Bien, pues buenas tardes. Vamos a empezar una nueva sesión de física y
ahora vamos a trabajar la ley de Gauss. La semana pasada vimos la
electrostática, vimos campo eléctrico, fuerza eléctrica y ahora vamos a
trabajar la ley de Gauss. En definitiva, cómo calcular campos eléctricos
a partir de distribuciones continuas de carga. Así como la semana pasada
estuvimos hablando de cómo calcular campos eléctricos y fuerzas
eléctricas de cargas puntuales, ahora tenemos distribuciones continuas de
carga. Bueno, vamos a introducir el concepto de flujo eléctrico. Mirad,
aquí tenemos una carga eléctrica encerrada en una superficie, como veis.
En la primera tenemos una carga positiva, después dos cargas positivas,
después cargas negativas. El campo eléctrico en la superficie de esta
caja es proporcional a la carga cargada. A mayor carga, mayor campo
eléctrico. Y de hecho los vectores campo eléctricos que veis aquí
dibujados, cuando tenemos doble carga, son más grandes, de mayor tamaño,
mayor módulo. Y nos damos cuenta de una diferencia sustancial, que es que
cuando tenemos cargas positivas, el campo eléctrico va dirigido hacia
afuera. Mientras que si la carga es negativa, el campo eléctrico va
dirigido hacia adentro de la caja. Es que recordemos que el campo
eléctrico es la fuerza. Es la fuerza con que una carga Q atrae o repele a
la unidad de carga positiva. Otra carga positiva va a repeler a la unidad
de carga, y una carga negativa va a atraer a la unidad de carga. ¿De
acuerdo? Ahora bien, fijaos, ¿qué pasa? Estas líneas de campo, ¿qué
valdrá esta línea de campo? ¿No? Claro. Aquí. En el caso anterior,
perdonad, a ver, decimos que tenemos un flujo saliente. Un flujo saliente,
el flujo puede venir representado por el número de líneas de campo que
atraviesan una superficie. Entonces, en los dos primeros casos A y B
tenemos un flujo saliente, en el caso C y D un flujo entrante. Y ese flujo
entrante será mayor, será mayor, ese flujo entrante será mayor, ¿no?
Cuando tenemos doble carga. Ahora bien. Si no hay carga dentro de la caja,
el flujo es nulo. Si, si, la carga que hay en el interior de la caja,
tenemos una carga positiva y una negativa, el flujo total resultante se va
a cancelar. Porque vamos a tener el mismo número de líneas de campo que
salen de la caja que las que entran. Y esto va a hacer que el flujo neto a
través de esta caja sea nulo. ¿Vale? Tenemos una caja que está próxima
a una lámina cargada, cuyo campo eléctrico es perpendicular a la misma. Y
esta carga, esta lámina está fuera de esta caja. Nos damos cuenta que las
líneas de campo que entran por esta caja son las mismas que las que salen.
Y por lo tanto el flujo neto va a ser nulo. Entonces, tenemos que tener
bien claro que el flujo neto a través de una superficie cerrada es nulo,
¿no? Sí, no hay carga encerrada en la caja. Si la carga encerrada en la
misma es nula, el flujo neto a través de la superficie cerrada será nulo.
¿De acuerdo? Entonces, la E es cero, ¿no? La E es cero. ¿Por qué?
Claro, si yo tengo una carga aquí fuera, por ejemplo, positiva, esta
línea de campo que genera... Entra y sale de la caja. Y esto hace que el
flujo neto sea nulo. ¿De acuerdo? Seguimos. Bueno, una superficie cerrada
en forma de caja rectangular y distribuciones de carga, ¿no? Debido a esas
cargas puntuales o láminas infinitas, se tiene lo siguiente. El flujo neto
hacia el exterior o hacia el interior de una superficie cerrada depende del
signo de la carga encerrada. Esto hay que tenerlo claro. Si es una carga
positiva... El flujo será saliente, ¿no? Y si tenemos una carga negativa,
tendremos un flujo entrante. Las cargas que están fuera de la superficie
no provocan flujo neto a través de la superficie. Solo provocan flujo neto
las cargas que están en el interior. El flujo neto es directamente
proporcional a la carga neta contenida en la superficie. Pero no depende
del tamaño de la superficie. Esto es interesante, ¿eh? Depende de la
carga encerrada y no del tamaño de la superficie. Bueno, aquí tenemos una
carga que encierra una superficie, ¿no? Encierra una carga Q. Existe un
flujo saliente. Aquí, la misma caja, ¿no? Que tiene una carga 2Q. Al
duplicar la carga encerrada, se duplica el campo eléctrico. De manera que
el flujo eléctrico también se duplica. Y aquí, ojo, la misma carga
puntual inicialmente, pero doble. Las dimensiones se han duplicado de la
caja. ¿Vale? La magnitud del campo eléctrico en la superficie es un
cuarto menor. ¿Por qué? Porque es un cuarto menor. Porque el campo
eléctrico genera una carga puntual. Es Q partido por R cuadrado. Bueno, si
duplicamos la distancia, como está al cuadrado, el campo eléctrico
disminuye cuatro veces. El campo eléctrico disminuye. Pero la superficie,
la superficie de cada lado, S', que es L' por L', es 2L por 2L, 4L
cuadrado, ¿no? La superficie, la superficie es cuatro veces mayor.
Entonces, el flujo a través de la carga Q, el flujo, que es E por S, va a
ser el mismo que en el primer caso, porque el campo se ha reducido la
cuarta parte y la superficie de cada lado se ha multiplicado por cuatro.
Entonces, el flujo E, ya os he adelantado que es E por S, es un producto
escalar. Si el vector campo y el vector superficie son paralelos, sería E
por A. ¿Vale? Y aquí tenemos la aplicación de este flujo. El flujo es el
producto escalar E por A. El producto escalar del vector campo por el
vector superficie. Esto es así, que es igual a E por A por el coseno del
ángulo que forma. ¿Quién? El vector superficie, que es un vector
perpendicular a la misma, y el vector campo eléctrico. Tenedos cuenta de
estos tres casos que tenemos aquí dibujados. Aquí son paralelos el vector
superficie y el vector campo. Aquí forman un ángulo determinado el vector
superficie y el vector campo. Y aquí forma un ángulo de 90 grados el
vector campo y el vector superficie. Aquí, en el primer caso, tenemos
flujo máximo, E por A. En el tercer caso, flujo nulo. Cero. Y, en el caso
B, un flujo intermedio. Un flujo intermedio que dependerá del ángulo que
forma el vector campo y el vector superficie. Si el campo eléctrico no es
uniforme, debo realizar una integral. Una integral del vector campo por el
diferencial de superficie. Pero, a ver, el flujo eléctrico sería integral
de E por el diferencial de área. Esto es un producto escalar. Sería
integral de E por el diferencial de área por el coseno del ángulo que
forman ambos vectores. Ahora bien, E por el coseno de Z sería la
componente perpendicular a la superficie. Y lo podría transformar de esta
manera. De todas formas, yo siempre os aconsejo considerar el producto
escalar T por A. ¿Vale? Donde el vector A es un vector perpendicular a la
superficie. ¿Qué puede pasar? Bueno, que el campo eléctrico normalmente
siempre debe encontrar que es constante a una distancia determinada. Y
siempre va a poder salir de la integral ese vector campo. ¿Vale? Bueno,
aquí tenéis un ejercicio. Una carga puntual de 3 microcromios está
rodeada por una esfera imaginaria. Centrada en la carga cuyo radio mide
0,2. ¿Cuál será? El flujo. Bueno, aquí tenemos, queremos saber el flujo
a través de esta superficie. ¿A qué será igual? Al vector campo, a esa
distancia, ¿no? Por la superficie. ¿Vale? Fijaos cómo es el vector
campo. El vector campo es un vector radial, ¿no? Que va dirigido hacia
afuera. ¿Sí? Entonces, el flujo es E por A. ¿Por qué ese flujo? E por
A. Porque es E por A por coseno de 0, porque el vector superficie y el
vector campo son paralelos. El campo eléctrico creado por una carga
puntual, que es Q partido 4 pi esilón sub cero R cuadrado. ¿Cuál es la
superficie de una esfera? 4 pi R cuadrado. Entonces me queda que el flujo
eléctrico es Q partido esilón sub cero. El valor de la carga partido de
la constante dieléctrica en el vacío. Y por lo tanto me queda este valor
del flujo. Que con las unidades que tenemos serían las unidades del campo
eléctrico. Newton partido por Coulombio. Y multiplicado por metro
cuadrado. ¿Vale? A partir de aquí vamos a enunciar la ley de Gauss. La
ley de Gauss que nos dice que el flujo eléctrico a través de una
superficie cerrada es la integral curvilínea a lo largo de dicha
superficie del vector campo. ¿Vale? El vector superficie. Y eso es igual,
y eso es la gracia, la importancia del teorema de Gauss para no tener que
resolver esta integral que a veces puede ser compleja. ¿No? Es igual a la
carga total encerrada en la superficie. ¿Ven? La carga total encerrada en
la superficie partido de la constante eléctrica del medio. La constante
dieléctrica del medio. ¿Vale? El flujo eléctrico a través de una
superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total neta dentro de la
superficie. Dividida por la constante dieléctrica. ¿Vale? Hay distintas
formas de expresar la ley de Gauss. ¿No? Esta es la definición del flujo
eléctrico. ¿No? Pues este producto escalar. Aquí con la componente
normal o paralela al vector superficie. Este es el producto escalar. Y de
esta manera. Yo creo que con las dos últimas expresiones es suficiente.
¿No? Pero bueno, si queréis. Saberos las dos primeras. Ningún problema.
¿Eh? Solo que daos cuenta que en la segunda es la componente del vector
campo perpendicular a la superficie. Y por lo tanto paralelo al vector
superficie. Porque el vector superficie es un vector perpendicular a la
misma. Bien. Vamos a ver aquí. Fijaos. En esta superficie. Aquí hay
distintas superficies cerradas. Una azul, una roja, una amarilla. La A. La
B. La C. Y la D. Y el número de líneas de campo que salen de una
superficie es proporcional a la carga neta. ¿Qué valdrá el flujo en la
superficie A? Pues la Q. Q partido de la constante dieléctrica. Y en la
superficie B. Menos Q partido de la constante dieléctrica. Y en C. Como la
carga total neta en C es cero, el flujo neto en C es cero. ¿Y en D? Pues
en D también va a ser cero porque no tenemos ninguna carga en cero.
Cerrada. Entra el mismo número de líneas de campo que salen por D y por
C. Y por tanto, no hay flujo neto. Si yo tengo una carga puntual exterior a
una superficie cerrada, que no encierra ninguna carga, el flujo neto en la
misma es nulo. No quiere decir que no haya campo eléctrico como veis
aquí. Claro que hay un campo eléctrico en la superficie. Tenemos unas
líneas de campo que entran y otras que salen. ¿No? La misma línea de
campo que entra, sale por la superficie. ¿Vale? La misma línea de campo
que entra, sale por la superficie. ¿De acuerdo? Y por lo tanto, el flujo
neto es nulo. Vamos a ver algunas aplicaciones de la ley de Ramos. ¿No?
Tenemos aquí una esfera. Una esfera conductora. ¿Qué significa? Esto de
una esfera conductora. Esto es importante tenerlo claro. Una esfera
conductora puede ser una esfera metálica. En una esfera conductora, en una
esfera metálica, la carga, esto es importante saberlo y va a aparecer
reiteradamente, la carga se distribuye en su superficie. En su superficie.
De manera que la carga en el interior es nula. Y el campo eléctrico en su
interior será nulo. Será nulo. ¿Vale? Esto es importante tenerlo
presente. Siempre en un conductor, la carga en el interior es nulo. Toda la
carga se distribuye en la superficie. Y el campo eléctrico en el interior
es nulo. ¿Por qué el campo eléctrico en el interior es nulo? Porque la
carga en el interior es cero. ¿Vale? ¿Qué pasa? Que para un punto
exterior, a esta esfera conductora, esta se comporta como una carga
puntual, situada en el centro de la misma. Es decir, se puede demostrar que
el campo eléctrico en un punto exterior de la esfera conductora es igual
al que crearía una carga puntual en su centro. ¿Y esto por qué? Porque
el flujo es, a una distancia determinada, es E por A, ¿no? E por A por
coseno de cero. Y sería... A ver, ¿qué vale la E? E por A. La sub... El
área es cuatro pi R cuadrado. Y esto que es igual a la carga que hay
encerrada partido de la constante dieléctrica. De aquí despejamos la E y
me queda uno partido cuatro pi el sinón sub cero Q partido por R cuadrado.
Y ojo, esto es para R mayor que R mayúscula. ¿Eh? Para un punto exterior.
Porque para un punto interior, no. Claro, es que yo tomaría aquí una
superficie gaussiana. ¿No? Una esfera cerrada. Entonces, al aplicar Gauss
en esta superficie cerrada, nosotros vemos que el campo eléctrico,
efectivamente, va hacia afuera. ¿No? El vector superficie también va
hacia afuera. Son dos vectores paralelos y por eso el flujo es E por A. Y
pensad que a una distancia determinada, el campo eléctrico es constante. Y
por eso no hace falta que pongamos la integral. ¿Qué pasa cuando tenemos
un hilo? Un hilo... Un hilo muy largo de longitud infinita que tiene una
densidad lineal de carga, lambda. Una densidad lineal de carga, lambda.
¿No? Que puede ser positiva. ¿No? Una densidad lineal de carga. ¿Cómo
podemos calcular el campo eléctrico? Mirad, siempre que tengáis
densidades lineales de carga o superficies planas o cilíndricas, la
superficie gaussiana... La superficie gaussiana, a considerar, es un
cilindro. Si tenemos esferas, la superficie gaussiana es una esfera.
Buscamos la simetría. Entonces, aquí lo que hacemos es encerrar este hilo
con... Este hilo... ¿No? Que está distribuida en un alambre delgado de
longitud infinita, lo encerramos en un cilindro de radio justo a la
distancia donde queremos calcular el campo eléctrico. Y de longitud, lo
mismo que el hilo. ¿Veis? Siempre podemos encontrar dos puntos simétricos
de este hilo, de manera que el vector campo eléctrico se va a compensar
las componentes horizontales y nos va a quedar que la componente al
resultante es perpendicular al cilindro. ¿Vale? Esto sería el vector
campo. Siempre encontraremos dos puntos simétricos de este hilo conductor,
de este alambre cargado. Y el vector superficie, como veis, va hacia
afuera. A una distancia determinada el campo va a ser constante, puede
salir fuera de la integral. Por lo tanto, el flujo eléctrico sería el
vector campo por la superficie de este cilindro. ¿Y cuál es la superficie
de un cilindro? 2 pi r por L. La superficie de un cilindro es 2 pi r por L,
la longitud de la base, o la altura. ¿Veis? 2 pi r por L. ¿Y cuál es la
carga encerrada? ¿Cuál es la carga encerrada? Q. La carga encerrada. La
carga encerrada es lambda, la densidad lineal de carga, por la longitud. La
densidad lineal de carga por la longitud. Porque la densidad lineal de
carga es la carga por unidad de longitud. ¿Vale? Entonces, si yo dejo la
carga como lambda por L, ¿no? Y simplifico, me queda que el campo
eléctrico, perdón, el campo eléctrico que genera un hilo conductor a una
distancia r es esta expresión que tenemos aquí. Es inversamente
proporcional a la distancia y directamente proporcional a la densidad
lineal de carga. Vamos a otro ejemplo. Un plano, ¿no? Tengamos un plano,
una lámina plana infinita cargada. Entonces, como os he dicho antes, en
este tipo de distribución lo que hacemos es utilizar un cilindro. Y vamos
a introducir, ¿no? Vamos a introducir un cilindro, ¿no? Aquí, en una
parte de este plano. Y siempre vamos a encontrar dos puntos simétricos,
dos puntos simétricos de este plano, tales que se van a compensar los
campos eléctricos y el campo eléctrico resultante va a ser perpendicular
a la misma. El campo eléctrico resultante va a ser perpendicular a la
misma en las dos bases, en las dos bases. ¿No? El vector superficie, ya
veis que el vector superficie es un vector perpendicular y dirigido hacia
afuera por las dos bases. Entonces, el flujo total que tenemos en este
cilindro, en esta superficie cerrada, se debe a las dos bases y no hay
flujo por la cara lateral porque siempre encontraremos dos puntos
simétricos de este plano cargado tal que haga que el campo eléctrico
resultante sea perpendicular a las dos bases. Entonces, el flujo total a
través de este cilindro es dos veces E por A. ¿Por qué? Porque es el
flujo a través de una cara y de la otra cara de este plano. Y esto es
igual a la carga total encerrada que tenemos aquí en este cilindro, que es
la carga que tenemos aquí en la superficie. ¿Y qué vale esta carga?
Bueno, esta carga lo podemos representar de otra manera. Bueno, no se va a
poder hacer. Bueno, es como la densidad de carga sigma sigma es Q partido
por la superficie esta Q será ahora sigma por A. ¿Vale? Entonces,
aplicamos el teorema de Gauss, la ley de Gauss que E por diferencial de A
es igual a la carga encerrada partido de la constante eléctrica. El flujo
es 2EA y también es igual a la carga total partido de epsilon sub cero. Y
nos queda esta expresión del campo eléctrico creado por una distribución
plana de carga. Que es similar a lo que vimos en su momento, el primer día
cuando hicimos una extensión ¿no? de tener un disco, si os acordáis de
radio muy grande y veíamos que en las proximidades de ese disco de radio
un tamaño muy grande que haríamos el símil de un plano infinito era
sigma partido 2EA sub cero. Es mucho más fácil el cálculo de este campo
eléctrico aplicando la ley de Gauss que no por aquel método de
integración que tuvimos que aplicar en su momento y aproximaciones que
realizamos. ¿Qué pasa si tenemos dos láminas conductoras paralelas con
cargas opuestas? Una con densidad de carga más sigma y la otra con
densidad de carga menos sigma. Bueno, pues si nos vamos a la izquierda el
campo eléctrico creado por la placa positiva iría hacia la izquierda E1 y
por la placa negativa hacia la derecha E2. Entonces ¿qué valdría el
campo eléctrico resultante a la izquierda? Pues es E1 menos E2 pero el
módulo de E1 es el módulo de E2 porque esto es sigma y por lo tanto
sería cero. El campo eléctrico resultante en los puntos externos de estas
dos láminas conductoras que tienen la misma densidad de carga y signo
contrario sería nulo. Mientras que entre las dos cargas positivo y
positivo se repelen E1 hacia la derecha positivo y negativo se atraen E2
hacia la derecha el potencial en el interior del campo eléctrico sería E1
más E2 es decir, sigma partido de 2 epsilon sub cero más sigma puedo
poner el valor absoluto porque en esto va a ser positiva 2 epsilon sub
cero. Por lo tanto sigma partido epsilon sub cero. Este sería el campo
eléctrico resultante entre dos láminas que tienen la misma carga la misma
densidad de carga y de signo contrario. Ahora tenemos el caso de una esfera
cargada uniformemente. Ojo, ya no es lo mismo que una esfera conductora.
Aquí esta carga está distribuida en todo el volumen de la esfera. ¿Vale?
Entonces fijaos la superficie verde es la esfera es un aislante esférico
que tiene una densidad de carga rho, no es una esfera conductora. Es un
aislante esférico y esa carga se distribuye en todo el volumen de ese
aislante. Si fuera una esfera conductora la carga se distribuiría en la
superficie de la misma. ¿Vale? Entonces si yo dibujo una superficie
gaussiana en el interior de radio R minúscula aquí sería de color morado
y si aplico la ley de Gauss nos damos cuenta de entrada que siempre
encontraré dos puntos simétricos en esta esfera para que el campo
eléctrico sea perpendicular y dirigido hacia afuera. A su vez el vector
superficie también va a ir dirigido hacia afuera ¿no? porque es
perpendicular a la misma. De manera que al hacer el producto escalar sería
E por coseno de cero es decir E por cuatro pi R cuadrado. Esto sería igual
a la carga encerrada la carga que hay en el interior partido de la
constante eléctrica ¿Y cuál es la carga que hay encerrada? Porque claro
esta E sería igual a uno partido cuatro pi S1 sub cero la carga encerrada
o interior partido por R cuadrado. ¿Y cómo podemos calcular esta carga
encerrada? Pues mira Podemos calcular en términos de rho o mira, por
ejemplo Q es la carga total Q que es la carga total es rho por el volumen
de la esfera cuatro tercios de pi R cubo La carga que hay en el interior es
rho por cuatro tercios de pi R cubo por lo tanto la carga que hay en el
interior es igual bueno, partido la carga total es igual a R cubo partido R
cubo por lo tanto la carga interior es igual a la carga total por R cubo
partido R cubo y puedo sustituir aquí uno partido cuatro pi S1 sub cero
vale y donde pongo Q interior pondré Q por R cubo partido por R cuadrado
me queda R partido por R cubo mayúscula esta es la expresión del campo
eléctrico en el interior en función de la carga total vemos que es
directamente proporcional a R y por eso tenemos aquí esta línea que es
este crecimiento lineal del campo eléctrico hasta que llega a la
superficie vale ¿qué valdrá en la superficie? pues cuando R minúscula
sea igual a R mayúscula R minúscula igual a R mayúscula y me quedará
como veis aquí uno partido cuatro pi S1 sub cero Q partido R cuadrado ¿y
qué pasa en un punto exterior? habría que dibujar otra esfera gaussiana
una superficie cerrada por aquí y aplicar otra vez lo mismo pero para un
punto exterior ¿cuál es la diferencia con respecto a lo de antes? a lo
visto hasta ahora bueno, el campo seguirá siendo perpendicular hacia
afuera el vector superficie seguirá siendo hacia fuera pero ahora la carga
encerrada que hay aquí es la carga total y por lo tanto será E por el
área igual a la carga partido S1 sub cero E cuatro pi R cuadrado Q partido
S1 sub cero E es igual a uno partido cuatro pi S1 sub cero Q partido por R
cuadrado vale entonces el campo eléctrico que crea esta distribución
volumétrica de carga en un punto exterior es análogo al que crearía una
carga puntual situada en su centro veis que es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia y por eso tenéis esta ecuación esta especie esta
curva de parábola que va disminuyendo E con R cuadrado carga en una esfera
hueca bueno, aquí si yo tengo una esfera hueca de radio tal y tiene una
cantidad desconocida de carga y me dicen que a una distancia determinada el
campo eléctrico tiene un valor ¿cuál será la carga? bueno, es que la
carga sabemos hemos visto nosotros el campo eléctrico en un punto exterior
y una carga en hueca es esta si R es la distancia en la cual yo sé el
campo eléctrico puedo calcular la carga que hay en la superficie dice que
el campo eléctrico apunta radialmente hacia dentro de la esfera si apunta
radialmente hacia dentro de la esfera ¿qué quiere decir? es decir, yo
tengo una esfera con un campo eléctrico que va dirigido hacia dentro
entonces la carga que yo tengo en esta superficie es una carga negativa
¿vale? y el campo eléctrico a una distancia determinada el módulo del
campo eléctrico viene dado por esta especie que he puesto aquí arriba no
hay que olvidarse que será una carga negativa porque la línea de campo va
dirigida hacia dentro bueno esto también es muy interesante cargas con
conductores y huecos ¿no? porque esto también entró en el examen el año
pasado quiero recordar mira, vamos a ver cuando tenemos un conductor
sólido con una carga Q ¿no? esta carga Q hay que tener siempre muy claro
que cualquier conductor sea una esfera conductora o un cilindro conductor
la carga siempre se distribuye en la superficie siempre se distribuye en la
superficie ¿vale? de manera que la carga en el interior es nula y el campo
eléctrico del interior es nulo siempre el campo eléctrico del interior de
un conductor cargado eso es nulo y la carga es nula ¿vale? y si tengo una
cavidad en este conductor bueno el campo eléctrico en todos los puntos de
dentro del conductor ha de ser cero el campo eléctrico debe ser igual a
cero en todos los puntos de la superficie gaussiana y por lo tanto la carga
que hay en el interior es nula y toda se distribuye en la superficie pero
ojo, lo interesante es el tercer caso en una cavidad no varía la
situación el campo eléctrico en el interior es nulo la carga es nula del
conductor y no se produce ninguna variación en cuanto a la distribución
del campo eléctrico pero si esta cavidad tiene una carga como por ejemplo
positiva para que se pueda cumplir sea cero en el interior en todos los
puntos del interior del conductor lo que ocurre es que se induce una carga
negativa no, en el interior de la cavidad y a su vez una carga la misma
carga positiva se induce en la superficie exterior o es decir menos Q
dentro y una carga más Q fuera de manera que la carga total que hay en la
superficie es Qc más Q de esta manera se sigue cumpliendo que el campo
eléctrico en el interior del conductor es cero porque si yo dibujo una
superficie gaussiana morada como veis aquí y aplico Gauss la carga total
encerrada en esta superficie gaussiana y por lo tanto el campo eléctrico
en el interior será nulo porque dentro de esta superficie morada tengo una
carga más Q la carga puntual y menos Q en la cara interior de la cavidad
importante aquí tenéis un ejemplo un conductor sólido con una cavidad
tiene una carga total de más 7 dentro de la cavidad esta carga de menos 5
de la cavidad induce una carga más 5 en la cara interna en la superficie
interna del conductor y una carga menos 5 en la parte externa y una carga
menos 5 en la parte externa menos 5 y más 5 de manera que la cara externa
la superficie externa tendrá una carga total de más 2 nanocoulombios
sobre la superficie exterior la cara interior tendrá menos la superficie
interna tendrá una carga de más 5 pero la carga total seguirá siendo
más 7 de esta esfera de la esfera conductora la carga total es más 7
porque yo he inducido una carga menos 5 y más 5 en la superficie interna y
externa de manera que la carga total en esa superficie en ese conductor
sólido sigue siendo más 7 en la interna sería más 5 y en la externa
más 2 bueno esto es importante cuando se dio a estudiantes pues un
problema que involucraban cargas en conductores eléctricos más del 40%
dan respuestas incorrectas falta de compresión de que las cargas afuera de
un conductor no tienen efecto en el interior del mismo ¿vale? aunque tenga
cavidad interior cualquier carga externa a un conductor no tiene ningún
efecto en el interior del mismo también que las cargas en el interior de
una cavidad dentro de un conductor afectan a la distribución de carga
tanto de las paredes, la cavidad como de la superficie exterior del
conductor lo hemos mencionado importante y aquí tenemos el campo en la
superficie de un conductor cualquiera que tenga una forma geométrica
cualquiera mirad si tenemos aquí un conductor encerramos una parte de este
conductor en una superficie cilíndrica nosotros siempre podremos encontrar
dos puntos simétricos que hagan que el vector campo eléctrico sea
perpendicular a la superficie y que por lo tanto el campo eléctrico en la
superficie de cualquier conductor es normal a la misma y dirigido hacia
afuera ¿vale? y dirigido hacia afuera por lo tanto, el vector superficie A
va es un vector perpendicular y dirigido hacia afuera ¿vale? el vector
superficie es un vector perpendicular y dirigido hacia afuera ¿vale?
entonces fijaos el campo eléctrico en la base interior del cilindro es
nulo porque no hay carga toda la carga se distribuye en la superficie
externa del conductor ¿vale? en la carga interna no en el interior del
conductor no hay carga por lo tanto el flujo será E por A por coseno de
cero igual a la carga que hay en el interior partido de la constante
dieléctrica ¿y cuál es la carga que hay en el interior? pues sigma es Q
partido por A ¿Q qué es? sigma por A partido de epsilon sub cero luego E
es igual a sigma partido de epsilon sub cero el campo eléctrico es igual a
la densidad superficial de carga partido de la constante dieléctrica del
centro bien os quería comentar aquí tenéis este archivo me han pedido
una serie de grabaciones para preparar un poco la asignatura son las
grabaciones de un curso cero que hice el año pasado y que si lo
descarguéis del archivo podéis acceder a las mismas es campo, potencial
eléctrico, ley de Gauss que es importante capacitadores resistores puertas
magnéticas, magnetismo es una parte muy significativa de la asignatura que
yo os recomiendo que lo trabajéis que os puede servir si tenéis base pues
no es necesario pero otras personas me han comentado a ver aquí lo indico
vale entonces vamos ahora, me he equivocado ahora el archivo es este bueno
vamos a trabajar una serie de ejercicios que recomienda el equipo docente
que trabajemos vale, de acuerdo bueno una superficie hemisférica de radio
R en una región de un campo eléctrico uniforme tiene este eje alineado
como veis en la dirección del campo tiene que calcular el flujo a través
de la superficie mirad, el flujo a través de una superficie cerrada como
es el caso de esta semiesfera es el mismo por la superficie plana que por
la superficie curva evidentemente que nos va a ser mucho más fácil
calcularlo con la superficie plana entonces el flujo es el punto escalar de
E por S porque estamos en un campo eléctrico uniforme y el ángulo forma
cero grados, el vector superficie el vector campo aquí al vector
superficie le he llamado S antes le hemos llamado A según qué
bibliografía consultéis veréis A o S son sinónimos A o S de superficie
vale entonces el flujo sería por cuatro pi r cuadrado vale y este sería
el flujo bien aquí está la solución y aquí tenemos se rocía una capa
muy delgada uniforme de pintura sobre con una esfera de plástico para
obtener una carga de menos cuarenta y nueve microcoulombios vale una esfera
de doce centímetros vale, encuentre el campo eléctrico apenas dentro de
la capa de pintura inmediatamente fuera de la capa de pintura y cinco
centímetros afuera de la superficie vale, el sub cero bueno, la carga se
distribuye en la superficie si la carga se distribuye en la superficie
veamos el círculo azul de cinco centímetros en la superficie gaussiana el
flujo en el interior de esta superficie gaussiana es nulo porque la carga
es nulo y por lo tanto el campo eléctrico en el interior de esta esfera de
plástico esta bola de plástico va a ser nulo porque la carga se
distribuye todo en la superficie es una carga negativa como veis de menos
cuarenta y nueve nano coulombios podemos poner menos aquí en la superficie
ahí ya tendríamos la carga el flujo sería e por s q interna partido de c
sub cero evidentemente es un flujo entrante y ya podría haber puesto cos
980 vale, pero he preferido tomar el módulo del campo perdón, el módulo
de la carga y a partir de aquí despejar el campo eléctrico que sería
newton partido por coulombio vale y este sería el campo eléctrico pero
ese campo eléctrico es radial y dirigido hacia dentro tendríamos un flujo
entrante en la superficie por eso he puesto menos ocho coma setenta y
cuatro u sub r este signo menos quiere decir que es radial hacia dentro
para r igual a once porque once sería a cinco centímetros afuera sería
la misma expresión del campo eléctrico ¿no? donde r siempre es la
distancia centro centro porque hemos dicho antes siempre que tengamos una
distribución esférica de carga ya sea conductora en la superficie o en un
aislante toda la carga distribuida en su interior se comporta como una
carga puntual situada en el centro de la esfera y por lo tanto la
expresión que podemos utilizar es uno partido cuatro pies uno sub cero u
partido por r al cuadrado y esto sería la expresión dos coma seis
multiplicado a siete newton partido por coulombio tendría un carácter
radial y dirigido hacia dentro vale bueno, seguimos aquí tenemos dos
líneas uniformemente cargadas son grandes de longitud son paralelas y
están separadas a una distancia cada línea tiene una carga puntual de
longitud lambda ¿cuál es el módulo de la fuerza que ejerce una línea de
carga en una longitud de la otra? mira, aquí lo que tenemos que ver es
cuál es el campo eléctrico que genera una línea de carga donde se
encuentra la otra y para hacer esto lo que tenemos que hacer es dibujar una
superficie gaussiana una superficie gaussiana sería aquí un cilindro de
justo el radio en el cual queremos calcular este campo eléctrico vale
aquí tenemos el cilindro justo el mismo radio al cual queremos calcular el
campo eléctrico siempre encontraremos dos puntos simétricos de estos dos
hilos lo suficientemente largos para que el campo eléctrico sea siempre
perpendicular a la misma el vector superficie es un vector perpendicular
¿eh? y dirigido hacia afuera a ver, un momentito esto sería el vector
superficie A o si queréis S pero bueno, como habíamos calculado ya
previamente el campo eléctrico creado por un hilo con tutor infinito no lo
vuelvo a calcular ahora ya lo hemos contado, repasad lo que hemos visto
antes la fuerza que actuará ¿no? será el campo eléctrico por el valor
de la carga pero cargo la carga, ¿qué carga? la carga del segundo hilo
conductor que corresponde a una longitud determinada con una densidad
lineal de carga Q será lambda por L vale, entonces la fuerza será el
valor del campo por el valor de la carga que es lambda por L vale pues a
partir de aquí sustituyendo tendremos esta fuerza es una fuerza que tiene
un carácter radial dirigido hacia afuera porque son dos hilos conductores
que tienen una densidad positiva bueno, aquí tenéis la solución venga,
una esfera conductora hueca de radio exterior 0.25 y radio interior 0.2
tiene una densidad superficial de carga de 6.37 por hilo elevado a menos 6
se introduce una carga de menos 5 dentro en el centro de la cavidad interna
¿cuál es la nueva densidad de carga en el exterior? calculo la intensidad
del campo eléctrico justo fuera de la esfera y el flujo a través de la
superficie esférica dentro de la superficie interior de la esfera tenemos
una doble esfera con una cavidad interior y ponemos una carga en el
interior de menos 0.5 microcolombios bueno me da la densidad superficial de
carga inicial en la superficie vamos a ver que podemos hacer este ejercicio
ya empieza a ser más interesante bueno pues el campo eléctrico en el
interior del conductor sabemos que es nulo aquí dentro va a ser nulo bueno
tenemos una densidad de carga de 6.37 por hilo elevado a menos 6 voy a
calcular vamos a calcular la carga que tenemos en la superficie que es
sigma por s sigma por 4 pi r al cuadrado y tengo la carga vale ahora bien
que pasa aquí si yo pongo una carga negativa en el centro en la cavidad de
menos 0.5 microcolombios se induce en la cara interna de esta esfera de
esta doble esfera conductora la misma carga de signo contrario más q y a
su vez en la cara externa se induce la carga de menos q de manera que la
carga que se produce en la esfera conductora en la cara interior más q en
la cara exterior menos q no hace cambiar la carga total del sistema no
cambia pero si la distribución de carga y esto hace que la densidad de
carga en la superficie externa sea diferente porque la carga total en la
superficie externa sería q1 5 por 10 elevado a menos 6 menos los 0.5
microcolombios por lo tanto en total tendríamos 4.5 microcolombios de
carga externa y por lo tanto la densidad superficial de carga sería la
carga partido por el área q partido 4pi r cuadrado q partido 4pi r
cuadrado donde la densidad de carga la densidad de carga sigma ¿no? es
5.73 por 10 elevado a menos 6 5.73 por 10 elevado a menos 6 importante que
entendamos esto el funcionamiento de las cavidades en el interior de un
conductor entonces el campo eléctrico en un punto exterior de la esfera se
calcula a partir de la ley de gauss ¿vale? la superficie gaussiana de
radio justo a la distancia donde queremos calcular el campo eléctrico
¿vale? e por e es igual a la carga interior partido de 0 sub cero entonces
el campo eléctrico en un punto exterior de la esfera vendría dado por
esta expresión ¿vale? un momentito que estamos aquí la carga es 4.5
microcolombios y r es 0.25 metros ¿vale? sería dado por esta expresión
¿vale? 1 partido de 4 piezas 0 sub cero q interior partido de r cuadrado
este sería el campo eléctrico en un punto exterior ahora bien, ¿cuál
sería el flujo a través de la cara interior del conductor? como la carga
es negativa de menos 0.5 microcolombios el flujo hacia dentro hacia dentro
de la cara interior sería menos 0.5 microcolombios partido de la constante
hidroeléctrica y tendríamos un flujo entrante un flujo entrante ¿de
acuerdo? si, venga bueno, aquí tenéis también la solución por el
solucionario venga, aquí tenemos un cilindro sólido y muy largo de radio
r tiene carga positiva distribuida de manera uniforme con una carga
funcional de volumen de rho cuidado determina la distribución del campo
eléctrico dentro del volumen con distancia de radio del cilindro en
términos de rho ¿y cuál es el campo eléctrico en un punto fuera del
volumen? en términos de la carga por unidad de longitud suponiendo que
ahora tengamos una densidad de carga por unidad de longitud lambda y
compare las respuestas bueno, vamos a verlo ¿no? aquí tenemos a una
distancia r bueno ah utilizamos una superficie gaussiana de la misma
longitud que nuestro cilindro y de radio justo a la distancia donde
queremos calcular el campo el vector superficie es un vector perpendicular
a la misma eh, ya sabéis va dirigido hacia afuera aquí tenemos el vector
superficie el vector superficie aquí en las bases esto sería el vector
superficie ¿vale? y aquí el vector superficie ¿vale? pero sólo
tendríamos flujo por la cara lateral porque el campo eléctrico es radial
¿vale? entonces por gauss que sería e por s igual a q partido de la
constante dieléctrica ¿qué vale la superficie de un cilindro? pues 2 pi
r por l 2 pi r que es la longitud de la base por la altura ¿vale? y q
interior partido de epsilon sub 0 a partir de aquí ¿qué valdría la
carga que hay en el interior? la carga que hay en el interior es la
densidad volumétrica ¿no? la densidad ro por el volumen ro por pi r
cuadrado y por l ro pi r cuadrado y por l ¿no? que es el volumen del
cilindro ¿de acuerdo? a partir de aquí nosotros podemos calcular el campo
eléctrico y el campo eléctrico vemos que es ro r partido 2s 2s sub 0
donde r es la distancia estamos dentro de esa distribución volumétrica de
carga ¿eh? estamos dentro de esta distribución volumétrica de carga ¿de
acuerdo? si ahora tenemos un punto exterior a ver si estamos con un punto
exterior la expresión que nos quedaría con una densidad lambda ¿no? q
partido por l ahora tendríamos que la carga encerrada sería lambda por l
lambda por l ¿vale? ¿de acuerdo? lambda por l y entonces en un punto
exterior aquí tendríamos la expresión del campo eléctrico a ver si me
seguís ¿vale? para r mayor que r ahora bien ¿qué pasaría en la
superficie? en la superficie esta sería la expresión del campo en la
superficie ¿no? en función de lambda ¿y cuál sería la expresión del
campo? ¿no? en función de r de r ¿no? en la superficie en función de ro
si yo estoy en un punto exterior ¿no? y tengo la carga distribuida
volumétricamente esta sería la expresión en un punto exterior ro r
cuadrado partido por r ¿vale? en un punto exterior en un punto exterior
disminuye inversamente proporcional a r en un punto exterior ¿vale? ahora
bien estas dos expresiones del campo eléctrico en azul y en verde ¿a qué
nos llevan? ¿no? en la superficie estamos en la superficie comparemos el
valor en la superficie para r minúscula igual a r tengo esta expresión en
función de ro y esta expresión en función de lambda ¿vale? ¿es la
misma la expresión del campo eléctrico o no? vamos a ver que relación
existe entre ro y lambda es que ro ¿no? fijaos ¿no? como la carga que hay
en el interior yo la puedo expresar en función de ro que sería ro pi r
cuadrado por l o bien como lambda por l densidad lineal por la longitud
ambas cargas deben ser iguales entonces esta es la relación que existe
entre lambda y ro y si sustituimos en cualquiera de las dos expresiones del
campo vemos que una es equivalente a la otra y que las expresiones del
campo eléctrico son las mismas y aquí tenéis una gráfica ¿cómo varía
la expresión del campo dentro va aumentando hasta tener un valor máximo y
después disminuye inversamente en velocidad a r una hipérbola permitidme
que abra otro archivo de problemas adicionales si aquí tenemos una esfera
sólida conductora de radio r que tiene una carga positiva q concéntrica
con un cascarón aislante muy delgado ¿no? de radio 2r que también tiene
una carga q la carga q está distribuida de manera uniforme en el cascarón
aislante encuentre el campo eléctrico ¿no? en cada una de las regiones
dentro y entre el cascarón, es decir una esfera conductora sólida de
radio r la carga está distribuida en la superficie que es la azul después
un cascarón aislante de carga q que está distribuida de manera uniforme
¿no? bueno vamos allá veamos para r menor que r como la carga es nula, el
campo eléctrico será nulo porque en el interior de una esfera conductora
la carga es nula y el campo eléctrico es nulo entre r y 2r dibujamos una
superficie gaussiana una esfera de radio r y vemos que el campo eléctrico
¿no? pensemos que la carga dentro que tenemos la carga q de la esfera
conductora tendremos por lo tanto un campo eléctrico que es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia ¿eh? al cuadrado de la distancia,
este es un cuadrado y para una distancia mayor que 2r ¿no? ahora tenemos
una esfera concéntrica y ahora la carga en el interior será 2q será 2q
¿vale? esta sería la expresión del campo entonces vemos la gráfica
dentro es 0, pasa un valor máximo disminuye, cuando pasa en la superficie
de la segunda esfera ¿no? que es aislante, tiene una carga q aumenta su
valor porque la carga total es 2q y después vuelve a disminuir bueno aquí
tenemos un cascarón esférico con radio interior a y b y tiene una carga
puntual positiva q localizada en su centro la carga total del cascarón es
menos 3q que está aislada de su ambiente obtenga expresiones para la
magnitud del campo eléctrico en función de r menor que a en las distintas
zonas ¿vale? y la densidad de carga también bueno aquí tenemos un poco
lo que ocurre ¿no? tenemos una carga q dentro, en la cavidad y una carga
menos 3q en la parte exterior ¿vale? menos 3q tendremos unas líneas de
campo que entran debido a esa carga menos 3q exterior, una línea de campo
salientes a una carga más q ¿vale? entonces el campo eléctrico creado
por una carga puntual en el interior es kq bueno, 1 partido de 4 pies al
segundo q partido por r cuadrado ¿no? en esa zona interior tenemos ese
campo eléctrico creado por una carga puntual ahora bien en la zona entre a
y b el campo eléctrico es nulo ¿por qué? porque esa carga más q induce
en la carga interior una carga menos q y después una carga más q roja,
como veis en la parte externa de manera que si yo dibujo una superficie
gaussiana entre r, a y b la carga total neta es nula como hemos mencionado
antes y por lo tanto el campo eléctrico será nulo la carga en el
interior, en ese cascarón es cero ¿vale? vale ahora si nos vamos a una
parte exterior tenemos que la carga interior de la superficie gaussiana de
radio b sería más q menos 3q, menos 2q y el campo eléctrico viene dado
por esta expresión que va dirigido hacia dentro porque la carga es
negativa menos 2q ¿vale? ¿cuál sería la densidad de carga superficial
en la carga interior? el cascarón pues q partido la superficie ¿y en la
exterior? pues su carga, que ahora es 2q partido su superficie ¿y qué va
en los campos eléctricos? pues aquí veis un campo eléctrico que va
disminuyendo con la distancia dentro del hueco, se hace nula en el
cascarón adquiere otro valor ¿no? sube y después disminuye con r
cuadrado ¿vale? bueno aquí tenemos otro de cascarones ¿no? a ver una
esfera conductora de radio r tiene carga total positiva la esfera está
rodeada de un cascarón aislante con radio r y exterior 2r el cascarón
aislante tiene densidad ρ, encuentra el valor de ρ de manera que la carga
neta de todo el sistema sea igual a 0 y si ρ tiene el valor obtenido en el
inciso a calcule el valor del campo eléctrico en cada una de las regiones
represente sus resultados con una gráfica componente radial bueno vamos
allá dice una esfera conductora sólida de radio r la esfera está rodeada
de un cascarón aislante con radio r y exterior 2r ¿vale? bueno aquí lo
tenemos un cascarón aislante con densidad de carga ρ y de 0 a r tenemos
una esfera conductora sólida con carga q distribuida en su superficie la
carga en el interior es nula y por tanto su campo eléctrico será nulo
¿cuál es la carga en el cascarón aislante? bueno pues sería la densidad
de carga por el volumen ¿no? que es el volumen del radio externo menos el
radio interior del cascarón la carga neta resultante se anula ¿no? ¿qué
tiene que valer? la densidad de carga pues bueno la carga de la esfera
conductora más la carga del cascarón aislante ha de ser 0 y a partir de
aquí la densidad de carga ha de ser esta negativa ¿vale? de acuerdo r en
el interior ya sabemos que es 0 ¿vale? y para r entre r y 2r cuidado el
flujo es e por s igual a la carga que hay en el interior sustituyendo el
valor de rho que hemos obtenido antes y despejando e podemos obtener la
expresión del campo eléctrico dentro de ese cascarón entre r y 2r que se
hará nulo en la superficie para r igual a 2r ¿no? justo en la superficie
aquí tenéis la representación bueno esto es lo que la pregunta que cayó
el año pasado este es un problema que cayó el año pasado en el examen y
este es uno similar que tenéis en el libro es el 2249 ¿no? que valdría
la pena mirarlo es lo último que vamos a hacer hoy disculpad aquí tenemos
una esfera hueca aislante que tiene radio interior a y radio exterior b
dentro del material aislante la densidad volumétrica de carga está dada
por alfa partido por r donde alfa es una constante positiva en términos de
alfa y a ¿cuál es la magnitud del campo eléctrico a una distancia r del
centro del cascarón? ¿vale? y se coloca una carga puntual q en el centro
¿y cuál debe ser? ¿qué valor debe tener q para que el campo eléctrico
sea constante en esta región? bueno, vamos a verlo ya hemos hecho muchos
ejercicios y estamos cansados pero vamos a ver estamos aquí tenemos que en
esta zona la densidad de carga es r partido por r entre a y b en rojo
tenemos la superficie gaussiana que es una esfera concéntrica la carga
encerrada en la superficie gaussiana sería diferencial de q igual a rojo
diferencial de volumen ojo que la densidad de carga no es constante
entonces tengo que hacer la integral y pensar que el diferencial de volumen
de una esfera es 4 pi r cuadrado diferencial de r ojo con estos detalles
importante esto es la densidad de carga, esto es la carga el volumen, el
diferencial de volumen y la carga sería ro por diferencial de volumen y
nosotros calculamos la carga de a a r que sería en función de r vale, de
manera que la carga total sería integral de a a b y sería esta la carga
total dentro del material aislante de a a b vale bien, ahora lo que
queremos es tener la expresión del campo eléctrico en esta zona e por la
superficie es igual a la carga encerrada a partir de la constante
dieléctrica del medio es areal el vector campo y el vector superficie
tienen la misma dirección y sentido y a partir de aquí, operando podemos
obtener la expresión del campo eléctrico vale el campo eléctrico creado
por una carga puntual sabemos que es esta expresión que tenemos en el
centro y se desea que el campo eléctrico en la región entre a y b sea
constante entonces la suma del campo eléctrico de la carga puntual más el
campo eléctrico en esa corona con intensidad de carga alfa partido por r
ha de ser constante y para que sea constante no debe depender del radio o
lo que es lo mismo el término que depende en r cuadrado menos el otro
término que depende de r cuadrado ha de ser igual a cero y a partir de
aquí, nosotros debemos despejar q, y esta debe ser la carga que debo tener
en el centro para que el campo eléctrico en esa zona corona tenga un campo
eléctrico constante y ese campo eléctrico constante valdrá alfa partido
por r porque los otros dos términos se van a compensar se van a anular
teniendo q este valor q2 alfa pi por a cuadrado y el campo eléctrico
tendrá este valor constante en esta región entre a y b pues nada más,
muchas gracias