Y vamos a ver la tutoría 3 que tiene que ver con las oscilaciones
amortiguadas. Bien, pues las oscilaciones amortiguadas van a aparecer en
los sistemas físicos cuando tenemos fuerzas de fricción, pero vamos a
considerar fuerzas de fricción aerodinámicas, no fuerzas de rozamiento
seco. Estas fuerzas lo que hacen es hacer disipar, hacer perder energía al
sistema físico que oscilaba con movimiento armónico simple, cuya
dinámica vimos en la tutoría anterior, de forma que cualquier
oscilación, pensar en un péndulo o en un muelle, por ejemplo un muelle
vertical, pues tras corría un cierto tiempo el sistema físico deja de
oscilar. Bueno, antes de seguir con la tutoría de hoy, si queréis hacer
alguna pregunta o observación del material que os he mostrado, podéis
dejarme un comentario. ¿Qué es lo que hayáis estudiado? ¿Pregunta o
observación? Vale, pues seguimos. Entonces vamos a considerar fuerzas
disipativas que generan o son candidatos a generar oscilaciones
amortiguadas del tipo, fuerza que se me va a poner vectores, fuerza igual a
menos b por v. Es decir, fuerzas de rozamiento que se oponen a la
velocidad. Por eso el signo menos, fuerza opuesta a velocidad. Mediante un
coeficiente constante que no depende del tiempo b, que se llama coeficiente
de amortiguamiento viscoso. Ese coeficiente de amortiguamiento viscoso b en
el sistema internacional de unidades será el newton por segundo partido
por metro. Y en el sistema anglosajón, en este caso estadounidense de
unidades, libra fuerza por segundo partido por pie. Vale, pues entonces...
Entonces añadiremos a los elementos que caracterizaban las oscilaciones
del más, los muelles con una constante k. Ahora vamos a introducir otro
elemento que es un amortiguador, que representaremos muchas veces de esta
manera, conectado con un hilo a los elementos mecánicos. Igual que el
muelle tiene una constante k, el amortiguador tiene una constante b,
llamada coeficiente de amortiguamiento viscoso. Vale, pues los
amortiguadores, estos son amortiguadores reales. La forma más sencilla
suele estar formadas por un casquete fijo, de plástico o de vidrio, y un
émbolo. Un émbolo y dentro del recipiente cilíndrico, pues un fluido que
puede ser aire o cualquier otro líquido. Los símbolos para amortiguar.
Para representar en los problemas los amortiguadores, pues este es el
símbolo de un texto del que vamos a hablar sobre los problemas hoy, que es
el... Ya lo he citado otras veces, el Ingeniería Mecánica Tomo II de
Riehl & Sturges. Y el símbolo, digamos, normalizado para el amortiguador
en mecánica, ingeniería mecánica, sería este. Bueno, aquí tenemos un
cilindro fijo y un émbolo que se mueve. Con el parámetro B. Entonces, en
este enlace, pues que es una empresa que construye amortiguadores, tenéis
en el material que os subiré esta noche o mañana sobre esta clase, un PDF
con un vídeo incrustado sobre cómo funcionan los amortiguadores. Un
segundo, que parece que no me pasa página. Hola, hola, ¿me escucháis?
Perdón, ¿me podéis decir en el chasis? ¿Me escucháis? Vale, es que no
sé por qué no... Ah, vale, ya pasa página. Vale. No sé qué ha pasado,
a ver si puedo volver hacia atrás. Vale. Entonces, en este vídeo, que os
invito a que lo miréis incrustado en el PDF, porque a través de esta
aplicación no podemos, veréis cómo montar y cómo trabaja un
amortiguador de los que he presentado en la transparencia anterior. Es
interesante porque, bueno, como ya más o menos tenemos un contacto con
él, hemos pasado por el laboratorio de física, pero con los
amortiguadores físicos no, con los amortiguadores mecánicos. Y en el
vídeo, el vídeo va básicamente de cómo trabaja un amortiguador por
empuje y cómo trabaja por tracción. Empuje versus tracción al instalar
un amortiguador en un circuito mecánico. ¿Vale? Bien, pues aquí tenéis
la comparación. En grosso modo, del muelle con el amortiguador, igual que
sobre el muelle aparece una fuerza que decía en módulo la ley de Hooke,
fuerza igual a K por desplazamiento, nos va a aparecer en el amortiguador
una fuerza que en módulo es el parámetro del amortiguador por la
velocidad. Y eso es importante. Cuando voy a ponerlo en módulo, F igual a
B por V. En cada problema será muy importante determinar quién es esa V.
Esa V veréis que básicamente es la velocidad relativa del amortiguador,
que a veces coincide y a veces no con la velocidad de la partícula,
dependiendo del sistema físico. La típica oscilación de amortiguación,
aquí tenéis el representante canónico de un sistema que oscila de forma
amortiguada, un muelle de constante K, un amortiguador de constante B y
aquí tenéis la ampliación. La amplitud que decrece con el tiempo hasta
que, debido a la pérdida de energía, la oscilación cenece. Bien, pues
entonces, suponiendo que tenemos aquí un sistema de referencia, voy a
poner una pared, esta es la coordenada I sub 1, esta es la coordenada I sub
2. Para el amortiguador, esta es la coordenada I sub 1. Esta es la
coordenada I sub 2. La ley de Huth te dice que la fuerza K, F sub K, es la
constante K del muelle por la, digamos, distancia relativa, I2 menos I sub
1, ¿sí? A ver qué me decís. Vale, estoy en eso, lo estoy explicando
justo ahora de Ortiz. F igual a B por V, estoy explicando quién es esa V,
¿vale? ¿Te sitúas? Vale. Este es el amortiguador. Entonces, respecto a
un sistema fijo, imaginaros una pared, esta es la coordenada I sub 1. Y
esta es la coordenada I sub 2. La ley de Huth la tenemos más clara. ¿Qué
es la ley de Huth? El módulo de la fuerza elástica es la constante K por
la distancia relativa. El módulo de la fuerza de amortiguación es la
constante B por la derivada respecto del tiempo de la distancia relativa.
Luego, la V que preguntaba Ortiz es la velocidad relativa, de I2 menos I
sub 1. Eso, en algunos problemas, o en muchos problemas, puede coincidir
con la velocidad de la partícula a la que está conectada el sistema en
otros momentos. Y será siempre importante identificar esa velocidad en
cada problema. ¿Vale? Pues lo que dice aquí, un amortiguador es como un
resorte, salvo que ejerce fuerzas que son proporcionales a la velocidad
relativa de sus dos extremos. ¿Lo tenemos todo claro, os digo? ¿Seguimos?
Muy bien. Vale, pues lo mismo. Creo que esta comparación es interesante.
Es visual. Aquí lo único que he hecho es que si I2 menos I sub 1 le llamo
LDT, pues esta F sub B será B por la derivada respecto al tiempo de la
longitud esa en el amortiguador que varía con el tiempo. Claro, pensar que
esto es un émbolo, pues una vez descomprime más, otras veces comprime
menos. Vale. Pues, ahora, asociado a esta ley vectorial, a esta
interacción, a esta fuerza, que es la fuerza de amortiguación
aerodinámica, pues la ecuación diferencial asociada a un sistema con un
grado de libertad, sistema como en el más X de libertad, grado de libertad
X de T, ya vimos que era un grado de libertad, que sometida a esta fuerza
nos da esta ecuación diferencial que es aceleración, como antes, más
constante por posición. Ahora, el término nuevo es más constante por
velocidad igual a cero, es decir, una ecuación diferencial de segundo
orden, donde aparece la segunda derivada que es la aceleración, la primera
derivada del grado de libertad que es la velocidad y la posición. Este 2
gamma es una normalización que yo uso, de hecho, bueno, sigo las notas
para esta ecuación diferencial del libro de mecánica clásica de Rañada
que lo tenéis en la bibliografía. Voy a borrar, a ver si puedo poner esto
en rojo. Vale, cojo el lápiz. Vale, pues este 2 gamma es, siguiendo las
notas del capítulo de oscilaciones amortiguadas del libro de Rañada,
mecánica clásica, 2 gamma es el parámetro B partido por M. Pongo aquí R
de Rañada y en mis apuntes. Y borro este garabato que creo que por delante
no he borrado. En cambio, ojo, que en el French la ecuación diferencial es
gamma. Es X dos puntos más gamma por X punto, si queréis podéis llamarlo
gamma prima, más omega cero cuadrado por X igual a cero. ¿Vale? Entonces,
con esta normalización el gamma prima es B partido por M. O sea que hay un
factor 2 entre la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas
para un grado de libertad según el Rañada y mis notas y la que aparece en
el French. ¿De acuerdo? Solamente por estética. ¿Vale? Luego veréis
dónde vuelve a aparecer ese 2. En todo lo que queda de tutoría, pues
siempre la relación será 2 gamma partido B partido por M cuando aparece
aquí este coeficiente en la ecuación diferencial. Preguntas o
observaciones. Pues seguimos. Raba, R, vuelvo hacia atrás, R es Rañada.
Libro del Rañada. Mecánica clásica. Y F de French. Y Raba no tienen por
qué ser equivalentes. Tú a lo que multiplica la velocidad lo puedes
llamar gamma o 2 gamma, la normalización que tú quieras. Simplemente
luego veréis porque una vida media que te da el tiempo en promedio que el
sistema está oscilando de forma amortiguada, pues con uno tienes que
dividirlo por dos y con otro no. ¿Vale? Seguimos. Entonces el sistema más
sencillo, el representante canónico, representante canónico de todas las
oscilaciones amortiguadas va a ser este sistema, una masa M, un plano
horizontal sin rozamiento estático, un amortiguador con el parámetro B y
un muelle que da la elasticidad del sistema con la constante K. Si cogemos
un instante de tiempo la masa M una vez está a la derecha otra a la
izquierda, una vez es a la derecha otra es a la izquierda. Hacemos una foto
en un instante donde la masa M está a la derecha y la ecuación
diferencial en el eje de las Y en el sistema de referencia en el eje de las
Y sólo tienes normal menos peso igual a cero y en el eje de las X tienes
pues hacia la derecha la fuerza del amortiguador, hacia la derecha la F sub
K, hacia la izquierda entonces la X de T. Es decir, la aceleración en esta
foto va hacia la izquierda negativa, la fuerza elástica y la fuerza del
amortiguador hacia la derecha. Pues eso te lleva a esta ecuación
diferencial. Ahora la diferencia con el Más es que no sé siempre que un
sistema físico obedece a esta ecuación diferencial tiene su oscilación.
Esta ecuación diferencial tiene tres soluciones. Esta ecuación
diferencial de segundo orden tiene tres soluciones. Bueno, recordad que
esto es mejor llamarle frecuencia natural del sistema y sólo una de ellas
oscila. Vale, vamos a ver si en la siguiente transparencia es decir,
llegamos a esta ecuación diferencial la física está en M en K y en B y
el armadillo Y aquí en las matemáticas ponemos frecuencia natural del
sistema, parámetro de amortiguación y una nueva frecuencia que nos va a
aparecer que es la frecuencia de amortiguación omega sub gamma. Radianes
partido segundo gamma, recordad que hemos puesto la normalización 2 gamma
igual a B partido por M entonces gamma es B partido 2M son radianes partido
segundo pues tenemos, tenemos tres frecuencias la frecuencia natural del
sistema la frecuencia gamma y la frecuencia V sub gamma. W sub gamma es la
frecuencia natural del sistema que oscila en caso de que el sistema oscile.
Para que un sistema oscile de forma amortiguada debe de cumplir esta
ecuación diferencial pero no todo el sistema físico que cumple esta
ecuación diferencial oscila eso es importante tenerlo en cuenta ¿Qué
vale omega sub gamma? Aquí lo tenéis omega sub gamma vale la raíz
cuadrada de la frecuencia natural al cuadrado menos gamma al cuadrado la
frecuencia natural al cuadrado K partido por M como en la lección
anterior. ¿Vale? Los métodos para encontrar estas soluciones ya lo
habéis visto en matemáticas usamos combinaciones lineales X de T la
solución proporcional A elevado a gamma T entonces al introducir este tipo
de soluciones en la combinación lineal os queda un polinomio de segundo
grado que es el polinomio característico con dos soluciones lambda uno
lambda dos la X de T se convierte en esa combinación lineal y tenéis que
tener en cuenta las condiciones iniciales X en cero será C uno más C dos
X punto en cero C uno lambda uno más C dos lambda dos un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas ese sería el método de solución
matemático pues todo eso lo he resumido para los problemas en esa
transparencia un sistema físico con un grado de libertad cuya segunda ley
de Newton o cuyo teorema de la energía derivándolo te lleve a la
ecuación diferencial aceleración más constante por velocidad más
constante por posición donde la constante es la velocidad dos gamma
cumpliéndose esto y donde la constante es la velocidad de la posición es
la frecuencia natural del sistema al cuadrado pues este sistema tiene tres
soluciones esta solución que se llama amortiguamiento subcrítico esta
solución amortiguamiento crítico y esta solución amortiguamiento
supercrítico nos centraremos en esta teoría sólo en esta solución
porque sólo oscila el sistema en amortiguamiento subcrítico
amortiguamiento subcrítico y amortiguamiento supercrítico son
comportamientos de x de t la solución claro será x de t pero el x de t
del amortiguamiento crítico y el amortiguamiento supercrítico no oscilan
entonces para poder tener oscilación tienes que tener amortiguamiento
supercrítico y eso es que la frecuencia natural al cuadrado sea mayor que
gamma cuadrado estos simbolitos que aparecen aquí tan mal para que el
sistema oscile de forma que se llama amortiguamiento subcrítico que es la
única oscilación posible la omega sub gamma que es la raíz cuadrada
omega cero cuadrado menos gamma cuadrado tiene que pertenecer a lo real en
caso de que sea cero es decir frecuencia natural del sistema al cuadrado
coincida con gamma cuadrado el sistema no oscila y se dice que está en un
régimen de amortiguamiento crítico y cuando esto pertenezca a los
complejos se dice que el sistema del grado de libertad está en
amortiguamiento supercrítico y tampoco oscila aquí debería de poner
pertenecer a los complejos preguntas se entiende este esquema aquí tenemos
los parámetros matemáticos gamma frecuencia natural al cuadrado
frecuencia de amortiguamiento en función de los parámetros físicos que
son cayenne vale pues entonces la solución ajustada a las condiciones
iniciales en el caso de amortiguamiento subcrítico el único en el que hay
oscilación es que la x de t es c por e elevado menos gamma t por el seno
de omega gamma t más delta donde necesariamente c va a ser una constante
no depende del tiempo pero que es función de las condiciones iniciales x 0
y v 0 pues ya lo doy para todos los problemas y delta no depende del tiempo
pero es el desfasaje inicial que también depende de las condiciones
iniciales x 0 y v 0 así se obtiene c así se obtiene delta como la inversa
de eso entonces el grado de libertad que oscila según esta plantilla tiene
un periodo que es 2 pi partido omega gamma partido la frecuencia natural
del sistema esto sería en un más el omega gamma recordar que omega gamma
es más pequeño que la frecuencia natural del sistema esto será omega 0
cuadrado menos gamma cuadrado y si esto es un número real pues entonces es
algo más pequeño que omega 0 y entonces para esta frecuencia de
amortiguamiento pulsación angular de amortiguamiento el periodo es 2 pi
partido omega gamma no confundir la frecuencia natural con la frecuencia
angular de amortiguamiento vale pues tenemos la plantilla bueno una
observación antes entonces esta amplitud yo la puedo llamar cdt entonces
es una amplitud que depende del tiempo eso es lo que caracteriza al
amortiguamiento subcrítico frente al más una de sus características
relevantes es que la amplitud decrece con el tiempo porque es un número
por una exponencial decreciente menos gamma t de acuerdo ojo que entonces
en la solución que usa el french pues aquí habrá un 2 entre uno uno y
otro vale bien pues aquí tenéis la representación la función su
representación matemática da mate esta otra así total menos c por
elevado o menos danлат y lo que oscila en rojo aquí hay un máximo y
aquí hay un máximo y aquí hay un máximo y aquí hay un máximo máximo
este periodo que es 2 pi partido mega gamma tiene el significado de ser
esos tiempos consecutivos entre dos máximos o dos mínimos donde va
decayendo c por elevado menos gamma t es como decae la amplitud preguntas
observaciones vale un poquito lento bien las otras dos soluciones no ha
entrado mucho en ellas una es amortiguamiento súper crítico esto es
cuando me da su gama pertenece a los complejos recordar que se daba esto el
grado de libertad es algo así donde es una combinación lineal de esta
solución y de ésta y porque al ver a veces me dicen el chat porque estas
dos soluciones que son su combinación lineal también lo será que son
soluciones de la ecuación x 2 más 2 gamma x punto más omega 0 cuadrado x
igual a cero porque son soluciones que indican que el sistema no oscila
porque la solución roja la solución verde son que son soluciones de esta
ecuación diferencial son de no oscilación porque no tienen partes
unicional no exactamente qué significa oscilar significa que yo tengo que
estar a la derecha y a la izquierda de la posición sí que espero dice que
dice dice cesar pedro no llega a realizar la primera oscilación sí porque
el césar pedro no llega a realizar la primera oscilación cuando recibe la
primera oscilación decrece sí pero no para hacer porque es muy bien
porque no cambia de signo para que esto sea una oscilación x función del
tiempo unas veces tiene que ser positivo y otras negativos sí o no
físicamente estoy a la derecha o la izquierda de la posición de
equilibrio estoy arriba o abajo de la posición de equilibrio ese derecha o
izquierda o arriba o abajo en la función x de t necesariamente implica un
cambio de signo pues entonces cuando omega sub gamma pertenece a los
complexos lejos aquí hay mucha física estas soluciones son físicas
ocurren cosas pero no son de oscilaciones como estamos en las dilaciones
pues no se ha dado mucha importancia y creo que el libro de fe tampoco se
entiende y el otro caso es el amortiguamiento crítico justo el límite
cuando omega su gama es cero que estáis está en el límite donde la
función decrece pero no bueno corta al eje sería un sistema un muelle y
una mano y un amortiguador c o b pero si los valores de k y c son tales que
la frecuencia natural es cero este sistema no oscila no siempre que te
pinto en un muelle y un amortiguador el sistema va a oscilar preguntas
observaciones nos vamos a centrar en el caso de amortiguamiento crítico
que es el de oscilación vale aquí tenéis una especie de simulación
numérica donde tenemos un sistema físico con un parámetro b de
amortiguación en el sistema internacional de unidades que vale una
centésima una masa de 15 kilos y una constante k de 60 unidades del
sistema internacional vale entonces si represento x dt cómo sé esto que
se parece a un movimiento armónico simple o una amortiguación como
distingue un más de un movimiento amortiguado gráficamente al representar
x dt alguien me lo dice en el chat la varía perfecto aquí nos tendríamos
que fijar muchísimo parece que es 20 y la siguiente varía un poquito pero
prácticamente el amortiguamiento es tan pequeño dar cuenta que esto es
una centésima para estos valores que no se diferencia mucho el más de la
amortiguación en los siguientes slides lo que voy a hacer es aumentar b2 y
b3 dejando m y k constantes recordar que omega cero cuadrado omega 0 es la
raíz de k partido por m dijo la caída m constantes en el siguiente a ver
en el siguiente ya se puede apreciar he puesto el parámetro de
amortiguación lo ha aumentado en 100 veces así que se observa que la
segunda amplitud decrece vamos aumentando para ver cómo va a funcionar el
movimiento amortiguado igual a 1 ya tengo el típico la amplitud
decreciendo vale y así voy aumentando justo para este experimento
numérico para igual a 40 habría llegado a amortiguamiento crítico el
límite por el cual el sistema ya no me sirve para oscilar si lo que quiero
es que poner un muelle y un amortiguador en un diseño mecánico que oscila
vale bueno pues sacaríamos el periodo las curvas en azul son la amplitud
que decrece el rojo lo que oscila ya lo he dicho vale y ahora nos vamos a
ver algunos parámetros que caracterizan el amortiguamiento sub crítico
llamaremos tiempo de relajación tau y tiene el significado de medida de la
vida media del oscilador a uno partido por gamma si estuviera en el frente
pues serían dos gamas porque yo esto está igual o no partido por gamma
justo el Esto justifica la normalización 2GAP más igual a B partido por
E. ¿A qué os recuerda esto? Que hayáis estudiado en bachillerato. Eso
que lleve vida media. A la nuclear, muy bien, Rabalcaba. Era la vida en
promedio en una desintegración nuclear. Aquí lo que te está dando esa
vida media es, si la oscilación es así, como la oscilación al final
acaba muriendo el tiempo en promedio que está oscilando el sistema. Esta
sería su vida media. Si está claro que si la frecuencia natural, si W sub
cero es mucho más grande que gamma, el sistema oscilará más. Omega sub
gamma es más grande y viceversa. Vale, pues vamos a definir el decremento
logarítmico, se escribe con un triángulo. Aquí hay que definirlo. Aquí
hay una rata, esto es igual. Aquí es igual. Igual. No idéntico. Al
periodo de gamma partido por tau, que es 2pi partido gamma partido la
frecuencia natural. Ahora en la siguiente transparencia veremos de dónde
viene eso. Pero el decremento logarítmico se define y se mide como el
logaritmo neperiano de la señal x de t partido x de t más un periodo. Y a
veces interviene. Y a veces se introduce el coeficiente de amortiguamiento
xi como gamma partido la frecuencia natural del sistema. Y se obtiene que
este cociente es igual al decremento logarítmico partido la raíz cuadrada
de 2pi cuadrado más el decremento logarítmico. Es decir, el decremento
logarítmico se mide en el laboratorio. Delta, decremento logarítmico se
mide en el laboratorio. Si conoces la masa y la k, conoces la frecuencia
natural, esto te permite determinar la gamma. Determinar la gamma como
2gamma es b partido por m, si conoces la m. Determinar la gamma a partir
del decremento logarítmico te permite medir el parámetro de
amortiguamiento. ¿Se entiende? Pues con esas definiciones vamos a ver
cómo podemos trabajar. Ya sea de forma analógica o de forma digital, si
yo tengo la señal x de t, pues yo puedo llamar x1 a la señal en un
instante dado, en t1, y x2 a la señal en un instante dado t2, donde t2 va
a ser t1 más el periodo. Entonces, debido a la periodicidad, si t2 es t1
más el periodo, me queda que x1 partido x2 es elevado a menos gamma t1,
dividido elevado a menos gamma t1 más el periodo. ¿Estáis de acuerdo?
Pues trabajando con las expresiones. Entonces, si yo tomo el logaritmo
neperiano de x1 partido x2, ya eso lo he definido como decremento
logarítmico, me queda que el decremento logarítmico es el logaritmo
neperiano de la exponencial. Pero el logaritmo neperiano de elevado a gamma
por periodo es gamma por periodo, que es 2pi gamma partido omega sub gamma,
como os decía antes, pues lo hemos demostrado. Entonces, a partir de esta
medida, a partir de estas expresiones, a partir de esta señal, medimos el
decremento logarítmico. Entonces, el omega sub gamma que me queda aquí,
lo puedo poner como la frecuencia natural por raíz de 1 menos gamma
partido omega cero. ¿Estáis todos? ¿Todos estáis aquí? ¿Me paro
algún problema en llegar hasta aquí? Recordad que omega sub gamma era la
raíz cuadrada de omega sub cero cuadrado menos gamma cuadrado. Omega gamma
raíz cuadrada... ...de omega cero cuadrado menos gamma cuadrado. ¿Vale?
Pues entonces saco aquí el omega sub cero, lo saco fuera de la raíz, me
queda esta cantidad, y si quiero poner el sí definido como gamma partido
omega cero, pues esto me queda en función del parámetro sí. ¿Vale?
Entonces tengo decremento logarítmico igual a una función de sí, pues
puedo despejar sí, que es lo que mido, en función del decremento
logarítmico. Mido decremento logarítmico, obtengo sí. Conocido la masa,
conocido sí, obtengo la frecuencia natural del sistema. ¿Preguntas,
observaciones? Vale, pues seguimos. Entonces esta transparencia resume la
anterior. Esto es sí. Y se define como gamma partido la frecuencia natural
del sistema. Y sólo habrá oscilación cuando esto sea... Regimen
subcrítico, sí menor que uno. Gamma menor que omega sub cero. ¿Vale?
Pues la siguiente, nuestra transparencia resume en un análisis energético
que podéis ver detalladamente en el French Algo y en el Rañada Mejor. El
análisis energético tanto del MAS como del sistema amortiguado. La idea
es que la energía promedio por periodo de un oscilador armónico, si el
oscilador es armónico, es constante. Esa energía, que es la energía
cinética, más la potencia de esta energía, como se calcula siempre. Lo
que lo vimos para el MAS, esto es la energía cinética. Estamos hablando
de energía mecánica más la energía potencial. Es un medio de m por x
punto cuadrado, por la velocidad al cuadrado. Más, esto es un garabato
porque estoy con el ratón, un medio... Un medio de la energía potencial,
un medio no, perdón, aquí no hay un medio. Más m. M por g por x. Y como
x era a coseno de omega cero t más delta, la solución del MAS, hacemos
estas derivadas, sumamos y al final eres capaz de demostrar que toda la
energía mecánica es un medio de k por la amplitud del MAS al cuadrado.
Esto no depende del tiempo y es constante. En el caso de la oscilación de
amortiguamiento subclítico con la solución x de t igual a c por e elevado
a menos gamma t por el seno de omega gamma t más delta, haces las mismas
cuentas y lo que te queda es que la energía sí que depende del tiempo y
decrece exponencialmente como epsilon cero por e elevado a menos dos gamma
t. Recordar que aquí la normalización sigue siendo, en estos apuntes, dos
gamma igual a b partido por m. Luego esta. Esta es la forma exponencial de
decrecer la energía. La propiedad 3 es que dos gamma, en esta
normalización, es el intervalo de tiempo necesario para que la energía
disminuya en un factor uno partido por e. Esto es lo mismo que hacíais en
los problemas de desintegración nuclear. ¿Os acordáis? ¿En COU? Bueno,
en COU, perdón, esto no soy de COU. En segundo bachillerato yo sí que soy
de COU. ¿Os acordáis? En cuanto decrecía el factor para dejar... El
número de nucleoidos, de nucleoidos, como e elevado a menos uno. ¿Sí?
¿Asociáis eso o no? Los nucleoidos serán algo así como n de t igual a n
sub cero por e elevado a menos lambda t. Algo así, ¿no? Veías ese lambda
cuando esto te quedara como e elevado a menos uno por n. Pues, son las
mismas matemáticas aplicado a otro contexto físico. ¿Vale? Pues la
proposición tres es esa. La proposición cuatro introduce el factor de
calidad. Daros cuenta que como en los apuntes de rañada y en estas notas
dos gamma es b partido por m, el factor de calidad se nos cuela en un
medio, rañada, rañada, pero en el French, como es gamma, igual a b
partido por m, con esa normalización el factor de calidad es w cero
partido por gamma. Recordad que antes habíamos llamado sí a gamma partido
la frecuencia natural. Luego yo aquí podría poner un medio de uno partido
por sí, si lo quisiera relacionar. Bueno, pues el factor de calidad es
adimensional. Estos son radianes partido segundo, divido radianes por
segundo y ¿qué información da el factor de calidad? A ver, así, ¿qué
significado físico le veis al factor de calidad? Si yo tengo un sistema,
comparo dos sistemas del tipo muelle, masa, amortiguador. Comparo dos de
este tipo, ¿qué información me da el factor de calidad? ¿Alguna idea?
Según que el factor de calidad sea más grande en uno que en otro, ¿qué
deduzco? ¿Vale? La cantidad de oscilaciones que va a hacer, como dice
César Pedro, la cantidad de oscilaciones que va a hacer más
concretamente, conforme el factor de calidad aumenta, el sistema oscila
más parecido aún más. Porque la frecuencia natural del sistema es mayor
que la... Gamma. Eso comparado con dos sistemas. Si tengo dos sistemas,
sí. Otra forma de decirlo, si yo quiero hacer un acoplo de amortiguador y
muelle unido a una masa, estabilidad en el tiempo, sí. Estabilidad en el
sentido, Eortiz, de que es más estable cuantas más oscilaciones más
tengas, ¿no? Lo que estás pensando ahí, Eortiz, es que estás llamando
más estable a esto. Y menos estable a esto. Esa es la estabilidad de la
que hablas, Eortiz. Correcto. En resumidas cuentas, cuando el factor de
calidad sea más alto comparado entre dos, significa que el sistema oscila
más como un más, pierde menos energía. Es más estable, conserva más la
energía. ¿Vale? Más parecido en el tiempo como un más, Eortiz, como un
más. Porque esto también es parecido en el tiempo, solo que desaparece.
¿Vale? ¿Sí? Vale, pues la propiedad cuatro dice que el factor de
calidad, el factor de calidad está relacionado, voy a borrar esto, un
momento. El factor de calidad está relacionado con la energía mediante la
siguiente ecuación. El factor de calidad es dos pi por la energía
almacenada divido por la energía perdida por periodo. Esta otra apariencia
recoge una serie de páginas más extensos en el FENCH con propiedades
energéticas de las oscilaciones, de las oscilaciones, con propiedades
energéticas de las oscilaciones, con propiedades energéticas de las
oscilaciones, en comparación de las oscilaciones armónicas y las
oscilaciones amortiguadas en régimen subclítico. ¿Vale? Podríamos hacer
allá un problema, primero, pues es de aplicación directa. Un péndulo
pierde un uno partido por mil de su energía durante cada oscilación.
¿Cuál es su factor de calidad? ¿Vale? Pues entonces, si cojo la curva de
cómo decae un oscilador amortiguado en régimen subamortiguado, en un
cierto instante de tiempo, tengo la energía en t y me voy a la energía en
t más un periodo. ¿Vale? Pues la energía en t menos la energía en t
más un periodo es uno partido por mil de la energía en t. ¿Esta
ecuación de dónde viene? Del enunciado. Un péndulo pierde uno partido
por mil de su energía durante cada oscilación. La oscilación es desde
que empieza un instante hasta que pasa un periodo. Pues pierde, recto.
¿Cuánta energía pierde? Uno partido por mil de la que tenía. ¿Estáis
de acuerdo? Pues esto significa que la variación de energía partido de la
energía será el módulo de en t más periodo menos e de t partido e de t.
Luego, introduciendo esto aquí, me queda un factor de uno partido por mil.
Por lo tanto, el factor de calidad que hemos visto en la proporción 4 es
dos pi partido de la energía por la variación de energía. Como la
variación de energía partido por energía es uno partido por mil, esta
cantidad que es el inverso será mil y me queda dos pi por mil. Pues un
factor de calidad de seis mil doscientos ochenta y tres a dimensionar, que
no me dice nada hasta que no lo compare con otro, con el factor de calidad
de otro sistema. ¿Preguntas? Esto luego hay que pensar que es bastante
ubicuo, ¿eh? Cuando, por ejemplo, en la construcción de... En
electrónica en circuitos resonantes, perdón, en electrónica en la
construcción de filtros en circuitos, pues pasa banda, pasa baja, todo,
hay todo un mundo que tiene que ver con este factor de calidad en el
contexto del mismo problema, pero en circuitos electrónicos. ¿Preguntas o
observaciones? Vale, pues estrategia para la solución de problemas a
partir de la física o leyes de Newton o conservación de la energía o la
de los engeneros hamiltonianos. Verificar si nuestro sistema cumple la
ecuación diferencial con la normalización, entonces, para usar las
soluciones que os he dado de dos gamma igual a b partido por m y el sistema
sólo oscilará si estamos en subamortiguamiento. Aquí lo caracterizado en
otro libro le ponen una letra sí, cero menor que sí, menor que uno. Seno
aquí quizá... Esto es biseta. Esto es sí, esto es sí, esto es sí,
bueno, quizá sí. Que creo que aquí te voy a haber confundido la biseta
con la sí. Bien, pues vamos a hacer problemas me imagino. Y en el primer
problema dice... Un bloque de 5 kilos se desliza por un plano inclinado,
estos son problemas del Rini, que a mecánica tomó 2, le hace un 21. Un
bloque de 5 kilos... Un bloque de 5 kilos se desliza por un plano inclinado
sin rozamiento según se indica en la figura. Si se desplaza el bloque por
un plano inclinado 50 milímetros hacia arriba a partir de su posición de
equilibrio y se suelta con una velocidad inicial de 1,25 metros por segundo
hacia abajo en t igual a cero, siendo caso 1 y caso 2 estos valores y los
amortiguadores b1 y 2 estos valores obtener periodo, pulsación y
frecuencia y violación del sistema, la expresión x de t para la masa y el
tiempo para el cual la amplitud haya reducido. manera que las fuerzas
elásticas de la ley de Hooke me darán los módulos y los sentidos de las
fuerzas los obtendría a partir de la tercera ley de Newton. Eso quiere
decir que en equilibrio tengo la masa quieta y con todo en reposo el muelle
1 estará deformado delta 1e. ¿Qué es delta sub 1e? Lo que está
deformado, comprimido o expandido, el muelle 1, en este caso expandido. Y
delta 2e es lo que está deformado en equilibrio, el muelle 2, la longitud,
en este caso será comprimido. ¿Vale? Pues para el equilibrio en un
sistema de referencia donde el eje x está en el plano, el eje y
perpendicular al plano, pues con la masa m quieta, le llamo posición de
equilibrio. ¿Qué fuerzas actúan sobre la masa m? La fuerza que hace el
muelle 1, la fuerza que hace el muelle 2, los amortiguadores en equilibrio
no hacen fuerza, vamos a despreciar las masas de los amortiguadores y la
conexión de hilos, de forma que los amortiguadores solo ejercen un papel
cuando el sistema tiene velocidad. Y la atracción de la gravedad que es el
peso. ¿Vale? Pues me queda en el eje vertical normal menos mg. Esto sería
en el eje y. En el eje x, en el del plano inclinado, fuerza de muelle 2 a
la derecha positivo menos fuerza de muelle 1 a la izquierda negativo más
mg se no detecta igual a 0. Y ahora la idea de Hume me da f de 1 igual a k1
delta e1, f de k2 igual a k2 delta e2. Sustituyo aquí 1, sustituyo aquí
2. Esta ecuación no me da más información, solo que la reacción normal
es mg coseno. Y me queda una ligadura de equilibrio, como vimos en la
tutoría anterior, donde dice que delta e2 y delta e1, lo que está
deformado en el muelle 1 y lo que está deformado en el muelle 2, sus
longitudes no pueden valer cualquier cosa. Tienen que satisfacer esta
ecuación k2 por lo que está deformado en equilibrio el muelle 2 menos k1
por lo que está deformado en equilibrio el muelle 1 más mg se no detecta
tiene que ser 0. Y me guardo esa condición. Ahora voy a la dinámica, es
decir, a partir de esas condiciones iniciales que me han dado la masa M
unas veces estará arriba, a la derecha, perdón, a izquierda, a la
derecha, a la derecha o a la izquierda de su posición de equilibrio. Vale,
pues vamos a hacer el diagrama de sólido libre justo en un instante donde
la masa M se ha desplazado a la derecha de la posición de equilibrio.
¿Vale? A la derecha de la posición de equilibrio es en el eje positivo de
las x. ¿Qué fuerzas actúan sobre M? Las mismas que en equilibrio más
dos fuerzas nuevas, Fdb1 y Fdb2, fuerzas de viscosidad aerodinámica que se
oponen a la velocidad. Si estoy haciendo la foto cuando la masa M se ha
desplazado a la derecha de la posición de equilibrio pues las fuerzas de
viscosidad se oponen al desplazamiento. Entonces me quedará. Vale. Me
quedará por un lado la ligadura de equilibrio que no se me olvide, menos
Fdk1 más Fdk2 menos Fdb1 menos Fdb2 más Mg se no detecta igual a masa por
aceleración porque aquí hay un signo positivo. ¿Alguien me lo puede
decir en el chat? Porque baja. Correcto. Y dice Eortil las Fb no son en
sentido contrario a F1 y F2. No. Las Fb son contrarias al desplazamiento, a
la velocidad relativa del amortiguador. ¿Vale? A la velocidad relativa del
amortiguador. Y en este caso la velocidad relativa del amortiguador
coincide con la velocidad de la partícula. ¿Deltas coinciden? ¿Qué
quieres decir, Vargas? ¿Qué deltas? ¿Las de equilibrio o las dinámicas?
No. Vamos por partes. Antes de las deltas. Todos estáis de acuerdo en esta
ecuación, en estas dos ecuaciones. Cuando la masa M se ha desplazado una
cantidad X de T hacia abajo y hacia abajo es positivo, aceleración
positiva. ¿Estáis de acuerdo? Vale. Ahora el problema es que estas Fs,
estas Fs, por ejemplo, el módulo de F de K1, ¿qué vale? Valdrá K1 por
una delta que ya no lo da de equilibrio, llámale delta 1 de T. ¿Y qué
vale F de K2? F de K2 ahora valdrá K2 por una nueva delta que llamamos
delta 2 de T. Y ahora hay que investigar cuándo se va a desplazar.
¿Cuánto valen esas deltas? ¿Era ese el lío, Vargas? ¿Eso era lo que
preguntabas, Vargas XX? En el chat, ¿Vargas? ¿No hablabas de las deltas?
¿Sí? No, ¿no decís nada? Vale. Entonces, no sé, sigo. ¿Cuánto
valdrá delta 1? ¿Qué es delta 1? Delta 1 es lo que está deformado el
muelle 1 cuando la masa M ha bajado X. Pues, ¿qué será? ¿Qué será? Lo
que tenía en equilibrio más lo que estira la masa M. Dice, Obardo, que el
desplazamiento delta es el mismo para los dos muelles. No. Voy a explicarlo
y dime si lo entiendes. Delta 1, por eso empleo 1, no delta, es lo que
tenía en equilibrio el muelle 1 más lo que ha estirado del muelle 1 la
masa. ¿Cuánto ha estirado la masa del muelle 1 cuando tira hacia abajo? X
de T. ¿Estás de acuerdo, Vargas? Y eso es longitud. Vale. ¿Y qué es
delta 2? Lo que tenía el muelle 2 en equilibrio y, en este caso, lo que
estira, no, lo que comprime la masa M. La masa M, al moverse, va a hacer
que el muelle 2 sea más corto. ¿En qué cantidad? Delta 2 menos X.
¿Vale? No hay ninguna razón para que sean iguales. ¿Ok? ¿Todo el mundo
lo tiene claro? ¿Vale? Bien. No obstante, voy a hacer una observación. A
nadie le asombra que sea igual. ¿A nadie le asombra que F1 y F2 vayan en
sentidos opuestos? Aunque de eso hablamos en la tutoría anterior. Vamos a
esperarnos a la siguiente transparencia. No, uno comprime y otro estira,
dice Vargas. Vale, ahora veremos. Pero uno podría pensar, uno podría
pensar, así es como está bien, pero uno podría pensar que como M
comprime al muelle 2, lo que hace el muelle 2 sobre M es esto. ¿No,
Vargas? Lo que hace el muelle 1... Vale. Y yo... Eso significaría que F1 y
F2 son paralelos. Si hacéis esto, si ponéis F1 y F2 en paralelo, desastre
total. El problema no sale. Y eso tiene que ver, y ahora lo repetiré en la
siguiente transparencia, con que no hay, en asociaciones de muelles, no hay
que sacar el sentido de la fuerza de la ley, el sentido de la fuerza de la
Ley de Hooke a partir de las dos. de la ley de Hooke, f igual a menos k por
x, sino a partir de la tercera ley de Newton. Yo aquí he dado los muelles
como si fueran un cable de tensión. Haré un comentario más. ¿Me podía
haber callado? Tienen que ser opuestos sí o sí, claro, los efectos tienen
que ser opuestos, pero lo que comprobamos es que si razonas aplicando a una
asociación de muelles con paredes sin simetría a la izquierda y a la
derecha, ahora veis lo que quiero decir. Esto, lo que sabemos de la ley de
Hooke de primero, no sale el sentido correcto. ¿Estáis de acuerdo? Y eso
no está descrito en ningún libro y nadie explica por qué. ¿Entendéis
lo que quiero decir? Si intento razonar en estos dos muelles con lo que me
han enseñado en primero de física, no sale nada. O sea, sale mal. Te
salen en el mismo sentido. Solo si aplicas la tercera ley de Newton y usas
la ley de Hooke, te salen los muelles con paredes sin simetría a la
izquierda y a la derecha. ¿Entendéis lo que quiero decir? Y además
ampliaré. ¿Seguimos? Vale, pues entonces ya, ahora a partir de
matemáticas, esta es la ecuación de equilibrio, meto delta 1, meto delta
2, voy trabajando, en la ecuación de la dinámica se me cuela la ligadura
y al final me queda esta ecuación diferencial. Y me pregunto, ¿en qué
manera se puede hacer esto? ¿En qué manera se puede hacer esto? ¿Es la
ecuación diferencial de la forma x2 más constante 2 gamma x punto más
omega cero cuadrado por x igual a cero? Contestación sí. Si te defines
una constante equivalente como k1 más k2 y una b equivalente como b1 más
b2. ¿Qué es la ecuación diferencial diferencial de la forma x2 más b2?
¿Estáis de acuerdo en la conclusión? Vale, y ahora entonces llevamos
esta ecuación diferencial a la plantilla de la teoría para poder usar la
solución dada. Entonces veo que mi frecuencia natural del sistema es esta
y el gamma, que es lo que me interesa, el gamma, recordad que 2 gamma será
el b, que ahora el b equivalente es b1 más b2. Partido por m, pues despejo
mi gamma. Gamma me da 5 radianes por segundo, la frecuencia natural 28,8,
esto es mayor que esto, luego el sistema oscilará de forma amortiguada.
Puesto que omega cero es mayor que gamma, el sistema oscila. ¿Con qué
frecuencia? Con omega sub gamma. Pues aquí tenéis omega sub gamma, 28,28
al cuadrado menos 5 al cuadrado si no me he equivocado, un poquito más
bajo, eso es los radianes por segundos de la frecuencia angular de
oscilación, el periodo 2 pi partido omega gamma, la frecuencia de inercia
es 4,4 y ahora la solución, cojo la solución que tenemos en teoría. ¿Y
cuánto vale la posición inicial? Pues tirabas, estamos en un sistema de
referencia donde a positivo es hacia abajo, negativo hacia arriba, pues
como subes hacia arriba es negativo, veis el signo es importante, y como
sueltas hacia abajo la velocidad es importante. ¿Veis que las condiciones
iniciales son iguales o no? Aunque sea movimiento unidimensional, decirme
en el chat, importante eh, para los desfasajes. ¿Se ve o no? ¿Todo el
mundo entiende estos signos? ¿Eh? ¿Todo el mundo? Vale, entonces c sub
cero sustituyo los valores, si no me he equivocado repasarlo me da eso, y
delta será esta arcotangente que me da eso, luego la solución sería
esta. La solución con una amplitud que decae en el tiempo por el seno de
omega gamma t. En este caso menos delta metros. Esto lo puedo representar,
¿vale? Y lo que me dé. Ahora, el problema me dice el tiempo para el cual
la amplitud se ha reducido en un 1%. Bueno, pues ¿qué es la amplitud? La
amplitud es esto. A eso le llamamos c sub t igual a c sub cero por elevado
a menos gamma t, que para este problema es 0,062 por elevado a menos 5t.
Buscamos el tiempo en el cual la amplitud se ha reducido un 1%, es decir,
el valor de la amplitud. 10 elevado a menos 2 de c sub cero. ¿Qué es 10
elevado a menos 2? C sub cero es 0,062. Pues resolver esto implica c de t
igual a 1 partido por 100 de 0,062 y eso sería igual a 0,062 por elevado a
menos 5t. Pues eso implica resolver esa ecuación exponencial el tiempo.
¿Preguntas? ¿Se entiende? Pues tras 0,26 segundos la amplitud se ha
reducido en un 1%. ¿Preguntas? ¿Observaciones? ¿Seguimos? Bueno, pues
ojo, aquí con el lío. Yo he resuelto así el problema, donde este
sentido, he puesto fuerza de contacto, tercera ley de Newton. Si uno
intenta resolver el problema teniendo esto en mente, inevitablemente
pintaría estas fuerzas en la situación dinámica para F1 y para F2, y eso
está mal. ¿Dónde se observa? ¿Dónde se puede consultar más sobre
esto? Que no hay ningún libro. Pues aquí tenéis en el material docente
de la asignatura, en este documento que pone muelles, pues ya hace tiempo
cuando yo empecé a dar estas tutorías intercampus, yo pintaba los
diagramas así y los profesores de la sede central, pues como esto ya os
digo, no está hecho en ningún libro, pues prepararon este documento
justificando por qué si aplicas esto, te salen los sentidos de las fuerzas
cuando tienes asociaciones de muelles, pared izquierda, mirados cuenta que
es pared izquierda-muelle, pared derecha-muelle, te salen erróneas.
Entonces, muy importante que os liáis este documento y ya os digo que el
resto de libros que yo conozco, incluido el Realy, que es un buen libro,
sobre este tema nadie explica nada. ¿Preguntas? ¿Observaciones? ¿Vale?
Pues nada, seguimos. El siempre EORTIZ depende de los problemas, EORTIZ
128, depende de los problemas. De alguna manera es como si tienes problemas
en circuitos de condensadores, pues no lo sé, ahora lo veremos en los que
tengo, la verdad es que podría haberlo pensado a propósito. Pero si lo
quieres ver es como que un circuito mecánico con muelles y amortiguadores
tiene tres reducciones, serie paralelo y ni serie ni paralelo. Y la
combinación lineal de ni serie ni paralelo te puede dar cualquier cosa. Lo
que hay que hacer es pensarlo en cada caso. ¿Cómo digo yo que hay que
pensarlo? Siempre saca la dirección, en la mayoría de los casos,
aplicando la tercera ley de Newton. Y el módulo aplicando la ley de Hooke.
Pagas un precio. Que las deformaciones delta de T, como decía un
compañero tuyo, no son iguales. Tienes que sacar la deformación de cada
muelle y ahí se ve el efecto de estar comprimido o expandido. Lo habéis
visto, ¿no? El muelle 1 se estiraba, delta de equilibrio 1 más lo que
movía la partícula. El muelle 2 se comprimía, la deformación era
diferente, era lo que tenía en equilibrio, que ya era diferente, delta de
2, menos lo que se comprimía. Más no sé. Pero ya os digo que casi nadie
se atreve a abrir este melón. ¿De acuerdo? Vale. En este... Vale. Sí. O
Vargas. Una de las razones es que... Es que los muelles están a ambos
lados. Mi razonamiento es... Aquí hay un muelle en contacto con la masa.
Considero esos muelles como cuerdas. Muelle 1, masa. Fuerza de contacto F1.
Es lo mismo que harías, Eortiz, si tuvieras una tensión, un cable. Fuerza
F2, en ese sentido. Si fueran cables, ¿harías eso? Eortiz. Si fueran dos
cuerdas diferentes, correcto, pues ya está. Y ahora, para calcular este
módulo... ¿Qué es F1? F1 es, en el estado dinámico, K1 por delta 1T.
¿Y qué es delta 1T? Aquí empieza el tomate. Lo que se ha estirado el
muelle 1 cuando he hecho la foto de la dinámica, que es cuando la
partícula se ha desplazado X hacia abajo. Intentad hacer esto vosotros
mismos, siendo la X hacia arriba. Y ver qué da lo que pasa. Lo mismo.
Exactamente, RALBA 52. Para el sentido, como cables, en casi todos los
problemas. Luego puede incluso haber un pequeño lío, pero en casi todos
los problemas. Y el acortamiento o el estiramiento en el delta de la
deformación. De cada muelle que es diferente. Como estamos recapitulando
aquí. Delta 1T, como he hecho la foto cuando la X va hacia abajo, pues
delta 1T es lo que estaba en equilibrio, que era delta 1E, más lo que
estaba... Pues tira el muelle la masa M, que es justo la X, que va hacia
abajo. Y aquí sería K1 delta 1E más X, el módulo de 2, K2 por delta E2
menos X. ¿Se visualiza la idea? ¿Vale? Más observaciones. Dice Ortiz en
el segundo, porque date cuenta, en el segundo, la masa M sobre el muelle de
2, ¿qué hace? ¿La comprime o lo expande? Ortiz. Ortiz, lo comprime. ¿En
qué cantidad? Delta 2 en el instante T. ¿Quién es el instante T? Cuando
la masa M ha bajado X, es lo que estaba en equilibrio, sea lo que sea esa
cantidad, no la puedo calcular y me da igual. Menos lo que se ha cortado el
muelle 2 porque la masa M ha bajado X. Justo la cantidad de X que baja la
masa. En otros problemas puede ser otra cosa. Y te queda delta 2E menos X.
Este muelle tiene ahora una longitud que era la que tenía antes, delta 2E
menos X. ¿Sí, Ortiz? Vale. No obstante, además, complementar esta
lectura, que la persona que hizo ese esfuerzo lo intentó dejar escrito.
Bien, pues son las... Llevamos una hora de tutoría, vamos a hacer un
pequeño descanso de 5 minutos y volvemos, ¿vale? A ver si media hora
larga, tres cuartos como mucho, estoy medio... muy cansado porque tengo
alergia, empezó ya la cosa esta primaderal, aunque llueve y estoy...
empiezo a estar tocado. La tutoría suele durar hora y media, ¿vale?
Hacemos un descanso...