Bien, buenas tardes. Vamos a empezar esta nueva sesión de Física II para
ingenieros y muy brevemente comentaros un poco la asignatura. Ya sabéis,
la bibliografía básica, que es el libro de continuación de Física I,
del primer cuatrimestre, Sears Tematsky. Importante que dispongáis de ese
libro en el formato que corresponda. También sabéis que el equipo docente
os facilita un enlace para poder acceder directamente al mismo online a
través de la biblioteca de la UNED. Y deciros que esta asignatura, en su
evaluación, tenemos tres PECs. Tres PECs que tienen un porcentaje de un
85%. Un 85% sería el examen y un 15% las tres PECs. Pero estas tres PECs
se tienen en cuenta en la nota final, ese 15% se tiene en cuenta en la nota
final, sólo y cuando te ayude a mejorar tu nota del examen. Es decir, que
si tu calificación de las PECs es inferior a tu nota del examen, no se
tiene en cuenta. Sólo se tiene en cuenta si te ayuda a mejorar la nota del
examen. Y para que se tenga en cuenta, al menos en el examen, hay que
obtener un 4. 85% el examen, un 15% las tres PECs. Las fechas están
puestas en el curso virtual, si entráis. Aquí os he puesto en el pad las
fechas también. ¿Vale? Y deciros... Y deciros también que la asignatura
tiene prácticas obligatorias y que es condición necesaria para aprobar la
asignatura. Y que si habéis realizado las prácticas los últimos cinco
años, no es necesario volverlas a hacer. ¿De acuerdo? Bien. ¿Qué más
os puedo contar? Bueno, pues es muy recomendable trabajar la violencia
básica, la teoría, los problemas... ¿No? Y el examen consta, como
sabéis, de dos problemas. Y que vale cada uno tres puntos y después dos
temas a elegir uno. Pero que esos temas llevan consigo también dos
preguntas de aplicación de ese tema. Y que están muchas veces
relacionados con preguntas y cuestiones de la bibliografía básica.
Entonces conviene trabajar los temas con la bibliografía básica y las
cuestiones que van apareciendo en los distintos temas. Y las soluciones
están al final del mismo. ¿De acuerdo? Muy bien. Pues vamos a continuar.
Y voy a empezar ya hablando del primer capítulo que nos toca, que es carga
eléctrica y campo eléctrico. ¿De acuerdo? Es lo que se llama también
electrostática. Electrostática. ¿De acuerdo? Bueno, pues la
electrostática estudia que la interacción entre cargas en reposo. ¿De
acuerdo? Entonces hay que saber que las cargas del mismo signo se repelen.
Las cargas del signo contrario se atraen. ¿Vale? Esto siempre es
importante considerarlo. Que la carga elemental es la del electrón. ¿No?
Que es menos 1,6. Por 10 elevado a menos 19 coulombios. Que es la carga del
electrón. ¿No? Y la carga del protón. Más 1,6 por 10 elevado a menos 19
coulombios. Son cargas. Idénticas, pero de signo contrario. ¿Vale? ¿Y la
masa? Pues la masa del electrón es unas 2000 veces más pequeña que la
del protón. Fijaos. ¿No? El neutrón carece de carga y su masa coincide.
Prácticamente con la del protón. ¿Vale? Entonces cuando hablemos de
protones y electrones, estaremos hablando de partículas cargadas positiva
y negativamente. Que la carga del protón y la del electrón es la misma,
pero de signo contrario. ¿Vale? Y si pensamos en los átomos, pensemos que
los átomos son neutros y que el número de protones y de electrones es el
mismo. Y los neutrones, como no tienen carga, no influyen en la carga total
del átomo. ¿Vale? La ley de Coulomb. ¿Qué nos dice la ley de Coulomb?
Que la fuerza eléctrica que interacciona, que hay entre dos cargas
puntuales, es directamente proporcional al producto de las cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Es
directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de las distancias que las separa. ¿Vale? Y
entonces aquí tenéis la expresión matemática. La expresión
matemática. Que nos dice que esa fuerza es proporcional. Que nos dice que
esa fuerza es proporcional al producto de las cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. ¿Sí? ¿De
acuerdo? Aquí tenéis este diagrama donde tenéis para dos cargas del
mismo signo como la fuerza es de repulsión. Mientras que cuando tenemos
dos cargas de signo contrario, la fuerza es de atracción. ¿Vale? Esa
constante de proporcionalidad. Depende del medio material. Que es K1
partido 4pi esilón sub cero. Que en el vacío o aire tiene un valor
determinado. Fijaos que esto es la expresión del módulo de la fuerza
eléctrica. Y por lo tanto, las cargas se ponen en valor absoluto. ¿Veis
estas barras verticales? Es valor absoluto. Nosotros ya tendremos en cuenta
el signo de la carga a la hora de dibujar la fuerza eléctrica. ¿Vale?
Entonces, tendremos esa y sub cero tiene este valor en el signo
internacional y la K tiene este valor. Todos estos son valores en el vacío
o aire. Y se suele abreviar este valor de la K como 9 por híbrido a la 9.
No se suele escribir 8,988. No. Se suele redondear a 9 por híbrido a la 9.
¿Vale? ¿De acuerdo? Bien. Siempre nos vamos a encontrar con el vacío o
aire y por lo tanto ese será el valor de la K o de S y lo sub cero, como
veis aquí. ¿Vale? ¿Qué es eso del campo eléctrico y las fuerzas
eléctricas? Bueno, la fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es
ejercida por el campo eléctrico que otros cuerpos cargados originan.
¿Qué es esto? Es decir, yo puedo tener un sistema de cargas o una carga.
Que generará un campo eléctrico. ¿Vale? ¿Qué es el campo eléctrico?
La fuerza que ejerce una carga positiva o negativa sobre la unidad de carga
positiva. Es decir, la fuerza con que esta carga positiva, en rojo, repele
a la unidad de carga positiva es el campo eléctrico y ves esta flecha
hacia afuera. ¿Vale? Es decir, la fuerza con que esta carga negativa atrae
a la unidad de carga positiva es el campo eléctrico que va hacia ella.
Porque es la atracción. El vector campo eléctrico, ¿no? Como veis, ¿de
qué depende? ¿Qué es el vector campo eléctrico? Es la fuerza... La
fuerza con que una carga atrae o repele a la unidad de carga positiva.
¿Eh? La fuerza... La fuerza con que una carga atrae o repele a la unidad
de carga positiva. ¿De acuerdo? Aquí tenéis la fuerza eléctrica, que es
Q por E, ¿no? ¿Veis como esta es una fuerza de repulsión? Aquí tenemos
una carga Q y una carga de prueba. Q sub cero. ¿Cuál es la fuerza?
¿Cuál es la fuerza sobre la carga de prueba? Pues la fuerza es E por Q.
¿Vale? Q sub cero, si le queremos llamar Q sub cero. Si la carga es
positiva, el campo eléctrico y la fuerza tendrán el mismo sentido. Si la
carga es negativa, la fuerza y el campo eléctrico tendrán sentido
contrario, como veis aquí en los dos ejemplos. ¿Cómo se calcula el campo
eléctrico creado por una carga puntual? Pues... Pues si el campo
eléctrico E es F partido Q sub cero, será la misma expresión de la
fuerza eléctrica, pero ahora solo tendremos una carga Q, porque la segunda
carga vale 1, un coulombio. La misma expresión. El vector campo, fijaos, y
R, este vector R, es un vector unitario en la dirección radial de esa
carga Q. En la dirección radial. ¿Sí? Entonces, una carga positiva
genera un campo eléctrico cuyas líneas, cuyos vectores, veis que se
alejan, ¿no? Van hacia afuera. Eso es de repulsión. Mientras que una
carga negativa, a la derecha, azul, vemos el vector campo eléctrico,
cuanto más cerca esté de esa carga, más grande es el tamaño. Y además,
es atractivo. Atrae a la unidad de carga positiva. ¿Vale? El campo
producido por una carga puntual... La negativa apunta hacia la carga,
mientras que el campo producido por una carga positiva se aleja de la
carga. Y el vector campo es la expresión que tenemos aquí. Y el módulo
de ese campo eléctrico es 1 partido 4 pi S sub 0, módulo de Q, partido
por R cuadrado. Donde esta R que tenéis aquí, no lo he dicho, es un
vector unitario. En la dirección de R. Vector unitario. ¿Vale? Vamos a
ver, ¿qué pasa cuando tenemos un sistema de cargas? ¿Vale? Aquí tenemos
dos cargas, Q1 y Q2, y queremos determinar el campo eléctrico resultante
en un punto del espacio. Pues... Cuando nosotros queremos calcular el punto
del espacio... El campo eléctrico resultante de un sistema de cargas
puntuales... Este se calcula mediante la suma vectorial de los campos
eléctricos individuales creados por cada una de ellas. ¿No? Sin que se
tenga en cuenta cualquier posible interacción entre dichas cargas. Aquí
veis una serie de errores que suele cometer el estudiante. El campo
eléctrico... El campo eléctrico experimentado por una carga puntual no
depende del valor de esa carga. No. Nosotros tenemos... Estamos una carga
en un punto P. El valor del campo eléctrico depende de las cargas que
generan el campo eléctrico. No de la carga de prueba que está ahí
situada. Otra cosa es la fuerza eléctrica. ¿Vale? Y otra cosa que es muy
importante es que no debemos olvidar que el campo eléctrico es un vector.
Es una magnitud vectorial. Y si nosotros queremos calcular el campo
eléctrico resultante... ...de un sistema de cargas en un punto del
espacio... ...hay que hacer la suma vectorial de los campos eléctricos
individuales. ¿Eh? ¿Vale? Hay que hacer la suma vectorial. No se pueden
sumar los números, las magnitudes. No, no, no. Hay que sumar los vectores.
Y si forman ángulos distintos... ...lo que hay que hacer es sacar las
componentes X e Y y sumar componentes... ...y después obtener el módulo
del vector. Fijaos aquí en este dibujo. Es muy interesante. Tenemos un
campo eléctrico uniforme entre dos placas. Fijaos que las líneas de campo
van siempre de la placa positiva a la placa negativa. Está representado
este campo eléctrico con estas líneas rojas, como veis, verticales, hacia
arriba. ¿Qué nos indica el sentido en que se movería una carga positiva
abandonada en esta región del espacio... ...sujeta a este campo
eléctrico? Y la fuerza eléctrica sobre una carga positiva iría hacia
arriba. Ahora bien... ...si tenemos un electrón, como es lo que está
aquí dibujado, el electrón tiene carga negativa... ...la fuerza
eléctrica tendrá sentido contrario al campo eléctrico y la fuerza
eléctrica irá hacia abajo. Menos E por E. E es el vector campo eléctrico
y E es la carga del electrón. Y pongo el signo menos. Porque el electrón
tiene carga negativa. Entonces... ...hay que saber que el vector campo
eléctrico... Bueno, es que aquí tenemos que introducir el concepto de
líneas de campo. Las líneas de campo son curvas. Pueden ser rectas,
evidentemente, como es en este caso. Este campo eléctrico uniforme. Son
curvas tales que el vector campo es tangente a las mismas. Tales que el
vector campo es tangente a las mismas. El vector campo es tangente a las
mismas. En cada punto. Aquí tenemos las líneas de campo. Que son esas
líneas verticales hacia arriba. Y el vector campo es tangente a las
mismas. Uy, me he equivocado. Esto va para arriba. ¿Vale? Esto sería en
negro el vector campo. ¿Vale? Y aquí tenéis este dibujo. Tangente a esa
línea curva. ¿No? Y el vector campo sería en cada punto tangente. Uy, un
momentito. Así. Aquí tenéis otro. ¿Lo veis? Vale. Esto sería el vector
campo. Aquí tenéis las líneas de campo creado por una carga positiva.
¿Veis? Que emergen. Van dirigidas hacia afuera. Y el vector campo coincide
con esas líneas. ¿No? Una carga positiva es una fuente de líneas de
campo. ¿Vale? Y después tenemos aquí una carga positiva y una negativa.
Fijaos como las líneas de campo siempre van de la carga positiva a la
negativa. Y en cada punto es tangente el vector campo. Es decir, aquí
iría hacia aquí. Aquí iría hacia aquí abajo. Aquí iría hacia aquí.
Hacia aquí. Etcétera. ¿Vale? Y después tenéis la representación de
dos cargas positivas iguales. Donde veis que hay como un plano nodal en
medio, ¿no? Y el vector campo pues es tangente y dirigido hacia afuera.
¿Vale? Cuanto más lejos nos encontremos, más, más, el vector campo
sería más pequeño. ¿No? Cuanto más cerca, más grande. Bueno, ¿qué
es un dipolo eléctrico? Bueno, un dipolo eléctrico son dos cargas iguales
y de signo contrario. Aquí tenemos dibujado un dipolo eléctrico, ¿no? En
que estás inmerso en un campo eléctrico uniforme. Y las líneas rojas van
de izquierda a derecha. ¿Vale? Entonces, nos fijamos, nos fijamos cuál es
la fuerza eléctrica que genera este campo eléctrico sobre este dipolo.
Sobre la carga positiva, os fijáis que tenemos una fuerza eléctrica
dirigida hacia la derecha en la misma dirección que el campo eléctrico.
¿Vale? Pero, sobre la carga negativa, la fuerza eléctrica va hacia la
izquierda. ¿No? De manera que, como las cargas tienen el mismo valor, son
dos fuerzas de igual módulo y dirección y de sentido contrario. Por lo
que la fuerza neta que actúa sobre este dipolo es cero. Una carga, o sea,
una fuerza hacia la derecha y la misma fuerza hacia la izquierda. Pero,
aquí... Tenemos que definir lo que se entiende por un momento dipolar.
Momento dipolar se representa con la letra P. P, P escalar. Como veis, es
un vector P. Que es Q por D. Siendo D un vector que va de la carga negativa
a la carga positiva. ¿Vale? Entonces, a partir de aquí, nosotros...
Definimos lo que se llama la torca, o el momento. Esto lo habéis visto en
el primer cuatrimestre. ¿No? La torca... No, la torca... Magnitud del par
de torsión sobre el dipolo eléctrico. Que es el producto de P por E por
el seno del ángulo que forman P y E. ¿Vale? Siendo P, como os he dicho
antes, el momento dipolar eléctrico. El producto de la carga por la
distancia entre ambas cargas. Y esto, en forma vectorial... Se pone como P
vectorial E. P vectorial E. Sería en forma vectorial. ¿Vale? P vectorial
E. Momento dipolar eléctrico. ¿De acuerdo? Sería el campo eléctrico,
este producto vectorial. Entonces sería el módulo del primero por el
módulo del segundo por el seno del ángulo que forman. ¿Cuándo es que el
producto vectorial es cero? Cuando el ángulo es de cero grados. ¿Qué va
a dar el par de torsión? Este par. Aquí forma un ángulo determinado. Las
líneas de campo y P, como veis. Pero cuando se sitúen paralelamente...
¿Eh? Cuando nosotros situemos paralelamente... ¿No? Este dipolo... ¿No?
Entonces, en este caso... Cuando esto esté situado paralelamente...
¿Vale? ¿Qué pasa? Pues, el par de torsión será nulo. ¿No? Entonces,
el par de torsión será nulo. ¿No? ¿Qué pasa? Porque formará cero
grados. ¿Qué hace ese par de torsión del campo eléctrico? Hace que gire
este dipolo y se ponga paralelo a las líneas de campo, apuntando, no P, en
la misma dirección y sentido que el campo eléctrico. Cuidado. ¿Eh?
También podemos definir, aquí también, la energía potencial para un
dipolo eléctrico. La energía potencial para un dipolo eléctrico, U, se
define como el producto escalar de P por E. P por E. El producto escalar de
P por E. ¿Vale? De manera que, ¿cuándo tendremos el mínimo, la mínima
energía potencial? ¿Cuándo será más estable un dipolo? Cuando esté
orientado, como hemos dicho antes. ¿Vale? En la misma dirección y sentido
que las líneas de campo. Porque, en este caso, será menos P por E por el
coseno de cero, que es uno. Y la energía potencial será mínima. Menos P
por E. Mientras que será máxima cuando esté orientado al revés. Cuando
forme 180 grados, P y la E. Entonces tendrá tendencia a girar. Y tendrá
la máxima energía potencial cuando el dipolo está orientado, la carga
positiva, a la izquierda, y la negativa, a la derecha. ¿No? Tendremos la
máxima energía potencial. Bien. Ahora vamos a pasar ya a hacer ejercicios
que recomienda el equipo docente. ¿No? Y algunos más también. ¿No?
Teniendo en cuenta también otras recomendaciones de otros años y algunos
parecidos para que tengáis más práctica. Atendiendo también pues a
ciertos ejercicios que a veces salen en las pruebas o que han salido. ¿No?
Y que nunca sabemos si por ahí pues nos puede ayudar un poquito. ¿No?
Para profundizar. De acuerdo. Venga pues. Aquí tenemos, aquí sí que el
año pasado cayó un ejercicio en septiembre muy parecido a este. ¿No?
Bueno. Vamos a mirar un poquito esto. Dice, tenemos tres cargas puntuales
que están alineadas a lo largo del eje X. ¿No? La carga Q1 es de 3. Está
en el origen. La carga Q2 está a 2, a 0, 2. De menos 5. Y la carga Q3 es
de menos 8. Y nos dice dónde hay que situar la carga 3 para que la fuerza
neta sobre Q1 sea 7. ¿No? Y dirigido hacia el eje X negativo. Venga. Vamos
a ver. Lo primero que tenemos que darnos cuenta, aquí ya está hecho el
dibujo la solución pero fijémonos. Que lo primero que tenemos que darnos
cuenta es cómo es la fuerza que ejerce 2 sobre 1. Es una fuerza atractiva.
Es una fuerza que va hacia la derecha. F2 va hacia la derecha. Nosotros
queremos que la fuerza resultante sobre 1 vaya hacia la izquierda.
Entonces, esa carga negativa tengo que situarla a la izquierda de Q1. ¿Por
qué a la izquierda de Q1? Para que me ejerza una F3 hacia la izquierda lo
suficientemente grande para que la fuerza resultante sobre Q1 sea 7 newtons
hacia la izquierda. La fuerza eléctrica resultante sea 7 newtons hacia la
izquierda. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué tenemos que hacer? Pues vamos a
llamar X a esta distancia y nosotros queremos que F3 menos F2 sea igual a
7. ¿Vale? Aquí. ¿Qué vale F2? Pues aquí tenemos la expresión de la
ley de Coulomb. ¿No? Los valores de las cargas son 0,2 metros en la
distancia. Queremos que la fuerza resultante sea de menos 7. Por lo tanto,
si F2 es 3,37 que va hacia la derecha y la F total es F2 más F3, F3 tiene
que valer menos 10,37. Es decir, tiene que haber una fuerza que ejerce 3,
la carga 3 de menos 10,37i. ¿No? Digo menos porque va hacia la izquierda.
Entonces, el módulo de esta fuerza F3 10,37 no tiene que ser igual al
producto de las cargas 1 y 3 partido por la distancia al cuadrado. Y
despejando se puede demostrar que esta distancia es 0,144 metros o 14,4
centímetros. Es decir, que la carga 3 debería situarse a 14,4
centímetros a la izquierda de la carga 1 para que la fuerza resultante
sobre esta carga 1 valiera menos 8 microcoulombios. Ay, perdón. Valiera
menos 7 neutros. ¿No? Menos 7 neutros. Y esta carga 3 es de menos 8
microcoulombios. ¿De acuerdo? Vamos con otro. Aquí está resuelto con el
solucionario Beck. Dice, ¿cuál debe ser la carga, signo y magnitud de una
partícula de 1,45 g? Bien. Para que permanezca estacionaria cuando se
coloca en un campo eléctrico dirigido hacia abajo de esta magnitud. ¿Y
cuál es la magnitud del campo eléctrico? Donde la fuerza eléctrica sobre
un protón tiene la misma magnitud que su peso. Bueno, bueno. Vamos a ver.
Aquí tenemos un campo eléctrico que va hacia abajo. Y tenemos... Nos
pide, ¿cuál debe ser la carga para que esta masa de 1,45 g esté en
reposo? Mira. La carga tiene que ser negativa. Para que la fuerza
eléctrica va hacia arriba. Porque el peso es vertical y hacia abajo.
Entonces, ¿qué se ha de cumplir? Que el peso más la fuerza eléctrica...
El peso más la fuerza eléctrica ha de ser cero. El peso es igual a menos
la fuerza eléctrica. Igualamos módulos. Y por lo tanto pongo entre barras
la carga de la carga negativa. Y despejo la carga negativa. ¿Vale? Que...
Saldría... ¿Eh? ¡Opa! Perdón. Bueno. Saldría, pues... Menos 21,9
microcoulombios. O si queréis... Menos 21,9... Lo voy a poner aquí. Menos
21,9 por 10 elevado a menos 6 coulombios. Sí. Ahora dice, ¿cuál es la
magnitud de un campo eléctrico donde la fuerza eléctrica sube un protón?
Tiene la misma magnitud que su peso. No sé si esto lo he podido... Aquí
está, ¿no? Sí. Bueno. Aquí tenéis el valor de la carga, ¿no? 2,19 o
21 coma tantos microcoulombios. Vale. Ahora bien, para un protón el
equilibrio... Pues otra vez, fuerza eléctrica más el peso ha de ser cero.
Ha de igualarse ambos módulos. Y simplemente se trata de despejar el valor
del campo eléctrico para que esto ocurra. Para que ese protón esté en
suspensión, pueda ser equilibrado la fuerza eléctrica por la acción de
un campo eléctrico. ¿No? Y se equilibre su peso. Peso igual a fuerza
eléctrica. ¿De acuerdo? Por lo tanto... El campo eléctrico ha de ser
1,02 por 10 elevado a menos 7 newton partido por coulombio. ¿Vale? Vamos a
ver este otro ejercicio. Dice... Un electrón se mueve hacia el este en un
campo eléctrico uniforme de 1,5 newton por coulombio dirigido hacia el
oeste. ¡Ojo! El campo eléctrico va hacia el oeste y el electrón se mueve
hacia la derecha. ¿Es lógico esto? Bueno... Si el campo eléctrico va
hacia la izquierda, la fuerza eléctrica va hacia la derecha porque es un
electrón. ¿Vale? Y me pide cuál es el módulo de velocidad del electrón
cuando alcanza el punto B a una distancia de 0,375 metros. ¿Vale? Vale.
Bueno... Entonces, ¿qué tenemos que hacer? Si queremos calcular esa
velocidad pues podríamos calcular la aceleración como va a ser constante
porque el campo eléctrico es uniforme y a partir de ahí pues una fórmula
de cinemática. Bueno... El seno del campo eléctrico es uniforme la fuerza
eléctrica es constante por lo tanto si aplicamos la segunda ley de newton
nosotros podemos obtener la aceleración que será una aceleración
positiva porque tiene el mismo sentido que la velocidad. Lo que va a hacer
es acelerar el electrón. Calculamos la aceleración y aplicamos la
fórmula ¿no? de los cuadrados que nos relaciona la velocidad final y
inicial. Y a partir de aquí obtenemos esta velocidad final. ¿Vale?
Obtenemos esta velocidad final. ¿Sí? ¿Qué es el apartado B? Dice, un
protón se mueve en el campo eléctrico uniforme del apartado A. En el
punto A la velocidad es 1,9 hacia el este. ¿Cuál es el módulo de
velocidad en el punto B? Ahora es diferente. Si es un protón lo que se
mueve y va de A a B la fuerza eléctrica va hacia atrás. La aceleración
es negativa. Lo que hace es frenarlo. Frenarlo. La aceleración que está
sujeta igual al pico de la segunda ley de newton A igual a E por Q partido
M y el valor del módulo de aceleración sería este. ¿Sí? Esta sería la
aceleración. Pero aquí, ¿qué tendríamos? Una aceleración negativa. Y
por lo tanto para calcular la velocidad tendremos que sustituir con una
aceleración negativa porque lo que hace el campo eléctrico aquí es
frenar al protón que se dirige en sentido contrario a las líneas de
campo. ¿Entendido? Importante entenderlo, ¿eh? Si hay otro más. Dice
aquí una carga de menos 6,5 nanocolombios está distribuida sobre la
superficie de una cara de un disco aislante. Bueno, esta es una parte que
no hemos visto en la parte de teoría lo he dejado ahora para el problema
que tiene un radio determinado y nos pide determinar la magnitud y la
dirección del campo eléctrico que produce este disco en un punto P sobre
el eje a una distancia. Supongo que toda la carga se coloca lejos del
centro y se distribuirá de manera uniforme sobre el borde exterior.
Calcule ahora también la magnitud y la dirección del campo eléctrico en
el punto P. Y si toda la carga se lleva al centro del disco encuentre que
vale el campo eléctrico en el punto P. ¿No? ¿Y por qué en un caso el
campo eléctrico es más grande o más pequeño? Es más fuerte que en el
apartado B porque en el apartado C es más fuerte que en el apartado 3.
Bueno, es decir aquí tenemos tres opciones. ¿No? Una, en que tengamos un
anillo. ¿No? A ver un momentito. Sí. Aquí tenemos empezamos con un
anillo donde la carga está distribuida toda en un anillo en un radio A
determinado. ¿Vale? El diferencial de carga es lambda por el diferencial
de S. ¿Qué es S? El diferencial de anillo de longitud de anillo. ¿Vale?
¿Qué vale toda la carga? Toda la carga es lambda la densidad lineal por
la longitud del anillo. ¿Y qué es la longitud del anillo? 2 pi r 2 pi por
a ¿Vale? Entonces, fijaos como hemos dibujado el vector Campo Eléctrico
porque este anillo dice que tiene una carga negativa. porque este anillo
¿Vale? Es un campo eléctrico que apunta hacia el anillo pero que las
componentes verticales las componentes verticales se anulan se nos van a
anular las componentes verticales. ¿Vale? las componentes verticales se
van a anular y solo me va a quedar la componente horizontal que apunta
hacia el centro del anillo. ¿Vale? Entonces aquí tenéis la expresión
integral, esto ya es un poquito más difícil, ¿no? Aquí tenéis la
expresión diferencial del campo eléctrico creado por una diferencial de
carga, ¿no? Nosotros solo vamos a considerar la componente X, por lo tanto
será por coseno de alfa, siendo alfa esta de aquí, y el coseno de alfa es
X, que es todo esto, partido por R, que es la hipotenusa. ¿Vale? X partido
por R. Por lo tanto aquí tenéis la expresión de la componente X que es
la única que existe y tenemos que integrar, tenemos que integrar, ¿no?
Para ver el campo eléctrico generado por todo el anillo. Y integramos el
diferencial de anillo de cero a dos pi A, que es la longitud del anillo,
¿vale? Entonces a partir de aquí fácilmente, ojo, es que la X es
constante, la A es constante. Nosotros simplificando, podemos obtener,
podemos obtener el campo eléctrico, ¿vale? Ese campo eléctrico. Donde yo
he sustituido lambda por Q partido dos pi A. ¿Eh? Lo puedo dejar en
función de lambda o el valor de la carga, ¿vale? Como aquí teníamos el
valor de la carga y no me daban lambda, pues lo he dejado en función de Q.
Y nos damos cuenta que depende de X, ¿no? Cada medida que nos alejemos
más pequeño será el campo, ¿vale? Ahora bien, ¿qué pasa si ahora la
carga está distribuida en la superficie? Pues que ahora, bueno, aquí
tenéis el valor, ¿no? En una distancia, en una distancia determinada.
8,92 por X elevado a 4 newton partido por coulomb. Como os decía, si ahora
tenemos una distribución superficial de carga, ese será pi R cuadrado,
¿no? Diferencial de superficie será 2 pi R diferencial de R, ¿vale?
Entonces, estas componentes verticales se vuelven a simplificar. Estas
componentes verticales se vuelven a simplificar y solo me queda la
componente horizontal del campo eléctrico. Solo me queda la componente
horizontal. ¿Sí? Entonces, el diferencial de carga es sigma por el
diferencial de superficie. ¿Y qué es el diferencial de superficie? Es que
la superficie de un disco es pi R cuadrado. El diferencial de superficie,
cuidado, entonces el diferencial de superficie, no, no es el diferencial de
ese del anillo de antes. Es derivando esto con respecto de R, 2 pi R, que
es el diferencial de R. Ya sé que esto es más difícil, ¿eh? Es poco
habitual, pero bueno, ahí estamos. Como es uno de los ejercicios, ahí lo
estamos haciendo, ¿vale? Entonces, cuando nosotros aplicamos la expresión
del campo eléctrico, ¿no? ¿Vale? Creado por este diferencial de
superficie, el diferencial de Q, ¿qué será? Sigma por el diferencial de
superficie. Ojo, con la componente X por el coseno de alfa, como antes,
¿eh? Y a partir de aquí tenemos que integrar esta expresión. El libro
nos da la solución de esta integral, nos da una pista también, el
ejercicio, bueno. Y obtenemos esta expresión, ¿no? Del campo eléctrico
creado por ese disco. De manera que si R es mucho más grande que X, ¿no?
Si R es mucho más grande que X, es decir, si lo que tenemos no es un disco
pequeño, sino un plano infinito, por ejemplo, ¿no? Y a cierta proximidad
nos quedaría un campo eléctrico uniforme. Sigma partido de 2X y lo sub
cero. ¿Qué es lo que veremos el día que veamos el teorema de Gauss?
¿Cómo se calcula el campo eléctrico por un plano infinito? Con densidad
de carga sigma. Nos saldrá sigma partido de 2X y lo sub cero. Con un
método mucho más sencillo que este. ¿Vale? ¿Y qué pasa? ¿Qué vale
este campo eléctrico ahora? 8,92 por X elevado a 4. ¿Y antes qué valió?
¿Ah? ¿Qué ha pasado? No sé si vale lo mismo. Creo que no lo he copiado.
Bien. En el caso de una carga puntual, sería este valor, ¿no? KQ partido
de R cuadrado. Bueno. ¿Qué pasa aquí? ¿Cuándo es que el campo
eléctrico es más intenso o menos intenso? Vamos a ver. ¿Qué pasa en el
apartado A y B? Que se compensan las componentes verticales, ¿no? Del
campo eléctrico. Mientras que en el caso C no. ¿No? Y además la carga
está concentrada en el centro y está más cerca. Por eso el campo
eléctrico en el caso C es más intenso que en el caso A y B. ¿Y qué pasa
en el caso A y B? Pues en el B la carga está más lejos que en A. Porque
está distribuida en un anillo. Y en A, en un plano. Bueno. Yo he empezado
haciendo primero el anillo, después el plano. ¿Eh? Lo tenemos claro,
¿no? Sí. Aquí tenéis los valores. 1,14 por 10 a la 5 era, ¿no? En este
caso, ¿no? En el caso B. El A, ¿no? ¿Qué pasa? Que en el caso de tener
el anillo hay más carga más próxima al centro. Y esto hace que el campo
eléctrico sea mayor. Que cuando tengo la superficie en disco como tengo
parte de la carga cerca del origen tengo mayor carga que está más cerca
del punto donde calculo. Mientras que en el anillo toda la carga, la misma
carga, está más lejos y por eso el campo es menor. Y cuando ya está
concentrada la carga en el centro es cuando el campo eléctrico es más
intenso porque está más cerca la carga. Bueno, seguimos. Se coloca una
carga Q1 de 5 nanocoulombios en el origen como veis aquí en un sistema de
coordenadas XY y una carga Q2 se sitúa en la parte positiva del eje X 4
centímetros. ¿No? ¿Vale? Si ahora se coloca una tercera carga en X4 e
Y3, como veis aquí Q1 y Q2 en rojo. ¿Lo veis? Y Q3 también en rojo. De 6
nanocoulombios. Determina las componentes X e Y de la fuerza total
ejercidas sobre esta carga, sobre la tercera por las otras dos. Esto es muy
interesante porque es saber descomponer fuerzas. Porque aquí tenemos que
la fuerza que ejerce 1 sobre 2 es F13 como veis, verde, que va es una
fuerza de repulsión. Mientras que F23 en azul es una fuerza atractiva que
ejerce la carga 2 sobre la 3. Claro, para calcular la fuerza resultante, yo
no puedo calcular los módulos y sumar los números. ¡No! Eso no sirve
para nada. ¿Tengo que calcular los módulos? Sí. ¿Me va a servir? Sí.
Pero tengo que ver los vectores, las componentes de los vectores F13 y F23.
F13 forma un ángulo alfa con la horizontal. Y ese ángulo alfa con la
horizontal, alfa yo puedo sacar fácilmente el seno y el coseno. ¿Por
qué? Porque tenemos que el cateto contiguo es 4 y el cateto opuesto es 3.
Y la hipotenusa, por lo tanto, será 5. El coseno es 4 quintos y el seno es
3 quintos. No hace falta sacar el ángulo. Ya tengo el seno y el coseno. Y
para F23 ya está sobre el eje i y sobre el eje i negativo. Por lo tanto
tenemos aquí f13 y f13x y f13y con coseno y seno. ... ¿Vale? Esto sería
f13x y f13y. ¿Vale? Entonces la componente x y la componente y, ambas
positivas. ¿No? ¿Por qué positivas? Porque va dirigida hacia la derecha
y hacia arriba. Pero f23 va dirigida hacia abajo y el vector, la
componente, será negativa. Entonces para sacar f3 resultante, tengo que
hacer la suma de los dos vectores. De f13 vector y f23 vector. ¿Vale? Sumo
componente a componente la x con la x y la y con la y. ¿Vale? Entonces f3
el módulo de f3 sería este valor. ¿Quiero sacar la dirección? Fijaos en
el dibujo. Ya vemos que el dibujo la componente x es positiva, pero la
componente y es negativa. Pues la tangente de beta la tangente de beta es
es fi partido de fx y me queda un ángulo de menos 32,6 grados bajo el eje
x. 1, 2, 3 cuarto cuadrante. ¿De acuerdo? Bueno, aquí tenéis también la
solución. ¿Vale? Vamos con este otro ejercicio. Dice, tenemos tres cargas
puntuales positivas no negativas en esta línea 5 menos 2 y menos 5.
Encuentra la magnitud y la dirección del campo eléctrico que produce esta
combinación de cargas en el punto P que está a 6 centímetros de la carga
de menos 2. Bueno, aquí queremos ver cuál es el campo eléctrico
resultante. Que genera esas tres cargas en el punto P. Recordemos que lo
que tenemos que pensar es que en el punto P se encuentra la unidad de carga
positiva a la hora de dibujar los tres vectores campo eléctrico que van a
tener un carácter atractivo, evidentemente. ¿Vale? Y que la simetría del
ejercicio nos va a ayudar a simplificar el problema. Aquí lo tenemos a la
izquierda. ¿Vale? Vemos E3, que es la carga hacia Q3, cuyo campo
eléctrico va dirigido hacia Q3 directamente. Pero está sobre el eje X E1
y E2, cuyos campos eléctricos van dirigidos efectivamente sobre Q1 y Q2
porque son cargas negativas. Hay que calcular si hay dos módulos que van a
ser iguales porque las distancias son iguales y las cargas son iguales. Y
después hay que sacar las componentes X e Y de cada una de ellas de E1 y
E2. El ángulo ojo, hay que sacar la componente X si yo tomo el ángulo
sobre el eje X la componente X es con el coseno de alfa y la componente Y
es con el seno de alfa. El coseno de alfa es seis décimos porque la
hipotenusa es 10. Pensad que esto es 6, esto es 8 y esto valdrá 10 10
centímetros ¿Vale? Entonces el seno de alfa son 8 décimos y el coseno de
alfa son 6 décimos Entonces E1X que vale E1X E1 coseno de alfa ¿Vale? ¿Y
por qué ponemos un sino menos? Porque va hacia la izquierda. ¿Vale? Y E1Y
va hacia arriba ¿Vale? E1X, E1Y positivo y negativo ¿Y qué pasa con E2?
Y también negativo a la componente Y porque va hacia abajo La componente Y
va hacia abajo ¿Vale? Sí, por eso tenéis aquí Bueno, voy a quitar tanta
flecha Entonces nos damos cuenta que en el caso de E1 la componente X es
negativa porque va hacia la izquierda y la componente Y positiva porque va
hacia arriba. Y en el caso de E2 ambas negativas porque va hacia la
izquierda y hacia abajo las componentes Aquí las tenemos ¿Vale? Y E3 solo
tiene componente X negativa Entonces si quiero calcular el componente X
resultante hay que hacer la suma de los tres vectores y ya nos damos cuenta
que las componentes Y se compensan, se anulan y solo me queda la componente
X y el componente X resultante solo tendrá componente X dirigido hacia la
izquierda el vector es menos 104 por 10 a la 5 y o bien el módulo 1,04 por
10 a la 7 o 104,7 o menos 104 por 10 a la 5 como queráis Entonces nos
damos cuenta que solo tenemos componente X Vamos con este otro Dice tres
cargas se encuentran en los vértices de un triángulo isósceles ¿No? Las
cargas Este yo creo que es muy parecido al otro Bueno, vamos a verlo
Tenemos un dipolo Lo mismo Tenemos un dipolo con carga más 5 y carga menos
5 microcoulombios Determine la fuerza que la carga de menos 10
microcoulombios ejerce sobre el dipolo Queremos saber cuál es la fuerza
que ejerce la carga de menos 10 microcoulombios sobre el dipolo y para un
eje perpendicular a la línea que une las cargas en el punto medio de la
línea obtenga el par de torsión que ejerce sobre el dipolo con la carga
de menos 10 Bueno, vamos a verlo Primero la fuerza Aquí tenemos el dibujo
y nos damos cuenta de ambas fuerzas Vemos que fuerza F1 atractiva y una
fuerza F2 repulsiva El módulo de ambas fuerzas son iguales porque son
iguales el módulo de ambas fuerzas son iguales porque son las mismas
cargas y las mismas distancias El módulo será lo mismo ¿Qué vale F1x y
F1y? Pues nos tenemos que dar cuenta que F1x va hacia la derecha positivo y
F1y va hacia abajo, negativo ¿Vale? ¿Y F2x? F2x va hacia la izquierda por
lo tanto negativo y F2y también va hacia abajo pues negativo ¿No? Hacia
abajo, hacia la izquierda hacia la derecha y hacia abajo Entonces sacamos
las componentes el coseno de alfa o el seno de alfa ¿No? Aquí hemos
sacado el ángulo el seno de alfa es 1,5 partido por 2 nos dan la distancia
entonces sacamos el ángulo que son 48,6 grados no sé si se ve bien yo
creo que no pero lo voy a remarcar aquí está 48,6 grados entonces la
componente x siempre por el coseno la componente y siempre por el seno y
teniendo en cuenta el signo el signo o mejor dicho el sentido de las
componentes el sentido de la componente F1x es positivo el sentido de la
componente F2x es negativo el sentido de la F1y es negativo y el sentido de
la F2y también es negativo La f total nos queda que sólo tiene componente
y negativa hacia abajo, menos 1680 ¿vale? Estas componentes y ¿no?
ejercen un par de torsión nulo porque son paralelas a la distancia ¿vale?
claro, es que esto no puede ejercer ningún par de torsión porque están
es vertical, están sobre el mismo eje acordaos que el par de torsión era
el momento ¿no? él no puede ejercer no puede hacer rotar esto lo que
puede hacer rotar son las componentes x la F1x y la F2x y producir un par
de torsión de rotación horaria ¿vale? sacamos F1x y F2x que tienen el
mismo valor y el par de torsión pues sería pues el par que ejerce F1x por
la distancia ¿no? y el par que ejerce F2x por la misma distancia que es de
medios como las fuerzas son iguales, pues dos veces F1x y tendremos este
par de torsión que genera una rotación en sentido horario por lo que el
vector del par de torsión que es perpendicular al plano va dirigido hacia
adentro ¿qué quiere decir esto? que el vector par de torsión es un
vector perpendicular a la fuerza de distancia y como giramos en sentido
horario irá hacia dentro del papel ¿de acuerdo? bueno, bien ahora me
queda a ver unos problemas también que os he querido buscar ¿no? y los
vamos a comentar para terminar ya la sesión tenemos aquí dos esferas
idénticas con masa M que cuelgan de cuerdas de seda de longitud L como
veis en esta figura el radio de cada esfera es muy pequeño en comparación
con la longitud del hilo y demostremos que si el ángulo Q es pequeño la
comparación del equilibrio entre las esferas viene dada por esta
expresión que veis aquí y recordemos que para ángulos pequeños la
tangente coincide con el seno ¿vale? dos cargas idénticas mismo signo se
repelen y busquemos esta distancia D vamos allá aquí tenéis las fuerzas
que actúan la tensión, la fuerza eléctrica y el peso descomponemos la
tensión y aplicamos condición de equilibrio sobre el eje X y sobre el eje
Y sumatorio de Fx igual a cero sumatorio de Fi igual a cero ¿vale?
igualamos Fe igual a Tx el peso igual a Tpi ponemos Tx y Ti en función del
ángulo seno de alfa y coseno de alfa y dividimos miembros miembros las dos
ecuaciones de manera que la tangente de alfa es Fe partido por el peso y a
partir de aquí tenemos como la tangente de alfa es función de la
distancia D para pequeños ángulos podemos asimilarlo al seno y el seno
será D medios partido por L de manera que para pequeños ángulos la
tangente es igual al seno y pongo que la tangente es D partido 2L y a
partir de aquí nosotros podemos despejar la D y nos queda la expresión
que nos pedía el enunciado del problema fijaos donde hemos tenido que
hacer la aproximación ¿eh? del de la tangente de alfa igual al seno de
alfa para pequeños ángulos de manera que asumimos que la tangente de alfa
es D partido 2L aquí tenemos otro ejercicio dice se colocan dos cargas una
de 2,5 microcoulombia y otra de menos 3,5 sobre el eje X una en el origen y
otra en X igual a 0,6 nos pide un punto del eje donde la fuerza neta sobre
una carga positiva sea igual a cero mirad aquí tengo que averiguar donde
se me va a anular el campo eléctrico para que la fuerza se anula entonces
el campo eléctrico se anulará se puede anular entre medio, entre las dos
cargas es lo primero que nos podríamos plantear ¿vale? fijaos, es que
claro, la carga negativa atraería a la unidad de carga positiva y la carga
positiva repelería a la unidad de carga positiva tenemos dos vectores que
tienen la misma dirección y mismo sentido luego el campo eléctrico nunca
se anulará en el interior entre dos cargas que tienen signo contrario el
campo eléctrico nunca se anulará entre dos cargas que tienen signo
contrario para que se anule entre dos cargas entre dos cargas eléctricas
tiene que tener el mismo signo entonces me tengo que ir a un punto exterior
¿en qué punto exterior? pues siempre se va a anular ojo con ese detalle,
es muy importante se anulará siempre en el punto exterior más próximo a
la carga más pequeña en valor absoluto como 2,5 es más pequeño que 3,5
en valor absoluto si me va a anular por la izquierda entonces me voy a la
izquierda y llamo X la distancia que hay entre Q1 y ese punto donde el
campo eléctrico va a ser nulo donde la fuerza eléctrica va a ser nula
fijaos como F1 va hacia la izquierda y F2 va hacia la derecha puedo aplicar
que la suma de ambas fuerzas sea igual a cero que F1 sea igual a menos F2 y
que ambos módulos sean idénticos una distancia será X y la otra será X
más 0,6 por lo tanto despejando, resolviendo esta ecuación de segundo
grado o sacando raíces cuadradas me queda que X es igual a 3,27 metros a
la izquierda de la carga Q1 a la derecha de la carga o saldrá una
distancia negativa que os llevará a ese punto de la izquierda yo no lo
recomiendo aquí tenemos otro ejercicio se hizo una bola de plástico
pequeña de 12,3 gramos está sujeta de una cuerda muy ligera de 28,6
centímetros la cual está atada a una pared vertical en esta habitación
existe un campo eléctrico horizontal que hace que la bola se separe
¿vale? calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico en la
habitación claro si la bola se separa hacia la derecha y es una carga
negativa el campo eléctrico tendrá que ir hacia la izquierda ¿no? ya
esto para empezar entonces el campo eléctrico va hacia la izquierda ¿para
qué? para que la fuerza eléctrica que genera este campo eléctrico vaya
hacia la derecha y separe esta bola de la pared ¿vale? ¿qué tiene que
suceder para que esto esté en equilibrio? la suma de todas las fuerzas que
actúan T más P más F se da igual a 0 sumatorio de Fx es igual a 0
sumatorio de Fi es igual a 0 ¿no? Fe será igual a Tx Ti es igual al peso
si nosotros dividimos ambas ecuaciones la tangente de alfa será Eq partido
por Mg y a partir de aquí nosotros podemos despejar el campo eléctrico
fijaos que tenemos que ver que vectorialmente el campo eléctrico está
sobre el eje x dirigido hacia la izquierda es decir el módulo sería 3,41
por x elevado a 4 pero el vector E sería menos 3,41 por x elevado a 4 y o
si queréis menos 3,41 por x elevado a 4 coma 0 aquí tenéis y aquí
estaríamos ya los ejercicios que os quería comentar hoy ¿vale? bien ¿de
acuerdo? bueno quizás un comentario más a ver yo creo que hay más
ejercicios con cosas de cargas puntuales si bien mirad muchas veces cuando
nos piden campos eléctricos resultantes o fuentes resultantes siempre hay
que aprovechar un poco la simetría del ejercicio si por ejemplo nosotros
tuviéramos una distribución de carga en un cuadrado aproximadamente puede
ser este a ver un momentito ahora acabamos bueno bueno en esta
distribución de aquí ¿vale? si nosotros tenemos cargas ¿no? en los
vértices y queremos calcular el campo eléctrico aquí puede ser muy útil
no tomar los ejes ortogonales como siempre si aquí yo tengo una carga
positiva más q menos q ¿no? sería muy fácil trabajar este ejercicio si
tomáramos como ejes de coordenadas las mismas diagonales las diagonales
siempre y cuando sea un cuadrado ¿eh? ¿vale? y formar 90 grados y no
haría falta descomponer en componentes x e y porque coincidirían ¿no?
los campos los campos eléctricos o la fuerza resultante sobre ese punto si
tuvieramos ahí una carga determinada pero bueno esto es un caso muy
singular ¿de acuerdo? bueno pues lo dejamos por hoy muchas gracias