Bien, buenas tardes. Vamos a iniciar esta nueva clase de física y hoy
vamos a trabajar todo lo relacionado con rotación de cuerpos rígidos,
sólido rígido. Ya sabéis que un cuerpo rígido es aquel que no es
deformable, por ejemplo una esfera, un cilindro, que no se pueden deformar.
Ya serán matizos o huecos, una varilla, un disco, un aro, son ejemplos de
cuerpos rígidos. Un muelle no es rígido, es flexible. Un bloque de
plastilina es flexible. Bien, lo primero que tenemos que hacer, vamos a
estudiar la dinámica de rotación de sólido de cuerpos rígidos, es
recordar las magnitudes angulares desde el punto de vista de la
cinemática. Nosotros definimos la velocidad angular instantánea como el
límite de la variación del ángulo con respecto del tiempo, cuando este
límite tiende a cero. Esto es la derivada temporal del ángulo con
respecto del tiempo. Aquí establecemos una relación entre el ángulo
recorrido y el espacio. El espacio está en azul, es la longitud del arco,
y a partir de aquí tendríamos que recordar la definición de radial. El
radial es el ángulo tal que la longitud del arco es igual al radio. Es
decir, un radial es aquel... cuya longitud recorrida es igual al radio, es
igual al radio. Entonces establecemos esta fórmula que nos relaciona el
espacio con el ángulo en función del radio, con el radio. Espacio igual
al ángulo multiplicado por el radio. Vamos a ver, ¿cómo es este vector
velocidad angular? Esto es importante. Mucha gente confunde el vector
velocidad angular con el vector velocidad y dibuja el vector velocidad
angular tangente a la trayectoria, y no. El vector velocidad angular es un
vector axial perpendicular al plano de rotación, de manera que si giramos
en sentido antihorario, omega va hacia arriba. Y si giramos en sentido
horario, omega va hacia abajo. El sentido de rotación me indica ese vector
axial si va hacia arriba o hacia abajo. Sentido antihorario, hacia arriba.
Sentido horario, hacia abajo. ¿Qué es la aceleración angular
instantánea? Bueno, podríamos hablar primero de la aceleración angular
media. La aceleración angular media sería la variación de la velocidad
angular a partir de un intervalo de tiempo dado. ¿Y cuál será la
instantánea? Pues esta variación cuando el incremento de t tiende a cero.
El límite, que esté cociente, cuando el incremento de t tiende a cero. Y
esto es por definición, ¿qué? La definición de derivada. La derivada de
la velocidad angular con respecto del tiempo es la aceleración angular
instantánea. Instantánea. ¿Y cómo es este vector? ¿Cómo se representa
este vector? Es importante también. No es un vector tangente, no está
dirigido hacia el centro como era la aceleración tangente de la
aceleración normal. Resulta que la aceleración angular, el vector
aceleración angular también es un vector axial, que es perpendicular al
plano. ¿Vale? Y tendría la misma dirección que omega. ¿Vale? De manera
que si tenemos una aceleración positiva, ¿no? Si tenemos una aceleración
positiva, alfa y omega tendrán el mismo sentido. Si tenemos una
aceleración negativa, alfa y omega tienen sentido contrario. ¿De acuerdo?
Vectores axiales, ambos. Bien, rotación con aceleración angular
constante. ¿Cuáles son las ecuaciones del movimiento circular
uniformemente variado o uniformemente acelerado? Son muy similares a las
del rectilíneo, uniformemente variado o acelerado, donde había v, ahora
hay omega. Y donde antes había v, ahora hay omega. Y donde antes había v,
ahora hay omega. cuadrado. ¿Vale? ¿Qué representa cada letra? Pues Z, el
ángulo inicial, el ángulo al cabo de un cierto tiempo pero el Z angular
inicial, es decir, lo mismo que equivalente en el caso del movimiento
rectilíneo y la fórmula de los cuadrados, aquí tenéis W cuadrado igual
a W sub cero más dos alfa y por incremento del ángulo, el ángulo
recorrido en ese intervalo de tiempo. ¿Y alfa qué es alfa? Alfa es la
aceleración angular Entonces, sí que es bueno comparar aquí, como veis
aquí a continuación, cómo podemos comparar las ecuaciones del movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado con las ecuaciones del movimiento
circular uniformemente acelerado también, o uniformemente variado con la
aceleración constante. Fijaos que hay una equivalencia total donde hay S o
X vas a hacer el ángulo, donde hay W, donde hay A, hay alfa ¿De acuerdo?
Bien, pero es importante establecer una relación entre las magnitudes
lineales y las angulares Así como hemos visto antes que el espacio es
igual al ángulo por el radio, igualmente si derivamos esta expresión,
sabiendo que R es constante la derivada del espacio con respecto del
tiempo, ¿qué es? La velocidad ¿Y qué es la derivada de omega con
respecto de t? Perdón, del ángulo con respecto de t, la omega. ¿Vale?
Tendremos la velocidad lineal y la rapidez angular. La rapidez lineal y la
rapidez angular ¿Por qué le llamamos rapidez y no velocidad? Porque el
módulo de la velocidad, cuando hablamos de módulo de la velocidad, se
utiliza el término de rapidez. Mientras que la velocidad lo asociamos a un
vector velocidad. Un vector velocidad que pueda tener un sentido u otro la
rapidez es el módulo de la velocidad, también llamada celeridad. ¿Eh?
Rapidez angular es el módulo de la velocidad angular. ¿Vale? ¿Y qué es
la aceleración tangencial? Era la derivada de la velocidad lineal y
podemos demostrar aquí fácilmente que esto es igual a R por alfa. La
aceleración tangencial la aceleración tangencial es la aceleración
angular por el radio. La aceleración tangencial es igual a la aceleración
angular multiplicada por el radio. Cuidado que es la tangencial, no es la
total, ¿eh? Tangencial, ¿de acuerdo? Bueno, ¿y la aceleración
centrípeta? ¿Qué es la aceleración centrípeta? La aceleración
centrípeta normal ya la conocemos de antes, va dirigida hacia el centro,
es V cuadrado partido por R, pero si ponemos V en función de W, ¿vale?
Tendremos W cuadrado R cuadrado partido por R. Y la aceleración
centrípeta es la aceleración angular multiplicada por R. Por tanto, W
cuadrado por R. Entonces, ambas expresiones me sirven para expresar la
aceleración radial o centrípeta o normal, pero en cada caso utilizaré la
que más me convenga en función de datos del enunciado, V omega periodo.
Aquí tenéis en un movimiento uniformemente acelerado circular las
componentes de la aceleración tangencial, que es tangente a la
trayectoria, fijaos en amarillo, en naranja, perdón, ¿no?, que tiene la
misma dirección y sentido que la velocidad. ¿Veis? ¿Veis? ¿Veis?
¿Veis? ¿Veis? Aquí lo tenemos, ¿no? La aceleración radial que va hacia
el centro y después la aceleración total que sería la suma de estos dos
vectores, ¿no? La A sería A sub t más A sub n, que son dos vectores
perpendiculares entre sí. Daos cuenta que el vector de aceleración
siempre va dirigido hacia la parte cóncava de la curva, hacia la parte
cóncava de la curva, ¿vale? Donde la aceleración radial es omega al
cuadrado por r y la aceleración tangencial es la derivada de V con
respecto de t o, si queréis, alfa por r. Alfa por r, ¿vale? Lo
relacionamos las magnitudes lineales con las angulares. Las aceleraciones
lineales las relacionamos con magnitudes angulares, omega y alfa. Cuidado
con estas relaciones, porque las unidades, al final, seguirán siendo
metros segundo al cuadrado y metros segundo al cuadrado, porque es A radial
y A sub t. Otra cosa es que alfa sea radianes partido por segundo al
cuadrado, pero el radian no es una magnitud física fundamental y a la hora
de obtener las unidades a partir de una ecuación solo consideraremos los
segundos menos uno o segundos a la menos dos de W y de alfa. Bueno, ¿qué
suele equivocarse el estudiante? Confundir la aceleración centrípeta con
la tangencial, ¿no? La aceleración radial no. La aceleración radial
centrípeta o normal no. Siempre tiene lugar, siempre aparece cuando tenga
un movimiento de rotación, ¿vale? Y tendrá aceleración tangencial y
tendremos aceleración tangencial si tenemos alfa, si hay una variación de
la velocidad angular, ¿vale? Lo interesante, ¿no?, uno de los fallos es
que la aceleración radial y tangencial dependen de la distancia del eje de
giro. Ya lo hemos visto, ¿no? Dependen del radio. Así como alfa y omega
vale lo mismo para todos los puntos, alfa y omega, cuando tenemos algo
girando, el valor de las magnitudes angulares de la velocidad de la
aceleración angular son constantes en todos los puntos, mientras que los
parámetros lineales, las acciones lineales dependen del eje de giro.
Cuanto más lejos esté del eje de giro, mayor serán las aceleraciones
lineales. Energía en el movimiento de rotación. Bueno, en el movimiento
de rotación, si tenemos un sólido rígido, tenemos que definir una nueva
magnitud física, que es el momento de inercia. El momento de inercia de un
sistema de partículas finito se define como el sumatorio del producto de
las masas por las distancias del eje de giro al cuadrado. El producto de
las masas. de la energía eléctrica al cuadrado, siempre que tengamos un
número finito de masas. Si en lugar de tener un número finito de masas,
tengo un solvido rígido, este momento de inercia será integral de R
cuadrado diferencial de M. Integral de R cuadrado diferencial de M. ¿Vale?
Entonces, ¿cuál será la energía cinética de rotación? Pues tenemos
que pensar en un paralelismo entre la energía cinética de traslación y
de rotación. Mirad, donde antes había la V ahora ponemos la W. Y donde
antes poníamos la masa, ahora ponemos el momento de inercia. ¿Vale? Y
esta ecuación fijaos, ¿qué nos está diciendo? Que cuanto mayor sea el
momento de inercia de la partícula, mayor será la energía cinética de
un cuerpo rígido que gira a una rapidez omega. Igual que pasaba con un
cuerpo se trasladaba. Cuanto mayor sea la masa del cuerpo que se traslada,
¿no? Mayor es la energía cinética del coche del camión o de lo que
procede. Y aquí, cuanto mayor es el momento de inercia del cuerpo que
está girando, mayor es su energía cinética de rotación. ¿Vale? A una V
y una W dada. Digo, con la traslación y la rotación. Es decir,
resistimos. Yo puedo obtener que K es un medio de MV cuadrado o K con
rotación, un medio de I omega cuadrado. ¿De acuerdo? Sigue dándonos
curioso, ¿eh? Bueno, aquí tenemos, por ejemplo, si queremos hacer girar
esta varilla con estas pesas, ¿no? El momento de inercia más pequeño,
cuando las masas están más cercas al eje de giro, tienen menos momento de
inercia porque el momento de inercia depende de la distancia del eje de
giro. ¿Vale? El momento de inercia necesitaré, necesitaré para hacer la
rotación menos fuerza, ¿eh? Voy a necesitar menos momento que aplicar
menos par de rotación que si las dos, las dos masas están en los extremos
donde el momento de inercia es mayor. Cuanto mayor es el momento de inercia
de un cuerpo, más difícil será ponerlo para girar si está inicialmente
en reposo y más difícil será también detener su rotación si ya está
girando. Por eso también está ahí, se llama también inercia rotacional.
Cuanto mayor es el momento de inercia de un cuerpo que está girando mayor
es su inercia rotacional. Más cuesta ponerlo en marcha más cuesta
detenerlo. Y no nos olvidemos concluyendo después, que el trabajo total
que actúa sobre una partícula, en este caso al ejercer para que se
produzca esta rotación, ¿no? Es igual a la variación de energía
cinética de la partícula. Igual a la variación de energía cinética.
¿Vale? Bueno, aquí tenéis ejemplos de momentos de inercia. Algunos
pueden aparecer en algún ejercicio principalmente por las esferas vacías
y huecas, el cilindro hueco que es un uno con un aro, el cilindro sólido
que es lo mismo que un disco y las varillas. Las varillas con respecto al
centro de masas o al extremo. Y estos momentos de inercia están
relacionados con el teorema de Steiner o el teorema de los ejes paralelos
donde me dice que, i, momento de inercia de un sólido rígido respecto a
un eje paralelo a otro que pasa por el centro de masas, es igual a i dc de
m más la masa del sólido rígido por la distancia entre ambos ejes al
cuadrado. Daos cuenta que si el eje pasa por el centro de masas es un
doceavo de m al cuadrado, ¿no? i sería más m por la distancia entre
ambos ejes, L medios. ¿Vale? Un doceavo más un cuarto es un tercio. Y
ahí, así justificamos el momento de inercia de la varilla con respecto a
un extremo, sabiendo el centro de masas. Aquí tenemos el eje, el teorema
de los ejes paralelos que hemos citado y que hemos aplicado para el caso de
la varilla ¿vale? Ejemplos más típicos la varilla también puede ser con
un cilindro, un disco, después aparece un problema con una esfera, quiero
recordar. Bien, vamos a pasar antes de hacer ejercicios a dinámica del
movimiento de rotación. Bien, dinámica del movimiento de rotación, vamos
a ver qué es la causa que genera el movimiento de rotación. La causa que
genera el movimiento de rotación es la torca o momento de la fuerza. ¿Y
qué es la torca? Torca o momento de la fuerza. Lo tenéis aquí, por esta
letra t griega, ¿no? Es el producto vectorial r sobre f y su módulo es r
por f por el seno de 90. Por lo tanto, esta torca va a producir un momento
distinto de 0, una torca distinta de 0 si r y f forman un ángulo distinto
de 0 o 180 grados, porque ahí el seno de 0 o 180 es 0 y ahí no va a
generar ninguna rotación. ¿Cuándo va a ser máxima esa torca, ese
momento cuando el ángulo sea de 90 grados? Porque ahí sería r por f por
el seno de 1. Y sería la máxima, ¿no? La máxima torca aplicada, ¿eh?
¿De acuerdo? Veamos aquí un poco vectorialmente. Aquí tenemos un
tornillo, una llave inglesa y se hace una fuerza, como veis aquí, dirigido
hacia afuera, hacia afuera. ¿Vale? ¿Vale? Si estoy girando o intento
girar ese tornillo en sentido antihorario, la torca es positiva hacia
arriba. Igual que con la w y con el alfa. ¿Vale? Mientras que si giramos,
si giramos el tornillo con la llave inglesa en sentido horario, en sentido
horario, ¿no? ¿Qué ocurre? Entonces irá hacia abajo. Fijaos, los dedos
me indican el sentido del giro y el pulgar el sentido del momento de la
fuerza. El sentido del momento de la fuerza. Bueno, esta ecuación es muy
importante porque viene a representar la ecuación fundamental de dinámica
de rotación que nos relaciona la torca aplicada, la torca aplicada
resultante es igual a i por alfa. ¿Vale? Donde, bueno y alfa es el vector,
¿no? Ya nos damos cuenta que la torca y alfa van a tener la misma
dirección, van a ser vectores axiales y el sentido dependerá, ¿no? Si la
aceleración aumenta o disminuye. ¿Cuáles son los errores comunes?
Olvidar que la torca es, se debe al valor de una fuerza, ¿no? Que depende
de dónde está aplicada esta fuerza. No es lo mismo el momento de una
fuerza, ahora por ejemplo, aunque después volverá a salir. Si tengo algo
que está girando por un plano horizontal, ¿no? Y esto es la fuerza de
rozamiento y esto es el peso, esto es la normal, ¿no? Fuerza de
rozamiento, el peso, la normal. El momento, si yo calculo el momento
respecto el centro de masas, solo tendrá momento FR porque la normal y el
peso están en la misma línea del centro de masas y por tanto el momento
es nulo. La distancia de N y P al centro de masas es nula porque están
aplicadas en el mismo. ¿Eh? Y confundir ¿Cuál es el signo de la torta y
de la acción angular? Sentido contrario de las agujas del reloj, positivo.
Sentido de las agujas del reloj, negativo. Bueno, ¿cuál es la energía
cinética de rotación de un sueldo rígido alrededor de un eje móvil?
Bueno, pues si el eje es móvil, K sería un medio de I omega cuadrado,
siendo I el momento de inercia respecto al eje móvil. Este aquí. Si esto
está... girando en este plano, se está girando con respecto a este eje,
la energía cinética de rotación de este disco, de este cilindro, de esta
esfera, sería con respecto a este eje. Y la I, la I sería I de C de M
más M por la distancia entre ambos ejes al cuadrado. Aquí la distancia
sería el radio. Pero no se suele trabajar con los ejes instantáneos, sino
que cuando se trabaja y la energía cinética de rotación respecto a un
eje móvil, se suele referir al centro de masas. De manera que diremos que
cuando un cuerpo además redonda, avanza, como es el caso que hemos puesto
antes, ¿no? Su energía cinética, claro, no es lo mismo algo que está
rotando respecto a un eje fijo. Algo que está rotando y está avanzando en
un plano horizontal, en un plano inclinado, la energía cinética se puede
expresar como la suma de la energía cinética de traslación del centro de
masas alrededor del centro de masas. Esto es muy importante porque nos
permite simplificar mucho los ejercicios. ¿Vale? Esta energía cinética
la desglosamos en dos sumandos. Una de traslación del centro de masas y
otra de rotación alrededor del centro de masas. Fijaos como aquí
tendríamos la traslación del centro de masas, la velocidad que vale en
cada uno de estos cuatro puntos en el centro de masas. ¿Vale? Y a la
derecha, en la derecha, tenemos la rotación alrededor del centro de masas
y vemos el vector velocidad en los cuatro puntos. La combinación de estos
dos movimientos me da el movimiento resultante y fijaos como son las
velocidades. En el punto 3 es el doble de la velocidad del centro de masas,
es que en el centro, en el centro de este cuerpo que gira, tenemos una
velocidad del centro de masas. ¿Vale? Y en el extremo superior serían dos
velocidades. La velocidad del centro de masas. Sin embargo, nos damos
cuenta que abajo en el punto de apoyo, este cuerpo que está rodando sin
deslizar, tiene una velocidad nula. ¿Vale? Y tenemos ahí un... es decir,
tenemos posiciones instantáneas. La rueda está instantáneamente en
reposo cuando hace contacto con el suelo. ¿Vale? Rodar sin resbalar. Esto
es muy importante. ¿Cuál es la condición para que un cuerpo ruede sin
resbalar? Pues que se cumpla que la velocidad del centro de masas ha de ser
igual a R por W. A R por W. Ojo, esta relación se cumple solo en el caso
que un cuerpo ruede sin resbalar, ruede sin deslizar. Pero ojo, cuando un
automóvil da rancones, comienza a moverse, los neumáticos caseros, ¿qué
les pasa? Giran con mucha rapidez, mientras que el cuerpo casi no se mueve.
Así que R por W es mayor que la velocidad, porque gira muy rápido y no
avanza. Sin embargo, cuando aplicamos la fuerza rápidamente, con mucha
fuerza y el coche derrapa, los neumáticos casi no giran. ¿No? Y entonces
R por W será menor que W de CDN. Entonces, tiene que girar sin resbalar.
¿Por qué ha pasado una situación o la otra? Interesante, ¿no? Bien,
vamos a ver... Vamos a ver el cálculo de la rapidez de un yoyo cuando es
descendido a una altura h. Inicialmente está en reposo, ¿no? Y arriba del
todo, en posición 1, ¿qué tendrá este yoyo? Una energía potencial
gravitatoria mgh. Y ahora bien, este yoyo está desplazándose hacia abajo.
Va a tener una energía cinética de rotación alrededor del centro de
masas más una cinética de traslación del centro de masas. ¿Y qué vale
la y? Un medio de mr cuadrado, ¿no? Aquí lo tenemos. ¿Vale? Y la omega
la puedo poner en función de v. Claro que sí. Omega es v de CDM partido
por R. Entonces, nos damos cuenta que la energía cinética no es mayor que
si el yoyo estuviese cayendo a una rapidez v de CDM sin girar. ¿Vale?
Entonces, nos damos cuenta que la energía cinética no es mayor que si el
yoyo estuviese cayendo a una rapidez v de CDM sin girar. ¿Vale? Es 1,5
veces más grande. Dos tercios de la energía cinética de total es
traslación y un tercio es de rotación. ¿Vale? ¿De acuerdo? Bien. Bueno,
o sea, a partir de aquí nosotros podríamos obtener esta velocidad. ¿No?
Hemos obtenido por energías. ¿De acuerdo? Por energías. Bueno, el que
sea un tercio o dos tercios, estaba aquí dándole vueltas. Bueno, tampoco
es que sea una cuestión. Tú tienes el total. ¿Cuál será el de
traslación? Un medio de m v de CDM al cuadrado. ¿Y el total? Tres cuartos
de m v de CDM al cuadrado. Me quedan dos tercios. ¿No? Serían dos
tercios. ¿No? Y si hacemos el cálculo, es dividir ese valor por el total.
¿Qué pasa cuando tenemos varios cuerpos que caen rodando por un plano
inclinado? No, ruedan sin deslizar. ¿Cuál llegará antes a la base? Pues
arriba que tienen energía potencial gravitatoria. ¿En qué se
transformará esta energía potencial gravitatoria? En energía cinética
de traslación y en energía cinética de rotación. ¿Vale? Un medio de m
v de CDM más un medio de K. ¿No? Por m r al cuadrado es igual a uno para
un aro. C es igual a un medio para un cilindro o un disco. Y C será igual
a dos quintos para una esfera. ¿Vale? Entonces, si hacemos esto,
desarrollamos y despejamos la velocidad, vemos que llegará antes o con
mayor velocidad el que tenga la c más pequeña. ¿Qué tiene la c más
pequeña? La esfera. ¿Por qué? Porque tiene mayor velocidad final. ¿No?
Mayor velocidad final llegará con mayor, habrá tenido mayor aceleración.
Bien. Traslación y rotación combinada. Esto es muy interesante también.
De hecho, el problema anterior del yo-yo se podría haber hecho de esta
manera, que lo vemos. Cuando un cuerpo gira y se traslada, como hemos visto
el cuerpo que iba por el plano horizontal o el yo-yo que está bajando y
está rodando, a esos cuerpos se les debe aplicar, si queremos resolver el
problema por método de dinámica, por una parte la ecuación fundamental
de dinámica de traslación, F igual a m por a. Ojo, resultante de las
fuerzas externas igual a la masa del sistema por la aceleración del centro
de masas. Y el sumatorio de las torcas igual a I de C de m por alfa, siendo
I de C de m el momento de dinamicia respecto al centro de masas, porque
siempre lo estamos refiriendo todo al centro de masas. Y seguimos el
movimiento del centro de masas. Veamos el yo-yo que hemos visto antes.
¿Cómo serían las fuerzas que actúan? Aquí lo tenemos, ¿no? Fijaos, el
peso y la tensión. Hay más fuerzas que actúan, ¿no? Entonces, si a este
cuerpo nosotros le aplicamos la ecuación fundamental de dinámica de
traslación, ¿no?, ¿qué tendríamos? Sumatorio de fuerzas, igual a m por
a. Fuerzas a favor, el peso, en contra la tensión, igual a m por a. ¿No?
La aceleración es positiva hacia abajo. Pero, si aplicamos la torca, torca
igual a I por alfa, de dinámica de la rotación, la ecuación fundamental
de dinámica de la rotación, ¿no? La torca, ¿no? Solo produce torca
distinta al cero la tensión. Esta no, porque está aplicado sobre el
centro de masas. Entonces, será t por r, por el seno de 90, y dc de m por
alfa, siendo alfa a partido por r. ¿No? Y el momento de inercia es un
medio de mr cuadrado. A ver, pues simplificando, a ver, como lo he hecho,
¿no? Pero tenemos un sistema mg menos t igual a m por a, ¿no? A un medio
de m por a. Es la misma masa, ¿eh? No es mayúscula, todo es minúscula.
Entonces, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la
tensión y la aceleración. ¿Vale? Bien. Bueno, hablemos de trabajo y
potencia en movimiento de rotación. ¿Qué es el trabajo de rotación?
Pues siempre que tengamos una torca que produzca un desplazamiento, ¿no?
Tendremos un trabajo. El trabajo será integral de la torca. Por el
ángulo. Si la torca es constante, el trabajo es igual a la torca del
momento por el ángulo. Tiene que haber un ángulo recorrido, ¿eh? Para
tener trabajo. No solo por el hecho de rotar, no es así. Tiene que haber
un ángulo recorrido, ¿eh? Para tener un trabajo. Bien. Pues el trabajo,
hemos dicho que era la torca por el ángulo, ¿no? Ya el módulo. ¡Oh!
Recordemos, del problema de la energía, el trabajo total, ¿a qué es
igual? A la variación de energía cinética del sistema. Igual a 1 medio
de i omega cuadrado menos 1 medio de i omega sub 2 cuadrado. ¿Vale? ¿Sí?
La potencia, ¿qué es? El trabajo por unidad de tiempo. El momento por la
velocidad angular. ¿Vale? Y fijaos que también es una fórmula muy
similar a la que teníamos de fuerza por velocidad. Un paralelismo, ¿no? Y
ya para ir acabando, el último concepto que hay que introducir es el
momento angular. Momento angular o cinético. El momento angular es un
vector perpendicular al plano determinado por R y P. Viene de un producto
vectorial. Seguiremos con las mismas reglas que si giramos en sentido
antihorario, elevaría hacia arriba y si giramos en sentido horario, irá
hacia abajo. Nos interesa hacer la derivada temporal de esta L porque la
derivada temporal de esta L, este momento angular o cinético, es R
vectorial F. Y esto es muy interesante porque es la torca y a partir de
aquí nosotros tenemos la ecuación también fundamental de dinámica de la
rotación. ¿Vale? ¿Y cuándo es que este R vectorial F es cero? Pues
cuando R y F son paralelos o antiparalelos. Por ejemplo, en el caso de que
una partícula se mueva o esté sujeta a una fuerza central, R y F son
paralelos o antiparalelos. Y el momento o la torca será nulo y la L será
constante. Nosotros podemos decir que el cambio del momento angular, ¿no?
La aparición temporal del momento angular es igual a la torca de la fuerza
neta que actúa sobre esta partícula. ¿Vale? ¿Bien? Entonces, esta L es
de momento angular para un sólido rígido que gira. Esta L vector es un
vector también axial y tendrá la misma dirección y sentido que omega.
¿Vale? Si giramos en sentido antihorario la L irá hacia arriba y si
giramos en sentido horario irá hacia abajo. ¿Vale? Hemos dicho que el
momento o la torca es igual a la derivada temporal de L con respecto de T.
¿Vale? ¿Vale? ¿Y la L qué es? Y por omega. Luego esto será igual a Y
por alfa. La torca, ¿no? Todas las fuerzas resultantes es igual al momento
de inercia por la aceleración angular. Esta es la ecuación fundamental de
dinámica de rotación. Entonces, a partir de aquí podemos enunciar el
principio de conservación del momento angular. Porque si la torca
resultante es cero, ¿no? Entonces, la derivada temporal de L es cero. O lo
que es lo mismo, L es constante. L es constante en módulo, dirección y
sentido. L es constante. En módulo, dirección y sentido. ¿De acuerdo? Y
entonces, Y por omega 1 igual a Y2 por omega 2. Es decir, el producto Y por
omega, que es el momento angular cinético, ¿eh? Ya sabéis que es un
vector axial. Si giramos en sentido antihorario irá hacia arriba la L y
viceversa. ¿No? Al igual que omega. Aquí tenemos para acabar un ejemplo.
Dice un profesor de la física, se pone de pie, una mesita giratoria y
tenemos pues unas pesas, ¿no? Y se pone a girar, dando una revolución
cada dos segundos. Dice que calculemos la nueva velocidad angular si pega
las pesas al cuerpo, ¿no? Y nos da el momento de inercia con los brazos
extendidos y con los brazos pegados en el cuerpo, ¿no? Y las macrófagas
están a un metro del eje al principio y al final a 0,2 metros. Es decir,
¿qué estamos hablando aquí? Pues esta persona está dando vueltas con
unas pesas recogidas, unas pesas con las manos extendidas. Después las
acerca. ¿Qué pasa? ¿Qué es lo que está pasando aquí? Que al acercar
las pesas disminuye el momento de inercia de nuestro sistema y por lo tanto
la velocidad angular aumentará para que se conserve el momento. La L. L1Y1
por omega 1. L2 igual a Y2. L2 por omega 2. ¿Qué vemos aquí? Que Y2 es
menor que Y1. Luego omega 2 ha de ser mayor que omega 1. Girará más de
pesas. Pero, bueno, esto sería todo eso inverso. Las patinadoras, ¿no?
Cuando quieren detenerse y dar vueltas, cuando quieren dar vueltas muy de
pesas se encogen lo máximo posible. Y cuando quieren pararse, estiran los
brazos para aumentar el momento de inercia y disminuir la velocidad
angular, ¿no? Bueno, aquí tenéis los datos, ¿no? La velocidad angular
inicial y el que sería el final con los brazos recogidos, ¿no? Las pesas
recogidas. Pues a partir de aquí nosotros podemos determinar, podemos
determinar la nueva velocidad angular. En este caso ha aumentado 5. Bien.
Vamos a mirar ya los ejercicios, si os parece. Bien. Aquí tenemos. En un
anuncio se asegura que un centrifugador se le ocupa este espacio, ¿no?
Este sí que está como problema recomendado, ¿no? Y que produce esta
aceleración. 7.000 G a 5.000 RPM. Calcule el radio que debe tener el
centrifugador. ¿Es verosímil la afirmación del alumno? Bueno, del
anuncio, perdón. Bueno, hemos pasado la omega a radianes por segundo.
Hemos calculado, tenemos la aceleración normal, podemos calcular el radio.
Simplemente es las fórmulas que nos relaciona la aceleración normal y la
omega. Y trabajar en el sistema internacional. Nos damos cuenta que el
radio, por lo tanto el diámetro, es mayor de lo que nos dice. De lo que
nos dice el anunciante. Por lo tanto no es correcto, ¿no? Aquí está. El
diámetro necesario, ¿no? Es muy superior al del anuncio. Por lo tanto no
ocupará ese espacio. Otro de los que está recomendado por el equipo
docente es este. Sobre qué eje tendrá una esfera uniforme de madera al
mismo momento de inercia una esfera de pared delgada, hueca, de plomo,
igual masa a lo largo del eje de su diámetro. Es decir, nosotros tenemos
una esfera uniforme. Maciza, ¿no? ¿Sobre qué eje tendrá una esfera
uniforme de madera al mismo momento de inercia que una esfera de pared
delgada? El momento de inercia de una esfera de pared delgada es dos
tercios de m r cuadrado. ¿Vale? Y queremos saber con respecto a qué eje
tendrá la esfera maciza este valor de la i, ¿no? Que es mayor que el del
centro de masas. Entonces, ¿qué tenemos que hacer? Sustituir. Aquí. La i
por el centro de masas, ¿vale? Es decir, el valor que queremos obtener,
esto es la i de cdm de la esfera maciza y d va a ser la distancia entre
ejes. Operando me queda esta distancia. A una distancia d coincidirá el
momento de inercia de la esfera maciza con el momento de inercia de la
esfera hueca que pase por el centro de masas. Entonces, queremos tener el
mismo momento de inercia que la esfera hueca del centro de masas. Bien.
Bueno, aquí tenéis la explicación, lo mismo. Bien. A sugerido que las
plantas eléctricas también está recomendado para que deberían
aprovechar las horas de bajo consumo para generar energía mecánica y
almacenarla hasta que existe durante los periodos de carga. La propuesta
consiste en almacenar en volantes muy grandes, ¿no? De esta densidad de
hierro, ¿no? En forma de disco uniforme de diez centímetros de espesor.
¿Qué diámetro debería tener ese disco para almacenar diez megajulios?
¿No? Tenemos que almacenar diez megajulios de energía cinética al girar
noventa, al girar a noventa RPM en torno a un eje perpendicular al disco.
Noventa revoluciones por minuto. ¿Vale? Bueno, pues vamos a ver estos
megajulios. Los vamos a pasar a julios. Esta es la expresión de la
energía cinética, ¿no? De rotación, ¿vale? La velocidad angular en RPM
la pasamos a milímetros por segundo. A partir de aquí puedo calcular el
momento de inercia. ¿Vale? Sí. Y la masa, ¿a qué es igual la masa? A la
densidad por el volumen. ¿No? ¿Y cuál es el volumen? PR cuadrado por D
siendo D el espesor. ¿Vale? A partir de aquí, el momento de inercia.
¿No? Nosotros podemos calcular el espesor. Bueno, el espesor es Eso lo
sabemos, porque lo que podemos hacer es calcular el radio y después el
diámetro. ¿Vale? Porque el expresor nos dice que son 10 centímetros,
¿no? Exactamente. ¿Y qué nos pide el diámetro? Pues calculemos el radio
en primer lugar, porque lo tenemos todo, el movimiento de inercia, etc.
¿No? De acuerdo. Como tenemos la I calculada previamente, podemos calcular
R. Y a partir de aquí, el diámetro. Y posteriormente, pues la
aceleración normal, que lo veis que es muy elevada, 327. Bueno, aquí
tenéis la solución. Aquí tenemos este otro ejercicio, una bailarina que
gira a una revolución determinada, 72, de un eje que pasa por su centro,
con los brazos extendidos, ¿no? Indica que la distinción de masas, un 7%
en la cabeza, un 13% en los brazos, las piernas, tonki y piernas, un 80%.
Bien. Bueno, dice, su momento de inercia alrededor de su eje de rotación,
me piden, y su energía cinética de rotación. Bueno, por supuesto una
persona de 90 kilos, por ejemplo. ¿Qué va a dar el momento de inercia? O
sea, habrá que asimilar cada parte de su cuerpo a una figura geométrica.
La cabeza en la esfera, el tronco al cilindro, y los brazos varilla cuyo
eje pasa por el extremo. Sabemos a qué velocidad tiene que girar, 72 RPM,
y el momento de inercia total será la suma de nuestros tres elementos.
Pero no contribuyen igual, uno contribuye un 7%, ¿no? Otro contribuye un
80%, y el otro contribuye un 13%, voy a recordar, que son dos brazos, ¿no?
Un tercio de un telecuadrado. Bien, pues a partir de aquí podemos sacar el
momento de inercia total, y la energía cinética de rotación. ¿De
acuerdo? Venga, tenemos aquí ahora una esfera sólida, que se libera, y
que se desplaza. Se libera a partir del reposo y baja por una ladera, que
forma un ángulo de 65 grados por la horizontal. ¿Qué valor mínimo debe
tener el coeficiente de rozamiento entre la ladera y la esfera para que no
haya deslizamientos? Es muy interesante también. Dice, el coeficiente de
rozamiento calculado en el apartado A, ¿bastaría para evitar que una
esfera hueca deslice sin rodar? Justifique. ¿Por qué usamos el
coeficiente de rozamiento estático y no el coeficiente de rozamiento
dinámico en el apartado A? Porque, porque la rueda no está deslizando,
rueda sin deslizar, y el punto de apoyo es un punto de apoyo que se va
moviendo a medida que avanza la rueda, ¿no? ¿Sí? La esfera sólida,
perdón, ¿no? Y por lo tanto, si nosotros queremos ver si desliza o no,
tendremos que poner, compararlo con el coeficiente de rozamiento estático.
Que es el que le impediría, o que le impediría deslizar. Deslizar.
Siempre la fuerza de rozamiento debe ser menor o igual que la fuerza de
rozamiento máxima. ¿Vale? Tiene que ser menor o igual que la fuerza de
rozamiento máxima. ¿Vale? Vamos a ver este valor mínimo, ¿eh? Como
mínimo, ¿qué tiene que valer? ¿Qué tiene que valer como mínimo esa
fuerza de rozamiento? Para que el cuerpo no deslice. Bueno, aplicamos la
segunda ley de Newton. F igual a m por a, px menos fr igual a m por a,
¿no? Y a partir de aquí tenemos, claro, ya estoy aplicando la fuerza de
rozamiento máxima, ¿eh? ¿Vale? La fuerza de rozamiento máxima. Que es
mu estático por la normal. ¿Y la ocasión fundamental de dinámica de la
rotación? Es la torca por i por alfa. La torca, ojo, n y p no ejercen
torca porque están aplicadas sobre el centro de masas. Mientras que fr...
Fr, sí. ¿No? Fr sería mu smg coseno de alfa por r. Igual a dos quintos
de mr cuadrado, que es una esfera, por alfa. ¿Y qué tiene que cumplir
para que no deslice? Que a sea igual alfa a r. Bueno, es que la condición
para que no deslice es que se estén cumpliendo estas relaciones. ¿No?
Esto es lo que tiene que cumplirse en cada momento para que no deslice. Si
se cumple una, se cumplen las tres. ¿No? Evidentemente. Bien. Para que no
deslice, se ha de cumplir esta relación. ¿No? Donde a es la aceleración
del centro de masas. Entonces, la aceleración del centro de masas, aquí
podemos sacar nosotros, ¿no? De este sistema, podemos sacar el coeficiente
de rozamiento que debe tener. Al menos debe tener este coeficiente de
rozamiento estático. ¿No? Tiene que ser. Tiene que ser al menos este
valor para que no deslice. ¿No? Porque si tiene un valor menor, ¿no?
Deslizará. ¿O no? ¿No? Al menos tendrá que tener este valor. El
coeficiente de rozamiento. ¿No? Te pide. Fijaos, se ha denunciado el valor
mínimo que tiene que tener el coeficiente de rozamiento. Este es el valor
mínimo. ¿Eh? Que tiene que tener el coeficiente de rozamiento, ¿no? Que
sería la fuerza de rozamiento máxima, ¿no? Estática. ¿No? La fuerza de
rozamiento mínimo que tiene que tener para que no resbale. ¿No? Porque si
la fuerza de rozamiento, ¿no? Que tiene esa esfera es menor que la fuerza
de rozamiento máxima, deslizará. ¿Sí? Bueno. Repetimos para una esfera
hueca. Y vemos que el coeficiente de rozamiento que se precisa es de 0,858.
¿Vale? Se precisa mayor fricción para una bola hueca. Depende, ¿por
qué? De la distribución de masas. Pero no del radio, como veáis. Depende
de la forma, de esa distribución de masas. En esa forma geométrica. ¿Eh?
Al menos tiene que tener este valor para que no deslice. Con respecto al
punto de salida. Con respecto al punto de contacto. ¿Y? Como supese, es el
coeficiente de rozamiento estático. Y lo estamos comparando con el
estático. Porque no tiene que deslizar. Pensad que estos son ejes
instantáneos. Y no tiene que patinar. Que resbalar o deslizar. Bueno,
aquí está todo el desarrollo. Vamos con este otro. Calcule el módulo del
momento angular del segundero de un reloj alrededor de un eje. Va a ser por
el centro de la esfera. Este sí que está tan bien. En los recomendados.
Los recomendados por el equipo docente. Me da la manecilla, los
centímetros de longitud y la masa. Tratar a la manecilla como una varilla
delgada. Que gira con velocidad angular constante desde uno de sus
extremos. ¿Vale? Entonces, el momento angular es i por omega. El momento
de inercia de una varilla cuyo eje pasa por el extremo es un tercio de mL
cuadrado. Simplemente se trata de sustituir y poner las cosas en las
unidades del sistema internacional. ¿No? La velocidad angular es 1. Es
decir, una revolución por minuto. ¿Vale? ¿Por qué? Porque es el momento
angular del segundero. ¿El segundero qué tiempo tarda en dar una vuelta?
Un minuto. Pues una revolución por minuto. Hay que basar esto a radianes
por segundo. Un pequeño bicho de 10 gramos se encuentra sobre el extremo
de una barra delgada y uniforme. Inicialmente está en reposo en una mesa
horizontal. ¿Vale? El otro extremo pivotea en torno a un clavo y puede
girar libremente sin engrosamiento. La masa de la barra es de 50 gramos. Su
longitud 100 centímetros. El bicho salta en dirección horizontal y
perpendicular a la barra. Una velocidad de 20. ¿Vale? Con respecto a la
mesa. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra inmediatamente después
del salto? Hay que suponer que el movimiento de las fuerzas externas es
nulo. Por lo tanto, el movimiento angular o cinético es constante. ¿No?
La velocidad angular de la barra inmediatamente después del salto. ¿Cómo
lo calculo? Pues L antes igual a L después. Antes del salto. El movimiento
angular es nulo. Fijaos que aquí he puesto que el bicho va hacia nosotros.
Luego la barra irá en sentido contrario. ¿Para qué? Para que el
movimiento angular se conserve, sea cero. L1 es igual a L2. Cero es igual a
la L del bicho más la L de la varilla. Fijaos que despejando ya me queda
que omega lleva un signo menos con respecto a la velocidad del bicho. Y por
lo tanto sería menos 0,12. ¿Vale? ¿Y cuál sería la variación de la
energía cinética? Que me están preguntando. La energía cinética total
del sistema inmediatamente después del salto. Bueno, antes del salto es
cero. Porque está en reposo todo. Después del salto sería de traslación
del bicho y de rotación de la varilla. Y de rotación respecto al eje que
está girando. Que es un tercio de ml cuadrado. Las fuerzas internas
generan un trabajo. La energía... ¿Qué hace? Surge del impulso que da el
bicho. Al bicho, al salto. ¿No? Y hay un consumo de energía. Se
transforma esa energía... ¿No? En energía cinética. ¿Vale? Al dar ese
salto. ¿No? Bien. Aquí tenemos una polea con dos masas. Pero una polea de
masa no despreciable. De hecho me dan el momento de inercia. Y me piden
calcular la aceleración angular de la polea. La tensión en cada lado de
la polea. Si no hay deslizamiento de la cuerda. Etcétera. Vamos allá.
Aquí tenemos el dibujo. Hemos dibujado las fuerzas que actúan sobre cada
cuerpo. Fijaos que tangencialmente sobre la polea. Tenemos una tensión A y
una tensión B. ¿El sistema hacia dónde evolucionará? Pues en el sentido
que tenga la masa más grande. Si la masa más grande se mea. Pues irá
hacia la derecha. ¿No? Como es este caso. Daos cuenta que sobre cada
cuerpo. Y sobre la polea tenemos dos tensiones. Que son distintas. De sub A
y de sub B. ¿Por qué son distintas las tensiones? Porque los pesos son
distintos. Y la polea es de masa no despreciable. Entonces el momento
tangencial sobre la polea. Sería T sub A por R. Y el momento en contra
sería T sub B por R. Igual ahí por alfa. Donde alfa es A partido por R.
Como bien sabéis. Esta sería la ecuación fundamental. De dinámica de la
rotación. Aplicada a la polea. Pero ahora aplicaremos la ecuación
fundamental. De dinámica de traslación. Aplicada a cada uno de los dos
cuerpos. El cuerpo A baja. Y el cuerpo B sube. Y por lo tanto a partir de
aquí. Yo puedo despejar la tensión. De la rama A. La tensión de la rama
B. Y también considerar. No. La relación entre las tensiones. El momento
de inercia y la aceleración. Es un sistema de tres ecuaciones con tres
sincónicas. ¿De acuerdo? Cuyo resultado tenemos aquí. T A T B y alfa o
A. Como queráis. ¿Cómo va? ¿Cuál es el vector? Alfa. Alfa es un vector
axial. Que como gira en sentido horario. Mi sistema irá hacia adentro.
¿Por qué son las tensiones diferentes? Porque los distintos pesos generan
una aceleración. En sentido del peso. ¿No? A los distintos pesos que
tenemos. Las fuerzas tangenciales son distintas. Y si la polea es de masa
no despreciable. Tenemos torcas diferentes. No confundamos alfa. Que es un
vector axial. Con una tensión tangencial. Que es tangente a la trayectoria
alfa. Iría hacia adentro del papel. Bien. Una ave vuela horizontalmente.
¿No? Y choca contra una barra. A una distancia determinada de la bisagra.
Y cae. ¡Bum! Para abajo. ¿No? Con esa velocidad angular de la barra.
Justo después. Que es golpeada por la ave. Y después cuando llega al
suelo. Porque esto gira. Y rotará y llegará al suelo. Bueno. Aquí
tenemos otra vez. Que la torca resultante es cero. L es constante. L de la
ave antes de impactar. Es igual a L de la barra después de impactar. ¿Por
qué pongo solo L de la ave igual a L de la barra? Porque antes de
impactar. La barra. Está en reposo. Y después de impactar. La L de la
ave. Es cero. Porque cae. ¡Bum! Con velocidad cero. ¡Mmm! Choca al suelo.
El choque. La altura. Es cero. De modo que después del choque. Cae hacia
el suelo. Ya no sigue avanzando. ¿Vale? Bien. Pues a partir de aquí.
Podemos calcular la velocidad angular. ¿No? Perdón. Que son dos radianes
por segundo. Hay que saber que la energía mecánica no se conserva en el
choque. Y hay una pérdida de energía mecánica. ¿Vale? La energía
cinética antes y después va a ser distinta. ¿De acuerdo? Ahora bien. La
barra cuando llega al suelo. Se ha transformado la energía potencial que
tenía la barra. Justo después del choque. A la energía cinética de
rotación. Pero ojo. La energía potencial gravitatoria del centro de
masas. Tenemos que seguir el movimiento del centro de masas. Y la energía
cinética de rotación. Alrededor del eje situado por el extremo. ¿No? O
con respecto al centro de masas. Como queráis. O con respecto al extremo
parece más fácil. Entonces. Inicialmente ¿Qué tenemos? ¿Vale? ¿Qué
tenemos inicialmente? Pues arriba del todo tendremos. Una energía
cinética de rotación. Y una energía potencial gravitatoria. MGH. Y abajo
del todo. ¿Qué tenemos? Una energía cinética de rotación. A partir de
aquí nosotros podemos calcular. La velocidad angular final cuando. Ha
girado 90 grados. ¿No? Y llega al suelo. Nosotros hemos calculado por
conservación del movimiento angular. La velocidad angular de la varilla.
De la barra. La velocidad. Justo después del impacto. Y después por
energías. He podido calcular. La velocidad de impacto. Bien. Aquí
tenemos. Una. Un anillo. ¿No? Eh. Un radio y una masa. ¿No? Y nos dice
que después de que el aro descienda 75 centímetros. Calcule la rapidez
angular. Del aro al girar. Y la rapidez de su centro. ¿No? Cuando ha
descendido a una altura determinada. ¿Vale? Esto lo más lógico es
hacerlo por. Por energías. ¿No? La energía. Arriba del todo. Que será
sólo potencial. No tiene velocidad. Será igual a la energía cinética.
De traslación. Más de rotación. Energía cinética de traslación. Y de
rotación. La energía potencial. Mgh. Igual. A un medio de m. Vc de m.
Cuadrado. Más. Un medio de m. R cuadrado. Vc de m. Al cuadrado. Partido
por r. Cuadrado. ¿Sí? ¿No? Entonces. A partir de aquí. Nosotros podemos
calcular la velocidad del centro de masas. ¿No? En función de la altura
descendida. Y también. Su velocidad angular. Porque la relación que hay
entre la velocidad del centro de masas. ¿No? Y la velocidad angular. Es
esta. ¿No? Omega por r. ¿De acuerdo? Podemos sacar la velocidad lineal. Y
la velocidad angular. ¿Vale? Bueno. Veamos ahora este ejercicio. ¿No?
Para acabar. Dice una bola que rueda cuesta arriba. Una bola de bolos sube
rodando sin resbalar por una rampa. Que forma un ángulo beta con la
horizontal. Date la bola como una esfera sólida. Sin tomar en cuenta los
orificios. Dibuja el diagrama. Vale. El cuerpo libre. Y explique por qué
la fricción debe tener dirección cuesta arriba. ¿No? Nos puede llamar la
atención. Que para que este cuerpo suba. Esta EFR tiene que ir hacia
arriba. ¿Vale? Y que aceleración tiene el centro de masa. Bueno. Es que.
Yo esto lo he lanzado. ¿No? Lo hemos lanzado con una velocidad
determinada. ¿Vale? Y tenemos una fuerza de rozamiento que va a ir hacia
arriba. ¿Para qué? Para generar un momento de rotación negativo. ¿No?
¿Para qué? Bueno. A ver. Un momento de rotación. En este sentido. ¿No?
Que sería en sentido contrario al derecho. De la velocidad. La velocidad
es esto. ¿No? Entonces. Generamos un momento de rotación. En el sentido
contrario de la velocidad para generar una alfa negativa. Una aceleración.
Una aceleración tangencial negativa. Que haga que esto se detenga.
Entonces. Sube para arriba. ¿Fuerzas a favor? EFR. En contra. Px igual m
por a. ¿Vale? Voy a dejarlo en función de EFR. No voy a poner mu sub ps
por anormal todavía. Y la torta. Torca igual a i por alfa. ¿Vale? Pero
ojo. El momento de la torta va a ser negativo. Porque tiene que. Está
frenándolo. Me será menos EFR por R. Entonces. ¿Qué tenemos? Esta
ecuación. EFR menos dos quintos de m a. Y. Operando. Sustituyendo. Tenemos
una aceleración negativa. Lo que cabría esperar. Para que se detenga el
cuerpo. ¿No? Menos cinco séptimos del g seno de alfa. Bueno. EFR ha de
ser negativo. ¿No? Lo puedo poner en función del ángulo. La condición
para que no resbale. Sería este término de aquí. EFR. ¿No? A ver un
momentito. Aquí lo tenemos. EFR. Mu sub ps debe ser mayor. ¿No? Que este
coeficiente. ¿No? Fijaos. Lo mismo que tenemos aquí puesto. ¿No? De
acuerdo. Es decir. La fuerza de rozamiento que nos ha salido. ¿No? Eso
quiere decir que el coeficiente de rozamiento. Al menos. Mu sub ps. Debe
ser igual. A este valor. Al menos. Para que no deslice. ¿No? La mu sub ps.
Al menos. Tiene que ser valor a dos séptimos de m g seno de alfa. Y de
aquí podemos despejar. Mu sub ps. Otras veces. Me dan mu sub ps. O el
coeficiente de rozamiento. Y me piden el ángulo que tiene que tener. El
plano. La condición. Para que no resbale. O deslice. Aquí. Lo novedoso
está. En el hecho este. De que. Bueno. Que. Ah. Que el cuerpo es lanzado
hacia arriba. ¿No? Y si lo hacemos por dinámica. ¿No? Si lo hacemos por
dinámica. Porque nos interesa. Porque tenemos que relacionarlo con la
fuerza de rozamiento. Hay que darse cuenta. Que la fuerza de rozamiento.
¿No? Genera un par. En sentido contrario. Que lo hace detener. Pero.
Recordemos. Que todas estas fuerzas de rozamiento. Que actúan. Sobre los
cuerpos que giran sin deslizar. No generan trabajo de rozamiento. El
trabajo de rozamiento es nulo. Porque son fuerzas de rozamiento.
Instantáneas. Que avanzan. Con el cuerpo que está rodando. Y no producen
un trabajo finito. Porque no existe un ángulo girado. Con una fuerza ahí.
Tendría que haber un deslizamiento. Y no lo hay. Cuidado con ese detalle.
Entonces. Siempre se conserva la energía cinética. Hay gente que piensa.
Ah no, no. En sonido rígido. Se conserva la energía mecánica. Porque no
hay fuerza de rozamiento. Sí que hay fuerza de rozamiento. Siempre. Porque
si no la hubiera. No habría rodadura. Pero ese trabajo. De la fuerza de
rodadura. De fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento. Es nulo. Porque
es una fuerza instantánea. Que se desplaza. Con el punto de apoyo. ¿De
acuerdo? Venga. Muchas gracias. El próximo día. Sí. Os pondré. Cosas de
la P. Del año pasado. Venga.