Hola, vamos a comenzar ahora dentro del tema 5 de energía
electrostática, el tercer apartado que es la energía electrostática en
función de los vectores de campo, que no va a ser más que un método
alternativo a encontrar esta energía electrostática en una distribución
discreta o en una distribución continua con el caso particular que hemos
tratado anteriormente de conductores cargados. Y de hecho haremos un
ejemplo, pero esto ya al final, en el que veamos cómo calcular
precisamente esta energía electrostática por los dos métodos. El método
de un medio de sumatorio de las cargas por los potenciales, en el caso del
conjunto de sistemas de conductores cargados o mediante este otro proceso
que diseñaremos ahora que será expresado en energía electrostática en
función de los vectores campo concretamente en función del vector de
esparcimiento y del campo electrostático. Este método alternativo,
evidentemente, nace, surge, a partir de la ecuación que ya conocemos, que
es la de energía electrostática de forma genérica en un sistema continuo
de cargas expresada como este un medio de la integral de la densidad de
volumen por el potencial, por el potencial de volumen, más un medio de la
integral de la densidad superficial por el potencial, por el potencial de
sección. La demostración puede parecer un poco engorrosa al principio,
pero el resultado final, que es el que más nos interesa, veréis que no es
difícil y se puede seguir sin demasiada complejidad, aunque ya he dicho se
ha de estar atento para que no haya posibilidades de confusión en este
planteamiento, en esta demostración que vamos a hacer en primer lugar.
Para ello lo que haremos es recordar dos de las expresiones, de las que
tendremos a partir de ellas, si se quieren, las expresiones de Maxwell, que
son las sencillas, que nos dicen que la divergencia del desplazamiento es
igual a la densidad de carga y que la componente normal del desplazamiento,
en la superficie que nos va a interesar a nosotros, de esta
representación, que ya comentaré, a continuación, tenemos esta
distribución volumétrica de cargas, en las que tenemos acumuladas, como
si hubiese una especie de agujeros en el interior de este material, tenemos
entonces unas densidades superficiales internas de carga y una densidad
también volumétrica en este conjunto. Esto es equivalente a como si fuera
un donut, un toroide, en el que tengamos una distribución de carga interna
y superficial dentro de todo nuestro conjunto. Esto ya lo haremos a
continuación. Bien, a partir de estas dos expresiones que tenemos aquí,
nosotros lo que haremos será, lógicamente, sustituir la densidad
volumétrica en la expresión genérica de esta energía electrostática
que hemos analizado, comprobado en las grabaciones anteriores y de esta
otra expresión de la densidad superficial. Lógicamente, eso nos ha
transformado en una expresión inicialmente más compleja, pero ya veremos
cómo se puede reducir de una forma apreciable. ¿De qué manera? Pues
bien, primer comentario. Fijaros que esta superficie que yo os he situado
aquí, esta superficie, esta superficie es la que limita cada uno de estos
orificios, de estos lugares, de estas interfaces que tenemos en el interior
del material, estas que tienen una densidad superficial de carga. No tiene
por qué coincidir con la densidad superficial de todo este sistema de
cargas que nosotros estamos analizando, porque de hecho, si os fijáis en
el dibujo, tampoco os hablo de que pueda existir una densidad superficial
de carga en esta superficie envolvente de la región. Tiene el espacio en
la que nosotros estamos tratando. Hemos hablado, hemos planteado en nuestro
dibujo de que hay una serie de orificios, de zonas internas que tienen
densidad superficial de carga. No tiene por qué haber una densidad
superficial de carga en esa envolvente S mayúscula que estamos tratando.
Puede que sí, pero en este caso que os estoy planteando como ejemplo
representativo, no tiene por qué. Si a esta es una suma de superficies
internas que no incluyen la que delimita el volumen total, el volumen m'
que estamos tratando. Lo que estamos llamando aquí de nuestro entorno.
Bien, entonces a continuación lo que haré es expresar esta forma, este
primer término que tenemos aquí, de otra forma, de otra manera. El truco
es aplicar esta expresión. ¿De dónde surge esta expresión? ¿De dónde
surge esta expresión que os he puesto aquí? No es más que recordar la
derivada del producto de dos funciones. Perdonad, que tengo un truco en el
ratón. Es el siguiente. Si yo tengo la derivada de una función, en este
caso la divergencia, si yo tengo la divergencia... Disculpad, que tengo
problemas ahora. He dicho que no era todo. Si tengo la divergencia del
potencial por el desplazamiento, esto es un vector para nosotros, lo
pondré de esta forma, pues esto no es más que recordar la derivada del
producto, porque esto es un producto, una multiplicación entre dos
funciones, no es más que la derivada del primero, en nuestro caso será
este operador nabla por el potencial, por el segundo sin derivar, pondré
paréntesis para que no haya ninguna duda, más el primero sin derivar, que
es el potencial, por la derivada, que es este operacional, este operador
nabla, esta divergencia, por el segundo. O sea, el primero sin derivar por
la derivada del segundo. Esto es una derivada normal. Pues bien, esto es lo
que yo os he aplicado aquí, pero en nuestro caso, lo que hemos hecho ha
sido despejar esta expresión. Despejar la expresión que tengo aquí, que
es del potencial por la divergencia del vector desplazamiento. Si despejo
esto, nos quedaría este término, que es el operador nabla por el
potencial multiplicado por el desplazamiento, menos este otro término, que
es lo que os he puesto aquí. Así tenemos una forma, ya he dicho, que
parece engorrosa a la hora de... desarrollar esta expresión, pero veremos
que eso nos simplifica considerablemente. Tenemos esta situación. Tenemos
este primer término, que es el que os acabo de señalar aquí, que es el
que vamos a tratar en primer lugar, más este otro término, que nos ha
surgido como consecuencia de sustituir el campo electrostático por menos
el gradiente del potencial, que es lo que tenía aquí. O sea, tengo este
término, lo he sustituido aquí y lo he puesto aquí. Y el primero de
ellos, que es el primero que voy a tratar. Si hay algo que no se entienda,
podéis preguntármelo simplemente a la hora de reorganizar esta
expresión. ¿De acuerdo? ¿Qué hacemos? Pues bien, el primer término,
que es el que yo voy ahora a analizar, de esta operación derivada... de
divergencias... derivar respecto al espacio estas funciones que eran el
potencial y el vector desplazamiento, este derivado de este producto, una
vez que hemos sustituido este campo electrostático por menos el gradiente
del potencial, nos ha quedado esta expresión. El primer término que vamos
a analizar es el que es una integral de volumen. Podemos aplicar el
término de la divergencia y transformar esta divergencia del producto del
potencial por el desplazamiento integrado respecto al volumen por la
integral del potencial por el desplazamiento integrado respecto a la
superficie, con una nota de interés. Ahora la superficie es la total,
porque el término de la divergencia no me puede excluir esta superficie
envolvente. Eso significa que en nuestro caso tendremos estas dos
integrales, una según la superficie envolvente y otra según las
superficies internas de cada uno de estos orificios o zonas en las que
tenemos diferentes densidades superficiales de carga. ¿De acuerdo?
Entonces, fijaros, un detalle de interés. El primero de estos términos,
como es un diferencial de superficie, lo podemos sustituir por un vector
unitario inversor que sea directamente proporcional a la superficie,
directamente perpendicular a la superficie o paralelo al vector superficie
y con signo positivo. Este N sería debido al flujo externo, mientras que
los otros orificios que tienen densidades superficiales de carga ya os he
dicho que son internos. Por lo tanto, en nuestro caso los consideramos con
signo negativo. Es la única diferencia que tendríamos aquí. Que
considerar un diferencial de sección como el módulo diferencial del
módulo de la sección por un versor unitario, vector unitario, dirección
perpendicular a la superficie, positivo para uno por ser externo y negativo
para otro por ser interno. Y ahora sustituir en la expresión anterior
¿qué es lo que sucede? Pues precisamente uno de los términos se nos va a
eliminar porque ya lo teníamos de antes. Este término de aquí se nos va
a eliminar con este término de aquí. Uno que ya teníamos anteriormente.
Por lo tanto, nos queda reducido a dos términos. Pero esto se nos va a
simplificar aún más. Porque, a ver, en nuestro caso podemos comprobar que
el primer término que tengo aquí en rojo se nos elimina. Y eso se elimina
porque esta superficie es una integral de una superficie envolvente que yo
no he delimitado. Es decir, que para nosotros es como si estamos hablando
de una envolvente infinita. En el sentido de que a ver, cuando la r tiende
a infinito que sería en nuestro caso el estudio más genérico el
potencial recordable de una carga puntual es directamente proporcional
inversamente proporcional al vector de posición o directamente
proporcional al inverso del vector de posición. Mientras que el
desplazamiento recordable de una carga puntual es directamente proporcional
al inverso del vector de posición al cuadrado o inversamente proporcional
al vector de posición al cuadrado y el diferencial de sección una
envolvente que generalmente podríamos considerar como esférica es
directamente proporcional a r al cuadrado. Pues bien, sin conocer las
constantes o las funcionalidades del potencial de forma clara del
desplazamiento de forma clara y del diferencial de sección sí que sabemos
su dependencia. Una es dependiente del inverso de r otra de i del inverso
de r al cuadrado y otra de r al cuadrado. Si hacemos el producto de estas
variables y hacemos un límite cuando la r tiende a infinito resulta que lo
que nos va a quedar es una función compuesta fgh que dependerá de 1
partido por r si r tiende a infinito que en nuestro caso el límite se
elimina. No es una demostración estricta en el sentido de dar un caso
concreto un caso particular o un caso genérico en donde pongamos la
expresión del potencial en función de r el desplazamiento en función de
r y el volumen en la superficie en función de r pero sí es general.
Sabemos que el potencial es directamente proporcional al inverso de r el
desplazamiento es directamente proporcional al inverso de r al cuadrado y
la superficie es directamente proporcional a r al cuadrado. Este
conglomerado de funciones será para nosotros si hacemos los productos
mayoritariamente predominante el inverso del r del vector de posición. Por
lo tanto cuando el r tiene infinito este término se nos eliminará. Es lo
que hemos dado aquí como resultado. Bien, ya tenemos entonces este
resultado final. ¿Qué es lo que sucede aquí? Que si se nos elimina este
término sorpresa nos queda una integral mucho más sencilla que la que
empezábamos a tratar. Fijaros vuelvo a repetir esta ecuación compleja en
cuanto a análisis y en cuanto a estudios y aplicaciones concretas en el
caso de un sistema de conductores cargados se nos redujo a una simple suma
de un medio de las cargas por los potenciales en el caso de hacer este
cálculo mediante los vectores de campo se nos ha reducido también a una
expresión más cómoda porque es una sola integral en la que tenemos el
producto escalar del despacimiento por el campo eléctrico que si además
como veremos a continuación se trata de una región en el que tengamos un
medio homogéneo genial isótropo podemos llegar a relacionar el
despacimiento con el campo eléctrico de forma directa y sin complejidad
veámoslo primero aquí que tenemos esta es la ecuación como propiedades
antes de hablar de nuestro primer ejemplo de este método alternativo de
cálculo de la energía electrostática que no será más que un medio otra
vez un medio como en todos de un sumatorio que no es de las cargas por
potencial sino un sumatorio que con tendencia infinito lo hemos
transformado en una integral del producto escalar del despacimiento por el
campo eléctrico integrado en este volumen del entorno que delimita a
nuestro sistema de cargas pero cuidado porque este volumen se extiende a
todo el espacio por lo tanto hemos de tener presente que si hay campo
eléctrico o despacimiento generado por nuestras cargas en el exterior a la
hora de realizar esta integral hemos de también tenerlo como dato a
utilizar ya lo veremos en nuestro ejemplo práctico cuando será así o no
necesario o cuanto será útil dicha forma alternativa de calcular la
energía electrostática recordad el volumen de esta integral se extiende a
todo el espacio incluyendo por supuesto las cargas que están dentro de
este volumen limitado dentro de un volumen limitado quiero decir bien
dentro de estas propiedades este volumen incluye los conductores
lógicamente en su interior es nulo porque en nuestro caso en el de los
conductores en el campo electrostático me refiero a los conductores no
contribuyen por lo tanto a la energía recordad que el potencial generado
por los conductores en su interior también es constante lugares internos
del conductor se nos va a eliminar por otro lado como detalle de interés
este producto escalar siempre será para nosotros positivo este
electromagnetismo clásico no tiene ninguna duda además como ya os decía
decía anteriormente en un medio lineal homogéneo isótropo en donde para
nosotros sólo haya una permitividad que es constante que no depende de la
dirección que no depende de la geometría que no depende de ningún
parámetro que nos interese pues nos permite decir que el desplazamiento es
directamente proporcional al campo eléctrico este tensor esta permitividad
como es una constante se nos reduce para poder ya hablar de una
proporcionalidad entre el desplazamiento del campo eléctrico y transformar
la expresión que teníamos inicialmente de esta energía electroestática
como integral de el producto escalar del desplazamiento por el campo
eléctrico a una que está exclusivamente en función del campo eléctrico
del módulo del campo eléctrico precisamente porque es el vector del campo
eléctrico al cuadrado ¿de acuerdo? esto nos simplifica bastante el
problema como veremos en algunos ejemplos prácticos como detalle a veces
nos pueden preguntar calcular el valor de la densidad de la energía
volumen superficie de lo que corresponda en este caso de volumen luego no
es más que la derivada de la energía electroestática respecto al volumen
para nosotros la función inversa de esta integral que tenemos es decir no
es más que el producto escalar del desplazamiento por el campo eléctrico
multiplicado por este medio que nos ha surgido en nuestro análisis como
último detalle dentro de estas notas teóricas que os estoy ahora
comentando si en el sistema de conductores se pueden excluir las
posibilidades correspondiente a multiplicar el campo generado por dicha
carga por sí mismo porque si no tendríamos de alguna manera un resultado
infinito ya que el potencial general por una carga en la posición en la
que se encuentra en esta carga sería para una r igual a cero y si es
inversamente proporcionada a la distancia ese potencial 1 partido por 0
daría un potencial del infinito esto se excluye si no tendríamos aquí
incoherencias incomprensibles a la hora de analizar nuestro problema por lo
tanto en caso de haber cargas puntuales se analiza de la forma común que
hemos llegado a establecer pero se excluyen los potenciales generados por
dichas cargas en su misma posición en la posición en la que se encuentra
bien vamos a ver un primer ejemplo para acabar este resumen teórico y
antes de empezar con el último resumen teórico vamos a hablar con su
correspondiente ejemplo práctico el ejemplo tratará otra vez de un
condensador pero ahora lo voy a coger como un condensador esférico y la
pregunta es justamente en vez de recordar cuál es la capacidad de un
condensador esférico pues mediante el análisis de la energía
electrostática comprobar o demostrar el valor de la capacidad de este
condensador esférico que tenemos en nuestro caso permitividad podríamos
poner una permitividad de la del vacío entre la posición A y la posición
B A está cargado con una carga Q positiva y B radio B me refiero está con
una carga Q negativa como nos muestra nuestro dibujo la representación
gráfica que nosotros tenemos aquí nos dan estos dos radios el radio A y
el radio B que corresponde a la situación en la que se encuentra la
distribución superficial de carga la más Q radio RA y la menos Q radio B
y en estas condiciones nos piden que mediante la energía de un condensador
cargado encontremos la capacidad partimos de que ya hemos demostrado en uno
de los ejemplos prácticos que hemos grabado ya anteriormente de este tema
cuál es el valor de la energía electrostática con un condensador y
dijimos que era un medio de la capacidad por el potencial al cuadrado pues
bien esto es nuestra igualdad ecuación de salida ya conocemos como hemos
comprobado en uno de los ejemplos previos cuál es el valor de la energía
electrostática la energía electrostática es un medio de C por el
potencial al cuadrado por lo tanto de aquí la capacidad que nos piden es
dos veces la energía electrostática a partir del potencial al cuadrado
nos piden calcular la energía electrostática sustituir en esta expresión
y ya habéis contestado a la pregunta ya sabéis cuál es la capacidad de
este condensador capacidad que recordad que es un parámetro geométrico
propio si no hacemos ningún cambio del condensador será siempre una
constante de E no tendrá ninguna variación bien cómo vamos a calcular
esta energía electrostática pues para el cálculo de esta energía
electrostática lo haremos pues mediante como estamos en el ejemplo de
haber hablado de la energía electrostática en función de los vectores
campo lo haremos mediante esta segunda alternativa es decir mediante el
desplazamiento y el campo eléctrico desplazamiento que como estamos en un
medio en el que la permitividad del vacío consideramos que es constante
podemos entonces volver a repetir lo que dije antes de que esta energía
electrostática es un medio de la integral desplazamiento por el campo
electrostático transformado en un medio de la integral de la permitividad
por el campo electrostático al cuadrado diferencial de volumen esto es lo
que tenemos eso qué significa que nos falta calcular la el campo de el
campo electrostático de nuestro entorno cómo lo haremos aplicando la ley
de Gauss aplicando este teorema de Gauss que nos dice que en la región de
A a B que es la que nos interesa hay un campo electrostático hacemos una
superficie gaussiana una envolvente gaussiana que esté en la posición R
que sea superior A inferior a B y nos preguntamos cuál es la carga que hay
en el interior pues si estoy con esta superficie que os digo esta
superficie gaussiana estamos situando aquí escojo esta superficie
gaussiana más o menos a una distancia R y esta distancia R os pregunto
bueno y cuál es el valor de la carga que hay en el interior de esta
superficie gaussiana qué es lo que te interesa para el segundo miembro del
teorema de Gauss pues el que tenemos es la carga Q positiva la total de la
carga que hay acumulada en la superficie de radio A ya tengo entonces el
segundo miembro del teorema de Gauss solucionado la carga partido por la
permitida del medio que además es la permitida en el vacío ya que no va
ningún dato en el problema vamos a suponer que es esta carga perdón que
es esta permitida y a la vez entonces el campo eléctrico recordar que por
la simetría del problema se hace en nuestra superficie gaussiana si yo
tengo esta superficie gaussiana tendrá en un diferencial de sección un
vector y otro vector cada uno de ellos que representará uno de ellos a el
diferencial de la sección aquí no están en proporciones o sea
simplemente es como direcciones que debemos de recordar y otro que tiene
exactamente la misma dirección y forma un ángulo independientemente que
me encuentre en este diferencial de sección el módulo diferencial de s
como en cualquier otro diferencial de sección que situemos en cualquier
otra de las posiciones es decir la dirección que forma el diferencial de
sección con el campo electrostático siempre es la misma el campo
electrostático tiene esta distancia r el mismo valor y el diferencial de
sección también por lo tanto el campo electrostático en esta integral de
sección que estamos analizando es una constante puedo extraerlo y decir
directamente que la integral en esta superficie cerrada del campo
electrostático diferencial de sección no es más que el campo
electrostático su módulo el vector sección su módulo y el coseno del
ángulo que forman entre sí estos dos vectores que es de cero grados
coseno de cero grados la unidad inmediatamente entonces ya tenemos el
resultado tenemos que este campo electrostático nos quedará como el que
generaría esto es lo que supongo que recordaréis todo el conductor si su
carga estuviera concentrada en el centro de dicha esfera en el origen de
coordenadas en nuestro ejemplo sería equivalente al campo eléctrico
generado por una carga puntual con el valor de la carga igual al que tiene
toda esta esfera que estamos nosotros aquí describiendo ya tenemos el
campo electrostático siguiente paso no es más que sustituir dicho campo
electrostático en la expresión que vemos de la energía electrostática e
integrar una integral que antes de integrar podemos simplificar y ver que
nos depende sacando todas las constantes al exterior de la integral nos
depende uno partido por r al cuadrado la integral de un partido de r al
cuadrado es muy fácil es menos uno partido por r aplicamos la regla de
barro sustituir los límites de integración el r igual a y el r igual a b
y encontramos de forma simplificada el resultado final ya tenemos así la
energía electrostática que sustituiremos aquí para encontrar nuestra
capacidad pero atención también nos falta el potencial del que hasta
ahora nos ha hablado ¿cómo podemos calcular el potencial? recordando que
hay una expresión que nos permite a través del campo eléctrico calcular
el potencial dado que el campo eléctrico es menos el gradiente del
potencial es lo que veremos a continuación vamos a hacer el cálculo del
potencial aplicando que la diferencia potencial entre las posiciones a y b
es menos la integral de b a d el campo eléctrico por la diferencia del o
dicho al contrario el campo eléctrico es menos el gradiente del potencial
esa función inversa que estamos aquí tratando como el campo eléctrico ya
es conocido basta con sustituir este campo eléctrico en esta expresión es
uno partido por r al cuadrado e integral y nos va a dar el resultado que
también debería decir que es lógico si en nuestro caso el campo
eléctrico en una distancia r es equivalente al generado por toda la carga
concentrada en un punto el centro de esta esfera es decir como si se
tratara una carga puntual y no más el potencial tiene que entonces ser
también equivalente al potencial generado por una carga puntual pero eso
sí nos piden la diferencia potencial entre dos puntos el a y el b por lo
tanto necesito hacer esta resta por eso hago la integral de b a y el
resultado que nos queda es este si sustituimos por un lado lo que os he
comentado antes la energía electrostática que hemos calculado aquí en la
capacidad y ahora este potencial también en la capacidad este diferencial
potencial encontramos el resultado final que nos pedían en nuestro caso
esta capacidad sustituyendo queda así como cuatro pies en el sub cero
multiplicado por la fracción a b partido por d menos a con esto hemos
acabado este ejemplo práctico voy ahora también a cerrar la grabación y
a continuación comenzaremos el siguiente resumen teórico con la siguiente
aplicación numerica