Bueno, buenas tardes. Vamos a ver la última sesión que va a ser
ejercicios de repaso de todo, ¿vale? Y, bueno, en principio, después ya
os voy a mandar el PDF. Bueno, o sea, aquí, esto es todo el programa,
contenidos del texto, el tema 1, preliminares, ¿vale? Capítulo 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7 y 9, ¿eh? ¿Vale? Bueno, entonces, pues, primero dice calcular
la derivada de la función f de r y simplificar la respuesta siempre que
sea posible. ¿Vale? Por tanto, aquí tenemos a 1 más la función f de r,
sería 1 más r al cuadrado, partido por 1 más r al cubo menos 4, que
multiplica a r al cuadrado más r al cubo más 1. Aplicamos la fórmula
derivada del producto. La derivada de 1 partido por r al cuadrado es menos
2 partido por r al cubo. La derivada de 1 partido por r al cubo sería
menos 3 partido por r a la cuarta, que multiplica a r al cuadrado más r al
cubo más 1, que sería el segundo factor sin derivar. Después, más el
primero sin derivar, o sea, que sería 1 más r al cuadrado más 1 partido
por r al cubo menos 4. ¿Vale? Multiplicado por la derivada de r al
cuadrado, que es 2r, y la derivada de r al cubo, que es 3r al cuadrado.
¿Vale? Bueno, aquí con operaciones multiplicando, ¿vale? Después,
agrupando factores, fijándolo, por tanto, reduciendo términos, pues
tenemos, finalmente, que sería menos 3 partido por r a la cuarta, menos 2
partido por r al cubo, menos 1 partido por r al cuadrado, más 1 menos 8r,
Podría operar de otra forma, pero en el principio, pues, esto sería la
derivada. Bueno, este es un poco más complicado y se demuestra utilizando
el teorema del valor medio que raíz de 1 más x es menor que 1 más x
partido por 2. Para todo x mayor que 0 y para menos 1, menor o igual que x,
menor o igual que 0. Por lo tanto, la entrada para x mayor que 0, entonces
aplicamos la cuenta del teorema del valor medio a la función raíz de 1
más x, pues se llama el teorema del valor 0, x. Este será positivo.
Aplicando el teorema del valor medio sería f de x menos f de 0 partido por
x menor que 2. Por lo tanto, f de x es raíz. De 1 más x, f de 0 sería
raíz de 1 más 0 partido por x menos 0. Esto sería igual a la derivada de
f' de t, que es la derivada de raíz de 1 más x, es 1 partido por 2 raíz
de 1 más x. En este caso, por lo tanto, si t es un número de intervalo
abierto, que está en el interior del intervalo abierto, a ver, tiene 0x.
Por lo tanto, esto sería igual a 1 partido por 2 raíz de 1 más. Por lo
tanto, aquí tenemos, como la t es mayor que 0, por lo tanto, el factor
este, 1 partido por 2 raíz de 1 más t, esto es evidentemente menor que un
medio. Por lo tanto, el menor posible, si aquí aumento la t, que es
positiva. Por lo tanto, será siempre, el resultado de este cociente,
siempre será menor que 1. Por lo tanto, tenemos que raíz de 1 más x
menos 1 partido por x, porque f de 0 es x, evidentemente es menor que 1.
¿Vale? Por lo tanto, pasamos multiplicando la x al lado derecho, que es
positiva, la x, y no cambia el sentido de la desigualdad. Y por lo tanto,
me quedaría que raíz de 1 más x. menos 1 sería igual a y menor que x
partido por 2. Esto sería la raíz de 1 más x, pasando el 1 al lado
derecho, menor que 1 más x partido por 2. Esta sería la parte B. La parte
B, pues aquí me decía me dice, y para, ¿vale? Te mostraré esto que se
cumple para x mayor que 0 y para x mayor o menor que 0 y mayor o igual que
menos 1. ¿Vale? Para la parte B, ¿vale? Para menos 1, menor o igual que
x, menor que 0, pues la raíz de x pues ponemos, fijamos que ahora
conseguimos el intervalo de x a 0, ¿vale? x ahora será negativo, ¿vale?
Por lo tanto sería raíz de 1 más x, sería f de 0 menos f de x partido
por 0 menos x. Por tanto, sería raíz de 1 más 0 menos raíz de 1 más x
partido por 0. 0 menos x igual a la derivada de de la función f de x, que
sería 1 partido por 2 raíz de 1 más x. Evidentemente sería un punto P
del intervalo x t, te digo, ¿vale? Por lo tanto esto entonces sería f
prima de t sería igual a 1 partido por 2 raíz cuadrada de 1 más. ¿Vale?
Entonces yo tengo que como f es menor que 0 ¿vale? Tendremos que 1 partido
por raíz cuadrada de 1 más x partido por menos x, que es igual a 1
partido por 2 más raíz de 1 más c, ¿vale? Como f es menor que 0, esto
será mayor que un medio, ¿vale? Por lo tanto aquí me quedaría me
quedaría 1 menos raíz de 1 más x partido por menos x mayor que un medio.
Puedo pasar multiplicando menos x al otro lado, ¿vale? Y como menos x es
positivo no cambia el sentido de la desigualdad. Por lo tanto me quedaría
1 menos raíz de 1 más x es mayor que menos X partido por 2. Por tanto,
entonces tendré menos paso al 1 al otro lado, al lado derecho, me
quedaría menos raíz de 1 más X mayor que menos 1 menos X partido por 2.
Por tanto, si multiplico por menos 1, me queda que la raíz de 1 más X es
menor que 1 más X partido por 2. Aquí sí que cambia el sentido de la
situación. Pasa de 0 a mayor, pasa a menor. Vale, aquí hay otro que dice
calcular el punto crítico de Y igual a X elevado a X. Los puntos críticos
son los puntos en los cuales la derivada es igual a Y. Aquí aplicaremos la
derivación del logaritmo. Entonces sería logaritmo de periano de Y igual
al logaritmo de periano de X elevado a X. Por tanto, sería aplicar las
cantidades de los logaritmos, la X pasaría detrás multiplicando, me
quedaría el logaritmo de periano de X elevado a X es AX por logaritmo de
periano de X. Entonces, derivando, la derivada del logaritmo de periano de
Y, sería derivada de Y partido por I, por la derivada de los logaritmos 1
partido por Y por la derivada de Y, que es y', igual a la derivada del
producto X o del material de X. La derivada de X es uno, logaritmo de
periano de X es delivar, más X sin delivar, o la derivada del logaritmo de
X, que es 1 partido por 2. me quedaría y' pasando, multiplicando al otro
lado, sería 1 más el logaritmo de periano de x multiplicado por i. Pero i
es x elevado a x. Si como y' tiene que ser igual a 0, pues me quedaría x
elevado a x que multiplica a 1 más el logaritmo de periano de x es igual a
0. x elevado a x evidentemente tiene que ser distinto a 0 porque sería 0
elevado a 0. Y entonces esto no puede ser. Tiene que ser 1 más el
logaritmo de periano de x igual a 0. Por tanto sería logaritmo de periano
de x igual a menos 1. Por tanto la x es una potencia. y el punto crítico
pues sería a 1 partido por él por uno partido por él elevado a un
partido esto sería el punto crítico de vosotros de calcular el dominio y
el rango es decir los valores que como la función del recorrido de la
función igual a 2 partido por 2 menos al cuadrado de x menos por tanto
para que tenga sentido la raíz de x por otro lado la restricción que no
se debe anular el denominador o sea 2 menos raíz de x menos 2 tiene que
ser mayor sobre esta ecuación vemos que para x igual a 6 tenemos que 2
menos raíz cuadrada de 6 menos 2 sería la raíz de 4 por tanto sería 2
menos 2 sería por tanto el dominio será de 2 o sea cerrado en 2 en 2 si
que se coge hasta más bueno más infinito menos el número del 6 se cumple
si vamos por la izquierda del 6 que el límite es infinito y si vamos por
la derecha del 6 se cumple que el límite es menos infinito por tanto el
rango de la función será de menos todo lo que es más infinito de x menos
la raíz de x números reales, sea de menos infinito o así. Bueno, vemos
otro ejercicio. El 5 dice sea f de x igual a 2 partido por x más 1 y g de
x igual a 3 partido por x. Construir f compuesto con g de x y especificar
su dominio. Por lo tanto, aquí sabemos que f compuesto con g de x es f
valdada por g de x. Por lo tanto, g de x es 3 partido por x y después
buscamos la de f de 3 partido por x. Evidentemente, para buscar f de 3
partido por x tengo que sustituir la x por la expresión 3 partido por x.
Por lo tanto, sería, si f de x es 2 más x partido por x más 1, por lo
tanto será 2 partido por 3 partido por x más 1. Por lo tanto, operando
esto me quedaría 3 más x partido por x, que va a x pasa al numerador, por
lo tanto me quedaría 2x partido por x más 3. Evidentemente, el dominio
será cuando no se atoblan todos los dos reales menos los que atoblen el
denominador, que es un polinomio. Por lo tanto, el primer grado se anula
para x igual a menos 3. El dominio será el conjunto de todos los números
reales menos 3. Aquí dice, el 6, calcular los intervalos donde la función
f de x igual a x cuadrado menos 1 partido por x cuadrado menos 4 es
positiva o negativa. Mientras nosotros buscamos x cuadrado menos 1 igual a
0, por lo tanto, se anularía para el numerador, se anula para más 1 menos
1 y el numerador para más 2 y menos 2. Entonces aquí pues tengo que
separar los intervalos. ¿Vale? Tendría a menos 2, a menos 1. Aquí
tendría 1. Aquí tendría 2. Entonces, para hallarlos, tendría que coger
un número de cada intervalo y ver si la expresión es positiva o negativa.
¿Vale? Por ejemplo, de aquí, si cogiera este intervalo, ¿Vale? Un poco,
por ejemplo, aquí el cero, ¿vale? Para el cero, ¿qué tendría? Tendría
cero al cuadrado menos uno es menos uno, partido por cero al cuadrado menos
cuatro, pues sería menos cuatro. Menos uno partido por menos cuatro es
positivo, ¿vale? Por tanto, tendría, si no hay intervalo, sería
positivo. En otro intervalo, pues podría, por ejemplo, otro valor de menos
infinito a menos dos, podría, por ejemplo, menos tres, y menos tres al
cuadrado sería nueve menos uno, sería numerador, me quedaría positivo.
Abajo me quedaría nueve menos cuatro, igual, por tanto, también sería
positivo. Varía así, pues, en cada intervalo, ¿vale? Por tanto, el
resultado de esto sería que los intervalos menos infinito a menos dos, de
menos uno a uno, y de dos a más infinito. Y de dos a más infinito, la
función sería positiva. Y de menos dos a menos uno, y de uno a dos,
sería negativa. Sería cero en x igual a uno y x igual a menos uno, que
tendría que ser numerador, y salta a infinito para x igual a dos, ¿vale?
Y para x igual a menos dos, que habría dos asíntotas de aquí. Bueno,
otro ejercicio, el siguiente dice, describir la región o regiones... La
región es definida por la pareja de inequaciones, x al cuadrado más y al
cuadrado mayor que uno, y x al cuadrado más y al cuadrado menor que
cuatro, ¿vale? A x al cuadrado más y al cuadrado igual a uno sería la
circunferencia de centro cero y radio uno, ¿vale? Y a x al cuadrado más y
al cuadrado sería la circunferencia de centro cero y radio uno. O sea...
La región... La región es el interior de la coordenada circular limitada
por ambas circunferencias, ¿vale? Cuando una es mayor, ¿vale? Sería, por
tanto, sería esto. ¿Vale? La región es como las fronteras de esta
región, que sería X cuadrado más Y cuadrado igual a 1. No forman parte
porque la desigualdad es estricta y la otra, X cuadrado más Y cuadrado
igual a 4, o sea, la primera circunferencia, lo había dicho, era de centro
0 y radio 1, la anterior, y la otra era de centro 0, 0 y radio 2, la
exterior. Otro dice, definir el dominio y el rango de la función que de X
igual a 1 partido por 1 menos raíz de X menos 2. Este apareció, ya lo
habíamos hecho antes, pero esto salió en exámenes anteriores. Raíz de X
menos 2. Raíz de X menos 2 tiene que ser mayor o igual que 0, X menos 2,
si no, no existe la raíz. Por lo tanto, tenemos la primera restricción
del dominio, que sería el dominio de la raíz de X menos 2, que es X mayor
o igual a 1. Pero hay otro factor del denominador, que 1 menos raíz de X
menos 2 se anula para X igual a 3. Para X igual a 3, si sustituyo,
quedaría 1 menos raíz de 3. 3 menos 2, que sería raíz de 1 menos 1, 1
menos 1 es 3. Por lo tanto, el dominio será de 2 a más infinito y menos
el número 3. Entonces, se cumple que el límite cuando X tiende a 3 por la
izquierda es igual a más infinito y el límite cuando X tiende a 3 por la
derecha es igual a menos infinito. Por lo tanto, el rango recorrido de esta
función se da como siguiente. El número real es que tenemos infinito o
más infinito. Hay otro ejercicio, puede, dice, escribe, escriba una pareja
de inecuaciones. que representen la parte interior de la circunferencia de
centro 0,0 y el radio país de 2, que esté a la derecha de la recta
vertical, que pasa por el punto 1,0. Tiene que ser la parte interior de la
circunferencia y que esté a la derecha de la circunferencia B, que pasa
por el punto 0,0 de centro 0,0 y radio raíz de 2. Por lo tanto, esto
sería la ecuación de esta circunferencia, sería x cuadrado más y
cuadrado igual a raíz de 2 al cuadrado, que es 2, y la recta que pasa por
el punto 1,0 es una recta vertical que pasa por el punto 1,0. Por tanto,
dibujándolo, sería esto, esta sería la circunferencia, esta sería la
recta vertical. Por tanto, esto sería esto mismo. Por tanto, esto sería x
cuadrado más y cuadrado menor que 2 y x mayor que 1. Esto sería todo.
Como lo dice, las desigualdades son estrictas también. La frontera no
entra por la... Parte interior, dice. O sea, desde el principio, por tanto,
la parte interior, la frontera no entra. Bueno, dar el dominio y el rango
de la función x partido por raíz de 2 menos x. Aquí, bueno, se ha
dibujado, pero no hacía falta dibujar, ¿no? Esa función sería esta,
¿vale? Pues aquí, la parte que pide, pues, buscar el dominio.
Evidentemente, a... La raíz de 2 menos x tiene que ser mayor que 0. No
mayor o igual porque no es igual porque hay el cociente. Si fuera la raíz
sola podría ser mayor o igual, pero al tanto que tiene que ser
estrictamente mayor. Yo no puedo tener que 2 menos x sea mayor o igual que
0 porque igual a 0 no puede ser. Tendría 1 partido por 0. Por tanto tiene
que ser estrictamente mayor. El dominio tiene que ser 2 menos x mayor que
0. Por tanto la x será menor que 2. Por tanto eso será el dominio de
menos infinito a 2 abierto, no coge el 2. Se cumple que el límite cuando x
tiende a 2 por la izquierda es igual a infinito. Y el límite cuando x
tiende a menos infinito es igual a menos infinito. Por tanto el rango es de
menos infinito a más infinito. ¿Vale? Que es el conjunto de todos los
números. Aquí dice en qué puntos. Si hay alguno, vale, 11, es
discontinua la función. ¿Vale? La función que es. La función es x valor
absoluto partido por valor absoluto de x menos 1. Si la x es distinta de
menos 1. Y 1 si la x es igual a menos 1. Claro es que para x igual a menos
1 tendría 1. Partido por 0, la definición de arriba. Y por tanto la
función en principio no estaría definida. Sabemos que por definición es
f de x igual a 1 para x igual a menos 1. Por lo tanto f de menos 1 es igual
a 2. Pero menos 2 es igual a 2. El límite cuando x tiende a menos 1 por la
izquierda, ¿vale? Sería el valor absoluto de menos 1. Entonces sería,
por ejemplo, por la izquierda sería mayor que, que sería positivo,
¿vale? Sería, estos serían, por tanto, menos 1. El valor absoluto es.
positivo, ¿vale? Cercados a menos uno pero mayor. Y el otro sería cercano
a cero pero también positivo. Entonces sería un número positivo, ¿vale?
Y un número que cada vez sería más pequeño pero positivo. Por tanto
saltaría a infinito, ¿vale? Después por la derecha, por la derecha pues
me pasaría que sería un número menor que uno cercano a uno pero menor,
¿vale? Un valor absoluto es positivo y el determinador sería un número
que sería positivo, un valor absoluto, pero cercano a cero también
positivo. Por tanto tendría más infinito, ¿vale? Por tanto el límite
cuando X tiende a menos uno tendría a más infinito. Por tanto el único
punto de discontinuidad sería para X igual a menos uno sería una
discontinuidad de cero, ¿vale? Vemos otro ejercicio, dice derivar la
función F de X igual a uno partido por X más uno partido por X aplicando
la regla de la inversa, dice cuidado no de la función inversa, ¿eh? Aquí
se refiere a F de X igual a uno partido por F de X igual a uno partido por
F de X. La derivada es a menos F de X prima de X partido por F de X elevado
al cuadrado. Por tanto aplicándola aquí, la F de X será X más uno
partido por X, ¿vale? Por tanto aplicándola aquí, evidentemente esta
derivada si no nos dice nada seguramente la haríamos pues derivar a X
partido por X más uno, ¿eh? Pero aplicándola tal como lo dice aquí,
tenemos que tomar F de X igual a X más uno partido por X. Por tanto aquí
será menos la derivada de X más uno partido por X partido por X más uno
partido por X elevado al cuadrado. Por tanto, si derivo a x más 1 partido
por x será 1 menos 1 partido por x cuadrado. Menos afuera del paréntesis.
Aquí me quedaría x más 1 partido por x al cuadrado. Sacando
denominadores, aquí me quedaría x cuadrado menos 1 partido por x
cuadrado, es un denominador, y en el denominador me quedaría x cuadrado
más 1 elevado al cuadrado y entonces partido por x cuadrado. Lo voy a
poner, o sea, aquí me quedaría x más 1 partido por x al cuadrado que
sería, o sea, x cuadrado más 1 partido por x todo al cuadrado, por tanto
sería x cuadrado más 1 al cuadrado partido por x cuadrado. Puedo
simplificar, o sea, x cuadrado y me quedaría arriba o sea, menos, o sea,
puedo simplificar este factor y este factor, ¿vale? Me quedaría x
cuadrado menos 1 partido por x cuadrado que sería menos x cuadrado menos 1
partido por x cuadrado más 1 elevado al cuadrado. En menos puedo poder
multiplicarlo con el numerador y me quedaría 1 menos x cuadrado partido
por 1 más x cuadrado elevado al cuadrado. Dice, hacer un dibujo aproximado
de la función cotangente a la menos 1 de x que es igual a a la tangente, a
la inversa de la tangente de 1 partido por x cuadrado. Dibujándola, pues
aquí tenemos que calcular su derivada. Dibujándola, pues sería de esta
forma, ¿vale? Y entonces se cumple que el límite cuando x tiende a menos
infinito de arco cotangente de x es igual a 0 y cuando x tiende a más
infinito de arco cotangente de x es igual a 0, ¿vale? Por tanto, y el
límite cuando x tiende a 0 por la derecha de y el límite cuando x tiende
a 0 por la derecha de arco cotagente de x es igual a 5 ¿vale? por tanto
más o menos dibujando la función tendría esta forma bueno, aquí nos
dice que hayamos la, a partir de esta definición, la derivada de la
función arco cotagente de x bueno, si definimos y igual a arco cotagente
de x 1 partido por x, ¿vale? entonces si y es igual a la tangente de la
menos 1, que es lo mismo, de 1 partido por x será tangente de y igual a 1
partido por x, ¿vale? por tanto derivando la tangente de y sería la
derivada de la tangente es 1 partido por coseno cuadrado de y por y prima
por la derivada de y, ¿vale? igual a la derivada de y igual a la derivada
de 1 partido por x, que es menos 1 partido por x cuadrado ¿vale? por
tanto, si tenemos en cuenta esta identidad de 1 más tangente al cuadrado
de alfa que es igual a secante cuadrado de alfa, porque es lo mismo, 1
partido por coseno cuadrado de alfa, pues tendríamos que en vez de poner 1
partido por coseno cuadrado de y, pondremos 1 más tangente cuadrado de y.
1 más tangente cuadrado de y, sería igual a 1 partido por coseno cuadrado
de y, por tanto en vez de poner este factor, pondremos 1 más tangente
cuadrado de y, ¿vale? por tanto me quedaría 1 más tangente cuadrado de y
por y prima igual a menos 1 partido por x cuadrado entonces tendríamos que
y prima sería igual a menos 1 partido por x cuadrado de y menos 1 partido
por x cuadrado de y, por 1 más tangente cuadrado de y, ¿vale? el
patagente cuadrado de y es 1 patagente cuadrado de y sería 1 partido por x
elevado al cuadrado, 1 partido por x al cuadrado, por tanto 1 partido por x
al cuadrado y entonces, por tanto ya me quedaría que y' sería menos 1
partido por x al cuadrado partido por 1 más x al cuadrado haciendo
operaciones me quedaría menos 1 partido por x al cuadrado dividido por x
al cuadrado más 1 partido por x al cuadrado para x al cuadrado, de x al
cuadrado se va y por lo tanto me queda igual a menos 1 partido por 1 más x
al cuadrado por tanto la derivada del cotangente a menos 1 de x es menos 1
partido por 1 más x al cuadrado bueno, vemos el 14 que dice, utilizando la
definición formada de límite infinito verificar que el límite cuando x
tiende a 0 de 1 partido por x al cuadrado es igual a infinito aplicando la
definición de límite en el infinito para todo un número real m muy
grande mayor que 0, independiente de nuestro positivo m es un número real
muy grande entonces tendríamos que para todo m mayor que 0, un número
real grande existe un delta mayor que 0 tal que para todo x en el intervalo
menos delta, delta un intervalo abierto muy pequeño o puesto un valor
absoluto menor que delta debe ser 1 más x al cuadrado mayor que este m que
hemos puesto vale De esta última se obtendría que si 1 partido por x
cuadrado tiene que ser mayor que m, será 1 mayor que x cuadrado, o será 1
mayor que m por x cuadrado. Por tanto, será 1 partido por m mayor que x
cuadrado. Por tanto, el valor absoluto sería el valor absoluto de x menor
que raíz de 1 partido por m. Por tanto, tomando delta igual a 1 partido
por raíz de m, tenemos que el detenente se cumple. Por tanto, basta tomar
un delta que sea igual. Por tanto, basta tomar un delta que sea igual a 1
partido por raíz de m. Tenemos otro ejercicio, que es justificar que el
límite cuando x tiende a cuadrado de 1 partido por x menos 2 es igual a 1
medio. O sea, aquí para la definición del límite, para todo éxodo mayor
que 0, ahora aquí éxodo es un número pequeño, tenemos que probar que
existe un delta también positivo, mayor que 0, o sea, cercano a 0,
también es un número pequeño, dado que para todo éxodo... ...que
pertenece al intervalo x menos 4, que sería el intervalo menos delta, pues
el valor absoluto sería 0 menor que x menos 4 menor que delta, se cumple
que f de x, que en este caso sería el valor absoluto de f de x menos el
límite, en este caso el valor absoluto de 1 partido por x menos 2 menos un
medio, este tiene que ser menor que x. Por tanto, desarrollamos este, este
valor absoluto de 1 partido por x menos 2 menos un medio, ¿vale? Entonces
esto será igual, sacando denominadores, me quedaría 2, valor absoluto
de... En el numerador me quedaría 2 menos x menos 2. Entonces, arriba me
quedaría el menos. Hay que cambiar los signos de x menos 2, que será de x
a menos x y de menos 2 a más 2, porque para que 2 y 2 son 4, el valor
absoluto de un conciente es igual al conciente de dos valores absolutos.
Por tanto, podéis poner el valor absoluto de 4 menos x y el valor absoluto
de 2, que es 2, es positivo, y partir por el valor absoluto de x menos 2.
Por tanto, tengo que el valor absoluto de 1 partido por x menos 2 menos 1
medio es igual al valor absoluto de x menos 4 partido por 2, el valor
absoluto de x menos 2. Entonces, si x menos 4, el valor absoluto, tiene que
ser menor que 0 o mayor que 0, por tanto, será... x menos 4 tendrá que
ser mayor que menos delta y menor que delta, o sea, x menos 4 tendrá que
estar en el intervalo centrado en el número. Por tanto, si sumo 4 a cada
término, sumando de la desigualdad, será 4 menos delta menor que x menos
4 más 4, que será x, y menor que 4 más delta. Por tanto, tendríamos que
la x tiene que estar... comprendida entre 4 menos delta y 4 más delta. Por
tanto, x menos 4, el valor absoluto, será menor que delta partido por 2,
partido por 2 que multiplica a... si la x es mayor que 4 menos delta, por
tanto, esto sería, tomando 4 menos delta, por tanto, esto será menor, por
tanto, sería 2, 2 por 4 menos delta, menos 2, ¿vale? Por tanto, 4 menos 2
sería 2, por tanto, me quedaría delta del número 2 partido por 2 que
multiplica a 2 menos delta. Esto tiene que ser menor que x, ¿vale? Por
tanto, delta tendrá que ser menor que cuadroéxil más... menos 2 εΔ,
¿vale? Por tanto, pasando al lado izquierdo, sería Δ más 2 εΔ menos
que 4 ε. Por tanto, Δ tendrá que ser menor que 4 ε partido por 1 más 2
ε. O sea, la Δ tendría que ser menor que 4 ε partido por 1 más 2 ε.
Evidentemente, 2 ε, aunque sea muy pequeño, es mayor que 0. Por tanto,
esto es menor, evidentemente, que 4 ε. Por tanto, basta tomar un Δ que
sea menor que 4 ε. Entonces ya se cumple el límite. Justificamos el
cumplimiento del límite. Bueno, otro también de justificación sería
justificar que el límite cuando x tiende a 2 de x cuadrado es igual a 4.
Aplicamos la definición. Para todo éxodo mayor que 0, existe un Δ mayor
que 0 tal que para todo intervalo x menos 2, ¿vale? x menos 2 sea mayor
que 0 menor que Δ, sería que x menos 2 sea menor que Δ y mayor que menos
2. O sea, x menos 2 fuese un intervalo abierto. De 0, ¿vale? Por tanto,
entonces tiene que ser x cuadrado menos 4 menor que 0, ¿vale? Por tanto,
tengo que ir a ver cómo puedo hallar un Δ en función de este éxodo en
que tomo. ¿Vale? Que aquí lo que decía, en el cerrado centrado en el 0,
¿vale? Tendría que ser x menos 2, o sea, 0 menor que x menos 2 menor que
Δ por definición. Por tanto, sería, si x menos 2 es menor que Δ,
será... Está comprendido entre menos Δ y Δ, ¿vale? Por tanto, tendría
menos Δ menor que x menos 2 menor que Δ, ¿vale? Por tanto, sumando 2 a
cada término de la desigualdad, me quedaría 2 menos Δ menor que x menos
2 más 2. Menor que 2 más delta. Por tanto, x menos 2 más 2 me queda
igual. Por tanto, sería 2 menos delta menor que x menor que 2 más delta.
Esto por un lado. Por otro lado, tenemos que x cuadrado menos 4, el valor
absoluto, puede poner x más 2 por x menos 2. x cuadrado menos 4 es a
cuadrado menos b cuadrado, es a más b por a menos 2. Diferencia de
igualdad. Sería el valor absoluto de x más 2 por x menos 2. El valor
absoluto es igual al punto de los valores absolutos, sea el valor absoluto
de x más 2 por el valor absoluto de x menos 2. Entonces, esto es menor.
Tomamos. x menos 2 es menor que delta y para x, para esta, tomamos el mayor
posible. En este caso, podría ser 2 más delta. La intervala está en n,
te tomas el índice. Esto sería menor que 2 más delta por x más 2. Por
tanto, sería 4 más delta. 4 más delta multiplicado por delta es igual a
4 delta más delta al cuadrado. Delta al cuadrado en números menores que 1
es menor que delta. Por tanto, sería esto menor que 4 delta más delta.
Esto sería 5. Esto tiene que ser menor que 4 delta más delta. Por tanto,
basta tomar a delta que sea menor que 4 delta más delta. Bueno, vamos a
ver un examen del año 2019 que en este caso no lo hemos publicado, es el
último. En el 20 no se publicaron. Dice, escribe la división definida por
las inequaciones x cuadrado más i cuadrado menos 4x más 2i mayor que 4 x
más i mayor que 1 y la ecuación general de la circunferencia sabemos que
x simple es x cuadrado más i cuadrado más un término que multiplica a x
los términos de penetrado a por x y el término que multiplica a x más b
por i, más igual a, o sea, los términos x cuadrado y cuadrado que entran,
¿vale? Y el otro puede que a y b sean cero, ¿vale? Pero cero puede ser
cero, ¿vale? O sea, si una circunferencia pasa por el origen, los
términos lineales no están, ¿vale? Si la identificamos con x menos a
elevado al cuadrado, más i menos b elevado al cuadrado, ¿vale? Si a y b
es el centro de la circunferencia, ¿vale? O sea, una circunferencia es un
conjunto de puntos cuya distancia es igual a mi, ¿vale? Por tanto, la
distancia sería x menos a elevado al cuadrado más i menos b, la distancia
al cuadrado, igual a r al cuadrado, ¿vale? Por tanto, por un lado tenemos
este desarrollo, por otro lado tenemos esto, y entonces desarrollando e
identificando los términos, ¿vale? Sabemos que... La a me queda igual a
menos a partido por dos, la b es igual a menos b partido por dos, y la r al
cuadrado es igual a a al cuadrado más b al cuadrado menos 2, ¿vale? Por
tanto, aplicando estas identidades, ¿vale? Tendríamos que la a es igual a
menos 4, por tanto será menos menos 4 partido por 2, que es 2. La b sería
menos b partido por 2, que en este caso sería menos 2 partido por 2, que
es menos 1. Y r al cuadrado es igual a a al cuadrado más b al cuadrado
menos 2, ¿vale? Por tanto, será la a es 2, por tanto 2 al cuadrado. La b
es menos 1, por tanto menos 1 al cuadrado. Y la c es menos 4, por tanto
será menos... T será menos menos 4, por tanto será 4 menos 5 y 4 al
cuadrado. Por tanto, r al cuadrado sería igual a 9, por tanto la r será
igual a 3, ¿vale? Por tanto, esta circunferencia, x al cuadrado más i al
cuadrado menos 4, ¿vale? x más 2 y menos 4 igual a 0, sea una
circunferencia de centro a c2 menos 1, ¿vale? Que la a vale 2 y la b vale
menos 1 y radio menos, ¿vale? Por tanto, la región situada en los puntos
de x más i... Sería x más y igual a 1, esta recta pasaría por el punto
0, 1 y 1, 0, sería esta recta, mayor que 1 será en la frontera, que es la
recta, esta será exterior a la circunferencia. Sería en el semiflato
superior x más y y exterior a la circunferencia, tal como está puesto, y
el 4 si lo pasaba aquí sería restando, sería x al cuadrado más y al
cuadrado menos 4x más 2y menos 4 mayor que 1. Y el otro x más y mayor que
1, por tanto sería esto. Otro ejercicio dice, sea. f de x igual a x más 5
y g de x igual a x al cuadrado menos 3. Calcular f compuesto con g de 0, g
f de 0, que sería la composición 0 al revés, f g de x, g f de x y f f de
menos 5. g g de 2, f f de x, g g de x. Vale, un poco largo pero claro. f
compuesto con g de 0 sería f g de 0, g de 0 es menos 3 y f de menos 3,
tengo que sustituir en la función f, vale, f de menos 3 es menos 3 más 5,
que sería 2. Vale. gf de 0 sería f de 0 es 5 sería g de 5 entonces
sustituimos que sería 22 fg de x es fg de x es x cuadrado menos 3 f de x
es x más 5 por tanto sería tenemos que sustituir la x de f por x cuadrado
menos 3 por tanto será x cuadrado menos 3 más 5 sería x cuadrado más 2
g compuesto con f de x sería g paréntesis f de x f de x es x más 5 y g
de x es x cuadrado menos 3 por tanto en vez de si busco f de x es x
cuadrado menos 3 g de x más 5 yo sustituyo la x por x más 5 por tanto
será x más 5 al cuadrado menos 3 desarrollando pues me quedaría x
cuadrado más 10x más 25 menos 3 por tanto será x cuadrado más 10x más
22 después f compuesto con f de menos 5 sería f f de menos 5 f de menos 5
es f de menos 5 f de 5 más x 5 más x por tanto sería menos f de menos 5
sería 0 vale por tanto esto sería f de 0 que f de 0 sustituyendo f en x
más 5 sería 5 vale gg de 2 a g de g de x es x cuadrado menos 3 por tanto
sería g de x 2 al cuadrado menos 3 es 1. g de 1 sustituyendo sería igual
a menos 2. f de x sería f de x es x más 5 por tanto sería f de x más 5
será x más 5 más 5, por tanto será x más 10. g compuesto con g de x
sería g g de x, por tanto g de x es x cuadrado menos 3, y entonces g de x
cuadrado menos 3 será x cuadrado menos 3 al cuadrado menos 3.
Desarrollando esto, pues sería el cuadrado del primero x a la cuarta menos
el doble del primero por el segundo, o sea 6x cuadrado más 9, más 9 menos
3 será 6. A ver, el 11 dice, dos personas estiran dos cuerdas desde la
punta de un poste vertical que vendremos hasta los puntos B y C del suelo.
T está a 10 metros más cerca de la base del poste que B. Dice, si a la
cuarta de T forma un ángulo de 35 grados con la horizontal, de la cuerda
CT un ángulo de 50 grados con la horizontal, pasa a la altura del poste.
Aquí tenemos el planteamiento de el cuadrado. El problema, ¿vale? Tenemos
T, ¿vale? Y esto es x, esto es la altura, ¿vale? Esto sería x, formado
esto sería 50 grados y este sería 30. La tangente de 50 es h partido por
x, la tangente de 35 es h partido la altura partido por x por 5, ¿vale?
Dividiendo ambas tangentes tenemos tangente de 50 partido por tangente de
35 la tangente de 50 era h partido por x la tangente de 35 es h partido por
x más 3. Por tanto, aquí me quedaría los h se simplifican, me quedaría
x más 10 partido por x, ¿vale? Y aquí despejamos pues x, ¿vale?
Entonces me quedaría x tangente de 50 igual a x tangente de 50 x más 10
por tangente de 35. Por tanto, me quedaría x tangente de 35 más 10 por
tangente de 35. Por tanto, pasando los términos de x a la reacción, me
quedaría x que multiplica a tangente de 50 menos tangente de 35 igual a 10
por tangente de 35. Por tanto, la x me quedaría igual a 10 por tangente de
35 partido por tangente de 35 menos tangente de 35. La altura sería igual
a x por la tangente de 50. Ahora ya tenemos la f, ¿eh? O sea, recordar que
la tangente de 50 era h partido por x. Por tanto, ahora tenemos que ya
tenemos x. Por tanto, la h será x tangente de 50. Entonces, la x es 10
tangente de 35 partido por tangente de 50 menos tangente de 35 Por tanto,
sería 10 por tangente de 35 por tangente de 50 partido por tangente de 50
menos tangente de 30. Estarrollando esto, el cálculo este me da 4,45. El
2, el 2 hay que demostrar que la ecuación x al cubo menos 15x más 1 tiene
un 0 entre 0 y 1. Bueno, aquí tenemos que aplicar el teorema de Bolzano,
¿vale? f de x es igual... Tiene un intervalo 0 y 1, ¿vale? f de x es
igual a x al cubo menos 15x más 1 que es una función continua en todo
el... particularmente en el intervalo y que cumple, ¿vale? Entonces, f de
0 igual a 1. Vale, sustituyo la x por 0. Por tanto, me quedaría este 0,
este 0. Por tanto, me queda 1. Y f de 1 sería 1 al cuadrado menos 15. Esto
sería menos 14. Más 1 menos 13. Por tanto, a un lado es mayor que 0 y al
otro lado es 0. por lo tanto, como es continua, evidentemente pasa de
positivo a negativo tiene que pasar por aquí, por lo tanto existe un punto
de intervalo 0,1 interior que f de x cuadrado si derivamos f de x, sería
la derivada de x cubo, sería 3x cuadrado y la derivada de 15x es 15, la
derivada no es 0 por lo tanto me quedaría 3 por x cuadrado menos 5 que
puedo poner 3 por x más 5 por x menos 5, que es negativa en 0,1 este
término, y lo positivo en 0,1 sería negativo por lo tanto la derivada es
negativa, por lo tanto en el intervalo 0,1 la función es estrictamente
decretiva por lo tanto la ecuación solo tendrá una solución, hay otro
ejercicio en 2b que dice, calcular la ecuación de la tangente del punto
menos 1,1 de la curva dada por x partido por y más x partido por y al cubo
igual a 2 si derivamos esta expresión tenemos para la primera la derivada
de un bien consciente que sería, la derivada de x es 1, la derivada de y
sin derivar, menos x sin derivar por la derivada de y que es x, a partir
del denominador que es y cuadrado más la derivada de de 3x partido por y
sería 3x partido por y esto estaría en el resultado sería 3x partido por
y al cuadrado vale, por la derivada de y, de de x partido por y, que es
esta, ¿vale? Por tanto, me quedaría 1 más y menos x, y' partido por y
cuadrado por este factor, sacando el factor c. Igualando esto a 0,
evidentemente, este técnico será siempre positivo, por tanto, me
quedaría que y menos x por y' partido por y cuadrado igual a c. ¿Vale?
Por tanto, tendría que ser la y igual, o sea, el numerador y menos x'
tiene que ser igual a 0. Por tanto, encuentro que y' sería y partido por
x, ¿vale? El punto en este punto, la derivada vale menos 1 partido por
menos 1 que es 1, ¿vale? La ecuación de la recta tangente es y menos y
sub 0 igual a y' de 0, ¿vale? Y' de 1 que es 1, por x menos menos 1. Por
tanto, me quedaría y menos menos 1, que sería y más 1, igual a 1 por x
más 1. Me quedaría y más 1 igual a x más 1, por tanto, me queda que es
y igual a 1, ¿vale? Por tanto, ya tendríamos la ecuación de la recta
tangente. ¿Vale? Aquí, sobre todo, ¿vale? Si aquí tomamos este
término, o sea, hagamos factor común esto es la derivada de x partido por
y ¿vale? Y aquí, pues tanto, aquí deriva una función de otra función.
La derivada de x partido por y al cubo es 3 por la derivada por x partido
por y elevada a 3 menos 1 que es 2, por la derivada de x partido por y, que
es esta expresión ¿vale? Por tanto, aquí Si esto tiene que ser igual a
0, esto es un cuadrado, ¿vale? 3 por este término elevado al cuadrado y
aquí sumando 1. Por lo tanto, esto siempre es positivo, no puede ser 0.
Solo puede ser 0 este factor. Aquí el factor es un cociente y para ser 0
tiene que ser 0 un numerador. Por lo tanto, me queda que tiene que ser y
menos x y' igual a 0. Por lo tanto, me queda y' igual a y partido por x.
Por lo tanto, encontramos ya, dice, calcular la máxima área de un
triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 centímetros de
longitud. Calcular, utilizar la mitad de la longitud del tercer lado como
variable para expresar el área del triángulo. Simplemente, esto sería x,
esto sería x, o sea, no la base sea la de x, ahí no se vea, ¿vale?
Entonces, ¿qué es lo que se puede hacer? Entonces, el área del
triángulo es base, que es 2x, por la altura partido por 2, ¿vale? Por lo
tanto, sería x por la altura, ¿vale? O sea, mitad de la base, en este
caso, es 2x, por lo tanto, sería x por h. Entonces, por el terreno de las
quitámaras tenemos que h al cuadrado más x por h, igual a 10 al cuadrado,
¿vale? Por lo tanto, despejando la h, sería h raíz cuadrada de 10 al
cuadrado menos x cuadrado, ¿vale? Por lo tanto, la despejamos y la h
sería raíz cuadrada de 10, bueno, de 10 al cuadrado menos x cuadrado. Por
lo tanto, el área sería x por raíz de 10 al cuadrado menos x cuadrado.
Ahora tenemos la función. La función que nos da el área, la función de
una variante. Por lo tanto, derivamos el área, ¿vale? Que se ha llevado
un producto. De a uno la derivada de x por la raíz de 10 al cuadrado menos
x al cuadrado sin derivar, más x sin derivar. La derivada de la raíz
cuadrada de 10 al cuadrado menos x al cuadrado es uno partido por dos raíz
de 10 al cuadrado menos x al cuadrado. por la derivada de 10 al cuadrado
que es el número que está a cero y por la derivada de x al cuadrado que
es 2x sería menos 2x algo en el número por lo tanto, el 2 para
simplificar y me quedaría 1 por la raíz que queda igual por lo tanto
sería raíz de 10 al cuadrado menos x al cuadrado igualando a cero la
derivada tendríamos que 100 menos 2x al cuadrado igual a 100 por lo tanto
la x sería la raíz de 50 que sería 2 por 5 al cuadrado por lo tanto 5
raíz de 2 por lo tanto el área máxima para entonces buscamos el área
máxima por lo tanto no pide solo la x sino que tenemos que calcular el
área para calcular el área es fácil el área sería x raíz que es 5
raíz de 2 raíz cuadrada de 10 al cuadrado menos x al cuadrado que es 5
raíz de 2 al cuadrado operando esto me daría 50 por lo tanto Como la
longitud son centímetros, se hacen centímetros cuadrados. Determinar los
valores de x para los que la serie suma de 1 al infinito de 2x más 3
elevado a n dividido por n elevado a 1 tercio por 4n. Aplicamos el criterio
del cociente, que es el límite cuando n tiende al infinito de valor
absoluto de a sub n más 1 partido por a sub n. Eso tiene que ser menor que
1. a sub n sería 2x más 3 elevado a n más 1 partido por n más 1 elevado
a 1 tercio por 4n, que sería, en este caso, 4n más 1. El denominador
sería 2x elevado a n partido por n elevado a 1 tercio por 4n. Por tanto,
aquí tenemos que este, voy a simplificar con este, que queda 2x en valor
absoluto, bueno, 2x en valor absoluto, por tanto, sacándolo fuera, sería,
cuando está afectado por Bayer, puedo poner 2x en valor absoluto, por el
límite cuando n tiende a infinito de n elevado a 1 tercio por 4n, que pasa
al numerador, y en el numerador me quedaría n más 1 elevado a 1 tercio
por 4 que multiplica n más 1. Aquí, estos límites, yo tendría, este
podría contar n elevado a 1 tercio partido por n más 1 elevado a 1
tercio, evidentemente, este límite es 1, y el otro límite, 4n partido por
4n más 1, también es 1. Por tanto, aquí tendría que el límite de este
factor sería L. Ahí sería 1, ¿vale? Por tanto, tiene que ser valor
absoluto de 2X más 3 menos 1, ¿vale? En principio la serie será
absolutamente convergente en el intervalo menos 2 menos 1 solución de esta
inequación, ¿eh? ¿Vale? 2X más 3 menor que 1, ¿vale? La solución de
esta inequación ¿vale? Es el intervalo menos 2 menos 1, ¿vale? Yo tengo,
¿eh? Si le voy a dar la solución de esta inequación, sería 2X más 3
menor que 1, por tanto, menos 1 menor que 2X más 3 menor que 1, ¿vale?
Como quiero eliminar, despejar la X, pues resto 3 a cada lado de la
desigualdad, ¿vale? Menos 1 del resto 3, 2X más 3 del resto 3 y 1 del
resto 3. Por tanto, me quedaría menos 1 menos 3 es menos 4 2X más 3 menos
3 esto se va y por tanto me queda 1 menos 3 menos 2. Por tanto, divido por
2 me queda menos 4 partido por 2 menor que 2X partido por 2 menor que menos
2 partido por 2. Por tanto, me quedaría menos 4 partido por 2 es menos 2
menor que X menor que menos 2. Por tanto, de entrada en el interior del
intervalo menos 2 menos 1 más 6 es convergente. Vamos a ver la
convergencia en los límites, ¿vale? Para X igual a menos 1 nos resulta la
serie sustituimos la X por menos 1 y me quedaría menos 2 más 3, por
tanto, me quedaría 1 partido por N a la 1 tercio por 4N N a la 1 tercio
por N sería N a la 4 tercios sumando 1 más 1 tercio 4 puedo sacar fuera
el sumatorio y por tanto me quedaría la serie suma de 1 a infinito de 1
partido por 4 la serie esta es armónica con P igual a 4 tercios que es
mayor por tanto, como la serie armónica es convergente, por tanto para
este valor por tanto en X igual a menos 1 es absolutamente convergente
¿qué me quedaría? para X igual a menos 2 me quedaría 2 por menos 2
sería menos 4 más 3, me quedaría menos 1 elevado a n, por tanto me
quedaría menos 1 a n partido por n al cubo por 4n que evidentemente sería
absolutamente convergente un valor absoluto que hemos visto que es
convergente, por tanto esto sería absolutamente convergente por tanto, en
X igual a menos 2 también es absolutamente convergente ¿vale? por tanto,
la serie sea absolutamente convergente en el intervalo menos 2 menos 1 si
aquí hay un ejercicio en los modelos de antes siempre ponían uno de
estos, ya lo dije en tutorías anteriores ¿vale? y bueno, aquí veis
quizás lo que no hay son algunos de integrales, pero más o menos es un
tipo de modelo de examen que si este año no es de respuesta cerrada
podría llegar a ser, no lo sé porque el profesor de este año es nuevo y
entonces no sé por qué lado irá a tirar irá a derivar el examen pero
más o menos podría ser un examen de este tipo ya veis que muy difícil no
lo es pero un poco elaborado que entra otra cosa, pues el principio de
preliminares entra más o menos continuidad de funciones composición
límites de regiones es fácil saber a qué lo hace, cociendo la
circunferencia sobre todo composición Bueno, este problema también puede
entrar, que es de trigonometría. Después, el problema de localizar
raíces de ecuaciones, que es el problema de Bolzano. Pero si dicen, ve que
solo hay una, hay que ver que en el intervalo la función es estrictamente
creciente o decreciente. Yo no puedo asegurar que solo haya una raíz. Y
después, esto de la tangente, aquí hay que derivar la función implícita
y ir despejando. Y aquí un problema de maximización o utilización, que
no es muy difícil. Y aquí series. O sea, series veo que más o menos en
todos los exámenes han ido preguntando. De años anteriores y este año
supongo que ha quedado disuelto. Pues bueno, en principio esto es todo. Son
ejercicios que han salido en exámenes anteriores, pero nos pueden servir
para repasar y para haceros un poco de idea de por dónde irán. Aquí
había cuatro ejercicios. No sé cuándo se ha dicho que pondrá, pero más
de cinco no. Pero claro, aquí... En este examen, o sea, cuatro ejercicios,
pero primero era 1A, después 1B, había dos ejercicios en el 1 y 3
ejercicios. Que bueno, este aquí es fácil, pero es un poco largo porque
hay bastantes composiciones. Después aquí uno de trigonometría, que
también es un poco largo. O sea, son ejercicios de un punto. Bueno, aquí
yo podría haber aplicado también el teorema del seno. Pero bueno...
También os aconsejo que os miréis, aunque aquí no ha salido en este
examen, pero si al principio, con esto no creo que es una derivada de un
producto. También se podría hacer multiplicándolo todo y después
derivando tipo a la derivada de un polinomio. Bueno, habrán algunos
exponentes, uno partido por R, pero bueno, en principio también otra
opción he hecho a la derivada de un producto, pero podría ser
multiplicarlo todo y derivar. Entonces ya no derivo productos. Esto es el
teorema del borde medio. Demostrar alguna identidad, hay alguna
desigualdad, a partir del teorema del valor medio. Esto mirarlo, porque
podría entrar alguna cosa de estas. Bueno, más o menos, no sé. Bueno, un
poco repartido, no sé, la P que puso, no sé si va a seguir. El examen
igual, pero era de los años, o el año más fácil que yo he visto. Los
otros años eran más difíciles, este año era muy fácil. No sé si
seguirá por la misma línea, si sigue por la misma línea, pues el examen
será fácil. No sé, no creo que ahora, yo diría que seguirá por la
misma línea. No creo que pase de una línea muy, muy fácil, después a
poner el examen más difícil, que es la línea que has seguido desde el
principio. Por tanto, no sé, el examen yo diría que... Puede ser bastante
asequible. Bueno, pues por mi parte nada más. Desearos que tengáis suerte
en el examen, tanto si vais en la primera como en la segunda semana. Y pues
bueno, que sea un éxito y salud para todos. Muchas gracias por vuestra
atención y hasta otra.