Bueno, pues buenas tardes. Vamos a empezar una nueva sesión de bases
físicas y vamos a trabajar hoy movimiento vibratorio, oscilaciones. ¿De
acuerdo? Ahí estamos relacionados con el tema de ondas y veremos un
poquito también, vamos a tener archivos compartidos y nos servirá un poco
también para ir avanzando. ¿De acuerdo? Bueno, algunas definiciones
interesantes. Un movimiento periódico sabemos que es aquel que cada cierto
tiempo se repite, ¿no? Por ejemplo, el movimiento titular de forma, el
movimiento de las aetas del reloj, ¿no? El movimiento planetario, ¿vale?
Un movimiento oscilatorio o vibratorio es aquel que el móvil realiza
movimientos de vaivén, ¿eh? Sobre la misma tarjeta. En los ejemplos más
típicos es el movimiento oscilatorio, ¿no? De un resorte, ¿no? Y
también tenemos un cuerpo de un péndulo, ¿no? Un péndulo que puede
oscilar. Normalmente se dice que el péndulo oscila y que el muelle vibra,
¿no? Pero bueno. Período. ¿Qué es el periódo? Es el tiempo que tarda
en repetirse una posición determinada. Es decir, es el tiempo que invierte
el péndulo o el móvil. O el resorte en realizar una oscilación completa.
Una oscilación completa o una vibración completa. ¿Qué quiere decir
eso? Volver a la misma posición inicial, al mismo estado inicial, con la
misma velocidad, la misma posición, ¿vale? Posición y velocidad, ¿de
acuerdo? Y la frecuencia. La frecuencia es la inversa del periodo. La
frecuencia es la inversa del periodo y es el número de oscilaciones por
unidad de tiempo. F es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. La
frecuencia. Las unidades de la frecuencia es segundos a la menos uno. Pero
después tendremos la frecuencia angular, omega, que es dos pi por F, ¿no?
Que serían radianes por segundo o simplemente si le llamamos frecuencia
angular, segundos a la menos uno. Pero, ojo, que la frecuencia angular
sería dos pi F, ¿vale? Bueno, ¿por qué tiene lugar un movimiento
oscilatorio? Bueno, porque tenemos estados de equilibrio y cuando tenemos
un estado de equilibrio estable, pues nosotros separamos el objeto de esa
situación de equilibrio estable, tiende a recuperar esa posición de
equilibrio estable. ¿Cómo? Pues realizando movimientos oscilatorios a la
velocidad. Entonces, de los tres casos que tenéis aquí, el dibujo,
evidentemente, el caso central de equilibrio estable nos generaría este
movimiento oscilatorio. Si se carece de fuerzas disipativas y hay en
ausencia de fuerzas de rotamiento, decimos que las oscilaciones son libres
y el sistema oscilaría libremente indefinidamente. Sabemos que eso no es
cierto y que la realidad... En realidad, siempre hay alguna fuerza
disipativa, alguna fuerza de rotamiento y esto hace que con el tiempo la
partícula vuelva siempre a su estado de equilibrio. No obstante,
normalmente, muchas veces se estudian ejercicios, planteamientos donde
mientras se está oscilando se pueda considerar que el sistema oscila
libremente en fuerzas disipativas. Veremos en algún caso, ¿no?, los dos
casos. Bueno, cuando decimos que un movimiento es armónico, bueno, un
movimiento armónico, ¿no? Bueno, cuando una partícula, como veis aquí,
es el caso de un resorte del que prende un cuerpo, ¿no?, oscila bajo la
acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia, a
la posición de equilibrio, ojo, aquí lo tenéis, f igual a menos k por x,
entonces, diremos que la partícula tiene un movimiento armónico simple.
Un movimiento simple. Oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras. Esta
fuerza restauradora que podemos, que sería la ley de Hooke. Buenas tardes,
no te he dicho nada, Luisa. Muy bien, entonces, un oscilador armónico es
cualquier partícula que tiene un movimiento armónico simple, ¿eh?
Cualquier partícula que tiene un movimiento armónico simple sería un
oscilador, ¿vale? Bueno, si queremos sacar la ecuación del movimiento,
bueno, esa partícula, si aplicamos el segundo de Newton, la única fuerza
que actúa sobre la partícula es la fuerza restauradora, ¿no?, menos k
por x, esto es igual a la masa por la aceleración. Si ordenamos un poquito
los términos, ¿no?, y el cociente k partido por m, ¿no?, lo llamo omega
cuadrado, por lo tanto, omega sería la raíz cuadrada de k partido por m.
¿Qué le llamamos pulsación angular? ¿Vale? Pensemos que esta fuerza
restauradora siempre va dirigida hacia la posición de equilibrio y tiende
a que la partícula siempre vaya hacia la posición de equilibrio, ¿de
acuerdo? Bien, esto es una ecuación diferencial, ¿no?, y se puede
demostrar que la solución de esta ecuación diferencial puede ser tanto
como esta función seno como esta función coseno. La única diferencia que
habría al tomar una o otra ecuación es la delta. Esta fase inicial. Esta
delta sería diferente en el caso de que sea una función seno y coseno, y
que normalmente esta delta depende de las condiciones iniciales, es decir,
donde empieza a oscilar el sistema, en el extremo, en la posición de
equilibrio, hacia la derecha, hacia la izquierda, ¿vale? x, que se llama
también elongación, es la distancia a la posición de equilibrio. A es la
máxima elongación, representa el máximo o mínimo valor posible de
elongación, ¿vale? Digo mínimo si lo tomamos por negativo, ¿no?, pero
el valor absoluto sería el máximo, ¿eh?, se puede llamar elongación
máxima o amplitud, la amplitud del movimiento. Y la frecuencia angular, la
frecuencia angular, ¿no?, es dos pipas, yo puedo escribirlo dos pipoletas,
lo hemos comentado antes, ¿vale? Lo que tenemos dentro del paréntesis
omega t más delta, omega t más delta, omega t más delta, omega t más
delta, es lo que se llama la fase del movimiento, ¿vale?, la fase del
movimiento. Y la delta es lo que se llama la fase inicial, la fase inicial.
¿Y cómo se puede calcular esta delta? Lo hemos comentado antes, a partir
de condiciones iniciales. Por ejemplo, si sé la posición inicial para
tiempo cero, x sub cero es igual a a seno de delta, coseno de delta es todo
esto, y delta será igual al arco cuyo seno valga... x sub cero partido por
a. Y hay una forma de obtenerlo. Bien, ¿cómo se puede describir la
situación del movimiento? Bueno, pues depende dónde empieza el
movimiento. Si resulta que empieza en un extremo, ¿no?, si para tiempo
cero x es igual a a, pues con la función coseno la tenemos muy sencillita,
porque la función coseno sería x a coseno de omega t, porque para tiempo
cero el coseno es uno y x es igual a a, ¿no? Y esta ecuación nos da
perfectamente esto. Si inicialmente estuviésemos en x igual a menos a, por
ejemplo, con la función coseno, la delta no podría ser cero, tendría que
ser pi. ¿Por qué? Porque para tiempo cero, cero más pi es pi, coseno de
pi es menos uno, ¿no?, y me daría efectivamente para tiempo cero la x me
daría menos a, ¿no?, por esta ecuación. Y lo hago con la función
coseno. Todo esto no es más que, a ver, poner tiempo cero si es a a y
despejar la delta, ¿no?, al coseno, al dos coseno, aquí con x menos a, es
decir, dependerá en cada caso, ¿no? Y después también puede ser que
esté en la posición de equilibrio y que se dirija hacia la derecha o
hacia la izquierda, ¿no? Tenemos distintas ejercicios por ahí para ir
practicando en este sentido, ¿vale? Bueno, aquí por ejemplo cuando la
partícula se está desplazando hacia la derecha o está en el extremo de
la derecha, mejor dicho, la velocidad es cero. La velocidad siempre va a
ser cero en los extremos, ¿no?, y la fuerza va hacia la izquierda, luego
la federación es negativa. ¿Qué pasa en la posición de equilibrio? En
la posición de equilibrio tenemos la máxima velocidad, ¿vale?, la
máxima velocidad. Hacia la izquierda es negativa y hacia la derecha
positiva. Y en el extremo de la izquierda vuelve a pararse la partícula y
la federación es positiva, ¿no? La velocidad de un unidad armónico
simple, que es la derivada de la posición respecto del tiempo, también
varía de una manera armónica, ¿eh? Fijaos, ¿vale? En función de la
posición, esa velocidad, hay esa ecuación que se puede deducir, que es
muy útil, ¿no?, y que nos permite a determinar la velocidad en función
de la alongación. Claro, esta ecuación nos ayudaría bastante, ¿no?,
para determinar qué va el diálogo, o sea, en cualquier punto de nuestro
movimiento. Y fijaos que como para x igual a o x igual a menos a, la
velocidad es nula, la velocidad es nula. Así que para x igual a cero, para
x igual a cero, la velocidad es máxima, la velocidad es máxima, esa
promedio. Y la aceleración, ¿no? La aceleración es la derivada de la
velocidad con respecto del tiempo, ¿vale? Y veríamos que como es a seno
de omega t, también se puede expresar como menos omega al cuadrado por x.
Si andamos a un valor máximo, el valor absoluto es omega al cuadrado por
a, ¿vale? Bien, vamos a ver un poquito, bueno, aquí tenéis una gráfica,
posición, tiempo, velocidad, tiempo y aceleración-tiempo. Fijaos que la
posición y la velocidad están desplazados 90 grados, ¿no?, con uno es
cero y el otro es máximo y viceversa. Y la aceleración y la posición,
solo la diferencia no es que estén en fase, es que tienen seno contrario.
Cuando una es positiva, la otra es negativa, pero en los mismos instantes
que es cero, la posición y la aceleración también es cero, ¿vale?
Fijaos. Fijaos que la posición y la aceleración tienen el signo cambiado,
¿vale? Bien, me gustaría, voy a pasar a la pizarra porque os voy a
explicar un detalle. Bien, tanto si yo tengo un movimiento armónico simple
en el segmento sobre el eje x o sobre el eje y, lo que voy a contar es
válido para ambos, ¿no? Fijaos, aquí tenemos x, aquí vale menos a, esto
vale menos a, esto vale cero, esto vale más a. Son los extremos, el valor
de la orientación máxima. La velocidad es nula en los extremos y es
máxima en la posición de equilibrio. La aceleración es nula en la
posición de equilibrio y aquí sería más o menos cuadrado por a hacia la
derecha y menos o menos cuadrado por a, que es el periodo, el tiempo que
tardaría una partícula en volver a su posición inicial. Si la
partícula, por ejemplo, empieza a usarse a estirar o a vibrar desde la
posición de equilibrio, iríamos para aquí, iríamos para acá y
volveríamos. Todo esto sería el periodo, c mayúsculo. Ahora bien, ir de
la posición de equilibrio a un extremo, ¿qué sería esto? Un cuarto del
periodo. Ir de un extremo al otro extremo sería la mitad del periodo. El
otro extremo a la posición de equilibrio sería un cuarto del periodo. De
manera que si sumamos esos tres tiempos, nos saldrá el periodo. Siempre se
va a cumplir esto, del centro a un extremo, c cuartos, o de un extremo al
centro. Ir de un extremo al otro extremo, el anterior periodo. Pero ojo,
alguien podría pensar que ir de cero a a medios podría ser t octavos. Y
eso no es así. Y eso no es así. Solo se cumple cuando vamos del centro a
un extremo, y de un extremo al otro extremo, etc. Cuando vamos del centro a
un punto, a la mitad, ¿no? De hecho, podríamos razonar y pensar un
poquito. Mirad. Si, por ejemplo, el periodo fuese, ah, no sé. O... Si el
periodo fuese ocho segundos, ¿no? Ocho segundos, estaría de acuerdo
conmigo que ir del centro a un extremo serían dos segundos, ¿no? Si t son
ocho segundos, t cuartos serían dos segundos. Y yo os pregunto, ¿el
espacio recorrido en el tercero, de cero a un segundo, sería el mismo de
ir de uno a dos? Es decir... Realmente, ¿aquí sería estar a un segundo y
después de un segundo a dos sería aquí, justo la mitad? No. ¿Por qué
no? Porque cuando la partícula está en la posición de equilibrio tiene
la velocidad máxima. Esto no es un movimiento uniformemente acelerado o
desacelerado. No. La aceleración no es constante. Depende de X. Entonces,
de cero a un segundo, como parte de la velocidad máxima, y va disminuyendo
esa velocidad, va reduciendo esa velocidad, va a recorrer más espacio que
de uno a dos segundos, aunque cuando llegue a dos segundos estará en el
extremo de la derecha. Es decir, el espacio recorrido de cero a un segundo
será mayor que el espacio recorrido de uno a dos segundos, porque tiene
mayor velocidad inicial. De hecho, podríamos calcular qué tiempo
tardaría en pasar de cero a A medio, si queréis. Rápidamente. Si yo, por
ejemplo, tengo una función I igual a coseno de omega t, voy a poner
coseno, voy a ponerlo con el seno, ¿vale? Porque si lo hago con el seno
sería que inicialmente A seno de omega t, de manera que para t igual a
cero, seno de cero es cero, la I es cero. Ahora bien. ¿Para qué tiempo?
La I sería A medios. Pues iría A medios, que es igual a A por el seno de
omega t. Esto me quedaría un medio igual a seno de omega t. ¿Para qué
ángulo el seno vale un medio? Para treinta grados, pi sextos. Pi sextos es
igual a omega que es dos pi, partido por el periodo y por t. Luego el
tiempo sería el periodo partido por doce. Es decir, c doceavos sería el
tiempo que tardaría en pasar de cero a A medios. Y de A medios, A, pues
iría t cuartos, ¿no? Sería t cuartos menos c doceavos. ¿Veis que sería
más tiempo, no? Para pasar de cero a A medios. ¿Y cuál es la segunda
parte? De A medios a t sería t cuartos menos t doceavos. Esto sería tres,
tres, dos doceavos, un sexto. Es decir, t doceavos para pasar de cero a A
medios y de A medios a t sextos. ¿Veis cómo no es constante, no? Bueno,
esto era lo que os quería comentar. Entre estas cosillas es bueno
razonarlos un poquito. Así que... Seguimos. Voy a volver. Bueno. La
pulsación angular, lo hemos dicho antes, la frecuencia angular, es raíz
cuadrada de k partido por m, ¿no? Y a partir de aquí podríamos despejar
el periodo y tendríamos el periodo de un oscilador armónico. Que vemos
que depende de la masa y de la constante restauradora, pero que es
independiente de la amplitud. Si nos interesa ponerlo por dentro de la
frecuencia, vamos a ponerlo por dentro de la frecuencia. La verdad es que
es muy cómodo aprenderse la fórmula como k igual a m omega al cuadrado y
despejar lo que corresponde en cada momento. Mucha gente también se lo
aprende de esta manera, ¿eh? t igual a dos pi raíz cuadrada de m partido
por k. Cuidado con aprenderse estas fórmulas de memoria, que después si
la memoria nos falla y no le ponemos m partido por k, ponemos k partido por
m. Esto ya lo hemos liado, ¿eh? Bueno. Cuidado. Bueno, ¿qué pasa si
nosotros tenemos un oscilador que oscila verticalmente o horizontalmente?
Bueno, yo creo, antes de contarnos la palabra de la energía potencial,
¿no?, voy a comentaros un detalle más también. Bueno. El movimiento de
un resorte, tanto si se mueve horizontalmente como verticalmente, las
ecuaciones que hemos visto son las mismas. Pero, ¿qué ocurre cuando a un
resorte le pasa algo? Cuando le colgamos un cuerpo, pues se alargará una
distancia, ¿no? Pero... Perdona. Un momentito. A ver. Vamos. Si nosotros
colgamos un cuerpo de un resorte, bueno, inicialmente, ¿qué es lo que
pasa? ¿Qué le pasa a este resorte cuando le colgamos un cuerpo? ¿No? Que
va a alcanzar una posición de equilibrio, ¿no? ¿Y cuál es la posición
de equilibrio? Pensemos. Vamos a ver. Bueno, esto es el peso y esto es la
fuerza restauradora, ¿no? mg es igual a k por el incremento de x. De
manera que lo que se alarga al resorte es mg partido por k. Pero, ¿qué
distancia total se va a alargar el resorte? ¿Qué distancia total? ¿Qué
distancia total se va a alargar el resorte cuando yo cojo un resorte y le
cuelgo una masa? Bueno, esta sería la posición de equilibrio. Pero,
¿qué hace el sistema? Empezará a oscilar. ¿Y cuál es la máxima
longitud que alcanza? Bueno, pues voy a llamar esta distancia L, la que
baja con respecto de la posición de equilibrio, y vamos a intentar
determinarla. Esta distancia, ¿vale? Esta distancia. Entonces, ¿cómo lo
vamos a hacer? Aplicando conservación de la energía. Voy a tomar origen
de... Esta sería... A ver si me seguís. Esta sería la posición de
equilibrio, ¿no? Y este sería el origen de alturas. Esto sería h0, ¿no?
Y esta sería la posición de equilibrio. Y aquí tendríamos... Toda esta
distancia sería L más incremento de X. ¿Vale? Entonces, ¿qué energía
tenemos inicialmente? Potencial gravitatoria del cuerpo. ¿Cuál sería
esta energía potencial? MgL más incremento de X. ¿Y en qué se va a
transformar? En energía potencial elástica. Aquí abajo. Sería 1 medio
de K de incremento de X más L. M al cuadrado. Toda la energía potencial
gravitatoria que tiene el cuerpo, porque el muelle no tiene ninguna
energía potencial elástica porque no está ni estirado ni comprimido, se
transformará en energía potencial elástica del muelle. Operando, ¿no?
Aquí se puede ir simplificando. Tenemos que 2mg es igual a K incremento de
X más L. ¿Vale? 2mg. Mg partido por K es igual a incremento de X más L.
Luego, L es igual a 2mg partido por K menos incremento de X. Es que mg
partido por K es incremento de X. Pues 2 incremento de X menos incremento
de X es incremento de X. ¿Qué nos está diciendo esto? A veces ha ido en
alguna prueba, ¿no? Que cuando formamos un cuerpo, un cuerpo de un
resorte, llega al extremo inferior es 2 veces la distancia que se alarga el
muelle o mejor dicho, es el doble de la distancia a la posición de
equilibrio. O es decir, es el primer tramo, el primer trozo es incremento
de X y llegaría hasta 2 veces incremento de X. ¿Vale? Porque la longitud,
¿no? Que se alarga el resorte sería L más incremento de X. 2 veces
incremento de X. Entonces el sistema empezaría a oscilar con una amplitud
de incremento de X. ¿No? Siendo la posición de equilibrio esa distancia
es incremento de X. Subiría incremento de X por arriba e incremento de X
por abajo. No sé si me explico. El hecho de hasta dónde llegaría el
resorte al colgarle este cuerpo. Alguien podría pensar que llegaría a la
posición de equilibrio. No, no, no. Tú colgas un cuerpo y es que lo
sueltas y llegará, cuando deje de oscilar, se quedará en la posición de
equilibrio. La posición central, aquí. Por la fricción. Pero
inicialmente llegará al extremo, subirá, etc. Y oscilará
periódicamente. Bueno, qué importante la energía. El resorte tendrá una
energía potencial elástica. Lo hemos visto ya un poquito en algún
problema, ¿no? Y es importante que sepamos que la energía potencial
elástica de un resorte es un medio de K por X cuadrado. Y que tiene los
valores máximos en los extremos. En los extremos tenemos el máximo valor
de la energía potencial. Y en la posición de equilibrio es nula la
energía potencial elástica. Siendo nula la velocidad en los extremos. Y
máxima la velocidad en la posición de equilibrio. Donde es nula la
energía potencial. Bueno. Aquí tenéis la expresión de la energía
cinética. ¿Veis? Es que nos tenemos que dar cuenta que la energía
mecánica es suma de energía cinética más energía potencial. Y esto es
igual a la energía potencial máxima y es igual a la energía cinética
máxima. Porque en los puntos de máxima energía potencial es nula la
energía cinética y viceversa. ¿Y qué es la energía potencial máxima?
Es un medio de K por A cuadrado. ¿Y qué es la energía cinética máxima?
Es un medio de la masa por la velocidad máxima al cuadrado. Un medio de la
masa por A cuadrado por M al cuadrado. ¿Vale? Esta sería la energía
cinética máxima. Pero daos cuenta de un detalle. Daos cuenta de un
detalle. Que M omega al cuadrado es K. Y por lo tanto esto es igual
también a un medio de K por A cuadrado. Y sería la misma expresión
porque estamos aplicando que la K es M omega al cuadrado. Ahora bien,
nosotros podemos determinar la energía cinética o la energía potencial
no en cualquier punto. ¿Cómo? Sabemos que la energía mecánica es suma
de cinética más potencial. La energía potencial es un medio de K por A
cuadrado. Y la energía mecánica se puede expresar como un medio de K por
A cuadrado. Lo podemos dejar en función de X o en función de V.
Dependerá como nos guste. Bueno, la energía mecánica ya hemos dicho lo
que es. Fijaos en las dos curvas que tenéis aquí. La energía potencial
en rojo. La energía cinética en azul. La suma de las dos me da la
energía mecánica que es constante. ¿No? Si no hay fuerzas disipativas
esta energía mecánica es constante y es proporcional al cuadrado de la
amplitud. ¿Vale? Aquí tenéis cómo varía por ejemplo, la posición de
la energía cinética y la energía potencial. Daos cuenta que cuando la
posición es máxima es igual a la amplitud la energía potencial es
máxima y la energía cinética nula. La energía cinética nula. ¿Vale? Y
viceversa. Cuando la posición es nula la energía potencial es nula y la
energía cinética es máxima. Daos cuenta. Estos puntos. Esta gráfica es
muy ilustrativa al respecto. Fijaos aquí. Punto de máxima elongación
energía potencial máxima energía cinética nula. Punto de nula
elongación energía potencial nula energía cinética máxima. ¿Vale?
Cada cuarto de periodo pasamos por estos valores máximos y mínimos.
Bueno, el molinito armónico simple también se puede representar como una
proyección de un molinito circular según uno de sus diámetros. Aquí
tenéis un poquito esta representación ¿no? Y al final son las mismas
situaciones en las que hemos visto hasta ahora. Os quedaría por comentar
un poco el movimiento de un péndulo. ¿No? Un péndulo simple puede
considerarse como un oscilador ¿no? Sólo para pequeñas amplitudes y
pequeñas amplitudes se puede demostrar si lo tenéis en unos apuntes del
pico docente para ángulos menores de 30 grados. Para ángulos menores de
30 grados se puede considerar pequeñas amplitudes y considerar que la
aceleración es proporcional a la distancia de la posición. Aquí
tendríamos ¿no? Esta relación entre la frecuencia angular y en este caso
la g y la l ¿no? A partir de esta ecuación porque la fuerza que genera el
movimiento es mg seno del ángulo ¿vale? Lo que pasa es que para pequeños
ángulos ¿no? El seno se confunde con el mismo ángulo y se puede poner z
directamente seno de z igual a 30 grados por el ángulo en varianes ¿no? Y
a partir de aquí pues esta es la relación que me he acordado que es l
¿no? Y la ecuación la ecuación del ángulo en función del ángulo
máximo ¿no? Que tanto puede ser seno por seno como hemos visto
previamente Simplemente decir que para pequeñas oscilaciones este ángulo
es igual a x partido por l ¿por qué? Porque la longitud del arco es igual
al radio por el ángulo de los varianes Bueno Entonces se puede expresar
que x es el ángulo multiplicado por l o si queréis la amplitud es el
ángulo multiplicado por l Y entonces nos quedaría la ecuación que ya
conocéis ¿no? x igual a seno o coseno Pero ojo lo que cambia es el
periodo Si antes el periodo era 2pi raíz cuadrada de m partido por k ahora
operando ¿no? Pues queda que el periodo no depende de la masa ¿eh? Sin
embargo un resorte sí que depende de la masa ¿vale? Que dependía de la
constante elástica Aquí depende de la gravedad Pero en ambos casos no
depende de la amplitud del periodo El periodo no depende de la amplitud ni
en un péndulo ni en un resorte ¿de acuerdo? Bien Vamos a hablar un poco
de oscilaciones forzadas ¿no? Que amortiguadas ¿vale? Muy brevemente un
oscilador amortiguado ¿no? ¿Qué es esto de un oscilador amortiguado?
Pues cuando está sometido a una fuerza ¿no? Una fuerza disipativa ¿no?
Una fuerza disipativa ¿dónde está la fuerza disipativa? ¿vale? Es v por
v uv es la velocidad ¿no? un parámetro que depende ¿no? Es una constante
de proporcionalidad de la fuerza de rozamiento ¿no? La m si la m pasa
dividiendo ojo nosotros ahora definimos una serie de parámetros gamma que
es v partido por m ¿no? Ya lo conocíamos Y la omega sub 0 que es la
frecuencia natural que es k partido por m Entonces se puede demostrar que
la ecuación de este movimiento es de este tipo x igual a a elevado a menos
gamma medios por t por coseno de omega c más delta siendo la omega esta
expresión Bien Esto quiere decir que la frecuencia la frecuencia que está
oscilando no es menor ¿no? Es bien determinada por este coeficiente
¿vale? Por este gamma La frecuencia natural del oscilador sería raíz
cuadrada de k partido por m ¿no? Y vemos que la frecuencia de la
oscilación sería menor Y como vemos también que la amplitud decae con el
tiempo ¿eh? Y oscila con una frecuencia ligeramente menor para la natural
Si la amplitud decae con el tiempo va a decaer con el tiempo Recordemos que
la energía la energía de un movimiento es proporcional al cuadrado de la
amplitud ¿no? Os acordáis que hemos visto que era igual era dependía del
cuadrado de la amplitud Entonces el decaimiento ¿no? La energía si yo
calculo cuál es la variación de energía en un periodo la energía un
tiempo T más más un periodo partido de la energía inicial ¿no? Ojo
sería a ver elevado a menos gamma T más T partido elevado a menos gamma T
y me quedaría esta expresión ¿no? ¿vale? Gamma puedo ponerlo en
función de omega sub cero y después definir lo tenéis en el libro lo que
se llama el factor de calidad ¿no? que es omega sub cero partido por gamma
omega sub cero partido por gamma donde gamma este es el factor de
amortiguamiento gamma es B partido por M si esta gamma es muy pequeña esto
se puede transformar en esta ecuación que nos dice que la variación
relativa a la energía ¿no? es 2T partido por el factor de calidad ¿qué
podemos decir? ojo a menor amortiguamiento gamma es el amortiguamiento
mayor factor de calidad Q es mayor y menor energía perdida por ciclo y
menor energía perdida por ciclo ¿vale? a menor gamma mayor Q y por lo
tanto este cociente será más pequeño y se pierde menos energía por
ciclo la energía depende del cuadrado de la amplitud la pérdida de
amplitud por ciclo es la mitad de la pérdida de energía nosotros hacemos
esta relación con la energía con la energía la energía es un medio de K
por A cuadrado ¿no? si nosotros hacemos el incremento o diferenciamos el
derivar esto sería 2 partido por 2 KA por incremento de A o diferencial de
A y entonces vemos que la pérdida relativa de la amplitud es la mitad de
la energía en cada ciclo ¿que pasa con un oscilador forzado o resonancia?
si además amortiguado el oscilador está sometido a una fuerza periódica
externa como vemos aquí en este caso ¿que va a pasar? pues que en el
estado transitorio el sistema llegará a oscilar ¿con qué? con la
frecuencia de la fuerza aplicada externa recordémoslo oscilará con la
frecuencia de la fuerza externa aplicada la frecuencia no va a ser la
inicial del oscilador no es la frecuencia de la fuerza externa ¿vale?
¿que pasa cuando estemos en resonancia? es cuando la frecuencia de
oscilación es igual a omega sub cero ¿vale? y entonces la amplitud será
f sub cero partido gamma al cuadrado y omega ¿vale? ¿y que es gamma? pues
será b partido por m entonces ¿de qué depende la amplitud de la omega no
de la frecuencia a mayor frecuencia menor amplitud en resonancia a menor
frecuencia mayor amplitud de resonancia ¿y que es gamma? gamma es b
partido por m ¿no? entonces a menor amortiguamiento ¿no? mayor amplitud a
mayor masa mayor amplitud aquí lo tenéis ¿no? pues podemos tener
amplitudes muy grandes ¿no? en el caso de resonancia ¿no? y lo hemos
dejado también en función del factor de calidad ¿no? es el caso de
resonancia ¿vale? delta y medios ¿no? omega sub cero igual a omega bueno
la anchura de la curva de resonancia ¿vale? a mayor factor de calidad a
mayor factor de calidad ¿no? menor anchura ¿eh? menor anchura lo vemos
¿no? es decir un factor de calidad grande hace que sea aguda ¿no? la
anchura de resonancia ¿vale? a mayor factor de calidad menos
amortiguamiento el oscilador almacena más energía por sitio una curva de
resonancia aguda más estrecha supone un mayor factor de calidad se va
amortiguando menos una curva de resonancia amplia supone un factor de
calidad menor un mayor amortiguamiento y se pierde más energía por sitio
bien vamos a ver aquí este tema hay varios archivos que os quiero abrir no
vamos a tener tiempo de verlos todos pero vamos a ver aquí hay este que
son actividades ¿no? que han ido saliendo que salieron justamente un año
en el 21 ¿eh? ese año que fue los exámenes singulares también que hay
unos ejercicios que yo creo que os puede ser interesante ¿no? permitirme
de todas formas que abra también otro archivo e iremos haciendo cositas
muy perdona un momentito a ver esta vamos a ir que son muchas hojas pero
bueno me he mezclado con ondas y oscilaciones pero bueno vamos a ir viendo
preguntas ¿vale? dice aquí si hay un oscilador armónico que se mueve con
una amplitud A ¿cuál es el desplazamiento cuando la velocidad es cero?
cuando la velocidad es cero es en los extremos ¿el desplazamiento cuál
será? pues evidentemente será X igual a y X igual a menos A ¿vale? las
dos son correctas venga a cualquier amplitud inicial el movimiento de un
péndulo simple es es un movimiento periódico y hay que saber que todos
los movimientos armónicos son periódicos ojo pensemos que sólo será
armónico para pequeñas oscilaciones ¿eh? ¿de acuerdo? vale esto es de
ondas ¿eh? eso entonces lo veremos más adelante aquí por ejemplo este
dice en un oscilador con procedimiento gamma el coeficiente de las
amplitudes de dos oscilaciones consecutivas ¿qué es? bueno pensad que que
la amplitud ¿cuál era la dependencia con la amplitud? era ¿cuál era el
decaimiento? así cero por elevado a menos gamma T medios entonces ¿no? en
dos periodos sucesivos se sería gamma T más T partido por dos y e elevado
a gamma T partido por dos por lo tanto esto sería e elevado a gamma T
medios ¿no? sería la B la solución ¿no? si fuese la energía sería la
A bueno no la A no porque no tiene tiene el 2 no no tiene ninguna que sirva
para la energía ¿eh? lo hemos visto antes bueno sea un movimiento
armónico simple ¿no? y nos dice cuál es la relación entre la velocidad
y la elongación bueno esto lo hemos visto antes en la fórmula cuidado
está en la relación que hay entre la velocidad y la elongación ¿eh?
esto de v igual a omega por x es de un movimiento circular ¿eh? esta
fórmula tampoco es imprescindible saberla pero bueno es útil para
calcular la velocidad en función de la elongación x también se puede
sacar por las energías la energía mecánica es un medio de k cuadrado es
la energía cinética un medio de mv cuadrado más la energía potencial un
medio de k x cuadrado ¿vale? y a partir de aquí también se podría
obtener una ecuación similar ¿eh? si lo hacéis una masa m oscila con una
amplitud a sujeta a un muelle de constante k cuando la energía cinética
del sistema es igual a la energía potencial elástica ¿qué vale la x?
bueno ¿qué quiere decir esto? que la energía cinética sea igual a la
energía potencial elástica ¿no? pues sabemos que la energía mecánica
es la energía cinética más la energía potencial es decir dos veces la
energía potencial elástica porque han de ser las mismas un medio de k a
cuadrado ha de ser igual a dos veces un medio de k por x cuadrado y a
partir de aquí podemos sacar la x y la x sale en este punto es cuando
coincide la gente que piensa que sería el medio a ver en a no es en a
partido por 2 este es de omnas ¿eh? lo veremos otro momento vamos a ver
este dice sabemos que debido al rozamiento la amplitud de las oscilaciones
del centro disminuye con el tiempo pero ¿cómo cubre con el periodo? el
periodo es constante ya vimos la ecuación ya la tenéis ¿no? la omega es
raíz cuadrada de esta expresión vemos que la frecuencia de oscilaciones
es ligeramente menor que la frecuencia natural pero es constante y no
depende del tiempo ¿de qué depende? de porcentaje de motivamiento de
gamma este es de ondas aquí por ejemplo la velocidad máxima de un
oscilador de frecuencia omega y amplitud a es a por omega se alcanza cuando
x es igual a cero ¿para qué desplazamiento será la mitad de la máxima?
para que x tendremos la mitad de la máxima bueno pues esto se aplica a
través de conservación de la energía la energía mecánica es un medio
de k por a cuadrado ¿no? si queremos saber para qué desplazamiento un
medio de k x cuadrado tendré la mitad ¿no? la energía cinética será un
medio de m por v ¿y qué es v? la mitad de la máxima a omega partido por
dos al cuadrado ¿no? y a partir de aquí tengo que despejar la x donde k
es m omega al cuadrado es decir un medio de m omega al cuadrado por a
cuadrado es igual a un medio de k que es m omega al cuadrado si queréis
por x cuadrado más un medio de m a cuadrado omega al cuadrado partido por
cuatro y a partir de aquí podemos despejar la x ¿no? fijaos que m omega
al cuadrado se nos va el medio también ¿y qué nos queda? a cuadrado es
igual a un medio de x cuadrado más un octavo de a cuadrado a ver es la
mitad ¿eh? aquí faltaba el un medio ¿no? lo he puesto ¿vale? ahora sí
un medio un octavo podría ponerse a cuadrado igual a x cuadrado más un
cuarto de a cuadrado ¿no? y uno menos un cuarto son tres cuartos y hay
tres cuartos despejamos ¿no? ahora sí venga seguimos venga a ver esta
cuestión dice la frecuencia hemos hablado de frecuencias medias pero tiene
un poquito de amortiguamiento gamma si sobre el oscilador actúa una fuerza
externa periódica la frecuencia de resonancia es independiente de gamma es
menor que gamma bueno ¿qué es la frecuencia de resonancia? cuando tenemos
bueno es que la fórmula ¿no? cuando tenemos un sistema amortiguado y
está aplicado con una fuerza externa ¿no? lo tenemos aquí la amplitud
bueno voy a volver a escribir s c sub cero aquí abajo teníamos m cuadrado
omega sub cero cuadrado menos omega cuadrado más b cuadrado omega cuadrado
la frecuencia de resonancia ¿cuál es? la que hace que omega sea igual a
omega sin cero es independiente de gamma donde gamma es b partido por m
aunque no existe una función de gamma que también lo podemos tener ¿no?
no depende la frecuencia de resonancia otra cosa es que dependa de una onda
esto lo hemos visto ¿no? porque dice un oscilador armónico se encuentra
en el instante inicial en x igual a ¿cómo podemos transcurrir para pasar
de x a medios y de x igual a menos a medios bueno antes lo hemos visto
¿no? bueno aquí si inicialmente está en x igual a la ecuación sería
esta x igual a coseno de omega t ¿vale? entonces ¿qué tiempo tardaría
para pasar de a medios a menos a medios pues de a medios bueno lo tenemos
aquí escrito ¿no? aquí sería el tiempo uno para llegar a medios y el
tiempo dos el arco coseno aquí lo tenéis y despejar t uno y t dos y la
diferencia de tiempos nos sale t sexto sería el tiempo que tardaría ¿eh?
para pasar de a medios a menos a medios ¿vale? partiendo de un extremo
¿eh? ahora también podríamos haber pensado algunas respuestas que no
podrían ser y lo podríamos haber hecho por reducción a las tuyas porque
fijaos nos dice t cuartos ya sabemos que es uno es así ¿no? porque t
cuartos es ir de un extremo ¿no? de x igual a a x igual a cero ¿vale? y
ya recorrer ahí ¿no? de a a cero que sería t cuartos t octavos claro t
octavos sería si fuese un movimiento con aceleración constante y eso no
podría serlo bueno el calculador tampoco es tan complicado ¿no? como veis
lo hay que hacer al pocoseno ¿eh? sustituir a medios ¿no? y vemos que la
diferencia de los dos tiempos este es este he sabido que debido al
gozamiento la amplitud de las oscilaciones de un péndulo disminuye con el
tiempo ¿pero qué ocurre con el periodo? ¿no? bueno ya lo hemos dicho que
el periodo es constante ¿eh? no depende el periodo de oscilación de un
oscilador amor el periodo de oscilación de un oscilador amortiguado ¿de
qué depende? ¿vale? pues dependerá sí que depende del coeficiente de
amortiguamiento cuanto mayor sea gamma menor será la frecuencia y por lo
tanto mayor será el periodo ¿no? cuanto mayor sea el coeficiente menor
será la frecuencia y mayor será el periodo mayor será el periodo es
mayor ¿eh? cuanto mayor es el coeficiente de amortiguamiento cuanto mayor
sea el coeficiente de amortiguamiento mayor será será el periodo de
oscilación ¿eh? porque la frecuencia disminuye más a medida ¿no? es
menor la frecuencia es menor a medida que aumenta gamma si la frecuencia es
menor el periodo será mayor cuanto mayor ¿eh? a medida que aumenta gamma
un oscilador de frecuencia natural o mera si usted hace un coeficiente de
amortiguamiento aumento gamma si su oscilador es una fuente extranjera
periódica la frecuencia de resonancia la frecuencia de resonancia no
depende del coeficiente de amortiguamiento ya lo hemos dicho varios veces
bueno esto es de ondas esto es de ondas más ondas esto si te lo he
mostrado ¿no? bueno pues esto si lo veis lo podéis ir viendo y vais
viendo que como realmente la distancia recorrida ¿no? no es la misma de 0
a 2 que de 1 a 3 ¿no? va a recorrer una distancia de 0 a 2 porque de 0 si
partes de la posibilidad de dividirlo tienes más velocidad ¿vale? la
distancia va a ser más o menos a ¿vale? entonces lo que vamos a hacer que
modificar la distancia de distancia de será igual a medios la distancia de
igual a medios por lo tanto serán 2 centímetros entonces sale un cuarto
porque un medio al cuadrado es un cuarto ¿vale? aquí abajo en el 15 dice
el péndulo a tiene una longitud a la lenteja más n-a el péndulo B o tal
longitud y masa B. Y los periodos de los dos péndulos están en la
relación, ¿no? ¿Cuál es la relación entre longitudes y masas? Ya
sabéis que no influye la masa. Por lo tanto, la solución solo va a ser
correcta la A. Pero vamos a ver cuál tiene que haber en la relación de
longitudes para comprobarlo. Porque claro, ya sin hacer cálculos es la A
la correcta, ¿no? Pero confirmemos que está bien hecho. El periodo de A
será 2 pi ¿no? L A partido por G. El periodo de B es 2 pi raíz cuadrada
de L B partido por G. Nos dice que el periodo de A es dos veces el de B. El
periodo de A es dos veces el de B. De A es dos veces el de B. Si elevó al
cuadrado me queda que L A es 4 veces. ¿No? Bueno. Esto es de ondas. No,
escribo otras ahora. De ondas. Bueno, en un movimiento de un periodo de
ambos modos simple, la velocidad tiene siempre el mismo signo que la
posición. No es así. ¿No? La velocidad puede ser positiva o negativa.
Depende de qué. La velocidad tiene siempre el mismo signo que la
aceleración. Tampoco. Porque la aceleración se le va hacia el centro. Se
puede ir hacia la derecha o hacia la izquierda. La aceleración tiene
siempre el mismo signo que la posición. No. Al revés. La aceleración
siempre tiene el signo contrario a la aceleración. ¿Vale? Entonces,
ninguna de las tres primeras son correctas y por lo tanto la B sería la
correcta. Aquí tenemos dos osciladores armónicos. La frecuencia natural
del primero es omega sub cero y la segunda es 2 omega sub cero. Vamos a ir
a un procedimiento de fricción. Es una forma de escena periódica de
valores de sub cero. Cuando uno oscila en resonancia ¿Qué quiere decir en
resonancia? Cuando omega es igual a omega sub cero. Oscila en resonancia.
Omega es igual a omega sub cero. No. La amplitud de la oscilación del
primero es mayor que la del segundo. Bueno, ¿cuál sería la amplitud?
Sería f sub cero partido gamma omega sub cero por m. ¿No? Perdón, omega.
Siendo omega la frecuencia ¿No? De la fuerza externa periódica. Omega.
¿Sí? Claro, la frecuencia de resonancia es aquella que haga que omega es
igual a omega sub cero. Si yo tengo doble frecuencia de resonancia ¿No? O
mejor dicho uno oscila con una frecuencia dos veces omega sub cero la
frecuencia de resonancia será el doble y por lo tanto la amplitud será la
mitad. La amplitud del segundo ¿No? Será la mitad que la del primero o si
quieres la amplitud del primero será mayor que la del segundo. La amplitud
es inversamente promocionada a la frecuencia. ¿No? Para una frecuencia dos
omega sub cero será la mitad. Por lo tanto la amplitud del primero es
mayor que la del segundo. En concreto el doble. Un objeto de dos kilos
veía un muelle con una amplitud de quince centímetros. Su aceleración
máxima vale cuatro. ¿Qué vale su energía total? Bueno, la aceleración
máxima ¿Qué es la aceleración máxima? Valor absoluto de a omega al
cuadrado. La amplitud, esto es cuatro. La amplitud vale quince. Y esto es
omega al cuadrado. Nosotros podemos actuar omega al cuadrado. ¿Qué es
omega al cuadrado? ¿Vale? Nosotros sabemos que la energía es un medio de
k por a cuadrado. ¿Y qué es k? m omega al cuadrado a cuadrado. La omega
la puedo sacar de aquí, la masa me la dan, la amplitud la tenemos todos.
Dice, tenemos dos osciladores constituidos por ciertas masas unidas de
muelle. La energía total de ambos osciladores es la misma. Pero la masa
del primero es el doble que la del segundo. La relación de sus amplitudes
¿Cuál debe ser? Bueno, sin saber los valores de k no podemos determinar
la relación. Sin saber lo que tenemos ahí colgando. Los sendas masas
unidas. La energía total es la misma pero la masa del primero es la doble
que la del segundo. Bueno, aquí lo tenéis hecho. ¿No? Bueno, aquí
tenéis otro. Un premio simple, las oscilaciones como cambian, ¿no? Con el
amortiguamiento, ¿no? Tenemos un coeficiente de amortiguamiento. Aquí
donde la amplitud se ha reducido a la mitad al cabo de cinco oscilaciones.
Bueno, pues, el próximo día bueno, no voy a cerrar esto sin antes abriros
este otro archivo Bueno, este lo he abierto antes ya, ¿no? Sí. Este lo he
abierto antes, me quedaba abrir uno más. Y uno más. Este de aquí.
¿Preguntas? Este también es interesante ¿No? Lo veremos, hay muchos
problemas de ondas lo veremos en la próxima clase. Pero bueno aquí
tenemos estos archivos que trabajaremos también en la próxima sesión que
trabajaremos ondas ¿No? Yo creo que tienen que ayudar para seguir
adelante. Vale, son ejercicios en exámenes, en textos tanto de
oscilaciones como de ondas. Entonces, nos veremos dentro del testigo el
martes, ¿no? Bien, a ver si hay otras cosas en los documentos por si
queréis empezar a trabajar. ¿De acuerdo? Venga, muchos ánimos.