Muy bien, ya estamos en marcha en esta segunda sesión del curso cero de
electromagnetismo y como estaba previsto pues hoy tenemos el tema de
desarrollar la ley de Gauss y aplicaciones. En este sentido es lo que vamos
a trabajar en estas dos horitas que vamos a tener ahora a continuación, de
manera que vamos a ver primero unos conceptos teóricos con algunas
aplicaciones y después veremos ejercicios, los que podamos. El por qué
hablar de la ley de Gauss y distribuciones continuas de carga. Mirad, ya el
primer día hablábamos de... ¿Cómo calcular campos eléctricos,
potenciales eléctricos creados por cargas puntuales? Pero ¿qué pasa si
tenemos distribuciones continuas de carga? Si tenemos distribuciones
continuas de carga tengo que utilizar la expresión diferencial de la
expresión del campo eléctrico del potencial. Y ese diferencial de carga
que tendré que integrar en toda la superficie, toda la línea o todo el
volumen puede ser una integral relativamente compleja. Entonces nosotros lo
que vamos a desarrollar... Hoy son distribuciones de carga que tienen una
simetría, o bien una simetría esférica o una simetría cilíndrica. Y en
esa idea estaremos hablando de distribuciones de carga que puede ser un
hilo, un cilindro, un plano infinito o una distribución esférica. Este
cuatro tipos de distribuciones y únicamente estas cuatro. ¿Por qué?
Porque estas cuatro tienen una simetría cilíndrica. Que nos va a permitir
determinar campos eléctricos por distribuciones continuas de carga, ya
sean por hilos conductores, por cilindros, por planos o por distribuciones
esféricas. Y todo ello a través de la ley de Gauss que es lo que veremos
a continuación. Vamos a tener que introducir concepto de flujo eléctrico
y vamos a ver cómo esa ley de Gauss nos simplifica mucho los cálculos. Y
nos permite con una gran sencillez por determinar distribuciones, campos
eléctricos y potenciales eléctricos de distribuciones continuas de carga.
De eso es lo que se trata. Uy, bueno, vamos a ver. Entonces, bueno. Bueno,
vimos la ley de Coulomb, si os acordáis, ¿no? Es que después veremos
Faraday, hoy no, ¿no? Porque Faraday inicia la idea del campo eléctrico e
introduce la inducción electromagnética. Veremos en magnetismo, digamos,
la ley de Faraday, ¿no? Y después también hablaremos de las ecuaciones
de Maswell, de la teoría clásica del electromagnetismo, muy importante. Y
Gauss, ¿no? Gran matemático que sus desarrollos permitieron formalizar,
formalizar distintas leyes del electromagnetismo y cómo vamos a utilizar
esos conocimientos matemáticos de Gauss, ¿no? Para calcular campos
eléctricos y potenciales eléctricos. Bueno, cuando hablamos de
distribuciones continuas de carga, podemos estar considerando
distribuciones lineales, superficiales o volumétricas. Claro, si yo
pudiese una distribución continua de carga hacerla como suma de cubos,
como veis aquí a la derecha, hay como cubitos, ¿no? La carga total,
¿qué sería? La suma individual de cada una de estas cargas, ¿no? De
estos incrementos de carga, de estos delta de carga. A mí me pone que el
profesor tiene algún problema con el vídeo. Pues a mí no me dice nada.
Los demás pueden ver bien la clase. A ver... Jesús... Sí, sí. Sí, sí,
se ve. Pues entonces creo que lo mejor es, Jesús, es que salgas y vuelvas
a entrar, ¿vale? Y ya está. ¿De acuerdo? Venga. Bueno, pues os decía
que si nosotros pudiésemos hacer la suma de estos incrementos de carga,
¿no? Pues a partir de ahí, pues bueno, pues podríamos calcular la carga
total. Lo que pasa es que normalmente esto no es tan sencillo, sino que
necesitamos una ecuación matemática que nos dé, o que nos relacione la
carga en función de algo. ¿De qué? De una distancia, de r, o si tiene un
valor constante. Entonces lo que se hace es definir la densidad de carga.
La densidad de carga se puede definir en función si estamos considerando
un volumen, una superficie o una longitud. Aquí estamos considerando un
volumen. Pues la densidad de carga se define la carga por unidad de
volumen. La carga que tenemos nosotros por unidad de volumen. Rho. Esta
letra griega es rho. Si nosotros utilizamos una expresión integral,
evidentemente que la densidad de carga de todo lo que tenemos aquí
dibujado nos centraríamos en esta expresión que tenemos aquí. La carga
sería la suma de los diferenciales de carga, pero en definitiva la suma de
estos incrementos de carga es la integral y sería rho diferencial de
volumen. Es decir, la carga total, ¿no? Q sería integral de rho
diferencial de volumen. Rho diferencial de volumen. ¿De acuerdo? Siendo
rho la densidad de carga. Si la densidad es constante, sale fuera de la
integral y nos quedaría la integral diferencial de volumen. ¿Y qué
sería eso? Pues el volumen. ¿El volumen de qué? Del cuerpo. Si es una
esfera, cuatro tercios de pi R cubo. Si es un cilindro, pues pi R cuadrado
por H. Lo que sea. Si es un cubo, pues ya sabéis, lado por lado por lado.
¿No? Lado al cubo, etc. Bien. Como os decía, podemos tener una densidad
lineal de carga si nosotros tenemos una densidad lineal de carga. Si
nosotros tenemos un hilo, ¿no? Si nosotros tenemos un hilo, hablaremos de
densidad lineal de carga. ¿Densidad superficial de carga? Pues si tenemos
una superficie, por ejemplo, un plano. ¿Y densidad volumética de carga?
Pues, por ejemplo, si tenemos una esfera. ¿No? Tres dimensiones. Está
claro, ¿no? ¿Cuándo utilizaremos cada uno de ellos? Si estamos con un
hilo, lambda. ¿Superficie? Sigma. ¿Volumen? ¿Rho? ¿De acuerdo? ¿Y
cuál es la carga total? Pues la integral diferencial de Q. Y este
diferencial de Q, como hemos dicho antes, pues será igual despejando en
cualquiera de esas tres ecuaciones que tenemos aquí abajo. ¿Vale?
Dependerá si tenemos una línea, una superficie o un volumen. ¿Vale? Si
estamos considerando un volumen, sería Rho por diferencial de volumen. Es
el tercer caso. Si es una superficie, pues el diferencial de carga sería
sigma por el diferencial de superficie. ¿Vale? Y, si fuera una línea, un
hilo conductor, ¿no? ¿Qué sería? Pues sería lambda por diferencial de
L. ¿Qué tal? Luis, te has incorporado. Muy bien. Perfecto. Vamos allá.
Bien, seguimos. Bueno, aquí tenéis un ejemplo de cómo calcular la carga
si nos diréis en nosotros la densidad de carga que no es constante en
función de la distancia al origen. No, no, no te preocupes, Luis. No pasa
nada, ¿eh? No, no pasa nada. Os incorporáis cuando podáis. Y ya lo he
dicho antes. Si en un momento no podéis, simplemente era un saludo breve
lo que pretendía hacer. Nada más. ¿Eh? Ningún problema. Flexibilidad
total. Y si os tenéis que ir en un momento determinado, salís. Ya veréis
la grabación. No pasa nada. Nada. Flexibilidad total. Simplemente es por
saludar. ¿Tú? Un momentito y ya está. Vale. Venga. Vamos allá.
Entonces, densidad lineal de carga, en este caso, 4x. Bueno. Entonces, si
yo quiero calcular la carga que tengo distribuida en esta varilla de
longitud 0L, tendré que integrar Q. ¿Qué será Q? La carga total. ¿Eh?
La integral de diferencial de Q. Esta integral de diferencial de Q sería
lambda por diferencial de L. Lambda es 4x y la integral de X, ya sabéis
que es X cuadrado partido por 2. Aplicáis la regla de Barrow y nos
quedará simplificando 2L cuadrado. Pues esta sería la carga que tendría
esta varilla, ¿no? De longitud L. Teniendo en cuenta que su densidad no es
constante, es lineal. Aumenta con la distancia al origen. ¿Vale? Bueno. En
general, si nosotros no tenemos, como os decía al principio, si yo tengo
cualquier distribución continua de carga, tendría que utilizar esta
ecuación del campo eléctrico integrando. Pero tendría un problema serio,
que es este diferencial de Q, ver cómo varía este... Tendría que
expresar este diferencial de carga en función de R, en función de la
distancia. ¿Eh? Eso es el problema. Entonces, eso a veces no es tan
sencillo. Habría que ver si tuviéramos una simetría, como puede ser el
caso de un anillo, ¿no? Que tiene una simetría y ya lo vimos el otro
día, ¿no? Y si nosotros quisiéramos una simetría, la fuerza que
ejercería esta distribución continua de carga en este punto, sería el
producto de la carga por el campo eléctrico. Esto está claro, ¿no? No
tiene ningún problema. Pero, ahora nosotros vamos a introducirnos cómo
vamos a poder determinar campos eléctricos con distribuciones continuas de
carga que tengan una simetría determinada. Y para ello, vamos a introducir
un concepto físico que no conocemos, que es el flujo. El flujo del campo
eléctrico. El flujo del campo eléctrico, aquí tenéis un símil, ¿no?
De una corriente de agua. Pero, lo podéis leer esto después
tranquilamente si queréis. Pero, os voy a dar la idea. El flujo del campo
eléctrico nos representa el número de líneas de campo que atraviesa una
superficie determinada. ¿Entendido? El flujo nos representa el número de
líneas de campo que atraviesa una superficie determinada. ¿Cuánto mayor
será el flujo? Cuanto mayor sea el campo eléctrico y cuanto mayor sea la
superficie. Porque, cuanto mayor intensidad tenga el campo eléctrico,
mayor número de líneas de campo atravesarán la superficie. Y cuanto
mayor sea esta superficie, mayor será el flujo también. ¿Estamos de
acuerdo, no? Bien. Entonces, aquí tenéis esta semiesfera y un campo
eléctrico. ¿Vale? Entonces, matemáticamente, flujo viene dado por esta
expresión. Integral de superficie D por diferencial de S. Pero, no os
preocupéis. Es que eso no viene de la superficie. Habéis dado integrales
de superficie. Pero no pasa nada porque nunca vais a tener que hacer una
integral de superficie. Esto se nos va a simplificar siempre de una manera
muy sencillita. Es que es E por diferencial de S. Y cuando hablamos de E
por diferencial de S, esto es un producto escalar. Y será el módulo del
primero por el módulo del segundo y por el medio aquí está puesto del
coseno del ángulo que forma el vector campo y el vector N. Siendo el
vector N un vector perpendicular a la superficie. Por definición, N es un
vector unitario perpendicular a la superficie. ¿Vale? Esto tenéis que
tenerlo claro. ¿Eh? ¿Sí? Bueno. Tenerlo presente. ¿Eh? Entonces,
simplemente, ¿qué unidades tendría el flujo? El flujo del campo
eléctrico. Las unidades del campo eléctrico multiplicado por las unidades
de la superficie. ¿Y cuáles son las unidades del campo eléctrico?
Newton, Coulombio a la menos uno. Multiplicamos por M cuadrado y estas
serían las unidades del flujo. ¿Vale? Estas serían las unidades del
flujo en el sistema internacional. Que también veréis si consultáis
libros que se llama Bevers, WB. Voy a ponerlo aquí. WB. ¿Vale? Bevers.
¿Vale? Entonces, aquí tenemos este producto. Claro, ¿cuándo va a ser,
cuándo nos va a ser más, cuándo va a ser máximo el flujo? Cuando el
vector campo y el vector superficie formen cero grados. Efectivamente.
¿No? A ver. Aquí, yo puedo tener una superficie determinada. Si yo dibujo
una superficie determinada, ¿no? Por no irme ahora a, a... Anda. Me he ido
a la otra página. Yo pinto una superficie determinada. El vector n, que es
un vector perpendicular y dirigido hacia afuera. ¿Vale? Esto sería el
vector n. ¿Vale? Si el campo eléctrico tiene esta dirección, fijaos.
Imaginaos que el campo eléctrico tuviera esta dirección. E. Me salgo
fuera, ¿no? Del trazo. Si pinto aquí la superficie, voy a pintarla aquí.
¿Vale? Y que aquí tengamos el vector n. Y el campo eléctrico va hacia la
derecha. ¿Qué vale el flujo aquí? Cero. Porque sería el módulo d por
el módulo de n, que es uno. ¿No? A ver, por el módulo de n. No es por el
módulo de n. Es por el módulo de n. diferencial de superficie. ¿Eh?
Aquí está. Diferencial de s es el módulo. Por el coseno del ángulo que
forma. ¿Qué formaron aquí? ¿Qué ángulo forma? n. O el vector
diferencial de s, si queréis, porque todo él sería el vector diferencial
de s. n es un vector unitario, perpendicular. Entonces, forma 90 grados. El
flujo sería nulo. Pero, si la superficie es un vector unitario, esto es la
superficie. Este sería el vector n. ¿Vale? Y el vector campo, también
fuera, tuviese la misma dirección, el flujo sería máximo. Si la
superficie es perpendicular al vector campo, tendremos máximo flujo.
Porque si la superficie es perpendicular al vector campo, el vector
superficie es paralelo al vector campo y tendremos máximo flujo. Sin
embargo, si la superficie es paralela, ¿no? Es paralela. Si la superficie
es paralela al vector campo, será cero. Porque el vector superficie es
perpendicular al vector campo. Veis los dos casos, ¿no? Aquí tendríamos
un flujo máximo E por S y aquí tendríamos un flujo nulo. ¿De acuerdo?
¿Cuál sería el flujo creado por una carga externa a una superficie
cerrada? ¿De acuerdo? ¿Qué ocurre? Ojo. Hemos dicho que el concepto de
flujo es, nos representa el número de líneas de campo que atraviesan una
superficie determinada. ¿Sí? Si yo tengo una carga exterior, nos damos
cuenta que el mismo número de líneas de campo que entran por la
superficie salen. Entonces, ¿hay un flujo entrante? Sí. ¿Hay un flujo
saliente? Sí. Pero el flujo neto es nulo porque el mismo número de
líneas de campo que entran por la superficie es igual al número de
líneas de campo que salen por la superficie. Y, por lo tanto, el flujo
neto es nulo. Entonces, cualquier carga exterior a una superficie cerrada
genera un flujo neto nulo. Siempre será nulo. Porque el número de líneas
de campo que atravesarán esa superficie que entran y que salen, o que
salen y que entran, como queráis, dependerá si la carga es positiva o
negativa, ¿no? Va a ser siempre el mismo flujo neto y, aunque haya un
flujo entrante y un flujo saliente, el flujo neto resultante siempre será
nulo. ¿Qué pasa si en la superficie cerrada tengo un dipolo? ¿Qué es un
dipolo? Son dos cargas del mismo... Son dos cargas idénticas y de signo
contrario. ¿Vale? ¿Qué va a pasar? Fijaos cómo son las líneas de
campo. Son líneas que parten de la carga positiva y van a parar a la carga
negativa. Son líneas cerradas. Que emergen de la carga positiva a la carga
negativa. ¿Qué valdrá el flujo neto aquí? Hay unas líneas de campo que
salen de la superficie, sí. ¿Y qué entran? Las mismas. Las mismas que
entran, salen. Y otras que ni salen, ni siquiera, ¿no? Como veis en el
dibujo. Pero sí que nos damos cuenta que hay un flujo entrante y un flujo
saliente y que el número de líneas de campo que entran en la superficie
es el mismo al número de líneas de campo que salen de la misma. Y por lo
tanto, otro caso en el cual el flujo neto a través de la superficie
cerrada es nulo. Uno, cuando la carga es exterior y dos, cuando la carga
neta resultante dentro de la superficie cerrada sea nula. ¿De acuerdo?
Bien. Ahora vamos a considerar una carga puntual. Una carga puntual que la
vamos a encerrar en una superficie esférica. De manera que el flujo de la
carga Y queremos determinar qué vale el campo eléctrico bueno, no, vamos
a ver, no, en primer lugar vamos a ver qué vale el flujo. El flujo de esta
carga el flujo eléctrico que genera esta carga a través de esta
superficie ¿eh? A través de esta superficie cerrada. La pregunta es de
entrada ¿ah? Voy ¿mi flujo va a ser distinto de cero o no? Pues, mira, la
carga está dentro sí. La carga resultante es nula. No. Pues de entrada no
estamos en ninguno de los dos casos anteriores. Ahora bien, si yo lo que
hago es calcular el campo ¿no? A través de una superficie el flujo,
perdón, a través de esta superficie esférica en cuyo centro está la
carga aquí tenemos una simetría esférica. Está claro. Yo quiero
calcular el flujo eléctrico ¿eh? De entrada después ya veremos cómo
calculamos el campo. Será inmediato después. Bueno, entonces dices bueno,
veamos nosotros somos conscientes que el vector superficie es un vector
perpendicular a la misma y dirigido hacia afuera. El vector n va hacia
afuera. Como q es una carga positiva y el campo eléctrico es la fuerza que
se ejerce sobre la unidad de carga positiva positivo y positivo se repelen.
El vector campo también es radial dirigido hacia afuera. De hecho sabemos
recordemos que el campo eléctrico creado por una carga puntual viene dada
por esta expresión el módulo del campo eléctrico ¿vale? Y
vectorialmente tiene un carácter radial. Lo voy a poner aquí abajo para
no irme a la pizarra. ¿Vale? Bueno. Entonces el flujo esta expresión ya
la hemos visto antes ¿no? Tenemos esta expresión campo por diferencial de
superficie. Ya veréis que después en los libros muchas veces se omite el
circulito de la integral esta integral de superficie se suele omitir ¿eh?
Pero bueno el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno
del ángulo que forma ¿qué ángulo forman el vector superficie y el
vector campo eléctrico cero grados? Son dos vectores paralelos coseno de
cero ¿vale? Y después hay que tener otra cuestión muy importante y esto
suele pasar mucho nos damos cuenta que el campo eléctrico que crea una
carga puntual es constante a una distancia determinada en concreto a una
distancia R mayúscula a una distancia R mayúscula ¿no? ¿vale? El campo
eléctrico ¿eh? va a ser constante ¿por qué? Porque depende de la
distancia ¿vale? ¿mm? El campo eléctrico es constante ¿sí? Entonces
sale fuera de la integral porque no depende de R es constante para una
distancia concreta y nos quedará la integral de superficie la integral
diferencial de superficie ¿y cuál es la superficie de una esfera?
Recordémoslo bueno pues es que la superficie de una esfera es 4 pi R
cuadrado ¿y el volumen? ¿qué era el volumen? 4 tercios de pi R cubo
entonces si multiplicamos la E por 4 pi R cuadrado como la E el campo
eléctrico si lo estamos calculando a una distancia R mayúscula esta R la
pondré mayúscula ¡epa! ¿qué pasa aquí? bueno aquí perdón puedo
poner aquí una R ¿no? ¿qué tendremos aquí? pues 1 partido 4 pi E sin 1
sub 0 por Q partido R cuadrado por 4 pi R cuadrado simplificando ¿qué me
queda? pues esta expresión que tenéis aquí que el flujo es igual a Q
partido de E sin 1 sub 0 este resultado es muy importante es muy
interesante porque fijaos que no depende del tamaño de la superficie ¿os
dais cuenta que es independiente de R? de hecho es independiente de la
forma geométrica de esa superficie en la cual he encerrado esta carga de
manera que este resultado es muy interesante porque fijaos como el número
de líneas de campo que atravesarán esta superficie esférica será la
misma será el mismo que si mi superficie en lugar de ser una esfera se
convierte en una superficie de una superficie es este dibujo que os hago
ahora ¿no? algo totalmente irregular el número de líneas de campo que
atravesarán esta superficie que he pintado ahora azul es irregular y el
que atraviesa esta superficie esférica es el mismo ¿por qué? porque
estas son las líneas de campo ¿vale? ¿estáis de acuerdo que el número
de líneas de campo es igual a la superficie esférica o esta otra
irregular es el mismo por lo tanto el flujo ha de ser el mismo ¿no?
entonces a partir de aquí enunciamos la ley de Gauss el flujo del campo
eléctrico a través de una superficie cerrada cualquiera es igual a la
carga neta que hay en su interior partido de la constancia dieléctrica del
medio tenemos el vacío aire pondemos ese y ya está ¿vale? entonces
¿qué pasa? evidentemente que también podemos aplicar la definición de
flujo que es integral de E por diferencial de S y de hecho eso nos va a
servir esta igualdad que tenéis aquí en este recuadro ¿no? se va a
utilizar para calcular campos eléctricos con distribuciones con simetría
con una simetría de carga que permita que el campo eléctrico pueda salir
fuera de la integral es decir que el campo eléctrico sea constante a una
distancia determinada de manera que sale fuera de la integral siempre va a
salir fuera de la integral ese campo eléctrico todos en todos los casos
que vais a ver ¿eh? los que se dan este primer curso ¿eh? en cualquier
asignatura que tengáis de primero ¿eh? el campo eléctrico siempre va a
salir fuera de la integral y por lo tanto después tendréis integral de
diferencial de S y no va a tener problema porque la integral de diferencial
de S es la superficie y depende de la forma geométrica que tengamos un
cilindro una esfera bueno para aplicar teorema de Gauss en ejemplos que
sean prácticos sencillos tiene que cumplirse algo ¿no? algo porque si no
las cosas se nos pueden complicar mucho pero en todos los casos que vais a
ver y que tenéis en consideración es que siempre debemos elegir una
superficie ¿no? que tenga una simetría adecuada en función de la
distribución de carga y ya os lo he dicho si tengo un hilo conductor un
cilindro o un plano nosotros introducimos nuestra superficie en un cilindro
si tenemos una distribución esférica introducimos nuestra superficie en
una esfera y se acabó ya no hay más o es un cilindro o es una esfera
entonces haremos un poquito de memoria y refrescaremos a que es igual la
superficie y el volumen de una esfera y la superficie también de un
cilindro ¿vale? y el volumen en algún caso bien entonces ¿qué puede
pasar? ¿qué es lo que tiene que suceder? que el campo eléctrico sea
constante en módulo en todos los puntos de la superficie ya lo he dicho
antes y lo reitero y después que el campo eléctrico sea o bien paralelo o
sea perpendicular al vector n al vector superficie eso es lo que tiene que
pasar siempre y siempre os vais a encontrar con esos casos o es paralelo o
es perpendicular si es paralelo tendremos flujo máximo si es perpendicular
flujo nulo ¿vale? aquí lo tenéis el flujo sería nulo si el vector campo
si es paralelo a la superficie gaussiana ¿qué quiere decir que sea
paralelo a la superficie gaussiana? pues que el vector campo y el vector n
formen 90 grados eso es lo que quiere decir ¿no? pues ahora lo veremos es
decir imaginaos que tenemos un por poneros un ejemplo una distribución
cilíndrica ¿no? y que tenemos un campo que tiene esta dirección por
aquí arriba y por abajo ¿vale? ¿y cómo es el vector superficie? por
ejemplo pues aquí tengo un vector superficie otro vector superficie
¿vale? azul vector superficie rojo vector campo nos damos cuenta donde va
a haber flujo a través de este cilindro ¿hay flujo por las caras
laterales? no ¿por qué? porque el vector campo y el vector n forman 90
grados el vector campo va por aquí el vector campo va por aquí ¿vale? no
hay flujo por las caras laterales donde si hay flujo es por las dos bases
por la de arriba y por la de abajo ¿de acuerdo? venga esta expresión la
vamos a utilizar mucho esta que tenéis aquí se utiliza bastante así
desarrollada o deducirla cada vez un poquito porque tampoco es tan
complicado ¿no? combina justificar un poco las fórmulas siempre en los
desarrollos ¿eh? ¿vale? bueno vamos a ver alguna aplicación tiene aquí
calcular el campo eléctrico producido por una esfera cargada uniformemente
¿no? de radio R ¿qué quiere decir una carga una una esfera cargada
uniformemente de radio R pues quiere decir que la carga está distribuida
por toda la esfera esto es como si tuviéramos un dieléctrico en el cual
hemos introducido una carga en todo el volumen en toda esa distribución
esférica ¿vale? y tenemos que la carga no está distribuida en la
superficie sino en todo el volumen ¿cómo podemos calcular el campo
eléctrico en un punto exterior para una distancia mayor de R o menor de R?
¿no? para una distancia mayor o para una distancia menor para una
distancia mayor lo que tengo que hacer es dibujar una superficie gaussiana
de radio R justo a la distancia donde quiero calcular el campo eléctrico
¿vale? y igualmente para una distancia menor de R también una superficie
gaussiana ¿no? de radio justo a la distancia pero metida dentro de esta
esfera de radio R bueno pues ahora aquí tenemos el desarrollo aquí
tenemos la superficie ¿no? y me voy a una distancia R mayor ¿eh? aquí
estoy en una distancia R mayor que R entonces el vector campo es un vector
perpendicular a la misma y dirigido hacia afuera el vector N es un vector
perpendicular y también dirigido hacia afuera ¿vale? entonces son
paralelos ¿no? y el flujo es igual a E por 4 pi R cuadrado ¿vale? ¿y
qué vale la carga que hay encerrada? la carga que hay encerrada en esta
superficie gaussiana es la carga que hay encerrada en esta esfera de radio
R mayúscula que es toda la carga Q toda la carga Q ¿de acuerdo? toda la
carga Q ¿vale? entonces si igualamos ¿no? E que es el flujo el flujo E
por integral de E diferencial de S E es constante en una distancia
determinada sale fuera de la integral por 4 pi R cuadrada es igual a la
carga partido de silón sub 0 ¿qué me queda este módulo de E? el módulo
de E ¿qué me queda? esta expresión ¿no suena algo? claro que sí esta
expresión es la expresión coincide con el campo eléctrico creado por una
carga puntual situada en el centro de esta esfera de esta distribución
esférica de carga ¿qué quiere decir esto? que para valores de R mayor
que R de radio de la esfera el campo eléctrico de esta distribución
esférica de carga es análogo es similar es idéntico al creado por una
carga puntual situada en el centro de la esfera y del mismo valor que toda
la carga distribuida en esta distribución esférica de carga tan sencillo
como esto entonces siempre que queramos calcular el campo eléctrico creado
por una distribución de simetría esférica de carga de densidad constante
porque aquí no nos está diciendo que la densidad no sea constante
después tengo un ejemplo os enseñaré un ejemplo donde la densidad no sea
constante ¿eh? entonces el campo eléctrico simplemente la fórmula del
campo eléctrico de una carga puntual porque el comportamiento es idéntico
esto no simplifica mucho los cálculos mucho ¿y qué valdrá el campo
eléctrico en la superficie? pues particularizaremos para R minúscula
igual a R mayúscula ¿no? ahora el problema está si nos metemos dentro de
esta esfera si nos metemos dentro de esta esfera ¿qué nos va a hacer
tenemos que pensar que sólo genera campo eléctrico ¿qué genera campo
eléctrico aquí? la carga que tenemos aquí dentro de esta esfera
gaussiana porque la carga que tenga por afuera en esa parte de esfera que
está exterior no me va a generar ningún campo eléctrico por debajo no,
no, no esa no me va a contribuir sólo me contribuye la carga que está
encerrada en esa superficie gaussiana es decir la carga que está encerrada
en esa superficie de radio justamente igual a la distancia donde quiero
calcular el campo eléctrico entonces ¿cuál es el problema que tengo? que
ahora la carga no es toda la carga es una parte de la carga ¿y qué vale
la carga que hay encerrada aquí? esta carga Q la carga que hay encerrada
pues la densidad volumétrica por el volumen y pongo R minúscula porque R
minúscula es el radio de esta superficie de esta esfera gaussiana ¿eh?
estoy dentro de la esfera grande de R mayúscula claro tú me dices si es
que el enunciado no me da la densidad de carga ya, ya lo sé que no me da
la densidad de carga del enunciado ¿y puedo dejarlo en función de R? pues
no si a mí me da la carga total evidentemente que yo ahora no puedo dejar
mi resultado en función de R efectivamente ahora bien depende cuál es el
enunciado exactamente un momentito a ver no me lo dice no una distribución
de carga pero bueno os lo voy a solucionar ahora enseguida no penséis
¿qué va a dar la carga total? Rho por 4 tercios de pi por R mayúscula al
cubo de manera que Q partido por Q es igual a R cubo partido R cubo es
decir que yo podré expresar ¿eh? podré expresar la carga que tengo ahí
encerrada en función de la carga total y de la distancia ¿vale? es una
opción si yo puedo expresar sin embargo aquí como veis lo hemos dejado en
función de la densidad ¿y no os es muy cómodo? pues sí ¿por qué?
porque lo que estamos viendo realmente ¿eh? lo que estamos viendo
realmente es que el campo eléctrico es lineal con la distancia aumenta de
manera lineal con R ¿vale? aumenta de manera lineal con R ¿lo puedo dejar
en función de la carga total? ¿saldría la misma dependencia? sí ¿qué
tendría que hacer? pues sustituir Rho por ejemplo por Q partido 4 tercios
de pi R cubo tan sencillo como eso ¿no? si nosotros sustituimos por esa
expresión o ya de entrada aquí en vez de utilizar dejarlo en función
podría haber hecho E por 4 pi R cuadrado igual a la carga ¿y qué es la
carga? pues Q mayúscula por R cuadrado R minúscula al cubo partido R cubo
¿vale? y todo ello partido por Epsilon sub cero anda mira que bien y de
aquí ¿qué puedo hacer? ¿puedo simplificar algo? pues se ve que sí
¿no? el 4 pi pasará dividiendo el R cuadrado con un R cubo me quedará
una R minúscula arriba a ver ¿qué es lo que pasa? 1 partido 4 pi Epsilon
sub cero por Q partido R cubo y por R obtengo una expresión donde me
vuelve a indicar que el campo eléctrico es proporcional a la distancia al
centro a R pues tanto de una manera como otra obtenemos la misma
dependencia solo que en un caso lo he dejado en función de la densidad de
carga más sencillo o en función de la carga total sí ya sé que esto
puede ser un poquito complicado ¿eh? pero bueno tampoco se complica más
¿eh? no penséis no se nos va a complicar más ¿eh? el campo eléctrico
¿vale? este es el peor caso ¿eh? el peor caso es este ¿eh? este es el
peor caso ahora vemos con un caso más agradecido mejor cuando tengo un
conductor una superficie esférica conductora y está cargada la cargo con
una carga Q distribuida en su superficie y alguien puede decirme bueno ¿y
eso qué quiere decir exactamente? ¿esto no es el mismo ejemplo de antes?
no no, no, no, no, no cuando nosotros tenemos un conductor un casquete
esférico como puede ser en este caso hueco o macizo me da igual y está
cargado en equilibrio es decir que no hay movimientos de cargas después lo
veremos con más detenimiento la carga se distribuye siempre en la
superficie esto es muy importante en un conductor cargado en equilibrio la
carga siempre se distribuye en la superficie esto es un principio básico
importantísimo esto va a producir que el campo eléctrico en el interior
del conductor siempre sea nulo el campo eléctrico en el interior del
conductor siempre sea nulo siempre será nulo porque la carga va a ser nula
esto es importantísimo después lo seguiremos justificando con otros
ejemplos pero fijaos el flujo es integral de diferencial de S ¿vale? un
momentito si ¿esto a qué es igual? esto será igual un momentito estaba
vale a la carga que hay encerrada partido de la constante dieléctrica
¿no? ¿sí? entonces sacamos fuera la integral si queréis E por S a una
distancia determinada Q encerrada partido de Sino sub 0 de hecho podríamos
omitir los vectores ¿eh? porque sabemos que tiene carácter radial esto
¿entendido? ¿eh? tienen carácter radial ¿no? lo hemos dicho antes E por
S pero quiero que nos demos cuenta que si la carga es nula si esto es nulo
¿qué me queda? que E por S es nulo S no es 0 porque tiene un valor finito
entonces si un producto es nulo ¿qué me queda? si un producto es nulo y
uno de ellos no es nulo el otro tiene que ser nulo puede ser campo
eléctrico en el interior ha de ser 0 veremos otros razonamientos después
¿eh? ¿vale? bueno ¿qué pasa si nos vamos fuera? dibujo una superficie
gaussiana aplico otra vez Gauss y me da igual que la carga esté
distribuida en la superficie o en toda en todo el volumen como pasaba en el
otro ejemplo porque el campo eléctrico generado por esta distribución por
un conductor cargado en el equilibrio nos damos cuenta que la expresión
que nos sale es análoga a la que habíamos visto antes ¿por qué? porque
sería E por diferencial de S E por la superficie que es 4 pi r cuadrado
¿y cuál es la carga encerrada en esta superficie gaussiana? en esta
superficie gaussiana de radio minúscula mayor que R mayúscula pues es
toda la carga ¿eh? me da igual que esté distribuida en la superficie es
toda la carga que es Q entonces casualmente nos vuelve a salir la misma
expresión del campo eléctrico anda ¿qué quiere decir esto? pues yo
tenga una distribución esférica de carga de densidad en todo el volumen o
bien un conductor cargado en el equilibrio cuya carga está distribuida en
su superficie el campo eléctrico en un punto exterior es el mismo en ambos
casos en un punto exterior y además coincide con el que crearía una carga
puntual situada en el centro de valor Q y punto y se acabó sencillo
¿vale? el problema es ¿qué pasa si nos metemos dentro? aquí nos metemos
dentro hemos dicho que la carga está distribuida en la superficie si la
carga está distribuida en la superficie no la carga interior es nula y
como se puede ver como hemos dicho antes si la carga es nula vale está
mirando si hay alguna incidencia bueno bien entonces, el campo eléctrico
será nulo ¿vale? el campo eléctrico será nulo lo hemos dicho antes
¿por qué? porque la carga encerrada es nula bueno aquí hay un ejemplo de
un plano pero ahora permíteme que voy a ir a la pizarra y bueno esto es
del otro día ¿no? sí vamos a ver vamos a pensar un poquito en el caso
por ejemplo de una esfera conductora ¿os parece? vamos a trabajarlo un
poquito más tenemos una esfera conductora de radio R tiene una carga Q que
está distribuida en la superficie ¿vale? para una distancia mayor que R
hemos visto que el campo eléctrico es 1 partido 4 pi esilón sub cero Q
partido R cuadrado si la distancia coincide con el radio de la esfera un
momentito no sé qué ha pasado me he apoyado aquí ¿no? el campo
eléctrico es 1 partido 4 pi esilón sub cero Q partido por R cuadrado y si
nos vamos dentro el campo eléctrico será nulo hemos dicho ¿no? ahora
bien ¿y el potencial eléctrico? no hemos hablado y todavía el otro día
estuvimos hablando también de potencial eléctrico ¿cómo puedo
calcularlo? el potencial eléctrico? ¿os acordáis que teníamos un par de
expresiones? a ver vamos a hacer un poquito de memoria dijimos que VA menos
VB era integral de E diferencial de R de R sub A a R sub B o también una
integral indefinida V de R igual a menos integral de E diferencial de R
¿vale? ¿no? ¿vale? las dos expresiones son adecuadas incluso vimos si os
acordáis ¿eh? si os acordáis ¿eh? vimos una expresión ¿no? vimos una
expresión que nos permitía un momentito a ver. una expresión que estaba
al revés VB menos VA integral de menos integral de VA es decir vais a ver
que en función del libro del manual que consultemos podemos tener
distintas expresiones ¿vale? bien ¿por qué os comento esto? ¿cómo
calcularíamos cómo podríamos calcular nosotros el potencial en un punto
exterior? mirad siempre que tengamos una distribución esférica de carga,
siempre se va a considerar origen de potenciales eléctrico el infinito,
análogo a lo que ocurría con las cargas puntuales. Sin embargo, esto no
lo vamos a poder hacer cuando tengamos un hilo conductor o una
distribución cilíndrica de carga. Lo veremos con algún ejemplo. Nunca
podemos tomar origen de potenciales el infinito con un hilo o con un
cilindro, una distribución cilíndrica. Entonces, para calcular el
potencial eléctrico, aquí, de una manera sencilla, puedo hacerlo de dos
formas, con una integral definida o una indefinida. Si lo hago con la
indefinida, aquí abajo, ¿no? Para considerar, ¿no? ¿Qué tendría que
hacer? Bueno, es que el vector campo va hacia afuera, el vector diferencial
de r va hacia afuera, ¿no? ¿Qué quiero deciros con todo ello? Lo que
quiero deciros es que tenemos que así, que realizar una integral, pero una
integral, ¿no? Donde esto... El vector campo va hacia afuera, el vector
diferencial de r va hacia afuera, ¿eh? ¿Esto qué quiere decir, en
definitiva? Que forman cero grados. ¿No? Bueno. Entonces, no lo voy a
hacer la integral ahora, porque si la hicimos el otro día y os he dicho
que es análogo al que crearía una carga puntual, me vais a decir, nos va
a hacer otra vez la misma integral, con una constante de integración. ¿Y
qué nos va a salir aquí? Lo mismo que salía por una carga puntual,
porque si el campo eléctrico es el mismo, el potencial tiene que ser lo
mismo. En el infinito, potencial cero. ¿De acuerdo? No la hago la integral
otra vez, lo tenéis del primer día. ¿Vale? Pero lo que sí quiero hacer
hincapié hoy, ahora, ¿eh? Es que ¿qué valdrá en la superficie? En la
superficie de esta esfera conductora. Ah, tiene que valer esto. Q partido
por r. Siendo r el radio de la esfera conductora. Pero la pregunta es, ¿y
qué valdrá en el interior de la esfera conductora? ¿Qué valdrá en el
interior de la esfera conductora? ¿Va a ser nulo? Vamos a verlo. ¿Qué va
a pasar? El potencial eléctrico. Vamos a ver. El potencial eléctrico
tiene que ser una función continua. No puede haber un salto, así como el
campo eléctrico puede haber un salto, ¿no? El potencial eléctrico no.
Entonces, fijaos. ¿Qué va a haber dentro? Bueno, si yo calculo v de r
menos v de r mayúscula integral a e diferencial de r, ¿vale? Desde r
minúscula a r mayúscula, donde r es menor que r, ¿me estáis siguiendo?
¿Qué estoy diciendo? ¿Qué estoy diciendo? Estoy en la esfera de radio
r. Esto es r. Que he dibujado una esfera gaussiana dentro, por ejemplo,
azul. Uy, perdón. Esto es un problema dibujado con simetría. Bueno, más
o menos. De radio r minúscula. ¿Vale? Y que el potencial, la diferencia
de potencial de estos dos puntos es igual al campo eléctrico diferencial
de r. ¿Pero qué vale el campo eléctrico en el interior? Ah, ya lo hemos
dicho antes. El campo eléctrico en el interior es nulo. Esto es cero. Cero
por algo es cero. ¿Y esto qué implica? Pues esto nos implica a nosotros
que v de r interior menos v de r mayúscula es igual. Es igual a cero. Lo
cual nos está diciendo que el potencial eléctrico en el interior de este
conductor es igual al potencial eléctrico en la superficie. Y esto es un
resultado muy importante porque se cumple en todos los conductores. Si
antes hemos dicho que el campo eléctrico en el interior del conductor
siempre es nulo, ahora diremos que el potencial eléctrico en el interior
de un conductor es siempre constante. Constante e igual al valor que tiene
en la superficie. Este es un resultado importante que tenemos que tener
presente. En el interior de un conductor no hay movimiento de cargas.
Bueno, no hay cargas, ¿no? Está claro. Un conductor en condiciones
electrostáticas, en equilibrio electrostático. Está cargado en el
equilibrio electrostático sin movimiento de cargas. No establecemos una
corriente eléctrica, ¿eh? Cuidado. ¿Eh? Siempre. Nos vamos a encontrar
con esta situación. Este resultado hay que tenerlo presente. ¿De acuerdo?
Y os va a pasar. Esto se va a repetir siempre que lo tengáis. Tenedlo en
la mente, ¿eh? Para entender los ejercicios, los problemas. Pero bueno, el
ejemplo que tenía antes de la presentación era el caso de un plano
conductor. Un plano. Y ahí aparecía que el campo eléctrico creado por un
plano conductor era sigma partido 2 y 0 sub 0. ¿Y de dónde viene eso?
Vamos a verlo. Vamos a verlo rápidamente. Venga. Vamos a dibujar un plano
conductor. Un plano que tiene una densidad de carga. ¿Eh? ¿Vale? Y vamos
a encerrar este plano... ...en un cilindro. ¿Vale? Evidentemente hay que
coger una sección del plano, ¿no? Esto es un plano muy grande. ¿Eh? Es
un plano muy grande. Tiene una densidad de carga. Carga sigma, ¿vale? Una
densidad de carga sigma, perdona, máxima, positiva. ¿La podía poner
negativa? Sí. Vamos a ver, por simetría. El plano es lo suficientemente
grande para que podamos encontrar siempre dos puntos simétricos, dos
puntos simétricos, de manera que el campo eléctrico creado por esos dos
puntos simétricos en cualquiera de las dos bases va a tener siempre una
dirección perpendicular a la misma. Es decir, ¿qué estoy diciendo? Que
tendremos un punto por aquí, que tendremos este campo eléctrico, y otro
punto por aquí, ahí. Esto no lo puedo hacerlo así. Un momentito, ¿eh?
Más o menos, ¿eh? Así, ¿vale? De manera que el campo eléctrico
resultante va a ser perpendicular, e igual por la otra cara. A ver. De
manera que el campo eléctrico resultante... Voy a cambiar de color. Ahora,
rojo, por ejemplo. Venga. Bueno. Así. ¿Vale? Este sería el campo
eléctrico resultante, ¿no? E. ¿Y el vector superficie? El vector
superficie es un vector perpendicular a la misma y dirigido hacia afuera.
Puede ser en el vector, ese vector, como queráis. Si queréis, no dibujo
el vector unitario y directamente otro color. Pues yo qué sé. A ver. Ay,
ay, ay, ay. Naranja. Aquí lo tenemos. Vector superficie. Claro, también
hay vector de superficie en las caras laterales, ¿no? Estáis de acuerdo
conmigo, ¿no? ¿Sí? Vale. Entonces, el flujo total a través de este
cilindro... Este flujo total a través de este cilindro... Cuidado. En
definitiva, será el flujo a través de las dos bases. Porque el flujo
lateral será nulo. Es decir, el flujo total será igual... El flujo de la
base 1 más el flujo de la base 2 más el flujo de la cara lateral. Pero el
flujo de la cara lateral es cero. Porque el vector campo es... ¿No? Es
perpendicular al vector superficie. ¿Vale? Es decir, será... Dos veces el
flujo a través de una base. La base 1, por ejemplo. ¿Y a qué será igual
este flujo? Bueno, esto sería dos veces... Por integral de... Ahí. De
diferencial de S. Por lo que es lo mismo, dos veces E por S. Porque es
constante a una distancia determinada... S es la superficie, tendrá un
valor determinado. ¿Y eso a qué es igual? A la cara que hay encerrada...
A la cara que hay encerrada partido de la constante dieléctrica del medio.
Es decir, dos veces E por S es igual a la cara que hay encerrada. Pero esta
cara que hay aquí encerrada, ¿a qué es igual? Esta cara que hay aquí
encerrada. A sigma por la superficie. ¿Sí? Sigma por la superficie
partido E sub cero. Y tachamos las superficies. ¿Y qué me queda como
campo eléctrico? Pues sigma partido 2 E sub cero. Y esta es la expresión
del campo eléctrico que crea una distribución plana de carga. ¿No? En
sus proximidades. ¿Vale? Pero, ¿os dais cuenta que no depende de la
distancia? Que resultado más interesante. Antes dependía de la distancia.
Ah, no. Ahora es constante. Es constante. No depende de la distancia. Este
resultado es muy interesante. Y hay que tenerlo presente siempre. Que el
campo eléctrico creado por una distribución plana de carga. Todo esto
porque después hablaremos otro día de los condensadores planos. ¿Eh? O
combinaciones de distribuciones planas de carga. Como queráis. ¿Eh?
Entonces, no depende de la distancia. ¿Y eso qué quiere decir? Pues mira.
Que si ahora yo tengo una distribución plana, ¿no? De carga. Y quiero
calcular la diferencia. Ay. La diferencia. La diferencia de potencial entre
dos puntos. Cualesquiera. ¿No? ¿Qué tenemos? En este punto. Y en ese
otro punto. A y B. ¿Eh? Podríamos calcular la diferencia de potencial
entre estos dos puntos. ¿Cómo es el campo eléctrico? Bueno. El campo
eléctrico... Tiene esta dirección. Bueno. ¿Vale? E y E. Es constante. Lo
hemos dicho antes, ¿eh? Que es constante. ¿Vale? Entonces, si yo quiero
calcular la diferencia potencial entre A y B. V A menos VB es integral de
diferencial de R. ¿Me estoy moviendo en la misma dirección que las
líneas de campo? Sí. ¿Cómo son las líneas de campo? Las líneas de
campo, evidentemente... Son esto. Estas son las líneas de campo. Son
rectas, paralelas... ¿Eh? Y este es el vector campo. ¿No? ¿Sí? Por lo
tanto... Si E es constante, sería el producto escalar de E por D. Siendo D
la distancia. En este caso me estoy moviendo. Me estoy moviendo. En el caso
de la distancia, me estoy moviendo. ¿En la misma dirección y sentido?
Sí. ¿Qué ángulo forman el vector desplazamiento y el vector campo? Cero
grados. Ah, pues simplemente C por D. Entonces, la diferencia de potencial
entre estos dos puntos sería sigma partido 2 E silón sub cero por D.
Simplemente. El campo eléctrico es constante, ¿no? Pues sería la
distancia que hay. Evidentemente que las líneas de campo siempre apuntan
desde... Desde... Valores de mayor potencial a menor potencial. Cuanto más
cerca nos encontremos del plano cargado, mayor es el potencial. ¿No? Está
claro. Porque las líneas de campo van hacia afuera. Las líneas de campo,
acordaos que siempre apuntaban hacia puntos de mayor a menor potencial
eléctrico. ¿De acuerdo? Bueno. ¿Qué pasa si ahora hubiéramos tenido un
hilo conductor? Vamos a hacer un poquito más de... Vamos a hacer un
poquito más, si os parece, antes de hacer el descanso. Un hilo conductor
que tiene una densidad de carga lambda. ¿No? Y quiero calcular el campo
eléctrico a una distancia determinada. Voy a suponer que el hilo conductor
es muy largo. Un hilo conductor muy largo. ¿Vale? ¿Cómo lo puedo hacer
esto? Pues introduciendo el hilo conductor en una superficie gaussiana. ¿Y
cuál es la superficie gaussiana? Ahora, pues un cilindro. Lo hemos dicho
antes. ¿Vale? Un cilindro. Un cilindro de radio justo la distancia donde
queremos calcular el campo. Aquí lo tenemos. Ya tenemos este cilindro cuyo
hilo conductor está en el eje. El hilo es lo suficientemente largo para
que encontremos nosotros siempre dos puntos simétricos. Dos puntos
simétricos. De manera que en un punto de esta superficie lateral. Tenemos
estos dos puntos simétricos. ¿No? Aquí tenemos E y E. De manera que el
campo eléctrico resultante. Es perpendicular. A la superficie lateral. Es
decir, este vector campo eléctrico resultante ahora. Tiene esta
dirección. Esto es lo suficientemente largo para encontrar siempre dos
puntos simétricos. ¿Eh? Pensadlo. ¿Vale? Etcétera. ¿Y cómo es el
vector superficie? Vamos a cambiar de color. A ver. Rojo, verde, azul.
Naranja. Bueno. A ver. El vector superficie. Esto es el vector superficie.
¿Veis? Pero aquí va hacia arriba. ¿De acuerdo? El vector superficie.
¿Vale? Entonces, el flujo total a través de esta superficie gaussiana, de
este cilindro, va a ser lo contrario al caso anterior. El flujo total,
¿qué sería? El flujo a base 1, más el flujo a base 2, más el flujo
cara lateral. Pero es que el flujo a través de las bases va a ser nulo.
¿Por qué? Porque el campo eléctrico y el vector superficie forman 90
grados. Y solo tendremos flujo a través de la cara lateral. A través de
la cara lateral. ¿Vale? Entonces, vamos a verlo. Bueno, voy a ver si puedo
escribir aquí, si no, cambiaré de página. El flujo sería integral de
diferencial de S. A una distancia determinada, el campo eléctrico sería
constante, sale fuera de la integral, y sería la integral de E por la
integral de diferencial de S, que es S, y tendría este producto escalar.
Pero como son dos vectores paralelos, E por S por coseno de cero, que es 1.
Vale. ¿Y qué vale la superficie de este cilindro? Ojo, esto es como si
fuera una hoja de papel envuelta en forma de cilindro. Nos damos cuenta que
sería 2 pi R, el radio del cilindro, por la altura, la longitud. Pues, 2
pi R por L, siendo L la longitud. Pero esto sería por la definición de
flujo, y por Gauss. ¿Qué sería el flujo por Gauss? La carga encerrada
partido de la constante eléctrica en el vacío. ¿Y cuál es la carga
encerrada? Tengo la densidad lineal de carga. La carga encerrada sería
lambda por la longitud del hilo. Ya sé que es muy largo, pero le llamo L.
Lambda por L, todo ello partido por S sin un sub cero. ¿Qué tengo que
hacer ahora? Igualar las dos expresiones. Igualamos las dos expresiones, se
simplifica. ¿Y qué me queda? Bueno, la L se me va, si lo veis. Y me queda
lambda partido 2 pi S sin un sub cero R. Y ya tengo la expresión del campo
eléctrico creado por un hilo conductor a una distancia R. Y de hecho, esta
expresión va a ser idéntica a la que crearía un conductor cilíndrico
que tuviese una densidad lineal de carga a lo largo de esas paredes. Lo
mismo, porque el desarrollo sería lo mismo. Sería el mismo desarrollo. Si
me dieran la densidad lineal de carga del cilindro, si fuese superficial,
habría que hacerlo con la superficie. Diferente. Bueno, pero ahora lo
veremos en otro ejemplo, en otro momento, para no retrasarnos más en este
sentido. Lo que sí quiero deciros es, ¿cómo puedo calcular ahora el
potencial en un punto determinado creado por esta distribución lineal de
carga o la diferencia de potencial? Yo creo que os deis cuenta que estoy en
un caso totalmente diferente a los dos anteriores. Al caso de la esfera. Al
caso del plano. Porque ahora me encuentro con una integral, con una
integral, ¿no? ¿Vale? Que es un neperiano. Es lambda partido 2 pi e sin 1
sub 0 R. ¿De acuerdo? Si yo quiero calcular el potencial a una distancia
determinada sería menos integral de lambda partido 2 pi e sin 1 sub 0 R.
Es decir, sería menos lambda 2 pi e sin 1 sub 0 neperiano de R, más una
constante de integración. ¿Y cómo lo soluciono esto? ¿Cómo saco esta
constante de integración? Pues siempre que tenga un hilo o un cilindro, o
me dedicaré siempre a calcular diferencias de potencial, en cuyo caso esta
C va a desaparecer, esta C va a desaparecer, o bien hay que tomar un origen
de potenciales, que normalmente suele ser la superficie de un cilindro, o
un punto del espacio cualquiera. Vamos a ver. Sí que podemos determinar la
diferencia potencial entre dos puntos R A menos R B, creado por un hilo
conductor, que sería lambda partido 2 pi e sin 1 sub 0 R diferencial de R,
de R R A, Y esta diferencia de potencial V A menos V B, sería lambda 2 pi
e sin 1 sub 0 neperiano de R A partido R B, si lo hacéis. ¿Vale? No os
quiero liar tampoco. Lo que sí os quiero decir es que voy a poder calcular
diferencias de potencial cuando tengo un hilo o un cilindro. No voy a poder
determinar potenciales absolutos si no me dan un origen de potencial finito
en un punto del espacio. ¿Eh? Bueno. Y con esto, bueno, pues yo creo que
esta primera parte... Voy a volver un momentito, perdonadme, a la
presentación. Historia de documentos. Estábamos aquí. ¿Vale? Esto es lo
que teníamos antes. ¿Veis el resultado que teníamos, no? Aquí es si
tuviéramos una distribución continua de carga, tendría que hacer la
integral, lo cual esto sería muy tedioso. Y esto sería otra parte que lo
dejaremos para después. ¿Eh? Antes haremos algunos ejercicios. Ya. ¿Eh?
Haremos algunos ejercicios. Esta es una parte que os la voy a resumir de
una manera muy sencillita. ¿Eh? Porque es menos relevante, bastante menos
relevante la parte teórica, esta parte de aquí. Bueno, pues si os parece,
ahora después nos vamos a poner a trabajar con este... Primero lo que
haremos será ponernos a hacer ejercicios. Unos cuantos ejercicios. Yo se
selecciono distintos ejercicios y nos va a ayudar mucho para entender todo
lo que hemos contado. Y después al final veremos un poquito de esos
conductores. ¿Os parece bien? Hacemos unos minutitos de descanso, tres o
cuatro minutitos, para que nos levantemos un momentito. ¿Eh? Y volvemos.
¿Eh? ¿Os parece bien? Venga, un instante. Cinco minutitos cortitos.