Bien, lo que tenéis en esta transparencia es la analogía entre el
movimiento circular uniforme y el más. Si vemos aquí, bueno voy a hacerlo
aquí, si tenemos una partícula dando vueltas, veis, me estáis viendo que
me dice que me salgo fuera, ¿estáis viendo circulitos dando vueltas?
¿Estáis viendo circulitos dando vueltas que estoy dibujando? Uno sí,
vamos a hacer una cosa. Vale, voy a poner eso en la pizarra y ahora vuelvo.
Vale, entonces ahora supongo que será bien si tengo una partícula dando
vueltas, ahora lo habéis visto, ¿no? Ahora se ve bien. Una partícula
dando vueltas, aquí tengo un sistema, vale, cuando sueltas el lápiz,
bien, X e Y, entonces en cualquier instante de tiempo, si este es el radio
R, pues resulta que la proyección de la partícula sobre el eje de las X,
hace un más, la proyección hace un más, aquí voy a pintar una flechita,
unas veces estoy aquí, otras veces estoy aquí. Esto es un más en el eje
de las X. Pero si proyecto en el eje de las Y, tengo un más en el eje de
las Y. Voy a coger otra flechita. Entonces tengo un más, una vez estoy por
arriba y otro es por abajo. Luego, de alguna manera, el movimiento circular
es una superposición de un movimiento armónico simple en el eje de las X
y un movimiento armónico simple en el eje de las Y. Voy a volver al
documento. Tengo un lápiz para construirlo desde cero. Vale, vuelvo al
documento. Pues esto es lo que hace esta transparencia. Si tienes que la X,
que es esta proyección, esta X, la tengo aquí, es R o M, coseno detecta.
Y si el movimiento circular es uniforme, el ángulo es la velocidad angular
por el tiempo más el desfasaje. Luego entonces, el movimiento circular
uniforme es el resultado de la superposición de un más que vibra en el
eje de las X y un más que vibra en el eje de las Y. Eso nos va a
introducir al concepto de vector giratorio. Aquí tenéis algunos
documentos en matemática. Matemática tiene un repositorio, podéis
descargar estos ficheros. Donde aquí tenéis un muelle oscilando
verticalmente o un pistón. Esto lo veremos en la clase 3. Que viene
dinámica del más. Y la dinámica, perdón, la cinemática, no la
dinámica, la cinemática de una masa M en un muelle vertical es
equivalente a un movimiento circular uniforme. El movimiento de un pistón
en un fluido, su cinemática es equivalente a un movimiento circular
uniforme con el concepto de vector giratorio. Entonces vamos a ver, esa
representación de vector giratorio nos lleva a la representación de
Fresnel y a los fasores. Entonces, en nomenclatura, a la representación de
un más mediante un vector giratorio cuya proyección sobre el eje X
coincide con la oscilación física, se llama representación de Fresnel de
un más. La representación de Fresnel indica la amplitud A constante del
más y su desfasaje inicial épsilon, lo que antes hemos llamado elta. Pero
no nos distingue. No dice nada de la frecuencia angular. Esa
representación de Fresnel, eso es un fasor. Entonces, un vector giratorio,
si esto está dando vueltas, como pone aquí el dibujo, un movimiento
circular uniforme, el vector giratorio está formado por la componente X de
T e Y de T. La X de T es un más horizontal, la Y de T es un más vertical.
Y aquí pongo más, X de T o Y de T. Y el vector giratorio está formado
por los dos. En cambio, el fasor... Sería toda la parte del vector
giratorio que no tiene el tiempo. Es decir, las condiciones iniciales. Veis
que aquí yo tengo una amplitud y un desfasaje. El fasor estaría formado
por la amplitud y el desfasaje inicial. De forma que yo puedo escribir el
más como un fasor compuesto, muchas veces será el producto, con una
exponencial compleja. Esta expresión de la exponencial compleja lo voy a
poder hacer siempre mediante la relación de Euler que en palabras de
Feynman, me imagino que conocéis a Feynman, es la forma más notable de
todas las matemáticas. Para Feynman, así lo dice en uno de sus libros,
sobre la relación de Euler. Lo que relaciona el más con los fasores va a
ser la relación de Euler, simbólicamente escrito así. ¿Se entiende lo
que es un fasor? Sería la parte de un vector giratorio que no depende del
tiempo, la que no depende de omega t, es la amplitud y la fase inicial.
Entonces recordar que la relación de Euler, aquí está la referencia en
el libro de volumen 1 capítulo 22 de las lecturas de Feynman, pues la
relación de Euler elevado y tecta no deja de ser extraña. La función
exponencial. La función exponencial con el argumento complejo, bueno, y en
muchos libros y es la unidad imaginaria, y cuadrado es menos uno, en el
French y en otros libros es jota. Yo a veces pongo y y a veces jota, jota
cuadrado menos uno. Pues la relación de Euler es elevado y tecta es coseno
de tecta más y seno de tecta, esa es la relación de Euler, que es la que
va a permitir construir el más con fasores. Vale, aquí voy rápido,
habéis visto en otras asignaturas fasores, ¿no? El álgebra de fasores.
Que elevado y cero es uno, ¿no? Vale, pues vamos a verlo. ¿Seguro? Vale.
Cuando represento la relación de Euler, a la relación de Euler le puedo
dar un carácter vectorial, que es e elevado a i cero. e elevado a i cero
es coseno de cero más i seno de cero, coseno de cero es uno. Sería este
vector en el eje de las X. E elevado a pi cuartos lo represento por este
vector. Es un vector que forma, en el sentido positivo de girar los
ángulos, que es contrario a las agujas del reloj, forma pi cuartos. ¿Qué
es e elevado a pi medios? E elevado a i pi medios es coseno de pi medios
más i seno de pi medios. Coseno de pi medios es cero y seno de pi medios
es i. Este vector es la representación vectorial del número complejo i. E
elevado a i pi sería este fasor y veis cómo vamos dando vueltas, ¿no?
Luego eso básicamente es lo que los matemáticos llaman un isomorfismo
entre el plano complejo y R2. Estos números complejos tienen un carácter,
una representación vectorial. Es decir, isomorfismo entre el plano de los
complejos y R2. Y eso se puede justificar a través de la relación de
Euler. ¿Vale? Pues en la representación de fasores yo tengo un vector A
de módulo A, de coordenadas X, Y donde X es coseno de tecta y es seno de
tecta y el tecta era omega T más epsilon omega T más epsilon ¿Dónde
tengo el más? En la X de Euler. Ahí de T, la representación de Fresnel,
el eje de las X es el más. A coseno de omega T más un desfasaje. Entonces
es muy importante que imaginemos el más como un vector, lo veis aquí,
como un vector de dos cabezas. El más es algo que vibra. ¿Qué significa
vibrar o oscilar? Que unas veces estoy a la derecha y otras veces estoy a
la izquierda. Derecha, izquierda, derecha, izquierda. Luego entonces el
más... Es como un vector con dos cabezas. Bien, entonces, en la
representación de Fresnel o de fasores, me voy a fijar en el vector A de
módulo A, coseno del desfasaje inicial, seno del desfasaje inicial. Eso es
lo mismo, este vector, este fasor, es lo mismo que la representación en
fasores de números para corriente alterna. Cuando ponemos una intensidad
como un módulo por un desfasaje, ¿habéis hecho circuitos de alterna?
¿Habéis usado números complejos en alterna? Todavía no, ¿vale? Pues
cuando veáis teoría de circuitos, veréis la representación de los
complejos para circuitos. Bien, y esos son fasores. Entonces, ¿cómo puedo
tener yo todo el vector que sé que depende del tiempo y de la frecuencia?
Muy fácil. El vector A giratorio será la exponencial. La exponencial que
depende del tiempo por el fasor. El fasor, que es esto, no depende del
tiempo. Es un módulo por una exponencial J por E. ¿Por qué? Porque J
elevado a J omega T por elevado a J E es elevado a J factor común de omega
T más E. Y luego, ¿cómo obtienes el más en el eje de las X? Como la
parte real de todo el vector giratorio. La parte real del vector giratorio
es la parte real que te va a quedar la proyección en el vector giratorio.
El eje de las X. ¿Preguntas? Idea de fasor, la parte del vector giratorio
que no depende del tiempo. Es la amplitud y el desfasaje inicial. Entonces,
la idea de los fasores para el cálculo es muy buena porque trabajas con
ellos sin la dependencia en la frecuencia y al final lo multiplicas por el
resultado por la dependencia en la frecuencia. Esa es la idea. ¿Vale? Pues
aquí tenéis... Una segunda manera, que es trabajar con los fasores
directamente con números complejos. La relación de Euler sigue siendo
esta, pero un número complejo, una función compleja del tiempo, será un
módulo por e elevado a i tecta t, donde el ángulo tecta t es omega t más
delta, me queda módulo por e elevado a i delta por e elevado a i omega sub
cero t. Luego yo siempre podré tener el más, que era a coseno de omega
cero t más delta, será la parte real de esta función compleja. Entonces
podemos trabajar o directamente con números complejos o con fasores. Estas
notas yo creo que se pueden seguir, en final llevamos ya y media, ya no nos
había que acabar. Bien, pues aquí tenéis algebra de fasores, esto es
trabajar, son matemáticas, y sí que es importante ver que cuando...
Cuando yo hago la derivada respecto del tiempo del fasor multiplicado por
la exponencial, derivar respecto al tiempo, al final el tiempo solo está
aquí, y derivar la exponencial es bajar i w cero. Luego derivar respecto
al tiempo con fasores es coger el fasor que tenías y multiplicarlo por i
frecuencia. Integrar diferencial de t un fasor es equivalente a coger el
fasor que tenías y dividirlo por i omega cero. Integrar es dividir por i
omega cero, derivar es multiplicar por la unidad de imaginaria omega cero.
Y eso simplifica el uso de las matemáticas en estos cálculos, al algebra,
al algebra de cálculo mezclado. Bien, para que veáis un ejemplo de que
esto de los fasores no es solo matemática y que no tiene nada que ver con
el mundo real, me he cogido un ejemplo que es de trifásica. ¿Qué es la
luz trifásica? ¿Qué es la luz que tenemos que nos llega a casa? Un
sistema trifásico es un sistema de producción y distribución de consumo
de energía eléctrica formado por tres corrientes alternas monofásicas.
Aquí veis que tengo V1, V2 y V3. Estos son tres generadores de alternas
monofásicos. V1 da la intensidad de I1, V2 la intensidad de V2 y V3 la
intensidad de I3. Este circuito es muy sencillo. ¿Qué hace cada uno de
los generadores? Alimentar con I1 una resistencia que he llamado R1, el I2
que viene del generador 2 alimenta una resistencia R2, el I3 que viene del
generador 3 alimenta una resistencia I3. Estas tres resistencias se unen en
una sola y es la corriente de retorno. Bien, pues ¿por qué se inventa la
trifásica? Te la inventó este señor. ¿Cómo se llama? El último de los
magos y el primero de los científicos. El inventor de las alternas, se me
ha ido el nombre, seguro que lo sabéis. Tesla. Tesla fue el que inventó
esto. Pues si pones el generador 1, V0 coseno, el siguiente, el 2,
desfasado 120 y el tercero desfasado 120, aquí tenéis la representación,
el generador 1, el 2 y el 3. Con esta... Este desfasado y esta diferencia
de fase constante de 120 grados, la intensidad de retorno es 0. ¿Y por
qué quiero que la intensidad de retorno sea 0? Ideal. En el mundo real,
pequeña. Porque si la intensidad de vuelta es nula o muy pequeña, dejas
de perder pasta. Esa intensidad no se calienta por conductores con efecto
Joule porque es muy pequeña y pues dejas de perder pasta. Es el sistema
más rentable. La trifásica se usa para minimizar la corriente de retorno
después de alimentar... Pues aquí están las casas. En este modelo. Aquí
tenéis las cuentas. Es la ideón, igual a v sub 1 partido de r1, y 2, y 2,
v2 partido de r2, y 3, vr3, tomo las tres rs iguales, para hacer más
sencillo lo que quiero ver, entonces la i sub 1 sería por la ideón v sub
0 r esta exponencial, la i sub 2 esta, esta, y la i de retorno, que es la
suma de las tres, es este factor común de esta cantidad que es cero. Hemos
probado que con ese desfasaje de 120 grados, la intensidad de retorno es
cero. ¿Preguntas? ¿Con dos fases? A lo mejor matemáticamente sí, pero
esto ya es ingeniería eléctrica, supongo que tendrá algún rendimiento
espectacular el hacerlo con tres. Mira, mañana a un compañero que tenga
que hacer ingeniería eléctrica se lo preguntaré. ¿Vale? Puedes poner
con 6 con 12, claro, una vez que no sabemos el truqui, aquí puedes poner
todas las que te dé la gana para que la intensidad sea cero. Pero tiene
que haber alguna... Tiene que haber una razón práctica de que sean tres.
Claro, al final esas líneas se tienen que trasladar muy lejos. ¿Vale? Un
cable por cada frase, correcto. Trifásica. Aquí lo veis los tres cables,
¿no? Un ejemplo interesante y relacionado, este ejemplo me gustó mucho
porque relaciona una cosa que parece que son matemáticas y a qué le
interesa, pues con lo que nos da de comer todos los días. Seguimos,
observaciones, se entiende, ¿no? Por ejemplo, cuantas más fases, más
coste de instalación y más cables. Tienes un cable por fase, más jaleo
al distribuir la corriente. Con dos no lo sé, habría que hacer los
números. Pero está claro que se pueden con más de tres, a lo mejor tres
es el mínimo, habría que ver si es dos, no lo sé. Interesante vuestras
preguntas para pensar, pero bueno, pensar que estamos en oscilaciones,
¿no? Era solamente intentar relacionar fasores con corriente trifásica.
Muy sencillito. Yo ya no he visto circuitos. Seguimos, ¿no? Y tampoco yo
sé de esto, yo soy físico-teórico, o sea, no... Pues un poquito.
Seguimos. Vale, pues aquí tenéis una serie de problemas resueltos del
French. Son álgebra de fasores, mirarlos. ¿Se usan más fases en
rectificadores? No lo sé, Amadeus. En rectificador, ese tipo, casi esa
electrónica de potencia, no lo sé. Estaba diciendo que en el French,
estos problemas son problemas propuestos en el French y resueltos por mí.
Echarles un vistazo y en la próxima tutoría me decís si no entendéis
algo. Estos son solo matemáticas. Propuestos en el French. Os lo tenéis
que hacer con los fasores porque todo esto durante el curso os volverá a
aparecer, os aparecerá. Os aparecerán interferencias y os aparecerá en
difracción. Bien, pues estas son las matemáticas de la física que parte
de la física que se desarrollará posteriormente. Tenéis cinco problemas
resueltos con detalle. Vale, aquí tenéis, os lo voy a hacer un
comentario, aquí tenéis un problema divertido. Es un problema en el
French que lo he modificado. El French es un libro de un programa innovador
en enseñanza de la física en el MIT. El Instituto Tecnológico de
Massachusetts, pero es un libro de los años setenta, ¿no? Entonces, pues
yo lo he modificado a estaría usted dispuesto a pagar doscientos euros por
un objeto que ha sido valorado por un matemático con un valor de i elevado
a i euros. Problema seis, bueno, porque ¿de qué trata esto? Trata de ver
i elevado a i cuántos euros son y comparar con doscientos. Vale, pues i
elevado a i es i elevado a e elevado a i pi medios, i es e elevado a i pi
medios elevado a i pi medios, es igual a e elevado a i pi medios por e
elevado a i pi medios, y aquí os pone que i pi medios por e elevado a i pi
medios es menos pi medios. Luego, i elevado a i es e elevado a menos pi
medios, que es aproximadamente 0.21. Claro, luego se trata de pagar 200
euros por un objeto cuyos valores son 0.21 euros. La contestación que
esperaba el French es que dijeras que no. ¿Quién va a pagar algo, 200
euros, por algo que vale 0.21 euros? Pero en el mundo real depende de
quién es usted o para quién trabaja usted. Entonces, claro, en una
economía planificada socialcomunista, pues a lo mejor sí que interesa
pagar 0.21 euros por algo que vale 200, o vaya usted a saber. Lo que quiero
decir es que este tipo de preguntas, que parece que son muy importantes,
que son ya de sociología, usando la broma de resolver este problema
propuesto en el French, me introduce en un cambio de paradigma que ha
habido en física, que es desde principios de este siglo, la física aborda
la solución de problemas complejos en ciencias sociales y en economía.
Entonces, las palabras mágicas son sociofísica y econofísica.
¿Conocéis esa nueva rama de la física? ¿Os suena? Sociofísica y
econofísica. Serían sociofísica, econofísica y redes complejas. Y en
otros sitios hay un máster. Bien, pues entonces ese tipo de preguntas que
en los años 60 era una broma, hoy en día la física las contesta. Y
posiblemente bastante mejor que los sociólogos y los economistas. Entonces
aquí he puesto unas transparencias, le echéis un vistazo a los primeros
congresos que hubo de sociofísica y econofísica, 2008 en Italia. Algunos
artículos asociados a Serge Galan, que es digamos el creador de la
sociofísica. La sociofísica lo que hace es coger fenómenos que
básicamente vienen de estado sólido, de fenomenología física que
adopta, esto simula un problema en ciencias sociales. Por ejemplo, la
física de la percolación, no voy a entrar en eso, se aplica en problemas
de análisis de terrorismo. Eso lo ha hecho Serge Galan. Aquí hay varios
artículos y daros cuenta, por ejemplo, Global Physics from Percolación to
Terrorism, Guerrilla Warfare and Clandestine Activities, con física. Pero
este, por ejemplo, es el ataque del 11 de septiembre, una percolación de
soportadores pasivos individuales. Y de soportes pasivos individuales del
terrorismo. Entonces, la ciencia es lo que publican los científicos en
revistas bajo pares, con revisión, pues aquí tenéis los artículos. Y la
diferencia entre sociofísica y sociodinámica, la sociodinámica viene
más del mundo alemán, de la física teórica alemana. La sociodinámica
es mecánica estadística con un tubo expresiones de la mecánica
estadística con su teoría aplicada a resolver problemas sociológicos. Y
la sociofísica de Galan es, pues cojo el modelo de perpendicularidad. Y
investigo con simulaciones numéricas si ese modelo me reproduce algo que
pueda experimentar en el análisis del comportamiento social. Por cierto,
que todo esto tiene un nuevo origen. Yo soy un fan de la ciencia ficción.
A ver si os lo sabéis. ¿A qué os suena en ciencia ficción? Predecir con
ecuaciones físicas el comportamiento estadístico de grupos de humanos.
¿Cuál es la gran diferencia? Es una novela de ciencia ficción ya
antigua. ¿Qué trata de eso? ¿Alguien se la sabe? Pista, autor Asimov. La
fundación de Asimov, perfecto. Desde mi punto de vista llevamos 15 años
con el comienzo de esa ciencia que inventó Asimov, que era la fundación.
Pues eso, llamarle sociofísica, econofísica, redes complejas. Sois
jóvenes, pues ahí tenéis un campo interesante. Entonces, algunos en el
ADER, por ejemplo, los creadores de redes complejas es este señor, que es
de matemática aplicada, y este señor, que es físico y sociólogo. Los
libros de texto fundamentales, este es el libro sacado de su tesis, y los
libros de divulgación. Yo creo que uno de los libros de ciencia más
importantes de divulgación, que se han publicado en el siglo XXI, es el de
Duncan Badd, Six Degrees. Pues ahí, el que quiera, que tire para adelante.
Bueno, pues aquí, redes complejas. Y aquí un libro que recomiendo
profundamente a traducción en español. Esta es la versión en inglés, la
traducción en español es cuando los físicos se saltan los mercados. Este
es el autor, que es un señor que es matemático y filósofo, y es
profundamente recomendable. Básicamente, lo que hay en este libro, entre
otras cosas, es cómo se redescubren los sistemas dinámicos en física y
en economía en los años 70 por una pandilla de inadaptados en la zona
cercana a Las Vegas. Incluso hay una película asociada a esa pandilla que
hoy en día son respetables físicos. Pues, un libro bien de leer de
verano. Y esta gente empezó a apostar contra el azar en los casinos de Las
Vegas, ¿no? Intentaban modelar el sistema dinámico de las ruedas. Bueno,
en fin, no os adelanto. Vamos adelante. Muy bien Jotanito Jotanito ha
escrito más, más que no sé si quería escribir otra cosa Bueno,
seguimos, ¿eh? Aquí tengo información de divertimento pero, ojo que un
nuevo campo Este es el fondo que dirige este profesor un antiguo profesor
del MIG de su aporte a la ciencia, fue una álgebra muy rara pero que
explica bien cosas de teoría cuántica de campos y cuando se jubiló se
dedicó a la economía en su empresa sólo admite físicos y matemáticos
al nivel de decisiones y es el único fondo que nunca ha tenido pérdidas
Un misterio, de hecho este señor dice que su empresa es el mejor
departamento de física teórica del mundo Pues podéis seguir la pista de
estos señores Vale, pues regresamos a las oscilaciones Bien Pues dice usar
la notación fasorial para obtener la amplitud de la suma y la fase de dos
más dados Vamos a hacer este, tengo dos más X 10 centímetros por coseno
de omega t más 17 centímetros por seno de omega t Pues ahora yo quiero la
amplitud de esta suma Bien, pues ¿qué voy a hacer? Lo primero que hago es
darme cuenta de que esto es seno y yo sé sumar en la base donde coseno que
es como he definido un más Por lo tanto voy a poner el seno como un coseno
El seno de omega t es coseno de omega t menos pi medios Entonces puedo usar
o fasores o complejos Voy a usar complejos Este, esta señal estará
asociada a un número complejo z1 Esta señal estará asociada a un número
complejo z2 El número z1 es módulo por exponencial, el z2 módulo por
exponencial. Luego me quedará módulo de 1 por elevado a i omega t y el
segundo será módulo de 2 y esto que es elevado a i omega t menos pi
medios. Luego z será z1 más z2 por elevado a menos pi medio i, veis aquí
los fasores donde le hemos quitado la dependencia en el tiempo. Al final
los fasores si lo haces con complejos te aparecen. Entonces de este z,
¿cómo definiré yo un número complejo? Como su módulo, suma de
módulos, aquí tengo y este z es un complejo que tiene un vector asociado
en el plano que lo sacaré como tangente de phi. Tangente de phi será el
módulo de z2 partido z1, veis que aquí tengo z1 y aquí tengo z2 pues
esta tangente de phi es z2 partido z1. La arcotangente es... 1,04 radianes,
pues ya he sacado mi vector suma. El vector suma es un vector en el plano
que tiene este módulo y cuyo en grados, cuyo ángulo sería 59,6 grados,
aquí lo tengo. ¿Preguntas? Aquí lo hemos hecho. Yo creo, Amadeo, que no.
Yo creo que el seno de omega t, si pones seno de omega t positivo, es
coseno de omega t menos pi medios. No coseno de omega t más pi medios.
Creo, ¿eh? Me parece. No hay posibilidad de los signos. Donde estamos
tomando un origen de... Siempre el origen de... Yo de memoria no me lo sé
ahora mismo. No. Pero pensar que el ángulo solo puede ser contrario a las
agujas del reloj. El ángulo tiene sentido, no vale tirar por la izquierda
y tirar por la derecha. Una vez que fijas la orientación del ángulo, el
ángulo siempre es el ángulo que forma el vector con el eje de las X. Del
eje de las X al vector. De hecho este ángulo sería así. A ver si lo
pinto. En el referencial es como moverse, el ángulo sería este, el
grande. Vamos a que calculamos aquí porque es más sencillo. Pero vamos,
yo creo que es seno de omega t con seno de omega t menos pi medios. Vale, y
además con la fórmula del vector también se podría sacar, sí, tenéis
razón. Vale, está claro que solo puede ser menos, menos pi medios,
correcto. Vale, pues seguimos, ¿no? Bien, aquí hay más de estos. Todas
esas relaciones trigonométricas, como acabo de poner a plajarlo, pues hay
que tenerlas en cuenta. En cualquier momento nos puede hacer falta, por eso
antes lo puse. La transparencia, consultad en la Wikipedia. Bien, este es
otro problema del French, el 1-12, pero vamos a, de este tipo. Y ahora
vamos a la tercera parte de la tutoría que es importante, miradla como
estamos ya. Que es la superposición de vibraciones. Nos vamos a hacer la
siguiente pregunta. ¿Es la superposición de vibraciones paralelas un
más? Es decir, si yo tengo un más que es una vibración en el eje de las
X. Y tengo otro más que es otra vibración en el eje de las X, eso
significa paralelas. O las dos en el eje de las X, o las dos en el eje Y.
¿Es la suma un más? Y segunda pregunta, si tengo un más en el eje de las
X y un más en el eje de las Y. ¿Su suma es otro más? ¿Qué pensáis?
¿Qué os dice la intuición? Estos son matemáticas, pero pensad en
términos físicos. ¿Qué cosas físicas son más? Y esos términos
físicos que son más, cuando se suman, cuando se superponen, dan otro
más. Solo con la misma frecuencia, sí y no, algo más intuitivo, más
física. ¿El primero se puede anular? Sí se puede anular. Dime un ejemplo
físico, a de sola, de que sumes dos más, ejemplo físico, y su suma no de
otro más, de cero. Un ejemplo mecánico. ¿De acuerdo? Vamos cerca.
Destrucción. Básicamente el ejemplo que espera que me dijera es sencillo,
ondas de sonido, sonido más sonido puede dar o intensidad de sonido o
ausencia de sonido. Por lo tanto, la contestación es depende. Más con
más, a veces sí, a veces no, depende. Vamos a ver cuándo. Quiere decir
que esto no solo son matemáticas, sonido más sonido puede no dar nada,
luz más luz, interferencia, puede no dar nada. Luego la superposición de
vibraciones que vamos a ver ahora será el fundamento de lo que luego
veréis cuando veáis ondas, la parte de interferencia de ondas. Bien, que
veáis que no solo son matemáticas. Bien, pues entonces... Un más, el
más uno es esto. Entonces voy a empezar superposición de vibraciones
paralelas de igual frecuencia. El más uno es esto, el más dos es esto,
¿vale? Hago la pregunta, ¿la suma de dos más es otro más? Si la suma de
más uno y más dos es otro más, es que aquí habrá una vibración con
una amplitud A... coseno de omega t más phi, en todos estoy poniendo omega
porque es la misma, pero yo debo ser capaz de dar la a del más superpuesto
y la phi del más superpuesto en función de a1, phi1, a2, phi2. Vamos a
ver si eso se puede hacer. La contestación es que sí, aquí tenéis el
desarrollo matemático, o bien aplicando el teorema del seno y el coseno a
fasores, en esta construcción, yo puedo asociar aquí un vector a sub 1,
aquí un vector a sub 2, a sub 1, a sub 2, su representación en números
complejos. Aquí quiero ir rápido y el resultado es que sí. Aquí tenéis
unas expresiones donde la a resultante vale a1 cuadrado más a2 cuadrado
más a2 coseno de delta, donde delta es phi2 menos phi1, phi2 menos phi1 de
fasaje, y beta es el ángulo que forma el vector suma superposición, beta
es este ángulo de aquí, el vector suma superposición, y el vector que
forma la superposición con el vector 1, beta es phi menos phi1 y obedece a
esa relación. Lo tenéis demostrado con fasores en la siguiente
transparencia, esa igualdad en rojo, aquí lo tenéis demostrado, teorema
aquí debería de poner del coseno, no sé por qué esto no sale, aplicando
aquí el teorema del coseno y el teorema del seno obtenemos esta relación,
o mucho más elegante con números complejos. Aquí lo tenéis hecho con
números complejos, donde al final no salen los fasores, no sale la parte
del fasor y la parte que depende del tiempo, lo que no depende del tiempo,
la exponencia que no depende del tiempo es el fasor, y me da las mismas
expresiones que sacaríamos Con la trigonometría, el teorema de seno y
coseno. Lo otro es geometría y esto es variable compleja. Las mismas
expresiones, ya que ya una expresión para la tangente de beta. Que es
conocer el más. Vale, pues a partir de aquí se cumple esto, vamos a ver
casos particulares. Entonces vamos a suponer superposición de vibraciones
de igual frecuencia y de igual amplitud. Ahora, a sub 1 es a, a sub 2 es a.
Entonces el más tendrá un a que he llamado a barra. Con las fórmulas
anteriores, si ponéis en las fórmulas anteriores a1 igual a a2 igual a a.
Y la a barra de la superposición, el más es a coseno. Es 2a coseno de
delta medios, donde delta era fi2 menos fi1, que era un desfasaje. Luego
esta expresión que tenéis aquí, es la expresión del más. Obtenido
cuando sumamos dos vibraciones paralelas de igual frecuencia. Y observamos
dos casos importantes. Mirar este coseno. Es decir, lo que hemos obtenido
es que la amplitud del más depende del desfasaje y multiplica a un coseno.
Es una amplitud que depende de la diferencia de fi1 y fi2 de los dos mases.
Pues cuando este delta, que es fi2 menos fi1, es 2pi n, la amplitud se
refuerza y decimos que las vibraciones están en fase. Cuando la amplitud
es 2pi n, la amplitud se refuerza. Es 2n más 1pi, número impar, para n
igual a 0, pues esto sería 1, 3, impares de pi. La vibración se dice que
está en una posición de fase y el coseno se hace 0. Luego, si el coseno
se hace 0, no tienes amplitud, no tienes más. Esos serían los casos
particulares de destrucción de ondas que hemos visto antes. Luz más luz
no daría luz, sonido más sonido no daría sonido. Cuando sumes dos
vibraciones, las ondas de sonido son ondas de presión longitudinales,
vibran de forma paralela, pues en esos casos tendrías en oposición de
fase, que es que el desfasaje vale eso, tendrías destrucción de la
superposición y más uno más más dos no te daría más. Preguntas,
observaciones, ¿vale? Vale, pues una forma de verlo bien, si tenéis
matemática o un sistema de cálculo simbólico, os lo programáis, he
llamado función x suma a sumar a pelo. Aquí tengo x1, x2, lo sumo a pelo
y veo que me representa un más, ¿lo veis? Este x suma lo he sacado con la
fórmula de la superposición y lo podría comparar con la suma, digamos, a
pelo. Sumando las dos señales yo obtendría esto. Vale, entonces aquí
tenéis un buen ejemplo de por qué me gusta a mí usar matemática y es
por la posibilidad de usar una de las posibilidades de la función
manipulé. Daros cuenta que cuando yo tengo aquí más uno y más dos, más
uno lo tengo aquí y la suma es una función de cinco parámetros, de la
amplitud, del tiempo, de la frecuencia, de phi1 y phi2. Y yo como mucho
puedo hacer diagramas de tres. En tres dimensiones. Pero manipulé, ¿veis?
Manipulé, la función manipulé en este caso de un plot, cuando genera
manipulé matemática te crea un interfaz gráfico. Donde todo lo que
varía, dejo el tiempo para el plot. Y la a, w, fi1 y fi2 son parámetros
que puedo variar sus valores entre los valores que indico aquí. Entonces,
lo que pongo aquí en el código, que la amplitud valga 1 y varíe entre 0
y 10, él crea una cajita donde dándole al botón varía la amplitud. Te
genera el plot para estos 4 valores y moviendo aquí esos cuadritos, pues
vas obteniendo diferentes más y aquí podrías ver, por ejemplo, el efecto
de la destrucción cuando la amplitud es la misma y el fi2 menos fi1 está
en oposición de fases. El uso del manipulate, este ejemplo, si os metéis
en la nube lo podéis programar y comprobar lo divertido que es usar el
manipulate. Vale, pues, dejo esto y seguimos. Bien, otro caso particular.
Es la superposición de vibraciones paralelas de diferente amplitud e igual
frecuencia. Entonces, la fórmula total la tenéis aquí. Esta es el más
con la amplitud y la parte de la dependencia en el tiempo. Daros cuenta que
ahora más y más siempre va a dar más porque esto no va a anular nunca la
amplitud. Aunque el coseno se haga cero, pues tendrá la cantidad más
pequeña. Pero aquí siempre tienes una amplitud que no es cero. Entonces,
cuando superpones vibraciones de diferente amplitud e igual frecuencia, la
suma siempre va a estar definida y no va a dar cero. El caso máximo, las
dos vibraciones se encuentran en fase, cuando el coseno de esto sea 1.
Cuando el caso más pequeño, cuando el coseno... Sea el de pi medios que
da cero, entonces se dice que las dos vibraciones están en cuadratura y si
es pi o posición de fase. El valor mínimo. Esos tres casos. ¿Preguntas?
¿Se ve aquí que la amplitud siempre no va a dar nunca cero? A ver, ¿qué
habéis dicho? Vale, muy bien. Pues seguimos. Bien, pues aquí ejemplos con
manipulate de estos. Este código pues lo podéis llevar para jugar con
matemáticas si queréis. En la nube. Al que no le guste matemática, pues
le recomiendo simulaciones en Java del curso de física del profesor Franco
de superposición. Aquí tenéis los enlaces. Aquí tenemos varios ejemplos
de estos que los tenéis resueltos de superposición de vibraciones, pero
hoy un poquito rápido porque estamos casi a las nueve. Y os digo lo que
queda. Le echáis un vistazo y el martes que viene, que será la siguiente
tutoría. Si alguno de estos ejemplos... Si alguno de estos ejercicios o
durante el curso no salen, pues me lo decís. Esto vuelve a ser sumar
vibraciones. Sumar fasores. Y eso que son dos horas, pero es imposible
todos los años. Digo, pues debería ponerme los transparencias, pero
bueno. Yo creo que tenéis un material para trabajar durante el curso.
Estamos en el segundo día de clase. Los problemas resueltos del profesor
de la cd central. Es que quiero llegar a una cosa muy importante que son
los batidos. Vamos a ver. Bien, pues ahora vamos a ver. Subir tus... ¿Sí?
Se puede escalar... Sí, lo que os daré será todo el documento que
estáis viendo ahora es el que os subiré. Que tiene toda la información
mañana. Este pdf lo subiré. Vale. Con todos los problemas resueltos,
claro. Entonces, el caso final es la superposición de vibraciones
paralelas de diferente amplitud y diferente frecuencia. Aquí el caso es
dramático. Si sumas diferente amplitud omega 1 y omega 2, la contestación
es que nunca es sumo más. Y más a más, solo si la frecuencia omega 2 y
la frecuencia 1 subcociente es racional, eso se llama frecuencias
conmensurales, hay que dar cuenta de cómo se mete la matemática con la
física. Solo cuando este cociente de frecuencias sea racional, tres
cuartos, cuatro quintos, el movimiento es periódico. No es un más, sería
periódico. En cambio, si el cociente de frecuencias es irracional, 2,3743
o raíz de 2. El 2, no es un más y la vibración ni tan siquiera es
periódica. ¿Qué cosas? Y aquí tenéis algunas simulaciones con
manipulate. Esta sería no periódica y no es un más. Aquí como es cuatro
tercios, para estos valores de cuatro tercios, la señal no es un más, se
ve que no es un más, pero es periódica. Ahí podéis encontrar un
periodo, ahí no hay periodo. Bien. Bien, pues un caso muy particular de
superposición con muchísima física es el concepto de batido, pulsaciones
o batidos. Un batido es el resultado de la superposición de dos señales
con igual amplitud, diferente frecuencia, pero muy cercana. Las amplitudes
son iguales, las frecuencias diferentes, pero muy cercanas. Entonces, con
la fórmula imponiendo eso, nos queda una amplitud que es un más. Esta
amplitud es un más. Y la parte del más, la dependencia en el tiempo que
no es de la amplitud, va como la semisuma de las frecuencias. Entonces
aquí lo que tenemos serían tres cosas. Tenemos la amplitud, que oscila
como un más, que son la línea esta negra, la envolvente o la azul. Lo que
está dentro del coseno, que depende del tiempo, que son las señales
rojas, lo que aquí llama el más modulado, es lo rojo, el más modulador
es la amplitud, que es como un más. Y tenemos el periodo de la amplitud,
el periodo del más modulado y el periodo, es importante, de la pulsación
o batido, que el periodo de la pulsación o batido veremos que es esto.
Luego en este problema hay tres periodos a distinguir muy claros. En la
siguiente transparencia... Bueno, aquí lo vamos a ver mejor. Entonces, el
más modulador es la amplitud de la superposición, el más modulado en
rojo vibra muchas más veces y el pulso, el batido, tiene esta mitad del
periodo. Daros cuenta que el más modulador tiene máximos y mínimos y el
periodo del batido solo son entre dos máximos del más modulador. Vamos a
intentar justificar por qué. Esto además en el frame está mal, el frame
lo justifica con una gráfica que supone obtener un experimento y yo creo
que esa gráfica está mal. Entonces, bueno, lo que tengo es esa
superposición de... ¿Sí? Sí. Dice a todas que si esto es batido o
pulsaciones salen las modulaciones en comunicaciones correctas. ¿Por qué?
Porque daros cuenta que la importancia de un pulso o un batido, se ve en la
figura, es que es la única forma de comunicar información. Porque aquí
tiene los puntos y seguidos. ¿Por qué? Un más es continuo. Si tú usas
un más, no puede transmitir información. Y para afinar instrumentos
musicales, correcto, porque tiene puntos. ¿Ve? Fin de comunicación, sigo
comunicación. Groso modo, ¿eh? Vale, entonces, a ver si en la siguiente
transparencia lo tenemos bien hecho. Creo que aquí está mejor explicado.
Aquí se ve que el más modulador, que tiene máximos y mínimos, su
periodo es 2pi partido de la frecuencia. Daros cuenta que en la amplitud la
frecuencia es esta. Luego el periodo, claramente, el periodo es 2pi partido
de la frecuencia. En el modulado, que es la parte esta, la frecuencia es la
semisuma. Omega 1 partido de omega 2 partido por 2. Por lo tanto, el
periodo del más modulado es 2pi partido por esto. Pero el periodo del
batido es la mitad de esto. Y la forma de explicarlo es que el batido solo
recoge la parte positiva. El modulado coge positivo y negativo. Luego,
realmente, el modulado va como el periodo. ¿Ve? Mirad, esto es coseno, que
tiene valores positivos y negativos. Pues el modulado va como el módulo
del coseno. Y el periodo del módulo del coseno es el periodo del coseno
partido por 2. Esa es la razón matemática, ¿se entiende? Por eso el
periodo del batido es la mitad del periodo del más modulador. Porque no me
interesa de la función no el coseno, sino el módulo del coseno. ¿Veis
que lo pongo aquí? El módulo del coseno. Por eso en la música tú no...
No detectas la amplitud, detectas la intensidad del sonido, que va como el
módulo de la amplitud. Ojo que esto es importante y hasta donde yo veo en
el frame no está bien explicado. No da ninguna razón matemática y hace
una especie de composición experimental con una gráfica que yo creo que
hay una rata en la gráfica histórica, por lo menos en la versión que yo
tengo del libro que ya sentí. Luego, en un periodo y en un batido hay que
tener tres periodos claros. El periodo del más modulador, el periodo del
más modulado y el periodo del batido, que es la física que se está
transmitiendo ahí. Cuando veáis las notas, bueno, más una simulación en
Java del profesor Franco, problemas de vibraciones, de vibraciones no, de
batidos, con sus representaciones gráficas y con el uso de matemática,
por si queréis simularlo. Y que haya para casi acabar el concepto de
superposición de n vibraciones. Lo que hemos visto antes tiene que ver con
las interferencias, esto va a tener que ver con la difracción. Entonces,
si lo que tenemos son n focos, superposición de n más, n focos de
oscilación, donde todos vivan con la misma frecuencia y amplitud, pero con
una diferencia de fase constante entre ellos. Este tiene delta cero, este
tiene delta, este tiene dos delta. Si hacemos la representación vectorial,
este es el vector suma, x de t es la amplitud por la suma de todos los
mases, y las matemáticas te permiten poner esta x total como la suma de n
vibraciones paralelas, como una amplitud. Una amplitud por un coseno. Si
representamos esta función, es el patrón típico de las interferencias,
que a lo mejor visteis en bachillerato. Aquí tenéis el patrón de las
interferencias. ¿Veis la interferencia, el patrón? Pues las
interferencias de ondas van a tener que ver con la superposición de n más
en paralelo, todos con la misma amplitud y frecuencia, pero con una
relación constante de diferencia de fase aumentando. 0, 1, 2, en general n
delta para n bases. Bien, pues aquí tenéis un par de problemas con esa
superposición de vibraciones que da lugar a la difracción. Y ahora vamos
a ver para acabar la superposición de vibraciones perpendiculares. Ahora
era tener una oscilación en el eje de las x, por decirlo así, otra
oscilación en el eje de las y, la pregunta es, ¿cuándo esa suma es un
más? La superposición de vibraciones perpendiculares de igual frecuencia
y diferente amplitud nos da una vibración elíptica, que no es un más. Y
sólo en un caso particular, en dos casos particulares de la vibración
elíptica tienes un más. Cuando en cambio la superposición de vibraciones
perpendiculares de diferente frecuencia y diferente amplitud nos da las
figuras delisayaus, y ahí nunca tienes un más. ¿A qué os suena en
física este objeto matemático de vibración elíptica? ¿Dónde está la
física asociada a esa vibración elíptica? ¿Alguien me lo puede decir?
Polarización, muy bien, está plagado. La polarización es generar un
vector mecánico o eléctrico. Electromagnético, mecánico si fuera
sonido, electromagnético si es luz, y hacerlo vibrar en un plano.
Polarización de ondas, perfecto. Pues la polarización de ondas tiene que
ver con eso. Entonces, en el caso, las matemáticas son muy sencillas, es
como sacar la ecuación paramétrica del movimiento... Parabólico, esta es
la x de t, esta es la y de t. Para hacerlo sencillo tomo de fasaje de 1, 0
y de fasaje de 2, delta. ¿Y cómo sumo esto? Pues esto lo veo como las
ecuaciones paramétricas de una curva en el plano. ¿Veis todas las
ecuaciones paramétricas de una curva en el plano? x e y son los puntos de
una curva en un plano. ¿Cómo sacar la ecuación paramétrica? Aquí
despejas la t en función de la x y sustituyes aquí. Y obtienes una
función de x y igual a 0. Esta función es la elipse. Aquí la tenemos. Si
la representamos gráficamente, vemos todos los casos de polarización.
¿El resultado es un más? No. En el caso general, la suma de estas dos no
es un más. Esto no es un más salvo en dos casos muy particulares. Que el
de fasaje sea 0, que el de fasaje sea pi, que el de fasaje sea un número
entero de pi. Aquí sí que veis un más. ¿Lo veis? La oscilación es un
más. Pero en el caso son elipses y en caso particular con pi medios serán
circunferencias. Que sería la polarización circular. ¿Se entiende lo que
estamos haciendo? Vibración de superposiciones perpendiculares,
polarizada, vibración polarizada. Solo hay casos de mes. Dos pi o dos
capi, correcto a de solas. Aquí pues me he parado. No puedo poner
infinitos pis, pero es eso. Aunque haya infinitos, dos n pi son subcasos.
Si miran la diagonal esta que vas llenando. ¿Vale? Y circular son iguales.
Sí, en este caso, en este caso a uno y a dos son iguales por condición de
lo que estamos sumando. A ver si lo he puesto eso. A uno y a dos... De
igual frecuencia, A1 y A2 en principio no tienen que ser iguales. Yo en el
dibujo que he hecho con matemática lo he cogido para ser más sencillo. En
este caso lo son, pero en el caso general no tienen por qué serlo. ¿De
acuerdo? Amadeus. Y la superposición de vibraciones perpendiculares de
frecuencia diferente, eso ya nunca es un más. Y la cosa es dramática.
Dramática, si el cociente de frecuencia es conmesurable, que es racional,
las curvas son cerradas. Pero si el cociente de frecuencias es irracional,
las curvas son abiertas. Es decir, esas curvas solo pasan una vez por un
punto. Esa propiedad en matemáticas, muy importante en sistemas
dinámicos, se llama que ese sistema dinámico, las curvas que genera este
sistema dinámico, son densas por todo el lado del espacio donde viven, que
es A1, A2. El rectángulo A1 por A2. Entonces, en el French y en otros
libros, pues te va generando las figuras de Lissaraus en función del
cociente de frecuencias. Solo si son racionales, las curvas son cerradas,
te las dibujo aquí, y en función de la diferencia de fase. Digamos,
bueno, he dicho que esto sería una vibración, bueno, con delta igual a
cero podríamos entender, no, pero esto tampoco sería un más. Aunque
veáis aquí en la recta, esta recta no sería un más. Esto hubiera un
rectángulo 2A1 por A2. Luego, daros cuenta que aquí ya nos aparece algo,
una propiedad fundamental de la mecánica de los sistemas dinámicos, que
es la sensibilidad del sistema dinámico en las condiciones iniciales. Si
este cociente de frecuencias es dos tercios, vale, tienes curvas cerradas.
Pero si se aleja, no sé, en 10 elevado a menos 8, De dos tercios ya
pierdes esta estructura, la curva no es cerrada. Eso está muy cerca de
caracterizar geométricamente una de las propiedades fundamentales de los
sistemas caóticos. Bien, pues con algunas simulaciones, ha ido esta parte
muy rápida, pues aquí tenéis ejemplos de hacer figuras de Elisa Yauz con
matemática. Problemas resueltos con figuras de Elisa Yauz. Bueno, los
problemas de las figuras de Elisa Yauz es que tú las compones, daros
cuenta, vamos a ver este ejercicio si queréis, para acabar. Si me dice que
X es 10 coseno e Y es 10 coseno de pi t más pi tercios, dice construir la
figura de Elisa Yauz. Pues me tengo que ir a la base que conozco. X vale
esto, esto está en coseno, lo conozco. La frecuencia del primero es 5
radianes por segundo, la del segundo es 10 pi. El cociente de frecuencias
es 2, es justo un símbolo. El racional 2. Por lo tanto habrá una figura
de Elisa Yauz asociada con delta pi tercios. O bien te la dibujas con un
sistema gráfico o te vas a los libros, al French, y buscas que si esto es
2 y esto es pi tercios, pues la figura en los gráficos anteriores la
identifico. 2, pues la identifico, aquí la tengo. Perdón, aquí la tengo.
Bueno, no sé, ya no sé si era 2 tercios alguna de estas. A ver, se
entiende que tengo que ver. La escala omega 1 partido omega 2 y el
desfasaje que tengo para el problema. O la identifico en los libros o la
programo. Aprenderéis más si aprendes a programártela en máxima, en
matemática o en la herramienta que quieras, la figura de Elisa Yauz.
Recordad como un paradigma, una vez que tenemos herramientas de cálculo
simbólico que nos permiten representaciones gráficas. Sin sufrir mucho,
pues hay un buen paradigma en física. Si lo entiendes, eres capaz de
programarlo, jugar con esa expresión a la hora de intentar hacer los
problemas. Pues aquí más casos. Son problemas del French resueltos, por
eso la biografía era del French. Aquí tenéis batidos. Bien, ya se ha ido
un poquito rápido. Sí, lo importante es que para la PED, que te puntúa
mucho, la PED es como un pequeño trabajo de investigación. Son problemas,
pero bastante abiertos y puedes usar toda esta información, J. Nieto. Pero
es bueno tenerlas en la cabeza. Pero para mí es difícil tener todas las
fuentes, son un par de días, creo, para hacer los problemas. Bien, pues yo
creo que ya me... Ya hemos acabado aquí la tutoría. Tenéis los problemas
resueltos. Hay 16 problemas resueltos de esta primera parte. Y nada más.
Tenemos todo el curso, tenéis dudas, aquí puede haber erratas, todo lo
que me digáis se intentará mejorar y yo espero mañana poner los enlaces
a las... ...de las grabaciones hechas, pues os daré los enlaces y al mismo
tiempo os subiré los PDFs. ¿Vale? Recordad que para el material que os
subiré, aquí y en las otras tutorías, hay ficheros de matemática. Como
no los podéis subir a la nube, los podéis visualizar sin noterles
matemática con este programa, el CD Player, que se descarga en esta
dirección, que es un programa gratuito para ver ficheros .nb de
matemática. ¿Alguna pregunta más? observaciones disculpad al final es
imposible resolver y hemos estado dos horas de tutoría 17 problemas de
acuerdo pero yo creo que si os sitúa un poco en cómo enfrentaros a la
teoría del french y verla y entender las de los problemas acordaros que
los profesores de la sede central que son los consejos de la asignatura
pues han subido también para este tema problemas resueltos tenéis los
míos algunos se repiten la mayoría alguna observación más a la 7 bueno
pues nos despedimos con la sintonía del físico de partículas y el martes
más la siguiente litería es el martes martes y jueves artes no puedes