Hola de nuevo, vamos ahora ya a acabar esta sesión del tema 5 de energía
electrostática en el que en este caso ya no será acompañada de ningún
resumen teórico sino que directamente nos centraremos en tres ejemplos
prácticos, tres ejemplos óptimos, típicos que nos permitan entender el
problema de energía electrostática. El primero de ellos será muy
semejante al último que hemos analizado anteriormente, es también un
condensador plano de placas igual que antes de anchura y longitud L, o sea
se trata de superficies planas en forma de cuadrado que también como antes
está sometido a una diferencia potencial V0 que es debido a esta batería
que tenemos. Pero eso sí, hay una novedad en este problema y es que nos
dan dos zonas. O dos regiones de permitividad en el interior que son
diferentes, una de permitividad epsilon sub 1 y otra de permitividad
epsilon sub 2. Una tiene un espesor A y la otra un espesor de menos A. Y
nos preguntan cuál es el valor de la presión entre ellos, presión
electrostática. Esto no lo habíamos tratado hasta ahora, sí un poco en
el resumen teórico pero no en el ejemplo práctico. Presión significa que
vamos a recalcular fuerza. Una vez que tengamos la fuerza pues podremos
encontrar la presión simplemente recordar que fuerza es punida de 0. O sea
que realmente la pregunta aquí, aunque nos digan cuál es el valor de la
presión, vuelve a ser cuál es el valor de la fuerza. Para ello ¿qué
haremos? Primero de todo, condiciones de nuestro entorno, que esto sí que
debe de quedar claro antes de plantear el problema. Algunas de ellas las
geométricas son claras, son datos directos dentro de esta representación
gráfica que tenemos en la parte derecha de la transparencia en la que la
distancia total es D, las distancias o espesores de cada uno de estos
medios de permitidad existentes son A y D-A, las longitudes son L. Y el
potencial también es un dato, es B sub 0. ¿Qué condiciones hay que
recordar? Pues bien, la presión surge de la componente normal de la fuerza
sobre la superficie de separación. En nuestro caso será la que nos va a
interesar más, pero quiero aquí remarcarlo. Como ya os dije en el ejemplo
práctico previo que hemos grabado, aquí también las líneas del campo
eléctrico serán perpendiculares a cada una de estas superficies. Tiene
una dirección estas líneas del campo eléctrico según la dirección del
eje Z. Por supuesto, el campo eléctrico es el eje Z. El campo eléctrico
es como EZ por un versor vector unitario que tiene una dirección del eje
Z. En nuestro caso, bueno, lo tenemos de esta forma, ya tengo la dirección
del campo eléctrico. Por las condiciones fronteras, ésta sí que es de
interés, que hasta ahora no la habíamos tratado en estos ejemplos, la
densidad superficial va a ser para nosotros igual a cero. Eso significa que
si no tenemos densidades superficiales de carga, por estas condiciones
fronteras, las componentes normales de los desplazamientos en cada una de
estas secciones internas, en esta sección que tenemos aquí de separación
de estos dos medios, van a ser iguales. Estas componentes normales van a
ser iguales. Traducido a las permitividades y los campos eléctricos de
cada uno de estos medios, realmente es remarcar que la permitividad 1 por
el campo eléctrico 1, componente normal, de hecho es la única que hay en
nuestro estudio en este ejemplo, se da igual a la permitividad 2 por la
componente normal 2 de nuestro campo electrostático, que en este caso es
la única componente que tiene nuestro campo electrostático. Fijaros que
en su sistema que no está aislado hay una batería que proporciona un
potencial, luego otra de las condiciones es que aquí la carga depende del
instante en el que nos centremos. No tiene por qué ser constante, pero lo
que es seguro que es constante es el potencial y el potencial es vc. Eso
significa que este potencial lo podemos llegar a establecer como el
producto de los campos eléctricos en cada una región por cada una de sus
distancias. Pues bien, este ya es el primer detalle de interés práctico,
que el potencial lo podemos expresar en función de los campos eléctricos,
de los campos eléctricos, de los campos eléctricos, campos eléctricos
multiplicados por cada una de las distancias o espesores o grosores de
nuestras muestras. Esto es lo que tenemos aquí. Que, si queréis,
recordando esta relación que hay entre el desplazamiento y el campo
eléctrico, también lo podríamos expresar en función del desplazamiento.
Es la misma ecuación escrita de formas diferentes. Ya tengo el potencial.
Como recordamos que la energía electrostática con el condensado es un
medio de la capacidad por el potencial al cuadrado, directamente puedo
calcular esta energía electrostática, sustituyendo la capacidad por el
equivalente a dos condensadores situados, en nuestro caso, en serie. Por lo
tanto, recordar que la capacidad equivalente de los condensadores situados
en serie se calcula mediante la suma de los inversos de la capacidad de
cada uno de estos condensadores, que será igual al inverso de la capacidad
equivalente de nuestro sistema. El resultado que nos queda es este. Aquí,
capacidad equivalente es el producto de las capacidades de cada uno de
estos condensadores, es equivalente a dos condensadores en serie, dividido
por la suma de ellos dos. Si sustituimos la capacidad de cada uno de ellos,
que es recordar que no sería más que la primitividad superficie partido
por distancia, quedaría, a grosso modo, esta expresión que vamos a
simplificar. Simplificando esta expresión, llegaríamos a este resultado.
En donde la energía electrostática nos depende de la distancia. de la
distancia a. Una de estas dos distancias en las que consideraremos como
variables, a la hora de analizar nuestro problema. ¿Cuál derive es?
Bueno, podríamos partir de la idea de que el desplazamiento virtual que
vamos a realizar es de esa superficie de separación entre estos dos
medios, la que está situada a una distancia a de esta superficie que tengo
situada entre medio de primitividad de 1 y medio de primitividad de 2. Por
lo tanto, la fuerza será derivada respecto a este desplazamiento virtual
de esa sección de separación entre los dos medios de permita diferente
que tenemos. Pues bien, haremos entonces, en vez de d y de a, consideramos
la de una constante y a la variable del desplazamiento virtual y derivamos.
Derivamos la expresión que tenemos aquí y encontramos el resultado final.
Si sustituimos el potencial por la expresión que ya teníamos aquí, aquí
encontraremos el valor de nuestra fuerza en función de los parámetros
geométricos propios de este problema. ¿De acuerdo? Ya tendríamos así la
fuerza que, lógicamente, recordando que presión no es más que fuerza por
unidad de sección, daría lugar a la presión electrostática que nos
pide. ¿De acuerdo? Recordar que la presión actúa en la dirección del
dieléctrico de menor permitividad, podríamos decir como caso... habitual,
como caso normal. Y ese sería el ejemplo 5. Vamos ahora a comenzar otro
ejemplo, el ejemplo 6, que también sería de condensadores planos, pero
ahora, como novedad, en vez de tener una permitividad constante en el
medio, vamos a tener una permitividad lineal, es decir, que se modifica en
función de la distancia en la que nos encontramos. No hay dos medios,
entre comillas, porque lo que tenemos es infinitos medios ya que cada uno
de ellos tendrá una permitividad diferente. Todos dependen de la distancia
y en la que nos encontremos. Distancia I, pero cuidado, que no haya
errores. En el sentido de que esta distancia I es la variable que nosotros
tenemos en función de la coordenada I. Es decir, que no se modifica según
la dirección Z, sino según la dirección I. Nos piden en primer lugar
calcular el desplazamiento y el campo eléctrico. El campo eléctrico no
habrá diferencias con el anterior, dado que, teniendo en cuenta que se
trata de dos placas rectangulares en las que, como ya destaco aquí y es
habitual, se desprecian los efectos de borde de nuestro condensador y se
puede entonces considerar que las placas son indefinidas, el campo, como
antes en los ejemplos que hemos visto y grabado anteriormente, es en el
interior uniforme y también nulo en el exterior. Estos son los detalles
que si no los he comentado antes debéis recordarlo en los ejemplos previos
porque son habituales en todos los condensadores planos que nosotros
estamos trabajando. De esta manera podemos simplemente calcular la
diferencia potencial como la integral del campo eléctrico respecto al
diferencial de la posición. En nuestro caso este campo eléctrico también
como antes es una constante luego es el potencial partido por la distancia.
Aquí no hay diferencias. La diferencia está en el desplazamiento porque
el desplazamiento es recordar un medio lineal como es en nuestro caso que
es directamente proporcional al campo eléctrico. Puedo sustituirlo
directamente por esta expresión pero ahora este épsilon, esta
permitividad no es constante depende de la posición I por lo tanto lo
tengo que expresar así. Fijaros en el detalle que sea una dependencia de
la permitida respecto de I no significa que el desplazamiento tenga
dirección U sub I versor unitario según la dirección de FI. El
desplazamiento, como ya os he comentado antes en las condiciones de que es
un condensador de placas indefinidas es de placa a placa es decir, tiene
una dirección Z tanto el desplazamiento como el campo eléctrico en este
medio. Pues bien, una vez que ya tenemos este desplazamiento volvemos a
aplicar la forma de calcular la energía electrostática a través de la
integral, de un medio de la integral del desplazamiento por el campo
eléctrico sustituyendo el desplazamiento por su valor el que hemos
encontrado aquí sustituimos este desplazamiento por su valor y procedemos
a integrar una integral que no es dificultosa donde nos surge una I que es
la integral de unas constantes respecto de la I Fijaros que integro
respecto de I porque el volumen que tenemos aquí este volumen el
diferencial de volumen no será más que la longitud por la distancia de
multiplicado por el diferencial de I ese es el volumen que nosotros estamos
tratando en nuestra integral de energía almacenada es decir, hemos cogido
aquí en nuestro caso si queréis dibujarlo con interés a ver si me sale
porque puede ser un poco dificultoso, sería uno que está evidentemente
fatal está situado a ver si lo puedo hacer de nuevo más o menos sería
este este sería nuestro diferencial diferencial que tiene un espesor como
se ve en el dibujo que es diferencial de I pero esta es su espesor la
longitud, ya se ve en el dibujo que es esta longitud L y esta anchura que
también se ve en el dibujo que es D la sección que nosotros estamos aquí
multiplicada por el espesor el volumen que nosotros estamos aquí tratando
por lo tanto la integral no tiene dificultad así encontramos el valor de
la integral y el resultado final que es el que nos interesaba generado por
esta expresión así hemos calculado la energía electrostática almacenada
en el condensador el campo eléctrico y el desplazamiento ya os lo he
explicado previamente luego ya está contestado el apartado A y el apartado
B vamos al último ejemplo, el último ejemplo práctico que también será
un condensador pero ahora será uno esférico el ejemplo 7 es que tenemos
el sistema de cargas que está formado por una esfera de radio A y de radio
B que tiene una carga 1 en su superficie y otra esfera concentrada con una
carga 2 igual a Q ya no es un condensador aunque os lo he dicho así al
principio por lo menos no es un condensador estándar porque la carga que
tiene en la superficie externa con signo cambiado por lo tanto aunque sea
equivalente en cuanto a las posibles funciones aquí nos han dado dos
sistemas en el que no nos coinciden las cargas internas y externas son
diferentes disculpad que os he dicho inmediatamente condensador aunque es
un ejemplo muy parecido nos piden calcular la energía electrostática del
sistema pero mediante dos métodos diferentes esto es lo que tiene de
utilidad y con esto ya acabaremos ver cómo calcular este sistema de
conductores por el método típico de un medio de la suma por el potencial
o por otro método un medio de la integral del desplazamiento en el punto
escalar por el campo eléctrico por el diferencial de volumen que nosotros
tratemos vamos a empezar por el método este último que os he comentado el
método de la integral del desplazamiento por el campo eléctrico ¿qué
tendríamos que hacer aquí? calcular cuánto vale el desplazamiento y
expresar una función del campo eléctrico pero es un medio lineal
homogéneo en donde el desplazamiento para nosotros es directamente por el
campo eléctrico hay una permitividad constante desplazamiento es igual
entonces a la permitividad por el campo eléctrico podemos sustituirlo
directamente en la ecuación y nos queda un medio de la integral
volumétrica de la permitividad por el campo eléctrico al cuadrado por
diferencial de volumen entonces integremos eso sí, necesito saber cuánto
vale el campo eléctrico en cada una de las regiones del espacio para R
menor que A aplicando el teorema de Gauss como no hay ninguna otra fuerza o
campo externo no tengo ninguna carga en el interior luego el campo, la
potencia será constante y el campo en el interior para R más pequeña que
A será cero para R mayor que B sí que tendremos un campo eléctrico
tendríamos que aplicar también el teorema de Gauss para calcularlo y para
R entre A y B haríamos también una superficie gaussiana como explicamos
en un ejemplo previo que ya hemos grabado para calcular este campo
eléctrico en esta situación intermedia entre A y B hagámoslo por pasos
en principio recordar entre A y B ya lo habíamos demostrado que nos está
diciendo que el campo eléctrico en el interior entre A y B sería
equivalente a lo que generaría toda la carga Q, que está situada en una
distancia R-A si estuviera toda ella concentrada en el centro de dicha
esfera el equivalente a una carga puntual por lo tanto para nosotros ya es
conocido es el mismo que generaría una carga puntual según la ley de
Coulomb un partido por cuatro piezas es un cero carga partido por R al
cuadrado esto entre A y B para una R mayor que B lo que tendremos es un
campo electrostático externo que por la analogía de lo que os he
explicado ahora sería el equivalente al campo electrostático generado por
toda la carga que tengamos en esta superficie gaussiana virtual que me
imagino que hay en el exterior pero toda esta carga es situada en el centro
de nuestras esferas carga total Q1 más Q2 distancia R al cuadrado
multiplicado por la K nos daría el campo eléctrico R mayor que B ya
tenemos así los dos campos eléctricos pues bien, si ya tenemos este campo
eléctrico y este otro campo eléctrico para calcular la energía
electrostática tendría que aplicar para cada zona una integral y otra
integral integrales que las dos de ellas a la hora de sustituir no sean
integrales inmediatas porque nos quedaría en una de ellas a la cero al
cuadrado una integral de una función directamente proporcional inversa de
la distancia al cuadrado y lo mismo la otra con diferentes límites de
integración una desde A hasta B y otra desde B hasta infinito esta sería
la primera, esta la segunda integramos aplicamos la regla de Barrow
sustituyendo los límites de integración al final y al inicial recordad
que al integrar 1 partido por R al cuadrado menos 1 partido por R al
resultado y el infinito al sustituirlo en el límite de 1 partido por
infinito nos daría cero por eso no nos aparece más que en la segunda
integral un único término no 2 como en la primera integral de forma
simplificada esta energía electrostática que nos queda viene dada por
esta expresión y así hemos acabado este problema por el primer método
que os acabo de comentar vamos a realizar el mismo problema por este
segundo método ¿cómo lo haremos? por este segundo método no será más
que recordar que es un medio de la suma de las cargas por los potenciales
calculamos el potencial en la posición R igual a A y en la posición R
igual a B en la posición R igual a A por la analogía del comentario que
os he dado en cuanto al cálculo del campo eléctrico el potencial sería
el mismo que generaría la carga Q1 y la carga Q2 como si estuvieran
situadas en el centro pero no es tan así una de ellas sería a una
distancia R igual a y la otra a una distancia R igual a B ¿de acuerdo? si
estuvieran situadas en el centro pero aquí me he equivocado a la hora de
explicarlo de esta manera quería decir que el potencial me refería al
campo eléctrico el potencial tendría que ser constante por lo tanto
sería el potencial como aquel que ha generado la carga situada en el
centro pero a una distancia igual a la superficie que delimita la carga
real o sea, a una distancia que sería R igual a A para una de las cargas y
R igual a B para la otra el potencial generado por una carga situada en el
centro pero la distancia sería la distancia a la que se encuentra la carga
real R igual a A para una, R igual a B para la otra por eso nos han quedado
estos dos términos o estas dos contribuciones potencial generado por la
carga Q1 en la distancia R igual a A potencial generado por la carga Q2 en
la distancia R igual a B equivalentes a los potenciales generados por estas
cargas situadas en el centro a una distancia R igual a A y R igual a B y
ahora mismo podría hacer el potencial 2 potencial 2 nos quedaría este
resultado la distancia en la que tendríamos para una de las cargas sería
R igual a B y para la otra también R igual a B ya tengo así los dos
potenciales sustituyo y tengo la energía electrostática sustituyo las
cargas en este caso y llegamos a este resultado final el resultado final en
el que nos dan la energía electrostática de forma simplificada idéntica
a la que habíamos encontrado antes de acuerdo con esto hemos comprobado
que podemos realizar por un método o por otro sistemas de conductores el
cálculo de esta energía electrostática bien, con esto hemos acabado
estos ejemplos representativos aparte que vamos con el tiempo justo porque
parece que tenéis dos horas al final y estamos llegando a los últimos
cinco minutos acabamos esta grabación recordar, ya os pondré en el fórum
las grabaciones para que podáis consultarlas cada una de ellas de forma
independiente y por separado y gracias y hasta otra ocasión