Bien, pues buenas tardes. Vamos a iniciar esta nueva sesión de física y
hoy vamos a trabajar ondas, en concreto ondas mecánicas. Bien, las ondas
mecánicas, recordemos, para hacer una pequeña introducción, son aquellas
que necesitan de un medio material para propagarse. Las ondas
electromagnéticas, como se ven ahora, no necesitan de un medio material
para propagarse. La luz no necesita de un medio material para propagarse.
Sin embargo, el sonido, que es una onda mecánica, necesita de un medio
material para propagarse. Una cuerda, si nosotros generamos un pulso en una
cuerda, evidentemente necesitamos un medio material para que se propague.
Esa onda, ese pulso que nosotros generamos, esa perturbación. Las ondas
también se pueden clasificar en ondas transversales y ondas
longitudinales. Las ondas transversales son aquellas en que las partículas
del medio, las partículas de la perturbación, vibran perpendicularmente a
la dirección de propagación. Por ejemplo, cuando tenemos una cuerda. Una
cuerda que la hacemos vibrar perpendicularmente. Particularmente a la
dirección de propagación. Sin embargo, una onda longitudinal es aquella
en que las partículas vibran paralelamente a la dirección de
propagación. El sonido es una onda longitudinal, también llamada onda de
presión. Esencialmente vamos a trabajar ondas transversales, ondas
mecánicas transversales. Bien, la ecuación de una onda obedece a esta
relación. Es una función de x más menos. La velocidad por el tiempo. V
es la velocidad de propagación. La velocidad de fase de la onda, de la
perturbación. Y esa onda ha de satisfacer esta ecuación. Y para que
satisfaja esta ecuación ha de ser del tipo fx más menos velocidad por
tiempo. Uno de los detalles que son interesantes considerar es qué
significa. El que tengamos un más o un menos. Esto es importante porque a
veces se pide justificar en un problema el sentido en el cual se desplaza
una onda. ¿No? El sentido. Entonces, pensemos en lo siguiente. Fijaos. La
ecuación de una onda, yo la podría expresar. Voy a escribir aquí mismo.
Si queréis. ¿No? Como y de xt. Como una función de x más vt. ¿No? Voy
a suponer que tenemos un más. Vale. Entonces, pensemos que esta función.
¿No? Va a tener el mismo valor. ¿No? Cuando haya transcurrido un cierto
tiempo a una distancia determinada. Y de. x más incremento de t. Perdón.
Ahí no está bien. Voy a escribir aquí abajo que va a ser mejor. A ver.
Y. De xt. O mejor dicho. Sí. Y de xt. Será igual a y. De x más
incremento de x. Coma t más incremento de t. Es decir, se va a repetir
periódicamente. Marcado en un cierto tiempo y una distancia determinada.
Por lo tanto. En el primer caso pondríamos. x más vt. ¿No? Y en el
segundo caso pondríamos. x más incremento de x. Más. vt más incremento
de t. Aquí si nos damos cuenta. x más vt se nos va a simplificar a la
derecha. Y nos quedará incremento de x. Más. v incremento de t. De aquí
tenemos que menos incremento de x. Partido por incremento de t. Es igual a
v. ¿Y qué nos indica este signo menos? Que el sistema se desplaza. Hacia
la izquierda. Que la velocidad es negativa. Entonces tengamos claro. Que
siempre en la ecuación de una onda. Cuando veamos el mismo signo más.
Quiere decir que va hacia la izquierda. Si tenemos un menos. En medio.
Quiere decir que va hacia la derecha. Siempre. ¿De acuerdo? Porque
vosotros mismos podéis hacer. El mismo razonamiento. La misma
demostración. Si partimos del menos. ¿Eh? x más incremento de x. Menos.
vt más incremento de t. Si hacéis esto. Veréis que la v. Nos queda.
Incremento de x partido incremento de t. Y esto es positivo. Y quiero
decir. Que se desplaza hacia la derecha. ¿De acuerdo? Hay alguna cuestión
que ha salido en alguna prueba. Que diga. Diga usted. ¿Cuáles de
funciones pueden satisfacer. ¿No? La ecuación de una onda. Está derivada
parcial de i. Es un ejercicio que tenéis en el libro. Bueno pues. Las que
son del tipo x más menos vt. vt. ¿De acuerdo? Bien. Una secuencia. Una
resolución de la ecuación de ondas. Son las ondas armónicas. Que son
funciones coseno o seno. La diferencia que hay entre ambas. Sería una fase
inicial. ¿Vale? Entonces. Esto sería. La ecuación de una onda. Que
satisface esa ecuación anterior. De las derivadas parciales. Con respecto
de x y de t. ¿De acuerdo? Bien. Entonces. ¿Qué representa aquí cada
letra? Bueno. Y. Evidentemente. Es. La elongación. El valor de la
perturbación. El desplazamiento. Con respecto al eje de equilibrio. Es
decir. Si nosotros dibujamos. Tenemos un eje. La onda. ¿No? Sería esto.
Entonces. ¿Qué sería la i? El desplazamiento vertical. ¿No? Esto sería
la i. Positivo o negativo. Es hacia abajo. Y. La máximo. El máximo
desplazamiento vertical. Sería la amplitud. ¿Lo veis? Esto sería la
amplitud. El máximo desplazamiento vertical. Y la amplitud. ¿Qué es la
K? La K es el número de ondas. La K, es el número de ondas. Y es igual a
2pi partido por lambda. Y no hay que confundir. No hay que confundir este
K. No hay que confundir esta K. Con la K de la constante de un resorte.
Cuidado, ¿eh? No lo confundamos. K es 2pi partido por lambda. ¿Vale?
¿Qué es X? X es la distancia al foco emisor. Esto sería X. ¿No? X. Esta
distancia al foco emisor. Esto sería X. La distancia al foco emisor. V. La
velocidad de fase. La velocidad de propagación. T es el tiempo
transcurrido. ¿Y qué vale esta velocidad de fase? La velocidad de fase.
Pensad una cosa. Que una onda se genera, se puede generar de muchas
maneras, una de ellas es a través de un pulso, de un movimiento armónico
simple. ¿Vale? Entonces, lo que ocurre es que las partículas del medio
material vibran periódicamente. Es que una onda es una perturbación en la
cual se transfiere energía de una partícula a otra. Pero no materia. Se
transfiere energía. Es decir, se transfiere energía de una partícula a
otra. ¿Vale? Y entonces cada partícula empieza a vibrar. Empieza a vibrar
periódicamente. ¿Y de qué depende esa frecuencia o ese periodo de
vibración del pulso original? De ese movimiento armónico simple que
genera la onda. Y la velocidad de propagación, esta V, se puede definir
como lambda a partir por el periodo. ¿Y qué es lambda? No lo he dicho
antes. Lambda es la longitud de onda. Longitud de onda. ¿Y qué es la
longitud de onda? La longitud de onda es la distancia entre dos puntos que
están en fase. ¿Y qué quiere decir la distancia entre dos puntos que
están en fase? Es la distancia entre dos puntos que tienen el mismo estado
de vibración. Decir que tiene el mismo estado de vibración sería decir
que las dos crestas Esto sería lambda. Estas dos crestas, por ejemplo,
tienen el mismo estado de vibración. ¿Vale? ¿Eh? Tienen el mismo estado
de vibración. Misma amplitud, misma velocidad. Pero no tiene por qué ser
entre dos crestas. Puede ser entre dos nodos. ¿No? Por ejemplo, entre este
punto y este otro punto. Esto también es lambda. ¿No? ¿Y esto qué
sería esta distancia? Esta distancia. Lambda medios. La mitad. ¿Eh? De
hecho, la distancia entre dos puntos que están en fase se dice que es
lambda. Y la distancia entre dos puntos que están en oposición de fase es
lambda medios. ¿Vale? Bien. Entonces, V se puede expresar como lambda
partido por el periodo o también pensemos que se habla también de la
frecuencia. ¿Qué es la frecuencia? El inverso del periodo. La frecuencia
es el inverso del periodo. la velocidad también se puede expresar como
lambda por la frecuencia. Esta letra nu es la frecuencia. ¿Vale? La
frecuencia que tiene de unidad es segundos a la menos uno. Segundos a la
menos uno. ¿Vale? Segundos a la menos uno. Es otra forma de expresar la
velocidad de fase, la velocidad de propagación de la perturbación de la
onda de la onda. Pero, si nos damos cuenta, a partir de aquí nosotros
también podemos definir la frecuencia angular que es dos pi partido por el
periodo y dos pi por la frecuencia. ¡Ojo! Esta frecuencia angular es la
misma que la que aparecía en el movimiento armónico simple. ¿Eh? La
frecuencia angular que sería en radianes por segundo. ¿Vale? Y a su vez
podríamos demostrar podríamos demostrar que voy a ir a la pizarra ¿No?
Vamos a cambiar a la pizarra un momentito. Que V también es igual a omega
partido por K. Y esto ¿Por qué? Porque omega es dos pi partido por el
periodo y la K es dos pi partido por lambda. Luego esto también es lambda
partido por el periodo. ¿Vale? Entonces una función de onda Ix de t igual
a seno o coseno da igual ¿No? Habíamos visto que poníamos K x menos vt
Eso quiere decir que se desplaza hacia la derecha ¿No? Si nosotros
multiplicamos tendré A seno de Kx menos K vt. Pero ojo hemos visto que K
por V ¿A qué es igual K por V? Aquí K por V es omega es decir esto es
omega por lo tanto la ecuación de una onda armónica también se puede
expresar como A seno de Kx menos omega t no sólo así si es que podemos
también dejar esta K y esta omega en función de lambda y del periodo así
tendríamos igual a A seno de 2pi partido por lambda x menos 2pi partido
por el periodo t y si queremos sacar factor común 2pi opa vamos a aquí si
queremos sacar factor común 2pi será A seno de 2pi x partido por lambda
menos t partido por el periodo si bueno evidentemente que también puede
tener una fase inicial A seno puedo ponerlo como Kx menos omega t más
delta siendo delta una fase inicial ojo la ecuación general será más
menos el menos quiere decir que se va de izquierda a derecha y el más que
se va de derecha a izquierda de acuerdo volvemos al documento ¿y qué se
entiende por velocidad transversal o velocidad de vibración? no eso es
importante también la velocidad de vibración o velocidad transversal es
la derivada de I con respecto de t ¿qué quiere decir esto? es la
velocidad en cada punto material que está vibrando si volvemos a dibujar
la perturbación ¿vale? lo que quiere decir con la velocidad de vibración
la velocidad de vibración es esto aquí tenemos uy perdona una velocidad
otra velocidad aquí tendremos una velocidad negativa hacia abajo aquí una
positiva positiva la pendiente ya sabéis que la velocidad no es la
pendiente de la tangente en cada punto entonces si nosotros derivamos ¿no?
la ecuación de la onda ¿no? podemos obtener esta ecuación de la
velocidad aquí está puesto con k y con v ¿no? mmm no pasa nada podemos
derivar como consideremos lo único que tenemos que darnos cuenta es que
nos pueden pedir la velocidad de vibración o velocidad transversal en un
instante y en un tiempo dado perdón en un instante y en una posición dada
¿vale? x y t ¿y qué sería la velocidad máxima? la velocidad máxima
sería a omega porque sería cuando el seno vale más menos uno ¿eh?
entonces sería el valor absoluto de a omega eso sería la velocidad
máxima ¿y esto qué es? la velocidad de vibración la velocidad
transversal la velocidad con la que vibra cada punto material que está
oscilando perpendicularmente a la dirección de propagación que no es lo
mismo que la velocidad de propagación que la velocidad de fase que para el
caso de una cuerda es muy típico una onda transversal generada por una
cuerda la velocidad de fase la velocidad de fase v esta velocidad de fase
es la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda partido por mu ¿y qué es
mu? mu no es el coeficiente de rozamiento mu es la densidad lineal de masa
la densidad lineal de masa es decir la masa por unidad de longitud es decir
nosotros podemos calcular la velocidad de propagación de una cuerda en
función de la tensión que soporta la cuerda y su densidad lineal de masa
y otra cosa es la velocidad transversal o de vibración de cada punto
material que es la derivada de la ecuación de la onda armónica en
función del tiempo y después hay que concretar el punto y la posición en
la cual queremos determinar esa velocidad de vibración o transversal que
tendrá un valor máximo que es a por omega y que este valor máximo solo
depende de la amplitud y del periodo omega de la frecuencia pero en ningún
caso de la longitud de onda vale es una pregunta tipo test de examen bueno
aquí ya tenemos algunos ejercicios dice una onda armónica transversal se
propaga de derecha a izquierda es decir va a tener un más ahí de acuerdo
tenemos la amplitud tenemos la k y tenemos la velocidad de propagación
¿cómo sacamos la función de onda? pues simplemente nos hace falta sacar
la omega ¿no? porque v es igual a omega partido por k ¿vale? pues
fácilmente sacaremos a partir de la v y de la k la omega por ejemplo ¿no?
y a partir de aquí ya podría escribir la ecuación de la onda porque la
omega ¿qué sería? multiplicando tres por uno tres o lo dejo sacando
primero la longitud de onda etcétera vamos a verlo ¿eh? ¿vale? aquí
tenemos la ecuación donde ponemos un más ¿vale? ¿por qué ponemos un
más? porque va de derecha a izquierda la amplitud en metros la k es uno
que multiplica la x y la omega ya hemos dicho que es tres muy bien ¿cómo
podemos obtener la longitud de onda? pues la longitud de onda es dos pi
partido por k o k es igual a dos pi partido por lambda simplemente
sustituir y la velocidad de propagación de la perturbación bueno pues ya
la obteníamos la velocidad de propagación y la omega lo podemos obtener
de esta manera de hecho hemos escrito la ecuación de la onda eso es la
frecuencia angular ya lo teníamos ¿y cuál es la velocidad transversal
máxima? a por omega ¿no? vale esa sería la máxima ¿y dónde tendremos
el valor máximo? ojo el valor máximo estará en los puntos de corte del
eje x donde tenemos máxima pendiente porque en las crestas en los valles
la velocidad es nula en los extremos igual que ocurrió en el movimiento
armónico simple ¿cuándo era máxima la velocidad en el movimiento
armónico simple? en la posición de equilibrio ¿no? cuando y vale cero
¿no? en el punto de corte ¿vale? bueno aquí tenemos otro moviendo hacia
arriba y hacia abajo los sistemas de una cuerda con un movimiento armónico
de 50 hercios y un centímetro de amplitud se generan ondas sabiendo que la
longitud de la cuerda es de 10 metros si sumas a un kilo y las ondas tardan
un segundo determinar la longitud de onda bueno vamos a ver primero podemos
determinar nos da que la longitud y la masa esto nos permite a nosotros
calcular la densidad lineal de masa que es m partido por l 1 partido por 10
0,1 kilómetro ¿no? las ondas tardan un segundo en recorrer 10 metros
luego la velocidad que es espacio partido por tiempo sería 10 partido por
1 10 metros por segundo ¿no? y la frecuencia nu es de 50 hercios ¿vale?
pues v es igual a lambda por la frecuencia y ya está y la función de onda
pues la podemos sacar sabiendo la amplitud que es un centímetro ¿no? no
dice si se propaga de derecha a izquierda o de izquierda a derecha
supondremos que va hacia la derecha ¿vale? ya tenemos aquí la lambda
¿no? y la función de onda simplemente sustituir con kx menos omega t
¿qué es k? 2pi partido por lambda y omega pues 2pi por la frecuencia o
2pi partido por el periodo como queráis aquí lo he escrito sacando factor
común el 2pi que lo vimos antes si os acordáis uy perdón aquí está
¿no? se puede hacer de esta fórmula o mejor dicho también lo que pasa es
que como nos dan la frecuencia lo he dejado de esta manera pero también
puede ser t partido por el periodo o simplemente como a seno de kx menos
omega t que es muy útil con la omega y con la k he dicho ¿y cómo puedo
sacar la tensión de la cuerda? pues la velocidad ya sabemos cómo la
calculamos espacio partido por el tiempo y nos queda esta ecuación que
vimos ¿no? es la velocidad ¿seguimos? bueno este ejercicio también esto
cayó en un examen dice una onda transversal sinusoidal de 0,1 metros de
amplitud y esta longitud de onda se propaga de izquierda a derecha por lo
tanto tendrá un menos ¿no? con una velocidad de 10 metros por segundo a
lo largo de una cuerda tensa de esta densidad ¿de acuerdo? me da la
densidad tenemos la velocidad tenemos la amplitud y tenemos la longitud de
onda y nos dicen que en el instante inicial en x igual a 0 tiene la
elongación 0 y se mueve hacia abajo esto es para calcular la delta la fase
inicial esta fase inicial se calcula con las condiciones iniciales ahora lo
veremos hay que escribir la ecuación de la onda del valor máximo que es a
omega y que vale la elongación y la velocidad en puntos e instantes
determinados ¿no? como veis ¿no? y por último la tensión de la cuerda
la tensión pues evidentemente será otra vez con la fórmula v igual a
raíz cuadrada de t partido por mu siendo mu la densidad lineal de masa que
tenemos ahí ¿vale? venga vamos a ver bueno pues aquí tenemos una
ecuación general hemos cogido seno ¿no? y si tiene que valer seno claro
se dice que si lo hacemos con el seno nos va a ser más fácil nos dice que
en el instante inicial en el origen la elongación es cero luego a por el
seno de delta ¿para qué ángulo el seno vale cero? para cero radiales
entonces la delta es cero o pi claro o pi ¿vale? porque seno de pi
también es cero entonces para saber dice que la velocidad va hacia abajo
quiere decir que es una velocidad negativa derivamos esa es la ecuación de
la derivada ¿vale? derivamos y sustituimos para tiempo cero y x cero y nos
queda ojo porque a la hora de derivar tengo un signo menos ahí delante nos
queda un signo menos en la delante menos k v a o menos k por omega como
queráis ¿y qué ocurre con esto? bueno pues lo que ocurre es que mmm me
quedaría ¿no? si es con cero el coseno de cero que es uno me quedaría
negativo quedaría negativo mientras que si hubiera puesto el pi me hubiera
quedado coseno de pi y coseno de pi es menos uno y menos por menos me da
más cero ¿eh? la delta tiene que ser cero con cero sale una velocidad
negativa ¿de acuerdo? bien pues aquí tendremos la ecuación de la onda
¿no? no se ve bien el igual pero lo pondremos ¿no? y dice el máximo de
la velocidad transversal ¿no? el máximo de la velocidad transversal para
que eso tiene pues para cuando el coseno vale uno y por lo tanto es a por
omega ¿vale? ¿y qué vale la elongación la perturbación en ese punto y
en ese instante? pues hay que sustituir simplemente se trata de sustituir
cuidado ¿eh? en la x y en el tiempo e ir con cuidado sabiendo que estos
son radianes a la hora de utilizar la calculadora o recordando los valores
¿no? la velocidad también en ese punto y en ese instante y también aquí
cambiando el tiempo ¿vale? vemos que la velocidad se hace nula ¿eh?
etcétera bueno de hecho aquí lo que ha pasado es que eh podríamos
haberlo razonado con los tiempos relacionado con el periodo pero bueno no
es el caso ¿eh? vamos a seguir adelante vamos a hablar un poquito de
interferencias ¿qué son las interferencias? es la superposición de dos
ondas que tienen las mismas características pasadas ¿eh? en un ángulo
determinado en una fase determinada pero simplemente es saber de las ondas
de las interferencias que se nos genera se nos genera una onda que tiene
una amplitud variable ¿veis? esta es la amplitud variable de la onda que
resulta de la interferencia 2A coseno de phi medios entonces lo que va a
pasar tendremos puntos de interferencia constructiva o de máxima amplitud
¿cuándo? pues cuando el ángulo valga 0 cuando este ángulo de desfase
valga 0 porque el coseno de 0 ¿qué vale? vale 1 ¿no? y tendremos un
valor de interferencia destructiva cuando la fase pues valga pi porque el
coseno de pi medios es 0 ¿no? cuando tengamos un desfase entre las dos
ondas de 0 o de un múltiplo de la longitud de onda ¿no? porque hablar de
un desfase de 0 radianes es lo mismo que hay un desfase de 2 pi radianes es
decir que tengamos un equivalente en distancia de la longitud de onda
entonces tendremos interferencia constructiva y cuando haya una diferencia
de fase o composición de fase ¿no? las ondas originales eso supondrá
interferencia destructiva y o equivalentemente una distancia del anda
medios ¿eh? bueno aquí lo tenéis 0 interferencia constructiva pi
interferencia totalmente destructiva evidentemente que podemos tener las
situaciones intermedias ondas estacionarias pues es la superposición de
dos ondas que tienen la misma amplitud la misma frecuencia la misma
longitud de onda pero que se propaga en el sentido contrario fijaos
claramente como una tiene un menos y la otra tiene un más pero tiene las
mismas características entonces se forma lo que se llama una onda
estacionaria que no es propiamente dicha una onda porque no es una onda
viajera no es una onda que avance en el espacio en el tiempo sino que cada
punto material vibra con una amplitud concreta ¿de qué depende esa
amplitud de cada punto material? de este de esta ecuación seno de 2a seno
de kx entonces tendremos puntos que están oscilando o vibrando con una
máxima amplitud que es 2a cuando cuando el seno de kx valga más menos uno
y qué significa kx valga más menos uno pues que kx sea un múltiplo impar
2n más uno de pi medios ahí tendríamos las posiciones teniendo que k es
2pi partido por lambda 2pi partido por lambda partido 2pi ¿no? pi se va y
sería 2n más uno por lambda cuartos y lo igualmente serían los puntos de
interferencia destructiva interferencia destructiva seno de kx igual a cero
¿y cuando es cero? ¿cuándo es cero el seno? ¿cuándo va a ser cero el
seno? cuando sea un múltiplo 2pi 3pi etcétera luego x ¿a qué será
igual? x y 2 será igual a un múltiplo de lambda medios ¿no? veamos a ver
x el pi se va lambda medios un múltiplo de lambda medios un múltiplo
entero de lambda medios tendremos vamos a ver esta onda también ha caído
en un examen ¿no? dice la función de una onda correspondiente a una onda
estacionaria de una cuerda fija por ambos extremos viene dada por esta
ecuación nos pide cuál es la distancia entre dos nodos de la cuerda ¿no?
siempre la distancia entre dos nodos es lambda medios porque fijaos el
primer nodo estaría para n igual a 1 lambda medios el segundo nodo claro
si x es lambda medios por n ¿no? para n igual a 1 x es lambda medios para
n igual a 2 x vale lambda ¿cuál es la distancia entre dos nodos
consecutivos? lambda ¿no? lambda medios perdón lambda medios ¿cuál es
la longitud de onda y la frecuencia? bueno aquí hay que recordar ahora
pasaré la página que está hecho 2a seno omega x por coseno de omega t es
decir la k es 0,2 y a partir de aquí podemos sacar la longitud de onda ¿y
la frecuencia? es que la omega 300 es 2pi por la frecuencia ¿y qué es la
velocidad transversal de las ondas que componen la onda estacionaria? es
que la onda original que genera esta onda estacionaria sería 4,2 entre 2
por el seno de kx de 0,2 x menos 300 t entonces la velocidad ¿no? de las
ondas transversales que componen la onda estacionaria eso quiere decir que
es la velocidad es la velocidad de propagación es omega partido por k o
lambda partido por el periodo y después nos dicen que está vibrando en el
cuarto armónico ¿y cuál es la longitud? bueno vamos a verlo esto no que
ya se complica un poco ¿no? este este último apartado ya es más
complicado bueno como os decía aquí tenemos los puntos la distancia entre
dos nodos consecutivos es lambda medios ¿no? si sabemos lambda ¿no?
porque es 0,2 a partir de aquí nosotros podemos calcular ¿no? eh la
lambda es 2pi partido 0,2 o será 10pi la lambda es 10pi ¿no? ¿vale? pues
si es 10pi la lambda la distancia entre dos nodos es 5pi lo más cómodo la
velocidad de propagación lambda por la frecuencia omega partido por k
lambda partido por el periodo lo que queráis ahora la siguiente pregunta
ya es un poquito más complicada porque dice eh está vibrando ¿no? en el
cuarto modo de vibración claro los modos de vibración ¿no? los distintos
modos de vibración del modo fundamental de vibración es este vamos allá
este sería el modo fundamental de vibración que abarca una semi longitud
de onda ¿eh? en el modo ¿no? fundamental de vibración ¿no? una cuerda
que abarca la una semi longitud de onda eh de hecho en los distintos modos
de vibración lambda sub n si queréis sería 2l partido por n ¿vale? en
el modo fundamental n igual a 1 la lambda es dos veces la longitud para n
igual a 2 la lambda coincide con l y así sucesivamente aquí en el cuarto
modo de vibración el cuarto modo lambda 4 sería 2l partido por 4 o sería
lambda medios o si queréis la longitud sería dos veces lambda eh esta
lambda que hemos calculado ¿no? es lo mismo que hay aquí abajo si bueno
es una forma de justificarlo la longitud sería dos veces lambda ¿no? la
longitud de la cuerda ¿vale? mmm ¿qué más nos pedían? ¿cuál es la
máxima velocidad de desplazamiento en el punto central? ¿y cuál será
qué es el punto central? el punto central es este ¿vale? este es el punto
central ¿sí? y por tanto no estamos en un punto que corresponde a un nodo
y como es un nodo estará vibrando con amplitud cero y por lo tanto su
velocidad de desplazamiento es nula ¿eh? cuidado todos estos puntos tienen
velocidad de transversal de vibración nula los nodos ¿vale? ¿cuáles
serán los valores ¿eh? porque esto es una onda estacionaria no es una
onda que avanza cada partícula vibraría ¿no? pero los nodos quedarían
en reposo los nodos ¿eh? siempre en reposo someterían una tensión y
tiene una de sus frecuencias de resonancia ¿no? frecuencias 375 y 450 y
nos piden cuál es la frecuencia fundamental y a qué armónicos procede o
corresponde esta frecuencia dada bueno aquí hay que recordar que la
frecuencia es v partido por lambda y ya hemos visto hace un momento que
lambda n es 2l partido por n luego la frecuencia ¿eh? de cualquier modo de
vibración lambda n es n por v partido 2l ¿vale? donde n es un número
entero para n igual a 1 para n igual a 2 n igual a 1 sería el modo
fundamental de vibración para n igual a 2 el primer armónico etcétera
segundo armónico etcétera ¿de acuerdo? veamos mirad como decíamos
lambda sub n es 2l partido por n despejando la l ¿eh? despejando l la
longitud sería la longitud sería lambda por n y partido por 2 ya lo
ponemos en subíndice si queréis lo borro aquí también para no complicar
la nomenclatura pero esta lambda corresponde un valor distinto para cada
valor de n ¿eh? n y n ¿vale? igual que las frecuencias aquí sí que la
frecuencia tenemos el subíndice ¿vale? entonces la frecuencia del nivel n
armónico sería v partido por lambda y por lo tanto esta expresión para n
sería un múltiplo entero de la frecuencia fundamental ¿no? de la
frecuencia fundamental ¿vale? y no sabemos que n es este nosotros sabemos
que una de ellas puede expresarlo como 375 n por la frecuencia fundamental
la frecuencia fundamental es nu sub 1 ¿vale? que es v partido 2 lambda 2l
perdón 2l que es lambda ahora como me da la frecuencia de la siguiente
¿no? la siguiente frecuencia fundamental se corresponderá al estado n
más 1 modo de vibración si resolvemos este sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas que son n y la frecuencia fundamental veremos que 375
corresponde al modo de vibración 5 ¿eh? el quinto armónico y la
frecuencia fundamental son 75 hercios ¿vale? bien ¿qué puntos de la
cuerda está en el reposo cuando la cuerda vibra en cada uno de dichos
armónicos y cuál es la longitud de la cuerda? bueno para un modo de
vibración correspondiente el modo n la onda y eso es importante recordarlo
tiene n menos 1 modos igualmente espaciados ¿eh? modos igualmente
espaciados ¿y cuál es la distancia entre los modos ¿no? la distancia
entre los modos de vibración es la longitud de la cuerda partido por n
¿vale? la distancia ¿eh? y ¿dónde se encuentran estos modos de
vibración ¿no? o ¿dónde se encuentran estos la posición ¿no? de los
puntos que permanecen en reposo para el enésimo modo de vibración lo
tenemos en esta fórmula de recurrencia ¿vale? l partido por n estamos en
el modo 1 n1 de vibración sería ¿no? para la longitud ¿no? el modo 1 y
para dos veces la longitud ¿no? tendríamos esos modos en los extremos
bueno y así sucesivamente entonces fijaos estamos ¿no? aquí tenéis la
representación de los distintos modos de vibración ¿no? ¿qué relación
hay entre lambda y l que se obtiene con la ecuación que hemos visto antes
¿eh? recordadlo lambda es 2l partido por n y la distancia que hay la
distancia que hay viene dado por l partido por n ¿no? ¿vale? la distancia
que hay entre los nodos ¿vale? l partido por n pongo mayúscula para
evitar confusiones bueno la velocidad o la longitud de la cuerda la tenemos
con la tensión la frecuencia del modo fundamental y aquí hay otro
ejercicio también muy parecido ¿no? una cuerda de una guitarra que tiene
una longitud de 60 cm es una densidad lineal y nos da la frecuencia del
modo fundamental si me dan la frecuencia del modo fundamental nos piden la
velocidad de propagación bueno como sé la longitud como sé la longitud
de la cuerda en el modo fundamental la lambda es dos veces la longitud
será 120 cm si sé la frecuencia la velocidad es lambda por la frecuencia
¿no? y cuál será la tensión de la cuerda pues simplemente es aplicar v
igual a raíz cuadrada de t partido por mu en qué punto se debe presionar
para producir la cuerda 390 bueno pues eso ya vamos a tenerlo que trabajar
un poquito más vale bien si queremos ¿no? que la frecuencia de esta onda
¿no? sea de 390 la longitud de onda ha de ser de 1,02 de un metro
aproximadamente de un metro esto ha caído en algún examen también vale
esta longitud de onda ha de ser el doble de la longitud de la cuerda por lo
tanto la longitud de la cuerda ha de ser de 50 centímetros y como tenemos
una cuerda de 60 centímetros debe deberé presionar a 10 centímetros del
extremo para tener una longitud de onda efectiva de 50 centímetros perdón
para tener una longitud de onda efectiva de un metro y por lo tanto que la
longitud efectiva ¿no? de la cuerda sea de 50 centímetros con una lambda
que es el doble ¿eh? porque recordemos que lambda es dos veces perdonad
lambda es dos veces la longitud después nos habla de los decibelios el
nivel de intensidad el nivel de intensidad l decibelios es 10 logaritmo de
la intensidad partido i sub cero donde i sub cero es 10 elevado a menos 12
es el nivel mínimo de intensidad que percibe el oído humano esto está
relacionado a esta intensidad la intensidad de una onda sonora es la
energía transmitida por unidad de tiempo y por unidad de superficie p
partido 4 pi r cuadrado donde r es la distancia y p es la potencia y por
eso la superficie es 4 pi r cuadrado vale aquí tenemos otro problema de
una onda estacionaria nos pide la amplitud y la velocidad de las ondas
viajeras la distancia entre nodos consecutivos que será la onda media y la
longitud más corta posible vale pues tenemos la amplitud tenemos la
longitud de onda 0 vale los nodos son los puntos de igual a 0 que tengo que
hacer igualar el seno de 4 pi quintos de x a 0 no y cuando es 0 el seno de
un ángulo cuando es un múltiplo de pi cuando es un múltiplo de x pi pues
a partir de aquí despejo la x y tendré esta posición de los nodos ¿no?
de manera que la distancia entre dos nodos consecutivos será la onda
medios es 1,25 metros fijaos que la onda era 2,5 metros ¿y cuál es la
longitud más corta posible de una cuerda? pues es cuando no hay ningún
nodo entre los extremos la longitud siempre más corta es cuando vibra en
el modo fundamental ¿eh? longitud 1,25 ¿eh? con digamos en los extremos
dos nodos ¿no? y tendríamos esta ¿eh? de acuerdo venga vamos a abrir
otro archivo muy interesante aunque hay varios hay este de exámenes de
ondas y de este también hay ejercicios parecidos a los que hemos hecho
ahora y que os recomiendo que los hagáis ¿eh? por lo tanto los que han
caído recientemente en exámenes son parecidos a lo que hemos visto ahora
¿eh? otro otro más es un momentito estos de pruebas del año veintiuno
¿eh? aquí tenemos también algunos de ondas junto con algunos de digamos
de de movimiento armónico simple como veis el otro día de ambos tipos
¿de acuerdo? otro archivo interesante es esta prueba de evaluación ¿no?
del curso veinte veintiuno ¿vale? donde también tenemos ejercicios de
ondas y de movimiento armónico simple que os pueden servir para preparar
sin duda la pesa la PEC que tenemos este fin de semana ¿eh? muy
interesante ¿eh? que lo consideréis y en todo caso voy a abrir este
archivo que tiene muchas páginas ¿no? y que ya estuvimos viendo en su
momento con ejercicios de armónico simple pero que ahora nos interesará
revisar los de ondas ¿eh? dice la frecuencia del modo fundamental de un
tubo de órgano cuando tiene un extremo abierto y otro cerrado es
quinientos ¿cuál será la frecuencia fundamental cuando se abren los dos
extremos? se abren los dos extremos es lo mismo que tener los dos extremos
cerrados ¿eh? entonces mmm cuando estemos tenemos un extremo abierto ¿no?
lo que tenemos que saber es que eh la longitud de onda es la mitad es dos
veces L y aquí lambda es cuatro veces L como V es lambda por la frecuencia
la frecuencia es V partido por lambda entonces si la lambda se reduce a la
mitad la frecuencia se duplica y por eso la solución ¿no? la solución es
¿cuál es la velocidad y dirección de propagación de esta onda? la como
tiene el signo más recordarlo va a ir hacia la izquierda al negativo del
eje X ¿y cuál será la velocidad? pues hagamos omega partido por K que es
lo más sencillo ¿no? V igual a omega partido por K 2 partido por 50
¿vale? que será 0,04 ¿vale? bien aquí tenemos el movimiento armónico
simple aquí de una onda ¿no? dice si la longitud de esa onda viene de
centímetros ¿cuál es la longitud de onda? cuidado ¿cómo puedo sacar la
longitud de onda? fijaos que tenemos un 10pi saca foto al común y esto
puede generar mucha confusión 0,15 el seno de 10pi t menos 10pi X partido
por 60 ¿vale? entonces ¿cómo podemos sacar la longitud de onda? pues
sabemos que la K es esta expresión y esta K ¿qué vale? 2pi partido por
lambda entonces lambda ¿a qué será igual? a 2pi por 60 partido 10pi
¿no? y serán 12 centímetros pues ya está ¿vale? bueno esto es de esto
es otro de que nos pide aquí la velocidad de una partícula en un instante
y en un punto dado cuando me piden la velocidad de una partícula en un
punto y un instante dado ¿qué tenemos que hacer? derivar sacar la
velocidad transversal la velocidad es la derivada sería 3pi cuidado la
derivada interna sería menos 3 por 2pi por coseno de 2pi x menos 3t si os
cuesta hacer esto siempre el consejo es que multipliquéis 2pi x menos 6pi
t vale y cual será para t igual a 1 y x igual a 4 pues esto 4 sería 4
menos 3 1 sería coseno de 2pi luego la velocidad sería menos 3 por 3 9
por 2 18pi partido por pi eh menos 18 metros por segundo vale menos 18
metros por segundo es sustituido la x por 4 y el tiempo por 1 este es de
frecuencias esto es otra onda no que nos piden la velocidad y dirección de
propagación de la onda como lleva un más va hacia la izquierda la
velocidad será negativa la velocidad es omega partido por k que es omega 4
que es la k k 20 eh negativo es un quinto menos 0,2 eh menos 0,2 porque va
hacia la izquierda bueno aquí tenemos otro de armas que ya lo vimos más
cuestiones bueno aquí es dice la velocidad máxima de desplazamiento de un
punto de la cuerda que viaja de una onda transversal no depende de la
longitud de onda es mayor cuanto menos la longitud de onda es mayor cuanto
menos no depende de la longitud de onda depende de a y de omega ya lo hemos
comentado antes no dice una cuerda de tres metros fija por ambos extremos
vibra en su segundo modo normal de vibración con 60 hercios que vale la
velocidad bueno entonces vibra en el segundo modo de vibración no el
segundo modo de vibración sabemos que lambda landa n no landa n a qué es
igual a 2 l partido por n no si n vale 2 la l valdrá l la longitud de onda
vale l que son 3 metros para n igual a 2 segundo modo normal de vibración
sabemos la frecuencia por lo tanto si sabemos la frecuencia si sabemos la
longitud de onda fácilmente calcularemos la velocidad de propagación 180
aquí tenemos otro y una cuerda no fija por ambos extremos no la amplitud
de vibración en un punto central es l medios 1,5 no es a dice que es a no
es a quiere decir que es la máxima pues no cuál de los siguientes puntos
la amplitud de vibración será a medios bueno vamos a ver claro hay que
ver que en el punto central tiene la máxima amplitud y eso sólo ocurrirá
bueno nosotros en el quinto modo normal de vibración landa es 2l partido
por 5 eso es la landa no sí y de esta manera la amplitud ojo la amplitud
valdrá en ese punto no 1,5 valdrá a como se afirma en el enunciado y
sólo será en el quinto modo de vibración este ya es un poco muy
intuitivo eh daos cuenta vale y a partir de ahí se podía sacar los puntos
donde valdría a medios bueno lo tenéis aquí resuelto este es un poco
tedioso os lo digo a ver aquí otra vez bueno nos dan frecuencias sucesivas
no un tubo cerrado nos dicen a ver si el tubo está cerrado o abierto esta
es la relación que existe de frecuencias no a ver en el caso de que esté
cerrado por ambos extremos o abierto por los dos extremos l es n por landa
medios y la frecuencia que sube partido por landa no y las razones de
frecuencia no las razones de distintas frecuencias simplemente sería con n
y n más 1 no eso sería si fuese los dos extremos abiertos y si fuese
abierto por un extremo pues sería esta expresión sería esta expresión
4l partido 2n más 1 la frecuencia tendríamos esta expresión donde las n
ojo se entendían valores impares vale entonces las frecuencias no en qué
se diferenciarían pues no n más 1 a qué sería igual a 2n más 1 no por
menos 1 y el otro de n sería 2n menos 1 no aquí n más 1 para
diferenciarlo y a ver qué ecuación satisfacería eh bueno a esta es
interesante han puesto varias veces no en las P está cuáles de las
siguientes funciones satisfacen la ecuación de ondas esta de aquí ya
hemos dicho antes al principio de la clase que las que llevan x más vt o x
menos vt sin embargo estas tres sí pero la última no esta no vale porque
no es x más menos vt este de movimiento armónico simple este de
interferencias últimamente no se está poniendo nada dos ondas armónicas
esta frecuencia longitud de onda y amplitud no cuál es la la ecuación de
la onda resultante si la diferencia de fase es pi tercios pues hay que
recordar la ecuación que hemos visto una onda estacionaria no donde el
anda esta delta perdón es pi tercios y simplemente se trata de sustituir
no y cuál es la amplitud de la onda viajera resultante pues la amplitud de
la onda viajera resultante esta a prima es dos a coseno de pi sextos dos a
coseno de pi sextos el coseno de pi sextos coseno de 30 que es raíz 3
partido por 2 o será 2a por raíz de 3 partido por 2 donde la a vale 5
simplemente sustituir la frecuencia fundamental de oscilación de una
cuerda de un metro 10 gramos es de 60 qué tensión está sometida ya lo
hemos hecho no muy parecido si vibra en el modo fundamental la longitud de
onda es dos veces la longitud no de la cuerda vale y a partir de ahí se
puede sustituir bien más cuestiones este era de ondas dice no es armónico
simple perdón bueno aquí este es un ejemplo otro dice la longitud de onda
correspondiente a dos nudos de vibración de una cuerda de longitud no las
longitudes de onda correspondientes a los modos de vibración n y n más
uno son 054 y 048 que vale l bueno pues sabemos sabemos no que lambda n
lambda n a qué es igual a 2l partido por n no entonces lambda n partido
lambda n más uno sería 2l partido por n y 2l partido n más uno luego n
más uno partido por n a partir de esas longitudes de onda nosotros podemos
calcular n y sale 8 y también podemos calcular la longitud no vale es un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas porque una vez que tengo la n
y sé la longitud no y tengo la longitud de onda para un valor de n podré
calcular la longitud de las cuerdas de acuerdo cuál es la distancia entre
dos focos dice dos focos sonoros emiten en fase a lo largo del eje x a
misma frecuencia amplitud y misma longitud de onda si la onda que resulta
de la superposición tiene una amplitud a cuál es la distancia entre
dichos focos sonoros bueno hacemos la suma de ambas ondas estas son
interferencias no esta es la ecuación de la de interferencias no vale y
donde esto es esta esta es la fase kd partido y que queremos que la
amplitud valga a pues despejando si esto ha de valer un medio cuidado que
este ya es un poquito más complicado para qué ángulo el coseno vale un
medio para 60 grados para pi tercios y de aquí podemos sacar esa distancia
que hay que es lambda tercios para que no la amplitud de la onda resultante
sea a vale bien aquí tenemos otro más de un violín nos dan la longitud y
la masa nos dan la frecuencia en el modo fundamental podemos saber la
longitud de onda que es dos veces la longitud de la cuerda y a partir de
aquí obtener la velocidad y la tensión de acuerdo bueno como veis hay
distintos ejercicios yo os aconsejo que os repaséis pues todas estas
cuestiones que vais aquí de ondas las tenéis resueltas están con la
solución vale entonces algunos de estos ya los hemos visto porque han
salido en otros ejercicios vuelven a salir vale esto es donde hay mezclados
no como si os acordáis de armónico simple y de ondas pues a ver vale,
pues con todos los archivos que hemos abierto y después evidentemente que
este problema de la onda viajera es muy parecido a otros que ya hemos hecho
pero que están ahí y este ejercicio de onda estacionaria también la
hemos hecho antes previamente aunque lo tenéis en este archivo de acuerdo
bueno pues muchas gracias Luisa y seguimos en contacto y si te animas a
hacer la PEC online con toda esta cantidad de ejercicios que tenéis de
actividades cuestiones pues siempre os ayudará bastante vale muchas
gracias