hola buenos días ecuaciones diferenciadas aquí es eso es la hoja de
firmas ya sabes que la tutorial la estamos haciendo a la par en Teams y
aquí aunque sea un poco raro puedes participar en cualquier momento bueno
estamos grabando la tutoría bienvenido, mi nombre es Ángel de la Llave y
soy una de las tutorías que hay de esta asignatura hola adelante la firma
está ahí si puede bueno bienvenido vamos a esperar un poco más aquí
entre en todo el mundo hola buenas tardes bien bueno vamos a empezar a ver
bueno la tutoría esta es la ecuación diferenciales que es una asignatura
que es obligatoria en todos los grados de ingeniería así que hay bastante
matrícula algunos de los que estéis aquí ya os conozco, aprovecho para
saludaros personalmente del cuatrimestre anterior y me alegro mucho de
coincidir con vosotros otra vez de esta asignatura comentamos algunos
detalles hay otra tutoría más que son los jueves que hay otra profesora
tutora que es exactamente la misma materia el tutor creo que es creo que no
estoy seguro lo pondré ahí es una persona que del equipo docente como yo
no sé yo no sé ahora mismo si todos tenéis acceso a las dos tutorías
podéis elegir si tenéis las dos en el horario pues perfecto podéis ir a
una u otra o a las dos o como os apetezca bueno mi correo electrónico lo
tenéis aquí escrito es a llave arroba madrid punto punto es mi nombre es
ángel de la llave a mí me podéis escribir al correo electrónico en
cualquier momento incluso en vacaciones o en verano hay gente que le queda
para septiembre y hay veces que me consulta aunque cierren las tutorías el
curso virtual en la parte que hay del chat para los tutores a mí me
podéis seguir escribiendo en cualquier momento y os contesto en cuanto
pueda ya sabéis que como todos ya sois veteranos en la UNED porque no es
la primera vez que ya sabéis que en la UNED pues es fundamental seguir el
curso virtual en donde el equipo docente pone todas las indicaciones sobre
los métodos de evaluación el material que hay que estudiar incluso te
hace un calendario aconsejado la asignatura esta de ecuaciones
diferenciales pues tiene un libro de texto que es este de aquí no sé si
lo veis con otro libro recomendado que es el libro que tiene de problemas
completamente resueltos aparte de eso pues tenéis en el curso virtual pues
tenéis exámenes o en Calatayud exámenes de cursos anteriores ¿qué
vamos a hacer en esta tutoría? pues en esta tutoría lo que vamos a hacer
básicamente es seguir con un poco el ritmo que te marca el equipo docente
pues ir estudiándonos el libro de texto con las indicaciones que te dan en
el curso virtual e ir aprendiendo la materia pues seleccionando yo he
seleccionado ejercicios tipo examen que yo creo que son más o menos
significativos para hacerlos con todo detalle para ir cogiendo las ideas de
tal manera que espero que cuando estudiéis el libro de texto otros
materiales cosas que por lo menos resulten conocidas pues os ayuden a
comprenderlas mejor bueno esta es la primera vez que nos vamos a encontrar
con ecuaciones diferenciales de una manera pues así informal y explícita
no es la primera vez que encontréis ecuaciones diferenciales porque todos
habéis seguido cursos de física y aunque no se hayan dicho
específicamente que son ecuaciones diferenciales pues lo son ¿qué es una
ecuación diferencial? es una ecuación en la que la solución que es una
solución en la que hay que buscar unas soluciones que son números en las
ecuaciones diferenciales hay una relación entre funciones y sus derivadas
y lo que hay que buscar es la función que las verifica condiciones, etc.
bueno aquí os he puesto un par de ejemplitos de que ya os resultan
familiares para ir afinando un poco la nomenclatura y las notaciones de las
ecuaciones diferenciales hola ¿qué tal? me alegra verte mira, por ejemplo
un problema de ecuaciones diferenciales es este el de la caída de los
cuerpos aquí voy a hacer un inciso y es que desde el punto de vista
histórico desde el punto de vista de la historia de las matemáticas en un
principio las matemáticas hasta el siglo XVI eran las matemáticas de las
cosas quietas era la geometría de triángulos la aritmética o el álgebra
que eran cosas quietas pero las matemáticas tenían problemas para
interpretar o modelizar cosas que cambian que se mueven, que varían de
posición entonces cuando surgió ya la geometría analítica de Descartes
los sistemas cartesianos pues ya se empezó y la noción de límite y de
función pues ya empezó a poderse modelizar las cosas que se mueven y es
que ya los griegos tenían muchos problemas para interpretar las cosas que
cambian y que se mueven con la famosa paradoja de Aquiles y la tortuga que
si una cosa se mueve pues como es posible que no la alcance nunca que
rompía un poco la lógica de las matemáticas esta que os digo de las
cosas quietas rompía un poco chocaba para interpretar las cosas que se
mueven pues aquí vamos a ver un ejemplo muy sencillito que habéis visto
en física y vamos a plantear una ecuación diferencial y que nos va a
servir un poco para ir colgando los conceptos el problema es de la caída
de un cuerpo tenemos aquí una masa o una bolita que esto es lo que
estudiaba Galileo experimentalmente sobre el cual actúa una fuerza que es
el peso que sería vertical que sería la masa por la fuerza de la gravedad
y vamos a considerar que aquí hay una fuerza de resistencia de resistencia
al rozamiento del aire por ejemplo, que es proporcional a la velocidad y de
luego una cosa que está quieta no tiene ninguna fuerza de rozamiento no
hay ninguna fuerza que actúe sobre ella pero cuando la movemos y cuanto
más deprisa la movemos en nuestro modelo pues cuanto más deprisa va más
roza entonces según la ley de Newton la fuerza las fuerzas son las lo que
genera la variación de velocidades es decir, un cuerpo que se mueve en
principio con una velocidad constante si no actúa ninguna fuerza pero si
actúan fuerzas cambia la velocidad entonces la ley de Newton decía que la
fuerza es la masa por la variación de la velocidad con respecto al tiempo
es decir, la aceleración de la masa entonces en nuestro caso como sólo
tenemos una componente que sería la vertical solamente podemos considerar
que la velocidad no es un vector sino que es una perdona, hay una persona
esperando voy a intentar admitirla entonces pues tenemos que la masa por la
derivada de v v es una función del tiempo la velocidad del cuerpo varía
con respecto al tiempo la derivada de v con respecto a t es igual a 9,8 que
es la aceleración de la gravedad en las unidades que estemos considerando
por la masa menos una constante de proporcionalidad por v. Fijaros que esta
ecuación que he escrito aquí vamos a ir introduciendo los conceptos
sería una ecuación diferencial ¿por qué? porque yo tengo una función
que sube de t la velocidad de función del tiempo la derivada, aparece
aquí la función es una ecuación diferencial y se dice que es de primer
orden en v porque la derivada que aparece aquí es de primer orden si
apareciera una derivada segunda sería de segundo orden luego lo que se
llama un problema de Cauchy es que además de la ecuación diferencial hay
muchas funciones que verifican esto ahora lo veremos cumple una condición
inicial el tiempo cero es decir, donde yo considero el origen de tiempos
pues la velocidad está quieta es decir, vamos a considerar que el objeto
está quieto es decir, lo suelto y cuando lo suelto empieza a contar el
cronómetro este conjunto en el cual aparece una ecuación diferencial con
una condición inicial de este estilo es decir, que da el valor de la
función en un punto vamos a ir luego aquí nuestro problema de ver como
cae un objeto es una ecuación diferencial con una condición inicial y
este conjunto de situaciones es lo que se llama un problema de Cauchy muy
bien entonces hay ecuaciones diferenciales fáciles como esta que se pueden
resolver de una manera explícita vamos a ver cuál es la solución con un
poco de trabajo matemático y luego que sería una parte de lo que vamos a
estudiar durante el curso, que es métodos que sirven para resolver
ecuaciones no todas las ecuaciones se resuelven unas ecuaciones se
resuelven de una manera otras se resuelven de otra en fin, con trucos o con
técnicas que vamos a ir estudiando en los casos en los que se pueda y esto
es parecido con lo que ocurría en la asignatura de cálculo o de
matemáticas en el bachillerato que había las integrales hay unas
integrales que se resuelven por cambio variable otras integrales que son
las trigonométricas que se hacen no sé cómo otras que son las que se
hacen por partes y otras que no sabemos hacer y que solamente estudiamos
cualitativamente es decir, que podemos averiguar a decir cosas podríamos
resolverlas numéricamente o por aproximaciones numéricas o podríamos
resolver cuestiones de tipo cualitativo como por ejemplo que tiene
solución y la solución está acotada o tiene varias soluciones o las
soluciones de una determinada manera o lo que sea esta ecuación que es muy
sencillita que seguramente la habréis resuelto aunque no te hayan dicho
que estabas resolviendo una ecuación diferencial es de las que son las
más fáciles de resolver se dice por separación de variables se pueden
resolver mediante cuadraturas cuadraturas son integrales cálculo integral
que por decirlo de alguna manera es calcular funciones primitivas el
cálculo integral es hacer cuadraturas o es calcular primitivas es decir,
hallar qué funciones tienen como derivada una cuestión fijaros la
ecuación diferencial era esta ¿cómo se resolvería utilizando
cuadraturas? pues se llama utilizar cuadraturas o el método de variables
separadas que consiste esto es muy importante que es la notación la
notación es debida a Leibniz esta notación de diferenciales es utilísima
para varias cosas primero para comprender el significado para hacer el
modelo matemático que en realidad es un infinitesimo un incremento cuando
se hace pequeño y esta notación es de lujo porque este además te lleva
de la mano a lo que hay que hacer que se puede argumentar de otra manera
pero te lleva de la mano a lo que hay que hacer y es por un lado junto todo
lo que tiene v con la diferencial de v y todo lo que tiene t con la
diferencial de t en este caso fijaros que yo tendría este miembro de aquí
que tiene v lo paso aquí dividiendo y la diferencial de t la paso para
allá y ya lo que he hecho ha sido separar las las v con las diferenciales
de v y las t con las diferenciales de t entonces pues muy sencillo si yo
tengo esto hablando un poco vulgarmente hago la integral en los dos
miembros cuando digo hago la integral quiero decir hallo la primitiva hallo
la primitiva de esta parte y hallo la primitiva de esta parte hallamos las
correspondientes la primitiva de los dos miembros bueno esto si trabajamos
a mano trabajamos a mano cosa que conviene hacer porque si veis en el curso
virtual en el en el examen presencial que vais a hacer no os dejan llevar
de nada entonces hay que tener un poco de mano para hacer las cuentas que
como luego veremos algún comentario que vamos a hacer para el
guarindongueo de los problemas informáticos bueno pues ya tengo esta
integral entonces bueno esta es de las que se resuelve porque este es un
cociente es la que se resuelve pues haciendo un cambio variable aquí lo
tenéis escrito todo esto lo pondré si llamamos u a este denominador para
que esto sea 1 partido por u diferencial de u que lo sabemos hacer muy bien
porque es un logaritmo neperiano la diferencial de u es derivar aquí
entonces lo que tengo que hacer es despejar la diferencia esta constante
diferencial de v despejo la diferencial de v y entonces lo que hago es
cambiar pelo a pelo donde pone esto pongo u y donde pone diferencial de v
pues pongo aquí lo que le toca que sería esta constante por la
diferencial de u ya tengo una integral en u que la integro es un neperiano
1 partido por u es un neperiano de u y la constante pues ya está entonces
pues lo siguiente que hay que hacer es deshacer el cambio donde pongo u
pongo lo que era la u y ya está ya he hecho la primitiva de este lado la
primitiva del otro lado la integral de diferencial de t pues este más una
constante integral cuando yo pongo aquí una constante lo veremos en muchos
cálculos es una cantidad es una manera abreviada de decir que es una
primitiva es decir que es esa función o otra que se diferencia de una
cantidad pero para indicarla pues podemos más c pero esta c no hay que
interpretarla nada más por eso la constante de integración que hay aquí
pues la enluevo con la otra en uno solo porque si esto es la primitiva de
este lado es esta función más una cantidad constante y la primitiva de
este lado es esta más una cantidad constante la solución de igualar esto
con esto es esto más una cantidad constante igualando las dos cantidades
pues ya tengo mi ecuación en la que ya tengo una relación entre v y t que
puedo despejar la v en función de la t y esa sería mi solución entonces
si me planteo despejar la v en función de la t pues esto es un problema
como tengo aquí un neperiano lo que tengo que hacer es el exponencial de
los dos miembros para quitar el neperiano tengo la exponencial de los dos
miembros la exponencial de este primer miembro pues es esto de aquí y la
exponencial del segundo miembro la exponencial del segundo miembro es la
exponencial de una suma que es la exponencial de uno por la exponencial del
otro pero la exponencial de la constante lo podemos poner como una
constante no hay que interpretar que es lo mismo cualquier constante la
llamo igual entonces pues aquí ya tengo simplemente despejo v y ya tengo
que v esto pues cuando tengo he llegado después de un pequeño trabajo de
hacer una integral y despejar y todas esas cosas he llegado a una
expresión de v en función de t en la que aparece una cantidad cualquier
constante que ponga aquí también es solución del problema o sea que esto
es lo que se llama solución general de la ecuación diferencial sería
todas las posibles funciones que son soluciones de la ecuación diferencial
es decir todas las funciones en las que es una cantidad constante por una
exponencial más esta cantidad esto si que es una constante de verdad me
explico 9,8 por m partido por el porciento de rozamiento que esto lo
asignaré por motivos experimentales o como lo tenga que asignar el 9,8 es
porque por las unidades que tome la verdad que será una cosa en Marte otra
en la Tierra m es la masa del cuerpo que ponga y gamma es el porciento de
rozamiento que lo puedo determinar experimentalmente según el medio en el
que se mueva y esto si que es una constante pero esto no es una constante
esto es una cantidad cualquiera entonces v igual a una cantidad cualquiera
por una exponencial pues esto sería la solución general para cada valor
de t tenemos una solución cualquier c que ponga aquí es solución de la
igual si yo dibujo todas las ecuaciones todas las posibles ecuaciones
generales tengo lo que se llama una de soluciones por ejemplo si yo digo
que la c vale una cantidad pues tendré otra lo que si puedo hacer es ver
que pasa con esto por ejemplo que tiene una asíntota todas estas posibles
soluciones pues tienen una asíntota es decir, por ejemplo cuando t tiende
a infinito esta cantidad tiende a ser muy pequeña y entonces tienden todas
a ser esta cantidad de aquí lo explico si la cantidad t tiende a infinito
esto es e elevado a menos infinito y cualquier c cualquier constante que
ponga aquí este término la exponencial se lo va a comer esto se va a
anular y me quedaría esto aquí es decir, que la situación sería una
cosa aproximadamente a esta si yo además le pongo un valor inicial de esta
familia de curvas pues yo elijo una sola que es la que para t igual a cero
pasa por el cero ¿como lo determino? muy fácil, digo v de cero pues si me
voy aquí a esta ecuación cuando t es cero este término vale uno e
elevado a cero es uno bueno, lo tenéis aquí luego esto sería c más esto
con lo cual la c para que v de cero valga cero la c es todo igual a cero la
c tiene que ser el opuesto de c hay personas esperando voy a intentar
admitirlas perdonar estas introducciones pero no me gusta que ella me diga
bueno, entonces pues el problema de Cauchy se obtendría dándole a la
constante c, esta c de integración, el valor que hace que precisamente v
de cero sea c con lo cual la solución del problema de Cauchy sería esta
de aquí bueno a ver fijaros que muchas veces esto no es difícil pero hay
veces que es un poco laborioso sobre todo si tenemos que manejar constantes
de estas yo he puesto aquí constantes para enredar pero en realidad sería
un número hay una cosa que vamos a ver durante estas tutorías es que
todos los problemas que vienen en el libro o los que hagamos de exámenes
en paralelo los vamos a hacer con alguna herramienta informática que nos
ayude a comprender mejor porque te hace dibujitos porque te olvidas un poco
de los cálculos y te puedes tener que entrar en esto y sobre todo si los
haces o aunque los hagas pues te puedes centrar en lo que estáis haciendo
yo en este ratito que estaba aquí yo tengo aquí instalado en mi móvil el
Wolfram Alpha el que en su día costaba 3 euros y te dejaban ya para toda
la vida ahora ya no tienen ni que renovarlo pero hay una versión en línea
que no te da lo de que la versión es premium que te dice las soluciones
pasaporte no sé si lo si lo pongo en la cámara no sé si lo vais a ver no
sé si lo veis alguno no a ver como podía yo verlo en la cámara aquí
bueno vamos a hacerlo con el Wolfram Alpha mirad no este no es aquí vamos
a ponerlo más mirad el Wolfram Alpha vamos a hacerlo aquí vaya hombre me
pide que inicie sesión y anda no a lo mejor esperamos abajo abajo de tu
abajo abajo aceptarlo todo vale el Wolfram aquí tenéis el Wolfram Alpha
bueno yo voy a escribirle además el Wolfram Alpha es muy útil para el
gorrindongueo porque te permite utilizar la notación que muy similar a la
que utilizamos nosotros por ejemplo la ecuación que yo había puesto era
diferencial de v diferencial de t que es la derivada de v con respecto a t
era igual voy a poner un número igual a 9.8 además era 1 menos 5 en el
rozamiento voy a poner que es menos 5 vale voy a ponerle un número si yo
le doy que me lo calcule esto esto es una ecuación diferencial que le he
escrito aquí en plan pedestre me la ha escrito ya sabéis que el Wolfram
Alpha es un programa que es de inteligencia artificial desarrollado en el
MIT y tal entonces te lo pone aquí te dice que tipo de problema es y dices
hombre es uno de variables separables muy gracioso muy simpático te da la
solución la la solución te da aquí la solución general una constante
por ahí a la menos 5 veis que es la misma solución que teníamos nosotros
pero aquí te la te la ha hecho y aquí te da un mapa de ahora veremos lo
que es esto un mapa de direcciones como veis aquí vemos la asíntota esta
que os he dicho y aquí te pone exactamente la gráfica de la función que
quiere decir esto como lo interpretamos físicamente quiere decir que en
este modelo que tenemos en el que es una caída libre con rozamiento pues
lo que te viene a decir esa sería la interpretación del del hecho es que
tú empiezas a caer la velocidad según pasa de estar quieto a ir cayendo
cada vez más deprisa cada vez más deprisa hasta que digamos que te
estabiliza en una velocidad a una velocidad es decir no sé si os acordáis
que hace unos años hubo un tío de Red Bull patrocinado por Red Bull que
le subieron en un avión hasta la estratosfera y allí se tiró el tío en
caída libre y se cayó desde la estratosfera lo transmitieron según este
modelo un tío que lo tira en la estratosfera saliendo de parar cada vez
cae más deprisa, cae más deprisa es decir que cuando llega a la tierra se
va a pegar la galleta tan deprisa si cae de la estratosfera como si lo han
soltado casi casi igual que si lo han soltado a una determinada altura
porque la velocidad tiende a estabilizarse, me explico con lo cual te da lo
mismo el problema del paracaídas suponiendo que te aguanten las coronarias
el susto es igual tirarse de la estratosfera que tirarse de 500 metros en
la práctica me explico, la diferencia de velocidad con la que llegas al
suelo es muy próxima esto sería la ETC esto sería utilizando el Wolfram
Alpha cosa que yo recomiendo para el Warrington Gale porque te permite ver
muchas cosas de manera simpática otro ejemplo que tenéis de la física no
quiero entretenerme mucho en estas cosas porque a lo largo del curso
veremos muchas cosas, pero como lo habéis visto al estudiar física pues
lo vamos a poner este es un modelo muy típico de ecuación diferencial que
también nos va a permitir para ir introduciendo algunas cosas esto es el
oscilador armónico el modelo del oscilador armónico que es el mismo
modelo que hay en circuitos eléctricos resonantes que es la base de la
radio pero es el modelo del oscilador armónico nosotros tenemos un muelle
elástico ideal un muelle elástico ideal que tiene colgón peso que tiene
una línea que sería la situación estable del muelle que lo deformo y lo
suelto entonces el muelle empezaría a oscilar la voy a llamar I a la
función que es la separación del lugar de reposo y vamos a plantear como
sería la ecuación que dirige el movimiento que es el movimiento armónico
simple entonces pues bueno pues muy bien nosotros tenemos una fuerza de
recuperación que es la del muelle que es proporcional en nuestro modelo es
proporcional a la elongación es decir cuanto más lo separe la fuerza de
recuperación es mayor si yo lo separo muy poquito tengo poca fuerza la
fuerza de recuperación señor Ángel perdón que te interrumpa yo es para
aclarar vale lo que estamos viendo ya sé que es algo así un concepto
general pero engloba todo el tema 1 y también parte del tema 2 no, a ver
esto no sería ni del tema 1 ni del tema 2 el tema 1 pues es presentarte lo
que son las ecuaciones diferenciales como se llaman el orden es el número
de si, si conceptos lo que pasa es que esos conceptos así en frío pues yo
creo que así te esto es lo que vamos a estudiar luego en el curso pero de
una manera vale, o sea que esto es como una visión general de lo que vamos
a ver si, digamos que es una motivación es la manera de introducir una
batería de definiciones de lo que es una solución general lo que es el
problema de Cauchy pero de una manera un poco yo interpreto que más vale,
vale, es para seguir un orden en mi cabeza con el libro vale, bueno pues
fijaros, si yo tengo aquí la fuerza del peso no existe porque se cancela
con la tensión del muelle de acuerdo entonces como sería pues la masa por
la aceleración que es la derivada segunda del espacio recorrido por el
tiempo a la fuerza que actúa sobre la masa esta que sería la fuerza de
recuperación vale, entonces pues yo tengo aquí mi modelo que sería,
claro, esta es la ecuación a ver, este es un modelo que luego lo veremos
muchas veces que es el modelo del oscilador armónico, que es un modelo que
está muy bien estudiado, se sabe muy bien lo que pasa se entiende muy bien
los fenómenos que ocurren ahí como la resonancia etc, etc que va a servir
para entender algunos conceptos y ahora lo veremos entonces esta sería una
ecuación de segundo orden porque se llama una ecuación diferencial bueno,
esto he puesto los dos puntitos porque es lo que se suele poner en física
pues serían las dos rayitas de la derivada segunda es una ecuación de
segundo orden que tenga aquí un cero es se dice que es homogénea esta es
una ecuación lineal homogénea, porque es lineal porque si yo tengo dos
soluciones su suma también va a ser solución de esta ecuación y si yo
tengo una solución un múltiplo de ella también va a ser solución por
eso se dice que es una ecuación lineal o sea, las soluciones generales van
a formar van a tener estructura espacio vectoria por eso se llama una
ecuación lineal es por ir introduciendo conceptos que vamos a ver y es
homogénea en este caso las condiciones iniciales del problema de Cauchy
pues son la posición en el momento cero y la velocidad en el momento cero
como es una ecuación de segundo orden el problema de Cauchy necesita dos
condiciones iniciales ¿de acuerdo? es decir que va a depender el
movimiento de esto va a depender de que si yo el muelle lo estiro mucho y
la posición inicial y luego si le doy algún empujón extra o no o no le
doy un empujón extra de la velocidad inicial entonces el movimiento
armónico hay una cuestión nosotros podemos esto pasa muchas veces yo no
sé calcular en este caso sí sabemos calcular la solución, no lo vamos a
hacer pero muchas veces por las situaciones de la física del problema se
sabe cuál es la solución porque lo hemos visto que es lo que pasa en este
caso se puede calcular y lo aprenderemos a calcular en el capítulo 3 pero
se sabe que la solución se llama que es el movimiento armónico que sería
una bolita que va dando vueltas va dando vueltas con velocidad uniforme su
proyección sobre el eje i pues si yo voy dando vueltas así su proyección
que es el coseno el movimiento armónico es decir un movimiento que va con
estas ecuaciones es decir el coseno, el omega sería la las soluciones
todas las soluciones posibles serían el omega que es la frecuencia y la fi
que es el desfase que sería es decir el movimiento empieza aquí con un fi
de desfase entonces empieza un poco desfasadito y va más deprisa o más
despacio y baja la deriva si yo por ejemplo tengo la intuición de que la
solución es esta porque lo he observado porque lo sabemos, me lo ha dicho
yo podría comprobar que efectivamente esta ecuación general esta
solución general que como veis depende de dos constantes fijaos que la
solución general en las de primer orden en la de segundo orden va a
depender de dos constantes en este caso son el omega y el fi yo podría
comprobar que si esta es la función, esta es la derivada esta es la
segunda derivada derivada del coseno es menos el seno y la derivada del
seno es el coseno y las constantes estas que van saliendo bueno, si yo
sustituyo en la ecuación pues compruebo que efectivamente sí se verifica
y luego con las condiciones iniciales puedo determinar cuánto valen las
constantes las condiciones iniciales del problema de Cauchy como están
aquí planteadas pues yo puedo determinar cuáles son las constantes las
constantes que son fijaos que la frecuencia la frecuencia que es omega
partido por dos pi es una cantidad, fijaos que según hemos calculado no
depende la frecuencia no depende de las condiciones iniciales es propio del
sistema de la K que era la constante de recuperación y de la masa esto es
una cosa que hay gente que no le sorprende que precisamente en un muelle
pues es la digamos su frecuencia que sería la frecuencia propia del
sistema es decir, un oscilador armónico tiene una frecuencia propia que no
depende ni que le ponga más peso al muelle ni que le cambie el muelle es
decir que es una cosa propia entonces con las condiciones iniciales pues se
determinan las características de esto bueno pues sería esto algo
parecido a esto luego fijaos que este modelo se puede ir complicando por
ejemplo este sería este término con este sería el oscilador armónico yo
le puedo poner un rozamiento que sería un término que depende de la
primera derivada incluso le puedo poner aquí una perturbación o término
forzado en este término aquí sería que sería como que yo le estuviera
dando golpecitos al al muelle este término forzado o perturbación pues
sería el modelo completo de una ecuación lineal de segundo orden no
homogéneo que tiene aquí un término este modelo es muy importante porque
por ejemplo él aparece si lo he podido estudiar según la perturbación
que recibe aquí pues ocurren fenómenos como la resonancia por ejemplo que
es la clave de la radio es decir, si yo le tengo un oscilador de un
circuito oscilante con una bobina y un condensador y la perturbación es lo
que le entra por la antena entonces si le entran determinadas cosas que
están relacionadas con la frecuencia propia de esto pues la cosa se
dispara entonces oigo la radio y si no, no la oigo o pasaría pues a lo
mejor hay un dibujo una cosa muy bonita de un puente que a lo mejor esto
pasa si tú le pegas sistemáticamente en un determinado tal pues acabas
cargándote una cosa tremenda como un puente hay una película del puente
Tacoma Bridge bueno, estos fenómenos todos se ven estudiando ecuaciones
diferenciales bueno, yo os animo a que estudies ecuaciones diferenciales
hay muchos modelos de ecuaciones unos son sacados de la física otros de la
sociología como este que os he puesto aquí de la evolución de
poblaciones pues era con la pandemia por desgracia pues se pusieron muy de
moda los modelos poblacionales de cómo se propaga una epidemia bueno, en
fin bueno, a lo que voy después de esta pequeña animaros a estudiar
ecuaciones diferenciales pues os quiero comentar varias cosas primero como
toda la UNED lo más importante es seguir las indicaciones del curso
virtual en el curso virtual tenéis la guía del curso tenéis el material
didáctico tenéis todas las indicaciones con las fechas de la guía del
curso os quiero destacar dos cosas que es lo que más os suele interesar lo
que suelen haber más preguntas ya como sois alumnos de la UNED por lo
menos habéis visto un cuatrimestre ya sabéis que aquí hay las pruebas
presenciales son de dos horas en el caso de esta asignatura te dice que son
tres problemas te van a poner tres problemas luego veremos muchos modelos
de exámenes tres problemas para hacer en dos hay una diferencia con cursos
anteriores no sé si hay alguno que estéis repitiendo esta misma materia
que en cursos anteriores te dejaban tener como consulta el libro de texto
este año se ha suprimido esta aparte de la prueba presencial en la
evaluación habrá una prueba de evaluación una prueba de evaluación
continua también consiste en que te ponen dos o tres problemas son tres
que tienes que hacer y entregar en la bibliografía básica hay un libro de
teoría este que os he enseñado antes y un libro de problemas resueltos
que hay aparte tenéis problemas de exámenes de cursos anteriores yo lo
que voy a procurar trabajar a lo largo del curso es buscar ejemplos muy
sencillos que te ilustren un método sin complicarte la vida poner el foco
en un argumento en una idea y luego problemas de exámenes o problemas que
yo creo que son más o menos significativos entonces si nos empezamos otra
cosa que es importante que son las ayudas que hay en informática en los
que estuvisteis haciendo el curso de álgebra en el primer cuatrimestre
empezamos a familiarizarnos con el Vx máxima y el máxima y tal máxima
para animaros aparte del Wolfram Arnfeld que ya veis que es súper fácil
de manejar si lo has hecho bien si se ajustan bien las constantes lo
compruebas no te cuesta nada o quieres hacer una gráfica de una función
rápidamente de qué rato lo haces un ordenador y máxima que es muy útil
porque ya sabéis que esto tiene muchísimas muchísimas aplicaciones
profesionales yo quería ver hoy que es el primer día hoy quería quería
que vierais un poquito el Vx máxima tiene muchas cositas las he copiado
aquí porque yo no lo tengo en el ordenador que hay aquí no lo tengo
instalado si estuviera en mi casa pues lo veíamos tiene muchas cosas el Vx
máxima tiene muchísimas cosas que puedes hacer y yo os he hecho algún
ejemplo de cositas que puedes hacer con máxima muy útiles por ejemplo y
por animaros un poquito yo puedo definir una función para definir una
función la forma de hacerlo con máxima es con dos puntos igual por
ejemplo este comando que he visto que está escrito quiere decir que es un
comentario que empiezan los comentarios falta aquí el cierre porque esto
es una captura aquí falta el cierre que no lo he puesto que sería
asterisco y barrita vale esto es un comentario si alguno de vosotros está
acostumbrado a programar en los códigos de programación pues los
comentarios para documentar un programa se ponen aquí por ejemplo el dos
puntos igual te permite definir una función ya sabes que estamos como el
cuatrimestre pasado cuando en algebra era la matemática de las cosas
quietas que eran ecuaciones todas aquí tenemos cosas que se mueven que se
basa en la idea de función y de derivada pues tenemos la función xy igual
al seno de x por y es una función que va de dos variables a un número
entonces la define como así entonces fijaros yo puedo hacer derivadas la
orden de derivar una función es div la función en este caso es como la
definió como seno de esto pues sería derivar respecto de x se puede
derivar respecto de y se puede derivar respecto de x dos veces se puede
derivar respecto de y dos veces por ejemplo entonces ya sabes que las
lineas de comando punto y coma punto y coma cuando le das mayúscula a
center te ejecuta los comandos aquí los tenemos ejecutados como he puesto
puntos y coma en output distintos entonces pues de aquí tenéis que la
derivada del 7 que es este de aquí la derivada del seno de x por y
respecto de x es y por coseno de xy la derivada respecto de y es x por
coseno de xy la derivada segunda la derivada segunda respecto de x la
derivada segunda respecto de y otra cosa que hace muy bien Maxima es
integrar una integral hay comandos para hacerlos numéricamente las que no
se puede hacer una primitiva o incluso aunque se puedan hacer primitivas
hay veces que no esté implementado el método de hacerlo pero bueno de las
que se pueden hacer bien pues si yo le escribo intégrame x al cuadrado por
seno de x la integral respecto de x diferencial de x entonces pues o quiero
hacer la integral de k k es una cosa de k por x esto está mal hecho de kx
bueno esto lo he hecho mal porque había que poner un por aquí perdonadme
bien fuera entonces si yo quiero hacer la integral pues me hace la integral
y si yo quiero hacer la integral definida que pone aquí los límites de
integración pues entonces el resultado de la integral es un número, pero
es que también sirve para hacer ecuaciones diferenciales o sea en máxima
igual que habéis visto que el Wolfram Alfa también ya me había hecho la
ecuación diferencial directamente en máxima también se pueden hacer
ecuaciones diferenciales es decir, cuando yo quiero escribir una ecuación
diferencial como esta y quiero escribir una ecuación diferencial como esta
que sería la derivada segunda respecto de t de i más 16i igual al seno de
4t que es una ecuación que veis que es una ecuación lineal de segundo
orden completa es decir, que tiene un término forzado aquí las
homogéneas de las soluciones se pueden superponer las forzadas no, eso ya
lo veremos un poco más adelante es una solución general de la homogénea
más una particular de la completa, bueno esto es una ecuación de segundo
orden entonces si yo quiero escribir una ecuación como esta, es en máxima
lo que tengo que escribir es ponerle una apóstrofe delante de la derivada,
si yo no le pongo la apóstrofe me va a hacer la derivada de eso me va a
calcular la derivada pues si yo le pongo la apóstrofe le estoy diciendo
que no quiero que me lo calcule, sino que me lo considere como un término
de la ecuación de una ecuación funcional entonces se pone con el puntito
pues aquí sería la derivada de i con respecto de t dos veces más 16 por
i es igual al seno de 4t esta sería esta ecuación diferencial escrita en
máxima poniéndole a lo que era derivar con una apóstrofe delante le
advierto que no quiero que me derive eso que lo considere un término de
una ecuación hay un comando hay un comando de máxima que se llama od2 que
te da la solución general de la ecuación eso que hemos visto que
dependía de un parámetro con la condición inicial las condiciones
iniciales pues ya me he determinado pues hay un comando que es od2 2 aquí
que me permite resolver ecuaciones diferenciales de manera ya la solución
general el orden de que si le escribo esto delante o detrás si orden se
refiere al grado al orden de derivación que aparece, si aparece solo la
primera derivada es una ecuación de primer orden si aparece la segunda
derivada es una ecuación de segundo orden si aparece la derivada de orden
quinto pues sería una ecuación diferencial de orden quinto no, no, eso es
lo mismo esto si lo escribes en máxima a mi me gusta escribir las cosas
directamente en máxima o sea escribiéndolo todo pero si usas el wxmáxima
en el menú de ecuaciones y dices ponme la función y te tienes que
despreocupar de si le pones el apostrofo o no le pones lo que le pongas
entonces bueno pues lo que quiero que veas es cómo funciona un poco esto
entonces si yo le pongo od2 y esto lo voy a meter con los dos puntos en una
cosa que le voy a llamar solución general de tal manera que si yo quiero
utilizar la solución general no tenga que volver a escribir eso me llamo
solución general como le podría haber llamado pichurri le he puesto con
dos puntos para llamarlas entonces esto me calcula la solución general
veis que aquí la solución general como veis cuando pone porcentaje k1
sería una constante de integración y donde pone k2 es la otra constante
es decir, la solución general puede depender de dos parámetros como vimos
en el oscilador armónico entonces también como se llama máxima te
permite hallar la solución con valores iniciales la solución general me
permite hallar la solución con un comando que se llama initial conditions
que es la solución general entonces yo le tengo que escribir la solución
general, los dos valores iniciales el valor inicial os acordáis que era en
lo que habíamos escrito en el oscilador armónico ya tenemos un ejemplo
para ir colgando los conceptos nos viene muy bien haber visto un ejemplo
antes serían los valores iniciales y el valor inicial es la derivada
entonces pues yo te pongo aquí los dos valores iniciales y entonces pues
ya me da la solución la solución general me ha calculado cuánto valen
las dos constantes estas para que se verifique bueno el máxima también
tiene opciones de dibujar entonces también hay un menú en VDX Máxima que
te permite dibujar la opción de dibujar que es el plot 2D para 3 también
y tiene muchos parámetros que se le puede decir que dibuje un grid o sea
un cuadriculado, una trama que dibuje no sé qué que la dibuje de un
color, que la dibuje de otro muchísima le podemos poner muchísimos tiki
mix estas son las que y también que la salida salga en un formato se le
pueden definir muchas cosas es la cosa que a mucha gente de Máxima le
echan para atrás porque hay que decirle muchas cosas pero también para en
otras circunstancias pues te viene muy bien porque porque te permite
también pues tener mucha flexibilidad para resolver lo que tú quieres que
haga bueno, en este caso esto lo está puesto con la con VDX Máxima si yo
le pongo la solución y por eso le había llamado Sol que es la solución
con es decir en vez de escribir todo esto pues me refiero a ello como el
output o me refería como el output 33 o como el Sol lo que saliera de
aquí lo iba a llamar Sol, para luego poderlo utilizar en otros comandos o
ya podría haber llamado output 33 pero bueno es mejor ponerle un nombre
porque si luego renumera las cosas pues te lias entonces yo le he puesto la
variable t entre qué valores quiero que varíe y la variable i entre qué
valores quiero que varíe esto muchas veces lo pones a lo bruto y cuando ya
ves donde te interesa pues luego lo afinas como le he puesto la trama pues
luego lo afino entonces yo le he puesto y luego lo he afinado y aquí pues
te la tienes dibujadita si ves que por ejemplo tú en principio le habías
puesto desde 10 a menos 10 y ves que la gráfica resulta un hilito muy
pequeño pues tú ya lo ajustas y lo pones bien si no te quiere molestar en
ver entre qué varía por ejemplo yo podría haber hecho entre qué varía
esto, pues mira esto es el seno entre uno y menos uno sabes que yo podría
haber hecho argumentos para dibujar la gráfica o atentón entonces pues
pues tenemos aquí dibujado cómo sería esto, serían oscilaciones con
alguna anomalía y se van amortiguando pues esto sería la solución con
las condiciones iniciales que le he puesto vale fenomenal, muy bien ya
hemos visto animaros a que os instaléis el Vx máxima y os aquí yo lo que
quiero es esto ahora vamos a empezar ya directamente con lo que es la
teoría del libro que también dedica una primera parte a introducir los
conceptos y el libro pues empieza con la teoría general de ecuaciones de
primer orden es decir, el libro lo tiene sistematizado como muchos otros
libros de ecuaciones empieza con las ecuaciones más sencillitas y las que
se pueden resolver de una manera explícita aquí faltaría poner un
paréntesis pero bueno voy a ponerla aquí y entonces vamos a empezar el
libro empieza con el estudio de las ecuaciones de primer orden la teoría
general, este sería el capítulo 1 del libro perdonad porque son notas un
poco guarrindongas pero bueno entonces lo primero que vamos a estudiar es
lo más sencillo que se embanasta para coger los conceptos que sería una
ecuación de primer orden explícita, es decir que yo pongo que la primera
derivada aquí en nuestro libro suele utilizar la i como es habitual como
función como variable dependiente y la x como variable independiente en
física muchas veces es la t que suele ser el tiempo o otra cosa, vale pero
bueno, en este caso la forma, la ecuación de primer orden explícita
sería de esta forma sería entonces la clase es esta menos cuarto ¿no?
acabaremos un poco antes porque me tengo que trasladar a otra aula y
enchufar todos los aparatos vamos, acercarme entonces sería la primera
derivada es una función de x y de y una ecuación diferencial en la que se
puede despejar la primera derivada como una función de x y de y por
ejemplo i' es igual a 1 partido por i cuadrado entre la que sólo aparece
la i i' es igual a, ahora aparece la x y la y i' es igual a 3 y 3 más i i'
igual a i partido por x i' es igual a i bueno, esto sería el tipo de
ecuaciones que vamos a estudiar que son, digamos las más sencillas que se
envanastan en una ecuación diferencial ¿de acuerdo? esto sería del
estilo de la ecuación que vimos del señor del tonto este que se tiraba de
la estratosfera tenemos la derivada de v se podría despejar entonces en un
problema de Cauchy tendríamos una ecuación diferencial y una condición
inicial que dice que la función para un valor x sub cero vale una cantidad
i sub cero entonces de todas las posibles soluciones fijaros que yo una
función igual a f de x que sería de todas las posibles soluciones digamos
que me quedo con la que pasa por el punto x sub cero y sub cero entonces un
problema que nosotros no vamos a dedicarle, a darle muchas vueltas porque
es un problema digamos técnico en matemáticas pero si daremos alguna
idea, luego un poquito más adelante, daremos alguna idea esto es lo del
chiste del matemático ¿no? que no sabéis el chiste ese de que van en un
coche un ingeniero o un economista y un matemático y se les estropea el
coche entonces el matemático se pone que bueno ¿qué hacemos ahora? pues
yo voy a intentar demostrar que el problema que tenemos tiene solución y
que además es única y tal se pone ahí estudiando el físico dice voy a
desmontar el cabo voy a desmontar el carburador y tal vamos a ver cómo van
los mecanismos el economista dice pues vamos a hacer un leasing dejamos el
coche, lo alquilamos cobramos el seguro hacemos un leasing de otro y el
informático dice si salimos del coche volvemos a entrar y ya está
entonces un problema matemático que veremos en algún momento más
adelante volveremos sobre él que es en qué condiciones cómo tiene que
ser esta función f para que yo me garantice que esta ecuación tiene
solución y que además para un valor inicial la solución es única es
decir, esta función podría ser buena o mala, regular en fin, pero
entonces la condición para que tenga una solución y que se verifique la
unicidad para el problema del coche es que la derivada parcial de f con
respecto de i sea continua y que la f sea continua que la f no tenga deber
especialmente perverso esto luego veremos alguna interpretación pero bueno
a resumidas cuentas estas condiciones me garantizan que el problema del
coche tiene solución por ejemplo esta de aquí la derivada parcial f es de
x y es 1 partido por i cuadrado esta función funciona muy bien salvo en
los casos en los que vale 0 pues ahí tendría problemas de singularidades
que dejaría ser continua cuando la i vale 0 entonces bueno ya sabemos que
situaciones van a darnos problemas, este problema existencia y unicidad
luego cuando estudiemos un poco las soluciones en concreto pues ya veremos
cuando nos es útil y razonamos esto bueno vamos a ver un problema de un
examen vale este es un problema de un examen que dice x cuadrado por i
prima es decir por la derivada de i menos 3x por i menos 2i cuadrado igual
a 0 esto sería una ecuación diferencial de primer orden porque la
derivada aparece solo la primera derivada si yo puedo soy capaz de despejar
la i prima y ponerla como una función de x e i que dice aquí expresarla
en forma i prima igual a f de x e i y determinar la región del plano x e i
donde el teorema de existencia y unicidad garantiza la solución única de
la misma comprobar que es una ecuación homogénea y resolverla entonces
fijaros que yo tengo esta ecuación pues aquí para resolver este problema
lo único que debería hacer es despejar la i prima bueno pues despejar la
i prima lo que no tiene i prima lo paso a este miembro y luego lo divido
por x al cuadrado pues ya lo tengo aquí después entonces el problema este
me pregunta en qué región del plano se verifican las condiciones del
teorema de existencia y unicidad que me garantizan que va haber entonces yo
hay que buscar en qué espacio en qué conjunto en qué región y f es
continua y en qué región la derivada de f con respecto de i es continua
si se da estas condiciones pues entonces el teorema de existencia y
unicidad me dice que para esos puntos hay una solución única esta es de
la familia que es única pues entonces vemos aquí pues está claro que
esta función es continua salvo cuando se anula el denominador es decir
cuando x al cuadrado es igual a cero y x al cuadrado es igual a cero para
cualquier valor del eje i x igual a cero y la derivada parcial de f con
respecto de i aquí he hecho la derivada de f aquí derivar respecto de i
es muy fácil porque sería 3x bueno como la i al cuadrado pues la dejo
sería 3x menos 4i la derivada con respecto de i también es muy fácil
entonces pues también me sale que esto es continua la derivada salvo en el
eje i por tanto en el conjunto en la región omega que es todo r2 menos el
eje i es decir x igual a cero pues tenemos existencia y unicidad luego en
el segundo apartado la solución homogénea y resolverla todavía no
sabemos hacerlo pero vamos a dejarlo un poquito más adelante pero bueno
hemos hecho como hemos utilizado el teorema de existencia y unicidad aquí
tenemos más ejemplos yo creo que no hace falta insistir en ello ejemplos
de cómo se mira en qué región se verifica el teorema de existencia y
unicidad por ejemplo en este ejemplo lo vamos a ver un poquito deprisa en
este ejemplo que tenemos aquí el teorema de existencia y unicidad es
estudiar donde la función f es continua que como vemos volvemos a tener el
mismo problema que es cuando se anula el denominador que sería en este
caso el eje x que es cuando i es cero y la derivada que también seguimos
teniendo el problema que deja de ser continua cuando se anula el
denominador es decir cuando i es cero y el eje x luego esta función pues
tiene solución única garantizada en la región del plano que es r2 menos
el eje x ahora esta la podríamos incluso resolver a ver qué pasa y cómo
son las soluciones esta es de las que sabemos hacer porque es de variables
separadas esta ecuación es de variables separadas porque yo cojo la i la
mando con su diferencial de i y la x la mando con la diferencial de x la
veis aquí lo escucho esta diferencial de x la mando para acá y este 3 y 4
la mando para allá y lo tengo separado hago la integral en los dos
miembros y me queda son integrales se hace perfectamente entonces tengo que
la integral de 3 i cuadrado es i cubo y la integral de esto es la integral
de un polinomio que también es de las que se hace muy bien ¿no? la
integral de 3x cuadrado es x cubo la integral de 1 es x más una constante
integración porque es la primitiva luego si yo igualo y despejo la i esta
sería la solución general en intervalo de definición para cada valor de
c se obtiene una curva y por un punto siempre y cuando estemos pasa una y
solo una curva porque me lo garantiza el teorema si no fuera por el teorema
de la existencia podían pasar en un momento dado dos soluciones distintas
¿no? de la familia de las soluciones generales o no pasar me explico el
teorema de la existencia inicial insiste que para una condición inicial
pues pasa una solución y solo una entonces por ejemplo si yo quiero
ponerle la condición de que para x sub cero y sub cero pues yo pongo aquí
x sub cero y sub cero lo pongo aquí y de esta fórmula despejo la c la
cual me da que este la c y entonces me permite hallar la fórmula de manera
explícita ahora vamos a ver alguna idea más cuando yo tengo ecuaciones de
estas puede ser que yo no sepa resolverlas explícitamente o incluso que no
me interese hacer ese esfuerzo porque si yo por ejemplo soy un físico un
ingeniero y tengo un problema de estos y quiero simplemente calcularla un
valor numérico sería un retroceso hacer el esfuerzo de hallar la
solución explícita para luego particularizarla porque lo particularizo
tiene que ver con el valor y punto entonces pues ahí y esta es la base
esta idea que les voy a decir es la base de también la demostración del
teorema de existencia es decir si yo tengo aquí un punto x sub cero y sub
cero y yo tengo la función y y prima será si yo tengo esta ecuación de
aquí cuando yo pongo aquí el punto x sub cero y sub cero sé cuanto vale
la y prima simplemente sustituyo aquí en la ecuación y prima igual a f y
yo quiero pongo aquí x sub cero y sub cero un punto fijo pues sé cuanto
vale la derivada es decir yo sé con qué pendiente me muevo luego si yo yo
sé que la función se va a mover con esta pendiente pues yo podría hacer
un cálculo que sería a partir de este punto me muevo en la dirección que
me da la derivada f prima un poquito cuanto más fino sea el paso que hago
más fina es la aproximación entonces si yo me aproximo pues ya me voy doy
un paso pequeñito más allá y vuelvo a decir lo mismo en este puntito que
está un poquito más allá cuanto vale la derivada pues me voy a la
función y donde pone x cero y cero pues pongo x uno y uno y sé cual es la
pendiente con la que se mueve digo pues se mueve para acá vale pues en
este punto me muevo para acá ¿cuánto? un poquito y así voy obteniendo
puntos sucesivamente esto se llama la poligonal de Euler y cuanto más fino
sea el paso si la función no es especialmente perversa que haga alguna
asíntota o que haga alguna discontinuidad pues me voy a ir haciendo
aproximando conocido cuanto vale en un punto pues me voy un poquito más
allá vale hay otro método de calcular esto con aproximadamente que es el
método de las isoclinas por ejemplo yo vamos a verlo con un ejemplo que es
la mejor manera de entender es el ejemplo que viene en la página 9, 10 y
11 de vuestro libro aquí lo indico para que yo no quiero inventar nada
sino llevaros al libro que es lo que hay que estudiar entonces yo voy a
dibujar la primera isoclina cuando la derivada es cero cuando pues esto lo
igual a cero cuando i es igual a cero bueno pues si me voy aquí yo cuando
i es cero que es esto i es cero es esta ecuación de aquí esta recta de
aquí i' es igual a cero luego voy a ir poniendo rayitas pequeñas rayitas
aquí estas que van en rojo que dice que la solución general va a cuando
cruce un punto de estos va a ir con pendiente cero por eso he puesto
rayitas horizontales en rojo yo digo cual es la isoclina de i' igual a uno
la derivada es igual a uno cuando 2x perdón 2y más x es cero esto lo
multiplico menos 2y es igual a x esa es una recta una recta que sería esta
de aquí donde esta i' es igual a uno en esta recta la derivada de la
solución general que pase por ahí va a pasar con pendiente uno por eso he
puesto rayitas con inclinación menos uno pues podría calcular la isoclina
de i' a menos uno que es esta otra recta de aquí entonces la otra recta de
aquí pues es la i' menos uno pues he hecho rayitas con inclinación menos
uno de tal manera que cualquier solución general cuando cruce esto voy a
cruzar con esta podría dibujar todas las isoclinas que me den la gana hay
que dibujar aquí alguna más la dos, la tres, etc. en cualquier sitio voy
a intentar dibujar curvas que corten a las isoclinas con la pendiente de
esa isoclina esta sería la forma de hacerlo aproximadamente esto también
me la hace máxima es fabuloso entonces si yo me voy aquí hay este no sé
si tiene Word bueno, si tiene Word lo va a ver aquí ah, bueno es que no,
bueno, es igual bueno hay una hay un paquete ya sabéis que máxima pues
tiene unas cosas generales pero si quiero hacer cosas específicas pues hay
paquetes específicos por lo menos que en Azure hay uno que era para hallar
los autovalores entonces para hacer dibujos de cosas raceras diferenciales
hay un paquete que se llama pplotdf que es dibujar ecografías
diferenciales no plotdf entonces hay un en este paquete cuando yo le mando
a dibujar le pongo aquí la función me dibuja el mapa de isoclinas o sea
el mapa del campo y cuando yo le doy con el botón es que si si yo le doy
con el cursor en un punto pues ya me dibuja la trayectoria la solución que
pasa por ese punto y como veis cualquier solución pues cuando cruza una
isoclina de esto pues va siempre tangente al plano de este mapa de
pendientes oye Ángel perdón que te interrumpa esto de dibujar no
evidentemente no vale vale me había asustado no pero quiero decirte que es
entretenido lo entiendes mejor si no haces estas cosas cuando vas por la
pagina 7 cerra el libro pero hacer eso es engorroso te lleva tiempo bueno
pero para comprender el concepto de lo que son las isoclinas creo que con
el dibujito pues se entiende bien esta ecuación se puede resolver
explícitamente porque esto es una ecuación de variables separadas fijaros
que cogemos la x para allá perdón la diferencial de x para allá la y
para acá tenemos esta ecuación de variables separadas integramos los dos
miembros pues esto te queda que esto es un logaritmo neperiano esto es otro
logaritmo neperiano entonces hallando la exponencial de los dos miembros
aquí me vais a permitir que esto lo haga una vez un poquito despacio y ya
lo lo dejamos entendido para siempre cuando yo tengo quiero hallar la
exponencial esta el neperiano de una cantidad y uno partido por x aquí
más c esto es un truco es una cosa que en ecuación diferencial se hace
del tirón en mi experiencia mucha gente dice ahora lo he entendido es una
tontería esto es la exponencial de una suma sabéis que la exponencial de
una suma es el producto entonces esto sería como e elevado al neperiano
uno partido por x estoy escribiendo fatal con esto pero bueno uno partido
por x multiplicado por e a la c pero e a la c es una constante luego esto
sería una constante por e elevado al neperiano de uno partido por x que es
uno partido por x fijaros que cuando yo tengo esto y hago la exponencial de
este miembro y hago la exponencial de este miembro esto me queda que es la
raíz de y y esto me queda que es la constante por uno partido por x lo
veis el esto como aparece muchísimas veces en muchísimos problemas ya lo
haces del tirón sin nada no sé si lo veis esto sería e elevado a esta
cantidad que es raíz de x y e el exponencial de esta cantidad que es una
suma pero la exponencial de una suma es el producto de las exponenciales
entonces esto en realidad hay mucha gente le despista porque aparece c dice
coño esta c aquí te está sumando es que no es la misma c lo que pasa es
que por abuso y como te refieres a una constante la llamas con la misma
letra en mi experiencia mucha gente que esto lo he tenido despistado por
meses hasta que lo ha visto bueno hay en vuestro libro hay una cosa que
trata vamos a estar cinco minutos más y luego me despido de vosotros vale
en vuestro libro hay una cosa que trata que es el paso siguiente vosotros
habéis visto que cuando yo tengo una ecuación explícita de primer orden
es decir la derivada es una función de x e y pues la solución general es
una familia de curvas la he escrito aquí como gamma sub c el parámetro es
la constante esa la c que es la constante de integración y gamma es la
curva entonces hay un problema que me puedo plantear es decir si yo tengo
una familia de curvas es decir una ecuación implícita phi de x y c igual
a cero esto es una familia de curvas en que casos puedo hacer el paso al
lado inverso es decir saber de una familia de curvas cual es la ecuación
diferencial de la que proviene esto también aparece en algunos ejemplos y
en algún problema de los exámenes vamos de los que viene el resuelto no
veremos una circunstancia en la que nos es útil para entender algún
concepto interesante como por ejemplo donde falla el el teorema de
existencia unicidad fijaros que en este caso que vamos a ver ahora en este
caso que vamos a ver ahora vamos a tener una familia de curvas en la que
hay puntos en los que pasan dos curvas y hay ecuaciones diferenciales en
los que va a haber puntos en los que va a haber puntos singulares en los
que no se cumple el teorema de existencia unicidad fijaros que yo tengo
esta ecuación de aquí esta ecuación de aquí es una ecuación implícita
de una familia de curvas es y cuadrado igual a 2cx más c cuadrado según
muy variando el parámetro c que voy obteniendo por ejemplo que pasa cuando
c es 0 cuando c es 0 pues tengo y cuadrado es igual a 0 y cuadrado es igual
a 0 es y igual a 0 que sería el eje x quizás sería una de mis curvas que
pasa cuando c es 1 cuando c es 1 yo tengo que esto sería 2x más 1 y
cuadrado es igual a 2x más 1 eso que es eso es una parábola eso es una
parábola que sería una cosa así y si yo voy dando valores a c pues voy
obteniendo por ejemplo si c fuera 8 esto sería 16x más 64 y cuadrado
igual que serían parábolas puestas así luego al final yo voy a tener una
familia de parábolas unas que van para allá y otras que van para acá que
correspondería con este dibujito que más o menos tenemos aquí por
ejemplo aquí yo he escrito para c igual a c tengo una para c igual a 1
tengo otra parábola para c igual a 2 tengo otra parábola para c igual a
menos uno para c igual a menos dos etc luego esta ecuación de aquí sería
según voy variando el parámetro c yo voy obteniendo una familia de curvas
entonces yo me podría plantear que cuál es la ecuación diferencial que
tiene esta familia de curvas como familia sobre las soluciones generales de
acuerdo como depende de un parámetro pues en principio sería una
ecuación de primero de primero entonces bueno cuál es la forma de hacerlo
pues rápida porque se me acaba el tiempo derivo implicitamente la y
respecto de x la y cuadrado sería 2y prima es igual a 2c por lo cual tengo
que y por y prima es igual a c con lo cual eliminando en el sistema este de
aquí que sería la ecuación que me dan y la otra que es la que he
obtenido haciendo la derivada de la ecuación pues tendría que y cuadrado
es igual donde pone c pongo y por y prima tatatín y derivando respecto de
y pues tenemos que esta es la solución la ecuación diferencial de primer
grado que en este caso es implícita que yo podría despejar la y prima
como si una ecuación del segundo grado y tendría dos ecuaciones
tendríamos pin pin pin pin pin pin bueno voy a dejarlo aquí aquí tenéis
este es un documento un poco largo porque he escaneado todo el tirón en
mis notas las he escaneado todas del tirón os las voy a colocar todas del
tirón que se corresponde a la primera parte del libro en los temas uno y
por lo menos os lo voy a poner todo en las tutorías pues procuraremos por
tener algo escrito ahora como tenemos el lío este que no se puede escribir
para que lo puedan ver los que están en otro lado tenemos que poner eso
escrito y pues lo tendremos ahí puesto esto lo he grabado entonces voy a
cortar la grabación y cuando tenga la grabación puesta pues también la
tendréis en el curso virtual en la parte de la tutoría si queréis
cualquier sugerencia o cualquier cosa lo podéis poner en el chat en el
foro que hay de la tutoría poner cosas relacionadas con lo que hemos hecho
en la tutoría si queréis hacer preguntas generales podéis poner en el
foro general del curso virtual pero también me podéis escribir
particularmente en cualquier momento domingo, sábado, en vacaciones o
cuando queráis por ejemplo gente de álgebra que me escribe porque se va a
presentar en septiembre lo que sea voy a cortar la grabación y detener
detener la grabación