Bueno, ya está grabando. Recuerdo un poco lo que hemos visto en este
tema. Hemos empezado con el tema de los subespacios vectoriales. Ya
empezamos la última clase. ¿Qué son los subespacios vectoriales? Serán
subconjuntos que están dentro del espacio vectorial. ¿De acuerdo? Que ese
subconjunto por sí mismo tiene estructura de espacio vectorial. Es decir,
¿vale? Al hacer las operaciones básicas que tenemos de combinación de
vectores, es decir, la suma y el producto por escalares, no nos salimos de
ese subconjunto. ¿De acuerdo? Y luego vimos determinadas propiedades, como
el espacio vectorial tiene que contener siempre al elemento cero. ¿De
acuerdo? El subespacio vectorial, cualquier subespacio vectorial, contiene
al vector nulo. ¿De acuerdo? ¿Qué más? Vimos cómo nos podían dar
definidos los subespacios vectoriales. Nos los podían dar definidos como
generados por un conjunto de vectores o bien a través de determinadas
ecuaciones. Pueden ser ecuaciones, las ecuaciones implícitas o las
ecuaciones parámetricas. Las ecuaciones implícitas no son más que las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineal homogéneo en el que el
número de ecuaciones no son redundantes. ¿Vale? Es decir, son ecuaciones
linealmente independientes. ¿De acuerdo? Y luego también vimos una
propiedad que es en un espacio de dimensión... n con los elementos en el
cuerpo. ¿De acuerdo? Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineal
homogéneo es un subespacio vectorial. ¿Vale? Recordad, las soluciones de
un sistema de ecuaciones lineal homogéneo. ¿De acuerdo? ¿Vale? Hasta
ahí vimoslo. Bueno, ¿qué más vimos? Oye, pues cómo sacaban una base de
un subespacio vectorial. Si me lo dan definido con unas ecuaciones
implícitas, pues no es más que resolverlo y a partir de ahí sacamos una
base del subespacio vectorial. ¿De acuerdo? Si me lo dan definido generado
por un conjunto de vectores para sacar una base, no hay más que quedarme
con un conjunto de vectores ¿Vale? Que sea linealmente independiente.
¿Vale? El conjunto de vectores que lo generan pues lo tengo simplemente
con un número de vectores linealmente independiente. ¿De acuerdo? ¿Vale?
¿Qué nos queda por ver del tema? Pues nos quedan por ver tres tipos de
subespacios vectoriales, por los que se suele trabajar bastante y que os
pueden traer en los ejercicios. Que es el subespacio intersección, el
subespacio suma y el espacio cociente. ¿De acuerdo? Vamos a ver esos tres,
hacemos unos ejercicios y continuamos con el siguiente tema. ¿De acuerdo?
¿Os parece? ¿Os parece? Venga, volvamos. El subespacio intersección.
¿De acuerdo? Pues si tenemos m subespacios vectoriales de un espacio
vectorial v, ¿cómo se define la intersección de esos m espacios
vectoriales? Pues serán los vectores del espacio vectorial tales que el
vector pertenece a cada uno de los subespacios vectoriales. ¿Vale? O son
los elementos del espacio vectorial que pertenecen. A todos los subespacios
vectoriales. ¿Vale? Entonces, ¿por qué es un subespacio vectorial? Pues
bueno, lo primero es no vacío, porque al menos pertenece, contiene al
vector nulo, porque el nulo siempre pertenece a algún subespacio
vectorial. ¿De acuerdo? ¿Qué más? Es cerrada para la suma y el producto
por escalares, ya que lo es en cada uno de los subespacios. Entonces los
vectores que pertenecen a todos los subespacios, pues los serán también.
Para la intersección. ¿Vale? ¿Qué más? Este subespacio vectorial es el
mayor subespacio, ¿vale? Que está contenido en todos los subespacios a la
vez. ¿Vale? En todos los m subespacios a la vez. ¿De acuerdo? ¿Cómo
definiremos el subespacio de intersección si tenemos definidos los
subespacios como en ecuaciones implícitas? Pues básicamente juntamos
todas las ecuaciones implícitas de todos los subespacios vectoriales. ¿De
acuerdo? Y si quitamos las ecuaciones redundantes, obtendremos las
ecuaciones implícitas del subespacio intersección. ¿O? ¿No? ¿De
acuerdo? Pues el punto es la suma de la función de una matriz, o PES. Eso
es. Hasta que se va a los IES y SES. Claro, tú tienes un subespacio
vectorial definido por unas ecuaciones, otro subespacio vectorial definido
por otras ecuaciones. ¿Cuál es el subespacio vectorial? Eso es lo que
pasa al llegar a la intersección a partir de las implícitas de los otros.
Eso es. Los vectores que cumplan todas las ecuaciones, esos vectores
pertenecen al espacio de intersección porque cumplen tanto los de uno como
los de otro. Este es un ejemplo de dos subespacios, simplemente dos
subespacios. Uno con unas ecuaciones implícitas y otro con otro. Pues se
cuentan las ecuaciones implícitas, esos vectores están en la
intersección. ¿Por qué? Porque cumplen tanto unas ecuaciones como tanto
las otras. ¿Punto? ¿Vale no? Sencillito. Vale, pues una proposición.
Tenemos un espacio vectorial v, dimensión n, y u, un subespacio vectorial
de v de dimensión k. ¿De acuerdo? Entonces, ese subespacio vectorial u es
la intersección de n-k hiperplanos de v. ¿Por qué? Subespacio vectorial.
¿De qué se refiere? Subespacio vectorial. ¿De qué se refiere? ¿Ideas?
De n-k hiperplanos de v. ¿Qué era un hiperplano? ¿Por algo o no? Es un
subespacio. ¿Subespacio? Que tiene n-1. Es que tiene una dimensión menos
del espacio en el que estamos trabajando. Tiene una dimensión menos.
¿Vale? O sea, los hiperplanos tienen dimensión n-1. Entonces, estás
trabajando en un espacio de dimensión n, ¿vale? Cualquier subespacio que
tiene una dimensión menos, es decir, n-1. Se define como un hiperplano.
Eso es un hiperplano. ¿De acuerdo? ¿Vale? Y ahora, recordad cuántas
ecuaciones implícitas tiene un subespacio. O sea, si tenemos un subespacio
de dimensión k, ¿cuántas ecuaciones implícitas tenemos? ¿Cuántas
ecuaciones? O sea, estamos trabajando en un espacio vectorial de dimensión
n, y tenemos un subespacio de dimensión k. ¿Vale? ¿Cuántas ecuaciones
implícitas necesitamos para definir ese subespacio? n-k. ¿Vale? Pues
aquí justo lo que nos están diciendo es n-k hiperplanos. ¿Vale?
Entonces, necesitamos n-k, ecuaciones implícitas, ¿vale? Una ecuación
implícita que me define. ¿Vale? Un hiperplano. Un hiperplano. Pues ya
está. ¿Vale? Como tenemos n menos que ecuaciones, pues hoy estoy juntando
n menos que ecuaciones y cada ecuación es un hiperplano. ¿Y qué vamos a
hacer? Un subespacio de dimensión k es la intersección de k hiperplano.
Ya está. Punto. Entonces, ¿qué es lo que vamos a juntar al sistema? Eso
es. ¿Vale? Entonces, cualquier subespacio de dimensión k es una
intersección de n menos k hiperplano. ¿Vale? ¿No es un subespacio de
estrellas? No. Bueno, no sé si es el mismo o uno lo contiene a otro.
¿Vale? Determinados que eso sí. ¿Vale? Pero en general no. Si uno lo
contiene a otro, pues ahí es que la unión es el grande. ¿Vale? Bueno,
pero eso. Un ejemplo de cualquier subespacio es que no sea subespacio de
estrellas. O sea, un ejemplo, ponedme un ejemplo. Es lo que decimos ahora.
Ponedme un ejemplo. Un ejemplo. ¿De por qué la unión no es un subespacio
de estrellas? Porque la unión no es... La unión sabemos lo que es, ¿no?
La unión de dos subconjuntos. O bien estoy en un elemento, o bien estoy en
un conjunto, o bien estoy en el otro. ¿Vale? Entonces, pues por ejemplo,
nos imaginamos que estamos en R3, que es cuando el vectorial... Y un vector
así, y haciendo operaciones, pues acá... Te sales de la unión, te sales
de la unión, porque si te sales de la unión, la operación es cerrada.
Punto. ¿Vale? Entonces, imaginaos que estamos en R3, en el espacio, que te
coges el plano del suelo... Imaginamos que ese es el cero, ¿vale? Esa
esquina de ahí. ¿Vale? Ese es el vector cero. Te coges el plano del suelo
y esa recta, esos son dos subespacios, ¿no? Una dimensión dos, otra
dimensión uno. ¿Vale? Vectores aquí o vectores ahí. Es lo mismo. Ahora,
¿quién? Si yo opero un vector del plano y otro de ahí, me salgo de esa
unión. ¿Vale? La unión sería plano recta. ¿Vale? Si yo opero con esos
vectores, genero otro espacio y eso no es la unión que hemos definido.
¿Vale? No es una operación cerrada. ¿Vale? ¿De acuerdo? Se entiende,
¿no? La unión no es subespacio. ¿Vale? Subespacio suma. ¿De acuerdo?
Tenemos ahora a través M subespacios vectoriales, ¿vale? De un espacio
vectorial en el que estamos trabajando. ¿Cómo se define la suma? Pues
oye, lo que hago es sumar vectores cada uno de un subespacio vectorial.
¿De acuerdo? Este conjunto es subespacio vectorial. ¿Vale? ¿Cómo? Pues
simplemente, oye, se demuestra. Me cojo dos elementos en este conjunto que
he definido y hago la combinación lineal, que es lo que tiene aquí.
¿Vale? Haces la combinación lineal y observas que no te sales de este
conjunto que hemos definido. ¿Vale? Es decir, me cojo un elemento aquí,
otro aquí. ¿Vale? Dos vectores del conjunto que hemos definido. ¿Vale?
Entonces, para cualquier combinación lineal de ellas, ¿qué es lo que
ocurre? Pues ocurre esto, ¿no? Que al final todo esto sigue perteneciendo.
Sigue perteneciendo al conjunto. ¿De acuerdo? ¿Vale? Por la definición
de lo que tiene el cumplir un subespacio vectorial. ¿De acuerdo?
¿Recordáis, no? Cómo se demuestra un conjunto de subespacio vectorial,
¿no? Lo único que hay que comprobar es que una combinación lineal de
cualquier elemento del subconjunto sigue perteneciendo al subconjunto. ¿De
acuerdo? ¿Vale? Es decir, que la combinación lineal es una operación
cerrada en ese subconjunto. ¿Vale? ¿Qué más? Pues si la
intersección... Si la intersección era el mayor subespacio vectorial
contenido en todos ellos, la suma es el menor subespacio vectorial que
contiene a todos ellos. ¿Vale? ¿De acuerdo? Es decir, que la suma, como
hablábamos antes, es el subespacio vectorial generado por la unión de
todos los subespacios. ¿Vale? La unión, no el subespacio vectorial. Pero
el subespacio que generan es lo que hemos definido como la suma. ¿Vale?
¿De acuerdo? O sea, la unión no es un espacio vectorial. No es un espacio
vectorial. Pero la suma es un espacio vectorial que además es fuera de la
unión. No. A lo que genera el subconjunto de unión, o los vectores de la
unión. Ah, vale. ¿Vale? ¿Sí? Vale. en el caso que estábamos ante
estamos diciendo antes que piensa es bien simple vale estamos en r3 ahí
está el tercero la recta es ahí está el plano del sol bueno hemos visto
que la unión por sí sola no es su espacio la suma si me cojo un vector de
aquí otro del otro del plano lo sumó y luego les mudé de ahí eso no
está generando esas combinaciones líneas que puedo hacer con todos los
elementos de planos y todos los segmentos de la recta me estaría generando
vale y en el agua por eso me genera todo r3 la suma la suma del plano del
suelo y es la recta la suma sería el subespacio vectorial r3 la suma no la
unión la unión si no y lo que es lo que llamamos suma directa pues el
subespacio vectorial suma será suma directa vale si cada vector de ese
espacio vectorial se escribe de manera única como suma como suma de los
elementos d de los subespacios en el ejemplo que estamos diciendo sería
suma directa eso es porque cualquier vector de r3 vale que sería la suma
se escribe de una única manera como un vector de la lista y un vector del
plan no hay otra manera sólo se puede decir que una única mañana pero si
asuma y acuérdate no está suma directa ¿de acuerdo? no está suma
directa pues por ejemplo en este caso imagínate que te ponen pues no sé
dos rectas esa recta de ahí y otra ¿vale? ¿de acuerdo? ¿Vale? Entonces,
teorema importante, ¿vale? Un subespacio suma es suma directa si la
intersección de cada uno de los subespacios vectoriales con la suma
directa del resto, sin contar ellos, es el vector cero. ¿Vale? ¿Vale? O,
eso, para obtener el vector cero, la única manera que tengo yo de
generarlo es con todos los vectores de cada uno de los subespacios
convertirlos en el cero. ¿De acuerdo? ¿Vale? ¿Sí? ¿Entendido la suma
directa? Vale. Y luego nos quedaría ver lo que son subespacios, bueno,
sublimentares, más adelante. ¿Vale? Luego, sí. Tenemos, ¿vale? B sub i
bases de cada uno de los subespacios vectoriales. ¿Vale? ¿Qué es lo que
ocurre? Pues que la unión de las bases es un sistema generador no base,
¿eh? Es un sistema generador de subespacio suma. Y el subespacio suma es
suma directa, ¿vale? Es la suma directa, sí, eso lo sí. La dimensión
del espacio suma es la suma de la dimensión de cada uno de los
subespacios. ¿De acuerdo? ¿Vale? Luego, ¿qué son subespacios
suplementarios? Pues dos subespacios serán suplementarios y son suma
directa y además generan todo el espacio vectorial en el que se está
trabajando. ¿Vale? En este caso, el plano de suelo y la recta o crista esa
vertical, ¿vale? Son subespacios suplementarios. ¿De acuerdo? Son suma
directa y generan todo el espacio en el que estamos trabajando. ¿De
acuerdo? ¿Vale? Y luego, si tenemos un espacio vectorial, ¿vale? Si
tenemos dos conjuntos disjuntos, ¿vale? Y linealmente independientes en un
espacio vectorial, entonces la unión, ¿vale? Es una base del subespacio
vectorial que estamos trabajando. Sí y solo sí, los subespacios que
generan son subespacios suplementarios. ¿De acuerdo? Dos conjuntos de
vectores. ¿Vale? Que si intersección es nula, digamos, y son
independientes, ¿vale? ¿De acuerdo? La unión será una base, pues sí,
sólo sí, los subespaces que generan son suplementarios. ¿De acuerdo?
¿Se entiende eso, no? Pues es sencillo, ¿no? Entenderla. Esa
proposición. ¿Sí? ¿Vale? Vale. Y luego la fórmula de Grassman,
importante, dos subespacios vectoriales, ¿de acuerdo? Pues la dimensión
del subespacio suma es la dimensión de uno más la dimensión de otro
menos la dimensión de la intersección. ¿Vale? El subespacio
intersección. ¿Perdón? No te he oído nada. Eso es. Claro. Eso es aquí.
Un espacio unión, dos dimensiones. Eso es. Y también, no sé si sabréis
la probabilidad, o esto que es ahí donde sólo estáis. Venga, pues lo
mismo con la probabilidad de los conjuntos, la probabilidad de la unión.
¿Vale? Básicamente, pues sí. Lo mismo. ¿Vale? Vale, pues venga. Un poco
de... Vamos a hacer un ejercicio de esto, de los subespacios. Un espacio
sin intersección, la unión. Y pasamos a lo siguiente. ¿Vale? Venga,
ejercicio. Os dejo un ratito para hacerlo y ahora lo hago yo. ¿De acuerdo?
Ahora vamos a trabajar con el espacio vectorial de los polinomios de grado
3 con coeficientes números reales. ¿De acuerdo? Entonces tenemos esos
cuatro vectores. ¿De acuerdo? Entonces nos dicen que el subespacio u es el
generado por los dos primos. Y el w el generado por los dos últimos. ¿De
acuerdo? Entonces nos dicen, oye, u y w o el subespacio suma es suma
directa. ¿Vale? ... lo más rápido vamos a hacerlo por varios métodos es
una directa por ejemplo podemos utilizar simplemente que si la
intersección la dimensión de la intersección es cero ¿no? vale entonces
habría que sacar cuál es el subespacio intersección por ejemplo es una
manera de hacer eso es habría que sacar las ecuaciones infinitas de este
las infinitas de este unirlo y mirar qué subespacio es ¿vale?
intersección es una manera de hacerlo otra manera de hacerlo ¿vale?
podría ser con la fórmula de las manos ¿vale? habría que sacar cuánto
vale este qué dimensión es esta y qué dimensión es esa especialmente
¿vale? creo que lo hagamos varios métodos y practicamos venga porque creo
que este es no o sea es fácil para quién venga pues lo hago por un par de
métodos ¿de acuerdo? me voy aquí a la pizarra a ver Dios mío esto es
más difícil que ir aquí vale recordar R3 esto este conjunto ¿vale? son
los A sub cero más A sub 1x más A sub 2 x al cuadrado más A sub 3 x al
cubo tal que los A sub i son números reales para todo i ¿vale? desde 0
hasta 3 ¿vale? polinomios básicamente ¿de acuerdo? ¿vale? pues la base
más básica ¿vale? es la base más básica pues sería el 1 a x ¿vale? x
al cuadrado y y x al cubo si no gusta trabajar con esto podéis trabajar
perfectamente pues con cómo se puede ser el 4 el 1 0 0 0 esto estaría
así asignando pues eso esto imagínate que son las coordenadas de los unos
de los equis pero 6 al cuadrado y luego podría trabajar con el 0 1 0 0
este hemos dicho que era el 1 este sería el x 0 0 1 0 sería el x al
cuadrado y el 0 0 0 1 quizá cujo bueno esto cuando lo miramos en las
aplicaciones lineales veremos que sus espacios son isomorfo por lo que
veremos lo que son isomorfos lineales al final para demostrar cualquier
cosa te da igual trabajar con un espacio o con otro siempre cuando sea en
el mundo porque cumplen las mismas propiedades bueno si no queréis
trabajar con esto pues básicamente pensáis que está trabajando con el
rey 4 que la primera coordenada son los términos independientes la segunda
coordenada a las x la tercera coordenadas x al cuadrado y la cuarta
coordenada los x al cubo de acuerdo porque con esto con eso está claro que
puedes generar cualquier una combinación lineal de estos cuatro vectores
generas cualquier cualquier cualquier polinomio con una combinación lineal
de esto no siete veces uno más ocho veces otro más media vez otro más
otra vez en otro con eso generas todos los polinomios de grado 3 con
coeficientes reales y con esto también vale con estos cuatro vectores
generas todos los cuadros vale de acuerdo sí entonces qué es lo que no
tenemos mira si el espacio nos dicen que el espacio hubo perdón vamos a
poner aquí los polinomios que nos dan ahora nos daban el primer polinomio
este 2 más 3 x al cuadrado más 3 x al cubo este lo podríamos asociar con
que vector 2, 1, 3, 3, ¿no? Luego me va a dar el P2 que era el menos 1
menos 2x al cuadrado menos 2x al cubo. ¿Sí? Esas coordenadas tienen menos
1, 0 menos 2 menos 2. El P3 que era el 3 menos 4x al cuadrado más x al
cubo. ¿Vale? Pues este es el 3, 0 menos 4, 1. Y el último polinomio que
es el menos 2 más x más 5x al cuadrado. Es decir, el 2, 1 5, 0. ¿Vale? Y
nos decían, oye, este es el subespacio U que está generado por esos dos
primeros vectores y este el W que es el generado por el 3 y el 4. ¿Verdad?
Vale, lo que nos están preguntando oye, ¿el subespacio suma directa? Una
manera de hacerlo es oye, pues vamos a mirar si el subespacio intersección
es el vector nulo. Para el subespacio intersección ¿vale? Para saber
cuál es el subespacio intersección tenemos que combinar las ecuaciones
implícitas de esos dos subespacios. ¿De acuerdo? ¿Cuáles son las
ecuaciones implícitas de esos dos subespacios? ¿Cómo las sacábamos?
¿Vale? Vamos a practicar un poco todo el tema. ¿Con él? ¿Con un vector
genérico x1 y qué tenemos que hacer? Pues igual a el rango de, de la
matriz de los vectores Claro, eso es, estos dos vectores son linealmente
independientes. Sí, ¿no? Porque aquí tenemos, pues puedes encontrar una
suma matriz de orden 2 con determinada distinción. ¿Vale? Son linealmente
independientes. Esto tiene dimensión 2. ¿No? Vale, entonces si tiene
dimensión 2 ¿cuántas ecuaciones implícitas necesitamos en un espacio de
dimensión 4? 2, vale, entonces coges el vector ese genérico y dices con
ese vector genérico genero dos ecuaciones, ¿no? o busco dos determinantes
que sean independientes que sean igual a 2, ¿no? pues hacemos eso, ¿vale?
o luego estaba también ¿vale? será una opción y luego miramos otra no
sé si os acordáis que era, oye me conjo el 2, 1, 3, 3, el menos 1, 0
menos 2, menos 2 y aquí me pongo el x1, x2, x3 y x4 y hago gauss, ¿no?
¿qué es lo que tiene que pasar? que esto tenga rango 2 lo que hemos
dicho, ¿no? porque tiene dimensión 2, ¿de acuerdo? entonces si yo hago
gauss por aquí ¿de acuerdo? esto me lo dejo escalonado esto me quedará
con ceros y las ecuaciones que me queden aquí las tengo que igualar a 0
para que esta matriz tenga rango 2, ¿no? ¿vale? es exactamente lo mismo
que hemos dicho de los determinantes pero haciéndolo con gauss ¿de
acuerdo? ¿vale? entonces por gauss, pues eso, con este 1 pues hacemos 0
ahí, 0 aquí, por ejemplo, y 0 ahí ¿de acuerdo? entonces con el 1, 0, x2
que hacemos ahí dos veces la segunda fila y se la resto a la primera,
¿no? entonces 2 menos 2, 0 menos 1 ¿y aquí qué me queda? x1 menos 2, x2
¿vale? ahora hago ceros aquí, ¿vale? entonces aquí me queda 0 aquí
menos 2 y aquí x3 menos 3, x2 ¿no? y ahora como estoy viendo si la verdad
que podría haberlo hecho esto, si un poco esta la podría haber hecho al
revés, ¿no? si no, o es que lo he copiado mal, ¿está bien? si no, esto
0, 0 0, 0 y aquí pongo x4 menos x3, ¿no? ¿está bien así? ¿si no?
¿vale? pero si lo tengo ahí luego le da 1, 2, 3, 4 bueno, haciéndolo es
como ¿vale? creo que no ¿no? porque se la quito primero y luego lo
detrás de la 3 no, no tiene ningún problema ¿vale? es como si primero a
la 4 le quita la 3 y luego a la 3 le quitas la 2, no hay problema ¿vale?
¿vale? y ahora solo nos faltaría este menos 2 de aquí ¿no? ¿vale? para
dejarlo con este menos 1 pues lo hacemos ¿vale? entonces en el siguiente
paso ya lo tendríamos ¿no? tendríamos aquí el 0 menos 1 x1 menos 2x2 el
1, 0, x2 y aquí que nos quedaría lo que vamos a hacer es a esta le
restamos dos veces esa ¿no? ¿vale? entonces nos queda x3 menos 3x2 y
ahora menos 2x1 ¿no? menos 2x1 más 4x2 más 4x2 ¿no? y eso se me queda
x4 menos 3 ¿de acuerdo? entonces para que esto tenga rango 2 esto de aquí
tiene que ser 0 esas son las dos ecuaciones infinitas ¿vale? ahí sacamos
las dos ecuaciones infinitas ¿es más rápido esto o es normalmente esto?
igual, entre eso y calcular los determinantes no creo que haya mucha
diferencia la verdad ¿vale? entonces este es el u ¿no? que es el generado
por p1, p2 ¿y qué ecuaciones implícitas tiene? pues en las ecuaciones
implícitas aquí tenemos menos menos 2x1 esto es un x1 ¿no? vale entonces
si lo dejamos con 2x1 ahora 4x2 menos 3x2 sería menos x2 ¿no? pero eso
pasa luego empieza ¿no? o si no menos x 3 igual a cero no y esto me
quedaría x 3 menos x 4 vale ecuaciones implícitas exactamente lo mismo 4
y hacemos lo mismo nos ponemos por vectores entonces sería el 30 menos 41
20 y x 1 2 x 3 entonces haciéndolo por gauss vale vamos a coger ese 1 y
hacer cero aquí y cero ahí vale si entonces el 1 es 0 x 4 aquí hacemos
un 0 nos queda ahí un 5 y aquí nos queda x 3 más 4 x 4 y esto nos queda
un 0 un 1 aquí un x 2 y para convertir eso en un 0 nos queda aquí un x 1
menos 3 x 4 ¿verdad? ¿está ahí todo bien? vale y lo único que podemos
hacer ahora es ponerlo con este 1 por ejemplo pues tenemos 0 ahí y 0 allá
¿os gusta esa opción? vale entonces nos queda este ese nos queda igual y
ahora aquí tendríamos que hacer 0 0 y aquí nos queda x 3 más 4 x 1 x 2
4 menos 5 x 2 y aquí este nos queda igual el x 2 y aquí un 0 0 X1 menos
3X4, y aquí lo que hemos hecho es sumar 2X2. ¿Sí? ¿Estamos todos de
acuerdo en eso? Vale, entonces las ecuaciones que nos han quedado aquí, es
coger esa y volarla a cero, y esta y volarla a cero, ¿no? ¿Sí? Entonces
escribiendo las enormes, sería la primera es X1 más 2X2 menos 3X4, ¿no?
Y volaba a cero. Y la otra es 5X2 menos 4X4, vale, soy inespabilado. Lo
quería escribir todo bien y lo estoy haciendo mal, ¿no? Esto es un menos
3X4. Voy a dejar bonito. Estoy dando peor tanto. Este es un menos 4X4,
¿no? X0. Sí, este de aquí, ¿no? Menos X3, ¿no? ¿Sí? Esas son las
ecuaciones, ¿vale? De U y W. Vale, entonces la intersección será lo
generado por las cuatro ecuaciones infinitas, ¿vale? La X1 más 2X2 menos
3X4, igual a cero. La 5X2 menos X3. X3 menos 4X4. Y las otras las habéis
copiado, ¿no? Vale. 2X1 menos X2 menos X3. Y X3 menos X4. ¿Vale?
Juntarlas todas. Vale, porque la intersección tiene que cumplir las
ecuaciones infinitas. Las de un espacio vectorial y las de otro. ¿Vale?
¿De acuerdo? ¿Vale? Entonces, ¿cómo resolvíamos esto? ¿Cómo sacamos
una base? ¿Cómo sabemos la dimensión de este subespacio vectorial? Pues
lo que hacíamos, ¿cómo sacamos la dimensión de una base? Por ejemplo,
si sacas una base, ¿vale? Elementos que pertenezcan a la intersección. Y
bueno, eso ya sabéis, la dimensión. simplemente resolverlo se resuelve el
sistema y de ahí sacamos lo que hace es paramétricas ¿vale? ¿sí o no?
¿vale? para resolverlo pues eso se puede hacer por ¿vale? ¿sí? ¿vale?
entonces, bueno, las colocamos así un poquito para hacerlo más o menos
rápido ahora me pongo esas ahí 1, 2 1, 2, 0 y el menos 3, ¿no? luego
vamos a poner el 2 menos 1, menos 1 menos 0, no pongo los ceros porque
estamos resolviendo el sistema con el mismo genio los ceros me la van a
sacar ¿vale? y luego podemos poner los 5 el 0, el 5 el menos 1 y el menos
4 y la última pues ponemos aquí el 0, 0 1, menos 1 ¿vale? y haciéndolo
por dos, ¿no? la primera la hacemos igual, 1, 2, 0, menos 3 para hacer
ahí ese 0 pues 2, menos 2, 0 menos 1, menos 4 ¿vale? un par de más
¿sí? lo estoy haciendo yo solo, cabrones a ver, ¿qué estamos haciendo?
estamos haciendo el resolvimiento del sistema venga pues venga, a ver,
¿qué pongo aquí? a ver, estoy haciendo ¿quién está? ¿cuál es el
sistema? ah, sí con el pivot estoy haciendo ahí un 0 tienes que poner,
bueno, menos 5 menos 5, ¿vale? menos 5, menos 1 menos 1 y más 6 más 6,
más 6 y 6, ¿no? 6 vale ahora 0 5, menos 1 vamos a hacerlo despacito,
¿vale? menos 4 ojo vale, ahí os veo eso es lo que quiero atento que no
que no lo haga yo solo venga Seguimos, ¿vale? Ahora, ¿qué hacemos aquí?
Pues aquí un cero o aquí un cero, da igual, ¿vale? Hay un cerito,
¿vale? ¿No? Ese 5, sumamos, 1, 2, 0, menos 3, 0, menos 5, menos 1, 6, y
ahora entonces aquí hacemos 0, 0, estamos sumando eso, ¿ves? Entonces,
menos 2 y 2, ¿no? Y aquí 0, 0, 1, menos 1. Entonces ya, eso es, entonces
aquí ya vemos que sobra 1. Entonces aquí de primera idea, ¿qué
conclusión sacamos? ¿Qué conclusión sacamos? ¿Cómo sacaría aquí?
Vamos a ver la conclusión de que la dimensión del espacio, del espacio
interseccional es menor que las sumas, que las sumas de las dimensiones.
No, dime directamente la dimensión de la intersección. No, si tenemos 3
ecuaciones implícitas. Ah, 1, no. 1, ¿vale? 1. Vale, lo que nos está
diciendo es, oye, aquí te sobra una ecuación, aquí te sobra 1. Esto no
son ecuaciones implícitas, ¿vale? Son, me están dando el subespacio
definido como las soluciones de un sistema de ecuaciones lineal
homogéneos. Pero esto no son implícitas porque hay una redundancia,
¿vale? ¿De acuerdo? Si no estaríamos diciendo, oye, tengo 4 ecuaciones.
Si no estaríamos diciendo, oye, tengo 4 ecuaciones implícitas, esto tiene
dimensión 0. ¿Vale? Porque esto tiene un espacio de dimensión 4. Es
así, porque hay una que me sobra. ¿Vale? Entonces una vez hemos llegado
aquí, pues lo que podemos decir es, pues eso, se escribe, ¿no? En el
examen, pues eso, se escribe un poquito. Esto tiene 3 ecuaciones
implícitas. ¿De acuerdo? Entonces la dimensión de u intersección w, 1.
¿Cómo sacaríamos una base? Resolver. Resolver el sistema, ¿vale? Lo
suyo es resolver uno sencillito, este. ¿Vale? Cuando lo tienes así, ¿no?
Resuelves el x1 más 2x2 menos 3x4 igual a 0. ¿Vale? El menos 5x2 menos x3
más 6x4 igual a 0 y x3 igual a 4. este, resolvemos ese ¿vale? voy a
borrar eso de ahí abajo porque se me va a entrar ese de ahí lo resuelve
que ya es escalonado entonces dices, oye el x4 que valga lo que le salga a
los pies, ¿no? entonces ¿cuánto vale el x3? ¿vale? esta ecuación estas
incógnitas que no son pivotes es la que llamáis, o que en el libro llaman
secundarias ¿vale? y es la que le das un valor paramétrico ¿no? entonces
aquí dirías oye pues, ¿cuánto vale el x4, x3 x2 y x1 ¿no? oye pues x4
va a valer alfa, por ejemplo beta o gamma lo que te salga ¿el qué? ¿yo
psicópata? alfa eso es alfa bueno, oye tú lo de la omnicron, ¿sabes
cuál es? ¿cómo? la omnicron, ¿sabes cuál es? ¿omnicron? la o macho,
la o griega la omnicron es la una variante del virus ¿no? es una beta
griega ¿y la o griega? claro, alfa, beta, gamma, vamos por la omnicron
¿vale? vamos por la omnicron alfa, beta, gamma, la delta, la delta fue muy
jodida la omnicron también, así hasta que se nos acabe el abastelario, no
sabemos hasta cuántas variantes vamos a tener luego irán a las
mayúsculas griegas alfa, beta, gamma, pues lo lógico es empezar por la
primera, alfa mi idea, pero bueno venga, a ver a ver alfa, entonces x3
¿cuánto vale también? alfa, ¿vale? x3 vale lo mismo y ahora esos dos
valores, ya los tenemos, los metemos en esta ¿no? entonces esto que me
está diciendo si estos serían menos no, 5 alfas 5 alfas, entonces oye si
5 alfas son menos 5 x al cuadrado, esto también vale alfa ¿no? más claro
que el agua el x2, ahora si estas 3 perdón, si estas 2 valen alfa la x1
también pues va ¿vale? entonces una base ¿vale? ¿Una base del espacio
intersección? 1, 1, 1. Eso es, ¿vale? Pues eso, ahí, 1, 1, 1, 1.
Precisamente el que habíamos escrito aquí, ¿vale? Pues eso, 1 más x al
cuadrado, 1 más x más x al cuadrado más x al cubo, ¿vale? Como ya si lo
queréis pasar, oye, pues el polinomio que me genera este espacio
intersección es el... El 1 más x, más x al cuadrado, más x al cubo.
¿Vale? Entonces, ¿el subespacio suma es suma directa? No, porque la
intersección no es el vector cero, es decir, tiene dimensión 1, sino que
tiene dimensión 0. Es decir, porque estas cuatro ecuaciones me dicen
salido linealmente independientes. Y las cuatro ecuaciones me salen
linealmente independientes. Por eso yo digo, oye, esto me está generando
el subespacio cero. ¿Vale? ¿Por qué? Porque es un esquema de ecuaciones
lineal homogéneo en el que tengo cuatro ecuaciones lineales. ¿Vale? Luego
esto lo llevo a... ¿De acuerdo? Esto es resolver un problema, un
ejercicio, ¿vale? Vamos a hacerlo... El segundo apartado que... El segundo
apartado era para la dimensión, puede ser. Pero bueno, vamos a hacerlo de
otra manera, ¿vale? Calcula la dimensión. ¿Vale? Otro método más
sencillo y más rápido, ¿vale? Que... ¿Vale? Con la ecuación de
Grasman. Esto, ¿vale? Aplicando esto de aquí. ¿De acuerdo? Ahí está.
¿Vale? A ver, la ecuación de Grasman. La ecuación de Grasman. Pues eso.
Ya sabéis, ¿no? La dimensión de su espacio suma. ¿Vale? Es la
dimensión del primero. A la del segundo. Menos... La dimensión... ... de
la intersección, ¿vale? Entonces, dimensión de esto de U ya hemos visto,
¿vale? Ya habíamos visto antes que estos dos vectores son linealmente
independientes, ¿de acuerdo? La dimensión de estos dos también ¿de
acuerdo? Entonces esto es 2, 2 Esto, ¿cómo lo sacamos? ¿Cómo sacamos la
dimensión de la suma? La suma es lo que nos genera una base de este y una
base de este Recojo los 4 vectores que me dan y miro cuántos hay
linealmente independientes. Los 4 El P1, el P2, el P3 y el P4, ¿no? Vamos
a ver, sabemos que aquí tenemos dos vectores linealmente independientes
que son los que nos han dado Los dos polinomios que nos han dado. Aquí
tenemos los dos, ¿vale? Para saber la dimensión de esto, recojo los 4
vectores y miro el rango que tiene esa matriz, ¿vale? ¿De acuerdo?
Entonces Estamos viendo que tiene dimensión 1, ¿vale? Pero en vez de
calcular esto que es lo que hemos hecho antes, antes hemos calculado Vamos
a calcular ahora esto ¿Vale? Vamos a hacerlo de otra manera ¿De acuerdo?
Vale, entonces Eso, el subespacio U más V más W será el género de la
dimensión generado por el P1, P2, P3 y P4 ¿Vale? Es decir que la
dimensión de U más W es igual al rango de la matriz, cuando la ponemos
así, ¿no? De P1, P2, P3 y P4 ¿De acuerdo? Entonces, pues eso Vamos a
poner los vectores que son los que nos han dado la dimensión el menos 1, 0
menos 2 menos 2 será el P2 ¿Vale? El 2, 1 3, 3 será el P1 El 3, 0, 4, 1,
que es el tercer polinomio, menos 4, y el menos 2, 1, 0, 5, que es el 5, 0,
que es el polinomio 4. ¿De acuerdo? Hacemos gauss, ¿de acuerdo? Y
calculamos el rango de esta matriz. ¿Vale? Y de paso, cuando ponemos esto,
pues vamos a poner la combinación lineal, ¿vale? Si esto tiene rango 3 o
rango 2, que combinaciones lineales, ¿vale? Me dará el vector 1, ¿de
acuerdo? Dentro del conjunto de vectores. Vale, pues bueno, con ese menos
1, por ejemplo, podemos hacer ceros por aquí debajo, ¿no? De una manera,
¿no? Con el menos 1, 0, menos 2, menos 2, con el primer vector, hacemos 0
por debajo. ¿Vale? Entonces, para hacer aquí un 0... 0, multiplicamos por
2 y sumamos, ¿no? Menos 1 y menos 1. Y entonces aquí lo que hemos hecho
es el P2... Este es el P1, ¿no? Ah, este lo he puesto mal. Vale, vale,
vale. Eso es. Sí, sí, sí, sí. Entonces, esto es lo que está mal. Este
es el P2 más P1 más P2. Este es el P2... Este es el P2 y este es el P1
más 2 ceros. Más 2 ceros. Muy bien. Aquí hacemos un 0, aquí un 0 y
aquí nos queda menos 4... Menos 6, ¿no? Menos 10, ¿sí? Menos 10 de
aquí. Y aquí 1 menos 6, ¿no? 1 menos 6 menos 5. Y aquí nos queda que
esto es el P3... Más 3 P2, ¿vale? ¿Sí? Y ahora por aquí hacemos un 0.
Luego por menos 2... O por 2, yo lo restamos, ¿no? Entonces 0, 0... Aquí
sería 1, ¿no? 1. ¿Sí? ¿O no? 1. 9 y 4 y aquí lo que hemos hecho es p4
menos 2p2 menos 2 por menos 2 4 más 3 menos 2 por menos 2, 4 y mando abajo
si, esto se hace se ve mal se ve un poco mal vale, entonces más pasos pues
eso, con ese 1 aquí por ejemplo, y parece que menos 1, 0, menos 2 menos 2,
ese es el p2 el 0 1, menos 1, menos 1 esto sería p1 más 2p2 este lo
dejamos igual 0, 0, menos 10 y menos 5 y tenemos que decir que este es el
p3 más 3p2 y aquí 0 10 5 y lo que hemos hecho es p4 menos 2p2 le hemos
restado p1 menos 2p2 no lo sabíamos no lo sabíamos, eh vale venga, y en
el último paso vale, o sea, lo único que queremos básicamente es este de
aquí, vale ya esto nos queda todo ceros me he pasado de ceros incluso
bueno, esa es la pregunta vale, el caso es que nos quedan aquí y que nos
quedan, vale el caso es ese vale, entonces lo único que nos quedaría es
sumar ese de ahí, ¿no? entonces este sería ese último, vale, vamos a
escribirlo aquí menos p1 menos p2 Menos P2, eso es. Más P3. Más P4. Ese
es el que nos iría. El resto se quedan igual. Y el resto nos queda igual.
Con esto, cuando hemos llegado aquí, básicamente cuando ya habíamos
llegado aquí, pues tú dices esto tiene división 3 y esto, dimensión 1,
¿vale? De acuerdo, entonces ya podríamos haber respondido al ejercicio.
¿Vale? Oye, esto tiene dimensión 1, ¿de acuerdo? Ahora, ¿qué tiene de
interesante? Antes hemos visto que su espacio intersección, ¿vale? O
bueno, si quieres sacar, por ejemplo, una base de la suma, pues podría ser
el P2, el P1 más el 2P2 y el 3P2 más el 3P2. O sea, el P3 más el 3P2. O
directamente el P1, P2, P3. ¿Vale? Ahora, ¿qué se ve aquí claramente?
Pues que esto es el vector C. ¿Vale? Es decir, P1 más P2 es igual a P3
más P4. ¿Sí? De acuerdo, el P1 más el P2, ¿vale? Es lo mismo que el P3
y el P4. ¿Vale? P1 más P2, ¿a qué subespacio pertenece? Al U. Al U,
¿no? Porque es una combinación lineal de vectores del U. ¿Y el P3 más
el P4? Al W. ¿Eh? Al W. ¿No? Porque es combinación lineal ¿de qué?
De... Eso es. ¿Vale? Entonces, la intersección, ¿vale? ¿Vale? Un menú
de W. Estará generado por el 1, 1, 1, 1. ¿Vale? Lo que habíamos obtenido
haciéndolo antes por aquí. ¿Vale? ¿Sí? ¿Se entiende? Todo en orden
con este ejercicio. Venga, pues vamos a terminar el tema de subespacios
vectoriales. Vale, yo creo que hemos trabajado bastante en lo que es
espacio intersección, en lo que es espacio suma, en lo que es suma
directa, ¿vale? Y la fórmula de Grassman, por si cae algo en el examen.
¿Vale? ¿Eh? Pues creo que sí, creo que sí, lo que pasa es que tenéis
que entregar, en las PES entregáis las fotos y eso, ¿no? Pues el año
pasado fue, de momento dijeron que sí, a ver si esto de la unicron no se
nos va de las manos. Yo entiendo que sí, pero vamos a estar atentos
siempre al foro y a lo que digo, ¿vale? ¿Cuándo fue? No, cuando fue la
primera evaluación del año anterior no fue presencial. ¿Y una de las
dos? Ah, vale, eso es, eso es, sí. Sí, sí, los dos del año pasado
fueron presenciales. Bueno, desde casa, especialmente. Venga, vamos con el
último subespacio vectorial, espacio cociente, ¿vale? Entonces, para cada
subespacio vectorial de uno dado, ¿vale? Se puede definir una relación de
equivalencia. Relaciones de equivalencia las habéis visto en la asignatura
esta de números conjuntos, ¿no? ¿Cómo se llama la asignatura? O
lenguaje, ¿no? Que es una relación que es reflexiva, transitiva y
simétrica, ¿vale? Sí. Y también sabéis lo que son las clases de
equivalencia, ¿verdad? Sí. ¿Vale? Una clase, un representante de la
clase de equivalencia, ¿vale? Un representante de una clase de
equivalencia me está dando todos los elementos que están relacionados por
esa clase de equivalencia. ¿De acuerdo? ¿Sí? Vale, entonces, tenemos un
subespacio vectorial, ¿vale? Entonces, dos vectores del espacio vectorial
estarán relacionados por esa clase de equivalencia si su diferencia
pertenece al subespacio vectorial. ¿Vale? Es decir, escrito
matemáticamente, dos vectores del subespacio vectorial están relacionados
mediante el subespacio vectorial U, si y sólo si, su diferencia pertenece
al subespacio vectorial U. ¿Vale? ¿De acuerdo? Entonces, la clase de
equivalencia módulo del subespacio vectorial, ¿qué conjunto será? Pues
será ese vector de v al que le sumamos el subespacio vectorial. Es decir,
son los elementos de la clase equivalencia, son el vector v más un
elemento del subespacio vectorial u. ¿De acuerdo? ¿Vale? ¿Vale? Entonces
el espacio cociente, si nos referimos al espacio cociente es el conjunto de
todas las clases equivalentes. Eso lo sabemos, ¿no? Esta es la teoría de
las relaciones de equivalencia, la que hacéis de la estructura esta, ¿no?
¿Vale? Un espacio cociente es el conjunto de todas las clases
equivalentes. ¿De acuerdo? ¿Y cómo se suele representar? Pues con v,
cociente, barrita ¿Vale? Subespacio, perdón, el subconjunto ¿Vale? Se
denota así y no es más que, bueno, todos estos elementos, todas las
clases equivalentes. ¿De acuerdo? ¿Vale? Entonces esto lo tenéis que
saber de lo que es una relación de equivalencia. Ahora, si en este
conjunto ¿Vale? Con este conjunto cociente definimos estas operaciones,
esta suma y este producto por escalares, es decir, para sumar dos clases de
equivalencia, ¿de acuerdo? Sumamos los elementos del espacio vectorial y
le sumamos el subespacio vectorial, ¿vale? Y para multiplicar por
escalares simplemente se multiplica por escalar. ¿De acuerdo? Con estas
dos operaciones así definidas este subespacio, o este subconjunto o este
conjunto cociente es un espacio vectorial. ¿Vale? Entonces el espacio
cociente tiene estructura de espacio vectorial ¿Vale? Y ambas operaciones,
bueno, no dependen del representante que estás cogiendo aquí en la clase.
¿Vale? Básicamente con el espacio cociente es un conjunto de las clases
¿Vale? No depende del representante que estás eligiendo. ¿De acuerdo?
¿Vale? Entonces, un teorema ¿Vale? El que relaciona las dimensiones y
cómo generar una base del espacio cociente. ¿De acuerdo? Tenemos un
espacio vectorial de dimensión n y un subespacio u de dimensión k ¿De
acuerdo? Entonces el espacio vectorial cociente ¿Vale? Es de dimensión n
menos k ¿De acuerdo? Es decir, que la dimensión del espacio cociente es
la dimensión del espacio en el que estamos trabajando. Menos la dimensión
de su espacio. Y además, ¿cómo sacamos una base del espacio cociente?
Pues si tenemos n-k vectores, ¿vale? Si los n-k vectores estos es un
conjunto de vectores que extiende una base de u a una de v, ¿vale? Es
decir, tú tienes una base de u, los elementos u sub 1 hasta u sub k,
¿vale? Y ahora le extiendes esto con el vk más 1, ¿vale? Hasta vn,
¿vale? Estos elementos de aquí, ¿vale? Es una base de estos elementos.
Para generar una base del espacio cociente, te pones esos elementos,
¿vale? Y sumas evidentemente el subespacio, ¿vale? ¿De acuerdo? ¿Vale?
Venga, pues vamos a este ejercicio, ¿vale? Pues para el cociente. Estás
matado hoy, macho, ¿eh? Tío, tío, es que llegáis aquí muy matados,
¿no? Joder, ya deberíamos estar ya de cañas, ¿no? Sí. Joder, es a
estas horas. No, no debería ser viernes, tío. Las horas ya son de 4 y 10
de descanso. Bueno, los viernes no tenéis tutorías. No, pero estudia en
la biblioteca. Pero, ¿sabes que hay un estudio de que las teclas van a
salir muy más positivas si currasen 4 días de ejercicio en 3? Eso es, y
que las clases de las 4 de la tarde o las conferencias de las 4 de la tarde
no las sigue nadie porque acabas de venir y todo el mundo se duerme. Sí,
sí, hay muchos estudios de esos. Quizás podrían estudiar si dar una
clase a las 8 y cuarto, como puede haber después de ir a ir a ir a
estudiar, ¿no? Venga, hacemos este ejercicio si queréis y nos vamos. No
empezamos el tema de los subespacios, ¿vale? Que yo creo que en las dos
tutorías que nos quedan vemos aplicaciones lineales. Eso ya es después de
la clase. ¿Vale? Venga, entonces. e bueno se ha entendido el espacio
cociente o no así que hagamos algún tipo de gráfico básicamente vale y
lo está diciendo bien voy a hacer un dibujo para que más o menos lo veas
en las subclases eso es disjuntas en las clases de equivalencia cada clase
de equivalencias disjuntas entonces lo bueno es que dividir es que dividir
el espacio no está trabajando el conjunto sin hablar de factores
vectoriales cuando haces el conjunto cociente tú dirías el conjunto en
sus partes disjuntas por ejemplo en r este va a ser y nuestro v sr 2 de su
es esa recta y w es pues eso todo r 2 entonces qué va a ser el espacio
cociente y A ver, tú podrías Imagínate que hace rectas aquí, ¿no? Que
pues todos estos elementos de red Como muchísimo Lo puedes asignar a un
elemento pero una proyección eso es lo que se ha enseñado para que los
números racionales para demostrar que son numerables no no bueno a ver va
en el espacio consciente vale serán los conjuntos que es más vale
básicamente qué es lo que estamos haciendo aquí pues hoy tenemos un
vector en el vector pero en el truco este de aquí básicamente lo que
está haciendo es generar este para ver si hago esto paralelo este será el
representante que te has elegido y son todos estos vectores que pertenecen
a éste está recta de aquí vale pero que es independiente de este
elemento o te puedes haber cogido pues eso este otro independiente del
representante que te cojas pero básicamente lo que está haciendo el plano
está separando elementos disjuntos venga entonces el ejercicio venga y nos
vamos venga, nos dan el plano el plano que está definido por la ecuación
implícita x igual a 0 ¿vale? pues como estamos trabajando en R3, tenemos
una única ecuación implícita, evidentemente es un plano ¿vale? y si x
es igual a 0 oye, pues os vais a imaginar como no sé, una de las tres
dimensiones de R3 el suelo, pues ahora me imagino que es el suelo ¿vale? o
una pared de una pared de esta vuelta, ¿vale? entonces, hay una base y la
dimensión del espacio cociente R3 ¿eh? en K2 ¿eh? o sea, la dimensión
la tenemos clara, ¿no? porque la dimensión esto sí, ¿no? la dimensión
del espacio cociente está clarísima, ¿no? que es la de V menos 1,
entonces 3 menos 2, 3 menos 2, dimensión 1, eso lo tenemos clarísima 3
menos 2 el plano, ¿qué dimensión tiene? el plano tenemos había dos
posibilidades ¿vale? necesitamos un elemento, pero ¿cómo lo sacamos?
¿cómo lo sacamos ese elemento? como lo hemos dicho, cogemos una base del
plano, lo ampliamos y es el vector con el que estamos ampliando ¿vale?
sumamos su espacio vectorial y eso sería una base del espacio cociente
¿vale? ¿de acuerdo? ¿vale? por ejemplo, oye pues para ampliar una base
de este plano yo me cogería el 1, 0, 0, ¿no? porque como la primera
coordenada es el 0, para ampliar a una base de R3, me cogería el 1, 0, 0,
entonces este es bien sencillo, ¿vale? básicamente el 1, 0, 0 más P eso
esto es una base de R3, P ¿vale? ese elemento ¿se entiende o no? ¿vale?
a hallar las coordenadas de este vector respecto de la base hallada en el
apartado anterior. ¿Del vector 3, 2, 0 más P? Sí. ¿Qué? Seguro.
¿Está bien o no es seguro? A ver, ¿qué? Sí, segurísimo. Venga, creo
que lo tengo resuelto. Venga, que no lo tengo que escribir. ¿Vale? A ver.
Lo solucionamos, ¿vale? A ver, para hallar una base del espacio cociente
hallaremos una base del subespacio para posteriormente ampliarla a una base
de todo el espacio vectorial. ¿Vale? Entonces, los vectores con los que
ampliamos la base más el subespacio P formarán una base del espacio
cociente. ¿Vale? Base del plano. Como hemos dicho que es x igual a 0 me
cojo el 0, 1, 0 y el 0, 0, 1. Eso es una base del plano. ¿Cómo amplio a
una de R3? Pues con el 1, 0, 0. Lo había dicho antes. ¿No? Amplio con el
1, 0, 0. Después añadir el 7, 0, 0 el 8, 0, 0. Eso es. El que te dé la
mano. Ahora, este más el P, más el subespacio vectorial ¿Vale? Es una
base del espacio cociente. Dimensión 1. Lo que ya sabíamos, ¿no? 3 menos
2, 1. Esto es lo que he dicho de palabra antes y lo he escrito rápido.
¿Vale? Ahora, ¿cuáles son las coordenadas del 3, 0, 3, 2, 0? Más el
plano con respecto ¿Vale? Para hallar las coordenadas del 3, 2, 0 más el
plano respecto a la base respecto de la base R3P, primero hallaremos las
coordenadas del 320 respecto de la base que hemos cogido, ¿vale? Entonces
el 320 es dos veces el 010 más cero veces el 001, esto es la base del
plano, estos dos, ¿vale? Más tres veces, ¿vale? El 001, ¿vale? Entonces
el vector 30320 más el plano será dos veces este más el plano, cero
veces este más el plano, más tres veces eso más el plano. ¿Por qué
pone el 001 con él? Si bajos lo vemos con el 0 y con el 10. ¿Perdón?
Bajos a 2 por 0 y 1, 0. Ah, por... Bajos a 2 por 0 y 1, 0. Es que esto
es... Vale, no, no, es que aquí hay una rata, aquí hay una rata, aquí
hay una rata. O sea, la base la hemos ampliado aquí, el 1 está ahí.
Esto, ¿sabes dónde? Esto está mal, esto es un control C, control V como
una casa, ¿vale? El 0 va ahí y activa el 1, ¿vale? Y este es otro...
Este es otro... Otro control C, control V. Control V como una casa, ¿vale?
¿Vale? Vale, entonces, ahora, como este vector y este pertenecen al plano,
los dos pertenecen al plano, tenemos que se tiene que el 320 más P,
¿vale? Este es el 320 más el P, que es el plano, más tres veces el...
Esto también está mal, qué pesadito soy. ¿Vale? Esta parte es el plano,
entonces dejo el plano, ¿vale? ¿Vale? Toda esta parte es el plano porque
estos dos vectores pertenecen al plano, ¿de acuerdo? Entonces se deja el
plano ahí. 3, 1, 0, 0 más el plano. ¿Vale? Entonces, ¿qué coordenadas
tiene ese vector respecto a la base que habíamos dicho que era... 3, 1, 0,
0 más P? Pues es tres veces este. ¿Vale? Tres veces el elemento de la
base. ¿De acuerdo? Recordad cómo hemos definido la operación, ¿eh?
Claro. La operación es esta, ¿eh? ¿Vale? Tres veces el elemento de la
base. Porque se opera así. Entonces, alfa veces el elemento. Alfa veces el
elemento. ¿Y la pereza sumando antes la cita o podría... Porque pertenece
al plano. ¿Vale? ¿De acuerdo? Sería cero más esto. ¿Cómo se suma? Se
suma solo el vector. Los vectores, eso es. ¿Vale? Como en uno no tengo
nada, solo más p, pues aquí no sumo nada. ¿Vale? Y esta sería tres más
p. Eso es. Sería como tres más cero. No lo he escrito. Sería cero
más... ¿De acuerdo? Entonces sería tres veces el vector de la base. Tres
veces las coordenadas. Como solo tengo un elemento, ¿qué coordenada
tiene? Tres. ¿Vale? Y luego, lo último, pues bueno, pues
geométricamente, estudie cómo son geométricamente los elementos esos.
Pues geométricamente... Ahí tenemos el... Este vector sería el... Este
sería el uno cero cero más el plano. ¿Vale? Este es el plano que tiene x
igual a cero. Este azul. Aquí tenemos... El uno cero cero más p, el
elemento de la base. Y este es el tres dos cero. ¿Vale? Que es tres veces
este. ¿Vale? ¿De acuerdo? ¿Se entiende? Sí. Eso es. ¿Vale? ¿Sí?
¿Entendido? Venga, pues... Después de navidades, aplicaciones lineares.
No, no, no, esto acaba ya de... Eso es. Venga, felices fiestas. Nos vemos a
la vuelta de navidades. Adiós.