguamiento y nos
pide calcular gamma es interesante ¿no? aquí oscilaciones después de
cinco oscilaciones aquí tenéis la amplitud original ¿no? que será igual
a una amplitud máxima por el elevado a menos gamma t partido por dos ¿no?
y la amplitud al cabo de cinco oscilaciones sería esta expresión ¿no? y
nos dice que la amplitud se ha reducido a diez grados de veinte a diez pues
bueno a partir de aquí ¿no? para tiempo cero ¿no? sería a sub cero
porque sería elevado a cero que es uno para un tiempo cinco t ¿no? sería
a sub cero por elevado a menos gamma sería diez ¿no? porque el periodo es
cinco el cinco pues sería gamma diez partido por dos de manera que si
dividimos miembro a miembro que es lo que hacemos aquí ¿no? dividimos
miembro a miembro ¿no? el cociente de los ángulos que es veinte partido
por diez lo puedo dejar en grados porque es un cociente sería elevado a
más gamma por cinco ¿no? porque pasaría arriba con exponente positivo
bueno y de aquí sacando neperianos podéis despejar gamma ¿vale? aquí
pues velocidad y aceleración máxima con que sepáis los valores de la
velocidad y aceleración máxima hacéis el problema seguro velocidad
máxima es a por omega ¿no? y la aceleración máxima a omega al cuadrado
¿eh? venga bien aquí dice ¿cuál es el desplazamiento de los extremos
para x igual a y para x igual a menos a ¿eh? los dos extremos ¿vale?
aquí tenemos amortiguamiento ¿no? la relación con el con la gamma pero
que esto ya estamos siendo reiterativos ¿no? y si os parece bueno aquí
hay unas preguntas también a ver qué nos dice aquí sabemos que el
rozamiento de la amplitud las oscilaciones de un péndulo disminuye con el
tiempo y la frecuencia lo hemos dicho antes que no influye ¿eh? no influye
el rozamiento no influye en la frecuencia ¿cómo cambia el periodo si
simplificamos la masa? nosotros sabemos que k es igual a m omega al
cuadrado que k es m 2pi partido por el periodo al cuadrado si nosotros
triplicamos la masa ¿qué va a pasar con el periodo? k es la misma es el
mismo muelle m1 m por 4pi cuadrado partido t1 cuadrado el otro sería 3m
4pi cuadrado partido t2 cuadrado y aquí despejaríamos t2 t1 a ver t2
hemos triplicado la masa ¿eh? raíz de 3 es 1,7 por 5 8,7 ¿no? más o
menos 8,7 bueno aquí tenéis este está corregido sabemos que la amplitud
de las soluciones aquí otra vez lo del periodo esto también permitidme
que abra ahora otro archivo interesante creo para vosotros bueno está el
ejemplo de oscilaciones que sí que os recomiendo que lo trabajéis este
archivo que lo trabajemos ¿eh? está muy interesante porque te ayuda a
determinar las condiciones iniciales ¿eh? y siempre una recomendación que
lo trabajéis por favor no lo olvidéis hemos visto este de cuestiones
¿sí? ahora me gustaría ver si hay algún otro archivo donde hay estos
son preguntas ¿eh? preguntas que salieron el año pasado ¿no? de ondas y
más ¿eh? tipo 3 el programa era por este sistema ¿no? y bueno pues si
acaso esto el próximo día os lo pongo aquí y os lo explico el próximo
día ¿no? determinar la frecuencia porque está mezclado de ondas y
movimiento oscilatorio ¿eh? pero si queréis yo creo que es interesante
¿eh? os he recopilado esto y ahora permitidme que os habla también este
archivo y vamos a hacer algún problema aquí hay problemas mezclados de
ondas y oscilaciones vamos a mirar los de oscilaciones ¿eh? este es un
problema bueno este es de este es de ondas que lo veremos el próximo día
pero aquí hay alguno de oscilaciones un momentito por favor aquí por
ejemplo dice una aguja de una máquina de bordar realiza un recorrido de
extremo superior al inferior de 3 cm realiza 8 vibraciones completas en 12
segundos si en el instante inicial la aguja se encuentra en el extremo
superior determinar la ecuación del movimiento ¿no? velocidad máxima
aceleración máxima aceleración y velocidad en la posición de equilibrio
bueno analicemos esto me dice que la aguja de bordar va del extremo
superior al extremo inferior 3 cm ¿cuál es la amplitud del movimiento? la
amplitud del movimiento es la distancia del extremo superior a la posición
de equilibrio no al extremo inferior porque la aguja va de extremo superior
a extremo inferior ¿la amplitud qué será? 1,5 cm ojo con ese detalle 1,5
cm realiza 8 vibraciones en 12 segundos ¿cuál será el periodo? el tiempo
de realizar una vibración ¿cuál será el periodo? pues lo tanto 12 entre
8 eso será el periodo 12 entre 8 será el periodo y la amplitud 1,5 cm y
dice que en el instante inicial se encuentra en el extremo superior ¿qué
es la amplitud del movimiento? la amplitud es igual a 0 la amplitud es
igual a a esto me sirve para calcular que la delta la fase inicial aquí lo
tenéis resuelto está hecho con un coseno ¿vale? con un coseno y claro
entonces en este caso si está hecho con un coseno pues delta sale 0 si lo
hubiéramos hecho con un seno delta sería pi medios ¿no? ya tenéis la
frecuencia o el periodo como queráis ¿no? y a partir de aquí sacamos la
velocidad y la aceleración ¿cómo calculamos la velocidad y la
aceleración derivando? ¿cómo sabemos los valores máximos? a por omega a
omega cuadrado o bien cuando el seno vale 1 o cuando el coseno vale 1 más
menos 1 ¿no? tendré el valor máximo siempre en valor absoluto positivo
¿y la posición de equilibrio? pues aquí lo tenéis explicado la
posición de equilibrio la velocidad es máxima a omega y la aceleración
es nula y en los extremos la aceleración es máxima ¿eh? y la velocidad
nula acordaos estas fórmulas nos relacionan velocidades y aceleraciones en
función de la alongación bien quería también poneros a ver aquí tenía
otro de movimiento armónico simple perdonad a ver un momento eh aquí este
no es ajá bueno aquí tenéis unas cosas de ondas ah es el siguiente vale
bueno aquí hay algunas preguntas de armónico simple por ejemplo una
partícula distribuye un mar de 8 centímetros ¿no? de amplitud y cada 10
determina el punto donde la energía cinética es el doble de la energía
potencial bueno esto ya lo hemos hecho antes ¿no? eh la energía cinética
es el doble de la energía potencial ¿vale? bueno pues esto es aplicar lo
que hemos hecho antes hemos hecho ya un ejemplo os lo dejo lo tenéis aquí
en el descuento un momentito que quería dejaros ¿no? que quería dejaros
este otro archivo también este otro archivo donde tenéis también un
problema de armónico simple ¿no? donde tenéis este ejercicio que
también os aconsejo que lo hagáis ¿no? está aquí resuelto os va a
ayudar también eh vale eh hay también problemas de ondas eso lo veremos
la semana que viene y después también esto ya se nos acaba todo aquí hay
una prueba de evaluación del año pasado que me gustaría explicaroslo
pero os lo explicaré a ver si se ha podido subir esto será veinte a ver
bueno aquí hay estas cuestiones ¿no? que os daré la solución en el
próximo día estas cuestiones ¿vale? lo dejo aquí abierto y os daré la
solución de todas formas alguna de ellas muy fácilmente dice sean dos a
ver por ejemplo y si alguien quiere tenerlas antes me envía un correo y se
las envío dice sean dos sistemas ¿no? eh independientes un péndulo y un
resorte es posible que la frecuencia de resonancia será la omega sí y
¿cuál va a ser? sería la misma ¿no? ¿cuándo va a pasar? bueno es que
esto va a pasar cuando se cumple que tengan el mismo periodo el periodo es
dos pi l partido por g y el periodo es dos pi raíz cuadrada de m partido
por k de un resorte y de un muelle si igualamos ambas expresiones l partido
por g es m partido por k y efectivamente se cumple que el peso ha de ser
igual a l por k eh a l por k ¿vale? otro de movimiento armónico simple
bueno hay cosas parecidas el cuatro y el cinco lo son eh si lo queréis
trabajar m el cuatro pues ya sabéis ya lo hemos comentado antes también
eh ¿de acuerdo? bien os dejo esto y el próximo día pues por ejemplo el
diez es la pérdida relativa de energía eh incremento de partido por e
¿no? vimos hace un momento que esto es pi partido por q por tanto esto
sale cero coma cero uno pi en tanto por ciento sería tres coma catorce
¿no? esto es la pérdida relativa ¿no? que se pierde en un periodo
¿vale? bueno ah seguiremos el próximo día si os parece eh muchas gracias
y hasta la próxima