Bienvenidos a esta videograbación acerca de la creación de módulos de
simulación en estadística inferencial con matemática versión 8.0
realizada o enmarcada en los proyectos de redes de la UNED. El objetivo de
esta videograbación es mostrar el funcionamiento de las simulaciones que
hemos programado para que nuestros estudiantes puedan visualizar conceptos
estadísticos que usualmente les resultan bastante complicados cuando
simplemente los ven por medio de fórmulas matemáticas o de expresiones
verbales. Esos mismos conceptos cuando se visualizan resultan
perfectamente, esperamos, que resulten perfectamente claros y
comprensibles. Es una forma de poner en funcionamiento. El sistema visual
como una herramienta de comprensión. Para ello, hemos utilizado un formato
específico de documentos llamado CDF. Un CDF es un, igual que el PDF, es
el formato de documento portable, es decir, que se puede pasar de un
sistema a otro, es compatible con varios sistemas. El CDF es un formato de
comprensión. El CDF es otro formato de documento. Y la diferencia está en
la C. La C significa computable. Este tipo de formato permite introducir
dentro de un texto, dentro de los gráficos, etc., permite introducir
código ejecutable. Cuando utilizamos, por ejemplo, Word para crear un
documento, un archivo, podemos introducir texto, tablas, figuras,
gráficos, pero todo lo que... todo lo que buscamos en ese documento de
Word es estático, no cambia. El CDF solventa esto, de tal forma que nos
permita manipular las gráficas, por ejemplo. Si yo hago una gráfica
mostrando el concepto pendiente de una función, en un documento normal,
como PDF o Word, la figura estará estática. No cambiará el punto X sub 0
ni la pendiente. Con CDF yo puedo hacer que el estudiante pueda manipular
los puntos y la gráfica reaccione adecuadamente visualizándose la
pendiente correcta en cada momento, en el propio documento. Es una mezcla
de documento y archivo ejecutable de un programa. Para conseguir leer los
documentos CDF en los que hemos programado nuestras simulaciones, hay que
bajarse este programa de esta página web. La página web de Wolfram.
Wolfram es el creador de estos documentos y el creador del software de
análisis simbólico llamado Mathematica. Es un programa parecido o similar
en sus características a MATLAB, que también es muy conocido. Desde mi
punto de vista las características de cálculo simbólico en Mathematica
lo hacen brillante. Wolfram fue su creador y ahora ha creado este documento
que es el que vamos a utilizar. Afortunadamente no necesitamos Mathematica
para ejecutar este tipo de documentos, porque Mathematica es un programa
comercial. El creador de CDF, Wolfram, Nos proporciona un player, es decir,
un software que nos permita visualizar estos documentos. Igual que Adobe,
el creador, creo, de los documentos PDF, nos proporciona un player para
leer los documentos CDF y los proporciona gratuitamente. En la página de
Internet, para descargar el CDF, básicamente tenemos que identificarnos.
¿Quiénes somos? Estudiantes, profesores... Para ello elegiremos de una
lista aquella característica que más nos caracterice, nos identifique. Y
posteriormente nos pide una dirección de e-mail. Forzosamente. Una de
todas estas dos... Aquí tenemos la pantalla en la que nos piden estas dos
características. Aquí tenemos el... La elección de qué nos describe.
Pulsaríamos en este triangulito para desplegarnos las opciones posibles.
Mientras que en la siguiente caja de texto no hay ningún desplegable.
Simplemente tenemos que introducir nuestra dirección de correo
electrónico. Y una vez hecho esto, presionamos a Start Download. Comenzar
descarga. Casi todo lo que viene a continuación. Siempre es la opción por
defecto que nos proporciona el programa. Cuando hayamos terminado de grabar
en nuestro ordenador el player CDF, podremos leer cualquier tipo de
documentación que se haya generado en ese formato. Hay muchas en la red.
Son demostraciones interactivas. Y vamos a ver por qué. Las demostraciones
y simulaciones que pueden consultarse en los formatos CDF tienen un formato
similar. Vamos a ver ese tipo de formato para aprender a manejar cualquier
tipo de simulación. Vamos a ver que es realmente sencillo. Es jugar.
Supongamos que tenemos una función de distribución normal. En
estadística ya sabemos lo que es eso. Y sabemos que viene definida por su
media y por su varianza. En un texto normal nos presentaría una
distribución normal, con una media y una varianza concreta. Y no
podríamos hacer nada más. No podríamos ver qué pasa si cambio la
diversión típica, qué pasa si cambio la media. Con estos documentos sí
vamos a poder hacerlo. Aquí tenemos una de las primeras simulaciones
presentes en nuestros documentos CDF. En ella vemos una distribución
normal, en azul, en la parte inferior, con media cero. Y diversión
típica, no sé si será 1 o... El caso es que en la parte superior nos
permite resolver esa ambigüedad. Si no sé la diversión típica o la
media, lo importante es que con estos cursores vamos a poder cambiar esos
dos parámetros y vamos a poder visualizar online casi simultáneamente el
cambio que se produce en la figura. Cada vez que veamos un cursor de este
tipo, significa que presionando en el mismo y llevándolo hacia un lado o
hacia otro, el parámetro, en este caso la media, va a cambiar. Y la figura
va a cambiar simultáneamente. Lo mismo va a suceder si presionamos este
cursor, lo movemos a derecha o a izquierda, vamos a cambiar el parámetro
de deviación típica en este caso. Y vamos a ver su efecto sobre la
distribución. Tenemos en todas las simulaciones, son casi todas las
simulaciones, de manera genérica, dos cursores a mano derecha, perdón,
dos iconos a mano derecha de cada uno de los cursores con el símbolo más.
Si presionamos en esos cursores, se nos va a desplegar en la parte inferior
de cada uno de ellos una barra de herramientas un poquito más precisa, por
si queremos determinar la media o la división típica de manera numérica,
la escribimos. O, podemos presionar al más o al menos para ir
incrementando o decrementando unos pasos especificados por el programador,
la media o la división típica. También podemos darle a esta flechita que
vemos aquí y en este caso lo que hará el programa de simulación será ir
ciclando de forma rápida sin intervención del usuario todos los valores
permisibles en el ejemplo programados para la división típica o para la
media. Cuando llegue al final volverá al principio y se podrá visualizar.
Estas dos flechas hacia arriba o hacia abajo lo único que hacen es
incrementar o decrementar la velocidad de ejecución de ese bucle en el que
entramos y presionamos a la barra, perdón, a la flecha hacia la derecha.
Al mismo tiempo si hacemos ese ciclado veremos en la caja de texto cómo va
cambiando el parámetro al que le hayamos presionado. Esta forma de
manipular cualquiera de las simulaciones de los documentos CDF es tan
genérica que conviene saberla. Esto es lo que hemos explicado, en el
sentido de que el signo más a la derecha de cualquiera de los cursores,
perdón, se está refiriendo a este más, nos abre estos otros cursores y
que estos cursores nos permiten determinar el valor concreto de ese
parámetro y nos permiten manipularlo de manera más específica si
queremos hacerlo. Una vez visto el esquema de cualquier documento CDF, al
ser genérico es fácil de utilizar aunque cambiemos de área
completamente, siempre van a ser el mismo tipo de procedimiento para
trabajar con la simulación. Vamos a ver las simulaciones que hemos
realizado, además de esta muy simple en donde hemos manipulado media y
dirección típica de una distribución normal. La primera que hemos
utilizado ha sido el teorema central del límite. Recorremos este teorema
fundamental en estadística. Dada una secuencia de variables aleatorias
idénticamente distribuidas e independientes entre sí, x1, x2, x3,
etcétera, recordemos que idénticamente distribuidas e independientes se
suele representar en la literatura como y, y, d. Pon media mu, aquí la
simulación me da el paso del powerpoint a INTECA me ha cambiado estos
símbolos, la varianza sabemos que viene representada por este símbolo, y
la media mu. Dada una secuencia de variables aleatorias idénticamente
distribuidas con una determinada media y una determinada varianza, si
calculamos la media de los primeros n valores de los x,y y a partir de esa
media calculamos z sub n aplicando esta función que lo que nos hace es
estandarizar el valor media mediante el valor mu y sigma y teniendo en
cuenta el tamaño de n, resultará que z sub n se distribuirá o converge a
la función normal tipificada n, de nuevo aquí me lo ha cambiado, normal
tipificada quiere decir que la media vale 0 y la división típica 1, y
esto independientemente de la forma en que se distribuyan los valores de x
sub y. Podemos tener que la distribución de los valores de x sub y puede
ser rectangular, triangular, bimodal, conforme n se incrementa este teorema
nos asegura que z sub n converge a la distribución normal,
independientemente de cómo era la distribución de los valores de x sub y.
Ese concepto que parece bastante abstracto a los estudiantes se puede hacer
bastante más concreto con la simulación que hemos realizado, en ella el
estudiante puede elegir entre una gama de poblaciones la que quiera,
observemos que estas dos primeras, estos dos primeros parámetros que puede
elegir el estudiante no tienen la forma que hemos visto anteriormente, si
viene dada por las otras tres posibilidades de elección. Estas dos
primeras en donde elegimos población y estadístico que queramos calcular
son simplemente botones, botones que si uno se activa otro se desactiva, si
hay por ejemplo en la población podemos elegir cinco solamente puede estar
activo uno de ellos y simplemente clickeando uno u otro se activará ese
tipo de población, de la misma forma estadístico, podemos trabajar con la
media o con la división típica, obviamente no con ambas. Entonces el
estudiante puede, como está hecho aquí, trabajar con la función uniforme
y esta sería la distribución poblacional de la que se extraen las x sub i
y valores aleatorios idénticamente distribuidos. Vemos que la
distribución uniforme no es la distribución normal, si a partir de las x
sub i calculamos el estadístico media vemos en la parte inferior cómo se
distribuyen todas esas medias y vemos el histograma, vemos que se
distribuyen según la curva normal con una media de 76 y una división
típica de 2,5. Una vez que tenemos esta simulación que nos muestra el
tema central para una población de distribución uniforme y cuál es la
distribución muestral del estadístico media podemos jugar con cuál de
los parámetros tamaño muestral, número de muestras o semilla aleatoria
afectan a la forma, a la precisión de la distribución muestra. ¿Qué
pasa si cambiamos el tamaño muestral? Si en vez de 40 como hemos elegido
ahora podemos elegir 5, podemos cambiar, pasar ese cursor hacia la
izquierda o más de 40. ¿Qué le pasa a la distribución poblacional, a la
distribución muestral del estadístico media? Pues el estudiante con mover
el cursor va a poder ver si esta distribución sigue igual cambia su media,
cambia su división típica ¿Qué es lo que va a cambiar? Desde aquí les
puedo asegurar que lo que va a cambiar va a ser la división típica. Si
cambiamos el número de muestras no va a tener ningún efecto va a tener un
efecto de que los bings los pequeños rectángulos del histograma van a ser
más finos van a poder ser más finos porque tenemos más muestras pero
nada más. La semilla aleatoria tampoco va a cambiar nada porque recordemos
que todo esto los procesos dependen de unos valores iniciales aleatorios
para realizar la extracción de datos desde la población uniforme a la
distribución muestral de ese estadístico. La semilla realmente no debe
afectar. Lo importante es entonces una vez que hagamos esta simulación lo
podemos probar con una población finita es decir, una población con un
tamaño muestral finito con una población normal con una de la plaza o con
una de gamma. La de la plaza es impresionante porque tiene una forma en
forma de montaña y muestra mucho más claro cómo la diferencia que existe
entre la forma poblacional y la forma de la distribución muestral. Esta es
la primera simulación que hemos realizado. La segunda es el concepto de
potencia y de nivel de significación. En esta demostración el alumno
podrá manipular los valores de alfa, el estadístico muestral así como el
tamaño del efecto modificando el valor de la hipótesis nula y verificar
qué efecto tiene sobre la potencia del contraste. Este es el esquema que
nos va a aparecer en la simulación. Tenemos casi todos los cursores del
tipo que hemos dicho anteriormente excepto unos poquitos en los que cambia
por ejemplo esta posibilidad es dicotómica mostrarle el estadístico
muestral sí o no. Si hacemos clic en la casilla de verificación lo
mostrará, si lo desactivamos nos desaparecerá de la pantalla el
estadístico muestral. Mostrar el p-value lo mismo. Mostrar h1 lo mismo y
mostrar la potencia lo mismo. Una vez que podemos mostrar unos u otros en
función de que estemos más o menos familiarizados con la simulación. Lo
importante es que ahora podemos manipular alfa el estadístico muestral que
hayamos obtenido en el estudio concreto y podemos especificar h1 como con
mayor o menor distancia de h0 y ver qué sucede con alfa la probabilidad de
error tipo 1 aunque en este caso la estamos determinando a partir de los
cursores y lo veremos en la figura mediante el color azul. Veremos al mismo
tiempo qué sucede con beta si cambiamos alfa se incrementa o se decrementa
y la potencia vemos que la potencia nos desaparecerá en rojo y veremos
cómo cambia visualmente en la gráfica la potencia cómo cambia beta el
error tipo 2 etcétera. Podemos hacer lo mismo manteniendo constante alfa y
cambiando el estadístico muestral o podemos especificar h1 la distancia
entre las dos distribuciones y ver cómo afecta al resto de valores beta y
uno menos beta De tal forma y al mismo tiempo el programa nos permite
visualizar numéricamente el valor más importante la potencia como
probabilidad condicionada de que siendo h1 cierta se rechace a h0 Otro de
los contenidos importantes del temario de la asignatura de diseños de
investigación y análisis de datos es el de la regresión lineal simple En
la regresión lineal simple se trata de predecir el valor de una variable
de otra Obviamente esta predicción conlleva un error ya que la mayor parte
de las relaciones no son absolutamente lineales, deterministas existe
variabilidad Y en este proceso de cálculo de la recta de regresión
utilizamos una serie de métodos para minimizar ese error Uno de los
métodos que enseñamos en diseños de investigación es el método de
mínimos cuadrados Muchos estudiantes ven algo un tanto difícil de
comprender las fórmulas para para aplicar este método de mínimos
cuadrados Pero realmente visualmente es muy sencillo y lo vamos a ver La
simulación tiene este aspecto Es realmente sencilla porque simplemente nos
permite elegir los datos para manipular para diversificar la simulación y
luego nos permite manipular la pendiente y el intercepto mediante la
consabida manipulación de los cursores hacia la derecha o a la izquierda
Cuando modificamos la pendiente o el intercepto esta línea no me ha salido
muy recta La línea azul que se ve en el gráfico va a cambiar la pendiente
o el intercepto en función de lo que le estemos dando Lo importante son
los cuadrados rojos que nos aparecen allí Observemos que los puntos negros
son los datos los datos que hemos obtenido de X y de Y en un estudio X e Y
son dos variables y están relacionadas según este gráfico linealmente
Los puntos negros para cada observación son un punto en el gráfico
bidimensional La distancia entre ese punto la distancia vertical entre ese
punto y la línea recta azul representa el error que estamos cometiendo en
la predicción mediante esta recta de regresión Si el error lo elevamos al
cuadrado realmente lo que estamos calculando es un cuadrado y el método de
mínimos cuadrados lo que pretende es hacer mínima la suma del área de
todos esos cuadrados Cuando el estudiante empiece a manipular la pendiente
o el intercepto verá que habrán ciertos valores en los que esos
rectángulos se hacen enormes Cuando los vaya manipulando en el sentido
inverso serán más pequeños y cuando llegue un determinado momento
volverán a incrementarse Si en un momento de pendiente y intercepto la
suma de esos rectángulos que es el error al cuadrado es mínima la
respuesta a esa pregunta nos permite calcular la recta de regresión
utilizando los valores de pendiente e intercepto que hayamos obtenido en
esta simulación El programa nos permite calcular la suma de cuadrados que
hagamos de pendiente e intercepto y vemos que numéricamente nuestra
impresión visual va a ir acompañada con un incremento o decremento de esa
suma de cuadrados Por último cuando el alumno haya ajustado la recta de
regresión para obtener unos valores que considere mínimos podrá ver si
su estimación visual es más o menos ajustada O, por ejemplo este botón
que es tan grande que no parece botón que nos va a mostrar la línea de
mínimos cuadrados real calculada por el procedimiento analítico de
mínimos cuadrados Pero esta simulación nos permitirá comprender qué es
esto de los mínimos cuadrados el método de los mínimos cuadrados en
regresión lineal y dejará de tener un carácter abstracto Es simple Otra
simulación que hemos realizado es una simulación de la ANOVA La ANOVA a
análisis de varianza se utiliza para analizar datos cuando tenemos más de
dos grupos tres como mínimo En la ANOVA se trabaja con medias
cuadráticas, sumas de cuadrados grado de libertad, razones F casi todo de
forma analítica En nuestra simulación el estudiante va a poder ver
gráficamente en la parte de abajo las distribuciones poblacionales en este
caso tres grupos no hemos querido hacer más compleja la simulación cómo
afecta eso a la tabla de la ANOVA y básicamente a los dos valores finales
el valor F y el valor P para ver si son significativos o no significativos
para ello va a poder manipular tenemos tres poblaciones por tanto tenemos
tres distribuciones como la ANOVA asume que las distribuciones son normales
es lo que hemos hecho lo importante es que la ANOVA va a poder manipular de
las tres poblaciones su media y su diversión típica o más o menos
alejada y va a poder hacer que la dispersión sea mayor o menor y cómo
afecta ello a la tabla del ANOVA va a poder hacer también otro de los
supuestos del ANOVA es el de homoceasticidad si variamos la división
típica de la primera población con un valor muy distinto al de la segunda
y un valor muy distinto al de la tercera estamos violando el supuesto de
homoceasticidad por ello tenemos aquí las opciones de colocar las tres
divisiones típicas a unos valores predeterminados 0,75, 1 y 1,25 podemos
reiniciar los valores de media y diversión típica a los valores iniciales
tanto las medias como las diversiones típicas y podemos poner o quitar el
resultado de la gráfica lo importante es darse cuenta de cómo modificando
estos parámetros se ve aceptada toda la tabla de del ANOVA y cómo en
determinados momentos el ANOVA puede llegar a ser significativo porque las
distribuciones están lo suficientemente separadas entonces hay al menos
dos distribuciones que difieren entre sí o están las tres lo
suficientemente solapadas como para que el ANOVA no pueda detectar que haya
diferencias entre esas tres poblaciones por último estamos implementando
también el cálculo de probabilidades sin tablas el cálculo de
probabilidades de la razón f, la normal t, chi cuadrado, etc ha sido una
constante y sigue siendo una constante en todos los estudiantes de
estadística debido a que el cálculo de esas probabilidades mediante las
fórmulas analíticas es muy complicado herramientas analíticas de nivel
superior integrales diferenciales, etc y por ello se simplificaba la tarea
añadiendo a los textos una serie de anexos con esas tablas que no daban
todos los valores posibles pero sí los más usuales esto hasta ahora era
lo usual y era correcto pero con la posibilidad de introducir cálculos
dentro de los documentos podemos ser mucho más precisos podemos hacer que
olvidarnos de las tablas porque ahora con una simple figura podemos
calcular la probabilidad para cualquier estadístico para cualquier valor
del estadístico que nos interese de momento hemos realizado dos
simulaciones una para la distribución normal tipificada y otra para la chi
cuadrada la distribución normal tipificada solamente necesita un
parámetro que es la z para una determinada z en este caso 2.26 que se
encontraría aproximadamente aquí el programa nos permite visualizar el
área que queda por debajo de ese valor probabilidad 0.988 y su inverso 1-p
que casi no se ve aquí pero se muestra en la gráfica inferior que es
exactamente idéntica a la superior excepto que muestra el área
complementaria y nos muestra la probabilidad la tabla de la distribución
normal tipificada lo único que hace es asociar a cada valor z su
probabilidad y es lo que estamos haciendo aquí a cada valor z que nosotros
estamos manipulando nos proporciona su probabilidad además con una
precisión muy superior al que se puede dar en las tablas manipulando z con
el cursor apropiadamente o introduciendo el valor z que queramos la
gráfica nos va a dar esa probabilidad y su visualización lo mismo hemos
hecho con la distribución chi cuadrado en este caso a diferencia de la
anterior la distribución chi cuadrado exige dos parámetros exige el valor
dn de grado de libertad y el valor del estadístico para un determinado
número de grado de libertad aquí tenemos 14 y un determinado valor del
estadístico que es en este caso 6.49 la distribución nos muestra el valor
del estadístico en el eje x y el área que queda por debajo y por encima
en la distribución chi cuadrado de ese valor aquí tenemos que el área
que queda por debajo es 0.047 si leo correctamente de esta forma el alumno
que quiera obtener una p para una distribución chi cuadrado solamente
tendrá que ir a esta gráfica en el documento pdf introducir el valor n
grado de libertad y el valor del estadístico obtenido en sus cálculos y
obtendrá directamente el valor de la probabilidad en definitiva
consideramos que en el futuro todas las tablas van a ir expresadas en este
formato es muy cómodo de entender y es muy cómodo para el estudiante
aunque hasta el momento solamente hemos programado estas dos tablas o estas
dos formas de calcular probabilidades en dos distribuciones concretas y
esto es lo que hemos realizado en nuestro trabajo de redes para el proyecto
de simulaciones en estadística inferencial para las asignaturas de
estadística y metodología en el área del departamento de metodología de
la ciencia del comportamiento de la UNED