Bien, ya se ha iniciado entonces la grabación del tema y por lo tanto voy
a parar la cámara para que ustedes puedan seguirme mejor por voz y vamos
viendo el tema. Bueno, pues dentro de las derivadas aquí vamos a ver en
principio la propia definición de derivada, vamos a interpretar también
geométricamente qué significa ese concepto, cuál es la función derivada
y después las distintas operaciones que se pueden realizar con ellas. Por
último, las propiedades y las operaciones nos llevarán a ciertas reglas,
como la regla de la cadena y a la tabla de las derivadas de las funciones
más usuales que podemos encontrar. Finalizaremos con aquellos teoremas que
necesitan del cálculo diferencial para su resolución. Bien, dicho esto
comenzamos con el concepto. El concepto de derivada en un punto y la
derivada fue descubierta por Newton. En el principio Newton escribe los
Principia Philosophae, que es su libro principal y donde se encuentra el
cálculo diferencial, el cálculo integral y la gravitación universal. En
el mismo texto fueron tres descubrimientos que han marcado el rumbo de las
matemáticas y de las físicas para toda la historia. Entonces, en
particular, él define el concepto de derivada. Con cosas infinitamente
pequeñas. Entonces, él considera que existe un límite un poco particular
a la hora de calcularlo, que es este que aparece aquí, donde estamos
señalando, que es este límite que estamos señalando en la transparencia,
que podemos encontrarlo de esta manera. O también de esta otra, si no
queremos referirnos a un h en particular. Y que nos viene a indicar que
cuando las alturas se van acercando una a otra y también las bases se van
acercando, pues ese límite va a tener consecuencias sobre los resultados
de la propia función. Bueno, pues a ese límite, a priori, de una función
era más h menos fg partido por h, lo llamamos la derivada de la función.
O también el diferencial de la función en dicho punto. Bueno, pues esas
serían las formas de expresar la derivada y aquí abajo pues podemos
encontrar, ya directamente, cómo la propia derivada se define como dicho
límite. Bueno, nos quedamos con la idea de que estamos calculando un
límite en particular y vemos que ese límite, en la mayoría de las
ocasiones, es fácil de calcular, por ejemplo, si yo quiero calcular la
derivada de la función x al cuadrado en el punto 1, nosotros evidentemente
sabemos calcular desde años anteriores la derivada de x al cuadrado en 2x
en el punto 1 vale 2. Pero directamente, usando la función límite, pues
ahí tenemos el desarrollo y vemos cómo, cuando voy a calcular la derivada
usando la propia definición, pues introduzco el concepto de límite, como
la función es elevar al cuadrado pues eleva al cuadrado cada una de las
expresiones que aparecen de la función, y por último, una vez elevado a
cuadrados, pues simplifico los h correspondientemente, anulando el h del
denominador y del denominador, que están ahí en común, y directamente
nos quedan igualados. Bien, eso desde el punto de vista de cálculo pues es
simplemente un tipo de cálculo, el cálculo del límite. pero ¿qué
significa geométricamente la derivada? Bueno, la derivada como tal es
realmente la recta, o sea, la pendiente de la recta tangente a una gráfica
de una función f de x en un punto A. Esa sería un poco la definición. Es
decir, cuando yo tengo la función que aparece aquí en azul, que estamos
viendo aquí, en este caso, cuando yo tengo aquí esta función en azul
dibujada y yo quiero dirigirme a cuánto vale la derivada en un punto en
particular, lo que hago es trazar en ese punto la recta tangente. Es decir,
la única recta que solamente toca en ese punto y no puede tocar en ningún
otro punto de la propia curva. Entonces... Entonces, al trazar esa recta
tangente, pues, esa recta tendrá su pendiente. Normalmente, pues, lo que
hacemos es coger la recta, trazamos una horizontal en cualquier punto y
trazamos el ángulo de dicha recta. Bueno, pues, la tangente de ese ángulo
es la pendiente de la recta. Y esa tangente de ese ángulo es precisamente
la derivada de la función en dicho punto. Entonces, estamos viendo que
precisamente la derivada nos da información de cómo, por ejemplo, la
función crece, la función decrece, la función cae o la función se alza.
Es decir, que a la hora de subir y bajar, pues eso que hemos visto antes
como un límite nos da mucha información. Nos dice lo rápido o lo lento
que una función sube o baja. Tanto es así que cuando la función llega
abajo del todo, la recta tangente se pone horizontal y entonces su
pendiente, es decir, la tangente del ángulo cero, es cero. Es lo mínimo
que puede valer una pendiente. Vemos también que cuando la curva está
bajando, pues la pendiente es de un ángulo negativo, por tanto la tangente
es negativa. Es decir, que el propio signo de esa derivada nos va a decir
si la función está bajando, si la función está subiendo, o si la
función se encuentra en el fondo de un valle o en el pico de una montaña,
porque esos son los máximos y los mínimos. Y ahí la derivada va a valer
cero, según su definición como pendiente de la recta tangente. Bueno,
pues dicho esto, aquí podemos observar como la ecuación que teníamos
antes, x cuadrado, que aquí es la parábola que hemos dibujado como se
señala aquí, pues en el punto 1, tiene la ecuación que aparece aquí.
Esta es la ecuación de la recta tangente a la curva x cuadrado, a la
parábola, en el punto 1. Entonces ya podemos trazar su correspondiente
ecuación. Una vez que tenemos eso, pues decimos, bueno, habrá una
expresión general de la derivada, pues en vez de hacer el límite cuando
la función tiende a un valor determinado a, voy a hacerlo a cualquier x y
voy a ver si me sale una regla general. Entonces, podría hacer la primera
derivada, la segunda derivada o tanta cuanto sea necesario. Pues
efectivamente, las derivadas tienen fórmulas generales. Aquí podemos
observar, por ejemplo, pues la derivada de una constante pues vale cero. La
derivada de k por x, pues vale k. La derivada de una constante, pues vale
cero. La derivada de x elevado a una potencia, pues es la potencia por x
elevado a esa potencia menos uno. Entonces, empieza a haber ciertas reglas
que directamente podemos conocer sin necesidad de estar calculando
constantemente el límite. Aquí vemos que estas fórmulas que acabo de
deducir, pues pueden ser usadas, por ejemplo, para calcular la función en
ciertas expresiones, la derivada de ciertas funciones. Y una vez calculada
la derivada, sustituye en el punto 3, por ejemplo. Para calcular la
derivada en el punto 3, que es la pendiente de la recta tangente en el
punto 3 a la curva, pues serían estas que aparecen aquí. Dicho esto, pues
¿cuáles son las derivadas más conocidas? Vamos a ir enumerándolas.
Aquí podemos observar cómo tenemos, pues la derivada del cero es el
coseno, la derivada del coseno menos cero, la derivada de la tangente, uno
por cero. Uno partido de coseno cuadrado, del logaritmo, uno partido por x,
y de a elevado a x, pues el propio a elevado a x por el logaritmo de a.
Algunas operaciones de las que podemos hacer con las derivadas, pues, por
ejemplo, derivada de la suma es la suma de las derivadas. Derivada de una
función multiplicada por un escalar, el escalar sale fuera y solo se
deriva la función. Derivada de un producto es la derivada del primero, por
el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por el segundo,
derivado, ¿eh?, por la derivada del segundo, ¿verdad? O lo que suele
decirse más corto, derivada del primero por el segundo, más el primero
por la derivada del segundo. Sería la regla dicha de forma simplificada.
De esa manera, la derivada de un cociente, pues es la derivada del de
arriba por el de abajo menos la derivada del de abajo por el de arriba
partido el de abajo al cuadrado. O, formalmente, derivada del numerador por
el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el
numerador sin derivar dividido por el denominador cuadrado. Y, por último,
para componer funciones, pues cuando yo tengo varias funciones encadenadas,
f compuesto con g, pues su derivada será la derivada de f en g por la
derivada de g. Esa sería la idea. Dicho esto, aquí tenemos un ejemplo de
cada una de ellas. La derivada de la suma es la suma de las derivadas. La
derivada del producto por un escalar es el escalar sale fuera y solo se
deriva el seno, que es la derivada del seno sobre el coseno. Derivada de un
producto, derivada del primero por el segundo más el primero por la
derivada del segundo. Derivada de un cociente, derivo el numerador por el
denominador menos la derivada del, menos el numerador por la derivada del
denominador partido el denominador al cuadrado. Derivada de una
composición de funciones, la función cero con la función y cuadrada,
Otra derivadamente de composición de funciones, vemos que el seno de x
cuadrado su derivada es el coseno de x cuadgado por 2x, por la derivada del
x cuadrado. Y el coseno de x cubo es la derivada del coseno, que es menos
cero por la derivada de lo dentro que es 3x cuadrado. Otra縚oposición de
funciones, la tangente de x cuadrado pues derivada de la tangente uno
partido por el coseno por cuadrado de lo que había dentro por la derivada
de dentro, que es 2x. Otra composición más y una última composición.
Esa sería la idea de toda esta expresión. ¿Teoremas respecto a la
derivada? Pues fundamentalmente todos los teoremas hacen referencia a
crecimiento y decrecimiento y pendientes, que es lo que calcula bien la
derivada. Por ejemplo, ¿cuándo una función no es derivable? Pues una
función no es derivable cuando tiene picos. Decimos que cuando yo no puedo
dibujar suavemente una curva, por ejemplo, si una curva no es continua ya
no es derivable. Pero si es continua tampoco puede tener picos para ser
derivable. Entonces ahí he señalado el pico que estamos viendo en la
función valor absoluto. En ese punto, ¿qué le pasa? Que cambia
bruscamente la pendiente que viene por la derecha hacia la que va por la
izquierda. Entonces hay un cambio brusco de pendientes y por tanto no hay
una continuidad de la pendiente para que vaya suavemente hacia la otra.
Como no hay esa suavidad, por tanto decimos que en ese punto la función no
es derivable. Un teorema, por ejemplo, nos dice, evidentemente, si una
función es continua y derivable, y vale lo mismo en dos puntos, F A es
igual a F B, entonces, como vale lo mismo en dos puntos, esta situación la
estoy señalando aquí, y la función es continua, pues significa que en un
punto habrá pasado, por ejemplo, cuando está bajando, y en otro cuando
está subiendo o al revés. Lo que sí es seguro es que si por un punto ha
pasado subiendo y otro bajando o al revés, en medio hay un punto por donde
se produce el cambio de tendencia. Y si está bajando pasa a subir y si
está subiendo pasa a bajar. Por tanto, en ese punto hay una derivada igual
a cero. Hay un punto cuya pendiente de su tangente es nula. Es un ángulo
cero. Aquí tengo en la gráfica, que la acabo de señalar, pues un
ejemplo. Ese es el teorema del rol. Si la función va en lo mismo en dos
puntos, existe un punto intermedio donde la función se anula. La derivada
de la función se anula. Teorema de Lagrange. Bueno, este lo que nos viene
a decir es si yo tengo dos valores distintos en un punto A y en un punto B
y yo trazo la recta que pasa por esos dos puntos, pues, que es esa recta
violeta que ustedes están viendo en pantalla, pues seguro que hay algún
otro punto por medio donde la recta violeta se anula. La recta tonca-agente
tiene la misma pendiente que la que acabamos de trazar. La misma pendiente
que la violeta. Y eso, dicho desde el punto de vista del teorema, nos dice
que si una función es continua y derivable, existe siempre algún punto
por medio cuya derivada tiene la misma pendiente que la recta que pasa por
los extremos. Que es F de B menos F de A partido de B menos A. Eso es lo
que nos viene a decir el teorema de Lagrange. Repito, es un punto por
medio, pero no es el punto medio, ¿eh? Algún punto por medio cumple eso.
No tiene que ser justo el del centro. El teorema de Cauchy, pues nos viene
a decir la relación si dos funciones son continuas y derivables, pues la
relación que hay en cualquier punto donde la segunda no se anule su
derivada, pues la relación que hay entre las derivadas de una y otra en un
punto C intermedio. ¿No? Pues ahí tiene la... Siempre habrá un punto C
donde las derivadas valgan lo mismo que F de B menos F de A partido de G de
B menos F de A. Es una ecuación, bueno, una regla que puede ser
interesante en alguna ocasión. Esta sí es muy importante. Cuando yo tengo
un límite, estoy calculando un límite de una división y el límite me
da... Cero partido por cero o infinito partido por infinito. Entonces, para
poder calcular el límite de la división yo puedo sustituirlo por el
límite de la división de sus derivadas. Siempre que exista el límite de
la división de sus derivadas. Entonces, el límite me va a dar lo mismo
cuando por cero... Cero partido por cero. No puedo simplificarlo. O
infinito partido por infinito. No puedo o no sé cómo simplificarlo. Puedo
aplicar esta regla para tratar de calcular el límite de otra forma. Esa
sería la idea. Y este es un resultado muy útil porque muchos límites se
producen en la división y no sé cómo anular términos del numerador con
términos del denominador. Y, sin embargo, al derivar me salen expresiones
más sencillas. Vemos algún ejemplo. El límite del cero de X partido por
X. Cuando X es cero, X tiende a cero. Pues eso da cero de cero, que es cero
partido por cero. Como da cero partido por cero, pues puedo aplicar
L'Hôpital. Al aplicar L'Hôpital, vemos aquí que la derivada del cero es
coseno y la derivada del X es uno. Por tanto, coseno de cero es uno partido
por uno, uno. Pues el límite existe de esa división y ya no da cero
partido por cero, sino que el resultado es uno. Este límite, por ejemplo,
también, el límite del logaritmo de X partido por X, que es de ese tipo,
menos infinito partido por cero. Pues aquí, al hacer L'Hôpital, ahora sí
que me da un resultado. Un resultado, ¿no? Da infinito en ese sentido. Ya
no es una indeterminación como antes no pasaba. Bueno, pues aquí
terminamos lo que se refiere a derivadas y voy a dejar de grabar para ver
si hay alguna pregunta.