Compruebo que estará grabando. Vale, fenomenal. Bueno, pues buenos días.
Hoy quería comentaros dos cositas. Una es de orden práctico. En el curso
virtual habréis visto que ha aparecido ya la solución de la prueba de
evaluación, de autoevaluación, las PEAs del tema 1. Y el equipo docente
ha puesto las soluciones por escrito y además ha sido muy amable y nos ha
puesto unos vídeos en los que lo explica de una manera bastante clara las
soluciones. Podéis comprobarlo. Y además, en lo que se refiere al tema 2,
pues se han abierto ya la prueba de autoevaluación correspondiente al tema
2. Y yo supongo que en unas semanas o así, según el cronograma, pues se
abrirán las soluciones. Estoy haciendo un poquito de parar porque he visto
que están poniendo la transcripción desactivar. Voy a ver si desactivo la
transcripción en inglés, o sea, desactivo la transcripción. Bueno, ya
sabéis que yo estoy en principio abierto. Espero que me digáis. Yo ya
había pensado dedicar un primer tiempo a aprender en todo detalle y
familiarizarnos con una operación que es fundamental, es una herramienta
básica para este tema, que es cuando yo tengo un NRC, que son las enuclas
de números reales, las parejas de números reales. tripletas, las
cuadrupletas de números reales, yo tengo subespacios vectoriales que se
pueden definir de dos maneras. Una es la forma implícita, es decir, que el
subespacio vectorial son las soluciones de un sistema homogéneo de
ecuaciones lineales. Por ejemplo, estoy en R3, un sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas, de forma implícita. Otra forma de definir el mismo
subespacio es en forma paramétrica, es decir, son todos los vectores que
son combinación lineal de un conjunto de vectores generadores. La forma de
pasar de uno a otro es lo que nosotros vamos a trabajar ahora con ejemplos.
Vamos a ver dos o tres ejemplos bien hechos con todo detalle y entonces el
que hace uno hace todos los que quiera y entendemos cómo funciona. La
forma de pasar de forma implícita a forma paramétrica es el método de
Soluz. La solución general de un sistema y de pasar de forma paramétrica
a forma implícita es eliminar parámetros. Para todo ello vamos a utilizar
como pico y pala el método de Gauss, el método de eliminación de ambos.
Entonces lo que vamos a hacer yo, esto un compañero me lo ha pedido y lo
vamos a hacer con todo detalle. Vamos a hacer cuatro ejemplos de R3.
Entonces el que entendemos... Si entendemos el mecanismo para tres lo
entendemos para cualquier. Por ejemplo, vamos a empezar con este ejemplo.
El ejemplo uno yo tengo, estamos en R3 y yo tengo tres ecuaciones
paramétricas que dice que X es igual a lambda, Y igual a menos lambda y Z
es igual a dos lambda donde lambda es un parámetro real. Es decir, yo voy
a describir todos los vectores X y Z de R3 que se obtienen dando valores a
lambda. Por ejemplo, cuando lambda es cero pues tengo el vector cero, cero,
cero. Cuando lambda es uno pues tengo el vector uno menos uno, dos. Que
lambda es menos tres pues tengo el tres, el menos tres, tres, menos seis.
Que lambda es mil pues tendría el mil menos mil y dos mil. Y cuando lambda
va recorriendo todos los números reales yo voy obteniendo una serie de
vectores de R3 que se obtienen que forman el subespacio vectorial que tiene
estas ecuaciones paramétricas. Esto escrito en notación vectorial pues
sería escribir así para que quede más claro esto que hemos comentado
antes. Yo puedo decir que el vector X y Z es lambda, un parámetro lambda,
un número real multiplicado por el vector uno menos uno, dos. Fijaros que
X es igual a lambda, Y es igual a menos lambda y Z es igual a dos lambda.
Esto pues es lo mismo. Ahora aquí queda muy claro que el vector, lo que
estoy describiendo de esta manera paramétrica es un conjunto de vectores
que es un subespacio vectorial que se dice abreviadamente que está
generado, por eso se utilizan estos corchetes angulares, uno menos uno,
dos. O sea sería el vector uno menos uno, dos y todos sus posibles
combinaciones lineales, es decir, todos sus múltiplos. Esto es una manera
paramétrica de describir un subespacio vectorial. Como en R3 podemos tener
una intuición bastante clara que estamos haciendo sin necesidad de otros
artilugios, pues yo tengo que un vector que es el uno menos uno, dos y
todos sus múltiplos pues forman una recta. Yo lo podría visualizar como
una recta que pasa por el origen. Esto también incluye el vector cero,
cero, cero. Y la suma de dos vectores de este subespacio pues es a su vez
de este subespacio y el producto escalar de un vector de este subespacio
pues es también de este subespacio. Luego esto es una estructura de
espacio vectorial. Ahora si yo tengo descrito un espacio vectorial de forma
paramétrica como la combinación lineal de un conjunto de vectores. En
este caso de un vector de espacio vectorial. vector solo, ¿cómo lo puedo
pasar a forma implícita? Es decir, ¿cómo dar un sistema de ecuaciones
cuyas soluciones sean precisamente estos vectores? Pues hay una forma que
diríamos que es la forma patatera. La forma patatera es la forma que hemos
visto en el colegio que era el método de sustitución o el método de
igualación. Por ejemplo, si yo digo x es lambda, y yo me voy a las, ya
cojo una de la lambda, lo despejo en una, pues ahora lo sustituyo en las
otras. Si x es lambda, y es igual a menos x, y z es igual a 2x. Entonces ya
he conseguido eliminar el lambda por el método de sustitución. Lo despejo
en una y ese lo sustituyo en las otras. También podría haber hecho...
Esto es el método que te da de ojo en las ecuaciones. Una sería que x es
igual a menos y, y otra sería que z es igual a 2x. Otra forma de eliminar
el parámetro pues sería el método de eliminación, que sería despejar
lambda en todas las ecuaciones y luego igualarla al 2 a 2. Por ejemplo, si
yo despejo de aquí lambda, tengo que lambda es x. Aquí tengo que lambda
es igual a menos y. Y aquí tengo que lambda es igual a un medio de zeta.
Si yo igualo esta con esta, tengo que x es igual a menos y. Y si yo igualo
esta con esta otra, tengo que x es igual a un medio de zeta. Y ya he
conseguido eliminar el parámetro. Estos serían los métodos que haríamos
con las herramientas matemáticas que traemos del colación. Sería
eliminar los parámetros por sustitución o por igualación. Pero nosotros
vamos a hacerlo por nuestro... Estamos muy contentos porque sabemos el
método de Gauss que es muy fácil de programar y es muy sistemático,
porque cuando yo tengo aquí tres ecuaciones, pues me da de ojo lo que
tengo que hacer más o menos. Pero si yo tengo mil, pues ya no me da tan de
ojo qué es lo que tengo que hacer. Entonces, el método sistemático
sería el siguiente. El razonamiento que hay que hacer es el siguiente.
Cuando yo me fijo en esta ecuación, estoy diciendo que el vector x y z es
una combinación lineal de este. Luego, si yo cojo este vector con este, el
rango del sistema formado por el vector x y z y este otro de aquí, el
rango va a ser uno. Porque yo estoy diciendo que x y z depende de... Es una
combinación lineal de estos. Luego, el sistema formado por estos dos
vectores es uno. Es decir, solamente hay uno linealmente independiente. O
sea, subsistema de un vector linealmente independiente. Porque el otro
depende de este. Entonces, si yo escribo esta noción que tengo aquí
utilizando el concepto de rango, tengo que el rango del vector 1 menos 1, 2
y el vector x y z, el rango de estos dos vectores... El rango de estos dos
vectores es uno. Si yo escribo que el rango de estos dos vectores es uno, y
yo escribo en vez de estudiar, como sabemos que para estudiar el rango de
una matriz de un sistema de vectores hay que reducir la forma escalonada
por el método de Gauss, pues yo utilizando el método de Gauss tengo 1
menos 1, 2, x y z, voy a reducir la forma escalonada. Como uso el 1 como
pivote, tengo que hacer un 0 aquí. Para eso voy a utilizar el método
sistemático este que yo el otro día llamaba el del tiki-taka. Es decir,
lo que voy a hacer es multiplicar esta ecuación por 1, la de abajo la
multiplico por 1, la de arriba la multiplico por x y la resto. Y digo, 1
por x, 1 por x, menos x por 1, 0. 1 por y, menos x por menos 1, o sea, y
más x y más x. 1 por z, menos 2 por x, z menos 2x. Es como los
determinantes. Este por este, menos este por este. Este por este, menos
este por este. Estoy multiplicando la de abajo por 1 y la de arriba por x y
la resto. Esto, si la de afila de abajo la multiplica por 1, la de arriba
por x y la resta, esto lo automatiza muy fácil llevando el dedo. Este por
este, menos este por este. Este por este, menos este por este. ¿De
acuerdo? Entonces ya fijaros que ya tengo esto escrito. El rango de esta
matriz es igual al rango de esta matriz y el rango es 1. El rango de esto
es 1. Pero esta es escalonada. Esto es lo mismo que había escrito antes,
pero en forma escalonada. ¿Ok? Entonces, ¿cuándo el rango de esta matriz
es escalonada? Perdón, ¿cuándo el rango de esta matriz escalonada es 1?
¿Cuándo es 1? Pues para los valores de x y z que hacen que esto valga 0 y
que esto valga 0. Para que el rango sea 1, tienen que ser 0 estas dos
cantidades. Y entonces, pues bueno, pues fijaros que esto es el sistema de
ecuaciones. El sistema de ecuaciones que, bueno, puesto en orden, en el
orden que se suelen escribir las ecuaciones, es x y z, pues sería x más
igual a 0 y aquí sería menos 2x o 2x menos z igual a 0. Es costumbre en
las ecuaciones costumbres. Se considera de mal gusto. Entonces, este
sistema pues está. Luego, fijaros que yo he pasado de una ecuación
paramétrica a una ecuación implícita. ¿Cómo? Eliminando parámetros.
Eliminando parámetros, ¿cómo? Pues por el método patatero del colegio,
que es sustitución o igualación, que cuando son pocas variables, pues...
Es bastante rápido. O por el método sistemático, que es el método de
Gauss. Otro comentario de índole práctico para cuando estemos haciendo
ejercicios de... No cuesta nada y además es una comprobación para ver que
hemos hecho bien. Yo tenía el vector este, el vector 1 menos 1, 2, ¿os
acordáis? Que era el que generaba el espacio. Y yo he dicho que el espacio
generado por 1 menos 1, 2... Verifica este sistema de ecuaciones.
Comprobación sencilla, elemental. El vector 1 menos 1, 2 y todos sus
múltiplos verifican el sistema de ecuaciones. A ver, ¿x más igual a 0?
¿1 menos 1 es igual a 0? Sí. ¿2x menos z es 0? ¿2 por 1 menos 2 es 0?
Sí. Luego, fijaos que este vector es solución de este sistema de
ecuaciones. ¿Vale? Y es una comprobación, con lo cual lo que estoy
diciendo es que el mismo subespacio vectorial lo puedo describir de dos
maneras distintas. Lo puedo describir como el conjunto de los x y z de R3,
tales que x es igual a lambda, igual a menos lambda y z es igual a 2 lambda
para lambda perteneciente a los números reales, es lo mismo que el
conjunto de los x y z de R3, tales que x es igual a lambda, igual a menos
lambda y z es igual a 2. Y esto es de los corta-pega, estos que lo llevan,
me perdonen yo lo corregiré, de los x y z pertenecientes a R3 tales que
verifican este sistema homogéneo de ecuación. Las soluciones de un
sistema homogéneo de ecuaciones, homogéneos son los sistemas en los que
el término independiente es 0. Es lo mismo que este conjunto y es lo mismo
que esta es la anotación de los corchetes angulares, que es el espacio
generado por el vector 1, menos 1, 2. Ahora ejemplo, lo vamos a complicar
un poquito más poniendo dos parámetros. Luego ya, pues una vez que
entendemos la idea, pues lo mismo nos da hacerlo para dimensión 50 que
para dimensión 1000. Imaginaos que yo tengo aquí también otro subespacio
descrito en forma paramétrica. X es igual a lambda, Y es igual a mu, y Z
es igual a menos 2 lambda más mu. Es un sistema paramétrico donde lambda
es un valor real y mu es otro valor real. Bien, esto si yo lo escribo en
notación vectorial me queda más claro lo que quiero decir. Son los
vectores X y Z, que son lambda por, la X tiene un lambda, la Y no tiene
lambda, y la Z tiene menos 2 lambda, y el mu, la X no tiene mu, la Y tiene
un mu, y la Z tiene mu. Luego sería el conjunto de los vectores X y Z de
R3, que son una combinación lineal de estos dos vectores. Es decir, sería
el espacio generado por el 1, 0, menos 2, que es un 2, y por el vector 0,
1, 1. Está claro que estos dos vectores son linealmente independientes,
pero me da de ojo que uno no es múltiplo del otro, ni el otro es múltiplo
del uno. Luego son un sistema de dos vectores linealmente independientes.
Luego este espacio tendría dimensión 2 porque está generado por dos
vectores linealmente independientes. ¿De acuerdo? Bueno, pues ahora yo
digo, bueno, vamos a ver, ¿cómo sería esto? ¿Cuántos? ¿Cómo sería
esto en forma implícita? Es decir, ¿cuál sería el sistema de ecuaciones
que tiene como solución precisamente los vectores que son lineales? De
esta manera. Pues lo que tengo que hacer es eliminar parámetros. Fijaros
que aquí eliminar parámetros por el método patatero sería muy fácil
porque si yo quiero hacer el método de sustitución, la lambda despejo
aquí y es la x. Entonces en las otras ecuaciones donde ponga lambda pongo
x y ya quita una ecuación. Luego despejo la mu y donde ponga mu en las
otras ecuaciones pongo y y ya he eliminado la ecuación. Luego en este caso
es absolutamente inmediato decir que zeta es igual a menos dos x más y y
ya he eliminado los parámetros. Luego sería dos x menos y más zeta es
igual a cero aquí. Fijaros que lo he hecho del tirón y no me ha costado
gran cosa. Puedo comprobar incluso que esta ecuación la verifican estos
vectores. Entonces dos x menos zeta es cero. Y uno uno que sería menos uno
uno cero. Luego fijaros que aquí por el método del patatero pues lo
hacemos inmediatamente. Pero nosotros vamos a hacerlo sistemáticamente por
el mismo método que hicimos antes. Yo escribo los dos vectores, el uno
cero menos dos y el cero uno uno que me generaba en el espacio. Yo tenía
esta expresión, ¿de acuerdo? Entonces como el vector x y z depende
linealmente de estos otros dos. ¿Qué tengo? Que el rango formado por los
tres es dos. Porque uno depende linealmente de los otros. Entonces yo puedo
escribir que el rango es esa relación algebraica o que he escrito antes,
esas ecuaciones que he escrito antes las puedo escribir utilizando el
concepto de rango así. Pero también como sé que los sistemas
equivalentes por Gauss mantienen el rango, pues le aplico el método de
Gauss y ya lo tengo. Yo tengo aquí que reducir esta matriz a formación.
Una escalonada. Entonces bueno, aquí ya tengo, uso este como pivote, este
ya lo tengo. Solo tengo que hacer un cero ahí. Y ya está, ¿no? Entonces
multiplico la de abajo por uno, la de arriba por x y la resto. Uno por x
menos x por uno, cero. Uno por y menos yx por cero y uno por z menos x por
menos dos sería z más dos x y ya lo tengo. Entonces ahora debería
utilizar este como pivote para hacer un cero ahí. Multiplico. Multiplico
la de abajo por uno, la de arriba por y y la resto. Uno por y menos y por
uno, cero. Uno por z más dos x es z más dos x. Menos uno por y, menos y y
ya tengo aquí este terminado. Entonces fijaros que el rango de esta matriz
sea dos ocurre cuando los, esto que tengo aquí sombreado en amarillo, z
más dos x menos y es cero. ¿Veis? Esta sería la forma implícita. Debe
ser, pues es la que había obtenido antes. Ya sabéis que esto en principio
no es único porque yo tengo, puedo tener, cuando yo doy una forma
implícita doy un sistema de ecuaciones. Pero ya hemos visto que hay varios
sistemas de ecuaciones equivalentes. O sea, no tiene por qué ser siempre
la misma. Comprobamos que verifica el sistema. Esto ya lo hemos comprobado.
Y fijaros que aquí lo que tengo es escrito esto de dos maneras distintas.
El espacio vectorial. Como el conjunto de los x y z pertenecientes a r3
tales que verifican las ecuaciones paramétricas con lambda y mu
parámetros reales. O bien, descrito como el conjunto de las llaves de los
vectores x y z. Esto es un x y z de r3 tales que dos x menos y más z es
igual a c. O lo que es lo mismo, el espacio vectorial generado por estos
dos vectores. Luego, a ver, lo que yo quiero que nos quede muy clarito es,
que lo vamos a ver con estos dos ejemplos haciéndolo al revés, que cuando
yo quiero describir un subespacio vectorial lo puedo escribir de forma
implícita o de forma paramétrica. Y que cuando yo veo no tengo que tener
ninguna pérdida mental de verlo de las dos maneras. ¿De acuerdo? Por
ejemplo, vamos a hacer los otros dos ejemplos pero al revés. Yo voy a
partir de un sistema de dos ecuaciones con tres sincronismos. Fijaos que
cuál era el método de hallar la solución general. El método de hallar
la solución general que estudiamos en el capítulo anterior era, en vez de
utilizar ese sistema, tener otro sistema equivalente escalonado y luego
coger tantos parámetros como incógnitas me sobren. Esto es dicho en
lenguaje Google, por ejemplo. Esto de que me sobran y me faltan. Lo digo
con un poco más de precisión. Yo tengo aquí un sistema de dos
ecuaciones, dos ecuaciones con tres incógnitas. ¿De acuerdo? Dos
ecuaciones, tres incógnitas. Número de ecuaciones linealmente
independientes, número de incógnitas. Si yo quiero hallar la solución
general, lo que tengo es que digamos llegar a un sistema cuadrado que tenga
tantas ecuaciones como incógnitas. Y las incógnitas que me sobran son las
que paso al otro miembro como parámetros. Es decir, que el número de
parámetros va a ser el número de incógnitas menos el número de
ecuaciones. No sé si lo he escrito muy claro. Cuando yo resuelvo el
sistema, el número de parámetros... Por ejemplo, aquí tengo dos
ecuaciones y tres incógnitas. Si yo lo resuelvo para hallar la solución
general, digamos que para tener tantas ecuaciones como incógnitas me sobra
una incógnita. Pues esa incógnita que me sobra va a ser el número de
parámetros, la que voy a tomar como parámetro. Luego aquí la solución
general va a depender de un parámetro. Ya lo puedo decir antes. O sea, la
dimensión de este espacio va a ser uno. Va a depender de un parámetro.
Fijaros que si yo lo formulo en términos de vectores, el número de
incógnitas es la dimensión del espacio. El número de ecuaciones es el
rango, que es el número de la matriz del sistema. Digo que esto lo podría
formular de una manera pedante, o sea, de una manera más profesional o de
una manera un poco más íntima. Bueno. Fijaros, voy a hallar la solución
general. Ángel, una pregunta, por favor. Si dos subespacios están
generados por el mismo número de vectores, ¿quiere decir que esos dos
vectores, cualesquiera, generan el mismo subespacio? Sí, a ver. Aquí lo
podemos visualizar muy bien, por ejemplo en R3. Imagínate que yo tengo,
este es el origen, yo tengo un plano que pasa por el origen. Este plano
tiene dos vectores y vectores, o sea, dos vectores que lo generan. O sea,
puedo decir que el plano está formado por todos los vectores que son una
combinación lineal de estos dos. Pero es que yo podría coger de este
mismo plano otros dos vectores que sean linealmente independientes. Pues
podría decir que ese mismo plano, si este es el espacio U, el espacio U lo
puedo poner... Lo puedo poner como generado por estos dos o por los rojos.
O sea, no es único. O sea, yo un mismo plano lo puedo poner como con dos
vectores directos, con una pareja de vectores diferentes. No es único.
Vale, o sea que digamos que el rango 2, en este caso, estaría significando
un plano cualquiera. Aquí, en este caso, no es un plano. Es un... Es una
recta, porque depende de un parámetro. Yo creí que la pregunta era en
general. En este caso, fíjate que la solución va a ser generada por un
vector, pero el mismo vector, la misma recta puede estar generada por este
o por otro, aunque es un múltiplo suyo. Y en este caso la interpretación
sería... Esto es un plano y esta es la ecuación de otro plano. No sé si
os acordáis de la geometría de R3. Este es el plano que... Tenía como
vector normal el 1, 1 más 1. Entonces, yo puedo interpretar
geométricamente una recta como generada por un vector director de la recta
o por la intersección de dos planos. En este caso, la intersección de dos
planos, que serían los dos planos que tiene esta ecuación, y en
paramétrica sería el vector director. No sé si... Vamos a hacer el
ejemplo este. Imaginaos que yo tengo este sistema de dos ecuaciones
linealmente independientes con tres sincronizados. Y yo quiero hallar la
solución general. La solución general es darlo en forma paramétrica.
Entonces, pues el método que habíamos visto en el capítulo anterior...
Voy a borrar esto un poco. Lo que habíamos visto en el capítulo anterior
era que yo me escribía la matriz del sistema, que era 1, 1, menos 1. 0, 2,
1, 1. 2, 1, 1, 0. Y entonces lo que hacía era reducir la forma escalonada
por el método de Gauss. Entonces, uso esto como pivote y hago 0 aquí. Es
decir, la de abajo por 1, la de arriba por 2 y la resta me da 0. La de
abajo por 1, 1, menos 2, menos 1. 1 por 1 es 1. 1, menos, menos 2. O sea,
es 1 más 2, 3, 0. Y este ya es escalonado. Luego esto, fijaos que esto es
un sistema escalonado. Esto de aquí sería escalonado. Escalonadito. X
más Y menos Z igual a 0. Y menos Y más... Que es equivalente a este. Este
sistema es equivalente porque le he hecho operaciones que mantienen los
sistemas equivalentes, pero es escalonado. Entonces aquí la forma de
resolver esto y la solución general es coger una de las incógnitas como
parámetro. Z igual a lambda. Por eso decía que es la incógnita que
sobra. Sobra una incógnita. Entonces si yo cojo... Z es igual a lambda. En
cascada, en esta ecuación despejo la Y. La Y es igual a 3Z. Pues la Y es
igual a 3 lambda. Y en la otra ecuación despejo en cascada. La X es menos
Y más Z. Pues menos Y más Z que es menos 2 lambda. Y ya lo tengo en forma
paramétrica o escrito en notación vectorial. Sería el vector X y Z es un
múltiplo. Lambda, un escalar lambda por el vector menos 2. Menos 2. Menos
3, 1. Una comprobación que no cuesta nada hacerla. Además es para que
veáis precisamente que funciona bien. Es que el vector menos 2, 3, 1 es
solución de esta ecuación. Menos 2 más 3, 1. Menos 1, 0. Y de esta otra.
2 por menos 2, menos 4. Menos 4 más 3, menos 1. Más 1, 0. Luego este
vector es menos 2, 3, 1. Lo he comprobado. Verifica. Es una solución del
sistema este. Luego yo puedo describir. El mismo espacio de dos maneras.
Como el conjunto. Cuando te equivocas en la tontería esta. O como haces
todo corta a pega. Pues vas arrastrando la rata por todo esto. Sería el
vector X y Z de R3. Tal es que verifica este sistema homogéneo de
ecuaciones. Es lo mismo que el conjunto de los vectores X y Z de R3. Tal es
que son una combinación. En estas ecuaciones. Son parámetros. Para la
náutica. Un parámetro de. La interpretación geométrica. Pues es la que
hemos visto. Otro caso. Por ejemplo. A mí me dan esta ecuación
implícita. X menos 2Y más Z igual a 0. Es un sistema de una ecuación con
tres incógnitas. Una ecuación con tres incógnitas. Luego ¿cuántas
incógnitas me sobran? Dos. Para que sea el mismo número de ecuaciones. El
incógnito. ¿Cuántas incógnitas me sobran? Tengo un par de. Es un
sistema cuadrado. Me sobran dos. Luego la solución va a depender de dos
parámetros. Dos parámetros. Es decir, geométricamente va a ser un plano.
Va a ser la combinación. Igual de dos. Bueno. En este caso ya no tengo que
reducir a forma extraordinaria porque ya lo es. Es una línea solo y ya
está. Entonces solamente tengo que elegir dos de las cinco incógnitas que
puedo elegir como parámetros. Por ejemplo. Si digo que Z es. Igual a
Landa. Y que I es igual a Mu. Lo único que tengo que hacer es despejar Z
es igual a Landa. Igual a Mu. Despejo aquí la X y ya lo tengo escrito. X
es igual a 2I menos Z. Entonces esto escrito en la ecuación vector sería
los vectores X y Z que son Landa. La X tiene Landa. La I no tiene Landa. La
Z tiene Landa. La Mu. Esta tiene una. La X tiene dos. Esta tiene una. Esta
tiene cero. Luego sería. Esto de aquí. Sería en forma implícita, en
forma paramétrica. Ya los subespacios vectoriales de Rn se pueden dar en
forma implícita, en forma paramétrica. Para pasar de uno a otro. Pues el
metro de Gauss y Vesta. Bueno. Esto sería como el espacio generado por el
vector menos 1, 0, 1. Y el espacio de 1, 0, 1. Este mismo espacio. Pues
podría estar generado por otros dos vectores cualquiera de este subespacio
que sean linealmente independientes. O sea, no es único. O sea, si en
algún momento estoy mirando las soluciones de un libro de problemas
resueltos y tengo que mirar otra cosa. Puede ser que esté bien las dos
cosas. ¿Me explico? Bueno. Aquí por familiarizarnos un poco con el
máxima. Pues he escrito algunas de las órdenes del máximo. Para resolver
esto de aquí. Bueno. Aquí tenemos la orden solve. La función solve del
máxima sirve para resolver sistemas de ecuaciones. No necesariamente
lineales. Pueden ser cuadráticas o con funciones trigonométricas o lo que
sea. Hay una específica que ya la veremos en otro problema. Que es
linsolve. Que es para ecuaciones lineales. Es decir, que digamos en la
profundidad. En la profundidad del máxima, los algoritmos que utiliza para
hacer ecuaciones lineales, si se lo dices antes, pues son más eficaces que
los algoritmos que sirven para resolver problemas generales. Cuando es un
sistema de dos ecuaciones. Y tal y tal, te da igual qué procedimiento
uses. Porque a lo mejor es una millonésima de segundo lo que te cuesta el
algoritmo u otro. Pero claro, cuando si son millones de ecuaciones, pues a
lo mejor sea un algoritmo un poquito mejor. O más apropiado. O más
apropiado al problema. Pues es importante. Pero bueno, lo iremos viendo en
ejemplos. Pero bueno, yo aquí he puesto para introduciros la solución, el
comando solve. Pues aquí he puesto solve. Y aquí ponemos entre corchetes
separar por coma las ecuaciones. Fijaros que aquí esto está escrito
utilizando el VX máxima. Que te ayuda mucho a escribir porque, por
ejemplo, los números te les ponen un color, las variables un otro.
Entonces te ayuda, por ejemplo, aquí un error muy corriente. Es que se te
olvida poner el por. Por ejemplo, si yo no se escribe 2X, se escribe 2X. Y
la incógnita es X y Z. Entonces cuando te lo resuelve, lo que está puesto
aquí en amarillito son el parámetro. Los parámetros los nombra así.
Sería una solución. Dado un sistema de dos ecuaciones con tres
incógnitas, la solución general depende de un parámetro. ¿Vale? Este
sería el otro problema que hemos hecho, que resuelve una ecuación
respecto de X y Z. Y entonces aquí me depende de dos parámetros. El R2 y
el R3. No lo llamo R2, R3 porque ya había utilizado el nombre R1 antes.
Este es un comando que sirve para eliminar parámetros. Que es eliminate.
Entonces si yo tengo... Una ecuación es X igual a T, igual a menos T, T
igual a 2. T, 2 por T. Y lo quiero eliminar con respecto a T, pues me da
dos ecuaciones. Que esto, aunque no lo pone, lo que hay que interpretar es
que estas dos son parámetros que son ceros. Eliminado. Fijaros que cuando
yo... Por hacer un razonamiento rápido y sin pensar de cabeza. Cuando yo
tengo... Por cada parámetro que elimino, pierdo una ecuación. Entonces,
si yo tengo una, dos y tres ecuaciones. Y elimino un parámetro. Me
quedan... Dos ecuaciones. Porque elimino un parámetro, pierdo una
ecuación. Tenía tres. Elimino un parámetro, pierdo una ecuación y me
quedo con dos. Dos ecuaciones. Aquí tenemos lo mismo. X y... Dos
parámetros T y S. X igual a T, igual a S, etc. Es igual a menos dos T más
S. Y elimino los parámetros T y S. Pues tengo tres ecuaciones. Elimino dos
parámetros. Y todas las ecuaciones me quedo con una. Y una cero. Esto, me
arrepiento haberlo hecho así. Pero esto es lo que hemos hecho. Yo lo he
puesto así para que se vea cómo puedes encadenar. Yo tengo la matriz esta
que tenía que era la uno menos uno dos X y Z. Y la he mandado
triangularizar. Triangularice que es reducir la forma escalonada. Que es lo
mismo que tenía antes que he hecho a mano. Y esto es lo mismo.
Triangularizar esta matriz que era la uno cero menos dos cero uno uno X y
Z. Y la he mandado triangularizar y me ha resultado esta forma que sería
la reducida de Gauss. Que he usado para luego hacer el argumento ese de los
rangos, de igualdad de rangos para eliminar los parámetros. Fenomenal.
Bueno, no sé si tenéis alguna pregunta. Con estos ejemplitos creo que se
puede entender el método para la dimensión que queráis. Bueno, si os
parece vamos a hacer algunos problemas de exámenes y ya nos sirven un poco
para ver algunos conceptos. Por ejemplo, vamos a trabajar un poquito ahora
la otra parte que viene del tema este del punto de vista. De hacer cuentas
y de entender un poquito los conceptos que es el concepto de suma e
intersección de subespacios. Entonces vamos a coger un ejemplo para tener
un soporte para argumentar. Vamos a coger este, que es el del año 2003.
Este es un poco antiguo, pero supongo que se sigue viendo bien. Voy a
ampliarlo un poquito porque los que estéis aquí en el aula. Porque si no
lo veis es un poco pequeño. Yo este no, tengo que doblar mucho la cabeza
para poder ver esto. Bueno, dice, dice, si A es el subespacio de R4
generado por los vectores 1, 2, 1, 1, menos 1, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 1 y B el
subespacio de ecuación 2X1 menos 2X2 más 2X3 menos X4 igual a Cpil.
Explicaciones paramétricas y cartesianas de los subespacios A, B, A
intersección B. Encontré una base de A intersección B y otra base de A
más B. Y ahora aquí nos están dando. El subespacio A me lo está dando
como en forma paramétrica. Como el espacio generado por tres vectores. Es
decir, todas las posibles combinaciones lineales de subespacio. Dicho de
otra manera, el espacio A sería el espacio generado por este vector, este
vector y este vector, que son los tres vectores que me da aquí en el
enunciado. El 1, 2, 1, 1, el menos 1, 0, 0 y el 2, 2, 0. Ese es el espacio
A. Yo en principio me dicen que el espacio A está generado por estos tres
vectores, pero yo lo que no sé, así de a ojo no me da, veo si forman una
base. Es decir, si este sistema de tres vectores son linealmente
independientes. Es decir, si el espacio A que está generado por estos
tres, no lo puedo poner generado por solo dos, por solo uno. No, no, porque
no hay uno. Yo no sé en principio si alguno de estos es combinación
lineal. No me da de ojo. Entonces lo primero que tengo que hacer es
limpiar, es decir, poner este espacio A generado por un sistema linealmente
independiente, es decir, por unos vectores que sean base de este
subespacio. Entonces, para eso viene nuestra ayuda el método de Gauss. Yo
voy a escribirlo. Voy a escribir los vectores en filas. El 1, 2, 1, 1
aquí, el menos 1, 0, 1, 0 aquí, menos 0, 1, 0 y el 2, 2, 0, 1 aquí. Y
entonces voy a estudiar un sistema equivalente. Entonces, la primera fila
la uso como pivote y la copio como A. Y ahora, usando este de pivote voy a
hacer 0 aquí abajo. ¿Cómo? Y me da de ojo. Y me da de ojo también que
lo que tengo que hacer es sumar las dos filas. 1, menos 1, 0, 2 más 0, 2,
1, 2, 0, 1, 0, 1. El método este del tiqui-taca sería 1 por 0, menos 1
por 2, 1 por 1, menos menos 1 por 1 y 1 por 0, menos menos 1. La de abajo
por 1, la de arriba por menos 1. Un poco para trabajarlo. Ahora, tendría
que hacer 0. Bueno, pues la de abajo por 1, la de arriba por 2 y la resta.
1 por 2, menos 2 por 1, 0. 1 por 2, menos 2 por 2 serían 2, menos 4, menos
2. 1 por 0, 0, 0, menos 2, menos 2. Y 1 por 1 es 1, 1, menos 2, menos 1. Y
la de abajo le quito 2 veces la de arriba. Esto ya está. Pues las dos
primeras filas las copio como van. Y ahora utilizo este 2 como pivote para
hacer ahí el 0. Aquí me da también de ojo que lo fácil es sumarla. 2
menos 2, 0. 1, 2, 1, 0. Visto de otra manera, la de abajo es un múltiplo
de la de arriba. Entonces, fijaos que de este sistema, el sistema generado
por estos tres vectores es el mismo generado por el 1, 2, 1, 1 y por el 0,
2, 2, 1 y por el 0, 0, 0. Pero en una combinación lineal lo que aporta el
0 es nada, lo puedo quitar. Y estos dos vectores ya son linealmente
independientes. Fijaos que ya de entrada tengo que la dimensión del vector
de la espacio A es 2 porque está general. Y el 0 es generado por dos
vectores linealmente independientes, ¿de acuerdo?, ¿ok? ¿Cómo serían
las ecuaciones paramétricas del subespacio A? Bueno, pues como ya sé que
está generado por estos dos vectores, el 1, 2, 1, 1 y el 0, 2, 2, 1, pues
lo puedo poner así. Los vectores, el espacio A serían los vectores de R4,
X1, X2, X3, X4, que son lambda por 1, 2, 1, 1 más mu por 0, 2, 1, 0. 2, 1.
Bien. Entonces, yo puedo querer saber cómo es A en forma... Me lo han dado
en el enunciado en forma de escrito, en forma paramétrica, y yo lo quiero
saber en forma implícita. Entonces, aquí fijaros que yo lo puedo...
Fijaros que yo aquí tengo cuatro ecuaciones y dos parámetros. Cada
parámetro que elimine, elimina una ecuación. Luego, ¿cuántas ecuaciones
me van a quedar en la forma implícita? Tengo cuatro ecuaciones, dos
parámetros, 2 menos 2, 2. Luego, este es el subespacio A, que en forma
paramétrica le depende de dos parámetros, en forma implícita va a ser un
sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitos. ¿De acuerdo? Método de
eliminar los parámetros. Pues hay un método que sería el patatero, que,
por ejemplo, podría ser el de sustitución. Donde pone lambda, pongo x1, y
ya tengo eliminado uno de los parámetros. O sea, x1 será igual a 2x1...
Perdón, x2 será igual a 2x1 más 2mu x3. x3 sería igual a x1 más 2mu, y
x4 sería igual a x1 más mu. Fijaos que yo he eliminado un parámetro y he
perdido una ecuación. Si yo ahora en una de estas ecuaciones despejo mu y
lo sustituyo en las otras dos, pues ya tengo eliminados los dos
parámetros. También podría haberlo hecho, despejar lambda, en este caso
es un poco más complicado, pero despejar lambda en todas las ecuaciones...
y luego igualarla de 2 a 2. Sería el método de igualación. Y luego
volver a despejar mu e igualarla. Sería el método de igualación que,
cuando son muchos, pues es un poco tosta, ¿eh? Pero bueno, como veis el
método, pues el que hace uno hace cien. ¿Cómo sería esto por el método
de eliminación de Gauss? El método de eliminación de Gauss sería
utilizar el sistema este de los rangos. El rango de esta matriz... El rango
de esto tiene que ser 2, porque hemos dicho que la expresión esta de
aquí, lo que me está diciendo es que el vector x1, x2, x3, x4 es una
combinación lineal de estos otros dos. Por tanto, el rango formado por los
tres va a ser 2. El rango de esto es 2. Entonces, que el rango sea 2, si yo
esto lo llevo a forma escalonada, por ejemplo, utilizando esto como pivote,
el 0 ya lo tengo aquí, pues sería la de abajo por 1, la de arriba por x1
y el resto. Pues sería 1 por x1 menos x1 por 1, 0. 1 por x2 menos 2 por
x1. 1 por x3 menos x1. Y 1 por x4 menos x1. Ya lo tengo hecho. Ahora, paso
a eliminar con esta otra. Entonces, sería la de abajo por 2. Y la de
arriba por x2 menos 2x1. Claro, esto es un poco difícil si yo no lo tengo
automatizado con esto que llamaba yo vulgarmente el tiquitac. Pero bueno,
fijaros que sería la de abajo por 2 y la de arriba por x2 menos 2x1. Esto
lo va a hacer automáticamente. Esto por esto menos esto por esto, 0. Ya lo
tengo aquí, ¿vale? Ahora sería 2 por x3 menos x1. Lo escribo aquí,
¿eh? Sería 2x3 menos 2x1, menos. Y ahora sería esto por 2. Sería menos
2 por x2 y menos por menos más 2 por x1. Lo veis, esto por esto menos esto
por eso, ¿vale? Como un determinante para acordaros, ¿eh? Sería 2x... A
ver, sería 2x3 menos 2x1. Que es esto por esto. Menos esto por esto.
Sería menos 2 por x2 más 4. Muchísimas gracias. Fenomenal. Estupendo.
Bueno, de acuerdo. Ahora agrupando... Menos mal que te he de acuerdar.
Agrupando. Esto sería 4 menos 2 sería 2x1 menos 2x2 y más 2x3. Podría
ser más o menos igual. Igual sería. A ver si lo tengo muy bien. 2x1 menos
2x2 más 2x3. Y ahora sería 2 por x4 menos x1, que sería 2x4 menos 2 por
x1, menos menos x3, 3 por 1, más x1. Puntando sería menos 2x1 más x1
es... Eh... Espera un momento, perdón. Voy a limpiar. Un poquito. Vale.
Sería... Este es el pivote, ¿no? Sería 2 por x4 menos x1, que es menos
2x1. Y ahora menos x2. Esto lo he hecho mal. Menos x2. Menos x2 más 2x1.
Sería este por este menos este por este, ¿vale? Y si yo lo apunto sería
2x1. Si 2x1 se me van, me quedaría 2x4 menos x2, que es esto. Fenomenal.
Muy bien. Lo habéis cuadrado. Lo hemos cuadrado. Fenomenal. Vamos a
desengobinar esto. Pues ahora, con el argumento de que el rango es 2, pues
esto tiene que ser 0 para que el rango sea 2. Ojo, esto es escalonado. Esto
tiene que ser 0 y esto tiene que ser 3. Es decir, que el rango es 2 de esta
matriz para los valores x1, x2, x3, x4. Que verifican que esto es 0 y que
esto es 3. Luego, por tanto, esta sería la forma implícita de describir
el espacio A. Bueno, aquí lo único que hemos hecho ha sido poner en orden
la teoría. Si tú tienes que, por ejemplo, esto aquí, claro, para que
esto sea del rango 3, pues... Tendrían que ser distintos de 0 a... Es que
esto no es el caso, vamos. Hay que decir que estamos haciendo el proceso de
eliminación de parámetros por el método de Rauss. Entonces yo tengo que
eliminar, poner aquí los generadores y aquí poner las variables x1, x2,
x3, x4. Y decir la forma escalonada. Nunca va a ser el espacio generado mal
de 4. O sea... Y a todo. Entonces, fijaros. Es lo que hemos dicho antes.
Cuando yo tengo un sistema de dos ecuaciones, cuatro incógnitas, la
solución general va a depender de dos parámetros. Digamos, las
incógnitas que sobran. Ahora tenemos el subespacio B que me dan en el
elemento. Vamos a describirlos los dos, aunque no lo pida o no nos haga
falta. Pero por practicar como la finalidad del ejercicio este. No es
responder. Las preguntas del examen, sino repasar los conceptos. Tenemos el
subespacio B. El subespacio B en el enunciado. Fijaros que me lo daba como
una ecuación. Una ecuación con cuatro incógnitas. Si yo tengo un sistema
formado por una ecuación con cuatro incógnitas. La solución general de
cuántos parámetros va a depender. De tres parámetros. ¿Vale? Puede
depender de tres parámetros. Fijaros que yo tengo aquí una ecuación.
Entonces, la solución general en este caso es inmediata. Yo elijo tres
incógnitas y las tomo como parámetros. X1 lambda, X2 mu, X3 sigma. Cojo
tres parámetros que pueda coger y despejo el otro. Y ya está. Entonces,
yo tengo escrito esto en forma paramétrica. Y ya tendría que la solución
general de este sistema de una ecuación. Con cuatro incógnitas. Depende
de cuatro parámetros. ¿Cómo? Pues cogiendo cuatro de las cinco de las
que se pueda. Como parámetros. Y ya está. Y la última ecuación pues la
despejo. Bueno, pues aquí pues sería poner las lambda, los mu y sigma.
Pues la X1 tiene lambda. La X2 no tiene mu. No tiene sigma. Perdón. La X1
tiene lambda. No tiene mu. No tiene sigma. La X2 no tiene lambda. No tiene
mu. No tiene sigma. La X3 no tiene lambda. No tiene mu. No tiene sigma. Y
la X4 no tiene lambda. No tiene mu. No tiene sigma. Esto, tal como está
hecho, pues tengo que el espacio B está generado por estos tres dos. En
general, es que ya tengo descritos el A y el B de las dos maneras posibles.
Paramétricas y en implícitos. Subespacio A intersección B. El subespacio
A intersección B son el subespacio que está formado por los vectores que
son la definición de conjuntista. Los vectores que están formados a la,
no sé, el subespacio que está formado por los vectores que son a la vez
de A y de B. De entrada del 0, 0 seguro que puede haber más. Entonces,
para estudiar la intersección de dos subespacios, lo que me pide el cuerpo
es utilizar las ecuaciones simplícitas. Porque habíamos dicho que estas
dos ecuaciones eran las que, los vectores que verificaban estas dos
ecuaciones eran los vectores de A. Y los vectores que verificaban esta
ecuación son los vectores de B. Luego, si yo cojo con una llave estas tres
cosas, los vectores que verifican estas dos ecuaciones están en A. Y si
además verifican esta, están en B. Luego, los que verifican las tres, los
que verifican el sistema. Estas tres ecuaciones con cuatro incógnitas
estarán en A y en B. Por tanto, es la forma implícita de describir la
intersección. Entonces, yo tengo un sistema de tres ecuaciones con cuatro
incógnitas. Ahora, yo me planteo, ¿este sistema es un sistema linealmente
independiente? ¿O hay alguna ecuación que dependa linealmente de las
otras? Pues no lo sé. Entonces, ¿qué tengo que hacer? Limpiar. ¿Limpiar
cómo? Por el método de Gauss. Entonces, me escribo las ecuaciones de la
matriz del sistema, que sería esta, 1 menos 1, 1, 0. En 0, 1 sería, esta
sería la matriz del sistema. Y lo que hago es reducir la forma escalonada
para ver qué pasa. Entonces, este ya lo tengo 0. Luego, usando este como
pivote, hago 0 aquí. Este le resta lo de arriba dos veces, 2, 1, 2, 0.
Menos 2, menos 0. 2, menos 2, menos 1, etc. Esto, fijaos que ya lo he
reducido a forma escalonada. Luego, al final, ¿qué es lo que tengo? Tengo
que este sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas es equivalente a
este otro, que también es de cuatro ecuaciones con tres incógnitas, y es
de un sistema de ecuaciones linealmente independientes. Por tanto, este
sistema que parece aquí más complicado es equivalente a este otro, pero
que es extraño. Y entonces, cuando yo tengo el sistema escalonado, ya no
solamente he estudiado el sistema de ver qué dimensión tiene y todas
estas cosas, sino que ya el trabajo que he hecho del método de Gauss ya me
sirve además para hallar la solución general. ¿Por qué? Porque para
hallar la solución general, el x4, fijaros que este sistema, el x4 es la
única de las variables que no puedo tomar como parámetro. ¿Por qué?
¿Por qué no lo puedo tomar como parámetro? ¿Por qué? Porque siempre es
cero. Pero esa no me vale. Luego, tengo que tomar como parámetro otra que
no sea el x4. Por ejemplo, he tomado el x1, cero. Me digo, perdón, el x1,
que no es cero, lo tomo como la mía. Entonces, puede valer lo que quiera.
Y si el x1... Bueno, aquí, fijaros esto en catarata, fijaros que el x...
Perdón, si el x4 es cero, esto es cero. Luego, el x2 también es cero.
Luego, este tampoco lo puedo usar como parámetro. Entonces, ¿qué me
queda? Pues que el x1 y el x3, que son... He dicho que el x en el x2 es
cero. Tengo que x1 más x3 es cero. Luego, si el x1 es lambda, el x3 es
menos. Por tanto, mi sistema paramétrico de A intersección B sería este
de aquí, que sería el espacio generado por el vector 1, 0, menos 1.
Bueno. Y la dimensión es 1. Ahora, me piden que estudie también, en otro
apartado del problema, me piden que estudie el espacio A más B. ¿Qué
significa el subespacio A más B? El subespacio A más B es el conjunto de
todos los vectores que son de la forma A más B, donde B, donde A, donde A
pertenece a... pertenece. Todos los posibles vectores que son de la forma A
más B, donde A es un vector de A y B es un vector de B, es el espacio A
más B. Entonces, fíjate, para estudiar cómo es el vector, aquí lo
tenéis escrito. El subespacio A más B está formado por todos los
vectores de la forma A más B, donde A pertenece a A y B pertenece a A. Por
consiguiente, un sistema de generadores de A más B, Pero bueno, entonces,
fíjate que yo tenía el conjunto B formado por tres vectores. Y el
conjunto A, que lo tenía por aquí arriba, estaba formado por dos
vectores. Este es el conjunto A, que está formado por dos vectores, y este
es el conjunto B, que está formado por tres vectores. Entonces, el
conjunto A más B estará generado por cinco vectores. Los que me generaban
A, que ya se me olvidó cuáles eran, pero lo tengo aquí apuntado en un
papel, aquí. A eran dos vectores, que es el 1, 2, 1, 1. 1, 2, 1, 1. Esto
era A, y estos generaban B. ¿Vale? Entonces, si yo tengo todos los
vectores que generan A y los junto con todos los vectores que generan B,
esto es un sistema de generadores de A más B. Ahora, lo que yo no sé
es... Aquí tengo cinco vectores. Esto es una barbaridad para R4. Hay
alguno que obviamente depende de los otros. Entonces, lo que tengo que
hacer es buscar un sistema de generadores limpio, es decir, linealmente
independiente. Entonces, para hacer eso, lo que necesito es usar el método
de Gauss para limpiar este sistema de generadores. ¿Eh? Entonces, me
escribo los cinco vectores que tengo aquí y un método de Gauss para
arriba, para abajo, para eliminar. La primera fila la copio como va. En la
0 no le tengo nada que hacer y elimino esto. ¿Cómo? Pues restando. 1, 0,
0, menos 2, menos 2, 0, menos 1, menos 1, 2, menos 1. Y los otros 0 ya los
tengo. Fenomenal. Pues paso al siguiente escalón. Utilizo este como
pivote. Las dos filas las copio como van. ¿Y qué aquí me da de ojo? Pues
lo sumo. 2 menos 2, 0. 2 menos 1, 1. Y 1 y 1, 2. Y este lo tengo que
eliminar con este de aquí. ¿Qué hago? Multiplico por 2 y multiplico por
1. La de abajo por 2. 2 por 1 y la de arriba por 1. Menos 1 por 2, 0. 2 por
0, menos 2 por 1, menos 2. 2 por menos 2, menos 4. Menos 4, menos 1, menos
5. Y la otra la copio como va porque ya está eliminada. Paso al escalón
de abajo. Este, el 1. Lo uso como pivote para hacértelo de bajo. Muy bien.
A menos 2 sería 2. La de abajo por 1, la de arriba por menos 2. 1 por
menos 2, menos menos 2 por 1, 0. Menos 5, menos 5, menos menos 4, menos 5
más 4, menos 1. Ya está eliminado. Ahora este, pues los restos. 1 menos
1, 0 y 2 menos 2, 0. Ya está en escalonada. Tiki, tiki, tiki, tiki, tiki.
Fijaros que este sistema generado por 5 vectores es lo mismo que el
generado por estos 3 vectores. Linealmente independientes. Sería el 1, 2,
1, 1. El 0, 2, 2, 1. Y el 0, 2, 2, 1. El 0, 0, 1, 2. Y el 0, 0, 0, menos.
Luego el espacio que generan estos 5 es lo mismo que el que generan estos
4. Pero como son 4 vectores linealmente independientes de R4, pues es R4.
Luego yo tengo que A más B es todo R4. Fórmula de las dimensiones de
Grasmo. Fijaros que lo de... Ya tengo. Que A más B, la dimensión era 4.
La dimensión de A habíamos dicho que era 3. ¿Se acuerdan? La dimensión
de B habíamos dicho que era 3. Y la dimensión de A intersección B
habíamos dicho que era 1. No. A ver cómo era eso, perdón. No, la
dimensión de A habíamos dicho que era 2. 2 y 3. La dimensión de A eran
2. Si no me equivoco, perdón. Lo voy a mirar aquí en el papel por no
mover el... La dimensión de A eran 2. Eso es. Y la dimensión de B eran 3.
Y la dimensión de intersección 2 y 3, 5, 5 menos 1, 4. Más que aquí.
Fijaros. Pues este es un problema típico de entender a lo que se refiere
la intersección de la suma. Vamos a hacer otro problema de estos. Vamos a
hacer este que es un poco más variado. Bueno, ¿alguna pregunta? ¿Alguna
cuestión que os parezca importante? Este es muy cortito, pero no es
conceptual. Ya. Una pregunta, Ángel. ¿Tendrá algún ejemplo sobre lo que
es la suma directa? Ese es un concepto que no me queda muy... Ah, sí. Sí,
sí, suma directa. Vale, me parece... Suma directa es cuando tengo dos
subespacios. Bueno, ahora voy a buscar un problema de estos y te los pongo
escritos. Si yo tengo dos subespacios cuya intersección es el 0, 0. O sea,
solo se cortan en el origen. Entonces, la suma de esos dos subespacios se
dice que es suma directa. Porque la descomposición de esos dos sumandos es
única. O sea, te voy a buscar un problema en el que te piden que se sume
directa. Sí, sí, sí. Lo acabo de hacer. Voy a buscar un problema en el
que te pida que se sume directa. Sí. Sí, ahora te lo pongo en uno de
estos para que los veas escritos. Muchas gracias. Para ti. Este. No, este
no es. Perdón. No, no, no. En este. En este te piden una cosa que se suma
directa. Te lo explico en un momento. Este es un problema que te dice así.
Te dice, bueno, tiene un apartado que te dice que calculas una
factorización LU. Pero bueno, eso es del tema anterior. Dice, el
subespacio V de R3 está generado por el vector 1, 1, 2. Y el subespacio U
de R3 está definido por las ecuaciones. Y aquí te da dos ecuaciones. O
sea, te la da en forma implícita. Calcular la dimensión de V más U. Y
justificar que U y V están en suma directa. A ver, dos subespacios se dice
que están en suma directa cuando la intersección es solamente el vector
origen, el cero. Por ejemplo, imagínate que yo tengo aquí. Ahora mismo no
sé si es este el caso. Yo tengo, este es el origen. Porque todos los
subespacios vectoriales tienen que tener el elemento neutro. Que es el
origen. Yo tengo un espacio que es, por ejemplo, este es el U y este plano
es el V. Entonces, cualquier la suma, el espacio suma U más V, sería en
todos los vectores que son suma de un vector de U más un vector de V. Es
decir, cualquier vector del espacio. Se descompondría como suma de un
vector. Un vector de U y un vector de V. O sea, en este caso, U más V es
R3, en este ejemplo que hemos pintado. Luego, cualquier vector de la suma,
que es R3, se descompondría como, por definición, como un vector de U
más un vector de V. Si ocurre que la intersección de U y V es solamente
el elemento neutro, esta suma se dice que es suma directa. Y se le pone con
un circuito así. ¿Y por qué? ¿Por qué es importante la suma directa?
Porque la descomposición de cualquier vector de R3 se puede descomponer
como, de una manera única, como un vector de U más un vector de V. De tal
manera que podemos decir, de alguna manera, que ese vector, cualquier
vector X que se pueda poner como un vector de U más un vector de V de
manera única, esta sería la proyección del vector X. Y este sería la
proyección, digamos, del vector X sobre el espacio V. Que sea suma directa
es cuando U intersección V es solamente el vector 0. Y entonces eso te
garantiza que la descomposición es única. Y eso es lo que quiere decir,
es que si yo tengo una base de U, y una base de V, y las junto, no hay
ninguno que dependa linealmente de los otros. Este conformaría la base, la
añadida. Por ejemplo, si queremos hacer este problema, que sería un poco
repetir un poco lo que hemos visto antes. O sea, suma directa es
simplemente que la suma de dos subespacios, se dice que es suma directa
cuando su intersección es solamente el vector 0. Vector nulo. Y lo
importante que tiene eso, es que cuando yo tengo un vector de la suma, se
puede descomponer de manera única con un vector de un tipo y un vector de
otro. Eso, por ejemplo, en espacios de matrices es muy interesante, porque
yo puedo describir toda matriz, por ejemplo, como suma de una matriz
simétrica y una antisimétrica o cosas así. Puedo distinguir los... Y esa
descomposición es única. Bueno, vamos a ver, por ejemplo, este problema
que sería un poco lo mismo y ya está. Por ejemplo, en este, fijaros, en
este problema es igual que el otro, pero bueno, variando un poco las
cantidades y todo esto. Pero vamos a hacerlo un poco ahora. Yo tengo V que
está dado, son espacios de R3, dado por un vector, generado por un vector.
Así, de cabeza. Si yo lo tengo dado en forma paramétrica, fijaros que
aquí depende, V depende de un parámetro, porque es combinación de un
vector. Sería lambda por ese vector. Entonces, si yo lo quiero pasar a
forma implícita, tengo que pensar. Tengo que eliminar un parámetro. Luego
se elimina un parámetro, pierdo una ecuación. Luego, ¿qué me quedan?
Dos ecuaciones conjuntas. Son tres incógnitas. Luego, el resultado de
eliminar el parámetro sería dos ecuaciones con tres incógnitas. Porque
por cada parámetro que elimino, pierdo una ecuación. Ahora, por ejemplo,
en el V, vamos a pensar. Me dan dos ecuaciones con tres incógnitas. Dos
ecuaciones, tres incógnitas. ¿Cuántas incógnitas me sobran? Una. Para
que el sistema sea cuadrado. Me sobra una, que es la que voy a pasar como
parámetro. Luego, la resolución va a depender de un parámetro. Argumento
geométricamente. Geométricamente, esto está generado por un vector, que
es una recta. Implicitamente, que es intersección de dos planos, o dos
ecuaciones. Estas son dos ecuaciones, dos planos. ¿Cuál es el equivalente
a dos planos que... Pues una recta, un parámetro. Es decir, que podemos
trasladar, perdón, de muchas maneras. Entonces, por ejemplo, en el...
Haciendo las puntas. Vamos a hacerlas un poco así por encima, para no
perder mucho tiempo, porque tenemos poco tiempo. Solamente por ver un poco,
repasar. Yo tengo V, es el espacio generado por este vector. O serían los
vectores que dependen linealmente. Son combinación lineal de este. ¿Veis?
O sea, dependen de un parámetro. Entonces, si yo elimino, aquí eliminar,
pues, si queréis, podemos utilizar el sistema patatero. Que es decir, si X
es igual a lambda, Y es igual a lambda, y Z es igual a... Aquí. Pues Z
también. Z es igual a 2 lambda. Si yo quiero eliminar lambda, pues es lo
más fácil del mundo. Método de eliminación. Digo, perdón, de
sustitución. Si X es igual a lambda, pues tengo que Y es igual a X, y Z es
igual a 2X. Y ya he eliminado un parámetro. Que lo quiero hacer... Ya
tengo que X menos Y, que es la primera ecuación, es igual a 0, y 2X menos
Z es igual a 0. Ya lo tengo aquí hecho por la manera del patatero. ¿Que
lo quiero hacer por el método de Gauss? Pues lo hago por el método de
Gauss. El rango del vector X y Z, X y Z, X y Z, y el 1, 1, 2. El rango de
esos dos vectores es 1, elimino y ya está. Otro. El vector U. El vector U,
el espacio U. El espacio U me lo dan como un sistema de dos ecuaciones.
Este sistema, pues ya está, encima está ya escalonado y todo. O sea que
no tengo nada que hacer. Tengo dos ecuaciones, tres sin cuentas, una la
tomo como parámetro. Por ejemplo, Z es igual a lambda. Y cojo que Z es
igual a lambda. Y es igual, despejando aquí en catarata, en cascada,
perdón. Tengo que Y es igual a menos lambda. Y ya tengo que X es igual,
pues lo despejo y ya está. Estaría, veamos aquí. Después. ¿Por qué no
me sale esto? X es igual a menos Y. Esto es menos Y. Lo he puesto en Y. X
es igual a menos Y. Luego esto es cero. Luego 2X es cero. Luego Z es igual
a X es cero. Aquí lo tengo. Pin, pin, pin. Entonces, ¿cómo se define la
suma? Pues serían todos los vectores que son combinación lineal de U y de
V. No serían, o de otra manera de ponerlo, sería, el espacio generado por
la unión, ¿eh? Entonces, pues sería como yo tengo que un vector era el
que me generaba U, otro el que me generaba V. Los que me generan U más V
son los vectores que son suma de uno de U y uno de V. Luego serían los
generados por la suma. También me da de ojo aquí que estos dos vectores
son linealmente independientes porque justo me los están dando escalonaos
y uno no es múltiplo del otro. Por tanto, puedo ya poner que el vector U
más V es la combinación lineal de estos dos. Y entonces, bueno, podría
eliminar parámetros si quiero y o por el método patatero eliminando
parámetros y yo podría tener esto en forma también implícita. Lo
tenéis ahí escrito si queréis, pues no es que se va a acabar el tiempo y
quería llegar a lo de la suma directa. Lo tenemos en forma implícita.
¿Cómo sería la intersección? La intersección sería coger las
ecuaciones que definen U en forma implícita, las ecuaciones que definen V
en forma implícita. ¿Cuáles son los que están en U y en V a la vez?
Pues los que verifican las ecuaciones de U y los que verifican las
ecuaciones de V. Es un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas.
¿Qué tengo que hacer? Limpiarlo. ¿Cómo? Por el método de Gauss. Si yo
lo limpio por el método de Gauss, es que lo he logrado reducir a un
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Pero como es un sistema
homogéneo, habría que poner aquí una rayita porque el sistema es
homogéneo. Como el sistema es homogéneo, un sistema que tiene solución
única y que es escalonado, pues de tres ecuaciones con tres incógnitas,
¿es solución única cuál? Y es homogénea, pues la 0,0. Sería, si
queréis ir despejando, si 5Z es igual a 0, si 5Z es 0 y así para atrás,
pues etcétera. Luego yo tengo que precisamente la solución única es la
solución 0. Como U intersección V es el vector 0, solo el vector 0, se
dice que la suma es suma directa y se marca con un circulito en la suma. Y
las dimensiones, pues serían las dimensiones 3, esto era 1, no, esto era
2. ¿Cómo era esto? La dimensión de U más V, habíamos dicho que era,
esto era 0, ¿no? Y U, habíamos dicho que U era 2. La dimensión de U más
V es 2 y era 1 más 1. Esto es 2, esto era 1 y esto era 1. Bueno, pues
nada, me voy a tener que, porque viene otra persona a esta misma aula y
quería hacer descortes. Aquí, aquí a continuación, pues tenéis lo
mismo hecho con Máxima, pero utilizando también para que veáis que
también se puede utilizar, es un comando propio del álgebra de Nagy que
es para los sistemas lineales, que es el INSOLVE, que es más eficiente,
pero solo para ecuaciones líneas. Bueno, pues nada, nos vemos el próximo
martes. Si queréis escribirme en cualquier momento, pues lo podemos hacer
y voy a ver si soy capaz de, de cerrar la grabación y salirme