Bueno, pues hoy vamos a hablar de módulo 3, producto de vectores. Hay dos
tipos de productos de vectores, como vamos a ver, producto escalar y
producto vectorial, y luego un tercero, que es producto mixto, escalar y
vectorial. Vamos a ver qué ha dado con ellos. En primer lugar, el producto
escalar de los vectores. En la parte derecha de la diapositiva, parte
superior, vemos los vectores P y Q aplicados sobre un punto y que tienen un
ángulo, forman un ángulo cita entre los dos, que es el que se ve en la
figura. Llamamos producto escalar de estos dos vectores al producto del
módulo P, del vector P, multiplicado por el módulo del vector Q,
multiplicado por el coseno del ángulo formado entre... Se representa... Se
representa por P, en negrita en este caso, o una raya encima, que significa
vector, punto significa producto escalar, Q, que es el otro vector,
también en negrito, con una rayita de sombrero en la parte superior, esa
forma de representar el producto. Producto escalar tiene las siguientes
propiedades. Es conmutativo, es decir, da lo mismo multiplicar el vector P
por el vector Q, el vector Q por el vector P, conmutativo. Además es
distributivo del producto respecto a la suma de vectores, es decir, P
multiplicado por Q1 más... El vector P multiplicado escalarmente por el
vector Q1 más el vector Q2 es, por aquí, lo mismo que multiplicar primero
el vector P por el vector Q1 escalarmente y sumarle el producto. Producto
escalar del vector P por el vector Q1. La propiedad asociativa no es
aplicable en este caso de productos vectoriales. Y finalmente, el producto
escalar de dos vectores iguales, idénticos, P, vector P por vector P, ha
de ser siempre mayor o igual que cero, como deducimos de la fórmula que
hemos visto antes de multiplicación. En escalada, el producto escalar del
vector P por el vector P ha de ser igual al módulo de P multiplicado por
el módulo de P y multiplicado por el coseno del ángulo formado entre los
dos, que son los dos iguales, el ángulo es cero, es uno. Entonces, el
producto escalar de dos vectores P por el P dará el módulo de P al
cuadrado. Como un vector o tiene módulo cero o tiene un módulo positivo,
evidentemente el producto escalar ha de dar positivo. Para calcular el
producto escalar de dos vectores, P y Q en este caso, en función de sus
componentes escalares, es decir, podemos hacerlo producto escalar de dos
formas. Primero, utilizando lo que hemos dicho, la fórmula que hemos dicho
antes. Vector P multiplicado escalarmente por el vector Q ha de ser igual
al módulo de P por el módulo de Q multiplicado por el coseno del ángulo
formado entre los dos. Esto es una forma de calcularlo. Pero normalmente a
mí me darán los vectores P y Q expresados en forma vectorial, es decir, a
través de sus componentes. Por lo tanto, voy a ver cómo puedo calcularlo
de esta forma, el producto escalar. El producto escalar del vector P, cuyos
componentes son P sub X por Y más P sub Y por J más P sub Z por K son los
componentes en los tres ejes. X, Y y Z, como hemos visto en módulos
anteriores del vector P, multiplicados escalarmente por el vector Q que
tiene una expresión vectorial es Q sub X por Y más Q sub Y por J más Q
sub Z por K. Bueno, pues lo multiplicaremos como se hace cualquier
multiplicación aplicando la propiedad distributiva del producto escalar Lo
multiplicaremos P sub X por Q sub X por Y más P sub X por Y multiplicado
por Q sub X por Y más P sub X por Y multiplicado por Q sub Y por J más P
sub X y multiplicado por Q sub ZK más P sub Y por Q sub X y, etc. Pero
debemos tener en cuenta que P sub X multiplicarlo por Q sub X o por Q sub Y
o por Q sub Z Estamos hablando de módulos, por lo tanto de números y no
tiene ninguna complicación. Ahora bien, a la hora de multiplicar los
vectores en este caso el I por el propio I o por el J o por el K debemos
fijarnos en que el producto escalar de dos vectores I por I tienen los dos
la misma dirección tienen los dos el mismo módulo que es 1 se trata de
multiplicación de los versores I como módulo 1, como ya sabemos pues
aplicando la fórmula de, como hemos visto antes del producto escalar
sería módulo de I que es 1 multiplicado por módulo de I que es 1
multiplicado por el coseno del ángulo que forman los dos que es 0 grados
es 1 también, por lo tanto da U I por J sería módulo de I que es 1 por
el módulo de J que es 1 por el coseno del ángulo formado entre los dos
que es 90 grados en este caso el coseno de 90 es 0 por lo tanto el producto
escalar del I por el J sería 0 y este mismo razonamiento lo hacemos para
el producto de los otros tres versores que nos definen las tres direcciones
del espacio multiplicándolos escalarmente entre ellos todos aquellos
vectores, sea multiplicar por sí mismos, multiplicarlos escalarmente por
sí mismos dan 1 si los vectores se tratan como estamos en este ejemplo de
versores, de módulo 1 y aquellos versores que sean perpendiculares entre
sí su producto escalar será 0, será nulo porque el coseno de 90 grados
es 0 por lo tanto solamente será 1 el producto de los versores
multiplicados por sí mismos el producto escalar de los versores
multiplicados por sí mismos si hacemos estas operaciones ordenadamente que
hemos dicho antes nos saldrá que el producto vectorial del vector, perdón
es el producto escalar del vector P por el vector Q será igual al producto
de los componentes de P y de Q en la misma dirección el producto vectorial
del vector P por, perdón escalar, perdón estamos hablando de producto
escalar producto escalar de los vectores P vector Q será igual a la
componente en la dirección x del vector P multiplicado por la componente
en la dirección x del vector Q más la componente en la dirección I del
vector P multiplicado por la componente en la dirección I del vector Q
más la componente en la dirección Z del vector P multiplicada por la
componente. Ahora ya estamos hablando de números porque son módulos, son
expresiones escalares, por lo tanto el resultado será también un número,
un escalar. Esto nos lleva a que el producto escalar de los vectores nos
dará un número, no un vector. ¿Para qué nos va a servir el producto
escalar? Para muchas cosas, pero vamos a ver dos que son muy importantes.
Primero, cuando queramos determinar el ángulo formado por los dos vectores
nos dan dos vectores y nos piden determine usted el ángulo que forman
estos dos vectores. Bueno, como sé que el producto escalar de estos dos
vectores P por Q es el módulo de P por el módulo de Q por el coseno del
ángulo comprendido entre los dos, que hemos visto al principio ¿eh? Puedo
despejar de esta fórmula el coseno de zita, el coseno del ángulo formado
entre los dos, dividiendo el producto escalar de los dos vectores entre el
módulo de P por el módulo de Q. Ese será el coseno del ángulo Por
ejemplo, nos da el vector P con sus vectores pesados vectorialmente, es
decir, con sus componentes según la dirección X, Y y Z y me dan el vector
Q también expresado vectorialmente, es decir, con sus componentes en la
dirección X, Y y Z. Sé que el coseno del ángulo comprendido entre los
dos vectores, perdón, he tomado esto voy a limpiarlo. Yo sé que el coseno
del ángulo comprendido entre los dos vectores voy a limpiarlo. Yo sé que
el coseno del ángulo comprendido entre los dos vectores es igual al
producto vectorial de P por el Q dividido en dos. Y eso se da como
resultado de la fórmula inicial que hemos dicho del producto escalar,
despejándolo de esa forma es igual al producto vectorial del P por el Q
dividido en dos. El producto vectorial de los, perdón, escalar de los dos
vectores será el producto de sus componentes homónimos. Por tanto, Px por
Qx más Py por Qi más Pz Q, con la transparencia, me está dando
directamente el coseno del ángulo comprendido. A continuación, el ángulo
comprendido será el arco cuyo coseno es ese. Fijémonos en la figura
inferior de la parte derecha. Tenemos los ejes Y y Z que nos determinan un
espacio de tres dimensiones y tenemos los vectores P y Q. Y tenemos que
entre los dos forma un ángulo Z, que ahí está puesto como O, pero es...
he querido poner Z. Y sabemos que el producto escalar es el módulo de P
multiplicado por el módulo de Q y multiplicado por el coseno del ángulo
comprendido. Pero fijémonos que si por el extremo de uno de los vectores,
me da igual cualquiera, aquí se ha hecho por el extremo de P, pero podía
también hacerlo por el extremo de Q. Si desde el extremo de un vector
trazo una perpendicular al otro vector, me sale la línea en este caso AB.
Y fijaros que forma un triángulo rectángulo. El triángulo CBAC.
Rectángulo en B precisamente, en el ángulo B. Por lo tanto puedo aplicar
trigonometría. Y sé que P, que es la hipotenusa, multiplicado por el
coseno de Z, me va a dar precisamente... el segmento CB. El segmento CB es
la proyección del vector P sobre el vector Q. Entonces volvamos a la
fórmula anterior con la que definíamos el producto escalar. Decíamos que
el producto escalar era P por Q por coseno de Z. Sí. Pero es que esto es
lo mismo que multiplicar P. Multiplicar P. Multiplicar P por el coseno de
Z. Multiplicamos el vector P por el coseno de Z y nos da la línea CB.
Luego lo multiplicamos por Q, ese trozo de segmento, o sea la longitud de
ese trozo de segmento CB. La multiplicamos por Q y esto es el producto
escalar de los vectores. Así pues, tenemos un nuevo concepto del producto
escalar de dos vectores. El producto escalar de dos vectores es... igual al
módulo de uno de ellos, en este caso P, multiplicado por la proyección de
éste sobre el otro vector, sobre el Q. Que también, repito, podía
haberlo hecho al revés. Podía proyectar el vector Q sobre el P trazando
una línea perpendicular desde el extremo del vector Q hasta...
perpendicular, perdón. Al vector P. Y estaría lo mismo. Estaría que el
producto escalar de los vectores P y Q sería igual al vector Q...
multiplicado por la proyección de este vector Q sobre el otro vector P.
¿Vale? Bueno, pues este es un concepto muy importante que vamos a usar
bastante. Por lo tanto conviene tenerlo en cuenta. Vamos a ver otra
aplicación del producto escalar. La primera era, como ya sabemos...
determinar el ángulo formado entre dos vectores. Ahora vamos a ver la
segunda. Proyección de un vector sobre un eje dado. Ahí, en la parte
derecha de la transparencia, figura superior, tenemos los ejes X, Y y Z que
nos determinan un espacio. Y luego, un vector P pintado en azul. Lo veis
ahí pintado en azul. Eh... Y una línea L. Bueno, pues ¿qué pasa? Se da
la casualidad... No tiene por qué, pero bueno. Se da la casualidad de que
pasa por el origen del vector P. Y si no pasara, pues la haría pasar y
punto. Que no tiene importancia en dónde esté situada la recta L. Tiene
importancia solamente su dirección. Bien. Si proyectamos el vector...
Perdón. Esta recta... La recta L... Tiene una dirección. Y esa dirección
vendrá representada por un versor, es decir, por un vector de
módulo-unidad siguiendo la dirección de la recta, que le hemos denominado
ahí larga. Y esto ya sabemos cómo calcularlo porque en el módulo
anterior hemos visto el vector, el versor que define la dirección de una
recta. Eh... Ahora... Pretendemos proyectar el vector P sobre la recta L. Y
por lo tanto, por el extremo del vector P trazamos una perpendicular a la
recta L. ¿Y dónde? El punto de intersección donde está este segmento
que acabo de trazar corte a la línea L, eso es el extremo de un vector que
uniéndolo con el origen del anterior P pues me da la proyección del
vector P sobre la recta L. Pero esto hemos visto antes, acabamos de decir,
que el módulo de P multiplicado por la proyección de ese vector sobre
otro vector, en este caso el lambda, el vector unitario, eso era el
producto escalar. Por lo tanto... ¿Cómo puedo determinar yo la
proyección de un vector P sobre una recta L? Que le he llamado P o L y lo
he dibujado en rojo. Pues simplemente multiplicando el vector P
escalarmente, multiplicando el vector P por el vector lambda que define la
dirección de esa recta. El producto escalar del vector P por el vector
lambda sería módulo de P multiplicado por módulo de lambda que es 1 y
por el coseno zeta del ángulo comprendido entre los dos. Es decir, estamos
hablando de la proyección P o L, del vector P o L, proyección del P sobre
la recta L. Por lo tanto, proyección de un vector sobre una recta de P es
el producto vectorial de ese vector por un vector lambda unitario que ya
sabemos cómo calcularlo porque lo hemos explicado en el módulo anterior.
Por tanto, ya nos ahorramos todo esto que viene aquí a continuación en la
transparencia. Que al fin y al cabo es cómo determinar el vector lambda
unitario que define la dirección de una recta. Una vez conocido el vector
lambda, si se pide, repito, la proyección de un vector cualquiera, en este
caso P, sobre esa recta L, determinaría el vector lambda de la dirección
de la recta L y multiplicaría escalarmente el vector P por el vector
lambda. El resultado sería el vector P o L, es decir, la proyección del
vector P sobre... Punto. No hay nada más que añadir. En los ejemplos
estos que figuran aquí al final de la transparencia CV 32, 33 y 34 tenéis
problemas. Problemas muy aclaratorios de estas aplicaciones del producto
escalar de dos vectores que son muy importantes desde... O sea, para poder
estudiar con seguridad la asignatura de mecánica. Bien. Hasta aquí hemos
llegado con el producto escalar de dos vectores. Pero hay otro tipo de
producto entre los dos vectores que se llama producto vectorial. El
producto vectorial de dos vectores P y Q es otro vector V. Aquí está la
primera diferencia del ejemplo anterior, del producto escalar. El producto
escalar de dos vectores P y Q era un escalar, un número, no era un vector.
El producto vectorial de dos vectores P y Q es otro vector que cumple lo
siguiente. Fijaros en la transparencia, parte derecha de la transparencia,
la figura A. Tenemos dos vectores P y Q ambos situados en un plano que
está ahí con reflejos. Si queremos multiplicar vectorialmente el vector P
por el vector Q que forman entre los dos tenemos un ángulo cita. Este
producto vectorial, decíamos, tiene las siguientes características. La
dirección del vector V que es el resultado de multiplicar el vector P por
el vector Q es perpendicular al plano que contiene a P y Q. Ahí lo ves en
la figura. El vector V, producto vectorial de P y de Q P por Q es un vector
que es perpendicular al plano que contiene a los vectores P y Q. Y ahí se
ha dibujado en color azul. Este vector tiene un módulo, lógicamente. Ya
sabemos que la dirección es la perpendicular al plano formado por los
vectores P y Q. Pero ¿cuánto vale su módulo? El módulo del vector P del
producto vectorial del vector P por el vector Q es el módulo de P
multiplicado por el módulo del vector Q y multiplicado por el seno del
ángulo que forman entre los dos. ¿Veis otra diferencia con respecto al
producto escalar? El producto escalar es multiplicado por el coseno. Aquí
es multiplicado por el seno. Tercera propiedad que cumple este vector V La
dirección de este vector se define por la regla del sacacorchos. Perdón,
el sentido del vector V se define por la regla del sacacorchos, que es la
siguiente. La regla del sacacorchos dice lo siguiente, o sea, damos marcha
atrás un poco. Estamos pretendiendo calcular el producto vectorial del
vector P por el vector Q y este vector P y Q forman entre los dos un
ángulo alfa y están situados en un plano. El vector producto vectorial de
estos dos vectores es un vector cuya dirección sabemos que es
perpendicular al plano que contiene a P y Q cuyo módulo es el módulo de P
multiplicado por el módulo de Q y por el seno en el ángulo formado entre
los dos citas. Pero nos falta saber el sentido si va hacia arriba o va
hacia abajo ¿Hacia dónde le pongo la flechita? Esto es por, se define por
la regla del sacacorchos. Cojo un sacacorchos de esos de extraer el corcho
de una botella de vino o lo que sea lo coloco en el plano y lo hago avanzar
desde el vector P hacia el vector Q fijaros ahí en la figura B tengo el
sacacorchos en la mano que no se ve muy bien lo pongo en el plano y hago
avanzar el sacacorchos desde el P hasta el Q y observo hacia dónde se
dirige el sacacorchos hacia dónde penetra esa es la dirección del vector
Q lógicamente si lo pongo desde P hasta Q, avanzo desde P hasta Q veo que
el sacacorchos me sube hacia arriba del plano por tanto pongo la flechita
hacia arriba El pronóstico vectorial se representa como lo veis aquí que
con negrita o con el sombrerito con una raya de sombrerito para indicar que
es un vector el signo por X que es el signo del producto vectorial, la
diferencia del punto que es el signo del producto escalar multiplicado por
Q en negrita o con el sombrerito Propiedades del producto vectorial Bueno,
el producto vectorial a diferencia también del escalar no es conmutativo
es decir, el producto del vector P por el vector Q no es igual al producto
del vector vectorial, claro del vector Q por el vector P sino que serían
de sentidos contrarios evidentemente no hay más que ver hacia dónde
avanzaría el sacacorchos si lo hago avanzar desde el vector P hacia Q me
va el vector Q hacia arriba pero si lo hago avanzar del vector Q al vector
P me va hacia abajo por lo tanto, el producto vectorial no es conmutativo
sin embargo, el producto vectorial es distributivo con respecto a la suma
de vectores, es decir P por Q1 más Q2 en este caso siempre hay que hacer
antes la operación que viene entre paréntesis sumaría los vectores Q1
más el Q2 y el resultado de esta suma luego lo multiplicaría
vectorialmente P por ese resultado y me saldría lo mismo que multiplicar
primero P vectorialmente por Q1 y el resultado S sumarlo al vector que da
el resultado de multiplicar P por Q2, propiedad distributiva no es
asociativo el producto vectorial es decir, P por Q entre paréntesis por S
no es igual a P por Q por S es decir si yo hago el producto vectorial del
vector P por el vector Q me sale un vector y ese vector lo multiplico
vectorialmente por el vector S no me daría lo mismo que multiplicar
primero el vector Q vectorialmente por el vector S y ese resultado
multiplicarlo a P el resultado vectorialmente también el resultado no
sería igual es decir, no se no es asociativo el producto vectorial sin
embargo, con un escalar sí que sería asociativo el escalar alfa
multiplicado por el producto vectorial de los vectores P y Q sería lo
mismo que multiplicar primero alfa por P un escalar por ese vector y luego
multiplicarlo vectorialmente por Q o sería lo mismo que multiplicar el
vector P vectorialmente por alfa por Q finalmente vamos a ver una propiedad
muy interesante y que la vamos a usar mucho del producto vectorial de los
vectores el producto vectorial de los vectores P y Q lo veis ahí en la
parte inferior de la derecha, la figura que aparece ahí representa el
área del paralelogramo formado por los vectores P y Q fijaos vectores en
rojo decíamos que el producto vectorial era el módulo de P multiplicado
por el módulo de Q y multiplicado por el seno del ángulo comprendido
entre los dos por el seno de theta pero si nos fijamos Q por seno de theta
sería la altura H de este triángulo rectángulo formado ahí entre el
vector Q la proyección del vector Q sobre el vector P y la línea H
entonces estamos multiplicando al multiplicar el vector P vectorialmente
por el vector Q lo que estamos haciendo es multiplicando el módulo de P
multiplicado por la altura H esto, imaginaros que por el extremo del vector
Q traje una paralela al vector P y por el extremo del vector P traje una
paralela al vector Q para formar ese paralelogramo que vemos ahí y que
está también este es un paralelogramo y como sabemos el área de un
paralelogramo es la base longitud de la base por la altura sería P
multiplicado por H pero es que H es Q por seno de theta es decir, que
estamos haciendo la misma operación que teníamos con en el producto
vectorial módulo de T por el módulo de Q por seno de theta pero Q por
seno de theta es H por lo tanto, el producto vectorial de los vectores P y
Q es un vector V perpendicular al plano contenido entre los dos, y que
tiene de módulo precisamente el área del paralelogramo formado por los
vectores P y Q muy importante esta propiedad para realizar el producto
vectorial cuando el producto vectorial viene perdón, cuando los vectores
vienen expresados de forma vectorial es decir, a través de sus componentes
es decir, con la Y, la J y la K como versores indicando las direcciones X y
Z pues es hacer lo mismo que he hecho antes con el producto escalar
multiplicar los componentes del vector P ordenadamente por los componentes
del vector Q pero claro, van a salir productos vectoriales de versores los
módulos son números, por lo tanto no me importa ya sé multiplicar
números, pero cuando tenga que multiplicar vectores y por Y y por J y por
K, etc debo de entender lo que calcularlo, saber qué resultado da, porque
ahora su producto ya no es un número sino que, para eso vamos a fijarnos
en los productos de los versores el versor Y por el vectorial multiplicado
vectorialmente por el versor Y da cero, claro porque ya sabemos que el
producto vectorial de los vectores es módulo de uno por módulo de otro
por el seno del ángulo formado como aquí los módulos son la unidad de
ambos pues uno por uno da uno ahora bien, el seno del ángulo formado entre
los dos, el ángulo formado entre los dos entre el Y y el Y es cero grados
porque son el mismo vector y el seno de cero es cero por lo tanto su
resultado será el vector cero vector que no tiene dirección ni sentido el
Y por J será módulo de Y que es uno por módulo de J que es uno,
multiplicado por el seno del ángulo comprendido que son noventa en este
caso y el seno de noventa es uno, así que su resultado es un vector de
módulo uno pero ¿qué dirección tiene? apliquemos la regla del
sacacorchos nos vamos al vector fijaros ahí en la transparencia parte
derecha superior figura A el vector Y es el que está dibujado en rojo en
la dirección de X, como ya sabemos el vector J es el que está dibujado en
rojo en la dirección Y si aplicamos el sacacorchos desde Y hasta J
observamos que el sacacorchos sale en dirección de las zetas positivas y
como ya sabemos el producto vectorial es un vector que es perpendicular al
plano formado por los dos vectores Y y J o sea una perpendicular al plano X
y es precisamente el eje Z por lo tanto la dirección es la del eje Z es
decir la dirección K y además positiva puesto que aplicando el
sacacorchos desde Y hasta J me sale que va en la dirección avanza en la
dirección positiva de Z por lo tanto el resultado de multiplicar
vectorialmente Y por J será pintado en azul vamos ahora a ver el resultado
de multiplicar vectorialmente Y por K evidentemente el módulo del vector
producto vectorial es siempre 1 porque el módulo del primero que es 1 por
el módulo del segundo que es 1 multiplicado por el seno del ángulo
comprendido entre los dos siempre es 90 grados salvo que sean el mismo
vector entonces serían 0 y el seno de 90 grados es 1 ahora entonces me
dará un vector el Y por K un vector de módulo 1 cuya dirección es la
perpendicular al plano formado por I y K el plano formado por I y K es el
plano formado del plano XZ por lo tanto una linea perpendicular al plano XZ
es la linea I pero si multiplico I si aplico el sacacorchos empezando en I
y avanzando con el hasta Z me sale que el sentido del sacacorchos avanza
hacia el por lo tanto el producto vectorial de Y por K será menos J el
producto vectorial de J por I hacemos avanzar el sacacorchos desde J hasta
I y me sale el sentido de las Z negativas el producto vectorial de J por J
es 0 puesto que es el mismo vector por lo tanto el ángulo formado entre
los dos J será 0 el seno de 0 es 0 J por K va a dar menos I puesto que
avanza desde J dirección Z hasta perdón J dirección I hasta K dirección
Z y el sacacorchos avanzaría hacia las X positivas por lo tanto daría I
positivo excepta por ejemplo el vector K multiplicado vectorialmente por el
vector J si aplico el sacacorchos avanzando desde K hasta J me va a salir
la dirección de las X negativas por lo tanto el vector resultante será
menos I bien como vemos esto es muy sencillo el producto vectorial de dos
vectores de la misma dirección da siempre 0 y si las direcciones son
perpendiculares tendremos que aplicar el sacacorchos desde uno a otro
observando a ver hacia donde avanza muy sencillo bueno y todo esto
decíamos que lo necesitábamos para poder calcular el producto vectorial
de dos vectores el T puesto en forma de expresión vectorial a través de
sus componentes y el Q puesto expresado también si queremos multiplicar
los dos pues pondremos los componentes de uno y los multiplicaremos
ordenadamente por los componentes del otro aplicando la propiedad
distributiva y fijándonos y teniendo en cuenta lo que acabamos de decir de
la multiplicación vectorial entre dos entre los versores de mismo nombre o
de diferente nombre y nos saldría pues un resultado que sería otro vector
V con esa expresión que veis ahí todo esto que acabamos de decir se puede
hacer efectivamente sin ningún problema pero hay una forma de expresar
esto sin pasar por tantos pasos y sin recordar esa fórmula final que
aparece ahí sino una expresión muchísimo más práctica y fácil de
recordar que es esta que vamos a ver aquí hacerlo en forma de determinante
el producto vectorial de dos vectores para determinar el producto vectorial
de dos vectores haremos de la siguiente forma pondremos un determinante que
la fila superior, la primera fila sea de los vectores o versores y JK que
representa las direcciones X, Y, Z del plano a continuación pondremos las
componentes del primer vector, en este caso del P porque queremos
multiplicar P por Q vectorialmente entonces las componentes como segunda
línea del determinante segunda fila del determinante las componentes del
primer vector P de su X debajo cada una de sus el sitio que le corresponde
el peso X debajo de la Y el peso Y debajo de la J y el peso Z debajo de la
K y finalmente en la tercera fila pondremos las componentes del tercer
vector, perdón del segundo vector, en este caso Q haremos este
determinante resolveremos este determinante y nos saldrá como resultado un
vector que es producto vectorial vector P por el vector Q esta es la forma
que vamos a utilizar siempre a partir de ahora en mecánica para calcular
el producto vectorial y tenéis ejemplos claros que es necesario ver ahí
marcados, el TV 30 el 31 y el 39 en él se exponen todas estas cosas que
hemos dicho de una forma o sea viéndolas prácticamente y se me ha
olvidado decir que el producto vectorial de los versores entre ellos mismos
o entre si, entre ellos mismos Y por I, por J y por K etc tiene una forma
mnemotécnica de saberlos pues para tener una regla más que yo creo que no
hace falta porque está claro simplemente aplicando el sacacorchos entre
ellos sabemos hacia donde se dirige sin ningún problema pero si queremos
recordarlo un poquito más gráficamente pues podemos dibujar este gráfico
que viene ahí en la parte inferior de derecha de la diapositiva se trata
de una especie de círculo sin cerrar con la flechita indicando que giramos
en sentido contrario las agujas del reloj y ponemos el vector, el versor I
en primer lugar el versor J en segundo lugar y el versor K en tercer lugar,
entonces si queremos determinar el producto vectorial de I por J sabemos
que nos va a dar el K es decir avanzamos de uno a otro siempre en sentido
contrario las agujas del reloj para que nos de el resultado en positivo el
avanzar en sentido contrario al marcado por la flecha me va a dar el mismo
resultado pero negativo, ejemplo el vector, el producto vectorial del
vector I por el vector J va a ser un tema que va a aparecer muchas veces
también en mecánica, por lo tanto es conveniente llamamos doble producto
vectorial al producto vectorial de tres vectores entre sí tenemos, antes
ahí teníamos los vectores P y Q simplemente y hemos definido cuál era el
producto vectorial del vector P por el vector Q, ahora tenemos tres el
vector P, el vector Q y el vector R, como ves ahí, P, vector P
multiplicado por el vector Q por el vector R, fijaros en los paréntesis,
repito siempre que haya un paréntesis empezar haciendo la operación que
hay dentro de ese paréntesis y luego la restante es decir que en este caso
sería realizar el producto vectorial de Q por R que es lo que está dentro
del paréntesis y luego el resultado de eso me saldrá un vector V por
ejemplo finalmente debo multiplicar vectorialmente P por V eso es lo que
quiere decir eso cómo lo puedo hacer esto de otra forma sin hacer los
productos vectoriales a través de sus determinantes como hemos visto antes
de una forma más rápida y sencilla bueno, pues mucho más rápido que
hacer un producto vectorial son hacer productos escalares porque al final
se trata simplemente de números, no tengo que fijarme en direcciones
bueno, pues hay una fórmula que es la fórmula de función que se llama
que el producto vectorial este de P por paréntesis Q por R es igual a
producto escalar de P multiplicado por R y luego a ese resultado que es un
número multiplicarlo por el vector Q menos hacer el producto vectorial del
vector P por el vector Q y el resultado que será un número que es un
producto escalar a esta forma de trabajar para hacer un producto vectorial,
un doble producto vectorial se le llama, esta fórmula se llama fórmula de
expulsión y como siempre tiene su regla neumogénica la ponemos aquí en
la figura A de la derecha situamos en un círculo, como veis dibujado en
azul y luego tres puntos del círculo P, Q y R numerados en sentido
contrario perdón, en el mismo sentido de las agujas del rango, P, Q y R y
a continuación la flechita azul es más y la flechita roja es con signo
menos P por fijaros en lo que hemos dicho antes en la fórmula de
expulsión P por R cerrar paréntesis, por Q esto es lo que me indica la
línea verde menos P por Q cerrar paréntesis es esta que veis aquí abajo,
podrían también poner los paréntesis de otra forma, como veis aquí
primero P por Q cerrar paréntesis por R y entonces la fórmula de
expulsión sería P por R multiplicado por Q menos Q por R multiplicado por
P que tiene esta fórmula neumotécnica que vemos aquí en la figura B de
abajo es lo mismo que antes sólo que ahora la flechita roja empieza en Q
en vez de empezar en P ¿vale? estas fórmulas de expulsión vuelvo a
repetir se utilizan mucho en la asignatura de mecánica, por lo tanto es
conveniente tenerlas en cuenta sobre todo se utiliza mucho a la hora de
hacer demostraciones de ciertos teóricos problemas o ciertas cosas vais a
ver ejemplos muy prácticos de esto en el FV35 el FV36 y el FV37 que os van
a aclarar todo lo que hemos dicho producto mixto de tres vectores ojo, no
es ya el doble producto vectorial son dos cosas diferentes aquí también
hay tres vectores el S, el P y el Q pero vamos a multiplicar S, vector S
multiplicado escalarmente por el resultado de multiplicar vectorialmente P
por Q como veis se trata de un producto escalar y de un producto vectorial
por eso se llama producto mixto aquí en la parte derecha superior veis los
tres vectores vector P, el vector Q y el vector S queremos multiplicarlo
mixtamente como hemos dicho antes el vector S multiplicado por el producto
resultado de multiplicar vectorialmente el P por el Q bueno, el producto
vectorial de P por Q como ya sabemos es un vector perpendicular al plano
que contiene a P y Q como ya hemos visto antes ahí es el vector un vector
que hemos pintado en azul perdón, si, en azul perpendicular al plano
formado por P y Q hemos visto antes esto ya lo hemos visto que es el
producto o el vector producto vectorial de P por Q pero ahora me exigen
multiplicar el otro vector, el S escalarmente por ese vector P por Q y como
ya hemos visto antes pues trata de multiplicar el vector S perdón el
vector P por Q por la proyección de S sobre P por Q como ya hemos visto
antes que era el producto escalar de los vectores vale entonces vamos a ver
que es lo que representa el producto visto, fijaros aquí en la parte
central tenemos los vectores P y Q y el vector S y hemos formado un
paralelepípedo que tiene por arista los vectores los tres vectores, el S,
el P y el Q y este paralelepípedo tiene un volumen el volumen de cualquier
paralelepípedo será el área de la base multiplicada por la altura
hombre, pero es que el área de la base hemos dicho hace un momento cuando
hablamos de producto vectorial que coincide con el producto vectorial de P
y Q es decir, el producto vectorial del vector P por el vector Q es el
área del paralelogramo este que vemos ahí arriba en la primera figura de
este paralelogramo que es la base del paralelepípedo si ahora lo
multiplicamos escalarmente por el vector S como sabemos que el producto
escalar del vector S por otro vector es la proyección del vector S es el
producto de un vector que era P vectorialmente por Q que era el área de la
base multiplicado por la proyección del vector S sobre el Q que es la
altura precisamente de este paralelepípedo si multiplicamos la base por la
altura me da el volumen del paralelepípedo, por lo tanto el producto
vectorial perdón, el producto mixto de los vectores S P y Q no es más ni
menos que el volumen del paralelepípedo formado por esos tres vectores
podía haber cogido lo vemos a continuación tengamos en cuenta que según
el orden en que se tomen estos tres vectores saldrá el mismo resultado
pero con diferentes signos es decir, nos va a salir exactamente igual el
volumen, pero a lo mejor con signos diferentes que queremos decir con esto
hemos dicho antes oiga, el producto de S multiplicado escalarmente por el
producto vectorial de P y Q da el volumen del paralelepípedo que veo aquí
en la figura central de la transparencia pero y si multiplicar S
escalarmente por P vectorialmente por Q, multiplico T por ejemplo por Q y
por S me saldría el mismo resultado o bien si multiplico S por Q y por P
me saldría el mismo resultado pues efectivamente el resultado, el número
que sale porque al final es un número porque la operación final fue un
producto escalar, como sabemos el resultado de un producto escalar es un
número el número que me sale coincide con el volumen del paralelepípedo
da igual el orden de los vectores que coja ahora, me puede salir un signo
menos o un signo más porque ya sabemos que el producto vectorial no es
computativo no es lo mismo multiplicar P por S que S por P el resultado es
el mismo pero el sentido es contrario por eso me puede salir un número
negativo como lo puedo como puedo saber si me va a salir negativo o me va a
salir positivo otra vez volvemos a la regla mnemotécnica del circulito que
ves ahí en la parte inferior de la transparencia pongo los tres vectores
S, P y Q y si voy y pongo el sentido positivo el sentido contrario de las
agujas del reloj y ahí que haya puesto el signo de la flechita si
multiplico S escalarmente por el producto vectorial de P y por Q es
positivo si multiplico P es decir, siempre yendo en el sentido de la flecha
si multiplico P escalarmente por el producto vectorial de Q por S también
me da positivo ahora, si lo hago al revés circulando el sentido contrario
de la flechita me va a salir negativo por ejemplo, si multiplico S
escalarmente por el vector Q vectorialmente por P me va a salir negativo el
resultado es el mismo pero con signo negativo lo mismo que si multiplico P
escalarmente por el producto vectorial de S por Q negativo y vamos en el
mismo sentido de la flecha, positivo el sentido contrario, negativo ¿cómo
se calcula el producto mixto? hay también una forma muy sencilla de
hacerlo sin necesidad de andar multiplicando los componentes de los tres
vectores entre sí usando la propiedad la forma esta sencilla es la del
determinante y la veis ahí en la parte inferior de la transparencia es
decir, si quiero multiplicar producto mixto del vector S por el vector P
por el vector Q pongo un determinante la primera fila de los componentes
del vector S en la segunda fila los componentes del segundo en la tercera
fila los componentes del tercero desarrollo este determinante y al final me
va a salir un número porque veis que ahí son todos números no hay
vectores, no era igual que en el producto vectorial que en la primera fila
le poníamos los versores I, J, K por tanto el resultado va a ser un vector
me van a salir las componentes según I según J y según K aquí no, va a
salir un número porque al final producto mixto el resultado del producto
mixto es un número es la forma más rápida y más sencilla de realizar el
producto mixto propiedades del producto mixto intercambiabilidad del
producto escalar con el vectorial fijaros ahí arriba está muy claro tengo
tres vectores P, Q y S y digo que P multiplicado escalarmente por Q
vectorialmente por S es lo mismo, es igual que multiplicar P vectorialmente
por Q y el resultado por S fijaros que he mantenido el orden de P, Q y S
pero he cambiado los signos primero está el escalar y luego el vectorial
en la parte derecha de la igualdad primero el vectorial y luego el escalar
esto es factible se llama propiedad de intercambiabilidad del producto
escalar con el vectorial permutabilidad circular entre los vectores fijaros
P escalarmente por Q vectorialmente por S es igual a S escalarmente por P
vectorialmente por Q igual a Q escalarmente por S vectorialmente por P
primero el signo escalar segundo el signo vectorial pero a los vectores le
permitimos permutarse circularmente que es esto de permutarse circularmente
volvemos otra vez al circulito de marras de la parte inferior transparente
ponemos el circulito con la flecha en sentido contrario a agujas del reloj
y los vectores P, Q y S o S, P y Q verais en el sentido que están P, Q y S
si vamos en el sentido se nos permite cambiar el orden de los vectores
siempre en el sentido lo que se llama permutabilidad circular si vamos en
sentido contrario a la flechita el signo cambia y vemos ahí un momento P,
Q y S fijaros vamos en el sentido de la flecha S, P y Q seguimos viendo en
el sentido de la flecha Q, S, P seguimos viendo en el sentido de la flecha
por lo tanto igualdad entre ellos manteniendo siempre los productos
escalares el segundo vectorial antisimetría respecto del producto
vectorial es decir P por Q por S es igual a menos P por S por Q si nos
fijamos en la regla mnemotécnica esta de la parte derecha inferior de la
transparencia del circuito ese famoso primero empezamos con P, Q y S yendo
en el sentido de las flechas y luego en la parte derecha de la igualdad
hemos cambiado porque hemos puesto P, S, Q vamos en sentido contrario a las
flechas por tanto a eso se le llama antisimetría respecto al producto si
seguimos la dirección de las flechas podemos cambiar el orden de los
factores sin ningún problema ahora si damos vamos en sentido contrario a
la dirección de la flecha hay que cambiar el signo esto lo veis
clarísimamente también en el ejemplo que os pongo ahí que es un ejemplo
práctico muy interesante y con esto llegamos al final del módulo 3 el
siguiente será el 4 y en él trataremos de otro tema muy importante
también en mecánica