bueno pues buenas tardes vamos a iniciar esta nueva sesión de física no
donde vamos a trabajar trabajo y energía cinética de acuerdo bien pues es
un tema interesante el preámbulo al tema siguiente que vamos a introducir
más conceptos de energía potencial pero de momento no aparte de que
después se aprecian los choques conservación de cantidad del movimiento
etcétera ven bueno pero primero de todo es la definición de trabajo el
trabajo realizado por una fuerza constante es el producto escalar de la
fuerza por el desplazamiento no lo tenemos aquí abajo es el producto
escalar de la fuerza por el desplazamiento esto es válido sólo para
fuerzas constantes vale y el producto escalar de los vectores es el módulo
del primero por el módulo del segundo por el coseno del ángulo que forman
aquí tenemos este ejemplo imaginaros que tenemos este móvil Se le aplica
esta fuerza F. De esta fuerza F, si nosotros descomponemos esta fuerza en
una fuerza paralela al movimiento y otra perpendicular, nos tenemos que dar
cuenta que sólo ejerce trabajo la componente paralela al movimiento. Sólo
ejerce trabajo la fuerza paralela al movimiento. La fuerza perpendicular,
la componente perpendicular al movimiento no realiza trabajo, sólo realiza
trabajo la componente paralela al movimiento. Bien, fijaos aquí que os he
puesto una fuerza, en distintos casos, de fuerza. ¿No? Están aplicadas
sobre un objeto. ¿Y cómo sería el trabajo en cada una de ellas? ¿Sería
un trabajo positivo? ¿Sería un trabajo negativo? ¿Qué es lo que produce
trabajo aquí? Bueno, en el primer caso nos damos cuenta que forma un
ángulo Z con respecto al eje X y efectivamente tendremos como el ángulo,
¿no? Tenemos una componente de la fuerza en el sentido del desplazamiento,
tendremos que el trabajo va a ser positivo. ¿Vale? Es un trabajo positivo.
¿No? Porque el trabajo, en definitivo, ¿qué será? F coseno de z por el
desplazamiento. Pero en el segundo caso, donde la fuerza forma un ángulo
determinado pero en sentido contrario al desplazamiento, esa componente F
coseno de z que va hacia la izquierda, F coseno de z que va hacia la
izquierda, nos generará un trabajo negativo, un trabajo negativo, menor
que cero. ¿Vale? Mientras que en el tercer caso, donde la fuerza es
perpendicular al desplazamiento, el trabajo será nulo. Porque hay que
recordar que el trabajo realizado por una fuerza perpendicular al
desplazamiento siempre es nulo. Tengálo presente, hay que tenerlo presente
a este detalle, ¿eh? ¿De acuerdo? Bueno, aquí, esto lo tenéis en el
libro, pero os quiero insistir en ello, ¿no? Los errores... Los errores
frecuentes que se suelen hacer. Cuando una fuerza va en contra del
movimiento, el trabajo va a ser negativo siempre, porque va a formar un
ángulo de 180 grados entre la fuerza y el desplazamiento. Cuando la fuerza
forma 90 grados con el desplazamiento, el trabajo es nulo. Tengámoslo
presente. Bien, pues aquí tenéis este ejemplo, ¿no? Lo tenéis en el
libro, ¿no? Donde actúan varias fuerzas, ¿no? Tenemos aquí varias
fuerzas. Está actuando este tractor sobre este enganche de remolque, ¿no?
Y queremos calcular el trabajo total realizado sobre el remolque con leña
que se ha arrastrado por el tractor. ¿Vale? El trabajo que realiza cada
fuerza y el trabajo total. Nos tenemos que dar cuenta qué fuerzas tenemos
aquí. Tenemos el peso, tenemos la normal. Pero tanto el peso como la
normal, el trabajo realizado por el peso como el trabajo realizado por la
normal, como forman 90 grados con el desplazamiento, el trabajo será nulo.
Será nulo. ¿De acuerdo? Vale. ¿Qué pasa con el trabajo realizado por la
fuerza F? El trabajo realizado por esta fuerza de tracción, ¿no? Será la
fuerza... 5.000 por el desplazamiento, 20, por el coseno de 36,9, ¿vale? Y
el trabajo de rozamiento será 3.500, ¿vale? Por 20 y por coseno de 180,
saldar negativo. En todos los casos, el trabajo en julios, ¿vale? Esto
sería el trabajo de las cuatro fuerzas. O sea, el trabajo total, la suma
de estos cuatro valores, ¿vale? La suma de los cuatro valores. Energía
cinética y el teorema del trabajo de energía. Bueno, aquí está un
poquito pequeño, bueno. Relación, buscamos una relación entre el trabajo
y la variación de velocidad de nuestro sistema. Vamos a ver.
Matemáticamente, si el trabajo, perdón, si... Si la fuerza es constante,
hemos dicho que esto es fuerza por desplazamiento, ¿vale? Fuerza por
desplazamiento. ¿Sí? Y la fuerza, ¿a qué es igual? a masa por
aceleración ¿no? ¿vale? si tenemos una aceleración y un espacio en la
misma dirección y sentido sabemos de la fórmula cinemática que la
aceleración es v cuadrado menos v sub cero cuadrado partido 2s perdona,
eso también lo tenéis en el libro pero yo no lo he puesto aquí, la
demostración 2s y multiplicado por s, de manera que nos quedaría un medio
dmv cuadrado menos un medio dmv sub cero cuadrado y en la expresión de un
medio dmv cuadrado es lo que se llama la energía cinética después lo
veremos, bueno ¿qué pasa aquí? ¿no? un bloque que se desliza hacia la
derecha sobre una superficie si nosotros empujamos hacia la derecha ¿qué
va a pasar con la velocidad? pues que la velocidad aumentará ¿no? ¿vale?
estamos realizando un trabajo positivo un trabajo positivo y el bloque
aumenta la rapidez el bloque aumenta la rapidez, vamos en este caso ¿no?
¿sí? ¿qué pasa si yo ejerzo una fuerza en sentido contrario a la
velocidad? la fuerza va en sentido contrario realizaré un trabajo negativo
y el bloque se frenará Y el bloque se va a frenar, porque ejerce una
fuerza en sentido contrario al desplazamiento. ¿Y qué pasa si ejerce una
fuerza perpendicular al sentido del movimiento? Si ejerce una fuerza
perpendicular al sentido del movimiento, el trabajo es nulo y la velocidad
permanece invariable. Bueno, diríamos que el trabajo total, como hemos
visto, es igual a la variación de energía cinética. Según el libro que
consultéis, veis K, EC, EK, lo que queráis. ¿No? Nos representa lo mismo
en todos los casos. La energía cinética es la energía que posee una
partícula en virtud de su velocidad. Y tiene las unidades de trabajo, son
julios. ¿No? Y son julios. ¿De acuerdo? Y el trabajo total de todas las
fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su
energía cinética. O sea, que hemos puesto F total igual a m por A. La
aceleración la hemos puesto en función de la velocidad. Eso sí, todo
suponiendo que la fuerza es constante. ¿Qué pasa si la fuerza es
variable? Pues si la fuerza es variable, no puedo utilizar la anterior
expresión. Si la fuerza es variable, tengo que integrar. Porque... Yo lo
que hago es hacer la suma de los trabajos elementales realizados por cada
fuerza en cada diferencial de desplazamiento. Si la fuerza aplicada está
sobre el eje X, como veis aquí, si esto es una fuerza aplicada sobre el
eje X, si es una fuerza aplicada sobre el eje X pero que no es constante,
¿no? Esta será la expresión del trabajo, ¿vale? Integral de f de X,
diferencial de X entre los dos puntos, ¿no? Estamos suponiendo una fuerza
que no es constante, ¿eh? Que no es constante, ¿de acuerdo? Pero un
ejemplo, el ejemplo más... Bueno, primero de todo, recordemos que el
trabajo realizado por una fuerza constante, ¿no? Si nosotros representamos
la fuerza y el desplazamiento, el área, el área encerrada entre la fuerza
y el desplazamiento, me representa el trabajo, ¿eh? El producto de f,
¿eh? El producto de f por el desplazamiento es el trabajo. Y eso ocurrirá
en toda fuerza, aunque sea constante o sea variable. Bueno, un ejemplo muy
significativo de fuerza variable es la fuerza elástica del muelle. Si
tenemos un muelle en la posición de equilibrio, no actúa ninguna fuerza.
Si lo estiramos, tenemos aquí dos fuerzas. ¿Vale? ¿Cuál es el trabajo
realizado por cada una de las fuerzas? El trabajo realizado por el resorte
al estirarlo, al ser estirado... Cuidado, cuidado ahora porque es algo que
hay que tener claro. Trabajo del resorte. Como la fuerza va en sentido
contrario al desplazamiento, será menos k por x diferencial de x. Pero el
trabajo realizado por la fuerza exterior, para poderlo estirar, ese
trabajo, ¿a qué será igual? A k por x diferencial de x. Porque será un
trabajo positivo. Yo desplazo el resorte hacia la derecha. En el trabajo
realizado por el resorte, será negativo porque se opone. Pero el trabajo
realizado por la fuerza exterior será positivo porque tiene el mismo
sentido de mi movimiento. ¿Vale? Al final queda todo en reposo y el
trabajo total será nulo, uno positivo y otro negativo Bueno, aquí tenéis
la representación de k por x esta fuerza en función del desplazamiento Y
el trabajo será igual a integral de kx diferencial de x Y esa integral me
genera un medio de kx cuadrado ¿Vale? Esto es si yo estoy aplicando una
fuerza kx Ojo, si la fuerza tiene sentido contra el desplazamiento pondré
un signo menos y será un trabajo negativo ¿De acuerdo? ¿Vale? Estoy
ejerciendo una fuerza exterior para alargar un cuello, por ejemplo Bueno,
aquí tenemos ¿Cuál será el trabajo efectuado para estirar un resorte
desde una cierta extensión a otra mayor? Imaginemos que al principio
estamos en x igual a x sub 1 ¿No? Y después pasa a x igual a x sub 2 Y yo
estoy ejerciendo una fuerza externa Estamos ejerciendo una fuerza externa
hacia la derecha Esta fuerza ¿Y qué vale esta fuerza que estamos
ejerciendo? ¿Qué vale un módulo de esta fuerza? k por x. Como nos
estamos desplazando en la misma dirección y sentido, que la fuerza será
un trabajo positivo. Y ese trabajo, que será igual a integral de kx
diferencial de x, de x1 a x2, será un trabajo positivo. Vamos a ver aquí.
Aquí tenemos un deslizador de riel con aire. Una masa determinada se
conecta al extremo del riel horizontal con un resorte cuya constante de
fuerza es 20 N partido por metro. Inicialmente el resorte no está estirado
y el deslizador se mueve con una rapidez de 1,5 m por segundo a la derecha.
Calcule la distancia que el deslizador se moverá a la derecha. Si está
activado. O sea, hay fricción. Bueno, vamos a ver. Sin fricción, ¿qué
fuerzas actúan aquí? Yo estoy en la posición, ojo, de equilibrio, donde
x es 0. Pero tengo una velocidad hacia la derecha de 1,5 metros por
segundo. Hacia la derecha, ¿no? Lo tenéis aquí dibujado. Y la fuerza va
hacia la izquierda. La velocidad va hacia la derecha. Y la fuerza va hacia
la izquierda. El trabajo total ha de ser igual a la presión de energía
cinética y el trabajo total también va a ser igual al trabajo que
realizan todas las fuerzas que están actuando aquí. Mirad, es que el peso
y la normal, ¿qué trabajo realizan al desplazarse el muelle hacia la
derecha? Cero, porque son fuerzas perpendiculares al desplazamiento. Bien,
entonces, ¿cuál es el trabajo del resorte? Perdón. El trabajo del
resorte sería integral de k por x, diferencial de h, ¿no? De cero a x,
pero pongo un signo menos, porque la fuerza tiene sentido contrario al
desplazamiento. Por lo tanto, menos 1 medio de kx cuadrado. ¿Cuál es el
trabajo total que se produce? Que me modifica esa velocidad, porque dice
que hasta que se detiene, ¿no? La distancia máxima, el deslizador se
mueve hacia la derecha. Pues, el trabajo total sabemos que es igual a la
variación de energía cinética. Llegará a un punto, lo máximo que se
estira, donde la velocidad es nula. Luego esto será la energía cinética
final menos la inicial. La final es cero. La inicial, un medio de mv1
cuadrado. Entonces, ambos trabajos deben ser iguales. Ambos trabajos deben
ser iguales. El trabajo total realizado por todas las fuerzas debe ser
igual al trabajo del teorema de la energía. Igual a la variación de
energía cinética. Luego, menos un medio de kx cuadrado es igual a menos
un medio de mv cuadrado. Y de aquí puedo sacar esa distancia. Esa
distancia. Ahora bien, el caso. Es decir, oiga, ¿qué pasa si hay
fricción? Pues que hay una fuerza más. La variación de energía
cinética será la misma. Pero, la fuerza, hay un trabajo. El trabajo
realizado por la fuerza de fricción. Hay un coeficiente de rozamiento
cinético. El trabajo de rozamiento... ... será la fuerza de rozamiento
por el espacio por coseno de 180. El coseno de 180 es menos 1, menos la
fuerza de rozamiento por D, menos mu, mg y por D. ¿Vale? Entonces, cuando
igualo el trabajo de todas las fuerzas con la variación de energía
cinética, pondré menos mu, mgd, menos 1 medio de kx cuadrado, igual a
menos 1 medio de mv cuadrado. Todo lleva menos, lo puedo quitar todos los
signos menos y de aquí, perdona, a ver, aquí he puesto D, ¿no? Aquí le
he llamado, voy a poner, tengo que poner x, ¿no? Porque si no, esto yo
tengo que poner x. Estoy utilizando otra, parece que hay dos incógnitas.
Disculpad, vamos a poner la x, ¿no? Aunque el enunciado pone D, ya lo sé,
lo he llamado x, algo que se desplazaba al muelle por costumbre, entonces
voy a llamarle x, ¿no? Oiga, que podemos ponerlo todo D, ¿eh? No va a
pasar nada, ¿eh? Menos mu, mgx. De hecho, en el libro, si vais al libro,
veréis que está resuelto poniendo D. Hay que resolver la ecuación de
segundo grado, ¿no? Y a partir de aquí veréis que se desplazará en
menos distancia a causa del rozamiento. ¿Veis cómo hemos aplicado el
teorema de la energía y el trabajo total? Bueno, ¿qué pasa en un
movimiento a lo largo de una curva? Bueno, pues si tenemos una fuerza
determinada, esa fuerza que formará un ángulo determinado con la
trayectoria, siempre tendremos una componente tangente a la trayectoria y
una componente normal a la trayectoria. ¿Cuál va a realizar el trabajo de
esas dos componentes? Solo va a realizar el trabajo la componente tangente
a la trayectoria, esta F coseno de fil. ¿Por qué? La componente, la
fuerza normal a la trayectoria no realiza ningún trabajo, porque el
trabajo es fuerza por desplazamiento por coseno del ángulo determinado. Y
por lo tanto no hay posibilidad de realizar trabajo. Cuando tenemos una
trayectoria curvilínea y queremos actuar el trabajo de la fuerza que
actúa, debemos obtener la componente tangente a la trayectoria, que es la
que va a realizar el trabajo. Bueno, vamos a dar la definición de
potencia. La potencia... se define como el trabajo realizado por unidad de
tiempo. ¿No? El trabajo realizado por unidad de tiempo. Si yo considero un
intervalo de tiempo dado, la potencia media sería el trabajo realizado
durante un intervalo de tiempo partido la duración del intervalo de
tiempo. Potencia media igual a incremento de W partido incremento de T.
Ahora bien, si nosotros queremos saber la potencia instantánea la potencia
en cada instante será el límite de este cociente cuando incremento de T
tienda a cero. En definitiva, esto no es más que la definición de
derivada. Sería la derivada del trabajo por aspecto de tiempo.
Evidentemente que si la fuerza es constante, si la fuerza es constante, el
diferencial de trabajo es F por diferencial de S. ¿Vale? Si nos movemos
también en la misma dirección y sentido que el desplazamiento, cuando
hacemos la derivada, derivada del trabajo por aspecto de tiempo, esto será
fuerza por derivada de S por aspecto de T. ¿Y qué es esto? La velocidad.
Entonces también la potencia, en estos casos, se puede expresar como
fuerza por velocidad. ¿Vale? Si F es constante, ¿eh? Tiene que ser
constante. Bueno, aquí lo tenéis, ¿no? Fuerza sobre una partícula,
velocidad de la partícula. Vectorialmente, evidentemente, sería P F por
V. Pero ya os he comentado antes que había hecho la suposición que la
fuerza y la velocidad tenían misma dirección y sentido. En caso de no
tenerla, tendremos esta ecuación vectorial, ¿no? ¿Vale? ¿Vale?
¿Cuáles son las unidades de la potencia? La potencia, ojo, es un vatio,
es un julio partido por segundo. El sistema internacional. Julio partido
por segundo son los vatios. Eso le daría que una W, el vatio. ¿De
acuerdo? Bueno, vamos a pasar ahora a unos ejercicios que os había
preparado. A ver si los veo. Aquí. Aquí está. Bueno, aquí... Vamos
ahora a hacer ejercicios. Bueno, este salió el año pasado en la PEC del
equipo docente, no sabemos si está ahí todavía, pero bueno, vamos a ir
trabajando. Mirad, aquí tenemos tres masas idénticas que cuelgan de tres
resortes idénticos también. Nos dan la constante de cada resorte, nos dan
la longitud de cada resorte antes de sujetar la masa. Es decir, la longitud
original. Nos piden que dibujemos el diagrama de cuerpo libre. ¿Qué
quiere decir cuando me dicen dibuje el diagrama de cuerpo libre? Pues todas
las fuerzas que actúan sobre esa partícula. ¿Vale? Todas las fuerzas que
actúan sobre esa partícula. Después me piden qué longitud tiene cada
resorte cuando se ha colgado, una vez colgado. ¿Qué va a pasar? ¿Cuánto
se ha alargado cada resorte? ¿No? ¿Vale? Y, bueno, nos sugieren...
¿Cómo hacerlo, no? Bueno, vamos a ir dibujando las fuerzas que actúan.
¿Vale? Vamos a ver. El primer resorte, el de arriba, la primera masa que
está arriba, ¿no? Tenemos... Bueno, si queréis empecemos por la de
abajo, que va a ser más agradable. ¿No? La de abajo. ¿Vale? Tenemos el
peso hacia abajo, ¿no? Y la constante elástica del muelle hacia arriba,
¿no? Que tira hacia arriba, ¿no? Que se resiste a ser estirado. Y por lo
tanto tenemos estas dos fuerzas. Como esto está en equilibrio, la suma de
estas dos fuerzas ha de ser igual a cero. ¿Vale? La suma vectorial. Pero
sabemos que tenemos aquí una fuerza que va hacia abajo y otra que va hacia
arriba. Son dos fuerzas que tienen sentido contrario. Es decir, es mg menos
la fuerza de recuperación igual a cero o mg igual a k por x3. ¿Vale? Y a
partir de aquí nosotros podemos sacar lo que se alargaría el tercer
muelle fácilmente, ¿no? En este caso serían 0,8 metros. ¿Vale? ¿De
acuerdo? Vamos con el segundo. El segundo tenemos el peso hacia abajo.
También tenemos una fuerza de recuperación. El tercer muelle que lo tira
hacia abajo porque se estira. ¿Vale? Serían fuerzas de acción y de
reacción. ¿Vale? Aquí, aunque yo no lo he dibujado, si queréis lo puedo
dibujar. El resorte. A ver cómo queda. No, en verde no. Hoy ya tenemos
verde. Bueno, un momentito, ¿vale? Aquí sería el resorte, ¿no? Los dos
resortes tienen la misma constante elástica, ¿eh? Entonces, estas fuerzas
que veis aquí, KX3 y KX3, son fuerzas de acción y de reacción, ¿no?
Igual que KX2 y KX2, ¿no? Entre los dos cuerpos, ¿no? Bien, entonces el
cuerpo, el segundo cuerpo, ¿no? Está sujeto a la fuerza elástica de
recuperación del primero y del segundo muelle. Uno le tira hacia arriba y
otro le tira hacia abajo, ¿vale? ¿De acuerdo? Entonces la suma vectorial
de las tres fuerzas ha de ser igual a cero, ¿no? Y por lo tanto, las
fuerzas en un sentido van a ser igual a las fuerzas en el sentido
contrario, tendremos esta ecuación y nosotros podremos calcular, X2, ¿no?
X2. ¿Y si vamos arriba? Arriba. Bueno, pues arriba tenemos el primer
cuerpo, una fuerza elástica que nos tira hacia arriba, ¿no? Lo he
dibujado en el primer muelle. Bien. ¿No? No lo he llegado a dibujar. Aquí
estaría, ¿no? ¿Vale? Kx1 que tira hacia arriba, el peso que tira hacia
abajo y Kx2, como está estirado, ¿no? Tira hacia abajo. ¿Vale? ¿De
acuerdo? Entonces, a partir de aquí, nosotros podemos igualar las frases
que van hacia arriba, igualar las que van hacia abajo, ¿no? Y obtener x1.
¿Qué pasa? Que el primer muelle se alarga el triple que en el último.
¿Por qué? Porque, lógico, ¿no? Porque al final, sobre el primer muelle
actúan las tres masas hacia abajo. Sobre el segundo muelle actúan dos
masas y sobre el tercer muelle solo actúa una masa. ¿Vale? Bueno, aquí
te tenéis resuelto con la solución. ¿Cuáles serían las longitudes
finales? Pues sumarle la longitud inicial, ¿no? Esos 0,8 a cada uno de los
muelles. Es lo que nos pide. Esta forma hecha o explicada por parte del
solucionario, que bueno, está ahí. Vamos con este otro ejercicio. Dice,
considere el sistema de la figura, la cuerda y la colea tienen masas
despreciables y la colea no tiene fricción. Tenemos un bloque de 6 kilos
que se mueve hacia arriba, no hacia abajo. Eso es un error del enunciado. Y
el bloque de 8 kilos que se mueve hacia la derecha. Claro, si el bloque de
8 kilos se mueve hacia la derecha, el de 6 kilos tiene que bajar. Ambos con
una rapidez de 0,9. Los bloques alcanzan el reposo después de 2 segundos.
Dice, use el teorema de trabajo y energía para calcular el coeficiente de
fricción. Claro, eso quiere decir que tenemos un balance negativo, una
aceleración negativa que hace que esto se pare. ¿Vale? Que hace que esto
se pare. Entonces, vamos a ver. Vamos a ver las fuerzas que actúan. Las
fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. Vamos a ver las fuerzas que actúan
sobre cada cuerpo. El cuerpo de 6 kilos tenemos el peso y la tensión.
¿Vale? ¿Sí? Y en el cuerpo que está sobre la mesa tenemos la tensión,
el peso y la fuerza de rozamiento. Bien. Pero este es un problema que no es
de dinámica, es de trabajo y energía. Dice, use el teorema de trabajo y
energía para calcular el coeficiente de rozamiento. ¿Qué tenemos que
decir? Que el trabajo total realizado por todas las fuerzas es igual a la
variación de energía cinética del sistema. Será la energía cinética
final, que es cero, menos la energía cinética inicial, que es la suma de
las energías cinéticas de los bloques de 6 y 8 kilos. Y después, ese
trabajo total ha de ser igual al trabajo total de todas las fuerzas que
actúan sobre estos dos cuerpos. Y nos tenemos que dar cuenta que M2G y la
normal no realizan ningún trabajo porque son perpendiculares al
desplazamiento. Que las dos tensiones realizan trabajos iguales y de
sentido contrario, y por lo tanto se anulan. Y que, por lo tanto, solo
debemos considerar el trabajo realizado por dos fuerzas, M1G y FR2. Y nos
tenemos que dar cuenta que el trabajo realizado por FR2 es negativo porque
va en contra del movimiento, y el trabajo realizado por M1G es positivo
porque va a favor del movimiento. ¿Habéis fijado todos los detalles que
estamos diciendo? ¿Por qué el trabajo de unas fuerzas es nulo? ¿Por qué
no consideramos el trabajo de la tensión porque se compensa en 2 a 2? Y
que el trabajo realizado por la fuerza de cruzamiento siempre es negativo,
va en contra del movimiento. Y aquí el trabajo del peso 1, como cae para
abajo, va a ser positivo. Vamos allá. Con todo lo dicho, el trabajo total
es igual a la variación de energía cinética. Cero menos la energía
cinética inicial. Y el trabajo total se deberá solo a esas dos fuerzas.
Trabajo de rozamiento y de P1. El trabajo de rozamiento será menos mu mg
por el desplazamiento. ¿No? El desplazamiento. ¿Y qué es el
desplazamiento? H, lo que baja. ¿No? O lo que se desplaza por la media. He
llamado H, pero podía ser D. Como queráis. Podría ser D. Dos metros es
lo que baja el cuerpo o lo que se desplaza el cuerpo sobre la mesa. ¿Vale?
¿Y qué es el trabajo realizado por el peso? Es un trabajo positivo. mg
por el desplazamiento. El desplazamiento es H. ¿Vale? Por lo tanto,
tenemos un trabajo negativo y un trabajo positivo. El trabajo realizado por
P1 ya hemos dicho que es cero, igual que la normal. ¿Qué es H? El espacio
que recorre el sistema. ¿Vale? Entonces, ese trabajo total... ...como veis
aquí, de las dos fuerzas que realizan trabajo, ha de ser igual a la
variación de la energía cinética. A partir de aquí, operando, puedo
obtener el coeficiente de rozamiento cinético o dinámico del sistema.
¿De acuerdo? Fijaos que hemos calculado el trabajo de todas las fuerzas. Y
lo hemos igualado a la variación de energía cinética del sistema. ¿Sí?
Bueno. Nos fijamos bien qué fuerzas analizan trabajo, cuáles no, y si en
algún caso se compensan algunas. Bueno, aquí lo tenéis. Bueno, vamos con
este otro. Dice aquí. Un libro de 2,5 kilos se empuja contra un resorte
horizontal de masa despreciable con una fuerza constante de 250 Nm. Esta
fuerza constante es la constante elástica, la constante de fuerza del
resorte, comprimiéndolo 0,25 metros. Al soltar el libro, se desliza sobre
una mesa horizontal cuyo coeficiente es 0,3. Use el teorema de trabajo y
energía para averiguar qué distancia. Recorre el libro desde su posición
inicial hasta detenerse. Es decir, yo tengo aquí un resorte, un libro, y
yo empujo con la mano ese libro y comprimo. Comprimo el resorte. Y comprimo
el resorte. ¿Vale? Y suelto, después lo suelto. ¿Qué pasa aquí? Que la
fuerza elástica del resorte ejerce una fuerza hacia la derecha porque
está comprimida y realizará un trabajo sobre el cuerpo, ¿vale? ¿Y qué
va a hacer el resorte? El resorte saldrá, pero al final se parará.
¿Debido a qué? Al rozamiento. Es que el cuerpo está inicialmente en
reposo y al final volverá a estar en reposo. Entonces la variación de
energía cinética de este cuerpo será nula. Entonces no hay trabajo,
bueno no hay trabajo, hay trabajo realizado por distintas fuerzas. Un
trabajo positivo realizado por la fuerza elástica que lo llevará al
resorte, al cuerpo hacia la derecha, que se vendrá compensado por el
trabajo de rozamiento, el trabajo de rozamiento que ejercerá en la
superficie de contacto y que hace detener al cuerpo. ¿Y qué hace detener
al cuerpo? Vamos a ver todo esto. Venga, el trabajo total hemos dicho que
es igual a la variación... ...de energía cinética. Como la energía
cinética inicial y final es cero, el trabajo total es nulo. El trabajo
total es nulo. El bloque está en reposo inicial y final. Hay un trabajo
realizado por la fuerza elástica positiva y un trabajo realizado por la
fuerza de rozamiento que es negativa. Fijaos, el trabajo de rozamiento ha
de ser igual. Fuerza de rozamiento por distancia y por coseno de 180.
Siendo D la distancia que recorrerá el libro hasta detenerse. ¿Cuál es
el trabajo realizado por la fuerza elástica? Como la fuerza elástica
tiene el mismo sentido que el movimiento, es un trabajo positivo. Es un
medio de kx cuadrado. ¿Vale? Ojo, a nosotros nos dicen lo que se ha
comprimido el muelle, que es 0,25 metros. No confundamos la distancia que
se comprime el muelle 0,25 con toda la distancia que recorre el libro hasta
detenerse. El muelle solo está comprimido 0,25 metros. Y evidentemente,
cuando deje de estar comprimido, haya soltado el libro, ya no ejerce
ninguna fuerza. Es decir, la x solo es 0,25 porque ya dejará de estar en
contacto sobre el libro. Y el libro allí habrá adquirido una velocidad
determinada, no me la piden, solo me piden directamente... ¿Qué espacio
ha recorrido hasta detenerse? Me podrían preguntar qué vale la velocidad.
Pues tiene que tener todo el artículo que lo pide. ¿Vale? Entonces, el
trabajo total sería la suma del trabajo de la fuerza de rozamiento más el
trabajo de la fuerza elástica. Todo es conocido en menos D. Y nos sale
1,1. Medido desde el punto donde el resorte queda en la posición de
equilibrio o se relaja. ¿No? Porque la fuerza de rozamiento aparece a
partir de que, en este caso, a partir de que sale, ¿no? Sale, digamos, de
estar en contacto con el resorte. ¿Vale? Dice, al soltarse el hilo de tiza
sobre una mesa horizontal. Con coeficiente tanto, ¿eh? Bueno. Así es como
se ha considerado, como también es aquí la solución. Vale. Vamos con
este otro ejercicio. Dice aquí. Un pequeño bloque. Un pequeño bloque con
masa 0,09 se conecta a una cuerda que pasa por un agujero. La superficie
horizontal. Sin fricción. El bloque está girando a una distancia de 0,4
metros del agujero. con rapidez 0,7. Luego se tira la cuerda por abajo
acortando el radio de la trayectoria del bloque a 0,1. Ahora la rapidez del
bloque es de 2,8. ¿Qué tensión hay en la cuerda en la situación
original? ¿Qué tensión hay en la cuerda en la situación final? Y por
último dice cuánto trabajo efectúa la persona que tiró la cuerda. Bien,
vamos a verlo. Primero hay una parte de dinámica y después es de trabajo.
Vamos a verlo. ¿Qué fuerzas tenemos aquí? El peso, la normal, lo vemos,
la tensión que es una fuerza que siempre va del cuerpo hacia la cuerda y
una aceleración normal que va hacia el centro. Si nosotros aplicamos la
segunda ley de Newton sobre el eje X, diremos que la tensión es igual a la
masa por aceleración normal. La tensión es igual a mv cuadrado partido
por r, donde r es la longitud de la cuerda. La longitud de la cuerda. Por
lo tanto nosotros podemos calcular la tensión con esta fórmula con
distintas longitudes. ¿Vale? Con distintas longitudes. El trabajo, bueno,
esto sería la tensión. Ahora bien, me pide después el trabajo realizado,
cuidado. El trabajo que efectuó la persona que tiró de la cuerda. Bueno,
es que, claro, el trabajo es igual a la variación de energía cinética
del sistema. ¿Se ha estirado? No. ¿Se ha realizado un trabajo? No.
Positivo porque la fuerza tiene el mismo sentido que el movimiento,
perdón, que el desplazamiento, no. Y esto ha producido un incremento de la
energía cinética. Un incremento de la energía cinética. ¿De acuerdo? Y
esto es igual a la variación de energía cinética. A la variación de
energía cinética. Y esta variación de energía cinética vale 0,33 J.
¿Vale? Que es la diferencia de las velocidades. ¿Vale? De las
velocidades. ¿De acuerdo? ¿Se podía haber calculado de otra manera? No.
Bueno, esa sería la forma más rápida, ¿no? Está claro. Podríamos
intentar relacionar fuerzas y desplazamientos, pero esto es lo mejor, sin
duda. Vamos con este otro. Dice, el resorte de un rifle, no de resorte,
tiene una masa despreciable y una constante de 400. Vamos a ver esto. El
resorte se comprime 6 centímetros con una esfera. Es decir, todo lo que
es, todo esto son 6 centímetros. Tiene una esfera de 0,03 kilos. Se coloca
en un cañón horizontal contra el resorte comprimido. El resorte se libera
y la esfera sale por el cañón. Y este mide 6 centímetros. Los 6
centímetros comprimidos es lo que sale por ahí. El rifle sostiene el
cañón horizontal, calcula la rapidez con que la esfera sale del cañón,
ignorando la fricción y después considerando una fuerza de rozamiento.
¿No? Y para el caso B. También indicar en qué posición tendrá la
máxima velocidad y cuál será dentro de aquí. Bueno, vamos a verlo.
Primero, sin rozamiento. Vamos a ver. ¿Con qué rapidez sale la esfera de
aquí? ¿Qué tenemos? El muelle comprimido. Lo hemos ejercido una fuerza.
¿Vale? Y entonces, tenemos ahí un dispositivo que lo sujeta. Hay una
fuerza elástica que tira hacia la derecha. Cuando soltemos ese resorte,
esa fuerza elástica va a realizar un trabajo positivo y va a incrementar
la energía cinética. ¿Estáis de acuerdo, no? Entonces, sin fricción,
el trabajo total es igual a la variación de energía cinética.
Inicialmente la energía cinética es cero. Al final, un medio de mv
cuadrado. Por lo tanto, el trabajo del resorte es positivo. ¿Cuál es el
trabajo realizado por el resorte? Positivo o negativo. Como la fuerza del
resorte va hacia la derecha, porque está comprimido, es un trabajo
positivo. Y ese trabajo es un medio de kx cuadrado. Entonces, igualamos el
trabajo total del tremor de energía igual al trabajo realizado por todas
las fuerzas. La única fuerza que actúa es el resorte. Y a partir de aquí
calculamos la velocidad de salida. 6,93. Vamos con el caso B. El caso B. Es
el trabajo total es igual a la variación de energía cinética. El trabajo
total es igual a la variación de energía cinética. energía cinética
final menos la inicial eso es el trabajo total ¿y qué fuerzas tenemos
aquí? tenemos dos fuerzas la fuerza de recuperación la fuerza elástica
del resorte un medio de kx cuadrado y la fuerza de rozamiento la fuerza de
rozamiento cuyo trabajo será menos la fuerza de rozamiento por el
desplazamiento menos la fuerza de rozamiento por el desplazamiento entonces
la suma la suma de estos dos trabajos del trabajo realizado por la fuerza
elástica más el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es igual a
la variación de energía cinética y a partir de aquí nosotros podemos
obtener la velocidad con que sale que es 4,9 4,9 ¿vale? la velocidad que
sale por el cañón ahora bien ahora viene el apartado un poquito más
complicado ¿cuál es la máxima velocidad? ¿cuándo tiene lugar la
máxima velocidad dentro del cañón? bueno la máxima velocidad dentro del
cañón tendrá lugar cuando tengamos un sistema de equilibrio cuando la
fuerza elástica del muelle sea igual a la fuerza de rozamiento En la
posición de equilibrio será cuando tengamos la máxima velocidad, porque
toda la energía será energía cinética. No habrá energía potencial
elástica. ¿Vale? Entonces la fuerza elástica sería igual a la fuerza de
rozamiento y obtendríamos este desplazamiento de 0,015 metros. 0,015 de un
extremo o 0,045 del origen. Ojo, ¿eh? Estaría comprimido 0,015 y por lo
tanto sería 0,015 del extremo o 0,045 del origen. ¿Vale? Ahora bien,
¿cómo podemos calcular esta velocidad máxima en ese punto? Quizás sea
el apartado un poquito más complicado, como decíamos, ¿no? Inicialmente
estará en reposo y el trabajo total será igual a esa energía cinética.
La energía cinética máxima, un medio de la masa con la velocidad máxima
al cuadrado. ¿Y el trabajo de rozamiento? ¿A qué será igual? A la
fuerza de rozamiento por el espacio por coseno de 180. ¿Y qué espacio
habremos recorrido? Como en ese punto nos encontramos a 0,045 metros del
origen, pues esa distancia. ¿Vale? ¿Y el trabajo de la fuerza elástica?
¿A qué será igual? ¿Vale? Trabajo de la fuerza elástica sería k por x
donde tendríamos la fuerza elástica que tira hacia la derecha. Entonces,
sería la posición final, sería un medio de kx cuadrado 0,06 menos un
medio kx cuadrado 0,015. ¿Vale? A partir de aquí, ojo, el trabajo es
igual a integral de kx diferencial de x, ¿vale? 0,06 menos a 0,015 que
sería lo que estaría comprimido. ¿Vale? Es un trabajo positivo, ¿eh? Un
trabajo positivo. De lo que estaría comprimido, 0,06 a 0,015. A ver. A
solo estar comprimido, 0,015. ¿Vale? Bien. A partir de aquí,
sustituyendo, sería 5,2 la velocidad. ¿De acuerdo? Pensemos que cuando
está todo comprimido es 0,06. ¿De acuerdo? Seguimos. Bueno, aquí lo
tendríais. Vamos con este otro ejercicio que dice lo siguiente. Un grupo
de estudiantes empuja a un profesor sentado en una silla provisto de ruedas
sin fricción para subir los 2,5 metros por una rampa con una pendiente de
30 grados sobre la horizontal. La masa total del sistema profesor silla es
de 85 kilogramos. Los estudiantes aplican una fuerza horizontal de 600. La
rapidez, no inicial, es de 2 metros por segundo. Use el teorema de trabajo
y energía para calcular su rapidez en la parte superior de la rampa. Es
decir, cuando ha subido 2,5 metros. Cuando ha subido 2,5 metros. Bueno,
pues... Vamos a ver esto. ¿Qué fuerzas tenemos? Fijaos aquí, no hay
rozamiento. ¿Vale? No hay rozamiento. No nos habla de ningún rozamiento.
Pues podemos ver cómo sería con el rozamiento, si queréis. ¿Qué
fuerzas tenemos? El peso que descomponemos en PX y PI. Una fuerza
horizontal que también formaría 30 grados, alfa son 30 grados, esto
también sería alfa y evidentemente que pi, pi, n y la componente
perpendicular de la fuerza fi, que no la he dibujado pero la dibujo ahora
para no complicar antes inicialmente el dibujo. Esta componente fi, estas
tres fuerzas fi, pi y n no realizan trabajo, pensad que al descomponer yo
sustituyo esta f por fx y fi y el peso por px y pi. De manera que las
únicas fuerzas que están actuando para realizar trabajo será por un lado
fx y por otro lado px. Fx realizará un trabajo positivo. Porque va en el
sentido del movimiento y px realizará un trabajo negativo porque va en
sentido contrario al movimiento. Utilicemos el trabajo, el teorema de
trabajo de energía para calcular la rapidez en el punto superior. ¿No?
Vamos. Entonces, el trabajo total será igual a la variación de energía
cinética del sistema. Energía cinética final menos inicial. ¿No?
Queremos saber la velocidad final. Es nuestra incógnita, V2. ¿Vale? El
trabajo total hemos quedado que es igual al trabajo realizado por la fuerza
F y por el peso. Pero el peso lo realiza solo Px, hemos quedado. Y hemos
dicho, ¿no?, que Px tiene sentido contrario al movimiento. Movimiento,
luego es por coseno de 180. Será un trabajo negativo Px. Porque va en
contra del movimiento. Estoy ascendiendo por el plano equilibrado. Y el
trabajo realizado por F es un trabajo positivo porque tiene misma
dirección y sentido que el movimiento. F coseno de 30 por V. Entonces, la
variación de energía cinética es igual al trabajo total realizado. De
aquí, ¿qué tenemos como incógnita? Tenemos como incógnita. F2. Porque
sabemos que la D vale 2,5 metros. ¿Vale? Bueno, tenemos la función. ¿No?
Ahí, visto. Y ahora, aquí teníamos, ¿no?, 3,17. Vale. Vamos a este otro
ejercicio que tenemos aquí, ¿no? Que dice lo siguiente. Un bloque de 5
kilos se mueve con velocidad v sub 0 de 6 metros por segundo en una
superficie horizontal sin fricción. Hace un resorte con una constante de
500 que está unido a la pared. El resorte tiene una masa despreciable.
Calcular la distancia máxima que se comprimirá el resorte. Aquí no hay
fricción. Pues podemos pensarlo con fricción también. ¿Eh? Calcular la
distancia máxima que se comprimirá el resorte. Bueno, y si dicha
distancia no puede ser mayor a 0,15, ¿cuál puede ser el mayor valor de v
sub 0? Bueno, va a ser sencillo. Porque, vamos a ver, si comprimimos el
muelle, ¿la fuerza elástica hacia dónde va? Hacia la derecha. ¿Veis de
acuerdo? ¿No? Entonces, entonces, ¿hacia dónde se desplaza? Se desplaza
el bloque hacia la izquierda. Si el bloque se desplaza hacia la izquierda,
¿no? Y la fuerza elástica va hacia la derecha, la fuerza elástica va a
hacer un trabajo negativo. ¿Cuál va a ser la variación de energía
cinética? Fijaos, inicialmente el bloque tiene una velocidad de 6 y al
final se detiene. Por lo tanto, veamos. El trabajo realizado por la fuerza
elástica es menos un medio de kx cuadrado. ¿Por qué es negativa? Porque
la fuerza elástica va hacia la derecha cuando entra en contacto el bloque
y va comprimiendo el resorte. El bloque se desplaza hacia la izquierda,
pero la fuerza elástica va hacia la derecha. Por lo tanto, es un trabajo
negativo en mi sistema. ¿Vale? Trabajo negativo, menos un medio de kx
cuadrado. Y la variación de energía cinética ya hemos visto que es
negativa. Por lo tanto, esta x que se comprime es 0,15 metros. ¿Vale?
0,15... No, perdón. Sale 0,6 metros. ¿De acuerdo? Ahora bien, si queremos
que solo se comprima 0,15, ¿cuál debe ser la velocidad inicial? Pues solo
debe ser de 1,5. 1,5. Ahora bien, ¿qué pasaría si en el apartado A hay
rozamiento y el cuerpo está a una distancia D del resorte? ¿No? Vamos,
estamos haciendo un caso hipotético, complicando un poco el ejercicio.
¿Qué pasa si hay rozamiento y el cuerpo se encuentra a una distancia D
del resorte? ¿Cuál es el trabajo total? Por una parte, el trabajo de la
fuerza elástica, que va en sentido contrario al movimiento. ¿Por qué?
Porque la fuerza elástica va hacia la derecha y el cuerpo lo que hace es
comprimir el resorte. Y después tenemos un trabajo de rozamiento que
también va a ser negativo por coseno de 180 porque se opone al
desplazamiento. Sería FRD más X por coseno de 180. De manera que si el
trabajo total es menos un medio de mv cuadrado, igualaríamos la variación
de energía cinética al trabajo realizado por todas las fuerzas. Y a
partir de aquí obtendríamos... ¿No? Con esta ecuación de segundo grado,
el valor de X. ¿De acuerdo? Bueno. Aquí me quedaba por comentar, os
había dicho que os iba a comentar, cómo sería en este ejercicio si
hubiera rozamiento. ¿No? ¿Qué pasaría si aquí hubiera rozamiento?
¿Cómo calcularíamos nosotros la velocidad? Después de recorrer...
...2,5 metros. ¿No? Bueno. El planteamiento que habría que hacer, ¿qué
sería aquí? Independientemente de los datos numéricos, simplemente
hagamos un planteamiento. La fuerza de rozamiento iría hacia abajo. Esto
sería la fuerza de rozamiento. Pero la fuerza de rozamiento, si repasamos
un poco de dinámica, es mu por la normal. ¿Y la normal qué vale aquí?
La normal, si os dais cuenta, es igual a P sub pi más F sub pi. ¿Qué es
P sub pi? MG coseno de alfa. ¿Y qué es F sub pi? F sub pi es F seno de
alfa. F seno de alfa. ¿Vale? Entonces, la fuerza de rozamiento sería mu
por MG coseno de alfa más F seno de alfa. Entonces, cuando... Cuando
hagamos el balance del trabajo total, habría que indicar el trabajo
realizado por Fx, el trabajo realizado por Px y el trabajo realizado por
Fr. Es decir, aquí tendríamos que añadir el trabajo realizado por... FR,
que sería menos mu por mg por seno de alfa, más F, un momentito, F seno
de alfa. F seno de alfa por el desplazamiento. Por el desplazamiento. Si la
fuerza es lo suficientemente grande para que esto tenga lugar, pues hubiera
esos dos típicos métodos. Porque ahora estamos con un caso hipotético.
Estamos con el caso hipotético de que hubiera esa fuerza de rozamiento. Si
hubiera esa fuerza de rozamiento, evidentemente el trabajo de rozamiento
vendría dado por esta expresión. Donde la normal, fijaos, es P sub pi
más F sub pi. P coseno de alfa más F seno de alfa. ¿De acuerdo? Bien.
Para finalizar, me gustaría... Bien, aquí esta es la resolución, ¿no?
Vamos a ver un ejemplo también aquí para lo último. Pues tenía también
preparado este ejemplo si me daba tiempo. A ver, un momentito. De un cuerpo
tenemos aquí un resorte, bueno, un cuerpo que cae desde una altura
determinada, ¿vale? Y aquí tenemos un resorte que está en la posición
de equilibrio, ¿vale? Está en la posición de equilibrio. Este sistema
tiene una masa M, aquí tenemos una altura H, perdona. Y esto tenemos un
resorte con una constante elástica K, ¿no? Una constante elástica K. Y
queremos saber qué distancia se va a comprimir el muelle. ¿Qué distancia
se va a comprimir este resorte cuando dejamos caer este cuerpo desde una
altura determinada? ¿No? Hasta ahora lo hemos hecho todo en cosas
horizontales, ¿no? Ojo que estoy considerando que aquí no hay ninguna
masa, ¿eh? El resorte es de masa despreciable. Vamos a verlo rápidamente.
Vamos a verlo. Mirad. El peso va hacia abajo. La fuerza que actúa. Cuando
esto esté comprimido, cuando esto esté comprimido, estaréis de acuerdo
que la fuerza elástica del resorte va hacia arriba. Es decir, esto sería
el peso. Esto sería la fuerza elástica. ¿No? La fuerza elástica.
¿Vale? Entonces, ¿estamos de acuerdo que la variación, bueno, el trabajo
total es la variación de energía cinética? ¿De acuerdo? ¿Y cuál es la
variación de energía cinética del sistema? Inicialmente el cuerpo está
en reposo y al final cuando esté comprimido todo el sistema, el resorte,
estará en reposo. Luego la variación de energía cinética es cero,
porque la velocidad inicial y final es nula. ¿Vale? La velocidad inicial y
final es nula. ¿De acuerdo? Ahora bien, al final ¿qué pasa? ¿Qué
trabajo realiza fuerza aquí? ¿Qué dos fuerzas realizan trabajo? El peso,
que realiza un trabajo positivo, y la fuerza elástica, que realiza un
trabajo negativo. Porque va en sentido contrario al desplazamiento. Fijaos,
el peso es un trabajo positivo. Tendríamos el trabajo realizado por el
peso, que sería mg, o la distancia, que es h. Más X, siendo X la
distancia que se comprime el muelle. ¿Y el trabajo realizado por la fuerza
elástica? El trabajo realizado por la fuerza elástica, como va en contra
del movimiento, sería integral, ya no hace falta volver a hacer integral,
menos un medio de KX cuadrado. Pensad que inicialmente se encuentra en la
posición de equilibrio, ¿no? No hay ninguna masa encima. Entonces, la
suma, ¿no? El trabajo total será igual a MGH más X menos un medio de KX
cuadrado. ¿Y esto a qué es igual? A cero. ¿Vale? Entonces tendré un
medio de KX cuadrado menos... MGH menos MGX igual a cero. Y tendré que
resolver una ecuación de segundo grado. Por ejemplo, lo queréis hacer
para una K, ¿no? De 100 Nm, ¿no? Bueno, 100 Nm es bastante grande, ¿eh?
Vamos a ponerlo un poquito más pequeño. 25 Nm, una altura de 2 metros y
una masa de 5 kilos, podríais calcular lo que se comprimiría el muelle.
Pues si queréis dar un dato numérico y si no, no hace falta. Esto sería
una ecuación de segundo grado y obtendríamos ese valor de X. Bueno, pues
veis, yo creo que se ha intentado de alguna manera u otra ver un poquito
cómo aplicaríamos a partir del teorema de energía, trabajo-energía
cómo calcular esos problemas. Es muy interesante porque sobre todo con las
fuerzas variables, porque con las fuerzas variables, pues bueno como es el
caso de los resortes, nos ayuda mucho este sistema. Pues muy bien, muchas
gracias y estamos en contacto. Hasta la próxima semana, seguiremos con el
siguiente tema.