La sesión ya está empezando ahora a grabar y vamos a mostrar pantalla.
Si me confirmáis que estáis viendo la presentación, Cipri. Sí. Vale.
Bueno, pues vamos ya con esta. La página web. Vamos con la segunda sesión
del Seminario de Econometría Aplicada, edición 2022. Ya nos habíamos
presentado, evidentemente, la semana pasada y os habíamos planteado que,
bueno, además de seguir en directo las sesiones a través de Teams, que
aquí veis el enlace de la aplicación, también los vídeos van a ir
estando disponibles. Hay una amplísima colección ya de vídeos en este
enlace que veis en la página web y a medida que vayan avanzando el
seminario, pues irán apareciendo más vídeos. Pero si ahora mismo abrimos
esa página, veis que hay un montón de materiales y si vais navegando por
la página, pues iréis viendo esos materiales. Incluso desde ahí se
pueden bajar las aplicaciones de Gretel y de R. Hay una primera
introducción en la que hablamos de la definición de econometría por
varios autores, etc. Y a medida que vais avanzando, pues van apareciendo
los conceptos básicos. En el bloque 1, que empezamos el otro día, modelos
econométricos uniecuacionales, que es un poquito de lo que estamos
empezando a hablar, e incluso aquí ya van apareciendo los vídeos. Ahí
veis vídeos de otras ediciones que están perfectamente disponibles y que
los podéis utilizar sin ningún problema. A medida que vayamos avanzando
un poco más, pues irán apareciendo nuevos vídeos complementarios de
estos que aparecen. Que aparecen por aquí. Bueno, y como veis tenéis
también un programa en la propia página web. Hoy estamos a día 2 de
marzo y por tanto, a ver porque no estoy en la página correcta de la
actividad. Estamos a 2 de marzo y por tanto lo que nos toca por ver, aquí
ahora sí. Sí, en 2 de marzo lo que nos toca por ver pues es modelos
econométricos uniecuacionales, segunda sesión, que es en lo que vamos a
centrarnos ahora. A partir de las 5 con Cipriano iremos a la parte
práctica ya con el software Gretel y ahora yo voy a mostraros ya la
presentación que veníamos usando la semana pasada y vamos a seguir con
esta presentación. Bueno, seguimos en el... Bloque 1, fundamentos de
análisis de regresión, modelos uniecuacionales, modelos y datos,
análisis de regresión lineal, estimación, aspectos avanzados del
análisis de regresión. Veremos más adelante aspectos de inferencia,
etcétera. Bloque 1. Estos son los datos con los que habíamos empezado a
trabajar la semana pasada. Que lógicamente, pues los vais a introducir.
Los vais a introducir. Los vais a introducir en Gretel y vais a empezar a
cacharrear con Cipri y con estos datos en Gretel para ver el funcionamiento
básico de este sistema. Habíamos visto la evolución gráfica de las
variables, habíamos comentado que la metodología es la de mínimos
cuadrados ordinarios, habíamos hablado de la regresión lineal simple y
también habíamos hablado de la regresión lineal múltiple ya
introduciendo... Siempre hay que ir aceptando a la gente que está en la
sala de espera, ir introduciendo las nuevas variables, por ejemplo, la
variable X2, etc. Y habíamos quedado exactamente aquí, exactamente aquí.
Habíamos dicho que es muy habitual en la práctica trabajar con datos no
tanto en sumatorios, como veis en esta diapositiva, sino es mucho más
habitual trabajar con varianzas, con covarianzas y con medias, tal como
veis en esta diapositiva. Y en este sentido, claro, pues os había dicho
que hay que repasar conceptos de introducción a la estadística, de
estadística probabilística, de inferencia estadística, en fin, nos
pusimos una serie de tareas de repaso de conceptos para poder avanzar.
Aquí estáis viendo los conceptos que necesitamos ahora, las definiciones.
Entonces, de esperanzas matemáticas, ahí las veis, de varianzas y de
covarianzas, ahí las veis. A partir de estos conceptos se ve claramente la
relación que existe entre los sumatorios, las esperanzas, las varianzas y
las covarianzas y por tanto es evidente cómo pasar de este concepto, de
este enfoque de varianzas, covarianzas y medias, a este otro en el que
aparecen los sumatorios. Bien, vamos a seguir avanzando un poquito más. Y
vamos a empezar ya con estos conceptos que son muy importantes. Damos por
hecho, insisto... que tenemos claro lo que son las esperanzas matemáticas,
las varianzas y las covarianzas y que por tanto tenemos claro lo que
habíamos explicado la semana pasada de este enfoque de regresión lineal
múltiple basado en las matrices x'x y x'y definidas a través de los
sumatorios, sumatorio de x1, sumatorio de x2, sumatorio de y, sumatorio de
x1 al cuadrado, de x1 a x2, etcétera, etcétera, de x2 al cuadrado,
etcétera. O, con la relación que existen entre varianzas, covarianzas,
medias y los sumatorios podríamos pasar a este otro planteamiento con la
matriz x'x de dos filas por dos columnas en la que aparecen las varianzas y
covarianzas. Fijaros bien, varianza de x1 pero multiplicado por n,
covarianza de x1, x2 multiplicado por n, es una matriculación, y
simétrica, como veis aquí, y la varianza de x2 multiplicado por n. Es una
matriz de dos filas por dos columnas. Y la x'y sería covarianza de x1
multiplicado por n, covarianza de x2 multiplicado por n. Evidentemente, a
partir de estas dos matrices podemos estimar los parámetros b1 y b2 que
multiplican a las variables x1 y x2. ¿Cómo? Pues con la expresión
matricial habitual de mínimos cuadrados ordinarios inversa de la matriz de
x1 y x2 a la matriz de x'x multiplicado por la matriz de x'y que al final,
cuando se hace la inversa y se multiplican estas dos matrices, fijaros bien
en este detalle, las n van a desaparecer. Porque al hacer la inversa, sale
de la matriz inversa 1 partido por n y al multiplicar por la matriz x'i, en
la que aparece una n dentro multiplicando, el 1 partido por n y la n se
van, se simplifican. Pero insisto, al hacer este cálculo de inversa
multiplicado por x'i. Si no estamos haciendo ese cálculo, la matriz x'x
tiene la n como veis en los diferentes, ¿verdad? Factores en los
diferentes puestos de la matriz, en la fila 1 columna 1, en la fila 1
columna 2, y en la fila 2 columna 1, en la fila 2 columna 2 aparece la n
multiplicando. Y también en la matriz x'i, en la fila 1 columna 1 aparece
la n multiplicando y en la fila 2 columna 1 aparece la n multiplicando.
Solo se van las n cuando hacemos el cálculo inversa multiplicado por x'i,
que es un detalle importante. Si hemos calculado el estimador del
parámetro b1 y el estimador del parámetro b2 a partir de este cálculo
matricial con las varianzas y covarianzas, podemos calcular también el
estimador del parámetro alfa, que es el término independiente, es la
constante, a partir de esta fórmula que veis aquí abajo, esperanza
matemática de i menos el parámetro beta1 que hemos estimado por la
esperanza matemática de x1 menos el parámetro beta2 que hemos estimado.
Por la esperanza matemática de x2. Sería otra forma de proceder.
Alternativa a esta, esta nos daría directamente las estimaciones de alfa,
beta1 y beta2 usando esta matriz de 3 por 3 x'x en la que aparecen
sumatorios y esta matriz de 3 filas 1 columno de x'i en la que también
aparece el sumatorio. Insisto, son las dos formas alternativas de proceder.
Y la relación entre ambas, evidentemente, es a partir de las definiciones,
de esperanzas, de varianzas y de covarianzas que veis en esta diapositiva y
que todos debemos conocer de un curso de estadística descriptiva o de
introducción a la estadística. Bien, dicho eso, vamos a introducir ahora
los conceptos muy importantes de suma de cuadrado residual que es la que
veis aquí arriba, SCR, que es igual a I'I menos beta' que multiplica por
X'I. También se le puede llamar a esa suma de cuadrado residual
discrepancias de SCR o D. ¿Qué es I'I? Pues I'I es el sumatorio de I al
cuadrado. I'I, si tenemos un vector columna que es I, que lo veis aquí,
que tiene 12 filas por una columna, el I' sería el traspuesto de este
vector, una fila por 12 columnas y el I'I, evidentemente, es un número. Es
un número. Una fila. Una fila por una columna. Es el sumatorio de I al
cuadrado. Sumatorio de I al cuadrado. Esto es un número. ¿Qué era el
X'I? Pues el X'I era, aquí lo veis por ejemplo, es un vector que tiene
tres filas y una columna. Ese es el X'I. Tres filas por una columna. ¿Qué
será este beta' que aparece aquí multiplicando por x'i? Pues el beta'
será el vector traspuesto de este vector que tenéis aquí, este vector
columna que tenéis aquí, y que hemos estimado por mínimos cuadrados
ordinarios aplicando esta fórmula que estáis viendo. Inversa de x'x
multiplicado por x'i. O sea, el vector B tiene tres filas y una columna,
alfa, beta'1, beta'2, estimadores por mínimos cuadrados ordinarios, y si
hacemos su traspuesta será de una fila por tres columnas y sería alfa,
beta'1, beta'2. Si multiplicamos ese vector beta' traspuesta, alfa, beta'1,
beta'2, por este vector x'i sumatorio de i, sumatorio de x'1i, sumatorio de
x'2i, evidentemente nos queda un número. Queda un vector de una fila a una
columna, o sea, una constante. Concretamente el valor que tomaría sería
alfa por sumatorio de i, más beta'1 por sumatorio de x'1i, más beta'2 por
sumatorio de x'2i. Ese sería el resultado de multiplicar beta' por x'i. Si
a este número i'i, que es el sumatorio del cuadrado, le restamos este
otro, beta'x'i, evidentemente queda un número que se denomina suma de los
cuadrados de los errores o suma de cuadrado residual o discrepancia. Muy
importante, la de que aparece. Bien, vamos a definir otro concepto muy
importante que es la suma de cuadrados explicada por la regresión. En la
suma adecuada explicada por la reacción, partimos de este número que ya
habíamos calculado, el beta'x'y, aquí lo veis, beta'x'y, insisto, es un
número que se obtiene de multiplicar este vector traspuesto por este
vector que está aquí, y el número es alfa sumatorio de y más beta1
sumatorio de x1y más beta2 sumatorio de x2y. Y a ese número hay que
restarle otro número, que es el resultado de multiplicar n, tamaño de la
muestra, en este caso 12, por el cuadrado de la esperanza matemática de y,
el cuadrado de la media de la variable y. Si a este número le restamos
este otro, nos da la suma de cuadrados explicada. Por último. Por último,
si sumamos la suma de cuadrados explicada más la suma de cuadrado
residual, que son dos números, dos constantes, nos da la suma de cuadrados
total de la regresión. ¿Qué quiere decir esto? Pues esto lo que quiere
decir, mirad, esta expresión que está aquí, y igual a alfa más beta1 x1
más beta2 x2, eso, en términos gráficos, sería un plano de regresión.
Sería un planteamiento bidimensional, sería un plano de regresión.
Porque hay tres dimensiones, la dimensión de la variable x1, la dimensión
de la variable x2 y la dimensión de la variable y. Es un plano en el
espacio tridimensional. Pero esto es la ecuación de un plano en ese
espacio tridimensional. De la misma forma que todos sabemos que I sub T
igual a alfa más beta que multiplica por X1T es una recta, es una recta de
regresión en el espacio bidimensional, pues aquí solamente hay dos
dimensiones, la que está definida por la variable X1 y la que está
definida por la variable Y, solo dos dimensiones y esta expresión es una
recta de regresión. En ambos casos, tanto si estamos en el espacio
bidimensional trabajando con rectas de regresión o en el espacio
tridimensional trabajando con planos de regresión, como veis siempre
introducimos una variable error o una variable discrepancia de su T. Ahí
la veis, de su T. O sea, sea la recta que veis aquí o sea el plano que
veis aquí, se... ajustarán mejor o peor a la nube de puntos original del
problema. Evidentemente, estos datos que nos están dando del problema, si
los representamos gráficamente en el espacio bidimensional, pues es una
nube de puntos y si estuviésemos en el espacio tridimensional, pues
también sería una nube de puntos gráficamente expresado. Y esa recta y
ese plano se ajustarán mejor o peor a esa nube de puntos. A veces pasarán
exactamente por el punto concreto, con lo cual no habría error, pero otras
veces pues no pasarán por el punto concreto, con lo cual habrá errores
por defecto o por exceso que serán, digamos, definidos por esas variables
discrepancias de su T, discrepancia o residuo o perturbación aleatoria o
error, que de todas estas formas podemos referirnos a la variable error.
Esa es la variable de su T. Sí, pero hay gente esperando en la sala de
espera. Entonces, como veis, la discrepancia siempre está en el modelo y
precisamente esto quiere decir que si yo pretendo explicar a la variable Y,
en realidad me estoy planteando dos cosas. Si pretendo explicar a la
variable Y, hay una parte de las variaciones de la variable Y que viene
explicada por el modelo de regresión, en este caso, por ejemplo, por el
plano de regresión alfa más B1 por X1 más B2 por X2 y hay otra parte que
no viene explicada por ese plano de regresión y que es un error, una
discrepancia, una perturbación aleatoria en definitiva y que eso vendría
representado por la B suje. Exactamente lo mismo cuando tengo un modelo
como este que es más sencillo, que es una recta de regresión, yo puedo
afirmar que si pretendo explicar la variabilidad global, los movimientos
globales de la variable Y, habrá una parte que venga explicada por esta
recta de regresión, alfa más beta por X y otra parte que no venga
explicada por la recta y que sencillamente es un error, discrepancia o
perturbación aleatoria, que es lo que aquí viene representado por B suje.
Por eso, en términos generales podemos decir que la suma de cuadrados
totales, representa el global, el global de la variabilidad de la variable
Y, de la variable dependiente o explicada o si queréis endógena. Y de ese
global de variaciones hay una parte que viene explicada por el propio
modelo, sea esto una recta o un plano o lo que sea, esa parte que viene
explicada por el modelo es la S-C-E suma de cuadrados explicada y hay una
parte de esa variabilidad, de la variable dependiente o explicada o
endógena Y que no viene explicada por el modelo, que no viene explicada ni
por la recta ni por el plano y es la SCR, es la suma de cuadrados residual
o suma de cuadrados de los errores. Bien, una vez que tenemos definida la
suma de cuadrados total, la suma de cuadrados explicada y la suma de
cuadrados residual, el siguiente paso, lo tenéis aquí abajo, es muy
sencillo y yo creo que lo conocemos todos porque también se ve en los
cursos de introducción a la estadística o estadística descriptiva, es
definir el coeficiente de determinación. El coeficiente de determinación
R al cuadrado es simplemente el cociente entre la suma de cuadrados
explicada y la suma de cuadrados total. Evidentemente, ese cociente ha de
estar comprendido entre 0 y 1. Si toma el valor 0 es que la suma de
cuadrados residual es 0, es decir, no hay ningún error, la suma de
cuadrados de los errores es 0 porque no hay ningún error y eso quiere
decir que la resta y el plano pasa exactamente por todos los puntos de la
nube. Sin cometer absolutamente ningún error, con lo cual, si la SCR vale
0, voy a explicarlo bien porque ahí he cometido un pequeño error. Si la
SCR vale 0, la SCE es igual a la SCT, repito. Si la SCR vale 0 y si no hay
errores, entonces la suma de cuadrados explicada coincide con la suma de
cuadrados total y el cociente vale 1. El cociente vale 1 cuando el ajuste
es perfecto. El R cuadrado valdrá 1 cuando el ajuste sea perfecto, cuando
la suma de cuadrado residual sea 0 y cuando la resta o plano de regresión
pasen por todos los puntos. Sin embargo, la R cuadrado valdrá 0 cuando la
SCE valga 0 y la SCR coincida con la suma de cuadrados total. Es decir,
cuando el modelo que estamos utilizando no se ajuste en absoluto a la nube
de puntos, cuando la nube de puntos sea completamente aleatoria y ese
modelo que nosotros utilizamos no sirve en absoluto. Para explicar lo que
pasa entre las variables explicativas X y las variables explicadas Y,
entonces la SCE será 0, el modelo no servirá para nada en absoluto, la
SCR coincidirá con la SCT, toda la suma de cuadrados total será error,
será suma de cuadrado residual, toda la variabilidad de la variable Y
será puramente aleatoria y en ese caso el R cuadrado valdrá 0. Y el
ajuste será un ajuste muy malo, un ajuste pésimo. O sea que el modelo no
se adaptará para nada a la realidad de los datos, a la realidad
estadística o a la realidad de los datos empíricos. Bueno, en definitiva,
el R cuadrado es el coeficiente de determinación y es una medida de la
bondad de ajuste a nivel muestral. a nivel muestra. En definitiva, lo que
nos sirve si yo tengo una nube de 12 puntos 12 puntos en la muestra, lo que
nos sirve es para saber si esta recta, si esta recta que está aquí igual
a alfa más beta por x, se ajusta mejor o peor a esa nube de los 12 puntos
que tengo en la muestra. Se ajustará perfectamente cuando r cuadrado valga
1 y por tanto la recta pasará por todos los puntos por los 12 puntos, y el
ajuste será pésimo será pésimo cuando en realidad la recta no pase por
ningún punto y en realidad la nube sea una nube completamente aleatoria
que para nada responda al comportamiento de una recta de relación. Bien
Por otra parte, os recuerdo también que hay un concepto que todos
conocemos, que es el concepto de coeficiente de correlación lineal o
correlación de Pearson, que se obtiene dividiendo dividiendo la covarianza
la covarianza entre el producto de las desviaciones típicas. Vamos a ver
yo tengo solamente la variable explicativa x1 y la variable explicada y es
decir, si estoy con este modelo variable explicativa x1 variable explicada
y entonces yo tengo una covarianza entre las variables y y x1 que viene
dada por esta definición que veis aquí. Sumatorio de X1 por Y que divide
N, menos esperanza matemática de X1 que multiplica por esperanza
matemática de Y. Esa es la covarianza entre las dos variables. Si esa
covarianza la divido, la divido por, en el denominador pongo el producto de
las dos desviaciones típicas, es decir, la desviación típica de Y que
multiplica por la desviación típica de X1, el resultado es el coeficiente
de correlación lineal de Pearson. ¿Qué es eso de la desviación típica?
Pues la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Si hemos
hablado de la desviación típica de X1, pues sería, aquí tenéis la
varianza de X1, aquí la tenéis, sumatorio de X1 al cuadrado partido por N
menos el cuadrado de la esperanza de X1, la desviación típica de X1
sería la raíz cuadrada de esta varianza. ¿Cuál sería la desviación
típica de X1? La desviación típica de Y, pues tendríamos que definir la
varianza de Y, en esta diapositiva en principio no aparece, pero ¿cuál
sería? Vamos, por andología, la varianza de Y sería el sumatorio de Y al
cuadrado partido por N menos la esperanza de Y elevada, o sea, el cuadrado
de la esperanza de Y. Y aplicándole a esa varianza... ...la varianza de Y,
la raíz cuadrada, obtendríamos la desviación típica. Conclusión, os
recuerdo que el coeficiente de correlación de Pearson es el cociente entre
la covarianza dividido por el producto de las desviaciones típicas. Otra
forma de calcular el coeficiente de determinación es como cuadrado del
coeficiente de correlación de Pearson. El coeficiente de correlación de
Pearson, insisto, cociente entre la covarianza y el producto de las
descripciones típicas, varía entre menos uno y más uno. Entre menos uno
y más uno. Si tomo el valor menos uno, hablamos de una correlación
perfecta negativa. Si tomo el valor más uno, hablamos de correlación
perfecta positiva. El que la correlación perfecta sea negativa es que, en
realidad, la recta de regresión es decreciente. El decreciente quiere
decir que a medida que la variable X crece, la variable Y decrece. Una
crece y la otra decrece. Correlación perfecta negativa implica una recta
de regresión decreciente que pasa por todos los puntos de la nube, por los
doce puntos de la nube. En el sentido contrario, si la correlación...
...de Pearson toma el valor más uno, o sea, positivo, correlación
perfecta positiva, quiere decir que la recta de regresión pasaría por los
doce puntos de la nube, pero sería una recta creciente. A medida que la X
crece, la Y también crece. Bueno, un concepto es en realidad de repaso de
una estadística descripciva o introducción a la estadística. Y sólo
mide el coeficiente de correlación perfecta negativa. Y sólo mide el
coeficiente de determinación, la bondad de ajuste a nivel muestral. Es
decir, sólo mide si dada una nube de puntos como esta de doce puntos, que
por cierto es una muestra muy pequeñita, si esa recta de regresión se
ajusta mejor o peor a esos doce puntos de la muestra. Otra cosa diferente
es, lo veremos más adelante, cuál es la población objeto de estudio
Nosotros vamos a suponer que la población objeto de estudio,
evidentemente, es más grande que la muestra y que nosotros cuando
obtenemos una muestra a partir de una población decidimos un tamaño de la
muestra que sea operativo, que sea práctico, que podamos manejar, que sea
suficientemente significativo, o sea, un tamaño que realmente nos permita
llegar a interpretaciones estadísticas y económicas y econométricas que
sean significativas, que sean fiables. Pero ya digo que esa muestra, en
este caso de tamaño 12, está extraída de una población mayor. Claro,
nosotros realmente lo que nos interesaría no es un modelo que explique a
la muestra. Lo que realmente estamos interesados es un modelo. Un modelo
económico y econométrico que explique la relación entre las variables X
e Y a nivel de la población, no solamente a nivel de la muestra, y por
tanto, pues no es suficiente con disponer de medidas como el R cuadrado,
que es una medida de bondad de ajuste a nivel muestral. Tendremos que más
adelante, y eso lo veremos también ahora, en ver el proceso que se
denomina de inferencia estadística. Ver si una vez que tenemos datos e
informaciones a nivel muestral, eso realmente lo podemos trasladar a nivel
poblacional. Precisamente para dar ese paso a lo que es el proceso de
inferencia estadística, para dar ese paso de la parte muestrada a la parte
poblacional, ya aparecen aquí dos conceptos relevantes. Aparece aquí una
expresión que pone, como veis, sigma cuadrado que multiplica por la
inversa de la matriz x'x y por cierto, justo debajo se nos dice para
estimar sigma cuadrado aquí tenemos una definición, dice se puede estimar
sigma cuadrado como el cociente entre d dividido por n-k bueno, vamos a
explicar esto con cierto detalle porque es muy importante bueno, para
empezar, sigma cuadrado se refiere a la varianza de las perturbaciones
aleatorias o errores cuando nosotros en un modelo sea muy simple como esta
recta o sea, no tan simple como este plano de regresión decimos que
siempre incorporamos una medida del error de su t de su t error,
perturbación aleatoria, discrepancia, etcétera, etcétera hay que tener
en cuenta que esa discrepancia o perturbación aleatoria o error o residuo
es una variable aleatoria repito igual que las x variables explicativas o
variables exógenas son variables aleatorias y la y variables explicativas
variables explicadas o variables dependientes o variables endógenas
también son variables aleatorias también la variable de su t que aparece
ahí en pantalla también es una variable aleatoria que en este caso
representa el error la perturbación aleatoria, la discrepancia o el
residuo más adelante veremos que esa variable aleatoria error,
discrepancia, residuo La perturbación aleatoria tiene un comportamiento,
va a ser una serie temporal, que tiene un comportamiento que vamos a
definir como ruido blanco. Eso lo veremos más adelante. De hecho, lo
veremos muy a fondo en el tercer bloque temático del seminario en el que
trabajemos con series temporales. De hecho, en ese tercer bloque temático,
cuando trabajemos con series temporales, precisamente una serie temporal
crítica para nosotros es la que definimos como ruido blanco o serie
puramente aleatoria, que en realidad un ejemplo de serie puramente
aleatoria es efectivamente el comportamiento teórico de un error, de una
discrepancia, de un residuo o de una perturbación aleatoria. Son variables
aleatorias cuya explicación... La esperanza matemática es cero, cuya
varianza es constante, que no tienen que estar correlacionadas los errores
que se cometan en distintos momentos en el tiempo, por tanto hablaremos
más adelante que el coeficiente de autocorrelación es cero, etc. O sea,
ya profundizaremos mucho más más adelante en ese concepto de ruido
blanco. De momento, como primera aproximación, quedaros con la idea que es
muy intuitiva, muy sencilla. Habrá errores por defecto, habrá errores por
exceso. Es decir, a veces la recta de regresión o el plano de regresión
pasará por debajo del punto, del punto que está en la nube empírica o en
el dato estadístico con el que estamos trabajando, y otras veces pasará
por encima. Y a veces no habrá error. El error será cero cuando la recta
o el plano pasen justamente por el punto de la nube. Pero habrá errores
por defecto. Habrá errores por exceso. La media de esos errores será
cero. Será cero porque los errores por exceso compensarán a los errores
por defecto. Es una idea muy intuitiva, ¿no? Bueno, entonces, en
definitiva, esa variable aleatoria o error de la que estamos hablando
tendrá de esperanza matemática cero y tendrá de varianza una constante
distinta de cero. Esa constante distinta de cero, en principio, nosotros la
desconocemos. No sabemos cuánto vale. Pero la podemos estimar con esta
fórmula que veis aquí. Y esto es importantísimo. Una estimación
insesgada de la varianza de las perturbaciones aleatorias o errores o
discrepancias o residuos sigma al cuadrado se puede obtener dividiendo la
suma de cuadrado residual, que ya la hemos definido antes, aquí la veis
arriba, entre n menos k. Siendo n. El tamaño de la muestra. Y siendo k el
número de regresores del modelo incluyendo el término independiente. Es
decir, en este modelo hay tres regresores, que son x1, x2 y el término
independiente. Y en este otro modelo, pues hay dos regresores, que son x1 y
el término independiente. Luego aquí k vale 2. Y aquí k vale 3. En todo
caso, pues n valía 12. Si n vale 12 y aquí k vale 2, pues n menos k
sería 12 menos 2, 10. Y si aquí k vale 3, pues n menos k sería 12 menos
3, 9. Y aquí tenemos, como digo, muy importante, una estimación insesgada
de la varianza de las perturbaciones aleatorias o errores que se obtiene
dividiendo la suma de cuadrado residual entre n-1. Bueno, ¿qué es eso de
estimación insesgada? En un curso de estadística que ya no es
descriptiva, ya es un curso más serio de estadística, un curso de
estadística teórica o de estadística probabilística o de estadística
teórica o de inferencia estadística, porque a veces a estos cursos ya de
un nivel un poquito intermedio de estadística se les denomina de distintas
formas. Claro, se explica con toda claridad qué es un estimador, qué es
un estimador en estadística, los diferentes tipos de estimación,
estimación puntual, estimación por intervalos. Dentro de la estimación
puntual hay varios métodos de estimación como puede ser la máxima de los
similitudes o los métodos de momentos u otros métodos de estimación. Y
se definen las características de un buen estimador. Y se habla de la
insesgadez, de la eficiencia, de la consistencia y de la suficiencia. Me
remito, tenéis que repasar todos estos conceptos de un curso de
estadística ya teórica o probabilística. ¿Qué es eso de la insesgadez?
Pues la insesgadez se da cuando la esperanza matemática del estimador
coincide exactamente con el parámetro, el parámetro de la estimación. El
parámetro que estamos estimando a nivel poblacional. Cuando el estimador
que estamos utilizando, su esperanza matemática es exactamente igual al
parámetro poblacional que pretendemos estimar, entonces el estimador es
insesgado. Pues bien, si hemos conseguido una estimación insesgada de la
varianza de las perturbaciones aleatorias o errores y más cuadrado, ¿para
qué queremos? ¿Para qué queremos? Esa estimación de la varianza de las
perturbaciones aleatorias o errores o discrepancias o residuos. Pues lo ves
aquí arriba, lo que haremos para, es muy importante, para obtener esta
matriz que veis aquí, esta matriz que es el resultado de multiplicar sigma
cuadrado estimado por la inversa de la matriz x'x. Claro, esto es una
matriz evidentemente, si x'x es por ejemplo esta matriz de tres filas por
tres columnas, evidentemente x'x a la menos uno es la inversa de esa matriz
que también tendrá tres filas por tres columnas. Y si esa matriz inversa
de x'x la multiplicamos por un número, pero una constante que es esta que
veis aquí, la estimación insesgada de la varianza de la perturbación
aleatoria o error que se ha obtenido con este cálculo, pues evidentemente
lo que obtenemos al multiplicar este número por esta matriz de 3x3 es una
nueva matriz de tres filas por tres columnas que se llama, y esto es
importantísimo, matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores.
Estimadores de los parámetros del modelo. Repito, repito, si multiplicamos
sigma cuadrado por x'x a la menos uno, obtenemos una matriz. En nuestro
ejemplo, que es este, una matriz de tres filas por tres columnas. Y a esa
matriz se la denomina matriz de las varianzas y covarianzas, de los
estimadores, de los parámetros del modelo. Bueno, voy a hacer aquí un
pequeño paréntesis y nos vamos a ir a la página que tenéis web del
seminario. La tenía por aquí a mano, me parece. Esta es la página web
del seminario. Os había dicho antes que en esta página web están casi
todos los contenidos. Están casi todos los contenidos y precisamente
están casi todos. Se irán enriqueciendo a medida que vayamos grabando
más sesiones. De hecho, estamos grabando la sesión de hoy. Pero en este
enlace están los contenidos. Ya hay muchos contenidos. Voy a avanzar un
poquito a ver qué me encuentro. Es muy recomendable que trabajéis bien
estos contenidos. Bueno, estoy recogiendo los contenidos. Y fijaros.
Tenemos de modelo... ...contenidos econométricos uniecuacionales. Pues
hasta aquí. Contenidos que ya están subidos a la página. Incluso hay
trabajos econométricos subidos, etcétera, etcétera. Con lo cual este
material ya está todo a vuestra disposición. Hay un montón de vídeos.
Hay un montón de casos ya subidos, la demanda o oferta de tabaco, la curva
de Philly, son todos modelos uniecuacionales en el que se resuelven con
Greta y los con R. Aquí tenéis ya... También tenemos supuestos de
copduglas, supuestos básicos de regresión lineal simple, supuestos de
regresión lineal múltiple, bueno, hay un montón de contenidos. Temas de
inferencia estadística irán apareciendo, aquí lo veis. Tipos de errores
que podemos cometer, esto lo veremos más adelante también. Todo ese
material está disponible. Y nos podemos descargar, evidentemente, pues nos
podemos descargar una serie de denunciados de los contenidos, de los casos
prácticos que vamos a ver, etc. Incluso denunciados. Y entonces nos
podemos descargar hasta presentaciones del seminario. El material que yo
estoy manejando ahora, pues lo podéis descargar también aquí. O sea, el
que yo os estoy enseñando ya lo podéis descargar sin ningún tipo de
problema. En definitiva, pues hay un montón de material disponible a
vuestra disposición. Todo este material, que es el que yo más o menos
estoy manejando ahora, pues lo vais a poder también descargar sin ningún
tipo de problema. A vuestra disposición, todo ello. ¿De acuerdo?
Entonces, volviendo al punto en el que estábamos, este punto, ya tenemos
definida... la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores de los
parámetros estructurales del modelo. Es decir, las varianzas y covarianzas
¿de qué estimadores? Del estimador de alfa, del estimador de beta1 y del
estimador de beta2. Claro, cuando nosotros estamos estimando alfa y beta1 y
beta2 obtenemos unos estimadores que se calculan por esta metodología de
mínimos cuadrados ordinarios y nos dan, pues, unos resultados empíricos.
Estimador que hemos calculado alfa a partir de la muestra concreta,
estimador que hemos calculado de beta1 a partir de la muestra concreta y
estimador que hemos calculado de beta2 a partir de la muestra concreta. Y
estos son tres números, tres constantes que hemos sacado de una muestra
concreta. Pero en términos más amplios, más generales, estos estimadores
de los parámetros también se comportan como variables aleatorias. Esto es
importante. Alfa, como estimador, va a ser una variable aleatoria. Beta1,
como estimador, va a ser otra variable aleatoria. Y beta2, como estimador,
pues va a ser una tercera variable aleatoria. Se puede demostrar que estas
variables aleatorias, alfa, beta1, beta2, como estimadores de los
parámetros del modelo a nivel poblacional, nosotros buscamos el verdadero
valor de alfa en la población, el verdadero valor de beta1 en la
población y el verdadero valor de beta2 en la población, no solamente a
nivel de la muestra con la que estamos trabajando. Son variables que se
comportan desde el punto de vista estadístico Con una distribución T de
Studen con n menos k grados de libertad. Repito, alfa, beta 1 y beta 2 son
estimadores de los parámetros a nivel poblacional en los que estamos
interesados para definir este modelo explicativo de la relación que existe
entre las variables x1 y 2, que son variables explicativas y la variable y
es una variable explicativa. Esos estimadores de los parámetros alfa, beta
1 y beta 2 a nivel estadístico son variables aleatorias con un
comportamiento de T de Studen con n menos k grados de libertad siendo n el
tamaño de la muestra y siendo k el número de variables explicativas
incluyendo el término independiente. En este modelo k vale 3. Y en este
modelo k vale 2. Claro, si yo digo que alfa es una variable aleatoria T de
Studen con n menos k grados de libertad podemos calcular la esperanza
matemática de dicha variable y podemos calcular la varianza de dicha
variable. De hecho, si el estimador de alfa es un buen estimador pues será
un estimador que cumpla las propiedades de un buen estimador. Será un
estimador insesgado, será un estimador eficiente, será un estimador
consistente y será un estimador suficiente. Y exactamente lo mismo le
ocurrirá a beta 1 como estimador y a beta 2 como estimador. Será
insesgado, eficiente, consistente y suficiente si queremos que sean buenos
estimadores. ¿Qué quiere decir que el estimador alfa sea un estimador
insesgado? Pues quiere decir que la esperanza matemática de dicho
estimador coincide con el parámetro que pretendemos estimar a nivel
poblacional. ¿Qué quiere decir que sea un estimador eficiente? Pues
quiere decir que la varianza de dicho estimador alfa sea mínima. Un
estimador es eficiente cuando su varianza es mínima. Hablando de la
varianza de los estimadores, esas varianzas y esas covarianzas de los
estimadores de los parámetros alfa, beta y nobita 2 salen de esta matriz
que veis aquí, insisto. De la matriz de varianzas y de covarianzas de los
estimadores de los parámetros. De hecho, esta es una matriz de tres filas
por tres columnas y en la diagonal principal de esa matriz de tres filas
por tres columnas están la varianza de alfa fila 1, columna 1 la varianza
de beta 1 como estimador fila 2, columna 2 y la varianza de beta 2 como
estimador fila 3, columna 3. Las varianzas están en la diagonal principal
de esta matriz que veis aquí. Y por encima y por debajo de esa diagonal
principal lo que hay son las covarianzas. Es decir, covarianza de alfa
respecto a beta 1, covarianza de alfa respecto a beta 2... covarianza de
beta 1 respecto a beta 2, etc. Estas covarianzas no nos interesan. Lo que
sí nos interesa en estos procesos de inferencia estadística y de
estimación son los elementos que en esta matriz están en la diagonal
principal. Repito, fila 1 columna 1, varianza del estimador alfa. Fila 2
columna 2, varianza del estimador beta 1. Fila 3 columna 3, varianza del
estimador beta 2. ¿De acuerdo? Esta es una matriz, por tanto, muy
importante que tenemos que estimarla y trabajar con ella de una manera
razonada y adecuada. Vamos a avanzar un poquito más. El siguiente paso. Y
no os agobíéis. El siguiente paso sería este. Sería este. Vamos a ver.
Si yo acabo de decir, acabo de decir, que quiero estimar, estoy trabajando
con este modelo, y quiero estimar a nivel poblacional el parámetro alfa,
el parámetro beta 1 y el parámetro beta 2. Y acabo de afirmar que alfa,
beta 1 y beta 2 como estimadores, hay que interpretarlos como variables
aleatorias cuyo comportamiento es, es lo que definimos estadísticamente,
es lo que se llama la distribución en el muestreo. La distribución en el
muestreo de estas variables alfa, beta 1 y beta 2 tiene un comportamiento
de una T de Studen con n-k grados de libertad. Claro, si vosotros os vais a
un curso de estadística teórica o probabilística y buscáis qué es una
distribución TED-STUDEN con n menos cada dos libertad, pues vais a
descubrir pronto que es una distribución que tiene algo que ver, tiene
algo que ver, se deduce de una distribución normal. También tenéis que
repasar qué era eso de una distribución normal. Bueno, pues si es una
distribución TED-STUDEN, si nosotros sabemos eso, ese conocimiento nos va
a permitir plantear no solamente estimación por intervalos y estimación
por intervalos para los parámetros alfa, beta1 y beta2, sino que sobre
todo nos va a permitir establecer contrastes de hipótesis acerca de...
...de los verdaderos valores de los parámetros alfa, beta1 y beta2 a nivel
poblacional. Porque, insisto, este alfa, beta1 y beta2 que tenemos aquí
abajo y que salen de este cálculo matricial no es más que una estimación
puntual a partir de una muestra. Es una estimación muestral. Estimación
puntual muestral. A partir de una muestra concreta con la que estamos
trabajando. Solo es eso. Pero nosotros estamos interesados... ...en la
estimación a nivel de la población. Y para poder hacer la estimación a
nivel de la población, lo vamos a poder hacer, por ejemplo, con un
contraste de hipótesis y para poder resolver ese contraste de hipótesis
necesitamos saber cuál es la distribución en el muestreo de los
estimadores. Y os acabo de decir que la distribución en el muestreo de los
estimadores es TED-STUDEN con n menos k. Tanto para alfa como para beta 1
como para beta 2. Ese conocimiento permite dar este paso. Que es el paso ya
de la inferencia estadística. Es un paso muy importante. ¿Qué quiere
decir esto? Esto lo que quiere decir es que sabiendo que un estimador del
parámetro beta se comporta como una T de Studen con n-k grados de
libertad. Que por cierto, nosotros deberíamos saber que gráficamente una
T de Studen, como veis aquí abajo, tiene un comportamiento gráfico
parecido a la curva normal. Ya lo veis aquí. Parecido a la curva normal.
Que a todos nos suena, ¿verdad? Con ese conocimiento nosotros podemos
hallar lo que se llama el... ...el T empírico. Lo veis aquí arriba. El T
empírico. El T empírico, vamos ya a la derecha, vamos al resultado final
a la derecha. El T empírico se va a obtener como un cociente. Como un
cociente. En el numerador aparece el valor que hemos obtenido para el
parámetro P. O beta, si queréis. En esa muestra con la que hemos
trabajado. Este BI que veis aquí, es la estimación que hemos obtenido a
través de la muestra. O sea, este número que veis aquí, que sale de esta
multiplicación matricial. De esta multiplicación matricial sale un
número, y ese número pues es el estimador... del parámetro alfa obtenido
a partir de la muestra. O este beta 1 es el estimador del parámetro beta 1
a partir de la muestra. O este beta 2 es el estimador de beta 2 obtenido a
partir de la muestra. Esos números son los que se colocan aquí, lo que
sale a partir de la muestra. Ahí. A esa estimación muestral le vamos a
restar lo que diga una hipótesis nula. Vamos a ver, ahora tendríamos que
recordar de un curso de estadística teórica o de estadística
probabilística o de inferencia estadística qué es eso de un contraste de
hipótesis. Y tendríamos que recordar que en todo contraste de hipótesis
hay una hipótesis nula y hay una hipótesis alternativa. Por ejemplo. Por
ejemplo, la hipótesis nula referida al parámetro beta a nivel poblacional
esta hipótesis se refiere no a la muestra sino a la población nos está
diciendo que suponemos que el valor del parámetro beta a nivel poblacional
es 0. Si esta es la hipótesis, aquí pondríamos un 0. Aquí, arriba a la
derecha. Claro, podremos plantear cualquier otra hipótesis. Podemos
suponer que el beta es 0 o que es 1 o que es 2 lo que sea, nos da un poco
igual. Por ejemplo, si suponemos que el verdadero valor de beta a nivel
poblacional es 0 aquí pondríamos un 0. Que es lo que dice la hipótesis
nula. Claro, siempre que hay una hipótesis nula hay una alternativa. La
alternativa a la hipótesis nula, pues claro es, digamos, hay distintas
posibilidades por ejemplo, una posibilidad sería Negar la hipótesis nula
en el sentido beta distinto de cero. Podríamos plantear otro tipo de
alternativas, beta mayor que cero o beta menor que cero. En este caso, el
planteamiento es beta distinto a cero. Estamos negando la hipótesis nula y
este beta distinto de cero incluye tanto que sea mayor que cero como que
sea menor que cero. Por último, en este T empírico que veis aquí arriba,
en el denominador aquí lo que pone es desviación típica, esta D
significa desviación típica del estimador que estamos utilizando para el
parámetro beta I. ¿Esa desviación típica de dónde sale? Pues sale de
la diagonal principal de esta matriz, porque si os dije antes, y con esto
acabo por hoy, que en esta matriz, en la diagonal principal, están las
varianzas de los estimadores al alfa, beta I y beta II, las raíces
cuadradas de esas varianzas son las desviaciones típicas de los
estimadores alfa, fila I, columna I, beta I, fila II, columna II y beta II
perdón, beta I fila... sí, beta II, columna II y beta II fila III,
columna III. Las raíces cuadradas de las varianzas son las desviaciones
típicas. Y ésta es la desviación típica que pondremos en el denominador
de ese T empírico. Una vez que hemos definido un T empírico de una manera
tan sencilla como ésta, porque sólo hay que restar y dividir, ¿para qué
queremos el T empírico? Pues lo que haremos para sobre la base de unas
hipótesis que ya hemos definido, hipótesis nula e hipótesis alternativa,
que ya esas hipótesis automáticamente definen una región crítica. El
próximo día volveré sobre este punto porque es muy importante. Tenéis
que repasar estos temas esta semana, evidentemente, de los contrastes de
hipótesis. Si yo tengo estas hipótesis, automáticamente se define lo que
se llama una zona de aceptación de la hipótesis nula, cuyo nivel de
confianza, por ejemplo, en este caso sería el 95%, y está comprendida
entre menos TC y más TC. Menos TC y más TC son los valores críticos de
la TED-STUDEN con n menos k grados de libertad que van a salir de unas
tablas con los niveles de confianza y niveles de significación con los que
queramos trabajar en la práctica. Esto el próximo día volveremos sobre
ese punto. Gracias. Y claro, si esta zona intermedia es la zona de
aceptación de la hipótesis nula, cuyo tamaño es del nivel de confianza
en el 95%, a la izquierda y a la derecha del menos TC y del más TC se va a
definir una región crítica o zona de rechazo de la hipótesis nula. Y por
último, nosotros comprobando dónde cae este TEC empírico en comparación
con esa zona de rechazo y zona de aceptación, pues podríamos resolver el
contraste. Vamos a dejarlo aquí, porque yo creo que ya... Son muchos
conceptos los que hemos visto hoy y ya os he planteado, por lo tanto, unas
cuantas cuestiones que tenéis que repasar en esta semana que empieza. Ya
paso la palabra a Cipri. Yo dejo la grabación aquí. Voy a parar mi
grabación. Y ahora ya, Cipri, cuando quiera, en unos pocos segundos, pues
ya acuérdate de empezar.