Hola, ¿se oye bien? Hola, Estefanía, ¿se oye bien? Se oye. Se oye bien.
La persona que se ha conectado, ¿se oye bien? ¿Se oye o no se oye? Ah,
gracias. Bueno, pues vamos a empezar esta segunda webconferencia, que como
siempre el PDF os lo podéis descargar de aquí, pero después siempre en
el foro publico este mismo PDF, como ya lo sabéis, y también el link para
quien no la pueda ver en directo. Hoy vamos a hablar de la segunda parte de
sistemas continuos. La primera de ayer la dedicamos a las cuerdas y hoy
vamos a hablar de otros sistemas unidimensionales, como son las varillas,
los tubos de aire y de sistemas de más de una dimensión. Pero al
principio vamos a hacer un comentario muy interesante sobre los desarrollos
de Fourier, que a lo mejor no se han hecho en la historia y a lo mejor os
suenan de matemáticas o de cursos, o de que lo habéis oído en cursos
más básicos de física, asociado a lo que vimos ayer con la cuerda. El
primer problema va de esto, dice, a partir de la vibración estacionaria de
una cuerda de longitud L sujeta por sus extremos, que fue a lo que
dedicamos la clase de ayer, explique el desarrollo de la vibración
estacionaria de una cuerda de longitud 0L. Bien, sabemos que cualquier
vibración de una cuerda sujeta por sus extremos se puede expresar como una
superposición de modos de esta manera, ¿verdad? Esto es lo que vimos
ayer, que cualquier vibración se puede escribir como una parte que sería
esto. Fijaros que como está sujeta en los extremos tiene que ocurrir que
en x igual a 0 valga 0, que esto lo cumple, y que en y también valga 0.
Cuando la x es L, si sustituimos aquí L por L se va, L con L se va, y
queda el seno de pi, de n pi, que es 0. Luego esto cumple las condiciones
de contorno de una cuerda sujeta por los dos extremos. Y luego tendríamos
un armónico que representa la evolución temporal del sistema, ¿verdad?,
que puede tener unos desfases correspondientes porque no tiene por qué
todos los puntos estar en velocidad 0. Al principio. Pero bueno, si
nosotros fijamos un instante de tiempo, esto no deja de ser en un instante
de tiempo determinado, nada más que un número que lo podemos asociar a su
n, y entonces me queda una expresión de este tipo, ¿verdad? Claro, desde
un punto de vista matemático, esto equivale a decir que cualquier función
0L que cumpla k igual a 0 y igual a L es 0, se puede escribir como una
serie infinita de funciones sinusoidales. Este, claro, este es un resultado
importantísimo e interesantísimo. Por supuesto la función tiene que
cumplir algunas condicionantes. En este caso hay uno que es trivial casi,
que la cuerda sea un continuo, es decir, que no tenga discontinuidades la
función. Entonces, a esto es a lo que se llama desarrollo de Fourier. A
esto es a lo que se le Entonces, el problema ahí es encontrar los
coeficientes de su n. ¿Cómo se hace eso? Una vez que hemos asimilado
esto, fijaros, si multiplicamos a ambos lados por el seno de mpi xL, lo
multiplicamos aquí, si hacemos una integral entre 0 y L de esto de aquí,
tenemos un sumatorio de integrales porque la integral de una suma es la
suma de integrales y como el producto de dos senos lo podemos descomponer
como esta resta, si n es distinto de m tenemos esto. Si n es distinto de m
desarrollamos y siempre va a dar 0. Estas son integrales un poco pesadas
pero triviales de análisis de primero. Y si n es igual a m tendríamos un
seno cuadrado y la integral del seno cuadrado, ya me dijisteis ayer, que la
conocíais mucho de otros cursos, bueno, de este mismo curso quiero decir,
del primer tema, de otro tema. Entonces aquí seno cuadrado lo sustituimos
por el ángulo doble, hacemos la integral y queda L medios. O sea que queda
esto. Por lo tanto, b su n lo podemos despejar y a esto es a lo que se le
llama el desarrollo de Fourier. Por lo tanto, esta es una manera muy
física de enfocar un asunto en el que no se puede despejar. Un asunto que
es crucial en vibraciones y ondas, que es lo que va a ser, que cualquier
perturbación, cualquier función se puede escribir como suma de senos y
cosenos. Eso es lo que se llama desarrollo de Fourier. No sé si sabéis,
si tenéis la asignatura física computacional ahí me habréis visto
también que he explicado el desarrollo de Fourier en esa asignatura, en el
primer cuatrimestre, con otra filosofía un poco diferente, más
matemática, claro. Es una filosofía muy física, muy interesante. Por eso
las funciones seno y coseno son fundamentales en vibraciones y ondas.
Porque una vibración va a ser un seno o un coseno y si no lo es va a ser
una superposición siempre de senos y de cosenos. Entonces los ejercicios
que vienen ahora son ensayar un poco el desarrollo de Fourier. Lo que
queremos decir, por ejemplo, esta función de aquí, que es ax L menos x.
Esa es la función evidentemente en cero vale cero y en L vale cero
también. Si sustituimos la x por cero y la x por L vale cero. Pero esta es
una función que si nosotros la dibujásemos, ¿qué es? Una función
cuadrática de segundo orden. Si la representamos, ¿qué es? ¿Qué es si
la representamos? Alguien que me responda. Una parábola, efectivamente.
Una parábola, es decir, sería una parábola así. Una parábola
invertida. Bien, pues esta parábola, ese dibujo se puede escribir como una
superposición de infinitos senos en lo que se llama desarrollo de Fourier.
¿Cómo se calculan los coeficientes? Con la fórmula que hemos dicho
antes. Fijaros que esta fórmula para los coeficientes es un polinomio de
segundo grado por un seno. Que esta es una integral pesada que todo el
mundo tiene que hacer pero que todo el mundo sabe cómo se hace. Se hace
por partes. Suena a esto, ¿verdad? Entonces si haces ese desarrollo por
partes, vas llamando u a la parte polinómica, llamando el diferencial de v
a la parte armónica, pues ahí tenemos la... vas haciendo la integral, vas
rebajando el grado del polinomio, de la parte polinómica y ahí tenemos la
integral. Entonces si haces las integrales te va a salir que es cero si n
es par y este número si n es impar. Entonces esto significa que esta
parábola la puedes escribir de esta manera, solo con los números impares.
Por eso ponemos 2n-1pi al cubo 8al cuadrado y que el seno sea de números
impares. ¿De acuerdo? Claro, el segundo es aseno de pi xl. Claro, ¿qué
desarrollo de Fourier tiene ese? Ese es un término del desarrollo de
Fourier. Es que b1 vale a y bn vale cero. Para todo es una chorrada, y si
tenemos una función que es aseno de 2pi x partido l entre cero y l medios
y cero para después. Es decir, una función que es una función seno hasta
l medios, así. Y luego todo el rato cero, una función así, ¿verdad? Y
luego todo el rato cero. Este dibujo que acabo de ver ahí, que acabo el
mundo lo está viendo, también se puede hacer su desarrollo en serie de
Fourier. Es decir, se podrá escribir como una suma de senos todo, no sólo
la primera parte y con los coeficientes que se calculan con la fórmula que
hemos visto antes. Entonces ahí los coeficientes los calcularíamos así.
Fijaros que la integral es hasta L medios porque después la integral
desaparece porque esa después siempre vale 0. Si n vale 2, es decir, si
aquí ponemos un 2 es un seno cuadrado y vale a medios. Si n es distinto de
2, aquí he hecho la integral, la hacemos, se hace, es decir, la haces por
partes y queda esto y al sustituirlo queda que si n es par siempre es 0,
exceptuando en 2 que valía a medios, como hemos dicho, y si n es impar
vale esto. Es decir, los coeficientes son estos. Esto, si n es impar, a
medios si es 2 y 0 si n es par. Es decir, lo que queremos decir es que esta
función, esta cuerda escrita así, se puede escribir como el desarrollo de
Fourier de esta manera. Este es un término impar, este es el primer
término impar, 2, por eso hay coeficientes a medios, el otro término
impar, el de 3, el otro término impar, el de 5, el otro término impar, el
de 7, etcétera. Está claro. Y el siguiente ejercicio también es de
desarrollos en serie de Fourier pero con otro tipo de condición. Por
ejemplo, este de aquí es que tenemos en el instante de tiempo 0 la
parábola que hemos hecho en el apartado A del ejercicio anterior y con una
condición de la velocidad inicial de todos los puntos 0. Para hacer el
desarrollo de Fourier de esto, significa que tendríamos que el desarrollo
de Fourier es esto pero como partimos de velocidad 0, los desfases
iniciales son siempre 0, ¿verdad? Como ya comentamos ayer. Entonces,
tendríamos eso, que la delta siempre vale 0, es decir, el desarrollo de
Fourier es esto que es como decíamos de esta manera. Esto ya lo dijimos en
el problema 1, ¿no? Entonces, ahí tendríamos que el desarrollo de
Fourier es el Physical Function, tendríamos que los c sub n que hemos
puesto son estos, como ya habíamos dicho, en el problema 1 y entonces
sencillamente esto, como ya lo hemos hecho en el apartado a del problema
anterior, pues tendríamos que tiene esta forma, donde no ponemos desfase,
ponemos coseno de omega t. Sencillamente estamos aquí haciendo expresar la
vibración entera, es decir, añadimos también la función del tiempo. La
parte del tiempo, el armónico del tiempo. Y también el apartado b sería
que estamos en cero, es decir, en el instante inicial que estamos acontando
con el cronómetro la cuerda está tensa en horizontal, pero tiene una
velocidad que para cada valor de x se puede expresar de esta manera, como
la parábola, es decir, para cada valor de x, este valor de x aquí tiene
una velocidad, una velocidad inicial que te la da el sustituir la x en esa
fórmula. Este valor de x, lo mismo. Por supuesto, los dos extremos, como
están sujetos, van a estar siempre en reposo. ¿Está entendido lo que
significa este segundo ejercicio? Entonces ahí lo que hacemos es que
partimos de siempre de esa expresión como en el instante de tiempo cero.
Tiene que valer cero totalmente. Todo para cualquier punto, resulta que el
desfase para todos lo podemos poner como pi medios y entonces sería una
función de esta manera. Si derivamos con relación al tiempo me queda
esto. Me queda un coseno. Y en el instante de tiempo cero, el coseno es
uno, luego me queda esto. Y como en el instante de tiempo cero me dicen que
la función en función de x vale esta parábola, que ya hemos comentado,
en el ejercicio incluso anterior, pues tenemos que esto tiene que
escribirse de esta manera y entonces por los resultados del problema
anterior sabemos lo que vale. Es decir, los c sub n igual que antes los
llamamos a eso al hacer la derivada y por el resultado del problema
anterior lo podemos escribir de esta forma. ¿De acuerdo? Estos ejercicios
no son difíciles. Esos son los que tenemos que hacer. Eso sí, os aconsejo
que los hagáis y si tenéis alguna duda me lo comentáis en el foro. Estos
son ejercicios matemáticos. Bien, vamos a pasar ya al siguiente sistema
unidimensional que vamos a ver que es una varilla. La diferencia entre una
varilla y una cuerda es que en la cuerda los puntos de la cuerda están
vibrando de manera transversal y sin embargo en la varilla la varilla lo
que va a estar vibrando es de manera longitudinal. Por ejemplo, cuando un
sonido se propaga por la varilla, por cualquier medio sólido, en los
sólidos las vibraciones son siempre longitudinales. ¿Verdad? Entonces eso
plantea un problema que es que mientras que en una cuerda es muy fácil
decir que a cada punto X le vas a asignar una deformación transversal, que
es para arriba y para abajo, en una varilla a cada elemento diferencial, es
decir, infinitamente pequeño, lo que va a ocurrir ahí es una deformación
longitudinal. Es decir, tú lo que te tienes que imaginar es, fijaros en
este dibujo, la parte gris como si fuese un muelle y la parte anterior y
posterior son partes, el otro, los restos. El resto de la varilla que
también se comporta como un muelle. Es decir, es como si tuviésemos una
sucesión infinita de muelles puntuales o diferencialmente
infinitesimalmente pequeños. ¿Entendéis lo que quiero decir? ¿Entiende
todo el mundo lo que quiero decir? ¿Sí? Claro, entonces fijaros. Si
nosotros tenemos, por ejemplo, que el elemento diferencial de X se ha
estirado, hay que imaginarse un muelle puntual que se ha extendido, claro,
los está empujando a la parte de la varilla de la derecha hacia la derecha
y a la parte de la varilla de la izquierda hacia la izquierda. Por lo
tanto, esas partes de la varilla responden en sentido contrario. Es decir,
empujan al elemento diferencial para que recupere su tamaño anterior
porque a ellas les está empujando. Y al revés. Entonces, si el elemento
diferencial de X se ha comprimido, diferencial de X menos diferencial de Y,
que es la deformación, el resto de material que se ha estirado estira en
sentidos contrarios para que todo recupere su posición. ¿Entiende todo el
mundo lo que está pasando ahí? Entonces, claro, lo que va a ocurrir
siempre es que tenemos dos fuerzas en sentido contrario y el balance de las
fuerzas es sumatorio de fuerzas, es masa, sí, lo que pasa que, bueno, ojo
con la gravedad y la normal, que en principio, vamos a ver, la
fuerza-reacción de la gravedad sobre un cuerpo, ¿cuál es? La fuerza de
la... yo tengo un cuerpo en mi mano. La gravedad es la fuerza con que tira
la tierra del cuerpo. Su reacción es la fuerza con que tira el cuerpo de
la tierra, no es la normal. Y luego, además, el cuerpo está... Está
presionando mi mano y la reacción de eso es la normal, que la ejerce mi
mano sobre el cuerpo. ¿Está claro eso? Vale. Bien, pues aquí el
sumatorio de fuerzas es la masa y la masa es la densidad, en este caso de
volumen, por la sección S de la varilla, por la longitud diferencial de X,
por la aceleración, que es la deformación, igual que en la cuerda era la
variación de Y, aquí es la variación de Y, de la deformación, que tiene
la misma dirección que X. Entonces, si nosotros suponemos que ahí hay un
sistema continuo de fuerzas, de manera que cada fuerza es F2, lo podemos
poner como F1, más lo que varía la fuerza con X por diferencial de X,
porque aquí esto es como muy artificial, lo que hay que imaginarse es un
continuo de muelles, un continuo de fuerzas. Entonces, al hacer la
sustitución de eso aquí, quedaría esto. Y al simplificar por diferencial
de X, queda esto, y ahí tenemos eso. Pero como la fuerza deformadora en un
elemento de varilla diferencial de X, que se deforma diferencial de Y, si
el módulo de Young es Y y la sección es S, es esto, esto ya lo utilizamos
ayer, ¿verdad? La fuerza deformadora es Y por S, deformación, Y partido
diferencial de X. Como aquí tenemos esto, si tú derivas aquí F, Y por S
son constantes y te queda segunda derivada. Lo sustituyes ahí, simplificas
por S, y aquí aparece esta ecuación diferencial que igual que pasaba en
la cuerda, aparece un término, Y, Y partido Rho, que tiene dimensiones de
velocidad. Aquí vamos a estar hablando de vibraciones longitudinales
estacionarias de la varilla. No estamos hablando, igual que pasaba ayer en
la cuerda, de fenómenos de propagación. Pero cuando en el tema siguiente
veáis la propagación de una onda en una varilla, en un sistema rígido
sólido, de una vibración longitudinal, ¿qué creéis vosotros que va a
ser la velocidad a la que se propaga? Esta de aquí. Fijaros que la
velocidad ayer de ese término que llamábamos V era la raíz cuadrada de
que, de la tensión de la cuerda, que al fin y al cabo es una medida de la
rigidez de la cuerda, partido por la densidad, que es una medida de la masa
de la cuerda, de un elemento de la masa de la cuerda, y aquí igual, porque
el módulo de Young, cuanto mayor sea, significa que la varilla es más
rígida. ¿De acuerdo con lo que estoy diciendo? ¿Entiende todo el mundo
lo que estoy diciendo? ¿Sí? Bien. Pues entonces, esto, igual que en la
cuerda, tiene esta solución. Entonces, si tenemos, por ejemplo, porque en
el ejercicio me dice que haga el caso de una varilla, que tiene un extremo
fijo y un extremo libre. Entonces, en el extremo fijo, que vamos a poner
que es x igual a cero, se tiene que cumplir esto para todo instante de
tiempo. Por lo tanto, sustituyendo la x por cero, ese término se va, por
lo tanto, el desfase lo podemos poner como cero. Es decir, queda de esta
manera. Y en el extremo libre significa que en ese extremo, como ya está
tocando con el aire, la fuerza, este es el último punto de la varilla.
Luego, a ese elemento diferencial último, ¿qué fuerza le va a ejercer
sobre él el elemento siguiente de la varilla, si no hay elemento siguiente
de varilla? Por lo tanto, no hay f. ¿De acuerdo? Entonces, ¿entendéis lo
que quiero decir? Si estamos en el último elemento de la varilla, no hay
f. Entonces, ahí si no hay f en L, pues tendríamos que sí, sí,
tendríamos que la fuerza es cero como la fuerza es esto, significa que el
desplazamiento de la deformación es máxima. Sí. Esto es lo que os decía
yo ayer también con la cuerda. Siempre un, eso es, siempre un extremo
libre significa una deformación máxima. En este caso, longitudinal, ayer
en la cuerda transversal. ¿Os acordáis del último ejercicio de ayer? Que
había una deformación que yo os decía. Si está libre, la derivada es
cero. Si un extremo está sujeto, es que vale cero para cualquier instante
de tiempo. Si un extremo está libre, es que la derivada respecto de x es
cero. ¿De acuerdo? Entonces, claro, si la derivada respecto de x es cero
en L, hacemos la derivada, hacemos la sustitución, queda esto y entonces
me queda esto. De aquí. Y tendríamos ya el movimiento. La vibración.
¿De acuerdo? Vamos a aplicar esto a un ejercicio que es del libro pero que
en el libro no está resuelto. Dice que tenemos una varilla de longitud L,
sección S y módulo de Young I y que en el centro la tenemos sujeta. Pero
los extremos son libres. Aquí no hay una pared vertical. Esto es
sencillamente el eje I. Lo que quiero decir es que en x igual a cero está
libre, en x igual a L está libre y en x igual a L medios está fija.
¿Está claro? Entonces, claro, ¿cómo vamos a expresar las condiciones de
contorno ahí? Pues las condiciones de contorno van a ser como en x igual a
cero está libre, es que la derivada en cero es cero. Como en x igual a L
está libre, es que la derivada en L es cero. Y como en L medios está
fijo, el valor de gi en L medios es cero. ¿De acuerdo? Entonces, si la
solución es de esta forma en x igual a cero si sustituyes por x igual a
cero al derivar sería coseno, entonces que el coseno de alfa sea cero. En
L medios sería esto y en L sería esto. ¿De acuerdo? Entonces tendríamos
esto, ¿si? Tendríamos esas tres condiciones. Entonces que el coseno de
alfa sea cero significa que alfa sea pi medios y si sustituimos ahí
tendríamos que el coseno tiene que ser cero y el seno de esto tiene que
ser cero. Fijaros que es que el seno de un ángulo sea cero y que el coseno
de su mitad sea cero. Aquí hay que tener mucho cuidado porque claro, por
ejemplo, el seno de ciento ochenta es cero y de su mitad que sería
noventa, el coseno es cero. Pero sin embargo el seno de trescientos sesenta
es cero pero su mitad, ciento ochenta, no tiene coseno cero. Y se tienen
que cumplir las dos cosas a la vez. Es decir, ¿qué ángulos cumplen? Que
su seno vale cero y el coseno de su mitad vale cero. Que no es alegremente
los múltiplos de ciento ochenta, porque ciento ochenta lo cumple pero
trescientos sesenta no lo cumple. Son los múltiplos impares de ciento
ochenta para el seno. Es decir, que el coseno sea los múltiplos impares de
pi medios. Sustituimos entonces y estas serían las frecuencias normales de
vibración de una varilla con esas condiciones de contorno. Entonces, la
varilla va a estar vibrando en modo normal o en superposición de modos
normales. Aquí en el apartado B te dice cuál es la longitud de onda del
modo enésimo y esto es lo que también comentaba yo ayer que la longitud
de onda es como su nombre indica algo asociado a una onda aquí no estamos
en fenómenos propagatorios, estamos en fenómenos estacionarios, pero a
cada modo se le puede asignar una longitud de onda. ¿En qué sentido? En
que como tenemos una frecuencia normal y tenemos un valor fundamental al
que tiene dimensiones de velocidad y que ya os adelanto yo, que va a ser la
velocidad de propagación en el medio cuando veis en el tema siguiente la
propagación, las ondas ya veréis ahí que la velocidad de propagación de
una onda en una cuerda es la raíz de t partido mu y la velocidad de
propagación de una onda en una varilla es la raíz de i partido ro, que es
lo que estamos manejando aquí. Pues entonces le podemos asignar una
longitud de onda a cada frecuencia normal que cumpla que la longitud de
onda por la frecuencia es la velocidad entonces ahí sustituimos y tenemos
que esta es la longitud de onda asociada a cada modo. Los nodos del modo
enésimo, ¿dónde estarán los nodos? Pues los nodos tienen que cumplir
que nunca vibren, por lo tanto aquí esto tiene que ser cero, por lo tanto
el coseno de esto tiene que ser cero la omega n las teníamos arriba, la
habíamos reducido arriba y entonces si es cero es que esto tiene que ser
un número un par de veces pi medios porque estamos en un seno, es decir
aquí estarían los nodos para cualquier modo, por ejemplo porque puede que
nos estemos perdiendo ya. Si tenemos n igual a tres, es decir para el modo
normal tres, tres por dos seis menos uno cinco por dos diez queda l partido
diez dos pn menos uno, vamos dándole valores a p y queda cuando p valga
uno en l décimos hay un nodo cuando p valga dos en tres l décimos hay un
nodo. Cuando p valga tres en cinco l décimos es decir, en l medios hay
otro nodo. Fijaros que l medios siempre tiene que ser un nodo porque la
mitad de la varilla está sujeta está quieta, no vibra entonces aquí
tendríamos los nodos para ese modo ¿está claro? Está claro lo que hemos
hecho es decir, lo que tendríamos aquí es que si la varilla está así
este extremo también está libre tendríamos un modo en l medios un modo
en tres l medios, un modo en l décimos un modo en tres l décimos un nodo
en l medios un nodo en siete l décimos y un nodo en nueve l décimos y en
estos puntos de extremo tendríamos la vibración la deformación
longitudinal máxima ¿de acuerdo? Entonces claro así se comporta una
varilla y un tubo de aire un tubo de aire de un clarinete, de una trompeta
podemos considerar que es una varilla también entonces ahí en el libro lo
que ocurre con un tubo de aire que es lo que viene ahora hay un desarrollo
teórico que es igual que el de una varilla oscilaciones son adiabáticas
todo el mundo sabe lo que es adiabático por física general si, ya sabéis
que en la propagación del sonido las pequeñas vibraciones son siempre
adiabáticas bueno esto lo explica el libro y al final llegas a una misma
ecuación diferencial igual que la que hemos visto con un factor que tiene
dimensiones de la velocidad y que es un factor que es la raíz de debajo
que tiene algo relacionado con la masa del material verdad y arriba en el
numerador algo que mira la rigidez de este tubo de aire y la rigidez del
tubo de aire queda medida por la presión esa P es la presión eso si
modulada por un factor que depende de cada material que es el coeficiente
de adiabática e igual que en la varilla si el tubo de aire está libre es
decir significa que por ejemplo en una flauta o en un tubo de aire el
último punto el que está libre está en contacto con la presión
atmosférica luego ahí podemos considerar que la variación de presión es
cero pues porque la presión es constante es la presión atmosférica
entonces pasa lo de siempre la variación en ese punto en X igual en ese
punto P es cero y sin embargo si tenemos un extremo cerrado eso se
considera un punto fijo así es decir esa es la es igual que la varilla
sólo que esto es una varilla de aire lo que pasa es que este problema
también dice que nos dice que si un silbato en aire frío a menos 180
grados centígrados emite un sonido con una frecuencia nu a qué
temperatura centígrada el mismo silbato sonaría una octava más alto es
decir con el doble de nu aquí hay que decir una cosa claro la frecuencia
en los tubos de aire las frecuencias normales en los tubos de aire dependen
de las condiciones de contorno igual que en la cuerda pero
independientemente de las condiciones de contorno siempre las frecuencias
normales siempre son proporcionales a ese factor que tiene dimensiones de
velocidad ¿qué estoy diciendo? acordaros ayer la cuerda lo que hemos
visto en la varilla ¿entienden todo el mundo lo que estoy diciendo? ¿si o
no? lo que estoy diciendo es que lo vuelvo a repetir ayer, claro cuando tú
calculábamos las frecuencias normales de la cuerda unida por los dos
extremos a las paredes las frecuencias normales eran npi partido l por la
raíz de t partido mu que es lo que llamamos v ¿estamos todos de acuerdo?
evidentemente si en vez de tener unas condiciones de contorno que sean los
dos puntos extremos de la cuerda sujetos a las paredes tenemos unas
condiciones de contorno en que los extremos de la cuerda estén por ejemplo
libres me sigue todo el mundo las frecuencias normales no tendrían esta
expresión tendrían otra expresión relacionada con la n a lo mejor 2n-1
un factor de dos pero siempre aparecería el factor v es lo que quiero
decir ¿si o no? ¿me habéis entendido ahora? si, lo mismo en la varilla
que independientemente de las condiciones de contorno siempre aparecería
eso entonces aquí en el tubo de aire independientemente de que esté
abierto por los dos extremos cerrado por los dos extremos abierto por un
extremo y cerrado por otro siempre las frecuencias normales serán
proporcionales a este factor que en este caso es gamma p partido r y claro
en un gas siempre se va a cumplir en un gas perfecto pero bueno en
cualquier gas se cumple siempre que la presión va a ser inversamente
proporcional en un determinado rango al volumen y directamente proporcional
a la temperatura si sustituimos eso ahí resulta que como k es una
constante rho es una constante y tenemos el volumen del aire en el tubo del
aire ahí tenemos que omega n va a ser algo que depende de n pero por la
raíz de t todo el mundo sabe porque el sonido sí que depende de la
temperatura las frecuencias normales del sonido dependen de la temperatura
y también la velocidad de propagación del sonido depende de la
temperatura entonces en un silbato lo que quiere decir aquí es que una
misma vibración si modificamos la temperatura de un silbato puede
modificarse su frecuencia es decir, si una frecuencia es nu para una
temperatura t1 puede ser 2 nu para una temperatura t2 entonces ¿qué
relación tienen que tener las temperaturas? se pone esto así, un medio es
t1, t2 y entonces ahí como tendríamos que al principio la temperatura era
menos 180 la temperatura última es 372 Kelvin despejando de ahí que son
99 grados centígrados ¿de acuerdo? ¿de acuerdo? ¿habéis entendido el
problema? ahora vamos a trabajar un poco el asunto de los tubos de aire
dice, sean dos tubos de órgano que de igual longitud L uno de los cuales
tiene un extremo tapado y otro abierto mientras que el segundo tuvo tiene
ambos extremos abiertos es decir, tenemos uno primero que tiene este
extremo tapado que lo pinto en negro y el otro abierto y el otro tiene los
dos extremos abiertos y son de la misma longitud calcule la razón entre
las frecuencias del modo fundamental en ambos tubos bueno, pues como
siempre la ecuación sabemos que es esta y el que tiene un extremo cerrado
y el otro abierto el extremo cerrado es este y el extremo abierto es este y
el que tiene los dos extremos abiertos en ambos extremos es esto y esto
veis las condiciones de contorno todo el mundo ve las condiciones de
contorno el semiabierto tiene lo que hemos dicho cuando está cerrado la
posición es cero para cualquier instante de tiempo y la derivada en la
parte abierta el otro que tiene los dos abiertos las dos derivadas son cero
por lo tanto aquí tendríamos esto seno de alfa cero, alfa vale cero y
tendríamos entonces la condición que me lleva a las frecuencias normales
estas serían las frecuencias normales de un tubo de aire semiabierto
cerrado por un lado y abierto por el otro, que como veis depende de pi, de
la longitud los números 2 en este caso son números impares todos pero
proporcionará la velocidad en el tubo abierto por ambos extremos hacemos
lo mismo y las frecuencias salen de otra manera, otra expresión pero
también proporcionales a la velocidad entonces si dividimos lo abierto
entre lo semiabierto es esto el modo fundamental es cuando n valga 1 es
decir que el cociente entre los modos fundamentales cuando n valga 1 es 2
cuando n valga 2 es 4 tercios y las longitudes de onda asociadas como
asociábamos si este era el pulso la frecuencia era esto y entonces la
longitud de onda por la frecuencia es v por lo tanto la longitud de onda
sustituimos ahí la frecuencia igualamos a v y esta sería en el tubo
semiabierto la primera longitud es decir sería así y en el otro sería 2l
estaría abierto por los dos lados sería 2l de acuerdo, la primera
longitud está claro ahora dice y esta pregunta es interesante el apartado
c dice bueno, coinciden ambas dice, calcule la razón entre las frecuencias
del modo fundamental en ambos tubos y del primer modo excitado ¿coinciden
ambas razones? no ¿cuáles son las longitudes de onda del modo fundamental
en ambos tubos? pues las hemos calculado sería posible modificando la
longitud de uno de los tubos que ambos tubos sonasen igual porque claro,
cualquier perturbación que tu hagas va a ser una superposición de modos
normales y la primera frecuencia normal en el tubo semiabierto es decir que
está cerrado por un lado y abierto por el otro si sustituyes la n por 1
sería pi partido 2lv y la del otro sería pi partido lv es decir, en el
semiabierto esta es la frecuencia del abierto fundamental es el doble que
la frecuencia del semiabierto pero claro si modificamos la longitud podemos
conseguir que el número sea el mismo de la frecuencia fundamental si
modificamos la longitud de los tubos podemos conseguir que la frecuencia
fundamental sea la misma de los dos tubos la frecuencia fundamental que es
la que da la nota como dijimos ayer en la cuerda de guitarra pero sonarían
igual pues no, no sonarían igual porque aunque tienen la misma frecuencia
fundamental como el resto de frecuencias el resto de armónicos no, los
cocientes no siempre valen 2 para cada armónico vale de manera diferente
tu puedes conseguir que el cociente de primera frecuencia de frecuencia
fundamental sea 1 pero los otros cocientes no son 1 los otros cocientes no
son 1 esta claro entonces claro, que es lo que ocurre que como pongo aquí
modificando la longitud podemos conseguir que los dos tubos tengan el mismo
modo fundamental pero no el resto de los modos por lo tanto la
superposición de armónicos sería distinta llamamos en las cualidades del
sonido que lo dijimos ayer timbre, por lo tanto no sonarían igual
distinguiríamos uno de estos esta claro esta claro lo que estoy diciendo
si bien aquí el siguiente tres frecuencias de resonancia sucesivas de un
tubo de órgano son 1310, 1834 y 2358 y me preguntan si está el tubo
cerrado por un extremo o abierto en ambos extremos claro, como hemos visto
en el problema anterior si en el tubo semiabierto las frecuencias
fundamentales son así y en el tubo abierto por los dos lados las
frecuencias fundamentales son así si llamamos a v partido 4l k tendríamos
que aquí esto es 2n-1 por k entonces si son seguidas si son seguidas
tendríamos que 1310 es 2n-1 por k la siguiente al sustituir n por n más 1
sería 2n más 2 menos 1 es más 1 1834 sería esto y 2358 sería esto y en
la segunda si llamamos a k v partido 2l tendríamos esto si el tubo está
abierto por los dos lados entonces aquí lo que tiene que ocurrir es a ver
si hay alguna posibilidad que en este sistema exista una k que cumpla esta
condición teniendo en cuenta que n tiene que ser un número entero o en la
otra si existe alguna k que cumpla esta condición teniendo en cuenta que n
es un número entero en el caso del tubo semiabierto podéis comprobarlo
resolviendo el sistema que se cumple para k igual a 262 y n es 3 y en el
tubo abierto este sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas vale k 524
y n 2,5 pero como n tiene que ser entero esto no me vale luego el tubo es
semiabierto como hemos llamado k a v partido 4l si eso es lo que hemos
llamado v aquí hay que saber que lo que hemos llamado v realmente va a ser
la velocidad del sonido en el aire esa va a ser la velocidad del sonido en
el aire que me la da el problema 340 metros entonces ahí tendríamos que
la frecuencia es 260 perdón k es 262 a ver no sé si esto da esto bueno se
supone a ver k vale 200 no sé si están los cálculos hechos aquí bien me
imagino que sí k vale 262 que es esto v es 340 entre 4 y l la longitud del
tubo me lo piden después ah no no que tontería vamos a ver 200 estamos en
el tubo semiabierto claro estamos en el tubo semiabierto y sale para n
igual a 3 si sustituyes aquí 3 por 2 es decir la frecuencia fundamental es
que estoy perdón estaríamos aquí es que yo creo que aquí tengo la
solución mal puesta porque perdonadme un momento cuál es la frecuencia
fundamental la frecuencia fundamental es ah perdón si no es a ver esta es
la frecuencia verdad esto es perdonadme estas estas son las frecuencias la
fundamental es cuando n valga 1 entonces cuando n valga 1 tendríamos la
frecuencia fundamental que sería igual a v partido 4l y v partido 4l es lo
que hemos llamado k y k cuánto me ha salido k me ha salido 262 luego la
frecuencia fundamental efectivamente si está bien puesto aquí es k es 262
y luego por otra parte como 262 es v 340 partido por 4l tendríamos que la
longitud del tubo que me piden es 0,324 metros disculpadme que me había
despistado yo un poco ¿está claro entonces? esto ¿está claro? si bien
ahora con esto hemos terminado ejemplos unidimensionales de varillas y
tubos de aire lo que son los sistemas unidimensionales la cuerda la varilla
y los tubos de aire en cuanto pasamos a más dimensiones el problema ya es
mucho más complejo el libro en el tema 6 habla y pone diferentes ejemplos
de sistemas bidimensionales el mejor instrumento musical para entender esto
sería un tambor que sería un ejemplo de sistema bidimensional que sería
el equivalente en dos dimensiones a la cuerda sujeta por dos extremos en un
tambor toda la superficie el borde está sujeto y el borde no tiene
vibración pero cualquier punto de la superficie tiene una vibración
transversal en este caso una membrana la membrana del tambor que sube y que
baja entendéis lo que es el sistema bidimensional entiende todo el mundo
lo que es el sistema bidimensional claro el aparato matemático que viene
aquí que es para que distingamos el sistema bidimensional está esto está
copiado del libro las membranas los sistemas de tensión superficial todo,
todo, todo lo podéis seguir en el libro las fibras y demás pero lo
esencial que quiero que se vea para que veamos lo que está pasando ahí es
que aquí la ecuación diferencial ya tendrá aquí dos dimensiones no como
en el sistema unidimensional que tenía uno pero la estructura es la misma
esto, la segunda derivada temporal y aquí tendríamos las segundas
derivadas espaciales y aquí tendríamos esto ese partido por sigma que ojo
aquí ese y sigma no son lo que creéis sigma es la densidad superficial
sigma es la densidad superficial de la membrana de tambor o lo que sea y
ese va a ser una medida de la rigidez de la membrana que es la tensión
superficial es la tensión superficial o sea que la estructura es la misma
la misma que siempre aparece en estas ecuaciones vibratorias y por cierto
la raíz de esto qué dimensiones va a tener de velocidad efectivamente
veis que la estructura es la misma entonces claro se resuelve por
separación de variables y entonces aquí depende de las membranas
evidentemente un tambor circular un tambor el aparato matemático que lleva
a resolver eso es tremendo con funciones muy complicadas y demás entonces
aquí lo único que pide este ejercicio es que lo hace el libro es que
hagas un balance para una placa rectangular de tal manera que lo largo la
base mida el doble que lo alto es decir un tambor rectangular de este tipo
claro las ecuaciones son para una velocidad inicial cero de todos los
puntos aparece un coseno el armónico igual lo que pasa es que claro aquí
aparecen dos senos relacionados con las longitudes de cada una de las cosas
por ejemplo en esta varilla aquí tendríamos en la parte x 2b y en la
parte y b seno, seno y estas son las amplitudes y los modos normales para
este tipo de sistemas con todos los bordes fijados que no tienen extremos
libres y tensos como veis siempre aparece el término al que hemos llamado
velocidad y aquí en este caso va a depender en vez de solo un número de
dos números n1 y n2 relacionados con las longitudes en el caso del
rectángulo más matemáticamente accesible y entonces aquí te dicen que
dibujes alguno de los modos normales por ejemplo el modo 1,1 que es n1 y n2
1,1 entonces tendríamos este modo ahí sí y la frecuencia correspondiente
sustituimos a por 2b y b por b lo sustituimos ahí sustituimos n1 por 1 y
n2 por 1 y esta sería la frecuencia y esto sería la ecuación y aquí
tendríamos el tambor no tiene nodos más que el borde es decir, este
sería el tambor típico en que la membrana está subiendo y bajando ahora
bien otro modo que sería el 2,1 que me llevaría a esta frecuencia si
haces la sustitución de n1 por 2 y n2 por 1 y simplificas porque claro, n1
por 2 con el 2b el 2 y el 2 se van te queda esto entonces fíjate cuando la
x valga b para todos los puntos en que la x valga b aquí en la mitad b
entre b te queda el seno de pi que es 0 eso que significa que ahí hay una
línea nodal de acuerdo entonces lo que va a pasar es que tendríamos esto
es una línea nodal y los dos las dos partes del tambor están vibrando en
oposición de fase es como una cuerda es decir, sería el equivalente a la
cuerda entre dos puntos que está así y este es el nodo aquí sería la
línea nodal esta parte del tambor sube y la otra baja en el modo 1-2
haciendo la sustitución es al revés la línea nodal aparece aquí en el
punto perdón, en el modo 2-2 aparecen las dos líneas nodales así y estas
dos en diagonal están en fase y las otras dos también y en contrafase las
unas respecto de las otras y podéis pensar en algunos modos también por
ejemplo el 3-1 que aparecería así con estas dos líneas nodales y así
sucesivamente ¿el tambor va a estar vibrando en modo normal? no pero si no
está vibrando en modo normal ¿cómo va a estar vibrando? sí, lo que
quiero decir es que la parte sombreada y la parte clara están en
oposición de fase cuando una sube, la otra baja ¿está claro? eso es
cuando una cuando una sube, la otra baja no es que esté en expansión
igual que en una cuerda si tú haces el dibujo de la cuerda así este punto
de aquí significa que cuando ese punto esté aquí éste está aquí pero
después, cuando éste suba el otro ha bajado cuando éste esté aquí el
otro ha bajado ¿está claro lo que quiero decir? ¿cómo se representaría
aquí ese movimiento? ¿qué movimiento? esto lo que tenemos es las líneas
nodales es que no se mueven, no vibran y las otras dos por ejemplo, esta
zona de aquí y esta zona de aquí están subiendo y bajando en fase las
dos arriba, las dos abajo lo que sería la membrana de un tambor como está
subiendo la membrana de un tambor digamos toda la membrana así en el medio
sería el punto más alto cada punto tendría una vibración subiendo y
bajando es una vibración transversal en Z pero estas dos partes del tambor
estarían subiendo las dos y la parte del medio estaría bajando y cuando
la parte del medio esté subiendo las partes de los extremos están bajando
¿si o no? hay dibujos con películas de jabón, fotografías con
películas de jabón en el libro en el tema 6 ¿está claro? estamos viendo
una mirada desde arriba esto es un esquema esta es la placa del tambor y
para decir que cuando uno sube los otros bajan, es que es difícil de
representar pero esto es un movimiento transversal ahora lo entiende todo
el mundo este es un movimiento transversal arriba y abajo y ahora lo que
digo es ¿el tambor va a estar vibrando siempre esta membrana en modo
normal? no, pero si no está vibrando en modo normal, ¿cómo lo va a estar
haciendo? en superposición ¿está claro? en superposición y ya lo
último sería ¿cómo sería la ecuación para vibraciones estacionarias
en un sistema tridimensional? bueno pues en el caso de sistemas
unidimensionales y bidimensionales hemos podido discutir y describir los
modos característicos de las oscilaciones transversales de un modo
bastante claro porque las oscilaciones transversales siempre se pueden
representar si el sistema es unidimensional en la cuerda dices que para
cada punto X sube arriba y abajo y en el sistema bidimensional cada punto X
y sube y baja en Z claro, en tres dimensiones es difícil visualizar qué
es lo que está vibrando pero claro, es que puede vibrar cualquier magnitud
física por ejemplo, la presión que a cada punto X y Z del plano a cada
punto X y Z del plano le corresponda la oscilación de una determinada
magnitud que llamamos Φ entonces, ¿cuál sería la ecuación? pues la
ecuación tendría esta forma claro, a las segundas derivadas puestas así
es a lo que se le llama en física laplaciano ¿lo habíais oído alguna
vez? ¿habíais oído alguna vez el laplaciano? sí, pues ésta sería la
ecuación general en cartesianas que evidentemente podríamos tener otras
unidades y claro, este término V de aquí sería la raíz cuadrada de Q
abajo tendríamos la densidad del material y arriba tendríamos una
constante que midiese el Q ese factor tendría que medir el Q la rigidez
del sistema ¿de acuerdo? un factor de comprensibilidad que midiese la
rigidez del sistema por supuesto como en los casos de menos dimensiones
deben especificarse las condiciones límites de frontera para todas las
superficies exteriores ¿de acuerdo? eso sí las frecuencias normales
estarían caracterizadas por tres números es decir, resumiendo en un
sistema tridimensional tendríamos esto con V cuadrado esto donde K mira la
rigidez y por ejemplo para un cubo del lado L las frecuencias normales
tendrían este aspecto es decir, para un cubo en que en todas las paredes
en un sistema tridimensional cúbico tuviésemos sistemas nodales, es decir
las paredes no vibran las condiciones de frontera las tendríamos de esta
manera bueno, aquí realmente sería para un cubo probablemente estos tres
números serían iguales sería mejor hablar de un paralelepípedo pero
bueno, está bien así ¿está claro? más o menos lo que pasa es que los
sistemas en cuanto son de más de una dimensión ya el aparato matemático
se nos despega totalmente ¿de acuerdo? bueno pues con esto hemos terminado
ahora subiré esto al foro como siempre y bueno pues subiré esto y hasta
la próxima vamos a ver en otra asignatura o lo que sea ¿de acuerdo?