Vale, hola, buenas tardes, casi noches a todos. Sí, ahora te contesto.
Bueno, vamos a grabar la tutoría correspondiente al 24 de octubre. Vamos a
terminar el tema 6 y 7 del libro de Teresa Garín y comenzar un poco el
tema 8, que es el tema de oferta. Vale, una de vuestras compañeras me
pregunta si los números de los temas es según el libro. Eso no entiendo
muy bien lo que quieres decir con eso. ¿Que el tema 5 del libro es el tema
5 de la asignatura? No, porque en el libro, si no me equivoco, la
asignatura empieza a partir del tema... Espera, te digo ahora. Creo que es
el tema 5. La segunda parte, sí, el tema 5, el 6. Y el 7, con el capítulo
6, es según el libro teórico. Ay, es que no te entiendo. No sé lo que
quieres decir con eso. Con el capítulo 6. Es que no entiendo muy bien.
¿Qué quiere decir eso de con el capítulo 6? A ver, el capítulo 5... Ah,
vale, eso no tengo ni idea. El capítulo 5 equivale al tema de la
tecnología. El capítulo 5 del libro de Teresa. Y eso equivale... Al tema
1 de esta micro. Es decir, al primer tema que entra en esta micro es el
capítulo 5 del libro de Teresa. Después estaría el capítulo 6 y el
capítulo 7, que sería la primera parte de esta asignatura, que es toda la
parte de producción, costes y oferta. Después estaría el capítulo 8,
que es el corto y largo plazo, si no me equivoco. Perdón, el capítulo...
El capítulo 8, fíjate, el capítulo 6, el 7 dice oferta y maximización
de beneficios. El 7, ¿eh? Lógicamente, ¿vale? Luego el capítulo 8, a
ver si lo encuentro. Que no los tengo enumerados. El capítulo 8 es la
determinación del precio en un mercado de competencia perfecta. Digamos
que eso es como un primer bloque. Y luego el capítulo 9 y sucesivos ya son
mercados específicos. Es decir, monopolio, competencia monopolística,
oligopolio, o sea, cosas así. Pero no empieza con el tema 1 del libro,
¿vale? Bien, o sea, empezaría con lo que tengo yo aquí marcado, que es,
por un lado, el capítulo 6 y 7 del libro serían el segundo y tercer tema,
y el capítulo 5, que es lo que hemos visto, sería el tema correspondiente
a la tecnología, que sería el primer tema. Ese es el primer tema que nos
centra en esta asignatura. Vale, bueno, ese tema, en ese tema hemos visto
cómo los factores productivos se relacionaban entre sí y con la
tecnología para poder producir un output, ¿vale? Eso se hacía a partir
de la función de producción. Las funciones de producción tenían ciertas
características. Bueno, por supuesto, existía un corto plazo y un largo
plazo. En el corto plazo, al menos un factor era fijo, y en el largo plazo,
todos los factores eran variables. Dentro de las funciones de producción
total, podíamos distinguir las funciones de productividad media o
producción media, que es lo mismo, y las funciones de productividad
marginal que representaban. La función de producción media o
productividad media representaban la cantidad de producción por unidad de
factor, es decir, Q. La producción Q, Q dividido entre el factor L, eso
sería la productividad media del trabajo, o Q partido de K sería la
productividad media del capital. Y la productividad marginal, por ejemplo,
la del trabajo, sería la derivada de Q respecto a L, y la del capital, la
derivada de Q respecto a K. Lógicamente, no tiene sentido hablar de
productividades marginales del factor fijo, porque la derivada sería cero.
Entonces, cuando estamos en el corto plazo, las productividades marginales
solo se calculan del factor variable, y las productividades medias se
pueden calcular del factor variable y del factor fijo. Eso no tiene mucha
importancia, pero bueno, lo normal es pensar en el factor variable
también. Decíamos que se podían producir rendimientos a escala cuando la
función de producción cumplía una serie de características. Por
ejemplo, si al incrementar, todos los factores productivos en una misma
proporción T, si la producción se incrementaba exactamente en esa misma
proporción T, eso significaba que había rendimientos constantes, a escala
constante. Si había rendimientos a escala creciente, significaba que al
aumentar todos los factores productivos en una misma proporción T, la
producción se incrementaba más que T. Eso es que haya rendimientos a
escala creciente. Y cuando había rendimientos a escala creciente,
significaba que cuando aumentábamos todos los factores productivos en una
misma proporción T, la producción se incrementaba en menos de T
porcentaje. Fijaos, no tiene sentido hablar de rendimientos a escala en el
corto plazo, porque hay que aumentar todos los factores productivos.
Decíamos que las funciones de producción tipo Cobb-Douglas eran muy
interesantes porque cumplían que había rendimientos a escala. Y eran...
Bueno, aparte de que eran rendimientos a escala, eran en general muy buenas
funciones de producción. Luego hablábamos de que la eficiencia
tecnológica estaba relacionada con las cantidades que se podrían utilizar
de un factor productivo de modo que se consiguiera eficientemente una
cierta cantidad de output. Es decir, se podían comparar distintos procesos
productivos en función de que uno fuera más efectivo que el otro. ¿Por
qué? Yo puedo comprobar que un proceso productivo es más eficiente que el
otro cuando utilizando menos cantidad de algún factor consigo obtener la
misma cantidad de output o incluso mayor. Entonces, los procesos
productivos se podían comparar teniendo en cuenta las cantidades de input
que podía utilizar y, consecuentemente, ciertas cantidades de output.
Fijaros que hablo de inputs, o factores productivos indistintamente. Y
outputs, o producción, o bien, indistintamente significan lo mismo. Vale.
Bueno, voy a dejar así un poco ya al margen el tema cinco, aunque hay un
comentario, o sea, hay una cuestión que quiero recalcar porque la
encontré en un examen y vamos a ver dónde está, si es que os la di, que
a lo mejor no os la apunté. Tema cinco. Eso que quiero recalcar aquí, a
ver, ¿dónde estoy? Supongo que estarán como hacia el final, pero no
estoy muy segura. A ver. No, posiblemente esté después. Bueno, tiene que
ver, a ver si soy capaz de encontrarlo. Resultate va a estar antes de esto.
Yo creo que está antes de esto. Sí, nada, está antes de esto. O... Ah,
no, no está. Uy, no está, no está. No sé si... Aquí está. Importante,
bastante importante. En esta gráfica. Vale. Hay varios puntos aquí que
tienen nombre propio. Esos puntos son el punto C y el punto D. Fijaros, el
punto C, ¿qué está diciéndome? El punto C es el máximo del producto
medio. Vale. Y el punto D es el... Cuando el producto marginal es igual a
cero. ¿Lo veis? O lo que es lo mismo... Ay, perdón. La máxima
producción que se puede alcanzar. Vale. Voy a coger este colorín. Si os
fijáis en el punto D yo alcanzo mi máximo. Mi máximo. Es que me he
fijado que en un examen... En un examen, en el examen de febrero de 2022 os
ponen un problema donde hablan de el óptimo técnico y el máximo
técnico. Bueno, pues muy importante. Es que aquí, si no me equivoco, no
está. Está apuntado cuando sean los... su relación con los costes
medios. Pero es aquí donde hay que verlo. Ah, sí. Está aquí, perdón.
Está aquí, está aquí. Vale, perfecto. Voy a intentar hacer una línea
recta. Figura. Una línea recta. Vale, genial. Y tú vete por aquí. Vale.
Óptimo de explotación u óptimo técnico. Muy importante. Y máximo de
explotación o máximo técnico. Vale. ¿Qué es el óptimo de explotación
u óptimo técnico? Pues es el punto C. Bueno, el punto C. Sería la
cantidad correspondiente, la Q correspondiente al punto C. ¿Qué
significa? Es aquel punto donde el producto medio y el producto marginal se
igualan o lo que es lo mismo. Es aquel punto donde se alcanza el máximo
del producto medio, de la productividad media. Ese es el óptimo de
explotación u óptimo técnico. Vale. Si queréis vamos a hacer
después... Resuelvo este ejercicio porque como es de examen creo que es
interesante hacerlo. Vale. ¿Y qué es el máximo de explotación o máximo
técnico? Pues el máximo de explotación el propio nombre ya os lo dice.
Es donde se consigue la máxima producción. Y eso siempre se consigue en
aquel punto donde la productividad marginal ya es igual a cero. Es decir,
un incremento del input del factor productivo en una unidad ya no hace
aumentar la producción. Vale. Os voy a... Voy a hacer este ejercicio que
es el que se llama problema 4 del examen de febrero del año pasado. El 10
de febrero de 2022. Lo tengo aquí. Os lo voy a compartir... Bueno, no. Os
lo voy a enseñar directamente. Vamos a ver dónde está. ¿10 de febrero
era? Sí, creo que se llama. Lo llamé 10 de febrero de 2022. Vale. Y vamos
a ver dónde está. Es este ejercicio. Mirad. Es el 4. Es este. Vale.
Fijaos. Vaya hombre. No. No me interesa acá. Que esto aparezca porque...
No, no por nada sino porque acabo de cargarme. Aquí está. Vale. Vamos a
hacer este ejercicio en el enterado. Os dice que os da una función de
producción. X es igual a 5 por mmm menos L al cubo tercio si no me
equivoco más L cuadrado más 2L. Fijaos. Esta función de producción es
en el corto plazo porque no aparece el... el factor capital. Vale. Donde X
es la cantidad producida y L es el único factor variable. Vale. Pues os
pide determina la cantidad aplicada de trabajo es decir cuánto vale L que
permita alcanzar el óptimo técnico. Es decir tengo que buscar aquel valor
de L que maximice la productividad media. Y cuál es el máximo técnico
aquel valor de L o la derivada de la producción o lo que es lo mismo la
productividad marginal. Es decir para hacer para resolver el primero para
resolver el primero bueno lo que tengo que hacer es voy a coger un lápiz
aunque sea una chapucilla lo que tengo que hacer es maximizar la
productividad media ¿de quién? del factor del único factor que tengo y
para calcular el segundo lo que tengo que hacer es maximizar la
productividad marginal o si os gusta más lo que es lo mismo que la
productividad vaya perdón perdón he dicho una tontería maximizar la
productividad marginal no perdón la productividad total borro que esto
esto es una burradilla una catedral maximizar la productividad total o lo
que es lo mismo hacer que la productividad marginal sea igual a cero vale
bien voy a compartir con vosotros el encerado a ver está bien a ver que
siempre me lío yo creo que es esto que siempre me lío no sé porque al
principio del curso después ya vale es que no sé por qué cojo esto si
esto no me interesa no esto no es disculpad que esto no es es simplemente
si no me equivoco pizarra y dejarme de chorradas escribir en la pizarra y
ya está vale si si veis que no estoy compartiendo con vosotros el lo que
está escrito en la pizarra lo que voy escribiendo en la pizarra por favor
decidme voy a borrar todo esto que esto no me interesa para nada la hoja 1
borrar página está todo borrado vale pues voy a voy a la pizarra y hacer
decidme vosotros si estáis viendo lo que estoy escribiendo vale me dice
que la función de producción número está diciendo que la función de
producción es x igual 5 por paréntesis menos el cubo partido de 3 me veis
no vale genial menos el cubo partido de 3 más el cuadrado más 2l nos
gusta más hacer ejercicios que contaros el rollo porque si una os
entretenéis un poco y dos son ejercicios de exámenes entonces os puede
dar ánimos de la cocina y eres el único factor variado vale lo que me
pide es cuánto vale en el primer apartado cuánto vale para alcanzar el
óptimo técnico óptimo técnico vale ya sé que el último técnico que
tengo que calcular quién es la productividad media recordad la
productividad media no es ni más ni menos que x partido de l es la
producción por unidad de trabajo vale pues nada me cojo mi función x 5
que multiplica menos el cubo tercios más l cuadrado más 2l y lo divido
entre x vale si queréis superar un poquillo esto es menos 5 tercios de eh
eh uy que hago yo divido entre x divido entre l perdón divido entre l por
unidades de abajo acordaros vale 5 tercios l al cubo entre l será el
cuadrado menos delante más 5l más 5 por 2 10 entre l 10 lo veis esa es la
productividad media vale como se calcula el máximo de una función bueno
pues el máximo de una función se calculaba con un lo que se llama una
condición del primer orden que es que la derivada de la función respecto
a su variable claro debe ser igual a cero y lo que se llama la condición
de segundo orden es que la derivada segunda de la función respecto a su
variable dos veces máximo debe ser menor o igual que cero vale acordaros
el máximo no es igual a cero el mínimo es mayor o igual a cero bueno si
no es muy fácil ver fijaos tengo un máximo de una función lo veis vale
esta función es es convexa perdón dios si si tienen tengo razón es
concava concava vale os acordáis cuando una función era concava cuando la
derivada segunda era menor que cero es decir que si la función tiene un
máximo eso quiere decir que a su alrededor debe ser concava es decir que
su derivada segunda tiene que ser menor que cero vale bueno si no os
aprendéis máximo menor o igual que cero y mínimo mayor o igual que cero
que tampoco está mal es bastante fácil de intuir vale bueno pues nada voy
a hacer esto eh tengo la función voy a borrar parte porque al final estoy
entera o bueno no me voy aquí fijaos voy a derivar voy a calcular que es
la derivada de la productividad media respecto a f pongo d porque es una
función de una sola variable si no pondría el simbolito ese de derivada
parcial parcial de f respecto a x1 vale esto es cuando esta función f
depende no solo de x1 de x1 de x2 de x3 de una serie de variables pero este
no es el caso vale bueno pues nada hacerme esa derivada venga tres segundos
para hacerlo vosotros bueno menos cinco tercios de l cuadrado más cinco l
más diez bueno pues sería menos diez tercios de l más cinco lo veis la
derivada de menos una constante menos cinco tercios por la derivada de l
cuadrado sería menos cinco tercios por dos l vale el exponente baja y se
lleva la l a un grado menos más cinco l la derivada de cinco l cinco bueno
pues voy a igualar a cero y de ahí despejo l vale si despejáis l os queda
que el l es igual a cinco por tres quince décimos y quince décimos es uno
coma cinco tengo que comprobar que ahí hay un máximo como lo compruebo
haciendo la derivada segunda es decir me voy aquí vale yo no tengo mucho
sitio me voy a seguir aquí vale hago la derivada segunda la derivada
segunda de la productividad media respecto a l dos veces ¿quién es? pues
la derivada de esto menos diez tercios por l es menos diez tercios es menor
o igual que cero sí por tanto para l igual a uno coma cinco hay un máximo
en la función productividad media de l y como sé que esa es la condición
de óptimo técnico ya puedo asegurarme que el l igual a uno coma cinco es
donde es la cantidad de inputs que me proporciona el óptimo técnico eso
lo veis bueno si fuerais al enunciado veis que eso es el apartado b ah cso
significa condición de segundo orden cuando yo quiero calcular un máximo
hay varias condiciones un máximo se acuerdan en matemáticas paso una hoja
vale yo tenía una función igual a f y era derivable era muy importante
porque si la función no era derivable eso de las derivadas primeras
iguales a cero las derivadas segundas no podía hacer nada entonces yo
quería yo quiero calcular lo que se llaman los óptimos de esta función
los óptimos de esta función son los máximos y los mínimos imaginaros
que yo tengo una función que va así un millón así por ejemplo esta
función veis tiene un mínimo aquí aquí tiene otro mínimo no sé si
será derivable porque lo he puesto casi como en una esquina y aquí tiene
un máximo y parece que aquí tiene otro máximo vale pues estos cuatro
puntos estos cuatro puntos x0 x1 x2 x3 estos que se llaman óptimos de esta
función o puntos críticos que es lo mismo vale borro la función porque
no quiero que me ocupe si vale pues para que siendo una función derivable
en un punto para que una función derivable para que yo pueda calcular los
máximos y los mínimos necesito dos condiciones una que se llama
condición derivada en primer orden es decir en primer lugar se debe
cumplir que la derivada de esta función sea igual a cero aquellos puntos
donde la derivada es igual a cero son posibles no son seguros posibles
máximos o mínimos y o pueden ser los dos eh os suena más sí lo que pasa
que después ya a partir del segundo empiezan a llamar los mínimos
óptimos vale punto crítico es perfecto vale por eso es una condición de
primer orden porque no no es lo que se llama una condición necesaria es
necesario que la primera derivada sea igual a cero para que yo pueda decir
que en este punto podría haber un máximo o un mínimo como estos puntos
que cumplen esta condición de aquí yo saco despejo en definitiva una
serie de puntos x cero x uno x siete o sea vale me sale una serie de x
puede ser una ecuación de segundo grado entonces tengo dos soluciones una
ecuación de primer grado solo tengo una solución una ecuación de tercer
grado tengo tres soluciones bueno a lo mejor alguna es compleja pero tengo
tres soluciones así y entonces la derivada segunda es igual en x cero o en
el x y en la x olvidad que voy a llamar x si la derivada segunda es mayor o
igual que cero hay un mínimo seguro si la derivada segunda en ese punto en
x se está refiriendo al punto que cumple que la primera derivada es igual
a cero fuera menor o igual que cero hay un máximo de hecho si fuera
estrictamente mayor que cero ya sé seguro que hay un mínimo si fuera
estrictamente menor que cero ya sé seguro que hay un máximo qué pasa
cuando la derivada segunda es igual a cero pues aún no sé lo que es y
entonces cuando la derivada segunda en ese punto que intuyo que es un
mínimo o que intuyo que es un máximo es igual a cero me tendría que ir a
la derivada tercera y comprobar si es mayor que cero si es menor que cero o
si es igual a cero si es mayor que cero o es menor que cero esto que
vosotros llamáis un punto de inflexión en r se lleva a puntos de
inflexión en cambio si es igual a cero la derivada tercera no sí la
derivada tercera si fuera igual a cero tengo que ir a la derivada cuarta
vale y así sucesivamente hasta llegar a una en que sea distinto que sea
perdón distinto de cero es decir si la derivada segunda es igual a cero y
la derivada tercera es igual a cero si estoy ante un punto de inflexión no
estoy muy segura eh no estoy demasiado segura de lo que estoy diciendo es
que fijaros o sea realmente es si la primera por eso es que esto me lo sé
casi de coletilla si la primera derivada que es distinta de cero es para
sí si la primera derivada que es distinta de cero es par y positiva es un
mínimo si la primera derivada que es distinta de cero es par y negativa es
un máximo por tanto estoy diciendo esto para aquí está para y positiva
estoy en este caso estoy disculpad si la derivada tercera es igual a cero
tendría que ir a la derivada cuarta y si la derivada tercera es distinta
de cero estoy en un punto de dirección luego me voy a la derivada cuarta
si la derivada cuarta es positiva estoy en un mínimo si la derivada cuarta
es negativa estoy en un máximo si es igual a cero tengo que ir a la
derivada quinta y así hasta llegar a una derivada par positiva mínimo par
negativa máximo vale donde ves lo que se llama la condición suficiente,
que es la derivada segunda. Y la derivada primera igual a 0 es lo que se
llama la condición necesaria o condición del primero. Vale. Me olvido de
esto. Hemos calculado... Perdón. Hemos calculado dónde estaba el óptimo
técnico, ¿vale? Cuando L es igual a 1,5. Y ahora vamos a ver quién es el
máximo técnico. ¿Cuánto vale L cuando estoy ante el máximo técnico?
¿Vale? ¿Dónde está el máximo técnico? Donde se alcanza el valor
máximo de la producción. O lo que es lo mismo, el máximo de X. O lo que
es lo mismo, donde la productividad marginal se iguala a 0. Dos formas
distintas de hacerlo. Vale. Vamos a hacerlo de las dos formas. Vale.
Escojaría que resulte más fácil. Me voy... Voy a coger X. X habíamos
dicho que era 5 por menos L cubo tercios más L cuadrado más 2L. Quiero
calcular el máximo de X. El máximo de X... ¿Cómo calculábamos el
máximo de una función? Pues derivando la condición del primer orden que
la derivada de X respecto a L sea igual a 0 y la condición del segundo
orden que la derivada segunda de X de X respecto a L nos mete sea menos o
igual que 0. Voy a hacer estas dos cosas. Voy a hacer la derivada de X
respecto a L. La derivada de X respecto a L... A L, perdón. Es la derivada
de todo esto. La derivada... Venga. Unos... Un minuto. Y haciéndolo
vosotros. Vosotros. ¿Vosotras? Solo tú. Que es de la unidad que está
ahí. ¿Te atreves a escribirme en el chat? Bueno, también ha entrado...
No, eres tú. A ver si este... Hoy no se me queda... No se me cuelga. Y
podemos seguir. Natalia, entras y sales. Era un poco raro. Venga. ¿Me
puedes...? ¿Te atreves a copiarme en el chat? ¿Cuál es el resultado? No,
trata que lo hagas... Ah, vaya. Vale. Pero hazme la derivada de X. A ver si
eres capaz. O escríbemela porque si no te doy voz, pues no eres capaz de
ponerlo. Yo diría que es menos 5L cuadrado más 5 por 2, 10L más 2. ¿Te
das cuenta? A ver, que no haya metido la pata. El 3 y el L al cubo, o sea,
la derivada sería 5 como una constante, va a multiplicar a todas las
derivadas que aparecen en su mundo. La derivada de menos L al cubo partido
de 3 es menos 3L cuadrado partido de 3, y el 3 y el 3 se me van. Y entonces
solo me queda menos L cuadrado. Vale, por eso puse menos 5L cuadrado.
Luego, la derivada de L cuadrado es 2L por un 5, 5 por 2, 10L. Y la
derivada de 2L es 2 por 5... Uy, perdón, por 5, 10. Vale. Pues esa sería
la derivada. Uy, ¿por qué has puesto menos 10L más L? Escríbeme por
qué crees que es así. Ah, vale, la derivada segunda. Sí, sí, pues como
no me acuerdo cuál era la derivada primera, pero sí. Ah, es que no
llegué a darle yo a lo que... Vale. Sí, menos 5 por 2, menos 10. Vale.
Menos 10L no, más 10. Porque la derivada de 10L es 10, no es L. ¿Te das
cuenta? Menos 10, eso sí. Uy, es que esta... No, no puede ser. No puede
ser, mira. Si tienes una derivada al cuadrado y aquí tienes un 10L, esto
aquí no puede ser. Es imposible que la derivada de esto sea esto. Fíjate.
El menos 10L está bien porque es menos 5 por 2, 10, menos 10. Y L, la
derivada de L al cuadrado es L. Pero la derivada de 10L no es L, es 10.
Vale. Bien. Vale, pero no nos adelantemos. Vamos a ver qué tal la primera.
Habíamos dicho que la derivada era menos 5L al cuadrado más 5 por 2, 10L
más 5 por 2, 10. Vale. Tengo que igualar a 0. No voy a hacer la derivada
segunda hasta que no iguale a 0 la primera derivada. Vale. Vale. Esto lo
igualo a 0. Y eso es una ecuación de primer orden que tengo que resolver.
Voy a pasar la hoja menos 5L al cuadrado más 10L más 10 menos 5L al
cuadrado más 10L más 10 igual a 0. Fíjate. Esto es la primera derivada y
debo igualarlo a 0. ¿Vale? Esto es una ecuación de segundo grado. ¿Cómo
se resuelve una ecuación de segundo grado? ¿Te acuerdas? A por X al
cuadrado No, porque es 5 por 3. Espera que te lo vuelvo a... No, no. Vamos
a ver. Borro. Borro todo esto. Me voy a la página de... La función X...
Bueno, voy a volver a copiar. La función X era 5 que multiplica menos L
cubo partido de 3 menos L cubo partido de 3 más L al cuadrado más 2L.
Vale. Voy a hacer la derivada de X respecto a L. A ver. La voy a hacer de
la forma que yo creo que es más sencilla. Esto es el número 5 por toda
esta función que a su vez es una suma. Entonces esto sería 5 por... Voy a
ir haciendo la derivada de la primera más la derivada de la segunda más
la derivada de la tercera. ¿Vale? Voy derivando cada una de estas tres. La
derivada de menos L cubo partido de 3 es menos 3 L cuadrado partido de 3
más la derivada de L cuadrado es 2L más la derivada de menos L es 2.
Vale. No me faltan entre 3 porque lo he tachado mentalmente y por eso ni
siquiera lo puse. Pero bueno, perdón. Igual debería haberlo puesto.
¿Vale? Pues esto, ¿qué es? Esto es menos 5L cuadrado más 5 por 2 10L
más 5 por 2 10. Ahora lo ves. ¿Ves? Porque, quité el 3 porque se me iba.
El 3 del numerador baja como exponente, el exponente del numerador...
Acuérdate, la derivada de A por L elevado a la B, la derivada de esto
respecto a L es A por B por L elevado a un grado menos. ¿Vale? Entonces,
esto es lo mismo. Vale. Bueno, pues entonces la condición era que esta
derivada fuera igual a cero. Y lo que decía, esto es una ecuación de
segundo grado. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado? ¿Te
acuerdas? A ver, testame si y no a medias. Vale, perfecto. Bueno, pues la
vamos a resolver. Si no te gusta el signo menos aquí delante, cambiamos
toda la ecuación. O sea, cambiamos el signo a toda la ecuación. A mí
casi no me gusta mucho tener menos delante. 5L cuadrado menos 10L más 10
igual a cero. Y de ahí saco L. L era igual a menos B, 10 más menos la
raíz cuadrada de B al cuadrado, 100 menos 4AC 4 por 4, voy a poner 4 por 2
y por 10 partido de 2A. 2 por 2 4, bueno, 2. Vale. Bien. Es decir, esto
sería 10 más menos vamos a ver, 4 por 2 8, 8 por 10 80, 100 menos 80 20.
Uy, qué feo. Partido de 4 Qué feo. No me gusta nada este 20. A ver si he
hecho algo mal. Sí, bueno, he hecho algo mal. ¿Lo ves? No sé, me acabo
de inventar un 2. ¿Lo ves? ¿Te das cuenta que no estoy resolviendo esta
ecuación? Si no, que yo no lo he resolvido en la de abajo, pero me acabo
de inventar un 2. Ese menos 5 desapareció y de pronto se volvió un 2. A
mí no me gusta hacer ejercicios con números por este problema que tengo,
que muy fácilmente me equivoco y en vez de coger los números que hay,
pues me equivoco. Vale. Pues esto no es 2, sino que es 5. Entonces voy a
borrar este 2. Perdón, perdón. Esto es un 5. Entonces esto seguro que
está mal. Bueno, no importa. Vale. No pasa nada cuando es que es muy
evidente que hay algo malo. Eso está muy bien. Aquí era muy evidente que
eso no podía estar. Vale. Esto es un 5. Había dicho que como molestaba el
signo menos, cambiaba toda la ecuación de signo. ¿Vale? Entonces ahora
sería 5L cuadrado menos 10L menos 10. Menos 10. Vale. Hubiera sido casi
mejor dejarlo. Bueno. 5L cuadrado menos 10L menos 10. Entonces ahora me
quedo con menos B. Menos B. Menos menos 10. 10. Más menos B al cuadrado.
100. O menos 10 al cuadrado. 100. Menos 4AC. Menos por menos más. 4AC es 4
por 5 20. 20 por 10 200, si no me equivoco. A ver, que no me meta la gamba.
5 más 10 menos 10. Menos B. 10. Más menos la raíz cuadrada de B al
cuadrado. 100. 10 al cuadrado es 100. Menos. Que va a ser un más. 4 por 5,
20. 20 por 10, 200. Creo que está bien. Dividido entre 2A. 10. 300. No me
gusta nada eso de 300. Pero bueno, tampoco me gusta mucho lo que pasa de
hora, ¿eh? Vale, bueno, no pasa nada. 10 más menos la raíz de 300 que si
os fijáis la raíz de 300 es 100 por 3 300 es 100 por 3 partido de 10.
¿Por qué hago todo esto? Porque no me gusta mucho usar calculadora y
porque ya sé que la raíz de 100 es 10 por tanto esto es 10 más menos 10
raíz de 3 partido de 10. Los 10 se me van y me queda que esto es 1 más
menos la raíz de 3 partido de 10. Vale, esto es el valor de L. Es decir,
la L que maximiza posiblemente X pues parece que es L igual a 1 más raíz
de 3 partido de 1 y L igual a 1 menos raíz de 3 partido de 1. Hombre, la
raíz de 3 es 1 y pico. 1 menos raíz de 3 partido de 1 es menor que el 0 y
esto no tiene sentido. No tiene sentido que se maximice la producción
cuando L es negativa. Vale, entonces ¿qué es lo que me interesa? Lo que
me interesa es comprobar que en este punto la derivada es la derivada
segunda es igual a 0. ¿Por qué? Porque si la derivada segunda es igual a
0 es porque... Ah, bueno no necesariamente, el máximo no sé, normalmente
en este caso va a ser la derivada segunda igual a 0, pero bueno, me olvido.
Como estoy calculando el máximo, compruebo que la derivada segunda sea
menor que 0. Vale. Bien, me voy a la derivada segunda voy a borrar todo.
Todo lo que he hecho después de calcular la derivada primera. Esta es la
derivada primera y ahora me voy a calcular la derivada segunda y comprobar
que en ese punto la derivada segunda es menor que 0. Eso significa que la
función de producción tiene ahí un máximo. Vale, me voy y digo ¿quién
es la derivada segunda de X respecto a L dos veces? Pues derivo esto. La
derivada de esto es menos 5 por 2 vaya 1, menos 10 5 por 2, 10, menos 10 L,
más 10 vale, la derivada de L es 10. Vale. Ahora voy a calcular quién es
la derivada segunda de L respecto a L dos veces en este punto en L igual a
1 más raíz de 3 partido de 1 No me importa demasiado cuánto vale. Lo que
me importa es comprobar si es un número positivo, negativo o común. Y si
te fijas, esto la raíz de 3 es 1 y pico 1 y pico más 1 y pico son 2 y
pico. Entre 1 y pico esto es 1 con algo. Vale. Por menos 10 esto es menos
10 con algo con un número más 10 está claro que esto es menos bueno,
esto es menos 0 con algo es que no necesito tener una calculadora para
comprobar que esto es un número negativo vale. Si es menos 10 con algo
está claro que esto es menos de 0 y si es menos de 0 ahí hay un máximo y
es lo que me importaba. Ahora puedo comprobar a qué número corresponde
esto en los resultados que os aparecen aquí. Fijaros, en el ejercicio dice
determinar la cantidad aplicada de trabajo te permite alcanzar el máximo
técnico dice L igual a 2 no, no esto vale 1 con algo no vale 2 L igual a 1
con 5 pues sí, probablemente sí. L igual a 2,73 no, no. Vamos a ver si es
3 dividido entre 1 ¿Es 2,73? Vaya, pues qué listas son. Vale. La raíz de
3 es 1 y pico 1 y pico más 1 y pico claro, claro. No, la raíz de 3
¿cuánto vale? Pensaba que era 1 y pico 2 y pico no, no tiene sentido A
ver, la raíz de 4 es 2 la raíz de 3 es 1 1 con... Claro, eso no sé
cuánto es a lo mejor es vale, 1,73 vale, suficientemente alto vale, pues
1,73 más 1 serían 2,73 entre 1 y 2,73 vale, perdón, perdón entonces,
nada entonces es 2,73 vale No sé si os dejan calculadora en los exámenes
sí, sí en los exámenes del 10 de febrero sí en la P bueno, como lo
hacéis en vuestra casa es un poco... podéis utilizar el material que
consideréis oportuno vale pues este ejercicio se resolvería así vale
quería hacerlo porque viene es un ejercicio de productividades medias y
marginales y donde eso, donde os pidan después vamos a calcular en otra
cosa con los costes el mínimo de explotación que también es otro dato
muy, muy importante que suele caer en los exámenes vale, bien prefiero que
hagamos esto que avanzar así a lo bestia y que no os enteréis de nada por
lo menos así tenéis algunos ejercicios que os sirven un poco de guía
aunque estos ejercicios también los podéis encontrar en el libro vale voy
a seguir con con lo que estaba viendo que era el capítulo 6 y 7 vale
bueno, pues ya habíamos visto del capítulo 5 las cosas relacionadas con
la tecnología con la función de producción que era muy importante
productividades medias y marginales y vamos a ver ahora os había contado
lo de los costes sí os había contado lo que era la curva las rectas que
no son curvas, son rectas y socostes bueno, podéis llamarlo curvas pero
tienen forma siempre de rectas os había contado lo que era la elección
óptima del consumidor a partir de esta elección óptima que lo que hacía
era igualar la pendiente de la isocoste y de la isocuanta se determinaba
cuál es el coste mínimo es decir, la función de costes en definitiva y
decíamos eso fijaros, ese punto A quiere decir sujeto A vale y esto que se
calcula aquí es lo que se llama la condición de primer orden de un punto
máximo de un punto crítico bien, esto os lo había contado os había
contado lo que era la senda de expansión y bueno, pues ahora supongo que
me quedaría aquí me quedaría el otro día aquí la senda de... entonces,
a partir de la elección óptima de factores obtenemos, o sea, buscando
cuál es la elección óptima de los factores para la empresa de modo que
minimiza su gasto sujeto a una función de producción vale y utilizando
por tanto la senda de expansión la senda de expansión eran aquellos
puntos L, K que igualaban el cociente de productividades marginales igual
al cociente de precios si yo despejo K en función de L pero también de W
y de R obtendría la senda de expansión ¿por qué despejo K? porque
bueno, normalmente K se representa en el eje de ordenadas y se despeja en
el eje de ordenadas suele calcular I en función de X pues igual K en
función de L si en vez de K en función de L tengo L en función de K eso
no es una senda de expansión sí, es exactamente otra senda de expansión
vale, bien pues ese valor de K lo llevamos a la función de producción y
acabamos poniendo L en función de X, W y de R y lo sustituimos en la... y
la senda de expansión también la sustituimos es decir, si al final
acabamos poniendo si al final acabamos poniendo tanto K como L en función
de X y lo sustituimos en la expresión esa que teníamos de los gastos ¿os
acordáis? esto no era ni más ni menos que C igual a R por K más W por L
y lo sustituimos vale, pues si pongo K en función de X ¿qué lo puedo
hacer? de W y de R también pero lo fundamental es K en función de X pongo
L en función de X y lo sustituyo aquí arriba obtengo la función de
costes ¿qué es la función de costes? ¿cuál es la definición de la
función de costes? pues la función de costes es el coste mínimo en el
que incurre la empresa para producir X cantidades de outputs teniendo en
cuenta los precios de los factores productivos normalmente W y R os dirán
que valen un número y si no, no os importa lo dejáis W y R la variable de
la que depende C es X, no es ni W ni R W y R son dos parámetros son dos
cosas que vienen dadas X no viene dada, X es la variable decisoria de la
empresa la empresa decide cuánto producir de modo que busca minimizar su
gasto teniendo en cuenta esa cantidad que quiere producir vale pues eso es
lo que se llama la función de coste total a largo plazo os voy a poner
porque como me gusta casi más poner los ejemplos que es soltarme este
rollazo pues que no lo puedo calcular a ver si tengo un ejercicio a ver si
tengo algún ejercicio donde lo pueda donde os pueda inventar o no, me
gustaría que fuera de examen ah, aquí está a ver si encuentro alguno en
el que me lo pidan vale aquí hay uno que se llama problema 2 que es de la
fecha 27 de enero de 2020 vale, lo enseño y de ahí voy a calcular el
coste volvemos otra vez aquí 27 de enero de 2022 vale, y es el problema 2
problema 2 problema 1, mirad, es este ejercicio una mosca por aquí bueno,
una mosca, hay algo vamos a delimitarlo es este ejercicio es este entero
bueno, está un poco tal es este ejercicio que quiero hacer hoy con hacer
este ejercicio casi y que lo entendáis, claro o que lo entiendas tú
Natalia me doy por satisfecha vale, bien dice, supongo que la función de
producción de una empresa es igual a f de kl 10 por l elevado a 1 medio
por k elevado a 1 medio y además voy a hacer algunas otras cosillas en
esta función relacionada con lo que hemos visto hasta ahora vale, donde l
y k son los factores productivos trabajo y capital respectivamente el coste
por unidad de trabajo es 20 euros es decir, el salario vale, es 20 euros y
el coste por unidad de capital es 80 euros es decir, el precio del capital
es 80 euros vale ¿quién es la función de coste total? ah vale no tengo
que calcular la función de coste total y luego sustituir x por 10 unidades
vale, o sea, tengo que calcular la función de coste total y en esa
función sustituir y, no x, aquí lo llamo y por 100 y luego ¿cuáles son
las cantidades de trabajo y capital que minimizan el coste a largo plazo de
producir 140 unidades de inputs? vale, bueno, vamos a hacer este ejercicio
tenéis ahí el enunciado si quieres copiar Natalia si quieres copiar la
función bueno, como lo voy a hacer yo en enlazerado no importa mucho bien
vuelvo a poner la pizarra y ya está vale esto lo paso al siguiente vale
vamos a hacer este ejercicio e incluso ya te digo vamos a hacer algunas
cosas más vale me da una función de producción que es i i es una
función de k y de l y me dice que es 10 por l elevado a un medio y por k
elevado a un medio vale, esa es mi función de producción en el caso de
los factores productivos dice el coste por unidad de trabajo que
normalmente le llamamos w es 20 y el coste por unidad de capital que
normalmente le llamamos r es 80 vale, bueno, pues me pregunta ¿cuál es el
coste total de producir 100 unidades? a largo plazo o si, ¿por qué?
porque todos los factores son variables tendría que haberme dicho ¿coste
total a largo plazo? no, eso sobraría no sería necesario que me lo dijera
si me dijera sabiendo que el capital que utilizamos es 10 unidades ¿cuál
es la función de coste total? ahí ya sé con seguridad que estoy en el
corto plazo ¿por qué? porque me están diciendo que k tiene un valor
completo o al revés sabiendo que l es igual a 10 unidades de trabajo
calcula el coste total de producir 100 unidades de agua es que ya sé que
estoy en el corto plazo y en este caso el único factor variable sería el
capital vale, bien pues lo primero que tengo que hacer o lo primero que
tengo claro es que lo que quiero es minimizar w por l más r por k estoy
haciéndolo como si fuera teórico vale, después lo sustituyo y eso tiene
que estar sujeto a ¿a qué? a la función de producción a que i es igual
a 100 l elevado a un medio por k elevado a un medio o si preferís voy a
borrar esto de doble y esta r y voy a sustituirlas por sus valores
respectivos ¿quién es w? 20 ¿quién es r? 80 este es el problema al que
se enfrenta este productor ya sé que la condición de primer orden o ya
sé si preferís que la senda de expansión es lo mismo que esa condición
de primer orden se obtiene cuando cuando la productividad marginal de l
entre la productividad marginal de k es igual al precio de l 20 entre el
precio de k 80 ¿y qué son las productividades marginales? paso a la
siguiente hoja la productividad marginal de l es igual a trabajo, no es ni
más ni menos que la derivada de la reducción i respecto a l. Es decir, me
voy a coger esa función y voy a derivar respecto a ello. Es una contadera,
siempre se deriva igual. Vale, la voy a hacer yo, pero deberíais hacerla
vosotros, saber hacer esta derivada. La derivada del 10e elevado a 1 medio
por k elevado a 1 medio es lo mismo que la derivada de l elevado a 1 medio
por la constante 10 por k elevado a 1 medio. ¿Por qué? Porque si derivo
respecto a l, k es constante. Entonces esto es 10 por 1 medio, o sea 5 por
l elevado a 1 medio menos 1, es decir menos 1 medio por k elevado a 1
medio. Eso es la derivada de i respecto a l. 5 por l elevado a menos 1
medio por k elevado a 1 medio. Natalia, ¿lo ves? Vale, genial. Y ahora, la
productividad marginal del capital pues no es ni más ni menos que la
derivada de i respecto a k. Y en este caso ahora la l es una constante,
entonces ¿cuánto vale la derivada de 10 l elevado a 1 medio por k elevado
a 1 medio? Pues lo mismo, 10 por 1 medio, 5 por l elevado a 1 medio y por k
elevado a 1 medio menos 1. Pues ahora voy a calcular el cociente, la
productividad marginal de l entre la productividad marginal de k pues nada,
voy aquí y digo 5 por l elevado a menos 1 medio y por k elevado a 1 medio
5 por l elevado a 1 medio y por k elevado a menos 1 medio. El 5 y el 5 se
me van. El l elevado a 1 medio pasa para abajo y el k elevado a menos 1
medio pasa para arriba, es decir, que al final esto es k elevado a 1 medio
por k elevado a 1 medio, que no es más que un menos de k, entre l elevado
a 1 medio por l elevado a 1 medio, que no es más que un menos de l es
decir, esto es k partido de l. ¿Vale? ¿Y qué tenía que cumplirse? Que
la productividad marginal de l entre la productividad marginal de k tenía
que ser igual a w partido de r, es decir, ya no me acuerdo, k partido de l
tenía que ser igual a w que si no me equivoco era 20 dividido entre 80,
que es la de k. O sea, que k si lo despejo, es igual a un cuarto, ¿no? 20
entre 2, o sea, 0, 0, 9, 2 octavos es lo mismo que un cuarto l. ¿Esto qué
es? Pues la escena de expansión. Vale. Llegamos a la otra. Vale. Una
característica. La escena de expansión siempre es una línea recta cuando
hay rendimientos a escala constantes. Y mirad, ¿a qué hay rendimientos a
escala constantes? Porque si sumáis la potencia de k y la potencia de l
bueno, a lo vez no importa, la potencia de l y la potencia de k esto es un
medio más un medio es 1. Si estos dos números sumaron un número mayor
que 1 habría rendimientos a escala crecientes. Y si estos dos números
sumaran menos que 1 habría rendimientos a escala decrecientes. Es decir,
esta función de producción tiene rendimientos a escala constantes. Vale.
Por eso la escena de expansión es una línea recta. k igual a un número
por l. Vale. Eso es la escena de expansión. Vale. Y ahora, como sé que k
es igual al cuarto de l y también se había que x era igual que x, bueno,
perdón, y era igual a 10 por l elevado a un medio y por k elevado a un
medio perdón, x no. Y era igual a 10 por l elevado a un medio y por k
elevado a un medio lo que voy a hacer es me cojo esta k y la sustituyo
aquí. ¿Y qué me queda? El i es igual a 10 por l elevado a un medio y por
k es un cuarto de l todo esto elevado a un medio pero un cuarto de l,
bueno, un cuarto elevado a un medio es un medio el cuarto es 2 10 entre 2
es 5 el elevado a un medio por el elevado a un medio es una sola l. Es
decir que l en función de i es espejo l, un quinto de i y k en función de
i ¿A quién es igual? Pues un cuarto de l un veinteavo de i Ya tengo l en
función de i y k en función de i ¿Cómo calculo la función de costes?
Bueno voy a intentar memorizar esto un quinto de un veinteavo La función
de coste total que solo dependerá de i es igual a w, vaya a lo mejor r 80
por k nada, yo quería un veinteavo más w, 20 si no me equivoco por un
quinto ¿Sí? Acordaos que esto era k esto era r esto era w y esto era l
Bueno, nada, ya lo he operado aquí un poquito ¿Y esto qué es? 80 entre
20 40i y 20 entre 5, si no me equivoco, 4i 40 más 4, 44i Esta es la
función de coste total a largo plan Y ahora me preguntan ¿Cuál es el
coste total cuando x bueno, cuando i mejor dicho es igual a 100? Pues nada,
pero el coste total de producir 100 unidades 100, ¿no? Pues sería 44 por
100 4400 Vale Ahí te lo he dicho Disculpad 80 entre 20 40 más Dios mío
No, no, aquí están los calculadores 80 entre 20, 4 si no me equivoco,
¿no? Y 20 entre 5 4, vale Es que no lo había hecho Si lo hubiera hecho ya
me habría dado cuenta que no estaba bien 4i más 4i, 8i Vale, pues ahora
sí Ahora borro esto Borro esto Bueno Coste total de 100 8 por 100 A ver si
hay 800 Como no lo vayan, bueno sí, 800 De todos modos cada uno revisad
que no haya no me haya equivocado yo en las operaciones Que ya os digo que
yo me equivoco Vale, 800 Por tanto el apartado D Ahora lo que Las
cantidades de trabajo en capital que minimizan el coste al alto plazo de
producir 140 unidades Mirad, mirad aquí Sustituís por 140 y calculáis
cuánto vale k para i igual a 140 Como sé que k era un 20 algo de i Pues
yo no me acuerdo hacer esta operación Pero bueno Supongo que 140 entre 20
es 7 Hay un 7 Hay un 7, eso es muy bien ¿Y quién es n? Pues n de i igual
a 140 Pues nada, sería 1 quinto de 140 ¿Y cuánto vale 140 entre 5? Pues
vamos a ver 140 entre 5 100 entre 5 son 20 28 Si no me equivoco 6 Siempre
te lo había hecho bien Un 20 algo, un quinto Ah sí, un 28 Creo que está
bien Comprobarlo vosotros Es decir, que k es igual a 7 y n igual a 28 Eso
me lo da el apartado A Ojito, que el apartado D es igual pero al revés n
igual a 7 ¿l igual a 7? No, él es igual a 28 Y k es lo que es 7 Y l 28
Bueno, pues veis que no es nada difícil este tipo de ejercicios ¿Cómo se
calculan las funciones de costes? Siempre así Siempre Es que quería
haceros más cosas en este ejercicio tal y como os dije, pero básicamente
era lo de los rendimientos a escala y ya os lo dije Ah, ¿cómo se
calcularían los rendimientos a escala? Imaginaros que no fuera tan fácil
Vale, imaginaros que tengo una función de producción inventada, o sea,
una genética Yo quiero saber si una función i que es una función de l
tiene rendimientos a escala Quiero saberlo Vale, para saber si tiene
rendimientos a escala tengo que comprobar cuánto vale f de t por l t por k
Y si yo puedo sacar factor común a la t y elevarla a un número m por f de
l k ya puedo asegurar Pues sí, sólo sí Ya puedo asegurar que f tiene
rendimientos a escala Y todo depende de quién sea esa n Si m es mayor que
1 son crecientes Si m es igual a 1 son constantes Y si m es menor que 1 son
decrecientes Vale Es decir que si yo tengo una función de producción i
igual a 7l más 4k y quiero saber si esta función de producción tiene
rendimientos a escala y de qué grado sólo tengo que hacer quién es el f
de t por l t por k T es cualquier número o sustituyo Es decir donde haya i
en la función perdón, donde haya l tengo que poner t por l y donde haya k
tengo que poner t por k Vale, esto es lo que tengo que hacer ¿Por qué?
Porque la función ahora depende de las variables tl tk 7 por l pero esto
ahora no es l, es tl Si la l estuviera elevada a un número pues sería tl
entero elevado a ese número Más 4 por k pero esto ahora es t por k Vale,
7tl más 4tk ¿Puedo sacar factor como un t? Sí ¿Qué me queda? 7l más
4k ¿Pero esto quién es? Es que esto es f de lk ¿Lo veis? y f de lk
¿Vale? Entonces esto qué es? t por f de lk Puedo asegurar entonces que
esta función f presenta rendimientos a escala constantes ¿Por qué?
Porque t está elevado a 1 ¿Vale? Esta otra función igual a f de lk l
elevado a 1 medio por k elevado a 3 medios Por ejemplo Voy a ver quién es
f de t por l t por k Es decir, donde haya l debo poner t por l y donde haya
k debo poner t por k Vale, es l, pero l ahora es t por l elevado a 1 medio
por k, pero k ahora es t por k elevado a 3 medios Opero Esto es t elevado a
1 medio por l elevado a 1 medio por t elevado a 3 medios y por k por k
elevado a 3 medios Opero un poquito La t Y la t es la misma base ¿Qué se
hace con los exponentes? Se suman t elevado a 1 medio más 3 medios se
suman 4 medios por l elevado a 1 medio por k elevado a 3 medios Es decir,
que esto es t al cuadrado por l elevado a 1 medio y por k elevado a 3
medios Pero es que esto es f de lk ¿Lo veis aquí? Eso significa que esto
es t al cuadrado por f de lk Pero esto es la condición necesaria y
suficiente para asegurar que f presenta rendimientos rendimientos a escala
¿De qué grado? Como este número La potencia está elevado a un número
mayor que 1 a escala creciente o escala creciente Si este número fuera
elevado a 0,5 o 0,6 o 0,7 un medio, un cuarto, algo así estaríamos ante
rendimientos a escala pero de crecientes Esto es una cop de hablas Las cop
de hablas todas tienen rendimientos a escala Si la suma de los exponentes
de l y de k es mayor que 1 a escala creciente Si la suma de los exponentes