Yo estoy aquí pendiente de ti, Ángel. Gracias, Abraham. Bueno,
bienvenidos a todos. Estamos grabando la tutoría. En las últimas
tutorías que hemos tenido y que tenéis el material y las evaluaciones a
vuestra disposición, estuvimos viendo las ecuaciones diferenciales
lineales de órdenes superiores. Es decir, las ecuaciones diferenciales
lineales que había derivado del segundo orden. Habíamos visto la teoría
general que nos decía que una solución de una ecuación lineal era la
ecuación homogénea, es decir, la ecuación del sistema igual a cero, que
si un sistema igual a cero, la solución general era homogénea. Y luego
tenemos que cuando estaba la ecuación completa con una perturbación o un
término forzado, pues hacíamos una solución particular de la completa. Y
entonces la solución era una solución particular de la completa más la
solución general de la homogénea. En principio dependía si era de orden
tres, pues de tres parámetros, pero era una combinación lineal de las
soluciones fundamentales. Entonces en teoría lo hemos visto, hemos hecho
el problema. Y solo nos queda ver el tema del capítulo tres y cuatro, que
es el que sigue con estas cosas, que concretamente al final del capítulo
cuatro son un tipo de ecuaciones que son ecuaciones que no son lineales,
que no son de coeficientes constantes, que son las que sabemos resolver
utilizando el polinomio característico y esas cosas, pero que mediante un
cambio de variable se puede reducir a una ecuación de coeficientes
constantes. Y eso es lo que vamos a hacer hoy. Y luego después, eso no nos
lleva nada más que ver un ejemplo, y viendo un ejemplo lo entiendes y lo
aprendes enseguida. Y luego a lo que nos dedicaremos el resto de la
tutoría, si os parece bien, es a estudiar el tema siguiente, que es la
transforma de la clase. Y vale, que es una cosa que normalmente me gusta
mucho a los ingenieros, sobre todo a los ingenieros eléctricos. Bueno, voy
a poner a compartir la pantalla para verlos. Casi no estás asustado. A
ver, vamos a ver esto de las ecuaciones de Euler en un momento. Nuestro con
ver un ejemplo pues ya se ve muy sencillo. No sé si lo veis bien, pero que
sí, porque vamos a verlo aquí en el canal. Fijaros, esto no es una
ecuación lineal, porque aquí tenemos un término, bueno, como podríamos
dividir por el término x al cuadrado, y es una ecuación lineal, pero no
es una ecuación de coeficientes constantes, que son las que se han
resolvido exactamente. Entonces las que son de este estilo, tenemos un x al
cuadrado, un término en x con la derivante. Esto se puede generalizar a,
digamos, vamos a hacerlo con 2 y ya está. Tenemos una derivada segunda con
x al cuadrado. La derivada primera con una x y la derivada y con una
constante. Aquí tenemos el término forzado. Esta es una ecuación que no
es de coeficientes constantes, pero se puede reducir, es una ecuación
lineal, pero no es de coeficientes constantes. Entonces simplemente es
saber cómo se hace el cambio y ya está. Y lo único que hay que seguir un
poco los pasos es que si tenemos, si hacemos el cambio que aquí lo
llamamos e a la t, tenemos este cambio x es igual a e a la t, entonces este
es el cambio en las funciones y tenemos que hacerle el cambio en las
diferenciales. Entonces la derivada de x con respecto a t es la derivada de
a la t con respecto a t, que es a la t, que precisamente es lo mismo que x.
La derivada de a la t es lo mismo que a la t. Entonces si queremos hallar
la derivada aquí en el ciclo, es que cambiamos la derivada de x con
respecto a t a la derivada de t con respecto a x. Entonces como sabéis, la
derivada de t con respecto a x es la inversa de la derivada de x con
respecto a t este es el gran ventaje de la notación de las diferenciales
de Lainez es que no hay que usar la propia notación no hay que usar
teoremas ni nada la propia notación si las manipulas con las reglas
algebraicas pues se lo dice entonces la derivada de t con respecto a x pues
es la inversa es 1 por t por x y es e a la menos t es 1 por t por t 1 por t
por x con lo cual haciendo la regla de la t la derivada de i con respecto a
x que es la que tenemos que cambiar sigo la regla de i con respecto a t por
la derivada de t con respecto a x esto tal vez volvemos a aplicar lo útil
que es la notación esta de las diferenciales y esta es la diferencial de i
con respecto a t por e a la menos t recordad que la diferencial de t con
respecto a x es e a la menos t lo único que hemos hecho ha sido cambiar
esta es la primera derivada, la i prima pues ya la tenemos hecha y ahora
tendríamos que hacer unas cuentas que son un poco un poco pesadas de hacer
pues el mismo truco para llegar a la derivada segunda la derivada segunda
de i con respecto a x dos veces es la derivada de respecto de x de la
primera derivada de la derivada de i con respecto a x si lo vas escribiendo
con te lo va pidiendo en la anotación lo que tienes que hacer la derivada
de i con respecto a x y ahora vuelvo a cambiar lo que tenía aquí que era
la derivada de i con respecto a x y la derivada de i con respecto a t por e
a la menos t bueno pues aquí lo he escrito aquí pues para es un poco
reiterando esto si yo escribo diferencial de t es un 1 que esto no te dice
nada entonces lo único que me sirve es para luego cambiarla de orden la
derivada de t con respecto a x por la derivada con respecto a t aquí yo
tenía una función de t y voy a hacerlo con la derivada con respecto a t
esto es Más ingenioso, más artificioso sería este. Sería que yo tengo
aquí una t y tengo que derivarlo con respecto de t. Bueno, pues seguimos
haciendo esto. Sería la derivada de t con respecto de x. Y ahora tendría
que hacer esto, que es la derivada de un producto. La derivada de un
producto, estoy derivando respecto de t. Sería la derivada del primer
factor, que es la derivada segunda respecto de t, por el otro sin derivar,
más el primer factor, por la derivada del otro, que es la derivada de a-t,
menos a-t. Bien, pues sacamos factor común a-t, de todo esto de aquí. Y
ya tenemos, bueno, perdón, la derivada de t con respecto de x. Perdona, lo
he adelantado. La derivada de t con respecto de x, recordad que la derivada
de t con respecto de x es a-t. Pues este es este a-t. Y ya le sacando a-t
de aquí, te queda a-t. Me queda a-t por la derivada segunda de t con
respecto de t, menos la derivada de t con respecto de x. Y esto sería la
segunda derivada. Bueno, pues por el que hemos hecho el cambio de las
diferenciales y el cambio en las x, pues ya simplemente me voy a la
ecuación y escribo. Donde pone x segunda, pues escribo e a la 2t. E a la
2t. Donde pone la i segunda, pues escribo la diva segunda, que es e a la
menos 2t. La derivada segunda de t con respecto de t, menos la derivada de
t con respecto de t. Y luego sigo escribiendo a por x, pero x será e a la
t. Pues sea la t y la cambio por la primera derivada. E a la menos t. Donde
está la primera derivada aquí. Diferencial de i, diferencial de t, porque
era la menos t. Pues lo pongo donde pone algo. Y luego bi igual a f de x.
Bueno, entonces fijaros que aquí ¿qué pasa? Pues e a la 2t con e a la
menos 2t se me simplifican. E a la t con e a la menos 3 también se me
simplifican porque da 1. Entonces pues puedo escribir esta ecuación. Y
esta ecuación, junto aquí lo que tiene la prima derivada en un solo
término, como veis se ha convertido mágicamente en una ecuación lineal
pero de coeficientes costales. He quitado las x y las x. Aquí, la
dificultad de esto, porque es un poco artificioso, es hacer el cambio de
las diferenciales. Pero bueno, una vez que seamos a hacer esto, lo único
que hay que hacer es hacer un problema de aplicar este cambio y ya está.
Os he puesto exámenes, un ejemplo, no sé si he puesto uno o dos, pero
bueno, me parece que he puesto dos, de ejercicios y de exámenes. Bien es
cierto, bien es cierto, que como ha cambiado el equipo docente, no sé
ahora mismo si en este curso no se deja tener el libro de texto como
consulta. Pues, vamos. Que sé que no se deja, entonces yo no sé si el
tipo de problemas, pues habrá algunos que tengan que simplificarse porque
si tienes que memorizarte los resultados, pues es un esfuerzo de memoria
bastante grande. Y si tienes que rededucirlos, pues te llevan tiempo. Y
bueno, vamos a hacer este ejercicio para ver cómo funcionan estos cambios
y ya está. Una vez que tenemos deducido. Los cambios de variable, tenemos
una ecuación de tipo que es una ecuación lineal, si yo divido por x al
cuadrado, me quedaría aquí una ecuación lineal, pero no es de
coeficientes constantes, entonces en principio pues no lo sabríamos
resolver de manera total. Entonces, pues aquí en el enunciado del
problema. Te indica qué es lo que tienes que hacer. Dice, comprobar que el
cambio de variable x e a la t se convierte en otro no homogéneo, y falta
el acento, pero de coeficientes constantes y que la resuelvas. O sea, es
esto que me he dicho. Pues aquí habría que hacer el cambio. Simplemente
lo tenemos escrito aquí para hacerlo directamente. Que se hace el cambio.
x e igual a e a la t. Y prima es e a la menos t. Diferencial de y,
diferencial de x. Y si es e a la menos t, diferencial de y, diferencial de
t. Y segunda, la derivada de y respecto de x dos veces. Es e a la menos 2t
por la derivada segunda de i por el efecto de t dos veces menos la derivada
de i. Simplemente lo que hay que hacer ahora es ir a la ecuación, ir
cambiando. Donde pone x cuadrado ponemos a la 2t, donde pone y segunda
ponemos el valor del cambio, como el que está aquí. Donde pone x ponemos
e a la t y luego el cambio de la primera derivada, la función y 6. Y ahora
donde pone x cubo tenemos que hacer el cambio correspondiente. x cubo es e
a la 3t. E a la 3t. Entonces ya estos términos habíamos dicho que se
convirtieron en un 1, por lo cual me queda la segunda derivada. Este
término lo juntaba con este otro de aquí y me quedaba, a ver, era menos
1. Y aquí, esto es e a la t con el valor de este, me queda aquí más 1,
por lo cual se me va la primera derivada. Aquí me queda una i y pone 6
derivada de esto. Fijaros que esto es una ecuación lineal, homogénea, de
ecuaciones constantes. Entonces, nos sirve ahora para repasar lo que
habíamos visto abundantemente en las líneas anteriores. Se busca una
solución general homogénea. Pues se escribe el polinomio característico.
El polinomio característico sería m cuadrado más 0m más 1, o sea, m
cuadrado más 1. El polinomio característico, sus raíces son i y menos i.
Sí, claro, claro. Aquí. Sí, pero déjame ver, para ver qué es el
cambio. Este. Sí. En los hechos, el cambio que hemos visto aquí, el
cambio de la derivada segunda con respecto a x dos veces, que es la i
segunda que aparece en la ecuación, lo hemos transformado con el cambio
este de que x es e a la t. Lo hemos cambiado en que es e a la menos 2t por
la derivada segunda. Y con respecto a e t, menos e. el producto de la
derivada con respecto a t es la menos t que es el producto de dos funciones
de t entonces la derivada del primer factor por el otro sin derivar más el
primer factor sin derivar por la derivada del otro, que la derivada del
otro es menos a la menos t por su ¿y el producto de la derivada de t con
respecto a t? porque primero, la derivada de t con respecto de x la
derivada de t con respecto de x que es la inversa de la derivada de x con
respecto a t es e a la menos t e a la menos t, esto es esto de aquí la
derivada de t con respecto de x es este de aquí y ahora aquí como tengo
un e a la menos t y aquí tengo otro e a la menos t pues saco el factor
común, por lo cual ya tengo el e a la menos 2t que se me queda solo igual
a la segunda de porque es e a la menos t por e a la menos t entonces para
multiplicar potencia de igual base se suman las exponentes entonces sería
e a la menos t menos t e a la menos t menos t es e a la menos t entonces
bueno, aquí hemos hecho el cambio en general y luego lo hemos hecho aquí
en particular para esta ecuación entonces al final me he reducido como me
habían predicho a una ecuación con coeficientes constantes entonces la
resuelvo primero resuelvo el homogéneo para resolver el homogéneo tengo
que buscar el polinomio característico que en este caso es m al cuadrado
más uno porque es la de la segunda pero la he llevado a la primera y más
uno por i que es m al cuadrado más uno que tiene raíces complejas
conjugadas en este caso sí hay que recordar que las soluciones las
soluciones fundamentales serán e a la parte real de t más una economía
con el seno y t con el coseno pero las dos soluciones fundamentales son el
coseno de t y el seno de t, luego la solución general va a ser c sub 1
coseno de t más c sub 2 seno de t ahora tengo que buscar la solución
particular de la completa la completa es con el término forzado que es 6 e
a la 3t entonces bueno aquí habría el método genial de hacerlo hemos
visto que era el método de variación de constante pero que eso es un
tocho bastante monumental y que no tiene mucho sentido cuando el término
forzado es o un exponencial o es un polinomio o es una trigonométrica
porque si yo sé que el término forzado es un exponencial pues la función
cuya derivada es un exponencial pues tiene que ser un exponente entonces
como exponencial había muy visto que en caso de que fuera aparte de las
soluciones fundamentales había que poner una x en este caso no hace falta
pues yo ensayo una solución particular de la forma a e a la 3t y lo único
que tengo que hacer es determinar cuánto ensayar para ver cuánto tengo
que poner a la a para que sea solución entonces si pongo la solución
particular la ensayo de esta manera la derivada de la solución particular
sería el 3a a la 3t y la derivada segunda pues sería 3 más 9a si yo
sustituyo en la ecuación la derivada segunda más la función es igual a
6t con lo cual si yo simplifico las e a la 3t en los dos miembros pues me
queda que 9a más tiene que ser 6 con lo cual tengo que 6 décimo o ha
tenido que ser 3 quintos con lo cual ya tengo una solución particular con
lo cual la solución de la ecuación pues es la solución particular esta
más la solución general que le hemos hecho y ahora ahora deberíamos
deshacer los cambios porque aquí tenemos una función de t pero yo quiero
una función de x x habíamos dicho que era la t con lo cual t es el
nuperiano de x el logaritmo nuperiano de x no me bastaría deshacer el
cambio con el logaritmo y ya está aquí las notas estas que podéis
consultar si queréis porque las pongo en el En la planificación del curso
de las tutorías hay un espacio para poner, pongo las, en realidad estas
notas son un poco guardiéndolas, pero bueno, si alguien quiere
entretenerse en hacer las cuentas para practicar, más que nada para
practicar el método de variación de constantes, como veis, llegamos al
mismo resultado, pero como veis es bastante más laborioso. Aquí, por
repasar las cuentas, pues también he resuelto el ejercicio este, cada una
de esas, porque si no te dicen otra cosa, con que le digan de una manera,
pues ya tendrán. Pero bueno, como de lo que se trata aquí en las
tutorías es de repasar métodos, podemos repasar también el método este
de variación de las constantes, pero vamos a dejarlo porque es un poco
complicado. Porque todavía hay mucho tiempo y tampoco quiero dedicar mucho
tiempo a ello. El método operacional, fijaros, si yo escribo esto con el
método operacional, aquí pongo en la página del libro, el método
operacional consistiría en, yo escribo el operador, el operador, la
ecuación, estaría aquí, se puede escribir como el operador de cuadrado
más uno, aplicarlo ahí, es igual a seis elevado a tres. Con lo cual, si
yo quiero despejarla ahí, sería hallarla. Esto se llama operacional
porque esto es una notación poco burda, pero que funciona, ¿no? Entonces
sería uno partido por de cuadrado más uno. O este operador que es lineal,
porque es el inverso de un operador lineal, saco el seis y sería uno
partido por de cuadrado más uno de algo. Entonces hay una fórmula que
dice que en... Vimos lo que dice tal, entonces este t se hace al cuadrado
más uno y ya lo tienes hecho el operador de cuadrado más uno. Hay que
buscar en la unidad selectada, pero lo podéis... Si os parece bien,
cerramos ya el capítulo tres y el capítulo cuatro del libro. Yo voy a
insistir que si alguno tiene alguna duda, pues de estas cosas que vemos
aquí en la tutoría. aparte del chat, del curso virtual pues podéis, si
es algo centrado en esto, me podéis escribir en cualquier momento y yo os
intento contestar en el momento a cualquier cosa ¿vale? y si me queréis
hacer alguna sugerencia, pues mire este problema, me gustaría verlo con un
detalle escrito o lo que sea pues me lo decís y lo contesto bien, vamos a
cerrar esto y vamos a ver la transformada en gris y problemas de la
transformada en gris esto de la transformada en gris vamos a darle un
vistazo rápido para entenderlo la transformada es una técnica de resolver
ecuaciones especialmente ecuaciones lineales pero tiene mucho interés
porque voy a intentar escribirlo aquí, a ver si soy capaz de escribirlo
fijaros que nosotros habíamos visto ecuaciones que eran de este estilo
eran LDI hasta ahora, en los capítulos anteriores, LDI habíamos visto que
era igual a una F de X ¿de acuerdo? y habíamos visto ecuaciones que eran
de este estilo las habíamos resuelto en el caso de las lineales, pues muy
bien sean conscientes constantes, pues estupendamente algunos casos más
también los habíamos resolvido y luego el problema es cuando es el tipo
de función que pongo aquí normalmente esto se interpreta cuando yo tengo
el sistema homogéneo igual a un acel pues esto sería un sistema o un
circuito o un ejemplo que vimos en el primer tutorial de esto es un muelle
del estilo inarmónico tenemos unas características del muelle la fuerza
de recuperación pues me daba una solución propia del sistema digamos que
eso sería el sistema pero aquí le metemos una aperturización, un
término forzado entonces por ejemplo en el circuito oscilante pues sería
la señal que entra por una antena por ejemplo y entonces dependiendo mucho
de como es esta señal pues se obtienen distintos fenómenos pues En el
estilo de la armónica hay uno que es muy típico y que habéis visto en
física, que es el de la resonancia. Y si yo le meto aquí una
perturbación que se acople con el propio sistema, pues en un momento dado
se amplifican las cosas, se atenúan, en fin. El fenómeno de la resonancia
es un fenómeno que se estudia en el estilo de la armónica, por ejemplo. Y
que sirve pues la base de la radio, entre otras cosas, o en algunas
estructuras. Entonces, el problema que hay muchas veces en electricidad es
que aquí el término forzado de la perturbación es una función que es
muy discontinua. Por ejemplo, puede ser que se encienda una cosa y luego se
apague. O que tenga picos. O que tenga... Saltos. Entonces, este tipo de
funciones que en principio no sabemos manejar muy bien, las técnicas que
hemos estudiado hasta ahora, pues no tienen ningún problema. Se manejan
muy bien con la transforma de Laplace. La transforma de Laplace es un
operador funcional que ha una función. Esto es un conjunto muy amplio de
funciones. Este que he llamado aquí como una F-gótica. Es un conjunto muy
amplio de funciones que incluye las funciones discontinua, reaccional. De
hecho, incluye todas las funciones que no tengan un crecimiento exagerado.
Y que puedan integrárselas. Y que tenga condiciones muy amplias. Entonces,
un conjunto... funcional bastante amplio y luego lo que es el objetivo de
este curso hacerlo, se transforma en una nueva función. Esta nueva
función, el efecto que hace la transformada en Laplace que transforma F en
una nueva función que normalmente por abreviar y por no cargar las
notaciones es la misma letra que hemos usado para la función pero en
mayúsculas. Si usamos una función G pues su transformada en Laplace, por
abreviar, se pone G mayúscula ya en el contexto que estamos utilizando
esto. Y esta es una transformación integral que tiene su teoría
matemática detrás, pero bueno, no nos vamos a meter en ello. Lo que hace
básicamente, por resumir, lo que hace es que plancha. Es decir, si yo
tengo una función que es muy discontinua, pues la hace continua. Y si es
una función que crece y que se me pone, lo que hace es planchármela. O
sea, suaviza y plancha. O sea, es como la tintorería. Suaviza y plancha
las funciones. Entonces, la definición de esta transformación es que la
transformación de la plancha de una función f de x es una función f de
s, una variable s, que es la integral entre 0 e infinito de e a la menos sx
f de x, diferencial de x. Fijaros que cuando yo estoy integrando esto
respecto de x, el resultado de la primitiva será una función de x. Pero
cuando yo la integro, una integral impropia entre 0 e infinito, pues este s
que aparece aquí, como la he definido es un número, pues aparece un
número que depende del parámetro s, que depende de una función de s.
Ahora cuando veamos un ejemplo, pues lo veréis en seguida. Entonces,
bueno. Bueno, ahora como conviene hacer las transformaciones de algunas
funciones que conocemos, pues una función que es una función x, una
función dinámica, las funciones exponenciales, las trigonométricas, es
importante hablar de funciones usuales que también tenemos en los
problemas, pues hacemos como son las transformaciones. Y de algunas
ecuaciones disponibles. Entonces, he puesto aquí unos comentarios
brevemente para que asumirlo. Pues dice que la transformación de la p es,
la transformación de la p es, hay que ver sobre un conjunto muy amplio de
funciones, que definidas en x mayor que c, dependiendo del parámetro de
infinito, que hay aquí, y dentro del infinito, discontinuas definidas a
trazos, etc. De hecho, una condición suficiente para que una función
tenga que transformar la p es que sea continua a trazos, y que su módulo
sea, del parámetro de infinito, menor que y desponencial. Es una función
muy amplia, es una función muy amplia. m suaviza y plancha las funciones
de hecho la función fds es una función suave es decir, tiene derivadas y
tal y fds tiende a cero es decir que cuando s tiende a infinito fds tiende
a cero, es decir, todas las transformadas de la plas son funciones que se
amortiguan que suavizan y se amortiguan la transformada de la plas es un
operador lineal eso es porque la integral es una plas de línea y la plas
transforma ecuaciones diferenciales que es la suerte que tiene en
ecuaciones de tipo algebraica y la transformada inversa de la plas es
también una esta bien lineal y otra cosa interesante que veremos cuando
veamos como se utiliza la transformada de la plas para resolver ecuaciones
diferenciales es que se hace del tirón el problema de Cauchy, es decir que
en la solución, en la ecuación integramos las condiciones bueno, aquí en
las notas estas lo tenéis en libro, tenéis en texto los libros del mundo
mundial es como se hace la transformada la transformada de la plas de
algunas funciones básicas conviene hacerlo alguna vez en la vida, salvo
que seas profesor de ecuaciones diferenciales que lo haces todos los años
pero bueno, conviene hacerlo una vez en la vida y luego ya pues se aprende
uno y tiene su tabla de transformadas es algo así como las derivadas que
sabes que la derivada del neperiano es 1 por t por x que la derivada de x a
la n es n por x a la n menos 1 y ya te las aprendes de memoria o tienes una
tableta entonces, ¿cómo es la derivada que es constantemente 1? vamos a
explicar la definición en un caso en ningún caso muy sencillito y luego
pues ya pasamos simplemente a ver el resultado por ejemplo, si una función
es constantemente 1 recordar como en la definición aquí sería una
función que es constantemente 1 entonces sería e a la menos x por una
función que es constantemente 1 entonces sería recordar que significa la
integral impropia de 0 a infinito sería hacer la integral definitiva de c
a y luego atender a al infinito O sería la integral de a menos sx
diferente al x, que es la integral de una exponencia, ¿no? Esta sería la
primitiva entre el cero y a. Y pongo a. Y donde pone cero sería e elevado
a cero. E elevado a cero es uno, que sería uno partido por s, ¿no? Bueno,
entonces sería, cuando yo tengo aquí una a y a tiende infinito, sería e
a la menos infinito. Recordad que a la menos infinito es cero, cero partido
por menos uno partido por s, ¿no? Y aquí tenéis que transformar el
función constantemente uno, que es una función que es así, en la
función uno partido de s, que sería así. Bueno. Y transformar el
exponencial en la x, que sería poner aquí la función con este término
aquí, que sería el término de tu linchador, ¿vale? Escribes, haces la
integral, el límite en los extremos tiendes a infinito, y obtienes cuánto
vale la transformada de e a la x, en la exponencia. Fijaos que la
exponencia es cero. Aquí tenemos, como estos son ejercicios de cálculo,
los pongo aquí por encima en los libres. Es un hecho y combina hacer de
uno, sino pues por lo menos entender cómo funciona esto. Estas las
exponenciales, las funciones trigonométricas, si estás familiarizado con
el cálculo en variable compleja, pues son un caso particular de las
exponencias. Estas las exponenciales, las trigonométricas. Pero bueno,
aquí se pueden hacer también de manera separada y sería pues un
ejercicio de integral por partes, ¿no? Entonces, los integrales, ya no, si
alguien tiene dificultades en algún caso, pues, y me lo quiere escribir,
pues se lo escribo con más detalle o lo que sea. En nuestro libro, esto es
que vienen hechos todos, lo que pasa es que normalmente me hace los pasos,
o sea, te indica cómo se hace, pero luego hay gente que, Entonces tenemos
la transformada del seno de a la x, que es esto de aquí. Aquí las tengo
marcadas. La transformada, otra cosa interesante, la transformada de la
integral de una función es la transformada de la función partido por el
sentido de la transformación que te dice que la transformada de a la x f
de x es f, es a menos a. Esto, por ejemplo, os pongo ejemplos porque luego
en algún problema pues tendréis ejemplos. Ah, pues este es como el del
ejemplo de la unidad 6. E a la 5x seno de 2x, ¿cómo sería esto? La
transformada de este producto de aquí. Pues sería, aplico la propiedad
que esto es la transformada, la propiedad de traslación sería la
transformada de de e a la 5x f de x. Luego sería la transformada de f en s
menos 5. Pero como la transformada de s es la transformada del seno de f,
en este caso es el seno de 2x, tendría que sería, sería f que es la
transformada de seno de 2x. Pero la transformada, si f es el seno de 2x, su
transformada es, como hemos visto aquí, en un momento sería a partido por
s al cuadrado más a al cuadrado, luego serían 2s al cuadrado más 4.
Entonces sería esta función, pero en s menos 5. Entonces sería 2 partido
donde pone s, tengo que poner s menos 5 al cuadrado más 4. Bueno y con
este ejemplo pues podéis ver cómo se transformaría. Por ejemplo, en
muchos libros, pues, que viene en nuestro libro, también viene, viene la
tabla de las transformadas algunas que, por ejemplo, ya no hay que ofrecer
mucho. Pues cómo sería la transformada de una exponencial por un por un
coseno. Cómo sería una exponencial por el seno. Y en ella sería la, en
la s en el desplazamiento y en la e pues sería la transformada de la
expresión. Aquí tenemos algunas transformadas más. Y las también. de x
a la n cuando no es un número entero por ejemplo aquí os he puesto en los
casos más frecuentes x, x al cuadrado como en x sería el número que
tiene x al cuadrado y esto es muy interesante esto sí que es interesante
porque nosotros vamos a utilizar la transformación Laplace aplicada sobre
todo a resolver ecuaciones diferenciales pero me interesa saber cómo es la
transformada de una derivada, de una función entonces fijaros que sería
esto de aquí como hacemos integrales vamos a esta cuenta de aquí pero voy
a fijarme en el resultado la transformada de Laplace de la derivada de f
sería s menos la transformada de Laplace de f, o sea f muy grande menos f
en cero fijaros que aquí estoy incorporando el valor inicial de la
infunción ¿por qué? porque cuando yo estoy haciendo la integral como es
entre cero e infinito tengo que utilizar el valor de la infunción la
segunda derivada la transformada de la segunda derivada pues sería este
resultado aquí sería s cuadrado por f grande menos s por f en cero menos
f prima en c sería aplicar así y aquí, pues por ejemplo lo explico en
esta imagen porque no porque en algún caso apareció un problema en el
término de nuestro triplón de poder incluirlo entonces aquí la
transformada de la derivada de la tercera sería s cubo por la transformada
de f por f grande menos s cuadrado por f en cero menos s por f prima menos
f en cero y como veis la ley de formación pues es bastante y esto he
escrito aquí un comentario en las notas que dice una de las cosas notables
de la transformada de Laplace es que incorpora las condiciones iniciales a
la inversión final de la infunción con un número h bueno hay algunos
casos sobre todo en algunas funciones como esta que es de una infunción
una función una función discontinua Para hacer la transformada en la
plaza, pues conviene hacerse laterales. Por ejemplo, esta función que es
0, ya sabéis que en la X varía esa anterior función, de 0 a 5 esto está
parado. De 5 a 7 vale 2, pero de 7 más adelante vale 1. Es una función
discontinua. ¿Cómo sería la transformada en la plaza? Hay que recurrir a
hacérselo a pedales. En la definición sería esta, la integral de 0
infinito de a la menos SX, Fx diferencial de X. Entonces lo que hago es
partir la integral en tres cachos, de 0 a 5, de 5 a 7 y de 7 más adelante.
Estos dos términos, como esta función F extrae el 0, pues estos dos
términos me lo encontrarían y sería así. Pues simplemente la integral
entre 5 y 7 y a la menos SX por lo que vale esta, que es la constante 2.
Esta integral, pues sí que la sabemos hacer muy bien porque se crea el
control de la primitiva. Y entonces sería la integral entre 5 y 7, que
sería la X en 7 y la X en 5. Entonces sería menos 2 quintos. Y a la menos
5 es el menos y a la menos 6. Otra cosa interesante. La transformada de un
producto por X a la n. Y de un producto por X a la n. Vemos aquí,
normalmente lo que vamos a tener aquí es, en casi todos los libros, lo que
te hace es que te da una tabla. No me voy a dedicar porque también, pues,
por lo menos sabes usar la tabla. Porque si te lo ponen en un problema, te
dan la tabla de las transformadas porque si haces muchos problemas, al
final te los aprendes bien. Pero bueno, vamos a hacer un problema para que
veáis cómo funciona la transformada en la PES para resolver un problema
de coche. Con las notaciones diferenciales. Este sería el problema. Tengo
la segunda derivada de Y más Y. Este sería casi el oscilador armónico,
¿no? con un término forzado que es un valor periódico seno de 2x. Con
dos condiciones iniciales, la y en 0 vale 2 y la primera derivada en 0 vale
1. Es un problema de Cochin. Entonces, ¿cómo sería este problema
utilizando la transforma de Laplace? Pues yo cogería y haría la
transforma de Laplace del primer miembro es igual a la transforma de
Laplace del segundo miembro. Entonces, como la transforma de Laplace es un
operador lineal, entonces sería la transforma de Laplace de la segunda
derivada o la transforma de Laplace de la primera derivada es igual a la
transforma de Laplace del seno de 2x. Entonces, aquí esta nubecita quiere
decir que estoy pensando, me acuerdo, miro en mi memoria y sé que la
transforma de Laplace del seno de A-P era A partido por seno de 2x. Seno
cuadrado de A más A cuadrado. En nuestro caso, la A es el 2, con lo cual
sería 2 partido por seno cuadrado más 4. ¿De acuerdo? Ahora tengo que ir
cambiando las transformadas de Laplace. ¿Cuál es la transformada de
Laplace de la derivada segunda? La transformada de Laplace de la derivada
segunda, acordaros que S cuadrado de I y es la I mayúscula. Así, en
nuestra notación, la transformada de Laplace de la I minúscula es la I
mayúscula para no escribir tantas letras. Entonces, esto sería S cuadrado
de I mayúscula menos S por el valor en cero menos el valor de la derivada
segunda en cero. Perdón, de la derivada primera en cero. Entonces, esto me
lo he recordado. Entonces, donde pone la transformada de I segunda, escribo
S cuadrado de I menos S por el valor en cero, pero el valor de cero era 2,
2S menos el valor de la derivada primera en cero, que es 1. Luego esto de
aquí sería la transformada de Laplace de I. Luego tengo la transformada
de Laplace de I, que es muy fácil porque es I. Entonces ya tengo una
ecuación. A ver, recordad que comentamos al principio que una de las cosas
buenas que opina la traducción es que me transformaba en una ecuación.
Una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Y además me
permitía incluir en el que se maneja este términos forzados discontinuos
y raritos. Entonces, fijaros que aquí lo que tengo que hacer es despejar
la i, entonces dejo en un miembro todo lo que tiene la i mayúscula, que es
ese cuadrado más uno, y todo lo demás lo paso al otro miembro también,
si no, el 2s lo pongo aquí sumando, el 1 lo pongo aquí sumando. Entonces,
despejar la i supone pasar y dividir todo por ese cuadrado más uno. O
sería este segundo miembro de aquí dividido por ese cuadrado más uno.
Fijaros que si yo opero todo esto, esto es una operación algebraica, con
la operación algebraica, denominado como 1s cuadrado más cuatro, sería
el 2, luego sería ese cuadrado más cuatro por 2s, que es 2s cubo más
cuatro, más cuatro por 2s, que es 8s, y luego sería ese cuadrado más
cuatro por uno, que es ese cuadrado más uno, juntando términos de
igual... tal, tengo. Con el 2x cubo, el s cuadrado, el 8s, y luego 2 y 4
que son 6. Entonces, bueno, y ese cuadrado más cuatro y ese cuadrado más
uno. Entonces la técnica es descomponerlo, esto hay que aprenderse bien
cómo se hace la técnica de descomponerlo en fracciones elementales. Por
lo que, para descomponerlo en fracciones elementales, os hice un resumen,
voy a poner, como esto son raíces, como esto tiene raíces complejas, ese
cuadrado más cuatro que a veces se imagina, y ese cuadrado más uno
también que a veces se imagina, compleja, Poner los denominadores y el
numerador es un polinomio grado 1, AS más B y CS más D. Entonces hay que
descomponer esto en una... Si utilizas el Wolfram Alpha o utilizas el
Máxima, pues te lo hace del tirón. También conviene aprender a hacerlo a
mano. Yo tenía un compañero que era profesor de metal. A los chicos del
taller de metal les obligaba a hacer las piezas con lima. O sea, levantar
un bote con lima y recalibre, tenías que hacer la pieza que te habían
dado. Y todos los chicos le decían, déjanos usar la fresadora, no sé
cuánto. Y decía, a ver, ¿cómo se hicieron las piezas de la primera
fresadora? A mano. Pues eso. A lima. Y siempre tenías que aprender a hacer
las cosas a lima también. Que las piezas de la primera fresadora se
hacían a lima. Bueno, entonces tenemos aquí el desarrollo este de
descomponer los factores algebraicas y al final lo hemos descompuesto en
dos factores algebraicos. Entonces, fijaros que yo al final tengo una
ecuación que es que I... A ver, ¿dónde está? Y aquí la tengo. La
transformada de la función que tengo es una suma de fracciones
algebraicas. Entonces, yo aplico la linealidad de la transformada inversa,
es decir, la función I, que es la transformada inversa, será la
transformada... Y como la transformada inversa es línea, será la
transformada inversa de este primero sumando más la transformada inversa
de este segundo sumando más la transformada inversa de este segundo
sumando. Entonces, lo tenemos escrito que la función que busco es la
transformada inversa del primer miembro será la transformada sinversal de
la clase de estos tres términos. Entonces, aquí por la cinta, estos que
son S cuadrado más uno... ... o ese cuadro más 4, ese cuadro más 1, ese
cuadro más 1, como veis, tengo que referirme a la tabla de transformadas
que me dan funciones de este estilo. Estas son concretamente las de las
trigonométricas, el seno de ax y el coseno de a. Esto lo que ponente es un
ax, y el seno de ax. Entonces, lo que tengo que hacer es, por ejemplo, esta
de aquí. Esta de aquí tiene la pinta, como no tiene eses, pues tiene la
pinta de ser un seno. Esta otra de aquí, que sí que tiene eses, pues
tiene pinta de ser un coseno. Entonces, lo único que tengo que hacer es
apañármela. Para que me queden del tipo, aquí, por ejemplo, esta de
aquí. Esta de aquí, hemos visto que tiene que ser del tipo del seno. Esta
de aquí. Entonces, bueno, pues aquí al final me fijo. Lo que aparece
aquí, este 4, es un a cuadrado. Luego el a vale 2. Luego tengo que
apañármelas para que aquí me quede un 2. Entonces, para que aquí me
quede un 2... Tengo que sacar el menos 2 tercios fuera, y luego meter un 2
dentro y dividir por 2. Pues serían menos 2 tercios que le he puesto
fuera. Entonces, como adentro he puesto un 2, tengo que dividir por 2.
Tengo que dividir por 2, entonces el 2 y el 2 se me van, y me queda el
menos 1 tercio. Y ya tengo que la transformada inversa del 2 partido por
seno al cuadrado, más 2 al cuadrado, es seno de ax. La misma técnica
teoclítica. Tengo que utilizar para hallar la transformada inversa de
esta, que esta como tiene una s aquí, pues tengo que sacar el 2 fuera y ya
he terminado. Saco el 2 fuera y ya tengo que esto es... S partido por s al
cuadrado más a cuadrado, que es 1. Entonces, esto es el coseno de ax. Esto
de aquí, pues sería también del estilo de estas primeras, lo que sería
un seno. Saco el 5 tercios fuera y ya lo tengo. Tengo 1 partido por seno al
cuadrado, y 1 cuadrado, y 1. Con lo cual, fijaros que ya tengo que la
ecuación lineal anterior, su solución es esta. Y ya he incorporado en la
solución las condiciones iniciales del problema de coche. Bueno, aquí os
he hecho un comentario que ya lo había hecho un poco anteriormente, pero
bueno, lo voy a repetir aquí con el dedo. Si yo tengo un circuito, no sé
si aquí hay alguien, yo tampoco soy especialista en el seguro que sabéis
vosotros mucho más que yo. Si yo tengo un circuito de estos que tiene una
inducción, una resistencia, una capacidad, entonces la ecuación de este
circuito, de la carga eléctrica, es una ecuación de orden 2 con
coeficientes constantes, que son las constantes. Esa es la característica
de la resistencia, la bobina y la condensación. Entonces yo le puedo poner
aquí una señal. Entonces la solución general de la homogénea, que he
puesto aquí. Ah, bueno, perdón. Sí, he hecho este problema, el problema
que hemos hecho aquí, es que no sabía lo que era el límite. El problema
este que hemos puesto en el ejemplo, fijaros. Este que habíamos puesto en
el ejemplo que queríamos resolver, es de los que hemos sabido resolver de
toda la vida. Si lo hubiéramos hecho como lo hemos hecho anteriormente,
hubiera escrito la homogénea. La homogénea tiene dos raíces complejas
conjugadas. Y luego la solución general de la homogénea sería esta. Esta
sería la solución general de la homogénea. Es el mismo problema que
hemos hecho antes por la transformación, pero una solución particular de
la completa sería ensayando, como son trigonométricas, unas funciones
trigonométricas, que lo hemos ensayado. Con lo cual me hubiera quedado que
la solución particular es esta. Con lo cual la solución general sería la
solución particular más una combinación lineal de las soluciones
fundamentales. Y con las condiciones iniciales se hubiera determinado
cuánto valen las constantes de la solución general y la homogénea para
ir a la solución particular y habría tenido el mismo resultado que
utilizando la transformadora. Bueno, ya para acabar esto y ya pasar a hacer
problemas, que es más entretenido, simplemente en vuestro libro habla de
un teorema útil. El teorema tiene un poco mal de fundamento matemático,
pero tal como lo formulamos ahora es simplemente como una herramienta de
cálculo para hallar transformaciones en dos. Es decir, cómo se puede
hacer la transformación inversa, el problema que queremos aprender a hacer
es este. Si yo quiero hacer la transformada inversa, habéis visto que los
problemas de resolver ecuaciones diferenciales lo hemos reducido al
problema de hallar la transformada inversa. Entonces, en nuestro libro
aparece el teorema de convolución y lo formula como una herramienta para
hallar transformadas inversas. Entonces, la transformada inversa de un
producto f por g es la convolución de la transformada inversa de f grande
y la transformada inversa de g. Y ahora vemos que es la convolución.
Normalmente, muchas veces sabemos hacer la transformada inversa de una
función y sabemos hacer la transformada inversa de otra función, pero no
sabemos hacer la transformada inversa del producto de dos funciones.
Entonces, el teorema de convolución me resuelve esa cuestión. Si yo sé
hacer la transformada inversa de una función y sé hacer la transformada
inversa de otra función, sé hacer la transformada inversa del producto
utilizando el concepto de convolución. El concepto de convolución es
simplemente que la convolución de dos funciones f y g es la integral entre
3x de f menos nu de g. x menos, y esto es un parámetro, g de g de x al
cuadrado. La letra aquí resta por la dióxido. Entonces, esto vamos a
verlo con un ejemplo. Por ejemplo, si yo tengo la función f de x igual a x
y g de x igual a x al cuadrado, ¿cómo sería la convolución de f y g?
Dando esta definición. Vamos a familiarizarnos con la definición. Sería
la integral entre g de y x, x menos nu, que sería la función f de x menos
nu, como x es f, la función es dejarle igual, pues sería x menos nu, y g
de nu es elevado al cuadrado. Entonces, esto es una integral. Y f de nu,
pues tendría que ser real, o sería x del producto, x nu cuadrado, f de
nu, menos la integral entre c y x de nu. Lo hago en las cuentas. Entonces,
esto sería, como la x es una constante, sale fuera. Esto entorrando
respecto de nu, sería, la del cuadrado sería el cubo partido por 3 entre
c y x, y la del cubo sería x por 4 entre c y x. Lo evalúo en x, con lo
cual sería x cubo por x es x cuarta partido por 3, menos el valor en 0,
que es 0. Y esto lo evalúo en x, con lo cual, pues tendrá x cuarta
partido por 3, menos x cuarta partido por, sería x cuarta, sería, menos 3
más o menos, sería 4 doceavos, menos 3, menos 3 menos, sería 4, sería,
el teño común es 12, sería 4, menos 3. Esto es un doceavos, y 4 menos 3,
un doceavos de la función. Bueno, lo hemos hecho muy bien. Y esto sería,
lo que significa la convolución de dos funciones. Las propiedades de la
convolución, pues es un operador, un operador entre funciones, que es
conmutativa, que es distributiva respecto de la suma y que es asociativa.
Estos todos son propiedades que se derivan de la integración y no tienen
que escribirlo y listo. Entonces, por ejemplo, el teorema de convolución
que en nuestro libro, quiero recordar que está bien en la demostración
hecha, tampoco es muy compleja, lo que viene como tal como se plantea es
como una herramienta para hallar inversas de transformar la raíz.
Entonces, vamos a ver un ejemplo de cómo lo hacemos. Por ejemplo, me
preguntan que cuál es la transformada de la raíz de 1 partido por S, S
cuadrado más 4. Fijaros que yo tengo que esto es el producto de dos
funciones que se invertir 1 partido por S y 1 partido por S cuadrado más
4. La inversa, la transformada inversa de 1 partido por S me la sé porque
es la función que es constantemente 1 y la inversa de S cuadrado más 4
también me la sé porque es, esto sería aquí un 2 dividido por un medio,
sería un medio de S en los X. Entonces, fijaros que yo sé, necesito saber
la transformada inversa de un producto de dos funciones que es la raíz de
S cuadrado más 4. Y yo sé invertir. Fijaros aquí lo que está escrito.
La transformada inversa de 1 partido por S por 1 partido por S cuadrado
más 4 sería la convolución de la inversa de 1 partido por S, que es un
1, con la inversa de 1 partido por S cuadrado más 4, que es un medio de S.
Y con lo cual ya sé que la inversa de este producto es la convolución de
estas dos funciones. Entonces, lo único que tengo que hacer, es escribir
cómo es la convolución. La convolución sería, la convolución de dos
funciones sería, en un caso tengo la función que es constantemente 1.
Pues, en este caso esto es un 1 constantemente. Y la otra sería el seno de
2, un medio del seno de 2X. Entonces, con el, entonces, pues bueno, sería
esta integral, que va entre C y X, esta integral es inmediata, la integral
del seno, pues es el seno. le ponemos el coseno, calculo y ya lo tengo
hecho. Entonces, pues la aplicación que es constantemente una aplicada de
valor equinomio es 1. Otro ejemplo, este es de la PEC del año 2018. Fijaos
que cuando la PEC es a finales de... tengo que apuntar la fecha, pero
bueno, me doy en el curso virtual. La PEC es algún día a finales de
abril. En las PEC también te pueden poner problemas que sean un poco más
laboriosos, ya que no tienes la presión de un tiempo límite como lo son.
Dice aquí este problema de valor. Que, utilizando la convolución, hayase
la transformada inversa de Laplace de la función f de 6, 2s-1 partido por
ese cuadrado, ese cuadrado más 1. Entonces, aquí te pide que lo hagas
utilizando el teorema de convolución. Lo podríamos haber hecho
directamente. Lo vamos a hacer de dos maneras para también ejemplar.
Ejemplificar los dos modos que hemos visto. Una manera de hacerlo sería
descomponiendo esta fracción en fracciones elementales. Fijaos que yo
tengo aquí un producto, el denominador es un producto de dos polinomios.
El primer polinomio tiene una raíz que es la 0 doble, por lo cual eso me
daría, al descomponerlo en fracciones elementales a dos términos, uno que
sería s, esto que sería s al cuadrado, porque tenemos una raíz doble. Y
el otro, el s al cuadrado más 1, me daría origen a una fracción en la
que el denominador es s al cuadrado más 1 y el numerador es un polinomio
de grados. Fijaos que esta fracción se descompone en tres fracciones. Una
con denominador s, otra con denominador s al cuadrado, y otra con
denominador s al cuadrado. Entonces ya lo único que me queda es determinar
cuánto valen. las constantes a, b, c y d para que el numerador para operar
todo esto el numerador sea exactamente 2s menos 1 pues cuando yo la manera
más general de hacer esto pues os recuerdo sería coger el denominador
común que es s al cuadrado s al cuadrado más 1 porque tengo que
multiplicar a pues lo tengo que multiplicar por una s y por s al cuadrado
más 1 ¿por qué valor tengo que multiplicar la b? pues como tengo aquí s
al cuadrado pues simplemente por s al cuadrado más 1 y luego el cs más d
lo tengo que multiplicar por el denominador s al cuadrado desarrollar todo
esto para que me quede un polinomio en s y luego identificar los
conscientes el consciente en s al cubo pues como aquí aparece que es a
más c pues tiene que ser 0 el consciente en s al cuadrado que es b más d
también tiene que ser 0 porque aquí no tengo s al cuadrado el consciente
en s tiene que ser a pues tiene que ser 2 y el término independiente que
es b pues tiene que ser menos 1 con lo cual yo sabiendo que a es 2 y b es
menos 1 pues si b es menos 1 pues d tiene que ser 1 y si a mismo he dicho
que es 2 pues d tiene que ser menos 2 y ya tengo los 3 coeficientes que
necesitaba los 4 perdón con lo cual tengo ya descompuesto esta fracción
que es la que yo quiera hallar la inversa la tengo descompuesta como suma
de 3 fracciones incluso esta de aquí la voy a descomponer todavía más
como 12 se parte por s al cuadrado más 1 y menos con menos más más 1
partido por s al cuadrado más 1 en definitiva tengo estas 4 fracciones con
lo cual la transformada inversa esto de aquí es la transformada inversa de
todos estos sumandos y estos todos estos sumandos cada uno de ellos mirando
en las tablas de cómo son las transformadas inversas pues tengo que la
transformada inversa de 1 partido por s pues ser 2 La constante es 2 por la
transformada inversa de 1 partido por S. Y aquí lo tengo escrito, cuál es
la tabla de las transformadas de la pensión. 1 partido por S es inversa
suma. Como tengo aquí un 2 fuera, pues es 2. Lo que es constante. 1
partido por S al cuadrado. 1 partido por S al cuadrado es X. Y ya lo tengo
puesto aquí. Entonces, S partido por S al cuadrado más 1 es de estas del
estilo de los cosenos. Entonces, como esto es un 1, es el coseno de X y el
2 lo saco fuera. Y esta otra de aquí es de este otro estilo. Esto sería,
en el caso B al cuadrado, B es 1, pues sería seno de X. Entonces, como
veis, pues esta sería ayer la transformada inversa. Y aquí lo tengo
utilizando el método de descomponer las fracciones elementales y hacerlo
con más. Pero aquí, en la inercia del problema, me dice que utilice la
convolución. Entonces, para utilizar la convolución, yo voy a descomponer
esto como el menos 1 partido por S al cuadrado. ¿Dónde está esto? En la
2S menos 1, perdón. 2S menos 1 partido por S al cuadrado. Sí, lo tengo
escrito aquí. Perdón. Este era, este era el lado. Perdón. Fíjense, esto
es como 2S menos 1 partido por S al cuadrado. Bueno, lo agrupo aquí de
otra manera. Sería 1 partido, perdón. Lo vuelvo a ver en el cardinal. Y
no. Ya está. Sería 1 partido por S al cuadrado y luego la otra fracción
sería esta. 2S menos 1 partido por S al cuadrado menos 1. Esto sería 1
partido por S al cuadrado multiplicado por esto es, esto es más o menos.
¿Eh? De acuerdo. Entonces teníamos esto como producto de dos funciones.
Sería la integral de f, perdón, la transformada inversa de f por g.
Entonces, bueno, como la transformada, si f es 1 partido por c al cuadrado,
aplicando la inversa es x, f es x, y como la transformada inversa de g de
s, que es 2s menos 1 partido, es 2s partido de s al cuadrado más 1, menos
1 partido de s al cuadrado más 1, y estas también son inmediatas, las
inversas las tenéis en coseno, y esto es el seno. Entonces yo tengo que la
transformada inversa de 2s, bueno aquí es la explicación de esto que
hemos hecho. Entonces, el teorema de convolución me dice que la
transformada inversa de f por g, es f con la división de g. Entonces la
transformada inversa de f por g, es la convolución de la transformada
inversa de ese cuadrado, que era x, esto, por la g, esto sería f, sería
la definición de la definición de la definición de la definición de la
definición de la definición. Aquí está, sería. f de x menos mu por g
de mu. Entonces, aquí en esto, esto sería la f de mu, y en este caso,
más x es la función que es x y dejarlo igual, y esto sería aplicar la
definición de convolución, desarrollamos x por todo esto, menos mu por
todo esto. Entonces esto es una integral. Si te das cuenta, le hemos
llamado y1, y2. La integral y1 la hacemos aquí aparte. Es un poco, hay que
descomponer. Aquí, y la integral pues la hacemos aquí. este intervalo es
un poco más complicado porque hay que hacerla por partes y esta también
hay que hacerla por partes entonces esto es un poco laboriosillo y al final
las juntas todas, las sumas y te queda el resultado este que coincide con
el resultado anterior este sería un vistazo rápido a cómo se utiliza la
persona de la plaza, quería comentaros que en el máxima hay una de las
opciones cuando te resuelven las ecuaciones es utilizar la transformación
de la plaza, aquí os he hecho un pequeño resumen de las transformaciones
de la plaza de uso más frecuente que también tenéis en vuestra
biblioteca, tenéis ahí con una convolución en transformación de las
derivadas pues como veis una de las cosas que no hay que hacer es asumir
transformar la clase. Vamos a ver si nos da tiempo a hacer uno o dos y ya
está. Dice, este es un problema del año 2015, no perdón, del APEC del
año 2015. Dice, utilizando la transforma de la clase resolver el siguiente
problema de valores iniciales. Pone x cuadrado y segunda menos 12y igual a
x. Fijaros que este es un problema lineal, pero no es de coeficientes
constantes. Este es de los que hemos visto al principio de la tutoría, que
eran aquellos que mediante una transformación en el cambio en la t, pues
se convertían en una ecuación de coeficientes constantes. Aquí me dicen
que lo resuelva utilizando la transformación. Es un problema de Cauchy en
el que me da el valor inicial. No, no, con la plaza se puede hacer
directamente, con la plaza. No, he comentado que este es un problema que si
no hubiéramos sabido transformar a la plaza, nos hubiéramos tirado del
huello porque es de los que sabemos resolver. Lo hemos aprendido hace un
ratito, ¿no? Bueno, esta es una ecuación de un problema de valores
iniciales y vamos a verlo rápidamente luego. La próxima tutoria la
veremos en el marco de Madrid. Y analícese si existe o no unicidad en la
solución. Justifique la respuesta. Bueno, esto es interesante, ¿no?
Porque nos sirve para ver varias cosas. Si yo quisiera resolver esto con la
transformación de la plaza, que es lo que me indica en el aplicador, yo
tomaría transformar de la plaza en los dos miembros. Ya que la
transformación de la plaza es de x cuadrado y según el menú 12y es igual
a la transformación de la plaza de x. Aplicaría la linealidad. Ahora, hay
que recordar, claro, porque aquí me aparece un x al cuadrado y esto lo
tiene en la página 139 libre, hecho con todo el taller. Hay que recordar
que la transformación de la plaza de x es f de x, es la derivada, lo he
puesto la derivada, y la transformación... La transformación de la plaza
de x cuadrado f de x es la derivada segunda. En general, la transformación
de la plaza de x al 1 f de x es el menú tomándose los signos. Y si es un
cuadrado va con signo positivo, o sea, si es una potencia par va con signo
positivo, la derivada es el signo. Entonces, recordando esto, la
transformación de la plaza de x cuadrado y segunda es la derivada segunda
de la transformación... de la plaza de x y segunda. La transformación de
la plaza de x f de x, en el papel de f de x yo tengo... ...x cuadrado f de
x en el papel de f de x yo tengo la del segundo. Entonces sería la
transformación de la plaza de x y segunda, y sería la derivada segunda de
x y segunda, pero la transformación de la plaza de x y segunda era ese
cuadrado ahí menos ese 2, pero menos su prima de cero, que es la derivada
segunda de todo esto, Bueno, aquí he cambiado donde ponía y de 0 puesto
que era 0, y primero era 1 de 0, es decir, que lo iba a respetar aquí.
Esto hay que hacer la derivada de ese cuadrado y la derivada segunda, que
sería hacer la derivada primera y luego la derivada de eso. La derivada
primera respecto a ese sería la derivada de un producto, que sería la
derivada de ese cuadrado, ahí sin derivar, con ese cuadrado por la
derivada de ahí, y esto sería la derivada de constantes, que sería la
derivada de todo esto. Bueno, si alguien se sabe cómo es la fórmula de la
derivada segunda de un producto, pues que lo haga directamente, pero bueno,
si no, se hace la derivada de un producto y luego la derivada de un
producto. Sería esta otra vez la derivada de un producto, y esta otra vez
sería la derivada de un producto. Con lo cual me queda que la transformada
de la plaza de x cuadrado y segunda, pues es, con estas condiciones
iniciales, pues es exactamente esto. Entonces, ¿cómo me queda mi
transformada de la plaza? Mi transformada de la plaza me queda que la
transformada del primer miembro es esto que hemos calculado aquí, la
transformada de y menos la transformada de y igual a la transformada de x
por la transformada de x es ese al cuadrado. Con lo cual me queda esta
ecuación lineal con coeficientes cuadrados. Bastantes. Y entonces, bueno,
lo voy a dejar aquí porque viene otra gente y lo seguiremos viendo el
próximo. Este problema pues es un poco la cosa de hacer, porque no es
esto. Pero bueno, vamos a dejarlo aquí. Y es interesante, lo haremos el
próximo día, cuando volvamos de vacaciones de Semana Santa. Si alguien lo
quiere ver en las notas, pues que lo mire. Y así ya lo vemos un poco.
Simplemente despedirme de vosotros. Voy a intentar finalizar la grabación.
Y nada, desearos... Me podéis escribir en cualquier momento. Gracias. Y yo
además agradezco que me hagáis sugerencias. Bueno, pues hasta otro rato.
En el próximo día hacemos el problema este con todo detalle. Venga, hasta
luego.