y seguimos con la tutoría vale, pues este problema, como nos queda mucho
ahora empiezo para recuperar el terreno, lo tenéis resuelto es un problema
de elasticidad de la barra eso lo sustituir números ¿vale? es en la
fórmula que tenemos ya hemos visto que la ecuación diferencial del más
es esta, con la variable y esto implica que el periodo es este y es
sustituir números, el problema nos da la masa, la longitud la sección, el
módulo de yaun no te lo da dice alambre de cobre pues lo que tienes que ir
es ir a una tabla del módulo de yaun y yo encontré en su momento pues
esto ¿no? ese es el módulo de yaun del cobre sencillito no creo que
tengáis problema para resolverlo es numérico, ¿vale? pues ahora vamos a
ver una expresión interesante, es decir que la dinámica del más es
ubicua, significa que está en toda la física, incluso es algo que llaman
las ciencias sociales, bueno a mí no me gusta decir ciencias sociales, yo
Diría las sociales, ¿no? La ciencia para mí es otra cosa. Pues en
sociales también uno puede modelizar fenómenos sociales con dinámica y
en particular con dinámica del más. A 03, sí, eso suena muy duro, pero
bueno, yo opino lo mismo que Feynman y Feynman, salvando la diferencia, era
premio Nobel y sabía mucho más física que yo. Eso es lo que opinaba. Y
no te digo ya lo que opinaban sobre los psicólogos. Bueno, una pausa. Os
recomiendo un libro, si no sé si lo habéis leído, ¿Qué dice usted, Mr.
Feynman? O Bienvenido con Mr. Feynman, está en español en Alianza. Era
una biografía recogida de la infancia y de la época de Feynman en el
proyecto Manhattan. Y ahí cuenta la experiencia de Feynman cuando lo van a
valorar en el ejército para hacer la mili porque acaba la guerra, él
había estado toda la guerra. Pues. En Los Álamos y como era un tío,
¿está usted de broma, señor Feynman? Perfecto, Rey García, ese era el
título que se me ha olvidado. Libro altamente recomendable, lectura para
cualquier físico en verano, ¿no? Entonces. Hay una escena, no creo que
era el segundo tomo, donde como él es un tío honrado y no ha hecho la
mili porque estaba en Los Álamos con la bomba atómica, aunque él hacía
poco de bomba atómica, estaba con los primeros ordenadores que se usaron
para hacer esas cuentas, pues ya dice, bueno, pues tendré que ir a hacer
la mili. Entonces va a pasar la revisión médica y el médico le declara
no acto porque es tonto. Eso fue a partir de ahí su opinión sobre
ciencias sociales y en particular psicología, os la podéis imaginar.
Bueno, que me he ido, que tenemos poco tiempo. Que la dinámica es ubicua,
está también en las sociales y entonces un ejemplo lo vamos a ver en
fluidos. Un tubo en forma de U por ambos extremos en contacto con la
atmósfera está lleno de un fluido incompresible de densidad Rho. El área
de la sección transversal A del tubo es uniforme y de valor A. La longitud
total de la columna del líquido es L. O sea, aquí tenemos un tubo. Por
aquí tenemos aire, por aquí tenemos aire. Ahora se utiliza un pistón de
alo. Es lo que os decía, la física está siempre en las condiciones
iniciales. Si yo al tubo no le hago nada, aquí jamás pasará dinámica.
Entonces, ¿qué tengo que hacer para provocar una dinámica? Dar una
condición inicial y dice, se utiliza un pistón para presionar la altura
de la columna de fluido en una longitud x0. Es decir, yo cogeré por aquí,
meto un pistón y eso se moverá por aquí un poquito en x0. Y ya no hago
nada más, quito el pistón. Pues, ¿qué ocurrirá? ¿Qué pensáis que
ocurrirá? Pues que esto oscilará. Una vez estará por aquí arriba, otra
vez estará por aquí abajo. ¿Se sigue? A partir de las condiciones
iniciales, sobre mi nivel de referencia, la parte de la derecha estará por
arriba, la de la izquierda por abajo y viceversa. Cuando la de la derecha
esté por abajo, la de la izquierda estará por arriba. ¿Veis las
oscilaciones mentalmente? ¿Sí? Vale. Pues entonces, la pregunta es,
¿cuál es la frecuencia de movimiento? ¿Cuál es el movimiento
resultante? Suponer flujo laminar y que no hay rozamiento en las paredes
del tubo. Eso, si se ha visto algo dinámico de fluido, os dice que os
pongáis en condiciones casi ideales. No hay rozamiento con el tubo. y no
hay rozamiento entre capas. O sea, es como si fuera en un péndulo o en un
muelle que no consideramos la viscosidad aerodinámica. Pues estamos en
condiciones iniciales, pues voy a resolver este problema aplicando en vez
de las leyes de Newton la conservación de la energía. En el esquema con
el que hemos empezado el tutorial os dije que se podrían hacer los
problemas de las dos formas. Aquí parece más sencillo usar la energía.
Voy a usar la condición de que la energía mecánica es constante. Es
decir, una vez que yo haya hecho lo del pistón, pues perseguiré un
incremento de m pequeñito de fluido en rojo. Se va moviendo y en un
instante dado ese incremento de r sobre el nivel de referencia se habrá
elevado a x. ¿Qué es x? Que es una función del tiempo, es mi grado de
libertad. Es lo que me indica lo que una pequeña cantidad de fluido se ha
elevado sobre el nivel de energía potencial cero. ¿Veis? Que este nivel
de referencia lo pongo a energía potencial cero. ¿Estáis de acuerdo?
¿Vale? Entonces, ¿qué es la energía potencial? La masa por g por lo que
se ha levantado la cantidad de fluido x en el instante t. El incremento de
masa, esta masa aquí en rojo, será ρ, la densidad del fluido, por la
sección del tubo, por x. ¿Estáis de acuerdo en que ese es el incremento
de m por g por x? ¿Todo el mundo entiende esta ecuación? ¿Todo el mundo
entiende esta ecuación? Perfecto. Entonces me queda ρ por a por gx al
cuadrado. ¿Es de un muelle? Bueno, sí, se va a parecer, pero no estoy
usando para nada un muelle, a 0 o 3. Estoy usando solamente los conceptos
de fluidos y potencial, pero si parece a la potencia elástica, perfecto.
Es lo que tú dices de la forma kx cuadrado. ¿Vale? Ahí tenemos el más
ya casi oculto. Y ahora, en la energía cinética llamaré v sub x a la
variación dx. Y aquí, respecto de t, eso es la velocidad. Entonces, la
energía mecánica en todo instante es la cinética más la potencial. La
cinética es un medio de ρ a lv cuadrado. Y la potencial roa x cuadrado.
¿Por qué en la potencial aparece x y en la cinética aparece l? Toda la
longitud del tubo. ¿Alguien me lo puede decir en el chat? ¿Por qué en la
energía cinética aparece toda la longitud del tubo y en la energía
potencial x? Apagado, perfecto, todo se mueve. En la energía cinética
todo el fluido se mueve. Pero en la potencial solo una parte se eleva, la
que se eleva a x. Todo elemento del fluido tiene energía cinética y la
variación de energía potencial son los cachitos incremento de m que van
subiendo o bajando. He hecho la foto cuando sube. Intentar hacer este
problema bajando y ver que se obtiene lo mismo por el lío de los signos.
Entonces, ¿todo el mundo entiende esta ecuación? Pues se ha acabado. Una
vez que tienes un problema con un grado de libertad donde la energía
mecánica es constante, ¿cómo obtienes el equivalente a la ley de Newton?
Esto es el método laranjeano en términos de laranjeanos. Pues deriva
respecto al tiempo. La derivada de la energía mecánica es cero, la
derivada de la energía mecánica por la izquierda es cero y por la derecha
que te queda. 2, bueno, esta v de aquí es la que he llamado v sub x,
pondría v de x. Vale, pues entonces me queda la derivada de v cuadrado,
aparece un 2 que se va con este 2 y me queda ro a lv por la derivada de v
respecto de t y la derivada de esto parece un 2, el 2 por ro por a y me
queda gx por la derivada de x respecto de t igual a 0. Luego esta ecuación
igualada a 0 es esta, luego esta ecuación es 0 cuando este término de
aquí es 0. Esto por esto es 0 si lo que está en el paréntesis es 0,
independientemente de ro y de a y de v. Luego esta es la ecuación de un
más, sí, lo es, donde identifico 2gl con la frecuencia natural del
sistema y a partir de aquí tengo el periodo y todo lo demás. ¿Preguntas?
¿Se entiende? El más es ubicuo. ¿Preguntas? Vale, pues seguimos. M.
Menéndez dice que no lo entiendes, 33 me dices que es lo que no entiendes,
M. Menéndez 33, no hay preguntas, perfecto, vale, pues el V de X, dice R.
Sánchez, el V de X no lo entiendo, es una tontería media de anotación,
le podría haber llamado a todo V, pero si aquí he dicho que V de X es la
derivada de X respecto de T, derivada de X respecto de T, como todo el
fluido se mueve con la misma V, cuando aquí pongo V, por consistencia de
anotación debería poner V sub X, y aquí V sub X, y esta V sub X es
derivada de X respecto de T, ¿vale? Es por consistencia de anotación. La
velocidad del cachito es la misma que la de todo el fluido, todos se mueven
con la misma velocidad. ¿Más preguntas? Vale, pues un ejemplo de más en
circuitos eléctricos. Gracias. ¿Cómo sabes cuando el término, esto es
importante, dice J. Nieto 3143 que cómo sé cuando el término es
equivalente a v sub cero cuadrado? Cuando yo obtengo el patrón del más,
comparo con lo que sé de teoría. Mi patrón del más es aceleración del
grado de libertad más un número constante al que llamaré v cero cuadrado
por x igual a cero. Esto es lo que yo sé de la teoría de la clase
anterior. Y lo leo como aceleración más, como dice acelerado 3,
aceleración más constante por posición igual a cero. Lo que multiplica
la posición es la frecuencia natural al cuadrado. ¿Qué he obtenido en
este problema? Aceleración más constante por posición igual a cero.
Luego lo que multiplica la posición tiene dos GLs omega cero cuadrado.
Cualquier constante vale entonces sí, J. Nieto, siempre que el patrón sea
aceleración más constante por posición. Acuérdate que en el más era
aceleración. Acuérdate que en el más era aceleración más constante por
posición más g. Entonces, en principio no valía, había que alinealizar.
Eso es importante lo que ha preguntado J. Nieto. ¿Todos lo entendéis?
Tenemos que comparar, como dije en la introducción, el patrón de la
teoría de un más con lo que obtenemos en la dinámica en cada problema.
¿Vale? Perfecto, pues seguimos. Muy bien, pues un ejemplo muy divertido y
muy interesante de ingeniería eléctrica, de ingeniería eléctrica de
circuitos. Considera un circuito formado por un condensador inicialmente
cargado y una bobina ideal de resistencia nula. Se denomina frecuencia
natural del circuito la frecuencia con la cual se transfiere energía desde
el campo electrostático del condensador a la bobina y viceversa. Determina
la frecuencia natural del circuito. Bueno, el problema está por ahí
planteado, pero la gráfica la he tomado de Wikipedia, que tiene una
animación muy divertida sobre esto. Bien, aquí tenemos un condensador y
aquí tenemos una bobina. A ver, en términos prácticos, ¿qué es lo que
hace que un condensador y una bobina se parezcan? A ver, ¿qué es lo que
hace que un condensador y una bobina sean elementos físicos parecidos? Muy
bien, Acerado dice almacén de energía. Los dos cumplen dos cosas. Los dos
son almacén de energía y los dos son jaulas de campo. La energía
asociada a un campo, campo eléctrico o campo magnético, es una energía
deslocalizada. La energía se presenta en los sistemas físicos de dos
maneras. Localizada en un sólido, tú coges una bola de acero de medio
metro esférica, la tiras y la energía que tiene, ¿dónde está
almacenada? En el volumen del sólido. Pero luego la energía puede estar
deslocalizada en el espacio en campos. Entonces un condensador lo que hace
es atrapar campo. Una bobina lo que hace es atrapar campo. En el caso de la
bobina atrapa campo magnético, en el caso del condensador atrapa campo
eléctrico. Y lo que dice Acerado de almacén de energía es cierto, porque
la densidad de energía, llamémosle un minúscula, que es la energía
potencial electrostática, energía potencial electromagnética partido
volumen, para el condensador va como una constante proporcional al campo al
cuadrado. Y para la bobina, la densidad de energía, energía por unidad de
volumen, es proporcional al campo, en este caso, magnético al cuadrado. Y
en este sentido, una bobina y un condensador son como un muelle mecánico,
almacenes de energía. Entonces, la frecuencia natural que vamos a calcular
del más en este problema tiene mucho sentido físico. Porque es la
frecuencia con la que, si no hay pérdidas, da cuenta que en este circuito
no hay batería. En este circuito se va a generar una corriente y lo que va
a hacer es transportar toda la energía electrostática, se convierte en
energía magnética. Y luego toda la energía magnética se convierte en
electrostática. El sistema oscila intercambiando energía electrostática,
toda la que hay sin pérdidas, en energía magnética en condiciones
ideales, con esta frecuencia. ¿Se entiende lo que he dicho? Pues vamos a
verlo. No es un problema sencillo con mucha física. Esta es la animación
muy divertida. Que podéis ver en Wikipedia. Entonces, básicamente, cuando
el condensador está transformando la energía, pues va pasando una cierta
corriente que entra en el bobinado. Esta es la dirección del campo
magnético, esta es la dirección del campo eléctrico. El más donde está
aquí, en el cambio del sentido. Entonces, cuando se ha vaciado todo,
cambia la polaridad en el condensador, el campo eléctrico va de más a
menos, entonces va para arriba, la intensidad cambia de sentido y cambia el
sentido en que la recorre la bobina, por lo tanto cambia el sentido del
campo magnético. Entonces, yo ahora podría hacer, igual que hemos visto
en mecánica o en elasticidad, la dinámica en un instante de tiempo cuando
estoy aquí o cuando estoy aquí al resolver el circuito. El resultado en
los dos casos es el mismo más. Pues aquí tengo que optar por una, pues he
resuelto la dinámica en este sentido. Aquí tengo la bobina, que es
equivalente a esta diferencia de tensión y he cogido el sentido de la
corriente aquí. Aquí entonces he puesto la polaridad positiva y negativa.
Eso se corre. Eso se respondería en el circuito con, he cogido un instante
de tiempo de estos. Podría resolver el problema con un instante de tiempo
de estos. ¿Veis que el jaleo del signo de la eje U que está siempre en el
más, aquí también? Bueno, pues en algún lado lo tengo que hacer, lo
hago en este y lo único que hay que hacer para resolver el circuito es
usar la segunda ley de Kirchhoff. La suma de caídas de tensión es cero,
es decir, si este punto es A y este punto es B, V sub A menos V sub B más
V sub B menos V sub A, un circuito cerrado es cero. Primero, la caída de
tensión con este sentido de la corriente en la bobina es positiva, en el
condensador es negativa, me queda esta ecuación. Ahora, daros cuenta que
para obtener el más yo tengo que tener o intensidad o carga, me fijo aquí
en la intensidad. La intensidad es menos la derivada de Q respecto de T.
¿Alguien me puede decir de dónde viene este signo menos? Pensad que todo
el jaleo de los problemas va a estar en los signos más y menos de donde
viene. Porque en este problema la intensidad es A. Primero, un signo menos
que viene de recorrer por Kirchhoff las caídas de tensión a través de la
bobina y a través del condensador. Esto viene de la teoría de circuitos.
Y este signo menos de dónde viene, que la intensidad es menos la derivada
de Q. Perfecto, acerado 3, viene de la física De la descarga del
condensador Estoy en una foto donde el condensador Descarga, este menos
quiere decir Que el condensador cada vez queda menos carga Luego tengo que
poner esta intensidad Aquí, pues con ese signo Menos, me queda En el otro
problema, en otro instante De tiempo, el condensador cargaría Y entonces
ahí sería positivo, pero en los dos casos Se llega a esto ¿Por qué hay
caída de tensión? R. García, eso lo tienes que ver, es que tenemos que
entrar en circuitos Entre los bornes De un condensador que se descarga Hay
caída de tensión, y entre los bornes De una bobina también ¿Habéis
visto algo de circuitos? En física 1 o física 2 Pues habrá que esperar a
que veáis electricidad En mi época sí que se veía circuitos en primero
¿Vale? Bien Entonces La ecuación que hemos obtenido Y parece que no es
nada de mecánica Es que la segunda derivada de la carga Más una constante
que es 1 partido del C Es Por la carga es igual a 0 ¿Quién hace aquí el
papel de la X? Claramente el papel de la X lo está haciendo ¿quién? La
X, la Q de T. Luego esto es, sigue este patrón, es un más. Daros cuenta
que hay una analogía profunda entre mecánica y electricidad. Yo puedo
considerar los sistemas mecánicos comparado con los circuitos eléctricos
intercambiando el papel que hace la masa por la autoinducción L de las
bobinas. El papel que hace la constante K de los muelles como el uno
partido la capacidad del condensador. Y el desplazamiento mecánico del
grado de libertad con la carga. Esto permite, bueno, hace unos meses estuve
en un tribunal de tesis de ingeniería donde en la tesis se cogía un
software de, se me ha olvidado el nombre, además un software libre de
análisis de circuitos bastante complicados con muchos grados de libertad y
entonces se resolvían problemas mecánicos de nanotecnología PESPICE de
ACOZAN, es el PESPICE, hay un equivalente gratuito del PESPICE en software
libre. No me acuerdo el nombre, si me mandas un correo te lo diré. Se
puede descargar y practicar, es un programa duro de manejar. Y entonces, en
la tesis lo que se resolvía era un problema de nanotecnología, de acoples
con muchos grados de libertad, donde se transformaba el problema mecánico,
nanomecánico, en circuitos equivalentes. Y en vez de usar la integración
numérica con software, o sea, con programas que tú te tienes que
calcular, usaba la resolución de circuitos del equivalente de T-SPICE. Muy
interesante, ¿vale? Pues el fundamento de esas analogías es eso que os he
puesto aquí. Y entonces vemos en las siguientes tutorías, en amortiguadas
y forzadas, cómo va progresando esta analogía de circuitos. Recordad que
este es el circuito más sencillo que se puede tener. Aquí hay
transmisión de electrones a intensidad, suponiendo que no hay resistencia
por ningún lado. Es como un muelle que oscila quitando cualquier
rozamiento mecánico. ¿Se entiende? Entonces, la analogía, luego esto, es
equivalente a esto. Preguntas, observaciones, seguimos, ¿no? Vamos fatal
de tiempo, en fin. Bueno, pues lo que se haya entendido se entiende. Y eso
que son dos horas. Dice un amigo mío, profesor amigo mío, que os dé
tutorías de dos horas más que una tutoría es un secuestro, porque
fíjate si nos quedamos más del tiempo. Bueno, pues aquí tenemos un
ejemplo de sólido rígido, oscilaciones en sólido rígido. Es un ejemplo
además, un problema que os sirve para muchos ejemplos. Aquí tenemos un
sólido rígido, tiene volumen pero va a oscilar en un plano. Mi sistema de
referencia es x, y, perpendicular z. El sólido rígido oscila en un plano,
luego esto es una sección del sólido. Voy a coger un centro de gravedad,
g, donde aplico el peso. El sólido puede girar respecto a un eje
perpendicular en el eje z que pasa por el punto p. Luego aquí tenéis que
ver un eje perpendicular que pasa por el punto p. Y la distancia b, que
forma un ángulo tecta con la vertical, es la distancia, es el parámetro
de la oscilación, es la distancia entre el centro de masas, y el eje de
giro, el eje que pasa por el punto p. Aquí hay una desgracia de notación
que espero que nos lleve a confusión. Que en el gráfico podía haber
llamado al punto P con cualquier letra del abecedario, pero
desgraciadamente le puse P y coincide con la P del peso. Bueno, pues
intentaremos sobrevivir a eso. Aunque cada vez que lo veo me pongo de los
nervios. Bien, pues ¿cuál es la dinámica? ¿Cómo obtenemos la dinámica
de este problema? Obtendremos que el momento de la única fuerza externa,
que es el peso, el momento mecánico del peso respecto al punto P, que
recordad que es el vector PG por el peso, aquí he puesto P mayúscula al
punto, y P minúscula al peso, este momento será igual al momento de
inercia por la aceleración angular. Si me calculo este momento de inercia,
el producto vectorial de PG por P me queda menos seno detecta BMG en la
dirección K. ¿Todo el mundo ve este producto vectorial? Decidme. ¿Y veis
el signo menos? Perfecto. Vale, pues entonces la dinámica de rotación,
esto es problema sólo con dinámica de rotación de un sólido rígido,
que es que el momento del peso es el momento... el momento de inercia del
sólido... menos si por el sentido por el sentido pg por p al buscar el
vector posición pg el peso por el camino más corto va a ser el sentido de
las agujas del reloj en el referencial significa sentido negativo o haces
el producto el determinante en si entra en el plano correcto y aquí me
queda que ese momento es el momento del sólido respecto al punto p que
pasa por z multiplicado por alfa que es la aceleración angular recordar
que alfa no va a ser otra cosa que la segunda derivada del grado de
libertad que es tecta muy bien pues que me queda entonces me queda que
menos tecta b por mg es igual al momento inercia por textados porque he
puesto arquitecta porque en el problema hay que volver a analizar esto no
oscila como un más volverá a aparecer las funciones elípticas de jacoby
si la solución exacta si no pongo que el seno detecta es tecta a primer
orden lo aquí he puesto que el seno detecta aspecta y aquí me queda el
momento de inercia Por lo tanto, en esta ecuación todos veis que
dividiendo por el momento de inercia me queda aceleración más constante
por posición igual a cero. Y esto es un más. Y ahora para cada placa,
para cada sólido en concreto, tendré que calcular su momento de inercia y
su distancia B. De forma que la frecuencia natural al cuadrado sería este
término, la frecuencia esto y el periodo esto. Todo el mundo ve esto.
¿Hasta aquí alguna problema? Y ahora tenemos entonces preparado, hemos
resuelto el péndulo físico para cualquier geometría. Por eso me gustó
hacer este problema. No sólo para un tipo de sólido. ¿Vale? Pues
entonces en el siguiente problema tenéis, lo tenéis resuelto, tres
sólidos diferentes. Regla, anillo y disco. ¿Cómo oscila? Y lo que hay
que aplicar entonces es esta ecuación. ¿Vale? Pues lo tenéis resuelto.
¿Se entiende? En esos tres casos. Y veis que los periodos son diferentes.
Bien, el siguiente problema del 2.5 es una masa M sujeta a un muelle. Esto
se va a parecer mucho a lo que hemos hecho con la barra, pero vamos a
hacerlo con todo detalle para que visualicéis aquello que hemos visto en
la primera parte de la tutoría, lo de aplicar la ley de Hooke como
intensidad de la fuerza, como módulos, y darle prioridad al sentido de la
tercera ley de Newton. Vale, pues el problema dice obtener la ecuación de
movimiento para la masa M. Aquí hay una masa M y un muelle, obtener la
ecuación de movimiento. Pregunta, ¿oscila? B, en su caso, obtener la
frecuencia y el periodo. C, determinar la posición de la masa M en todo
instante del tiempo. Muy bien. Pues vamos a usar el paradigma con el que
vamos a resolver los problemas. Primero centrados a la izquierda. Voy a
usar a resolver el problema en equilibrio. ¿Qué ocurre en equilibrio? Que
yo tengo un muelle, tengo una masa. Por poner la masa al muelle, estáis de
acuerdo que el muelle se estirará una pequeña cantidad. A esa cantidad le
llamo delta E. Para que no haya lío, no le llamo ni X ni delta sub E.
¿Qué es delta sub e? Lo que se ha estirado el muelle cuando le coloco la
masa. Por lo tanto, delta e no es movimiento de masa. ¿Estáis de acuerdo?
¿Se entiende la notación? Delta sub e, lo que se ha deformado el muelle
cuando le coloco la masa. Todo está en equilibrio. Primero, segunda ley de
Newton. Fuerza de Hooke partido mg. Esta fuerza, ¿cómo la saco en la
dirección? Tercera ley de Newton. El muelle está en contacto con la masa.
Al hacer el diagrama de Sion Libre, ¿qué fuerzas actúan sobre la masa m?
La fuerza de campo y la fuerza de contacto, como una tensión. Ahora,
¿cómo saco el módulo de la tensión? El módulo de la tensión lo saco
de la ley de Hooke. Estoy usando la ley de Hooke en forma estalar, sin
signo. F de k es k por delta e. Luego aquí pongo k delta e, aquí pongo mg
y ¿qué me queda? Me queda k delta e menos mg igual a cero. k e menos mg
igual a cero es la ligadura de equilibrio. Este problema, el valor de k...
Y de lo que se deforma el muelle no puede ser cualquier cosa. La constante
K del muelle por delta E necesariamente siempre va a ser M por G. Si me
pidieran delta E, la podría calcular, pero no me la piden. ¿Se entiende
la ecuación de ligadura? ¿Preguntas? Entonces, dinámica. Ahora el muelle
estaba aquí en equilibrio. Pues yo puedo hacer ahora el problema, agito el
muelle, lo perturbo y unas veces estará arriba y otras veces estará
abajo. Hago una foto y voy a resolver la dinámica cuando la masa M está
dispuesta Y de T hacia abajo. ¿Qué es Y de T? La posición de la masa, no
del muelle, en el instante T. Pero daros cuenta que he alargado el muelle,
chapucero, pero se ve el muelle más grande. Cuando la masa M se ha
desplazado Y de T de su posición de equilibrio igual a cero, el muelle
está deformado una cantidad delta de T que no es delta de E. Tendré que
relacionar delta de T con delta de E e Y en todos los problemas. Se
entiende que es Y y que es delta de T. Delta de T es lo que se ha deformado
muy en el instante T con la dimensión M. A de sola dice, ¿por qué me
casca delta? Por el equilibrio a de solas. Si la masa M está aquí quieta,
la fuerza menos el peso es cero. ¿Estás de acuerdo, de sola? Y la fuerza
la saco de la ley de Hooke. Delta M menos MG igual a cero. Equilibrio.
¿Seguimos? Cuando estoy fuera del equilibrio, cuando la masa M se ha
desplazado hacia abajo, Y de T, el muelle se habrá deformado, en este caso
estirado, si se hubiera comprimido, delta de T. Y deberé relacionar delta
de T con Y y con delta de T en todos los problemas. Bueno, pero hecho esto,
aplico el diagrama de sólido libre y es el mismo que en equilibrio. Como
esto lo veo como una tensión, ¿qué fuerzas actúan sobre masa M? Aquí
no hablo de ley de Hooke, hablo de la tensión. F sub K menos MG. ¿Y ahora
qué me queda? Que F sub K, positiva, porque para positivo mi sistema de
referencia es hacia arriba. Menos M sub G, porque el peso va hacia abajo,
es igual... ... A menos masa por aceleración. ¿Alguien me puede decir por
qué he puesto este signo menos? ¿Por qué pongo menos masa por
aceleración? No tiene nada que ver con la ley de Hooke. ¿Alguien me lo
puede decir? Porque he hecho una foto cuando la masa M está hacia abajo. Y
aceleración hacia abajo es negativa. ¿Estáis de acuerdo? ¿Se ve o no?
Mi sistema de referencia, segunda ley no tiene un vestidial. Cuando está
bajando, aceleración para abajo. La aceleración tiene signo. ¿De
acuerdo? ¿Vale? ¿Y ahora qué vale F de K? Ahora es cuando voy a ampliar
la ley de Hooke. En forma escalar. F de K es K por delta de T. ¿Qué es
delta de T? Lo que está deformado el muelle en este instante de tiempo.
¿Alguien me puede decir lo que vale delta de T? Cuando la partícula ha
bajado Y, ¿qué vale delta de T? Cuando la partícula ha bajado Y de T,
¿qué vale delta de T? La suma del equilibrio más I perfecto, como tenía
delta de... Pues aquí lo tenéis, será delta M así, ¿estáis de
acuerdo? Delta de T es delta M así. Eso es lo que hay que hacer en todos
los problemas. Relacionar lo que se deforma el muelle con lo que se mueve
la partícula y con lo que tenía el muelle en equilibrio. Pues ya, pongo K
delta E menos I de T menos Mg igual a menos masa por aceleración. Me queda
algebraicamente masa por aceleración más K E menos Mg más K igual a
cero. ¿Y por qué K E menos Mg es cero? Porque aquí se te cuela siempre
la condición de equilibrio trabajando así. Y me queda la ecuación de un
más. Si veis este problema resuelto en muchos libros, acuden al odioso
cambio de coordenadas. Yo no he hecho ningún cambio de coordenadas. Solo
he gastado una variable Y. Para la masa y una variable delta de T para el
muelle relacionada con la delta de equilibrio. Os invito a que hagáis este
problema para ver si lo habéis entendido cuando la masa M sube. Y debéis
de obtener la misma ecuación. Pero ahora, claro, cuando sube, ¿qué será
delta de T? Será delta de menos I de T. correcto a cero la resta cuando
sube delta de terrestre dice carna por qué y si d t y m g bajas a ver por
parte dice cada una pero porque si dt y mdg bajan tiene signo distinto no
mdg negativo masa por aceleración negativo no caranda ya de eso dice y la
aceleración es positivo al subir correcto si yo ahora cogiera el aire te
subiendo aquí pondría un más comunidad de solas se entiende porque estoy
un sistema de referencia de newton dar cuenta que hay mucho jaleo de signos
está la recuperación que estamos intentando evitarla pero siempre tienes
un tema de signo que es que la segunda ley del newton es vectorial aunque
estéis en una dimensión yo mantengo el criterio hacia arriba positivo
hacia la derecha positivo y le pongo signos a los vectores preguntas se
entiende a partir de aquí el sistema estilo con más Y sería negativa
intrínsecamente no J nieto, porque esto oscila. La I unas veces irá para
abajo y otras se irá para arriba. La IDT es la dependencia a seno o a
coseno, que es la solución del math. Y cuando pongas IDT a seno o coseno
tienes valores de tiempo negativos, que significa que estás por debajo de
la posición de equilibrio, y valores positivos, que significa que estás
por arriba de la posición de equilibrio. ¿Se entiende? Entonces ya estoy
hecha un lío sobre qué poner a cada uno del igual. A caranda, tal como yo
lo estoy explicando, a la derecha de la segunda ley de Newton tienes que
poner la aceleración con el signo que le toca en el sistema de referencia
en el que trabajas. ¿Se entiende, caranda 1? La aceleración con el signo
que toca. Lo que tenemos en un día de solas principalmente es la
dirección correcta de solas. Tal como yo lo estoy haciendo así los
problemas... Mirad con lo que se ha puesto. No estoy poniéndole a la ley
de Hooke un significado vectorial. Yo de la ley de Hooke solo saco la
intensidad de la fuerza FK. La dirección de FDK me la da una tensión, la
tercera ley de Newton. Y será positivo o negativo según el sistema de
referencia en el que esté. Yo remito a la primera parte donde lo hemos
hecho con todo detalle para el tema de la barra. Las cuatro posibilidades,
subiendo o bajando, con ley vectorial o sacando solo la intensidad. No os
parezca que sois tontos por liar estos fines. En casi todos los libros de
física no se habla de esto porque, en fin. Dice a la aceleración le ponen
negativo porque empieza a oscilar. No, adhesora, no porque empieza a
oscilar. Porque hago una foto, el sistema estará unas veces arriba y otras
abajo. Hago una foto cuando está abajo, ¿vale? Si ya quiero, hago la foto
cuando está arriba. Yo la dinámica solo la puedo resolver en un instante
de tiempo. Con la segunda de Newton, ¿estáis de acuerdo a cosas? No es
cuando te di. Tú la dejas de oscilar y puedes resolver la dinámica cuando
haces una foto, haces una foto arriba del vídeo o abajo. Esa por lo menos
es mi visión de los problemas, de la resolución de los problemas. ¿Sí?
¿Vale? Muy bien. ¿Seguimos? Vale. Una vez que tenemos la oscilación
resuelta, se ha acabado y todo lo demás, sacamos el más, lo tenemos ahí
resuelto. El lío siempre está en los signos. Vale, pues ahora vamos a ver
una parte muy interesante y prestar atención porque muchas veces en los
exámenes va de esto, que es pequeñas oscilaciones y linealidad. Lo que
vamos a descubrir, no sin asombro, es que casi cualquier cosa en la
naturaleza, bajo condiciones muy generales, oscila como un más. Y eso
tiene que ver con lo que se llama en los textos pequeñas oscilaciones.
Nosotros hemos visto que el patrón de un más es cualquier sistema
dinámico donde la aceleración más una constante por la posición es
igual a cero para ese grado de libertad, ya sea un circuito donde era QDT o
dinámica donde es variación de la posición. Bien, entonces dice aquí,
un sistema con un grado de libertad x de t es lineal si su ecuación
diferencial de movimiento Edo, la segunda ley de Newton, la estamos viendo
en esta tutoría como una ecuación diferencial de segundo orden. ¿Todos
entendéis que quiero decir con una ecuación diferencial de segundo orden?
¿Todo el mundo entiende eso? Es diferencial por lo que las ecuaciones
aparecen derivadas y segundo orden porque su máxima derivada es la
segunda. Bien, pues un sistema con un grado de libertad es lineal si su
ecuación diferencial de movimiento Edo es una función lineal de la
coordenada x que especifica la configuración del sistema. Esto es, la
ecuación diferencial del movimiento del sistema segunda ley de Newton debe
ser suma de términos lineales en x conteniendo a lo sumo la potencia de x.
Tenéis que dar cuenta de la estructura de la ecuación diferencial. La
ecuación diferencial que es derivada segunda. Respectivamente. Respecto
del tiempo al cuadrado, el patrón más, la constante omega cero cuadrado,
solo aparece en la x elevado a uno. en ese sentido se dice que esta
ecuación diferencial es lineal no sería lineal si en la ecuación
diferencial aparecieran el grado de libertad como potencias al cuadrado
¿se entiende? o al cubo o a cualquier otro lado pues en las tutorías
estas y en las siguientes, lo sabéis, llamaremos ecuación homogénea a
esta ecuación diferencial igual a cero donde aquí tenemos derivada
segunda de x más constante por x más algo que veremos en la siguiente
tutoría que multiplica a la primera derivada de x si está igualada a cero
la llamaremos homogénea y si está igualada a una función del tiempo g de
t le llamaremos inhomogénea, pero observar tanto la inhomogénea como la
homogénea son ecuaciones diferenciales lineales ¿estáis de acuerdo?
¿por qué? porque en la ecuación diferencial en la ecuación diferencial
la x la x no es la segunda derivada, la x solo aparece aquí elevado a uno
tanto la homogénea como la inhomogénea son ecuaciones diferenciales
diferenciales lineales de segundo orden entonces un teorema de las
matemáticas, el teorema de superposición que es fundamental en todo esto
dice que si un sistema es lineal, cumple el principio de superposición
dadas dos soluciones de la Edo su combinación lineal también es solución
se deduce a partir del principio de superposición que siempre que podamos
escribir la solución más general de uno, de la inhomogénia, para
cualquier fuerza externa G de T como suma de la solución general de la
homogénea más una solución particular, eso lo sabéis de ecuaciones
diferenciales, ¿de acuerdo? el que en esta ecuación diferencial el que en
la ecuación diferencial inhomogénia podamos decir que la X de T, esto
serán las soluciones la oscilación forzada que la X de T sea una
solución particular de la propia XP de T particular de esta más una
solución de la homogénea que es una solución de esto Esa propiedad
viene, se puede hacer porque la ecuación diferencial es lineal, la
importancia de la identificación. Y ya he puesto otra propiedad importante
de la ecuación diferencial tanto del más de las amortiguadas como de las
forzadas, bueno de las forzadas no, esta propiedad solo es del más y de
las amortiguadas, es la invariancia bajo traslación temporal. Dada una
solución de esta ecuación diferencial, cualquier otra x de t' donde t' es
una traslación temporal de t también lo es. La justificación matemática
la tenéis aquí, la regla de la cadena cambia al hacer derivada de t
respecto de t' el resultado es el mismo y la razón física es que la
física no cambia para la dinámica de esta ecuación diferencial si
traslado en el tiempo los relojes. Daros cuenta que para la inhomogénea
no, para la oscilación que está, para la oscilación donde esto es f de
t, la invariancia tiene... ...temporal depende de cómo es f de t, se
entiende lo que he dicho, son propiedades generales digamos más bien de
física teórica en la dinámica. pero que tienen su importancia, sobre
todo en la superposición, en las siguientes lecciones y en esta, y en lo
que voy a decir ahora. ¿Pregunta, observación? Vale, volvamos ahora.
Entonces, nos hacemos la siguiente consideración. Si considero un sistema
físico con un grado de libertad X de T sometido a una fuerza conservativa,
no hay disipación, sabéis que una fuerza conservativa deriva de una
energía potencial, tal que el potencial del sistema tiene un punto de
equilibrio en X igual a X sub, he puesto, sub cero. X sub cero es un punto
de equilibrio del sistema, por lo tanto, un punto de equilibrio de la
energía potencial. Recordar que aquí la F, si es conservativa, va a ser
siempre menos el gradiente de la energía potencial, que en estas notas le
he llamado la energía potencial V, que será una función, si estoy en el
espacio, de X, de Y, de Z. Si estoy en un solo grado de libertad, como
aquí, será solo. Luego, si se aplica una perturbación pequeña, el
objeto comienza a desplazarse de la posición de equilibrio. La pregunta
es... Cuando perturbo un sistema conservativo alrededor de un punto de
equilibrio, el sistema, esa oscilación es armónica y la respuesta es
asombrosa. Bajo condiciones muy generales, que es básicamente que la
amplitud de la vibración al punto de equilibrio sea pequeña, la
oscilación siempre será armónica. Dice Acerao que depende, depende pero
poco Acerao. Depende del tipo de equilibrio, lo vamos a ver del punto, y de
que la oscilación sea pequeña. Entonces, cualquier potencial del que
deriva una fuerza conservativa derivará de un más. Esa es la ubicuidad
del más. ¿Se entiende? No lo he demostrado todavía, estoy diciendo lo
que hay que demostrar. Para demostrar esto, y muchos problemas, otros años
mirar algunas veces el problema que os cae de la PED, cae de esto, no
siempre. No los pongo yo, los ponéis vosotros. Para esto podemos usar el
potencial Vdx, del cual deriva la fuerza conservativa en torno de la
posición de equilibrio. y comprobar que para pequeñas amplitudes es
equivalente a la ley de Hooke. Eso es lo que vamos a hacer. Lo que quiero
demostrar es esto. Eso es básicamente lo que aparece en los textos como el
problema de las pequeñas oscilaciones y la linealidad. Bien, entonces
básicamente si la f de x obedece a la ley de Hooke, pues yo ahora puedo
ver la ley de Hooke en términos de energía. Entonces este es el potencial
v de x para la ley de Hooke, es un medio de kx cuadrado. Lo que vamos a ver
es que para cualquier potencial, bajo condiciones generales, con un grado
de libertad en el que estamos, bajo condiciones muy generales, cualquier
potencial es equivalente a este. Y cualquier cosa que sea una parábola en
términos de potencial oscila como una ley de Hooke como un más. ¿Se
entiende lo que quiero demostrar? Miramos allá. Entonces, si tengo un
potencial unidimensional v de x, voy a... voy a decir que f de x, como
tengo un solo grado de libertad, es menos v' de x. La notación esta v
prima, v coma, es una forma corta de decir derivada de v respecto de x.
¿Conocéis esta notación? Igual que cualquier cosa con punto sería
derivada de esa cosa respecto de t. ¿Veis aquí toda la relación f igual
a menos gradiente para un grado de libertad? Ahora, todo el gradiente, si
está en una dimensión, colapsa en la derivada de la energía potencial.
Insisto, v es energía potencial, no potencial. En estas notas, ¿vale?
Bien, pues sea x0 un punto de equilibrio estable. Esta es la condición que
le tengo que poner. Todo esto será cierto si x0 es un punto de equilibrio
estable de la energía potencial. Entonces, voy un momento a borrar. No
borro el estereotipo. No borro el estereotipo estable porque es importante.
Entonces, está el lápiz. Vale, ya tenemos el lápiz en azul. Entonces,
vamos a coger v de x. Y lo vamos a desarrollar por Taylor en torno al punto
de equilibrio. Entonces dirá, diré que v de x es v en x0 más la derivada
de v respecto de x en el punto de equilibrio por x menos x0 más un medio
de la derivada segunda por x menos x0 más términos en potencias de x
menos x0. Ahora bien, si en x0 el potencial tiene un punto de equilibrio
estable, ¿qué va a ocurrir? Que la derivada de v respecto de x en ese
punto es cero y la segunda derivada es positiva. Perfecto, ha cerrado,
anula la primera derivada y te asegura que la segunda derivada es positiva
en el punto de equilibrio. ¿Y qué significa eso? Si las perturbaciones
suficientemente suaves se pueden despreciar los términos más allá del
cuadrático, todos los términos lo desprecio, si la perturbación es suave
en el desarrollo del potencial. ¿Qué significa eso? De manera que para x
en torno de x0, para x aproximadamente x0 en su entorno, el v de x que va a
ser, v de x va a ser... Una cantidad V de X cero a la que llamo C, V de X
va a ser C, más A por X menos X cero al cuadrado. Y veis que entonces esto
que significa, que V de X es una parábola, es un más. Todo potencial con
un grado de libertad conservativo que tenga un punto de equilibrio estable,
en torno de ese punto el potencial lo puedo aproximar a una parábola. Es
equivalente a tener más. C puede ser cero tomando como origen, sí.
Haciendo una transformación, e incluso si no, una parábola con C distinto
de cero sigue siendo un más. Pero lo que tú has dicho acelerado de la
transformación será lo habitual. Lo importante es ver que hemos obtenido
en el desarrollo de Taylor con la condición de equilibrio estable una
parábola. O sea, si es la interpretación geométrica de lo que estamos
haciendo, ¿se entiende? Ya vamos a darle un poquito más de formalismo.
Vale, pues entonces vamos allá. Bien, pues entonces, si F de X es menos la
derivada de V respecto de X, voy a poner Y, esto hay una sola dimensión.
Si esto hay una sola dimensión hacia la derecha... de la x va a ser
positivo, aquí está mi vector unitario y, y esto es positivo, para no
andarme con líos, os dais cuenta del ajuste tan fino que tiene la física,
este menos, si lo habéis pensado alguna vez, f igual a menos gradiente de
energía potencial, ese menos tiene una inmensa cantidad, tiene un inmenso
poder, la fuerza es poderosa en él, el menos del gradiente, fuerza
conservativa menos gradiente de energía potencial tiene mucha física, y
vamos a ver que en último término ese menos es el de la ley de Hooke, no,
el punto de equilibrio de Alonso no tiene que ser necesariamente para v
igual a cero, pero haces un cambio de coordenadas y lo transformas, ahora
lo veremos en los problemas de los ejemplos, pero prestarme atención a
esto que estoy diciendo, que aquí hay mucha física, el menos del
gradiente se transforma en el menos de Hooke, ¿por qué?, porque tengo,
este menos viene del gradiente, menos la derivada del potencial, la
derivada del potencial ya la he hecho y me quedan menos 2 por un medio de
la derivada, la segunda duda respecto de x, y el x menos x a cero al
cuadrado, a la cero la derivada te queda elevado a 1, luego esto te queda
menos, la derivada segunda respecto a X cuadrado en el punto de equilibrio
por X menos X cero. Esto es la ley de Hooke. ¿Veis que el menos que
necesitamos para la fuerza, la ley de Hooke, me lo ha dado el menos del
gradiente? Qué ajuste fino, ¿no? ¿Y qué es entonces el equivalente de
la constante? La constante equivalente es la derivada segunda de V respecto
de X al cuadrado en X igual a X cero. Y entonces siempre tengo un más, una
parábola, con esa frecuencia. ¿Preguntas? ¿Se entiende? ¿Se entiende?
Este discurso es importante. Ahí está toda la física, aquí está la
física en este menos, en el menos del gradiente. Y en la condición de
equilibrio estable para que sea un mínimo. Entonces lo que le está
diciendo es, ¿veis que este potencial V de X no es una parábola? ¿Lo
veis? Pero cualquier cosa que en torno del punto de equilibrio sea esto,
¿veis aquí la parábola? Pues en torno del punto de equilibrio, si le
analizo, tengo un más. Esto es guay. Pero supuestamente... He puesto
también desde mi punto de vista un cierto atraso en la física de la
segunda mitad del siglo XX. como casi cualquier cosa la podías linealizar
y si tenías suerte en el potencial físico, tenías puntos de equilibrio
estable, durante la segunda mitad del siglo XX en casi todos los problemas
de física, los artículos de investigación fue linealizar. ¿Qué
información se pierde cuando linealizas? ¿Alguien me lo puede decir? Pues
que la física de verdad es no lineal. ¿Cómo diferenciamos un punto de
equilibrio estable e inestable? Por el signo de la segunda derivada del
potencial. Lo veremos en los problemas pero eso se ve en física 1. Si el
punto es no es estable, la segunda derivada tiene un signo diferente a que
cuando es estable. A carácter anónimo, eso quiero decir que si te dedicas
solo a linealizar problemas linealizar es perder información. Pierde la
información de la dinámica no lineal. Y en la dinámica no lineal está
el caos. ¿Y qué es el caos? Sistemas físicos que aunque conozcas la
ecuación determinista, la sensibilidad de las condiciones iniciales te
hace que a efectos prácticos las predicciones no tengan sentido o tengan
límites. Toda la revolución de la dinámica del caos en los sistemas
físicos y en particular en mecánica pero en toda la física Viene de
obviar y dejar de linealizar. Bueno, pero eso es otro tema. Bien, son las
nueve y yo podría seguir hasta las diez, pero puede reventar la grabación
y hay otra razón importante, no os voy a mentir. Voy a jugar al Madrid, yo
soy del Madrid, en fin, no sé. Hoy ha muerto Amancio Amaro, para los que
hemos sido madridistas. Yo soy madridista porque de pequeño en blanco y
negro voy a jugar a Amancio. Pero vamos a hacer una cosa, voy a cortar
aquí la tutoría. Lo que haré el jueves que viene es empezar aquí,
¿vale? Voy a cortar la tutoría y seguiré aquí. La idea era empezar el
jueves que viene a las siete con oscilaciones y mentiras, pero vamos a
hacer un cierto retardo porque también, aunque no juegue al Madrid, si os
doy tres horas de tutoría, se me puede acusar ante cualquier organización
de secuestro, ¿de acuerdo? Lo dejamos aquí, corto la grabación y aquí
empezaremos el jueves que viene porque esta parte es muy importante.
Echarle un vistazo a los apuntes que tenéis. Todavía no los he subido,
los subiré. Subiré la grabación y los apuntes, luego la grabación
cuando la hagan. Y volvemos con la estrategia de linealizar y problemas
concretos de la iniciación de sistemas físicos o mecánicos que tienen su
importancia en el aspecto. Muy bien, pues lo dejamos aquí. Seguimos el
próximo jueves. Ponemos, como siempre, para despedirnos la grabación.
Pero antes de poner la grabación, observáis que hoy ha venido Yoda con
nosotros, ¿no? Esto tiene su importancia. El maestro Yoda, la clase la voy
a subir a cosas esta tarde, entre esta tarde y esta noche, ya no, después
del partido mañana, según el cabreo que tenga. Entonces, observar que ha
venido a nuestro tutorial el maestro Yoda. Que no pudo venir a la primera.
Os debo decir que mis tutorías del tema 1, en vibraciones y onda, están
bajo la inspiración del maestro Yoda. Y como siempre, pues me despediré
diciendo que las fuerzas acompañan. No se os ve el maestro Yoda, vamos a
ver. ¿Ahora se ve el maestro Yoda? Se ve el maestro Yoda, es claro, es que
lo he parado, ¿de acuerdo? Pues el maestro Yoda estará con nosotros,
espero, dependiendo de las condiciones de grabación y si no está
físicamente está en espíritu y eso que os decía, que la fuerza os
acompañe. Hasta luego. ¡Gracias!