Bueno, pues otra vez, hola. Vamos a empezar ahora a tratar este segundo
resumen práctico y un ejemplo que nos permita entender la teoría de dicho
resumen. Ahora, lo que voy a hacer es, manteniendo en el primer apartado de
energía electrostática, en vez de una distribución discreta de
partículas, vamos a hablar de una distribución continua de partículas.
El problema se planteará de una forma muy semejante, porque lo que
trataremos es de una pequeña fracción de este volumen de partículas que
vemos en el dibujo, tenemos un cuerpo geométricamente de una forma
indefinida en el que hay una carga distribuida en todo él y situamos un
determinado vector de posición en un lugar en el que hay una densidad de
carga, la ρr' que he puesto en el dibujo, y en este caso hay un
diferencial de carga. Y el problema nos lo planteamos de forma semejante
como ya hemos hecho en el caso de distribuciones discretas. De decir,
bueno, pues ¿qué trabajo necesitaríamos para trasladar este diferencial
de carga, que para nosotros sería el equivalente a una carga puntual,
desde el infinito hasta la posición en la que se va a encontrar al final?
Es lo que vamos a hacer en primer lugar para plantear nuestro problema. Un
análisis equivalente al que hemos hecho antes en las distribuciones
discretas de carga. Ahora, eso sí, supondremos que nuestra densidad de
carga, tanto volumétrica como superficial, son de medios lineales. y
isótropos, eso quiere decir para nosotros que si son medios lineales e
isótropos la acumulación de carga es totalmente independiente de la forma
geométrica que llegue a adquirir el cuerpo final de forma diferencial
entonces tendríamos un diferencial de energía desde el infinito a la
posición r' de este diferencial de carga que estoy tratando que como antes
sería igual a esta energía electrostática, ya no lo pongo como
diferencia con el signo negativo, en el sentido que ya no es el trabajo
para trasladarlo desde el infinito hasta esta posición, sino el trabajo
necesario para oponerse a este campo externo que pudiese llegar a generar
este potencial en este punto. Ahora bien, ese trabajo externo será el
trabajo debido al resto de cargas que hay en nuestro volumen del material.
Pues bien, dicho diferencial de energía electrostática... generalizando
la expresión que hemos visto en el apartado, en el resumen teórico
anterior sea el potencial que haya en dicha posición por la carga que
estamos ahora analizando que es el diferencial de carga la única cosa que
sí que es de interés este pequeño truco que os comentaré ahora que es
que vamos a tener en cuenta que este diferencial de carga Pues en función
de la definición de la densidad de carga, que no es más esta densidad de
carga que la derivada de la carga por unidad de volumen, Pues bien,
podríamos entonces decir que nuestro diferencial de carga sea densidad de
carga por diferencial de volumen, sin más. Pero yo aquí os he añadido
una expresión extra, que es este diferencial de K. ¿Qué quiere decir
este diferencial de K? Este diferencial de K lo que quiere es dar a
entender que esta carga no será la única que nosotros llegaremos a
añadir progresivamente en nuestro cuerpo, sino que será una fracción de
la carga total que nosotros llegaremos a acumular en este cuerpo
geométrico. Por lo tanto, la posición R' en la que nos encontramos por
diferencial de K nos representa la fracción de densidad de carga final que
tendremos en nuestro cuerpo, donde K es el equivalente al tanto por uno de
la densidad en cada instante. Luego, en este caso, el valor máximo de la K
es la unidad y el valor mínimo cero cuando no tuviésemos ninguna carga.
Pues bien, durante este proceso de acumulación de cargas, lo que
tendríamos es un diferencial de carga cada vez superior, un potencial
acumulado cada vez superior, que nos permitiría llegar a establecer que el
potencial en la posición R' que nosotros estamos tratando iría creciendo,
iría creciendo en función de la proporción de densidad de carga que
nosotros tuviéramos. Por lo tanto, también podría decir que esta
energía, este potencial, esta energía potencial por unidad de carga, este
potencial que tenemos en la posición R' es una fracción del potencial
final que llegáramos a tener. Vuelvo entonces a multiplicar por este tanto
por uno, la K, por el potencial R' que tendremos ahora. en cada situación.
De esta forma, nos quedaría un trabajo, esta energía electrostática que
sería igual a una K por el potencial en cada instante de este estudio que
estamos haciendo por la densidad en cada uno de estos. Bueno, de hecho,
este potencial es R' y este ρ serían los finales porque por eso he
multiplicado por la fracción K. O sea, K por V de R es la fracción final
El K por V de R del potencial V de R' es el potencial final. Y lo mismo
digo de ρR' por dK, es la fracción de densidad en este instante. ρR'
será el final. Y ahora nosotros lo que haremos será integrar. Tenemos
aquí una doble integral, una integral que depende del volumen y una
integral que depende de esta fracción. Lo que vamos a hacer en primer
lugar como comodidad es, dado que esta fracción depende solamente de la K,
y así será una integral doble pero independiente, podemos hacer una
integral primero de la K y después del volumen. ¿Qué es lo que nos
quedaría entonces? Nos quedaría, en primer lugar, la integral de esta K
es directamente... La energía total de esta carga acumulada, que por
cierto, deciros, aunque creo que es evidente, pero me parece que no os lo
he comentado en el inicio de esta transparencia, que de momento solo
estamos haciendo el análisis de la densidad volumétrica de carga. Luego
ya hablaremos de la superficial. De hecho, hablaremos en el siguiente
apartado de la energía electrostática y un sistema de conductores de
carga. Pero ahora el planteamiento del problema es hablar de este volumen.
Entonces, el trabajo sería la integral. Esta integral doble, pero
independiente, del volumen, en donde teníamos que integrar la densidad de
carga y el potencial en cada una de estas posiciones, y de la fracción de
carga acumulada que tenemos. Esta fracción de carga será integral de 0 a
1, de la K, la integral es sencillísima, K cuadrado partido por 2, de 0 a
1 es un medio, sin más. Luego ya tenemos aquí una expresión genérica
que nos interesará en nuestro análisis. Esta energía electrostática,
debido a una acumulación volumétrica de carga, será un medio de la
integral volumétrica de la densidad... de la densidad por el potencial.
Pues bien, si ahora hablo de un caso general en el que sí que tengo en
cuenta la carga superficial el problema se generaliza y donde tengo
densidad volumétrica tengo también que imponer una densidad superficial.
Pero la expresión es la misma. Lo único que antes era integral de volumen
por la densidad volumétrica ahora es una integral superficial por la
densidad superficial. Eso sí, que quede claro que igual que os dije antes,
en la energía electrostática almacenada, que os dije en el apartado
anterior que he grabado, en la energía electrostática almacenada por una
distribución discreta de cargas, no se tenía en cuenta la formación de
cada una de las cargas, de la carga elemental del electrón, del protón,
sino de nuestro sistema aislado de cargas. Pues bien, aquí se tiene en
cuenta la formación del núcleo de cargas, de este cuerpo que estamos
dibujando, nuestra transparencia, de este cuerpo que tenemos aquí, que
estamos dibujando, pero tampoco de la creación del electrón y del
protón, es decir, de las cargas fundamentales, sino de su acumulación
para esta formación genérica que estamos tratando. Bien, si
continuamos... Antes del ejemplo de energía electrostática en esta
distribución continua, De hecho, lo que vamos a hacer es comenzar el
siguiente apartado, de energía electrostática en los sistemas
conductores, para particularizar. Ya hemos dado una expresión un poco
engorrosa de esta forma de calcular la energía electrostática en una
distribución continua de carga, en una distribución discreta se veía que
se simplificaba. Luego vamos a intentar simplificar un poco esta expresión
para poder llegar a una forma más sencilla, más fácil de recordar, de
esta energía electrostática en el caso concreto de que tengamos una
distribución continua de cargas, pero de conductores, que sean conductores
cargados. Consideremos entonces este sistema de conductores que no será
más que un caso particular de la distribución continua de cargas. Luego
la integral es la misma, pero tiene una ventaja, que recordad, en los
metálicos, como un ejemplo práctico de los conductores, toda la carga
almacenada se sitúa en la superficie de dicho conductor, tanto si tenemos
un conductor, podría decir, sin ser macizo, es decir, con hueco interno,
como si realmente es un conductor macizo. Por lo tanto, esto significa que
podemos, de las dos expresiones que teníamos inicialmente, la que era la
integral respecto a la densidad volumétrica y la que era la integral
respecto a la densidad subversiva. Ahí me he dado uno de los términos,
¿cuál? Pues lógicamente el de la densidad polimétrica, porque lo estoy
repitiendo, que ahora la carga estará acumulada exclusivamente en la
superficie del material. Por lo tanto hemos simplificado mucho la
expresión anterior, pero vamos a simplificar más. ¿De qué manera? De
momento ya tengo esta expresión, en la que podemos observar como además,
o sea, como hemos eliminado esta primera, esta primera la hemos eliminado,
Como ya pongo aquí, esta primera es 0 en el caso de un sistema de
conductores. Además, aquí he podido extraer de la integral el potencial,
porque este potencial, si os recordáis, en un conductor, en el interior
para nosotros es constante. Si no hay ninguna otra carga que genere un
campo externo, el campo generado en el interior de nuestro conductor es
nulo, tenemos un potencial por lo tanto constante. Y por las condiciones de
continuidad, ese potencial nos ha de coincidir con el potencial de la
superficie de dicho conductor. Por lo tanto, a la hora de realizar esta
integral respecto a la superficie, el potencial a esta distancia de R',
aunque no se trate de una esfera, es un potencial constante. Potencial que
depende de R', pero que es constante en esta superficie envolvente de
nuestro conductor. Por lo tanto, va fuera de la integral. Se simplifica
mucho el problema. ¿Por qué cuál es la integral de densidad superficial
por la superficie? Pues la carga. No es otra cosa. Si la única carga que
tenemos nosotros está distribuida de forma superficial y integramos
respecto de la superficie del conductor, el resultado es la carga. Sin
ningún otro tipo de análisis difícil de interpretar. Sin la necesidad de
hacer ninguna resolución de integrales complejas. Directamente nos queda
un medio del potencial por la carga. ¡Qué curioso! Porque si os
fijáis... Si ahora en vez de un conductor hablo de N conductores, el
resultado es equivalente, idéntico al que teníamos para una distribución
discreta de cargas. Esto sí que es una regla mnemotécnica, una regla
práctica, que nos permite llegar a establecer la energía electrostática
de un sistema discreto de cargas o de un sistema de conductores, que es el
que más nos interesa, de forma simple. Un medio de suma y pérdida de
cargas por potenciales. Esta sería la energía electrostática. La única
diferencia, que esto es lo que quería comentar como última reseña, nota
teórica de esta transparencia, es que fijaros que aunque sea similar, es
generado por las cargas de los otros conductores, este potencial, pero la
diferencia es que además también es generado por su propia carga.
Recordad que hemos excluido la formación de las cargas elementales,
electrones, protones, pero no la del conjunto, la de este primer conductor
1 y la de este primer conductor 2. Es la única diferencia que podría dar
aquí dentro de esta igualdad que matemáticamente es la misma. Es una
carga y un potencial en nuestro caso. Bien, ya tenemos así este segundo
resumen teórico, primero en el caso del sistema de monitores cargados.
Vamos a ver el ejemplo práctico antes de continuar con el análisis
teórico de forma resumida. Ejemplo práctico, que será más sencillo de
lo que aparenta, una vez que recordamos, igual que en la parte disqueta,
que la energía electrostática es un medio de sumatorio de cargas por
potenciales. Tenemos aquí que nos preguntan, en un condensador plano, el
ejemplo más sencillo, que está cargado, por lo tanto, si es un
condensador por efecto, tenemos una carga, como nos indica en el enunciado,
más Q en una de las superficies y menos Q en otra de las superficies. Nos
piden calcular la energía electrostática de este condensador plano. La
diferencia potencial entre las dos placas es V1 menos V2. Pues bien, este
problema... Ahora que hemos resumido, que hemos condensado esas integrales
de densidades superficiales y potenciales al caso sencillo de un sistema de
conductores cargados, se nos reduce simplemente a aplicar la ecuación de
un medio de la suma de cargas por potenciales. ¿Cuántas cargas tengo?
Dos. La más Q y el menos Q. ¿Cuántos potenciales tengo? Dos. El
potencial de una superficie a potencial 1 y el de la otra superficie a
potencial 2. Pues bien, apliquemos dicha ecuación, sustituyamos, carga Q1,
dato, potencial 1, no es un dato, es para nosotros la diferencia de
potenciales que es dato, Y nos queda este resultado, un medio de sacar el
factor común a la Q, lo que es dato de la energía electrostática
potencial, es lo que tenemos aquí. Por lo tanto, esta energía
electrostática no es más que un medio de la carga por el potencial. Y si
además recordamos la definición de capacidad de un condensador, y más de
un condensador plano, aunque es genérica esta definición, que no es más
que la carga por unidad de potencial, resulta que puedo transformar esta
expresión y dar una energía electrostática en un condensador como un
medio de su capacidad por el potencial al cuadrado y que nos será muy
útil en otros ejemplos posteriores que veremos y para recordar también el
tema de condensadores como un caso práctico demostrado ya aquí cuál es
esa energía electrostática almacenada por el condensador. Bien, ya hemos
hecho así este ejemplo 2. Vamos a continuar. Paro aquí la grabación y
como ya os he dicho, en vez de hacerlo todo de forma conjunta, a
continuación empezaremos el siguiente resumen y otro ejemplo.