Vamos a ver aplicaciones entre conjuntos la segunda parte del tema 3 Una
aplicación evidentemente es un subconjunto de producto cartesiano que
reúne unas características A es el conjunto inicial conjunto original o
dominio de definición se presenta por I, F o con F que es el conjunto
final F de A es el conjunto de todas las imágenes de los momentos de la se
llama conjunto I más imagen recorrido o R se denota por I, D El elemento F
de X es la imagen del momento X simplemente imagen de X el conjunto
original de y ¿vale? se representa por f a la menos uno de y ¿vale? es un
conjunto de los elementos x que pertenecen al primer conjunto tales que su
imagen es ¿vale? se denomina imagen inversa de y por f el conjunto de
todas las aplicaciones de a sobre b se pone de esta forma este símbolo,
esta especie de f o b a ¿vale? básicamente simbología si, esto de aquí
el conjunto de todas las aplicaciones se pone con este símbolo, f a b
¿vale? o b a el conjunto de todas las aplicaciones si a es igual a b
¿vale? se pone f de a ¿vale? como este símbolo ¿vale? Bueno,
aplicaciones características. La aplicación identidad, ¿vale? Y de A
sobre A a cada elemento X le hace corresponder lo mismo. La inversa de una
aplicación, ¿vale? Es, o sea, tabla una aplicación F y A sobre B, es una
relación, ¿vale? Que existe entonces si, o sea, tenemos una aplicación
que es una relación, ¿vale? Que es un subconjunto de producto cartesiano
A por B. Entonces existe la relación inversa F a la menos uno que
pertenece al producto cartesiano PA, ¿vale? O sea, F a la menos uno. F a
la menos uno, todos los pares YX que pertenecen a PA tales que F de X es
igual a Y. O a veces también se representan F de X como AX tal que X
pertenece a A. O sea, generalmente puede existir una aplicación que en
cambio la inversa no sea una aplicación, ¿vale? Y abriremos después las
características. Igualdad de aplicaciones. Para que dos aplicaciones sean
iguales, ¿vale? F de A sobre B y G de A' sobre D'. Serán iguales si y
sólo si a es igual a la prima y b es igual a la prima. Y f de x es igual a
f de x para todo x que por fin. Estos son conceptos que están en el libro.
¿Vale? Un poco de resumen. ¿Hay alguna pregunta? Sí. Para encontrar el
principio resuelto, es que en el libro no está resuelto. Bueno, me parece
que está en el suplemento. Está al final del libro. Al final está
resuelto. La mayoría están resueltos, por lo menos. ¿Están a partir de
la página? No sé qué versión. La primera versión me parece que no,
pero la versión última sí. 165. Sí, me parece que están resueltos.
Están casi todos resueltos. Al final de cada tema, los requisitos después
de la página actual. Sí, sí, sí. Están resueltos. Vale. Composición
de aplicaciones. ¿Vale? Si tenemos una aplicación F de A sobre B y G de B
sobre C, la composición... es a g f de x igual a g f de y. O sea, como la
composición de funciones que habíamos visto probablemente. Pero la
composición tiene la propiedad asociativa, pero no tiene la comutativa,
finalmente. Solo cuando hay elemento neutro, f compuesta con la identidad
de a es igual a f y idb compuesta con f es igual a f. Una aplicación es
sobreyectiva, si cada elemento... A ver, si acaso paso... Después ya
volvemos aquí. por ejemplo una correspondencia o sea aquí está para ver
las diferencias a veces con las definiciones yo por ejemplo aquí tengo una
correspondencia o relación tengo el conjunto A y el conjunto B por ejemplo
al 1 le corresponde el B la imagen del 1 es el B la imagen del 2 es el A la
imagen del 2 es el B entonces aquí esto sería una correspondencia por
ejemplo hay elementos del conjunto A que no tienen imagen pero en una
correspondencia se presenta que hay elementos que a lo mejor no tienen
imagen en cambio aplicación todos tienen que tener imagen por ejemplo
aquí el 1 le corresponde al B el 2 le corresponde al B y el 3 le
corresponde al B todos los elementos del conjunto en aplicación, todos los
elementos del conjunto inicial tienen alguna imagen en el conjunto final
esto sería una aplicación en general esto de aquí es una correspondencia
que sería un subconjunto o una relación un producto de un subconjunto de
un producto de cartesía esto por ejemplo, esto no es aplicación porque el
3 no tiene ninguna imagen ¿vale? después una aplicación es sobreyectiva
¿vale? cuando esa aplicación o sea, todo elemento tiene una imagen y todo
el conjunto B es imagen de algún elemento por ejemplo aquí el 1 le
corresponde al B el 2 le corresponde a A y el 3 le corresponde al B, o sea,
este el 1 y el 3 tienen la misma imagen, ¿vale? el 2 no ¿vale? por lo
tanto esto sería aplicación por un lado es aplicación porque cada
elemento tiene una imagen ¿vale? la aplicación es inyectiva cuando todos
los elementos tienen imágenes distintas, ¿vale? el 1 aquí, por ejemplo,
es aplicación ¿vale? o sea, primero es aplicación y además al 1 le
corresponde al B, al 2 le corresponde al A, al 3 le corresponde al B, aquí
hay un elemento del conjunto B que no es imagen de ningún, ¿vale? en
cambio a la sobreyectiva la diferencia es que esa aplicación puede tener
imágenes repetidas y todos los elementos del conjunto B son imagen de
algún elemento de A, ¿vale? o sea, es aplicación todos los elementos
tienen que tener imagen y aquí todo el conjunto ¿vale? es a imagen de
algún de algún elemento de agua con aplicaciones vía activa cuando es a
la vez inyectiva y sobreactiva por tanto por ser inyectiva tiene imágenes
diferentes y sólo una vale el 1 tiene porque por el 2 tiene la y es
sobreactiva porque todos los elementos del conjunto de son imagen de algún
elemento no quedan sueltas esto es importante tenerlo claro por el puesto
he hecho esto valencia sobre activa para hacer aplicación va a ser
aplicación todo elemento tiene que ser algo de imagen emplea está aquí
esa aplicación en general no es ningún tipo no es ni inyectiva ni sobre
activa esta es aplicación y es sobre activa porque todos los elementos del
conjunto de son imagen de algún elemento de cojuntura vale y la otra es
inyectiva porque esa aplicación y todas las imágenes son distintas aunque
hay algún elemento del conjunto de que no sea imagen por tanto aquí efe
de a no sería todo ver en cambio aquí efe de a sería todo Cuando no es
aplicación, ¿cómo se dice? Correspondencia o relación. En el libro
habla de relación, pero también en algún sitio habla de correspondencia.
Porque esta no es aplicación porque el 3 no tiene ninguna imagen.
Después, en una aplicación inversa puede pasar, por ejemplo, que sea
aplicación, pero si busco la inversa no es aplicación, puede ser una
relación. Para que asegurar que es una aplicación la inversa, también
como la aplicación, tiene que ser biactiva. Entonces sí, si es biactiva,
pues la inversa también es aplicación. Y así es, aplicación biactiva.
Aquí hay la composición de aplicaciones. Aquello que decíamos. ¿Es
sobreactiva o habría para que la inversa fuera aplicación? Sobreactiva.
Sí. Claro, sí. Si es sobreactiva, sí. Pero si es aplicación solo no.
Bueno, aquí tenéis la composición, tal como funciona. Por ejemplo, al 1
le corresponde al B y al B, o sea, tengo ABC, ¿vale? Al 1 le corresponde
el B. Y al B le corresponde al C. Por tanto, si hacemos aquí una
aplicación A sobre B, G, ¿vale? Por tanto, se pone de esta forma, ¿vale?
La compuesta es GF, ¿vale? Entonces, GF de 1, ¿vale? Se iguala a C. GF de
2 se iguala a D, ¿vale? Bueno, después esto también ya lo voy a mandar,
si acaso, ¿eh? A ver si me puedo escuchar. Entonces, ahora voy a pasar
otra vez al texto. Esto ya sé que es muy básico, pero para tener los
conceptos claros es mejor dibujarlo, porque a veces con los conceptos,
cuando se lee desde el libro, ¿vale? Quedan un poco abstractos. Bueno,
aquí es lo que estábamos diciendo, ¿vale? Una aplicación sobreyectiva,
o sea, todo elemento tiene una imagen, ¿vale? O sea, el conjunto imagen de
las imágenes sería todo el grupo. Inyectiva, todos los elementos tienen
distinta imagen, ¿vale? Por tanto, para yo aportar que una aplicación es
inyectiva, para todo x, x' que pertenece a A, si yo igualo f de x a f de
x', entonces tengo que deducir que x es igual a x'. O lo que es lo mismo,
para todo elemento distinto, las imágenes también son distintas. ¿Puedes
ver la aplicación sobreyectiva? Sí, es una aplicación tal que cualquier
elemento del conjunto original, es decir, el conjunto A, está relacionado
con un elemento del conjunto final, ¿vale? O sea, para todo e y que
pertenece a B, ¿vale? Existe un x que pertenece a A, tal que f de x es la
imagen por imagen. ¿Sí? ¿Vale? Aplicación inyectiva, una aplicación
tal que no hay dos elementos del conjunto que tengan la misma imagen,
¿vale? Es decir, o sea, si f pertenece al conjunto de aplicaciones... Para
todo x, x' elementos de A, si f de x es igual a f de x', entonces x de x es
igual a x'. O lo que es lo mismo, a veces esta es la que se utiliza más
para probar en ejercicios. También, para todo x, si la implicación es al
revés, si f de x es distinto de f de x', entonces yo tengo que probar,
deduzco que f de x es distinto de f de x'. Aquí hay preposición, teoremas
y todo, que están en el libro, supongo las demostraciones. Si f y g son
sobreyectivas, la composición también lo es. Si f y g son inyectivas,
entonces la composición también lo es. Aplicación biectiva, hemos dicho
que es la que es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Entonces, aquí... Una
aplicación es sobreyectiva e inyectiva al mismo tiempo, por tanto, para
todo elemento del conjunto final está relacionado con único elemento del
conjunto inicial. O sea, por un lado... Tiene que ser, todo el B tiene que
ser imagen de algún elemento de A. Y por otro lado, A tiene que tener las
imágenes distintas en B. Aquí, por ejemplo, hay el teorema este de la...
Si tenemos aplicaciones biactivas y solo si existe otra aplicación, al
revés de una D es de A sobre B y la otra es de B sobre A, tal que la
composición F, F, aquí sería F con G es igual a ID, y G con F es la
identidad de A. Entonces aquí, dadas las aplicaciones biactivas, entonces
la aplicación GF también es biactiva y su inversa también es. La inversa
de GF es la composición de la inversa al revés, la inversa de F con la
inversa de B. Bueno, aquí hay... No sé, esto es un poco mirado, esto
está en el libro, pero esto para hacer problemas no es muy importante. Lo
más importante es tener claro el concepto de aplicación. ¿Vale? Después
esto si lo queréis mirar, para pasar a hacer ejercicios, ¿vale? Un poco,
¿vale? Es un poco más complicado. ¿Qué dice la factorización canónica
de una aplicación? Bueno, esto es saberlo, ¿vale? Está en el libro,
también está hecho aquí, los conceptos. Pero esto, más que nada, bueno,
claro, en teoría te lo podrían preguntar, ¿eh? Bueno, aquí,
equipotencia de conjuntos. Dos conjuntos se dicen equipotentes si tienen,
si existe una biacción, o sea, una aplicación inyectiva entre ellos,
¿vale? Se denota de esta forma, ¿vale? AB, ¿vale? Entonces, aquí
tenemos distintas... De cardenal cero, o sea, todos los conjuntos que son
equipotentes con el conjunto vacío, ¿vale? Se representa por el cero,
¿vale? Todos los conjuntos que no tienen elementos, ¿vale? Cardenal n, o
sea, una colección de, o sea, conjuntos que puede poner en correspondencia
con un subconjunto de números naturales, ¿vale? Por ejemplo, un conjunto
de diez elementos lo puede poner en correspondencia con números del uno al
diez, ¿vale? Aquí n asterisco representa el conjunto de todos los
números naturales menos el cero. Cardinal n, cuando o n este símbolo
cero, una colección, esto lo voy a mandar, como si se vaya tomando nota,
pero en principio se lo voy a mandar. Colección de todos los conjuntos
equipotentes con n se representa por este símbolo. Es decir, que yo puedo
poner en correspondencia bioníbica o biactiva con el conjunto de los
números naturales. Cardinal dr o c es la colección de todos los conjuntos
equipotentes con r. Conjuntos que no los puedo poner en correspondencia con
algunos números naturales. Hay un cachaco junto a los números naturales.
Por ejemplo, cualquier intervalo de números reales es equipotente con r.
Porque tiene infinitos elementos que no puede poner en correspondencia.
Sí, son infinitos. Son infinitos, pero los puedes poner en correspondencia
bioníblica con... ¿Y un intervalo de r? No, un intervalo, por ejemplo, de
números reales, de 1 a 2, no hay infinitos. No lo puedes poner en
correspondencia con los números naturales. ¿Cómo lo dirás? no, porque
es imposible hubiese de encontrar una cosa que hubiese de ello, pero no lo
puedes numerar es lo que dicen, no numerable no es numerable no numerable
quiere decir que tú no puedes poner en correspondencia con el conjunto de
los nombres naturales pero aquí esto, vale, si tenemos el conjunto A y el
conjunto B 100 es menor que M, o sea, si el número de elementos del
conjunto A es menor que el número de elementos del conjunto A, entonces no
existen aplicaciones sobreyectivas porque quedarían siempre, existirá un
elemento de B que no estará relacionado con ningún elemento de A si N es
menor o igual que M, entonces se pueden definir tantas aplicaciones
inyectivas como variaciones sin repetición de M elementos tomados de NM
para el primer elemento tendría M posibilidades, para el segundo M-1, para
el tercero M-2 y así, vale, hasta el último que tendría M-N-1 vale, por
tanto sería M menos N menos 1 es M menos N más 1. Si N es mayor que M, no
existen aplicaciones inyectivas, ya que habría que definir imágenes
repetidas en algún elemento. Si N es igual que M, se pueden decir tantas
aplicaciones inyectivas como permutaciones. Entonces, si N es igual que M,
yo puedo definir aplicaciones inyectivas tantas como elementos. Sería N
factorial. Si N es distinto de M, no existen aplicaciones inyectivas entre
A y B, puesto que si N es distinto de M, N será menor que M o N será
mayor que M. Y esto impide ser subinyectiva o ser inyectiva. Entonces, cada
aplicación... Es una variación con repetición de M elementos tomados de
N en N. Esto es un poco de teoría. Bueno, definiciones, ¿vale? El
conjunto A es finito, existe un número natural en el cardinal de A, es el
número de elementos del conjunto A. O sea, simplemente se ve puesto así,
parece que es... parece una cosa muy difícil pero el conjunto cardinal es
el número de metros que tiene el conjunto si es finito, pues será finito
y si es infinito, pues depende si es numerable o no es numerable si lo
puedo poner en correspondencia con los números naturales, será numerable
y si no, pues sería esto la potencia del conjunto el conjunto A es
infinito si no es un conjunto finito el conjunto A es numerable si existe
una biyección de los números naturales al conjunto y se pone cardinal de
A igual a N, a este símbolo ¿vale? pasamos si acaso aquí, ¿vale? o sea
tenemos, ¿vale? tenemos dos aplicaciones que ya son ejercicios ¿vale?
sean F de A y G de B sobre C este año, bueno ya parece que lo comenté y
en la guía está, ¿vale? va a ser tipo test, por tanto yo no creo que
cosas teóricas os pongan, ¿vale? al saber la teoría sí, porque a veces
te pueden hacer una pregunta que esté relacionada a esto, ¿sí? pero
claro, demostraciones pues en principio no, ¿vale? bueno, tenemos dos
aplicaciones ¿vale? la F de A sobre B y G de B sobre C que tienen inversas
¿vale? F a la menos uno de B sobre A y G a la menos uno de C sobre B.
Entonces la función inversa sería esta F a la menos uno G a la menos uno
de C sobre A ¿vale? Entonces para probar que es esto realmente que esto
que la aplicación inversa la aplicación inversa que F es esta, es igual a
F a la menos uno G a la menos uno por tanto aquí por un lado pues
aplicamos aquello de composición por un lado ¿vale? Composición F a la
menos uno G a la menos uno compuesto con F que y después comprobaremos al
revés ¿vale? O sea, GF compuesto con F a la menos uno G a la menos uno
¿vale? Por tanto aquí tenemos de entrada esto y aquí aplicamos la
propiedad asociativa. F a la menos uno compuesto con G a la menos uno G
paréntesis G ¿vale? Entonces aquí aplicamos a este de aquí ¿vale?
Aplicamos la propiedad asociativa ¿vale? Por tanto me quedaría F a la
menos uno compuesto con paréntesis G a la menos uno G ¿vale? Compuesto
con F G a la menos 1 compuesto con G es la identidad de B, ¿vale?
Entonces, la identidad de B por F compuesto con F es F, ¿vale? Por tanto,
entonces, F a la menos 1 compuesto con F es la identidad de A, ¿vale? Por
el otro lado, ¿vale? Hacemos GF compuesto con F a la menos 1 que a la
menos 1, ¿vale? Pues también lo ponemos en este orden, ¿vale? ¿Vale?
Paréntesis, ¿vale? Después aquí, o sea, ponemos este, después este,
¿vale? Y ahora aplicamos aquí la propiedad asociativa, este de aquí,
¿vale? Entonces, esto es G compuesto con F, F a la menos 1, ¿vale? F
compuesto con F a la menos 1 es la identidad de A, ¿vale? Entonces, la
identidad de A compuesta con G a la menos 1 es G a la menos 1. G
compuesto... O sea, con G a la menos 1 es la identidad de A, ¿vale?
Esto... Este tipo de ejercicio, cuando había examen, podía ser posible,
¿vale? Que lo pusieran ahora... Ahora... Es más difícil, ¿vale? Más
que nada te pueden poner, no sé, por ejemplo, una pregunta de esta escala.
La inversa pues será, ¿cómo? Pueden poner igual a f la menos uno que la
menos uno, ¿vale? Una respuesta a la correcta, otra que la menos uno
compuesto con f la menos uno y ninguna de las anteriores. Parece que sean
de este tipo, dos preguntas, dos que tendrán respuesta y una que será
ninguna de las anteriores o ninguna es correcta, ¿vale? Bueno, aquí vemos
otro ejercicio. Dice, sea f de r sobre r definida por f de x igual a x
cuadrado menos 3x más 2. Allá, f de x cuadrado, f de y menos z, f de x
más h menos f de x partido por h y f de x cuadrado menos 3x más 2.
¿Vale? Bueno, entonces aquí, pues bueno, es aplicar. Yo sustituyo, en f
de x sustituyo x por x cuadrado, ¿vale? Por tanto, fijaros que era x
cuadrado menos 3x más 2. Por tanto, ahora f de x cuadrado sea x cuadrado
elevado al cuadrado menos 3x cuadrado más 2. Esto sería, entonces, bueno,
desarrollo esto y ya está. F de y menos z pues será igual pero sustituyo
la x por y menos z, sería x cuadrado por tanto y menos z al cuadrado menos
3x será 3 por y menos z más 2, opero esto y me queda esto. Aquí f de x
más h menos f de x, pues sustituyo x por x más h, por tanto irá x
cuadrado menos 3x, por tanto será x más h al cuadrado menos 3x más h
más 2 menos f de x que es x cuadrado menos 3x más h. Haciendo
operaciones, reduciendo términos pues me queda esto. Y f de 3x cuadrado,
hay de x cuadrado menos 3x más 2, pues pongo. Sustituyo la x por todo
esto, sustituyo la x por todo esto, entonces sería x cuadrado menos 3x
más 2 al cuadrado menos 3 por x cuadrado menos 3x más 2, más 2. Cuando
he sido operaciones y reduciendo términos pues me queda esto. Y después,
bueno si la e, que no estaba en la otra página, f de f de x, por tanto f
compuesto con f de x, por tanto sería f, f de x es. x cuadrado menos 3x
más 2, por tanto ya sustituyo otra vez, ¿vale? Y ya lo he hallado aquí,
¿vale? Ahora calcularía f de x cuadrado menos 3x más 2, que ya lo he
hecho aquí, ¿vale? Bueno, otro ejercicio, dice, ¿allá el intervalo más
amplio de en qué la aplicación f de x igual a x cuadrado sea inyectiva?
Por tanto, el intervalo más amplio tiene que haber dos, ¿vale? No puede
estar definida en todo R porque entonces no sería aplicación, ¿vale? O
sea, por ejemplo, si estuviera definida en todo R, pues el menos 2, por
ejemplo, sería igual a 4 y el 2 también 4, ¿vale? Por tanto, habría dos
elementos que tendrían la misma imagen, por lo tanto uno sería una
aplicación inyectiva. Por tanto, el intervalo más amplio pues será de 0
a infinito o de menos infinito a 0. Otro ejercicio que dice, dice, ¿puede
ser inyectiva la función constante? Bueno, si el dominio consta de un solo
punto, será la función constante sea inyectiva, si no, no, ¿vale? Ya
muchas imágenes repetidas. Bueno, entonces aquí dice, demostrar que si
f... de A sobre B es inyectiva y G de B sobre C es inyectiva, entonces la
función compuesta que F también es inyectiva. ¿Qué es lo que habíamos
visto? O sea, la composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Lo
que aquí ahora pide demostrar. Por tanto, aplicamos aquello. Por ejemplo,
tomamos un elemento A, ¿vale? Que F de A igual a B, ¿vale? Igualamos las
imágenes, ¿vale? Y entonces deducíamos que el elemento tenía que ser el
mismo, ¿vale? Por tanto, aquí aplicamos la composición, ¿vale? La
composición sería G paréntesis F de A aquí sería G paréntesis F de B
por ser G inyectiva, ¿vale? Será F de A igual a F de B. Y por ser F
inyectiva, deducimos que es igual a B. Bueno, aquí hay otro dice, sea A el
conjunto de todos los números reales menos un medio. Y B, el conjunto de
todos los números reales bueno, real es menos menos un medio y B, el
conjunto de los números reales menos un medio F de A sobre B definida por
F de X igual a X menos 3 partido por 2X más 1 entonces ya dice que
entonces F en este caso es inyectiva y sobreactiva dice A de F a la menos 1
cuando es inyectiva y sobreactiva la inversa también lo es por tanto,
aquí tenemos que hallar la inversa de esta función, esto a veces se hace
en cálculo también simplemente pues ponemos Y igual a X menos 3 partido
por 2X más 1 despejamos la Y y llegamos a que tenemos que despejar la X y
tenemos que la X es igual a menos Y menos 3 partido por 2Y menos 1 entonces
cambiamos la Y Y por X por tanto, sería igual a X más 3 partido por 1
menos 2X por tanto, este a la menos 1 sería 3 más X partido por 1 menos 2
bueno, aquí estos ya son un poco más complicados Dice, sean, no sé,
deben ser de exámenes, de años anteriores. Dice, sean X e Y dos conjuntos
no vacíos y F de X sobre Y una aplicación. O sea, aquí en principio es
aplicación, no dice que sea inyectiva, ni subyectiva, ni inyectiva. Sean
los conjuntos A y A', subconjuntos de YB, un subconjunto de Y. ¿Vale?
Entonces, demuestre que F de A intersección con F a la menos uno de B es
igual a F de A intersección B. ¿Vale? Está por una parte. Después la
otra dice, determine razonadamente si se cumplen las inclusiones. F de A
diferencia simétrica con A' está incluido en F de A diferencia simétrica
con F de A'. Y F de A diferencia simétrica con A' está incluido en F de
A. Y F de A diferencia simétrica con A' está incluido en F de A
diferencia simétrica con A'. ¿Vale? Dice, veamos que F intersección de F
a la menos uno de B es igual a F de A intersección B. ¿Vale? La primera
parte. Bueno, si y pertenece a este conjunto, ¿vale?, a f de a
intersección f a la menos uno de b, ¿vale?, entonces existe un x,
¿vale?, tal que x pertenece a a intersección f a la menos uno de b,
¿vale? Por tanto, si y pertenece a la imagen, es una imagen de un elemento
de este conjunto, por tanto existe un x, ¿vale?, que pertenece a
intersección f a la menos uno de b, tal que y es igual a f de x, ¿vale?
Entonces, si esto es verdad, por la intersección, ¿vale?, este x
pertenece a y x pertenece a f a la menos uno de b, siendo igual a f de x.
Por tanto, existe un x. Tal que x pertenece a e y, ¿vale?, si x pertenece
a f a la menos uno de b, la y es igual a f de x y pertenece a b, ¿vale?
Por tanto, aquí, si x pertenece a, ¿vale?, y igual a f de x pertenece a f
de b, por tanto... f de x también pertenece a f de a, ¿vale? Y f de x
pertenece a b, ¿vale? Por tanto, tendremos que i pertenece a f de a
intersección b. Bueno, aquí dice la inclusión esta, la diferencia
simétrica es igual a menos b unido con b menos a. Esto es a, esto es b,
esto es a menos b, y esto sería b menos a. Tanto hay diferencias
simétricas como no. Lo único para que cambie un poco la situación. Esto
me parece que menos es tan único, ¿eh? Bueno, esto así no, pero bueno.
En algún ejercicio debe salir, porque esto lo preguntan en el examen, por
tanto, en algún ejercicio debe salir. Bueno, aquí la inclusión no
siempre es verdadera, como por el siguiente contraejemplo. Ponemos x igual
a y igual a r y f de r sobre r. La aplicación f de x igual a x cuadrado.
Tomamos a igual a 1, al conjunto formado por un elemento, por el 1. Y a' el
conjunto formado por el elemento menos 1. En este caso, si calculo f de a,
como f de a es x cuadrado, f de 1 es igual a x cuadrado, será 1 al
cuadrado, que es 1. Y f de menos 1 será también, o sea, f de a' sea igual
a 1. Por tanto, la diferencia f de a, aquí lo pongo, f de a, diferencia
simétrica con f de a' es f de a menos f' de a, unido con f de a' menos f
de a. Por tanto, aquí, en este caso, Sería f de A menos f de A', ¿vale?
En este caso sería, y f de A' menos f de A sería el conjunto partido,
¿vale? Mientras que A, diferencia simétrica con A', es A menos A', unido
con A' menos A, ¿vale? Entonces, al 1 si le quito el menos 1 me queda el
1, y al menos 1 si le quito el 1 me queda el 1. Por tanto, la diferencia
simétrica, esta es menos 1, 1, ¿vale? Por tanto, tendríamos que f de A,
diferencia simétrica con A' es igual a 1. Y por otro lado tendría que
vemos que es el conjunto partido. Por tanto, la inclusión esta no es
verdadera. En cambio, la otra, al revés sí, ¿eh? La inclusión esta,
esta no, ¿vale? En cambio, esta sí, f de A, diferencia simétrica con f
de A', está incluido en f de A, diferencia simétrica con A', ¿vale? O
sea, si I. I. Si pertenece a f de A diferencia simétrica con f de A' y
pertenece a f de A menos f de A' y o y pertenece, cuando la unión es
equivalente a la conjunción o, o y pertenece a f de A' menos f de A.
¿Vale? Si pertenece a f de A menos f de A' ¿Vale? Existe un x tal que y
es igual a f de x que no pertenece a A'. ¿Vale? Si pertenece, por ejemplo,
existirá algún elemento que pertenecerá a f de A pero no a A'. ¿Vale?
Por tanto, el y este será igual a f de x no pertenece a f de A'. ¿Vale?
Por tanto, existe un x que pertenece a... y x no pertenece a' tal que y es
igual a f de x. Por tanto, hay x que pertenece en A en la diferencia y x no
pertenece en A'. ¿Vale? Por tanto, existe un x que pertenece a menos A',
que esto está incluido en A. A menos A' está incluido en A. ¿Vale? tal
que y es igual a f de x y por tanto, y pertenece a f de a diferencia
simétrica con f de a' ¿vale? Analogamente, ¿vale? Si y pertenece a f de
a' menos f de a se obtiene que y pertenece a f de a diferencia simétrica
con a' ¿vale? Este es un poco más difícil de ejercicio, pero si lo
miráis con detalle me parece que es igual y explicado rápido es un poco
más difícil, pero te lo voy a mandar y me parece que es lindo presente lo
que es, ¿eh? Dice, ¿cuántas aplicaciones sobreyectivas existen del
conjunto a' 1, 2 hasta n más 1 al conjunto b' 1, 2 n? ¿vale? Bueno,
aplicaciones sobreyectivas, ¿vale? Por tanto, el conjunto b tiene menos
elementos ¿vale? Por tanto, tendrá, habrá elementos de a' por lo menos
dos ¿vale? Que repetirán y más ¿vale? Entonces, de entrada, ¿vale? O
sea, tiene que haber dos elementos a' que tengan la misma imagen Estos dos
elementos pues pueden seleccionar en subconjuntos O sea, la selección de
conjuntos son combinaciones, ¿vale? Por tanto, yo estos dos elementos del
conjunto A los puedo seleccionar por el número de subconjuntos de dos
elementos de un conjunto de n más 1, son n más 1 sobre 2, ¿vale?
Después, cuando he seleccionado estos elementos, los otros los puedo
permutar, los otros n podemos permutar como me parezca, ¿vale? Por tanto,
el número sería n más 1 sobre 2 por n factorial, ¿vale? Entonces, n
más 1 sobre 2 es n por n más 1 partido por 2 factorial que es 2 y
multiplicado por n factorial. Ahora entonces aquí lo podemos hacer, n más
1 por n factorial es n factorial. Por tanto, el número sería n más 1
factorial por n y partido por 2. Bueno, aquí este también es un... Un
poco más difícil, ¿vale? Que también salió en el examen, ¿eh? Y este
también, ¿eh? O sea, estos tres últimos han salido en el examen. Dice,
sea el conjunto no vacío x y f de x sobre x, es decir, la aplicación de x
sobre el mismo conjunto. Que cumple que F compuesto con F y compuesto con F
es igual a F demuestre que F es inyectiva si y solo si F es sobreyectiva.
Por tanto, primero vemos la implicación de F inyectiva, deducimos que F es
sobreyectiva. Después, suponiendo que F es sobreyectiva, tenemos que
probar que F es biéctiva. O sea, la implicación en un sentido y después
la implicación en el otro. Para si y solo si quiere decir equivalencia.
Supongamos que F es inyectiva, vemos que es sobreyectiva. Si F es
inyectiva, para cada y que pertenece a X buscamos un X tal que F de X es
igual a Y. Entonces, F de F de F de Y por la propiedad, o sea, F compuesto
con F compuesto con F de Y es igual a F de Y. Por la propiedad de ser
inyectiva. ¿Vale? Tendríamos que hacer esto. Tendré que F por F de Y,
¿vale? Tiene que ser igual a 1. ¿Vale? O sea, sacándola como si esto
fuera un elemento solo. Ahí está la... ¿Vale? Y esta es el elemento,
esto tiene que ser igual a Y. Por lo tanto, por la propiedad de inyectiva
tiene que ser F, F de Y igual a Y. En consecuencia, X sea igual a F de Y y
en consecuencia tengo X tomando un X que sea igual a F de Y porque X es un
elemento del conjunto X y todo elemento del conjunto X por ser la
aplicación inyectiva tiene que tener una imagen y por ser la aplicación,
por lo tanto yo tomo un elemento X igual a F de Y y entonces F de X sea
igual a F, F de Y igual a Y. Por lo tanto, ya tenemos probado que hay un
elemento X tal que F de X es igual a Y. Dice, supongamos que es
sobreyectiva, veamos que es inyectiva. Bueno, existen, sean X1 y X2 tales
que las imágenes son las mismas. Como F es sobreyectiva... Como F es
sobreyectiva, existen Y1 y Y2 tales que F de Y1 es igual a X1 y F de Y2 es
igual a X2. por ser subrayectiva, ¿vale? Todos los elementos del conjunto
X tendrán una imagen parecida, ¿vale? Por tanto, tomamos I1 y I2 de X y
existen, ¿vale? Por tanto, F de I1 igual a X1 y F de I2 igual a X2.
Aplicamos de nuevo la propiedad de subrayectiva I1 y I2, ¿vale? Por tanto,
existen Z1 y Z2 tales que F de Z1 es igual a I1 y F de Z2 es igual a I2,
¿vale? Por tanto, tenemos que F de X1 es igual a F compuesto con F de I1,
¿vale? Y es igual a F compuesto con F compuesto con F de Z1, ¿vale? O
sea, X1 es igual a F de I1 es igual a X1, ¿vale? Por tanto, F de X1 puede
poner Z1 igual a I1 igual a F de Z1. Por tanto, tenemos esto por la
propiedad, ¿vale? Se cumple que F de F de F de Z1 es igual a F de Z1,
¿vale? Y F de Z1 es igual a I1, ¿vale? Después, F de X2 lo mismo,
¿vale? es igual a f, f de y2, ¿vale? Entonces, como f de y2 es igual a,
y2 es igual a f de z2, ¿vale? Por tanto, tendremos que f, f, f de z2, por
la propiedad esta, ¿vale? La propiedad del enunciado, ¿vale? Tendremos
que f, f, f de z2 es igual a f de z2, que f de z2 es y2, ¿vale? Por tanto,
si f de x1 es igual a f de x2, entonces y1 es igual a y2. Y en consecuencia
f de y1 es igual a f de y2 y x2 es igual a x2, ¿vale? Esto es un poco
complicado, ¿eh? Ya digo, este, estos tres últimos salieron en exámenes
de... O sea, tenemos un conjunto con n más uno elementos, ¿vale? Y
después tenemos un conjunto con elementos menos, ¿vale? Por tanto,
tendremos del conjunto A, ¿vale? Que hay dos elementos que tienen la misma
imagen. ¿vale? Entonces, ¿yo cómo puedo seleccionar? Pues tomando su
conjunto de dos elementos ¿vale? Entonces como hay n más uno, pues es el
número de combinaciones de un conjunto de n más uno tomados de dos en
dos, que es n más uno sobre dos ¿vale? Entonces, los otros los puedo
repartir en n factorial maneras, ¿vale? desordenando, ¿vale? Por tanto el
número de estas aplicaciones sería n más uno sobre dos por n factorial.
Esto ya estaría, ¿vale? Entonces, bueno, haciendo un poco de cálculo,
esto sí que lo pueden pedir, ¿eh? Esto son de aquello que da para hacer
preguntas de tipo este texto, ¿vale? Pueden poner la solución correcta o
no ponerla ¿vale? Entonces, pues bueno, te lo podrían dejar así o un
poco desarrollado, ¿vale? Un poco desarrollado es yo desarrollo n más uno
sobre dos, que es n es n más uno por n factorial no, es n, no, yo digo
complicado, n más uno sobre dos es n más uno por n, ¿vale? Por ejemplo,
si yo tengo cinco sobre dos es cinco por cuatro partido por dos factorial,
¿no? Por tanto, si tengo n más 1 sobre 2, será n más 1 por n partido
por 2. Y n factorial ya lo tengo aquí. Entonces, n más 1 por n factorial
agrupo este con este. Entonces, n más 1 por n factorial es n más 1
factorial. Entonces me queda n más 1 factorial por n partido por 2. Pero
la respuesta te la pueden dar de esta forma. Te la pueden dar de esta
también. Cuando son preguntas así de tipo test, pues te pueden poner esta
respuesta o te pueden poner la otra. Entonces, es hacer el ejercicio y
después ver a ver los resultados y ver cómo van a ser las. Esto veo
difícil que lo pregunten porque aquí tienes que probar. Porque en este
ejercicio, de cada examen de este año, de cada examen de otro año que
fuera de desarrollo, pues es probable que puedan preguntar un ejercicio
como este. Ahora, ¿de qué? De estos que hemos visto aquí, el más
probable, el más probable, pues es este, ¿vale? Este es más difícil,
¿vale? El 9. Y el... El 7, que también es de examen, este te podrían
llegar a preguntar, pero claro, no que demuestres, sino que te den esto,
demuestre no, pero se cumplirá, yo qué sé. Se cumple que F tal, ¿vale?
Pone una aplicación, tiene dos conjuntos no vacíos, una aplicación, sean
los subconjuntos A y A' de X, ¿vale? Subconjuntos de X y B de Y, ¿vale?
Entonces, demuestre no, pero se cumple que, yo qué sé, F de A
intersección de F a la menos 1 de B es igual a F de A intersección B,
¿vale? Después, se cumple, por ejemplo, esto, ¿vale? Bueno, otra
pregunta, ¿eh? ¿Es verdad esto? ¿Es verdad esto? ¿Se cumple esto?
¿Vale? No sé, otra respuesta que dice que van a poner, dice ninguna de
las anteriores, ninguna respuesta es correcta. O bueno, más o menos una
cosa así, ¿eh? O sea, si hay una que se cumple es aquella, ¿vale? Si
otra que no será, ¿vale? Y otra, pues ninguna, si no es ninguna de las
dos, pues pondrán la tercera opción. Por lo menos es lo que pone en la
guía, ¿eh? O. entonces el tipo de examen pues que va a poder ser así
esto lo podrían poner como pero para este otro el 8 podría ser podría
ser este el 8 también podría ser una temática discreta en matemática
discreta también lo podrían poner una parte de combinatoria pero este es
más difícil que lo presente este sí que lo veo difícil porque claro
aquí lo que tiene es probar esto vale porque no creo que te pongan que
bueno si efe es inyectiva entonces y una respuesta pues yo en principio
digo más o menos los ejercicios que han salido otros años lo que pueden
poner pues ya digo este sí esto es difícil y este otro pues en principio
este también podrían preguntar lo vale pero de esta forma no de probarlo
si no si se cumple aunque esté para poder ver un poco difícil y después
lo otro son ejercicios un poco para practicar y para ver los conceptos
puedo insistir en esto que parece fácil pero esto de aquí ya te los voy a
mandar pero en principio vale la pena tenerlo claro las diferencias entre
relación aplicación cuando es aplicación cuando es sobreyectiva cuando
es inyectiva cuando es biyectiva es más fácil composición de
aplicaciones biyectivas aquí también he puesto b-a f-1 con f f-1 este
sería siempre es este primero y este segundo f es igual a ib g de b sobre
c que la menos uno de c sobre b sería igual a ib y g la menos 1 sobre b g,
¿vale? g sería igual a i c porque a veces allí en el libro y todo esto
se ve un poco más vas viendo que dice compuesto, g, compuesto aquí lo he
puesto un poco detallado para que se entienda más ya sé que es fácil
pero en principio a veces cuando ves en el enunciado por ejemplo aquí por
ejemplo en el tema y todo esto por ejemplo aquí, que te dicen es efectiva
si existe esto o por ejemplo en el ejercicio que hemos visto que hemos
probado esto, cuando g con g a la menos uno no sabes si es ib o si es ic, g
a la menos uno con g igual, f con g a la menos uno no sabes si es a o es b,
y a o ib, entonces allí está ya sé que es fácil, pero en principio a
veces se se ve así, por ejemplo aquí veis que sale existe una aplicación
tal tal que esto es igual a ib, tal que esto es igual a a si hacéis aquí
el gráfico pues se ve más fácil, no sé, aquí importante es tener
claro, bueno saber los teoremas y esto también, pero tener básicamente
claro cuando es correspondencia, cuando es aplicación ya sé que es
básico, pero en principio es lo que a veces se duda cuando es relación o
correspondencia, cuando es aplicación cuando es una aplicación inyectiva
cuando es una aplicación directiva y cuando es una aplicación sobre
también miramos esto de la parte de combinatoria que aquí en tipos de
ejercicios de estos de respuesta cerrada da para bastante vale o sea si son
variaciones o son pueden poner algún problema entonces bueno yo digo más
o menos para preparar un poco el examen tampoco lo sé yo haría eso si hay
tiempo mejor saberlo todo vale pero claro entonces como el tiempo es poner
por estudiantes de la uned a no ser que estéis jubilados vale entonces sí
que hay tiempo pero si no trabaja entre el trabajo las obligaciones
familiares y todo pues para el tiempo es el que es para el examen tienes
que ir muy al grano vale para ayudar muy fino por lo menos para ir a sacar
el aprobado vale entonces pues claro hay cosas que ves que muy difícil te
lo pidan y otras que es más fácil por tanto ir por lo menos algo que
parece lógico que te van a poder pedir vale entonces pues una vez lo
tengas asolido pues entonces ya Y para otros objetivos, pero en principio,
ya digo, esta materia, no sé cómo lo habéis visto, pero es bastante
abstracta, no sé, para ser primer año yo encuentro que es bastante
difícil, no sé. Estas son las materias que diría que es de las más, no
sé si es la más difícil, pero de las más difíciles sí. Pero las otras
son más así, el cálculo, el álgebra, la geometría, no sé, es... Esta
es la única que... no sé, es que estoy también en Ingeniería, estoy
haciendo Ingeniería y esta es la única que me queda. Sí, esto es y está
ahí. Es más, es más. Sí, sí, es matemática pura esta, sí. Pero está
puesta en otro curso que ya un estudiante ya está más iniciado, ¿vale?
Entonces, bueno, es así que... Pero esta es aquello que hay muchos
conceptos, te lo tienes que tener muy claro los conceptos. Tenerlos claros
y, bueno, no sé, ahora el profesor ha cambiado, o sea, pero dos años
atrás los exámenes eran difíciles. O sea, el año pasado es que no tengo
referencias del año pasado de exámenes porque no han colgado nada, o sea,
que desde la pandemia... La profesora que había me parece que se ha
jubilado, la que llevaba la cinta, la lleva otro que antes era el ayudante,
que también es uno de los autores del libro. Pero me parece que los
exámenes tienen que ser más asequibles ahora que antes. Pero antes, ya
digo, era complicado. Además yo hablé un día con él y no le sacabas
nada. A veces le sacas alguna cosa, pero nada. Yo lo único que veía era
que ponía siempre uno de complejos. Algo que les decía, pues mirar
aquello de complejos y aquello de las relaciones de orden, de los elementos
maximales, todo aquello, también solía poner algo. Yo la referencia que
tenía era de exámenes que había visto de años anteriores. No es que
supiera nada, pero... Y aquello sí, números complejos, que se resuelvan.
Repetía. Era lo único, ¿eh? Lo único que... Pero algo de conjuntos
también. De lógica no solía poner casi nada, ¿vale? Entonces, pues
básicamente, pues era esto. Claro, esto es una asignatura que tienes que
ir trabajando y, bueno, digo, ahora es mirarlo yo, bueno, por lo menos
mirar el tipo de ese examen y en tres preguntas, ¿eh? O sea, dos de esta
forma y la otra, ninguna de las anteriores es... Un poco de referencia
podéis tener, por lo que pasa no entraba todo el temario, en las PEC
anteriores, que sí lo hacían tipo test. Entonces me parece que están
resueltos allí. Pues mirad un poco y yo diría que los exámenes irán por
allí, más o menos, tipo de preguntas de lo que hay allí. Pues bueno, el
próximo día empecemos ya lo que son estructuras, grupos, anillos y
cuerpos. El próximo día haremos grupos y anillos y el otro día haremos
cuerpos y después ya está. Después pasaremos a números naturales y
enteros, después números reales y fraccionarios y después ya los
números complejos, dos sesiones. ¿Y se va corriendo? Sí, el próximo
día haremos la mitad del tema 4. Se harán básicamente anillos y grupos y
después el otro cuerpo y lo que haya, relaciones de orden y todo esto que
hay compatibles. Pero aquí lo importante es que el próximo día lo que es
una estructura, cuando es grupo, para hallar un subgrupo las propiedades
que hay, que hay un par de propiedades, básicamente esto después va a ir
jugando con eso. pues bueno hasta el próximo día