Bien, pues buenas tardes. Vamos a empezar esta nueva sesión de física y
vamos a trabajar en gravitación, campo gravitatorio. Venga, pues vamos a
ver este tema y también vamos a intentar ya hacer ejercicios relacionados.
Bueno, partiríamos de la ley de gravitación universal que nos dice que la
fuerza con que se atraen dos masas puntuales es directamente proporcional
al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa. Inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa. Y la constante de proporcionalidad lo tenéis
aquí, la constante de gravitación universal, que tiene un valor muy
pequeño. Como podéis ver, 6,67 por 10 elevado a menos 11 newton metro
cuadrado kilogramos cuadrados. ¿De acuerdo? Es interesante que esa ley de
gravitación universal sepamos que es aplicable a masas puntuales. ¿Qué
es una masa puntual? Aquella cuyas dimensiones son despreciables con
respecto al tamaño. Perdón. Aquellas cuyas dimensiones son
despreciables... Con respecto a la distancia que hay entre las masas.
Decimos que una masa es puntual cuando su tamaño, sus dimensiones, son
despreciables con respecto a la distancia a la cual estamos calculando la
fuerza de interacción. ¿Vale? Pero, aunque si eso no ocurre, y tenemos
aquí, por ejemplo, en el caso A, entre dos masas esféricas simétricas,
¿no?, de distinto radio, nosotros podemos considerar, a efectos de aplicar
la ley de gravitación, que la masa de esas esferas, que tienen unas
dimensiones determinadas, están concentradas en su centro. Y el
comportamiento de esas esferas simétricas es análogo al de unas masas
puntuales del mismo valor que la masa de la esfera situada en el centro de
la misma. En el centro de la misma. ¿De acuerdo? Importante que eso lo
tengamos presente. Siempre cuando estemos considerando satélites, bueno,
satélites de planetas, planetas, ¿no?, planetas con respecto del Sol,
siempre las distancias las vamos a considerar centro-centro. Es importante.
Nunca las distancias superficie-superficie. Siempre las fuerzas de
interacción, las distancias centro-centro. No os olvidéis. ¿Qué es el
peso de un cuerpo? Pues es la fuerza, ¿no?, la fuerza con que, si estamos
en la Tierra, la Tierra atrae a una masa cualquiera. Entonces, para hablar
del peso, tendríamos que hablar de la gravedad, de la intensidad del campo
gravitatorio. La intensidad del campo gravitatorio, lo tenéis aquí
escrito, G, sería G por el valor de la masa de la estrella. ¿Qué quiere
decir la masa de la estrella? Pues que si estamos en la Tierra sería la
masa de la Tierra. La masa, ¿no?, del sistema, ¿no?, que genera el campo
gravitatorio. Partido el radio de la estrella al cuadrado. El radio de la
estrella al cuadrado. Entonces, si estamos en la Tierra, la gravedad en la
superficie de la Tierra sería G masa de la Tierra partido el radio de la
Tierra al cuadrado. ¿Vale? Y el peso, por lo tanto, la fuerza con que la
Tierra atrae, sería M por G sub cero. M por G sub cero. ¿De acuerdo? Me
gustaría comentaros también cómo varía la gravedad con la altura.
Mirad, brevemente, si ahora nosotros nos fuéramos a una altura
determinada, ¿no?, o a una profundidad determinada de la Tierra, ¿no?,
más o menos, ¿no? Si esto es una altura H de la Tierra, esto es RT, esto
es toda la distancia centro-centro, ¿no?, sería HRT, esto es R, donde R
es RT más H. ¿Vale? La intensidad del campo gravitatorio, que tiene una
dirección radial dirigida hacia el centro, ¿no?, si estamos a una altura
determinada, sería G mayúscula por la masa de la Tierra partido RT más H
al cuadrado. Esto sería la G, ¿no? Esto sería G. GMT partido RT más H
al cuadrado. ¿De acuerdo? ¿Y qué pasa si nos metemos dentro de la
Tierra? Es decir, que esto va disminuyendo con la distancia. Si nos metemos
dentro de la Tierra a una profundidad H mayúscula, la gravedad sería G
por la masa partido RT menos H al cuadrado. Donde M, donde M es la masa que
estaría aquí encerrada. ¿Qué es esta masa? Rho por el volumen. Rho por
cuatro tercios de pi RT menos H al cubo. Donde RT si queréis, menos H le
puedo llamar R minúscula. Y sustituyendo aquí sería G por Rho por cuatro
pi partido por tres por R. ¿No? Porque me queda un cubo y abajo un
cuadrado. Es decir que la gravedad en el interior aumenta linealmente con
R. ¿Cómo aumenta linealmente con R? Hasta que llega a la superficie y
después disminuye con el cuadrado. Es decir, esto sería para R igual a
RT. Donde aquí tendríamos el valor G sub cero GMT partido RT al cuadrado.
Y en cada zona la expresión que hemos calculado. Una que aumenta
linealmente y otra que es una parábola. ¿De acuerdo? Vamos a continuar.
Vamos a volver al documento. A ver. Bueno. Aquí. Bueno, esto es lo que
quería comentaros. Vamos a seguir. Bueno, aquí hablamos de energía
potencial gravitacional. Bueno, es que tenemos que recordar que lo que eran
las fuerzas conservativas, si os acordáis. Una fuerza conservativa es
aquella cuyo trabajo no depende del camino seguido. Solo depende del punto
inicial y del punto final. Y del punto final. ¿De acuerdo? Entonces, el
trabajo realizado por una fuerza conservativa entre dos puntos es igual a
la energía potencial inicial menos la energía potencial final. El trabajo
de A a B es igual a menos la variación de energía potencial energía
potencial inicial menos la energía potencial final. ¿Vale? ¿De acuerdo?
Ahora bien. ¿Y eso cómo se obtenía? Integrando, ¿no? La ecuación de la
fuerza o el desplazamiento. Pero no es necesario calcular para calcular el
trabajo integrar la ley de gravitación universal. No, no, no. Es decir, la
fuerza no olvidémonos que su módulo era este. Bueno, masa estrella m
partido de r cuadrado. ¿No? El módulo. Mása estrella m r cuadrado por u
sub r vector unitario. El menos quiere decir que tiene carácter atractivo.
Integrando, se podría calcular el trabajo y esta expresión de la energía
potencial se obtiene integrando. ¿No? Y, importante, el signo menos de la
energía potencial. Es muy importante. No os lo olvidéis. Porque nosotros
ahora estamos tomando origen de energías potenciales el infinito. No la
superficie de la Tierra y la superficie del planeta. El infinito. Y la
energía potencial se hace infinito en el sitio más, se hace nula que es
el máximo valor en el infinito. Cuando r vale por infinito porque algo
partido por infinito es igual a cero. ¿Vale? Importante que lo tengamos
presente y no confundamos el r cuadrado de la fuerza gravitacional con la r
de la energía potencial. ¿Qué representaría? ¿Cuál sería el
significado físico de la energía potencial? ¿Qué sería? A ver. Claro,
es que tomamos origen de energías potenciales el infinito. ¿No? Entonces
¿qué valdría el trabajo? Vamos a ver. La energía potencial ¿no? Tiene
este signo menos. ¿Qué representa? ¿Qué representaría? El trabajo por
ejemplo que habría que realizar para trasladar esta masa m minúscula
desde una distancia r al infinito. ¿Y eso por qué? Vamos a ver si lo
entendemos. El trabajo perdón el trabajo para trasladar ¿no? Esta masa m
os estoy diciendo r le puedo llamar bueno, desde r hasta infinito. ¿Esto a
qué sería igual? A la energía potencial en r menos la energía potencial
en el infinito. Es decir menos g m e m partido por r menos menos g m e m
partido por infinito. ¿Qué vale algo partido por infinito? Cero. ¿No?
Para trasladar esa masa m hasta el infinito ¿no? Sería esta la energía
potencial. Claro, esto es un valor negativo. Este trabajo es negativo.
¿Qué quiere decir? Que es un trabajo realizado en contra de las fuerzas
del campo porque el campo gravitatorio atrae a la masa. Yo para llevar esa
masa hasta el infinito tendría que realizar un trabajo ¿no? De ahí el
signo menos también lo podemos considerar ¿de acuerdo? Bueno. Bueno.
Aquí tenéis. La energía potencial siempre es negativa ¿no? Y se vuelve
menos negativa a medida que te alejas de la superficie terrestre. ¿De
acuerdo? ¿Qué pasa cuando tenemos estamos, movimiento de satélites en
órbita? Vamos a ver. Lo primero de todo, antes que nada antes de meternos
en movimientos de órbitas circulares elípticas que puede haber permitidme
que consideremos que cuál es la energía mecánica aunque aparecerá
después cuando se lanza un objeto desde la superficie terrestre y
consideramos trabajo de rozamiento igual a cero la energía mecánica es
constante la energía cinética uno más la energía potencial uno, es
igual a la energía cinética dos más la energía potencial dos. Pero, si
las variaciones de altura son significativas claro, si yo lanzo algo con
una velocidad de cinco kilómetros por segundo bueno esto sería un medio
de m v1 cuadrado menos g mt m de la estrella m partido r1 igual a un medio
de m v2 cuadrado menos g m de la estrella m partido r2 ya no ponemos mgh
ponemos esta expresión de la energía potencial vale si claro me dice y
esto para que nos puede servir claro, me dice bueno si yo lanzo por ejemplo
un objeto desde la superficie terrestre con una velocidad de cinco
kilómetros por segundo ojo, estamos hablando de cinco mil metros por
segundo aquí va a haber una variación de altura significativa y si
nosotros queremos calcular la altura que alcanza ¿cuál sería la altura
máxima? la altura máxima que alcanzaría el objeto esto sería r que
sería rt más h esto es rt hasta aquí vale lo puedo hacer por
conservación de la energía energía mecánica en uno igual a energía
mecánica en dos ya hago el desarrollo y quiero que nos demos cuenta bueno,
r1 sería radio de la tierra v2 evidentemente sería cero y r sería la
distancia al centro de la tierra máxima que alcanzaría podemos
simplificar esta velocidad v1 un medio de v1 cuadrado menos g mt partido rt
es igual a menos g mt partido por r vale de aquí podemos sacar r r que es
menos g mt partido un medio de v1 cuadrado menos g mt partido por rt vale y
r sería la distancia del centro al punto en cuestión ¿cuál sería la
altura? r es rt más h la h la altura que alcanzaría sería r menos rt
vale dependería evidentemente pero hay una velocidad mínima a partir de
la cual esa partícula escaparía de la atracción terrestre y esa
velocidad es lo que se llama la velocidad de escape ¿qué es esto de la
velocidad de escape? velocidad de escape sobre cualquier planeta, sobre
cualquier estrella es la mínima velocidad ¿no? que se ha de comunicar al
objeto ¿eh? la mínima velocidad que se ha de comunicar al objeto ¿para
qué? para que llegue al infinito con velocidad nula para que llegue al
infinito con velocidad nula eso es la velocidad de escape ¿qué quiere
decir esto? ¿no? lanzamos con una velocidad determinada que voy a llamarle
velocidad de escape puedo hacerlo desde la superficie terrestre o desde
cualquier punto para que lleguemos a un punto 2 que es el infinito con
velocidad nula ¿de manera que esto se nos tacharía y nos quedaría un
medio de la velocidad de escape al cuadrado igual a GMT partido por RT
entonces la velocidad de escape será igual a 2 veces GMT partido RT si se
hace desde la superficie terrestre y para la tierra vale 11 y pico
kilómetros por segundo ¿vale? si yo lanzo ¿eso qué quiere decir? que si
lo lanzamos con esa mínima velocidad la trayectoria que va a describir la
partícula no va a ser una órbita cerrada sino será una órbita abierta,
una parábola y llegaría al infinito con velocidad nula daos cuenta que la
energía mecánica es cero cero y si lo lanzásemos con una velocidad mayor
llegaría al infinito con una velocidad finita así pues tendríamos que
podemos tener que la energía mecánica sea menor que cero y tendremos una
órbita cerrada si la energía mecánica es cero una órbita abierta una
parábola y si la energía mecánica es mayor que cero otra vez órbita
abierta y es una hipérbola ¿vale? vamos a centrarnos en las órbitas
cerradas vamos a ver el documento que nos dice ¿qué pasa cuando tenemos
una órbita cerrada? vemos que la fuerza si queréis aquí está el dibujo
aquí estamos tenemos aquí algo en órbita cerrada ¿qué fuerza actúa
sobre el satélite? pues la fuerza de gravitación tiene una velocidad
tangente lo veis, ¿no? tiene una velocidad tangente pero además hay una
aceleración normal dirigida hacia el centro una aceleración normal
dirigida hacia el centro ¿vale? entonces para saber qué relaciona hay
entre la velocidad y el radio vamos a aplicar la segunda ley de Newton
¿vale? F igual a m por a ¿qué fuerza tenemos? la fuerza gravitatoria g
masa de la estrella por m partido r cuadrado siendo r la distancia centro
centro igual a m por v cuadrado partido por r donde m y m se van y la
velocidad v es raíz cuadrada de g m e partido por r v es la raíz cuadrada
de g m e partido por r ¿vale? esta sería la velocidad lineal ¿no? esta
aceleración se le puede llamar aceleración normal o aceleración
centrípeta que se puede expresar también en función de w de omega que es
lo que queremos hacer ahora para buscar una relación entre el periodo y el
radio de la órbita ¿vale? voy a ir otra vez a la pizarra y fijaos hemos
estado trabajando diciendo que f es m por a sub n ¿no? ¿f qué es? g la
masa de la estrella por m partido r cuadrado igual a m omega cuadrado por r
m y m se van ¿vale? g masa de la estrella partido por r cubo igual a omega
cuadrado que es 2pi partido por el periodo al cuadrado g m e r cubo 4pi
cuadrado partido t cuadrado de hecho podemos despejar y poner que t
cuadrado partido por r cubo ¿no? es igual a 4pi cuadrado partido g m e eso
es en definitiva se dice que el cuadrado del periodo es proporcional a la
distancia al cubo o si queréis que el cociente del cuadrado del periodo
con la distancia al cubo ¿no? es una constante es una constante propia y
característica de cada estrella de cada causa que genera el campo
gravitatorio ¿de acuerdo? bien todo esto si la órbita es circular en vez
de poner r pondríamos el semieje mayor del semieje mayor de la órbita
elíptica si fuese una órbita elíptica se puede demostrar que la fórmula
es idéntica sustituyendo r por a siendo a el semieje mayor para una
órbita elíptica sería t cuadrado partido a cubo g m e 4pi cuadrado
partido g m e 4pi cuadrado partido g m e ¿vale? si la órbita es elíptica
donde a es el semieje mayor alguien puede decir ¿qué es esto del semieje
mayor de una elipse? bueno si esto es la elipse esto es el eje mayor todo
esto es 2a 2a es esto todo el semieje mayor es la mitad ya sabes que el sol
está si estamos hablando de los planetas en uno de los focos la distancia
más próxima es el perihelio rp la más lejana es el afelio y 2a es igual
a rp más ra bueno seguimos con la ecuación vamos a ver cuál es la
fórmula de la energía mecánica de un satélite en órbita lo teníamos
aquí bueno esto es la fórmula del periodo no aquí está sacada la raíz
cuadrada como queráis la energía mecánica ya sabéis que es energía
cinética más potencial ¿vale? esta sería la expresión nosotros podemos
sustituir la v cuadrado por la expresión que hemos obtenido antes ¿no?
bueno aquí está ¿no? gm partido por r sin el cuadrado entonces gm
partido por r partido por 2 ¿no? etc entonces lo dejamos todo en función
de r y esta ecuación es importante la energía mecánica en una órbita
circular, bueno lo hemos dicho antes es negativa, en todas las órbitas
cerradas sean circulares o elípticas la energía mecánica es negativa y
su valor es menos 2 gm partido por 2r siendo r el radio de la órbita
siendo r el radio de la órbita el radio de la órbita y eso se cumple si
la órbita es circular ¿y si la órbita es elíptica? pues la única
diferencia es que en lugar de r hay que ponerla a si la órbita es
elíptica, sólo en ese caso pondríamos en lugar de la r pondríamos igual
a a en una órbita elíptica la expresión coincidiría no la vamos a
deducir porque es más tedioso mucho más tedioso pero si queréis lo puedo
apuntar que la energía mecánica para un satélite en una órbita
elíptica sería menos gmm partido 2a siendo a otra vez el semieje mayor de
la elipse ¿cuáles son las leyes de Kepler? bueno pues que cada planeta se
mueve en una órbita elíptica con el sol en uno de los focos está el
astro la estrella la línea del sol que une la línea que une el sol con el
planeta o el planeta con el sol barre áreas iguales y tiempos iguales y
los períodos de los planetas son proporcionales a las longitudes del eje
mayor de las órbitas elevados a las potencias de tres medios eso es lo que
hemos dicho antes en realidad ¿no? en lugar de tres medios ¿no? hemos
dicho t cuadrado partido por r cubo igual a constante si es circular pero
si es elíptico t cuadrado partido a cubo es constante el periodo sería la
raíz cuadrada de a cubo ¿si? venga ahora bien fijaos la línea del sol
con el planeta barre áreas iguales y tiempos iguales ¿esto que quiere
decir? es que en el movimiento de los planetas en el movimiento planetario
¿que se conserva? es muy importante esto lo vimos en sólido rígido se
conserva el momento angular ¿si? mira esto sería r afelio r perihelio
¿vale? entonces ojo la fuerza gravitatoria como es la fuerza gravitatoria
es una fuerza atractiva si ¿no? eso es la fuerza gravitatoria ¿no? si la
fuerza a ser la fuerza gravitatoria una fuerza central, una fuerza radial
¿no? el momento de la fuerza sabemos que es derivada de l con respecto de
t el momento es nulo porque r y f son paralelos y por lo tanto en el
movimiento planetario l es constante entonces l nos interesan dos puntos
del afelio es igual a l del perigeo o lo que es lo mismo ra m por v sub a
porque forma 90 grados la velocidad y r es igual a rp m vp ¿vale? las
velocidades perdón velocidad perigeo velocidad apogeo ¿vale? entonces
para que se cumpla esta igualdad ¿no? para que se cumpla esta igualdad
¿qué tenemos? que en los puntos más próximos la velocidad del perigeo
será mayor ¿por qué? mirad, velocidad del perigeo partido velocidad del
apogeo a ra partido rp velocidad del perigeo partido velocidad del apogeo
es igual a ra partido por rp ¿si? por lo tanto la velocidad del perigeo ha
de ser mayor que la velocidad del apogeo porque ra es mucho mayor que rp
¿vale? esto es algo que tenéis que tener presente porque el perigeo y el
apogeo son dos puntos, los dos únicos puntos en esa trayectoria elíptica
donde forman 90 grados r y la velocidad ¿vale? bueno pues aquí tenéis el
perihelio y el afelio si estamos hablando del sol o usando la tierra pues y
aquí el peso aparente perihelio afelio perigeo, apogeo periastro, apoastro
vais a ver son palabras que se utilizan en los puntos más próximos y más
lejanos en función de que la estrella sea el sol, la tierra ¿de acuerdo?
P más próximo la A lejos bien el peso aparente ¿no? de un cuerpo está
rotando está en la tierra variará con la latitud y eso ¿por qué? porque
y solo nos vamos a fijar en el polo norte y en el ecuador ¿no? el peso que
es, la fuerza de reacción si queréis voy a pasar a la pizarra y luego os
lo contaré ahí bien, esto es la tierra y por ejemplo tenemos una persona
aquí arriba y veamos el peso esto sería el peso ¿no? y el peso si
estuviésemos en el ecuador sería lo mismo ¿vale? el peso pero si esto
está dando vueltas respecto a este eje esto está dando vueltas ¿no?
está sujeto cada punto a una aceleración normal y la aceleración normal
es v cuadrado partido por r t o bien omega cuadrado multiplicado por rt si
estoy evidentemente aquí, si estoy en el ecuador porque sino de forma
genérica puede ser v cuadrado partido por r o omega cuadrado multiplicado
por r pero aquí en el ecuador la distancia al eje de giro es rt ¿no? y
tenemos una aceleración normal dirigida hacia el centro ¿vale? como os
decía aquí esto es el peso ¿y qué es lo que va a medir la balanza? la
balanza mide la fuerza de reacción que ejerce la superficie de contacto
¿no? sobre la misma fuerza de reacción voy a dibujar la fuerza de
reacción eso sería la normal esto sería la normal y esto sería la
normal es lo que mide la balanza la fuerza de reacción la normal si
estamos en el polo tenemos n vector más p vector igual a cero no hay
ninguna aceleración normal porque estoy sobre el eje de giro n módulo es
igual a p luego nos mide el peso nos mide el peso y en el ecuador pues al
que aplica la segunda ley de newton tenemos una aceleración ahora f igual
a m por a fuerza mismo sentido que la aceleración p en contra n igual a m
por a sub n luego la normal que es lo que marca la balanza menos m por a
sub n es decir lo que va a marcar la balanza en el ecuador será menor que
en el polo lo que va a marcar la balanza en el ecuador será menor que en
el polo me dais cuenta importante que entendamos esto el peso aparente de
los cuerpos en el ecuador es menor que en los polos suponiendo la tierra
una esfera homogénea radio constante de acuerdo muy bien voy a volver al
documento bueno aquí ya lo hemos visto todo de entrada vamos a ver ahora
os voy a abrir este documento de problemas estos son problemas de campo
gravitatorio de otros años que han salido que ha pedido el equipo docente
de este tema y bueno vamos a ver estos ejercicios si os parece los he
puesto aquí también resueltos pero bueno vamos a trabajarlos un poco que
entendamos un poquito el proceso de los mismos de acuerdo bueno tenemos
aquí dos esferas como veis idénticas están fijas nos piden calcular el
módulo y la dirección de la aceleración inicial de una esfera uniforme
que está en reposo en el punto P suponiendo que solo actúa sobre ella las
fuerzas gravitatorias ¿no? de las otras dos esferas bueno pues vamos a ver
un poquito el dibujo ya que está tan bien vamos a aprovecharnos de este
dibujo ¿no? y podemos empezar dibujando las fuerzas atractivas estas
serían las fuerzas atractivas o las intensidades del campo gravitatorio de
carácter atractivo G y G GA y GB de manera que la G resultante sería
aproximadamente esto G ¿no? la suma de estos dos vectores perdón G vector
sería G sub A más G sub B ¿qué valdría el módulo? aquí me dan todas
las distancias nos damos cuenta que el módulo de G sub A es el módulo de
G sub B igual a G por M sub A partido R sub A cuadrado ¿y qué vale R sub
A? 10 centímetros 0,1 metro ¿y qué vale M sub A? 0,26 kilos pero claro
aquí nos tenemos que dar cuenta que tenemos que considerar ¿no? la suma
de dos vectores que no están alineados habría que descomponer G sub A y G
sub B en dos componentes perpendiculares entre sí una sobre el eje X y
otra sobre el eje Y aquí tenemos sobre el eje X bueno aquí está ¿no? y
sobre el eje Y sería esta lo mismo con la derecha y el otro lo superpongo
bueno es que las componentes X se me van a anular ¿vale? y solo me van a
quedar las componentes Y de manera que la G resultante sería menos 2Gi
¿no? por J si queréis o si queréis menos 2G por el seno de alfa por J
¿por qué pongo el 2? porque mirad es que como os decía ¿vale? entonces
si queremos descomponer aquí tenemos una Gx y aquí una Gi ¿vale? de
manera que esto ¿qué es? alfa ¿a qué es igual? a Gi luego Gi es G seno
de alfa por eso he puesto G seno de alfa ¿y por qué pongo el menos?
porque va hacia abajo ¿y qué vale? el seno de alfa no hace falta sacar el
ángulo pues vamos a hacerlo por trigonometría por senos y cosenos
directamente seno de alfa será cateto opuesto que es 6 ¿qué es 10? 3
quintos bueno, pues a partir de ahí ya lo tenéis ¿no? bueno, lo he
puesto aquí todo voy a dejar un hueco aquí tenéis el valor aquí tenéis
la solución y bueno, seguimos aquí lo que hace es calcular primero la
fuerza y después la aceleración dividiendo por la masa pero se puede
calcular directamente la G no debe ser ningún problema las componentes las
componentes X ya nosotros ni las hemos calculado porque son de igual modo
dirección y sentido contrario vamos a ver con este otro ejercicio dice un
planeta tiene de radio 3,24 por 10 a la 6 la velocidad de escape vale tanto
¿cuál es la aceleración debido a la gravedad de la superficie del
planeta? me da la velocidad de escape ¿os acordáis que hemos estado
hablando de la velocidad de escape que era la mínima velocidad que debía
tener el objeto para escapar de la atracción terrestre y que suponía
escapar de la atracción terrestre que llegase al infinito con velocidad
nula que llegase al infinito con velocidad nula entonces dedujimos hace un
rato que la velocidad de escape era raíz cuadrada de 2 GMT partido de RT
si se realiza desde la superficie terrestre si es otro planeta como en este
caso lo dejaremos en función de que 2 GMT ¿no? nosotros tenemos el RT sí
tenemos la velocidad de escape sí podemos despejar esto sí y podemos
despejar ¿cuál será la gravedad en la superficie del planeta? G masa del
planeta partido de RT al cuadrado una vez que tenga la masa puedo sustituir
y ya estará aquí tenéis resuelto no está resuelto pero lo podéis
sustituir fácilmente y obtenerlo ¿sí? ya está despejamos la masa y
sustituimos la expresión de la gravedad en la superficie del planeta a ver
vamos a ver este otro tiene radio 5 metros calcule la fuerza gravitatoria
de esta esfera, una masa puntual situada en un punto exterior dentro y
dibuja una gráfica esto viene a ser un poco parecido a lo que os he
explicado antes de cómo variaba la gravedad con la altura y dentro de la
profundidad aquí claro no hay una variación de altura significativa pero
dentro de la esfera sólida uniforme sí, de mil kilos de una tonelada nos
metemos en el apartado 2 2,5 metros debemos calcular la fuerza y después
que hagamos un poco la gráfica de cómo varía esta fuerza gravitatoria o
esta intensidad del campo gravitatorio en función de la distancia desde r
igual a 0 será dentro, ya vimos antes que aumentaba linealmente y después
bajaba con una nueva parábola en función de 1 partido por r al cuadrado
bueno, pues si miramos en un punto exterior como es el primer caso la
fuerza sería gmm partido r al cuadrado entonces el caso i sería r igual a
5,01 metro y el caso 2i donde la masa sería la masa de la esfera voy a
poner de la esfera ya no sería toda la masa de la esfera porque estoy
dentro es igual a la masa que tenemos es por el volumen me implica por 4
tercios de pi r cubo estamos aquí y nos quedamos dentro el que nos
tendrían que dar el que la densidad ahora vas a ver como se simplifica no
te preocupes se va a simplificar ro 4 tercios de pi r cubo vale esto sería
la masa dentro porque yo esto lo puedo dejar en función de la masa de la
estrella de la esfera eso es una esfera yo puedo poner que la masa de la
esfera es igual a ro por el volumen de la esfera que es ro por 4 tercios de
pi por r de la esfera al cubo entonces te das cuenta que m partido la masa
de la esfera es igual a r cubo partido el radio de la esfera al cubo ves
como hemos dejado la masa m en función de la masa de la esfera por r cubo
r e cubo vale no necesitamos la ro vale bueno pues a partir de aquí
nosotros podemos calcular la fuerza como g m m partido esa r y donde la m
sería m de la estrella por m minúscula ojo r cuadrado por r cubo partido
r de la estrella al cubo el cubo y el cuadrado se van bueno esto es más o
menos lo que tenéis aquí hecho vale para un punto de dentro vale para un
punto interior hay que tener en cuenta esta masa lo veis tenemos lo mismo
aplicamos la misma fórmula vale no hace falta hacer esto a la masa y si
nosotros queremos hacer la gráfica pues nos damos cuenta que la fuerza es
proporcional a r dentro de la esfera como os había contado antes dentro
del planeta o dentro de la tierra y cuando vamos fuera es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia aquí tenéis la dependencia
dentro y fuera y tiene su valor máximo en la superficie la fuerza que
sería g la masa de la esfera por m partido del radio de la esfera al
cuadrado este sería el valor máximo bien vamos con otro ejercicio dice la
aceleración debido a la gravedad en el polo norte de Neptuno es 11 no y
nos da el radio y la masa de Neptuno y un periodo de rotación de 16 horas
calcule la fuerza gravitación gravitatoria que actúa sobre un objeto de 3
kilos en el polo norte y cual sería el peso aparente en el ecuador esto es
un poco lo que hemos visto antes cual será el peso en el polo pues la masa
o la gravedad en el polo de Neptuno que será masa g la masa de Neptuno
partido del radio de Neptuno al cuadrado y que sería el peso en el ecuador
masa por g en el polo menos ojo m omega cuadrado por el radio de Neptuno
omega cuadrado por r acordaos que lo demostramos antes que el peso en el
ecuador era mg menos m por a sub n m por omega cuadrado por r digo a sub n
por omega cuadrado ya se que me podéis decir y no puedo poner a sub n en
función de v no me va a interesar vale y que vale el periodo el periodo
vale 16 horas hay que pasarlo a segundos para sustituir y las distancias en
metros vale y esto en segundos aquí lo tendríamos aquí hay otro
ejercicio no de una esfera uniforme de 50 kilos que se sostiene en el punto
0,3 no una en el origen y otra en el punto 0,3 me piden el módulo y la
dirección de la fuerza sobre una tercera masa que está en el punto 4,0
aquí lo tenemos en el dibujo queremos saber la fuerza resultante sobre
esta masa aquí tendremos una fuerza atractiva y otra fuerza atractiva vale
de manera que la fuerza resultante sería ésta la fuerza resultante sería
ésta como lo tengo que hacer para sacar esta fuerza resultante pues
descomponer descomponer esta fuerza en dos componentes perpendiculares
entre sí no y para descomponerlo saco el seno y el coseno no el seno es
cateto opuesto partido de hipotenusa pensad que son 3 y 4 no perdonad 3,4 y
la hipotenusa será 5 no entonces el seno y el coseno lo obtenéis, cateto
opuesto partido de hipotenusa cateto contiguo, no y a partir de ahí
sacáis las componentes no la componente x la componente y, no y sumamos
componente a componente fijaos que uno sólo tiene componente x y negativa
se suman componente a componente y sacaremos la fuerza resultante y a
continuación con las componentes x e y podemos sacar el módulo de la
fuerza y la dirección, el ángulo 163 grados porque estamos en el segundo
cuadrante de acuerdo bueno aquí después me piden en qué punto entre las
dos masas sería la fuerza nula no pues habría que igualar el módulo de
ambas fuerzas si a una distancia le llamo i a la otra le llamo 3 menos i y
se opera, no este es un problema que yo creo que es sencillo porque me dice
el tiempo que tarda recorrer una distancia y eso me permite a mi calcular
la gravedad en ese lugar no, una vez que tengo la gravedad en ese lugar ya
puedo calcular la masa de ese planeta daos cuenta dice que comprueba que
tarda 0,48 segundos en caer 1,9 metros y el planeta es ésta o sea la masa,
de aquí podemos sacar la gravedad y a partir de aquí podemos sacar la
masa vale este es de estrellas, si lo queréis mirar a mi sólo comentaros
me gustaría comentar ya para acabar es muy tarde simplemente cuál es la
energía para cambiar de órbita si tenemos que cambiar de órbita mirad si
tenemos algo en una órbita en un planeta no y se encuentra en una órbita
r1 y tiene que pasar a una órbita r2 qué energía habría que comunicar
al objeto para pasar de una órbita de r1 a una órbita de r2 es que la
energía de órbita acordaos es menos gmm partido por r entonces el
incremento de energía para pasar de una órbita a otra sería la
diferencia de la energía mecánica final la inicial vale eso tenerlo claro
y cuál sería la energía que habría que comunicar para poner algo en
órbita energía para poner en órbita un satélite pues con esto
terminamos si el satélite se encuentra inicialmente en 1 y aquí en 2
está en órbita qué energía tenemos en órbita menos gmm partido 2r y en
la superficie menos gmm partido rt entonces la energía que habría que
comunicar es la diferencia de estas dos energías para poner un satélite
en órbita ves como todo se puede hacer por conservación de la energía
muy bien pues muchas gracias