Un saludo a todos, soy David Castilla, tutor del Centro Asociado de la
UNED en Huelva. Como tutor intercampus de la Asignatura de Inferencia
Estadística, me dispongo a presentaros la primera sesión del tema 5,
dedicado a los contrastes de hipótesis estadísticas. Los objetivos
pedagógicos de esta sesión son los siguientes. 1. Conocer el concepto de
hipótesis estadística. 2. Conocer y estimar los distintos errores que se
cometen a la hora de realizar un contraste de hipótesis, así como los
conceptos de potencia de un contraste y nivel de confianza. 3. Y
finalmente, conocer las fases de elaboración de un contraste de hipótesis
estadística. Durante el desarrollo de esta sesión podéis contactar
conmigo online a través del chat o bien en mi sitio web. A través de la
herramienta de web conferencia, pidiendo el turno de palabra. Por otra
parte, los alumnos que no hayan podido asistir online a esta sesión pueden
consultar sus dudas en relación con la misma en el foro de mi grupo de
tutorías. En relación con la bibliografía básica de esta sesión, se
recomienda el manual de Casas y Tutorías. Estadística 2. Inferencia
estadística. En la última de sus ediciones. No obstante, cualquier manual
de estadística que aborde la inferencia es también apropiado. Este es el
caso, por ejemplo, de Novales 1997 o Ruiz Maya y Martín Pliego 1999. En el
tema 1 se definió el concepto de inferencia estadística. La inferencia
estadística usa datos musicales. La inferencia estadística usa datos
muestrales para llevar a cabo estimaciones, tomar decisiones, realizar
predicciones, comprobar hipótesis u otras generalizaciones acerca de un
conjunto de datos más grande denominado población. Por ejemplo, en el
control de calidad se suele recurrir a una muestra para no testar todos los
productos de un lote, de tal modo que de esta manera se ahorran los costes,
tanto temporales como económicos, de revisar uno por uno los resultados de
cada uno de los productos de un lote, extrayéndose una muestra que
represente a la totalidad. Este podría ser el caso de una empresa que
fabrique jamones, en las que para controlar la calidad de los jamones se
recurre a una muestra de estos, en lugar de analizarlos todos uno por uno.
Como ya se ha comentado con anterioridad, la inferencia estadística consta
de dos procedimientos principales. Por un lado, la estimación de
parámetros poblacionales, que ha sido abonada por la Secretaría de
Población, y por otro lado, la contrastación de hipótesis estadísticas
acerca de la población, que será abordado en este tema y en los dos
siguientes. CONCEPTOS GENERALES Una hipótesis estadística es una
conjetura sobre alguna característica desconocida de la población.
Realmente, un contraste de hipótesis estadística no es más que el
procedimiento por el que se verifica una hipótesis estadística, mediante
el empleo o el uso de la información que tiene una muestra. Existen dos
tipos de contrastes, los paramétricos, los cuales contrastan hipótesis
sobre el valor que toman los parámetros de distribuciones poblacionales
conocidas a este tipo de contraste se dedicará el tema 6 y, por ejemplo,
permitirán contrastar la hipótesis sobre mu o sisma de una familia de
distribuciones normales. El otro tipo de contrastes de hipótesis
estadística son los contrastes no-procesados. Estos contrastes testan
hipótesis sobre otras características de las distribuciones distintas de
los parámetros, tales como la forma, la localización, la aleatoriedad. A
este tipo de contrastes se dedicará el tema 7 de esta asignatura. EXISTEN
DISTINTOS TIPOS DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS Son hipótesis simples las
hipótesis estadísticas que se refieren a una hipótesis que tiene un solo
valor del parámetro poblacional, mientras que son hipótesis compuestas
aquellas que se refieren a una región del espacio paramétrico y puede
tomar por lo tanto varios valores diferentes. Estas suelen tomar la forma
de mayor que, menor que o distinto. También se distingue entre hipótesis
nula e hipótesis alternativa. La hipótesis nula contiene aquello que se
supone cierto a priori. Representa el estatus quo y siempre ha de incluir
la igualdad. Se contrasta comparando la discrepancia existente entre su
valor y el estimado mediante una muestra. Si la discrepancia es pequeña,
se acepta, en caso contrario, se rechaza. La hipótesis alternativa es el
complementario de la hipótesis nula, es aquello que aceptamos en caso de
que la hipótesis nula sea rechazada. En relación con los contrastes de
hipótesis paramétricos, se distingue entre contrastes de tipo bilateral o
de dos colas y unilaterales o de una sola cola. Los bilaterales o de dos
colas son aquellos en los que la hipótesis alternativa es compuesta y no
especifica una dirección concreta. En estos casos, la hipótesis
alternativa toma la forma distinta. Los contrastes unilaterales o de una
sola cola son aquellos en los que la hipótesis alternativa es compuesta y
especifica una dirección. En estos casos, la hipótesis alternativa toma
la forma mayor que o menor que. Veamos el siguiente ejemplo. Formule las
hipótesis nula y alternativas e indique si el contraste es bilateral o
unilateral en los casos que se describen a continuación. Un fabricante de
bombillas afirma que en promedio la duración de cada bombilla es de al
menos mil horas. En este caso, estaríamos hablando de un contraste
unilateral en el que se testan las hipótesis nula mu mayor o igual que mil
y alternativa mu menor que mil. Una empresa recibe un lote de productos. A
priori, se considera el envío válido. Salvo que se compruebe. En este
caso, estaríamos hablando de un contraste unilateral en el que la
hipótesis nula es que la proporción es menor o igual que 0,05 y la
alternativa que la proporción es mayor que 0,05. Un investigador quiere
saber si el salario medio de los hombres y las mujeres son iguales o no. En
este caso concreto, se trata de un contraste de tipo bilateral en el que la
hipótesis nula sería que la diferencia de las medias es igual a 0 y la
alternativa que la diferencia de las medias es distinta de 0. Región
crítica y de aceptación. En general, el esquema de todo contraste de
hipótesis es el siguiente. En un primer lugar, se establecen las
hipótesis del contraste. Por ejemplo, en el ejemplo del control de calidad
de las piezas defectuosas. La hipótesis nula sería la proporción menor o
igual que 0,05 y la alternativa la proporción mayor que 0,05. La
hipótesis nula es la que se supone cierta a priori. A priori, en nuestro
caso, se considera que el pedido es válido, salvo que se demuestre lo
contrario. Se recoge a continuación información muestral que trata de
verificar la hipótesis nula, obteniéndose de esta manera una proporción
de piezas defectuosas. Si existe una discrepancia muy grande, entre lo que
establece la hipótesis nula y lo que se obtiene con la muestra, pues la
solución del contraste será que se rechaza la hipótesis nula. Mientras
que cuando esta discrepancia sea pequeña, se aceptará la hipótesis nula.
De tal modo que lo que se establece es una regla de decisión basada en la
discrepancia entre los valores muestrales y los de la hipótesis nula. En
nuestro ejemplo, si la proporción muestral es menor o igual que 0,07, se
podría aceptar la hipótesis nula. Mientras que si la proporción muestral
es mayor, 0,07, se rechazaría la hipótesis nula. En nuestro caso
concreto, dado que la proporción muestral es 0,04, procederemos a aceptar
la hipótesis nula. Al conjunto de muestras que llevan al rechazo de la
hipótesis nula se las denomina región crítica. La región crítica está
por tanto constituida por el conjunto de muestras para las que se rechaza
la hipótesis nula. Mientras que la región de aceptación está
constituida por el conjunto de muestras para las que se acepta la
hipótesis nula. En el supuesto de que tuviéramos una región crítica y
de aceptación de un contraste bilateral, la siguiente ilustración
representa las regiones crítica y de aceptación de un contraste de tipo
bilateral. En este caso, se puede observar que la región crítica está
dividida en dos colas, una en el lado derecho y otra en el lado izquierdo,
dado que se rechaza cuando existe una discrepancia con respecto al valor
establecido en la hipótesis nula tanto a la alza como a la baja. Por otra
parte, la región de aceptación indicará los valores centrales cercanos
al valor establecido en la hipótesis nula. Los límites que definen las
dos regiones estarían determinados por los valores críticos del
contraste. Errores y potencia de un contraste La siguiente tabla de doble
entrada muestra por columnas los distintos estados de la naturaleza que
pueden tener lugar en un contraste de hipótesis. Esto es, cuál es la
hipótesis cierta en cada uno de los casos, mientras que por filas muestra
la decisión adoptada por el investigador. En este sentido, se puede
observar que se pueden cometer dos tipos de error. Por un lado está el
error de rechazar la hipótesis nula, a este error se lo denomina error
tipo 1, alfa o nivel de significación y su tamaño se mide mediante la
probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo ésta cierta. El otro
tipo de error es el error tipo 2 o beta, que sería el error de aceptar la
hipótesis nula siendo ésta falsa. Su tamaño se mide mediante la
probabilidad de aceptar la hipótesis nula siendo ésta falsa. Existen
además dos tipos de decisión correctas. El complementario del error tipo
1 o alfa sería el que se denomina nivel de confianza y sería el resultado
de decidir aceptar la hipótesis nula siendo ésta cierta, mientras que el
complementario del error tipo 2 o beta sería lo que se conoce como
potencia de un contraste, que no sería más que la probabilidad de
rechazar la hipótesis nula. Rechazar la hipótesis nula siendo ésta
falsa. A modo de ejemplo, podría considerarse el caso de un juicio contra
un imputado por un delito de tipo fiscal. A priori, el juez debería
presumir la inocencia del imputado, de tal modo que en principio la
hipótesis nula sería que el imputado es inocente, mientras que la
alternativa sería que el imputado es culpable. El error tipo 1 o nivel de
significación sería la probabilidad de declarar culpable al imputado
siendo éste inocente, mientras que el error tipo 2 sería aquel que
vendría definido por la probabilidad de declarar inocente al imputado
siendo éste culpable. Por lo general, a la hora de establecer un contraste
de hipótesis, se fija, a priori, el error tipo 1. Y una vez definido esto,
se trata de buscar aquel contraste que tiene un menor error tipo b, o lo
que sería lo mismo, una mayor potencia. Considérese el siguiente ejemplo.
Sean las hipótesis simples en relación con la media de una población
normal mu sigma las siguientes. Hipótesis nula mu sub cero igual a mil.
Hipótesis alternativa mu sub uno igual a noventa. En el caso en el que la
hipótesis nula sea cierta, la media muestral se distribuiría como una
normal como la que se presenta sombreada en amarillo. En ésta, el eje de
simetría vendría definido por el valor que toma la hipótesis nula, en la
medida en que la media muestral es un estimador insesgado de la esperanza
matemática de una distribución normal. El valor crítico definiría el
límite a partir del cual los valores arrojados por las muestras llevarían
al rechazo de la hipótesis nula, de tal modo que a la izquierda de ese
valor crítico rechazaríamos la hipótesis nula. Estaríamos hablando de
la probabilidad definida por el área sombreada en naranja. En el supuesto
en el que la hipótesis alternativa fuera cierta, la densidad de la
distribución normal vendría representada en el área de la curva de color
blanco, en la que la media muestral, como estimador insesgado de la media
poblacional, debería arrojar un valor igual al parámetro poblacional Mu1
. En aquellos casos en los que se hubiera aceptado la hipótesis nula
siendo ésta falsa, estaríamos hablando del área que se encuentra a la
derecha del valor crítico, que constituye lo que hemos venido a denominar
el error tipo 2 o beta. Si observar por medio de las regiones de
aceptación y de rechazo o crítica definidas en este contraste de
hipótesis, el incremento del área alfa implicaría un decremento del
área beta, lo que implica que ambos errores no pueden ser minimizados a la
vez, sino que es necesario fijar en un primer momento uno de los dos
errores y a continuación tratar de buscar el contraste de hipótesis que
minimice el otro error. Veamos un ejemplo. Sea una variable aleatoria que
se distribuye según una distribución normal Mu . Sobre el parámetro Mu
de esta distribución se desea contrastar la hipótesis nula Mu igual a 110
frente a la alternativa Mu igual a 130 mediante una muestra aleatoria
simple de tamaño 81, siendo la región crítica el intervalo media mayor o
igual que 114. Determine los errores tipo 1 y 2, así como la potencia del
contraste. Calculo del error tipo 1 alfa o nivel de significación. Este
vendría dado por la probabilidad de que la media muestral fuera mayor o
igual que 114 para el caso de que la hipótesis nula fuera cierta, esto es,
que Mu fuera igual a 110. Tipificando y buscando en las tablas normales
obtendríamos que esta probabilidad es igual a 0,0912. Calculo del error
tipo 2 beta. Este error se correspondería con la probabilidad de aceptar
la hipótesis nula siendo ésta falsa. En otras palabras, la probabilidad
de que la media muestral fuera inferior a 114 siendo cierta la hipótesis
alternativa, esto es, que Mu fuera igual a 130. Pues bien, tipificando y
buscando en las tablas normales vemos que este valor es aproximadamente
igual a 0. Finalmente, la potencia del contraste sería el complementario
del error tipo 2 o beta, que en este caso es igual a 1. Obsérvese que para
un error tipo 1 alfa, conforme el tamaño muestral crece, la varianza del
estimador disminuye y consecuentemente la potencia del contraste mejora.
Veamos otro ejemplo. Los errores de fabricación de un cierto proceso se
distribuyen de acuerdo con la función de densidad que se presenta a
continuación para valores de x mayores o iguales que 0 y de teta mayores
que 0. Sobre el parámetro de esta función de densidad se desea contrastar
la hipótesis nula de que el parámetro es igual a 1 frente a la
alternativa de que el parámetro es igual a 2 mediante una muestra
aleatoria simple de tamaño 1, siendo la región crítica el intervalo de
los valores de x entre 0 y k. Calcule los errores tipo 1 y 2 en función de
k, así como la relación entre estos dos tipos de errores. Solución.
Cálculo del error tipo 1 alfa. Sería la probabilidad de que nuestro
estadístico de contraste estuviera en la región crítica bajo el supuesto
de que se cumpla la hipótesis nula. Integrando entre 0 y k obtendríamos
que este valor es igual a 1 menos e elevado a menos k, de donde se puede
deducir que k sería igual al menor logaritmo neperiano de 1 menos alfa.
Cálculo del error tipo 2 o beta. Este error no es más que la probabilidad
de aceptar la hipótesis nula siendo esto falsa. En otras palabras, la
probabilidad de que x1 sea mayor que k siendo cierta la hipótesis
alternativa, esto es, que el valor del parámetro sea igual a 2. Integrando
entre k y más infinito se obtiene que esta cantidad es igual a e elevado a
menos 2k. De modo que sustituyendo la expresión obtenida en el cálculo
del error tipo 1 para k podríamos obtener una relación entre el error
tipo 2 beta y el error tipo 1 alfa, cuya representación gráfica se
presentará a continuación. Obsérvese que la relación entre los errores
tipo 1 alfa y 2 beta es inversa y consecuentemente la relación entre el
nivel de significación alfa y la potencia del contraste 1 menos beta es
directa. Fases de un contraste de hipótesis. A la hora de resolver un
contraste de hipótesis se deben seguir las siguientes fases. En un primer
lugar se deben formular las hipótesis del contraste. Por ejemplo, la
hipótesis nula mu igual a mu sub 0 igual a 3 y la hipótesis alternativa
mu distinto de 3. Estamos hablando en este caso concreto de un contraste de
tipo bilateral sobre la media. A continuación, la segunda fase será
determinar el estadístico de prueba apropiado, el cual debe cumplir que
tenga una función de probabilidad conocida dada la hipótesis nula, que
debe contener el valor del parámetro contrastado y que salvo el parámetro
el resto de términos son conocidos o estimables. En nuestro ejemplo
supongamos que la población es normal y que la varianza es desconocida. En
este caso el estadístico de contraste sería la media a mostrar menos el
valor de la esperanza matemática contrastada en la hipótesis nula partido
la cuasi-varianza a muestrar dividido entre la raíz cuadrada del tamaño
muestral. Este estadístico de contraste se distribuye de acuerdo con una t
de student de grados de libertad, al ser el resultado del cociente de una
normal y la raíz cuadrada de un h cuadrado entre sus grados de libertad.
La tercera fase consiste en seleccionar el nivel de significación.
Generalmente se fija un nivel de significación que oscila entre el 1 y el
10%. En este caso concreto vamos a elegir un nivel de significación del
1%. Fase 4. Determinar la región crítica o de rechazo. En el caso
concreto de este contraste vendrá determinada por la probabilidad de que
el valor absoluto de una t de student de 17 grados de libertad deje a la
derecha una probabilidad de alfa partido por 2. Buscando en las tablas de
la t de student este valor sería 2,898. Fase 5. Seleccionar una muestra
aleatoria del tamaño que se considera apropiado para calcular el
estadístico de prueba. En este caso si se selecciona una muestra de
tamaño igual a 18 nuestro estadístico de prueba tomaría el valor 18,247
suponiendo una cuasi-varianza muestral de 0,04486. Finalmente en la fase
sexta se da la regla de decisión y su interpretación. De este modo, de
acuerdo con este contraste de hipótesis, si el valor del estadístico de
contraste t está entre menos 2,898 y 2,898 se acepta la hipótesis nula.
Esta representaría la región de aceptación. Si el valor del estadístico
de contraste es inferior a menos 2,898 o superior a 2,898 se rechazaría la
hipótesis nula. En nuestro caso concreto dado que el valor del
estadístico de contraste es 18,247 y que este es mayor que 2,898
rechazaríamos la hipótesis nula. En resumen. Se han definido contrastes
de hipótesis estadísticas y se ha distinguido entre hipótesis simples y
compuestas así como nula y alternativa. Además se ha distinguido entre
contrastes de hipótesis unilaterales y bilaterales. Se han introducido los
distintos tipos de error que se pueden cometer a la hora de realizar un
contraste de hipótesis, alfa y beta. Igualmente se han introducido los
conceptos de nivel de confianza y potencia de un contraste. Se ha
ejemplificado además el cálculo de estas magnitudes en distintos casos.
Finalmente se han detallado y ejemplificado las fases de un contraste de
hipótesis estadística. Sin más me despido con un coliar saludo. Hasta la
próxima sesión.