Bueno, aquí estamos otra vez. Me parece que ya estamos todos después de
haber solucionado este pequeño problema que se ha generado, porque en
realidad había dos convocatorias, no una sino dos. Y bueno, al final
resulta que... Me imagino que estáis todos en esta. Lo que pasa, ahí
estamos, usuarios conectados, veo aquí a bastantes personas, a Palacios,
de Molina, etc. A ver, ¿me permitís un momentín? Que venga ella, que
venga ella. Y en los usuarios conectados, cinco, solamente veo tres. ¿Se
puede ir más a uno? ¿Por dónde se baja? Si os veo a todos, porque
solamente veo a dos de momento. Dos usuarios conectados. Vale, vale. O sea
que tenemos a Palacios, a de Molina, a J. Blesa y a R. Albalat. Estos son
todos los que os tengo fichados, yo mismo. ¿Vale? Muy bien. ¿Podéis
confirmarme que me recibís bien, sin ningún problema? O con los problemas
de siempre, vamos, generalmente. Y a partir de ahí empezamos ya con el
temario. Si no podéis confirmársela a través del chat. Ha de ser a
través del chat que me la habéis de confirmar. Yo no recibo nada en el
chat en este momento. No recibo nada. Vale, a Palacios se entrecorta un
poco, pero aceptable. Vale, yo supongo que conforme vaya incrementándose
la grabación, me iréis oyendo mejor. ¿Vale? B. Molina dice que yo no
oigo nada. Pues vaya, hombre. Pues si no oyes nada, la cosa va a estar un
poco justa. Si solamente te has de basar de lo que veas en tu ordenador o
en tu pantalla. A ver, los demás. Lo mismo digo, se entrecorta, pero bien.
Bueno, Albalat, se entrecorta, pero bien. Bueno, Palacios queda bleu. Esa y
FLEON. No sé si alguno de vosotros, los demás... Pero bueno, yo voy a
continuar, porque si no se nos va a acertar. Bien, en pantalla tenéis
aquí la primera diapositiva, como siempre, que es el anuncio de que se
trata de la sesión de ecuaciones diferenciales número 5. Hay uno, por
cierto, estoy hablando ahora con uno de los técnicos, que dice que no oye
nada. Concretamente Blesa no oye nada de nada. Pero claro, habrá de subir
tus altavoces, porque yo no puedo hacer nada más. Si algunos compañeros
lo oyen y tú no, por alguna razón debe ser. Y en cambio, FLEON dice que
sí, que escucha bien. Eso quiere decir que el problema ya no es tanto
mío, sino de recepción vuestra o alguna otra historia, de los que estáis
más afectados. Bueno, existe la posibilidad de aumentar la pantalla, que
yo veo. En este caso, se lo digo al técnico de aquí. Yo la veo muy
pequeñita. Pero bueno, yo no la puedo ver más grande de como la tengo.
Bien, si os fijáis, y vamos a la diapositiva número 2. Diapositiva
número 2. Y hacemos un pequeño recordatorio. De lo que habíamos visto
hasta ahora, recordaréis que en la sesión pasada estuvimos viendo las
ecuaciones diferenciales. Y concretamente, en las ecuaciones diferenciales
de orden n, las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n,
que son justamente las que estamos viendo ahora. Ahora hemos tocado la
cámara y como consecuencia de ello resulta que la hemos dejado fija. Pues
bueno, ahora resulta que las ecuaciones diferenciales de orden n podían
ser homogéneas. O podían ser, ahora sí que se ve, ¿no? Podían ser no
homogéneas. Eran no homogéneas cuando el segundo miembro de la
ecuación... Existía. Cuando estaba igualado a cero, entonces las
llamábamos homogéneas o incompletas. Y cuando el segundo miembro de la
ecuación, el polinomio o expresión o función b de x, si os recordáis,
existía, entonces las llamábamos completas. Bueno, pues entonces se trata
de ver qué es lo que pasa aquí, ¿no? Cuando son completas. O sea, cuando
existe este segundo miembro de la ecuación. Fijaros en el índice. Que
ahí está puesto, en el punto 3-2, cuando bx es un polinomio en x. O
cuando bx, en el punto 3-3, es una función exponencial de la forma k por e
elevado a x. Siendo e, como sabéis, la base de los logaritmos neperianos.
Vale. Hay otras maneras también y otras posibilidades de la función b de
x. No solamente estas, sino pueden ser combinación lineal de estas, pueden
ser funciones de tipo trigonométrico, etc. Todo esto lo iremos viendo
justamente el día siguiente. O sea... El próximo día 16, que es el
miércoles de la semana que viene. Que traeremos la última clase referida
a este grupo de materia de ecuación diferencial. Tened en cuenta, os lo
repito, como dije ya entonces, yo os lo digo ahora. Que no vamos a ver
todas las ecuaciones diferenciales, puesto que no da tiempo. Hoy vamos a
ver una hora de clase aproximadamente. La semana que viene daremos otra
hora de clase aproximadamente. Pero nos quedará por ver. Vamos a ver, por
ejemplo, los sistemas de ecuaciones diferenciales. Materia que, sin
embargo, tenéis también en el libro, ¿no? Que tenéis en la guía del
curso. O sea, que en el manual de la asignatura y con su consecuencia en el
examen, os vais a tener que examinar, teóricamente, también de sistemas
de ecuaciones diferenciales, así como de ecuaciones recurrentes o en
diferencias finitas, y, en fin, de otras materias que hacen referencia a
esta asignatura y que no hemos visto en estas clases. Que estamos dando por
videoconferencia, por webconferencia. Tenedlo en cuenta porque, por vuestra
cuenta, eso quiero decir que tenéis que estudiar y tenéis que preparar
más cosas. Bien. Pasamos, pues, a la diapositiva siguiente. Y vamos a ver
qué es lo que pasa cuando nos hallamos en presencia de una ecuación
completa. O sea, no homogénea. O sea, que existe segundo miembro. Dice
aquí la teoría, si miráis aquí, os lo subrayo, lo he puesto aquí en
una raya vertical, dice, en este caso se ensayará un polinomio del mismo
grado de BX, pero si el primer miembro carece de Y, aumentamos el grado de
cada término en una unidad. Si careciese de Y e Y', aumentaríamos el
grado de cada término en dos unidades, etcétera, etcétera. ¿Eso qué
quiere decir? Que nosotros, en principio... Hemos de ver el grado del
polinomio que nos dan, lo he denunciado, y resolverlo de acuerdo con ese
grado. Vamos a ver eso en la práctica cómo se hace. Tenemos, por ejemplo,
aquí un ejercicio, un ejemplo, el ejemplo 5, con el resolver la ecuación
diferencial siguiente, que es esta, que yo en estos momentos os pongo en un
redondo de lucha, ¿eh? Con el lápiz. Supongo que os sale a vosotros
también en la pantalla. Se trata de una ecuación... Es una ecuación
diferencial no homogénea de coeficientes constantes que se puede escribir
de la forma esa de aquí. Yo os pongo esa otra forma, que ahora os la
redondeo también, y que aquí únicamente lo que ha hecho es pasar el Y,
que estaba en el miembro de la derecha, al miembro de la izquierda, el
primer miembro de la igualdad. ¿Por qué? Porque de esta manera he dejado
las X en un lado y las X en el otro. Las X que son justamente el polinomio.
O sea, en el lado de la derecha, esa X que aparece, es la B de X. O sea, es
un polinomio en la X de primer grado, simplemente. Bien. ¿Qué hay que
hacer en esos casos? En esos casos lo que hay que hacer es, primero,
resolver la ecuación homogénea como siempre hacemos. ¿Os acordáis que
en la clase anterior cogíamos y resolvíamos la ecuación homogénea con
las lambdas, etcétera, etcétera? Pues aquí lo vamos a hacer exactamente
igual. Nos olvidamos de la X, el polinomio ese que aparece en el segundo
miembro, y como si eso fuera un cero, ¿eh? Lo resolvemos como si fuera
homogénea. Entonces, como si fuera homogénea, y ahí os lo subrayo ahora,
lo que sale es el lambda menos uno igual a cero. Fijaos qué facilito que
es esto. Esto quiere decir que la lambda es igual a uno. Luego, la
solución de la homogénea, en este caso, de la incompleta, sería Y
asterisco igual a C por elevado a X. ¿No es eso? De acuerdo con lo que
dijimos el día pasado. Bien. Si es A, si la solución de la ecuación
homogénea en vez de ser uno hubiera sido dos, por ejemplo, pues esto
hubiera sido C por elevado a dos X. Si hubiera sido veinticuatro, pues
hubiera sido C por elevado a veinticuatro X. ¿De acuerdo? Como es uno,
pues es simplemente C por E elevado a X. C es una constante arbitraria de
integración. Como se trata de una ecuación lineal de primer orden, tiene
precisamente una constante arbitraria. ¿Eh? En segundo orden tendría dos
constantes, etcétera, etcétera. Todo esto en su día ya lo dijimos. Bien.
Hasta aquí hemos operado como si se tratara de una ecuación diferencial
homogénea. Pero en realidad es una homogénea, puesto que existe segundo
miembro. Es esta X. Entonces, ¿qué se hace? ¿Qué se hace para ello?
Pues para ello lo que se hace es... Bien. Aquí está saliendo ahora una
pantalla. No sé qué dice. Vale. De acuerdo. Entonces lo que se hace es
ensayar una solución particular, ensayar una solución particular que
responda al polinomio que tenemos en el segundo miembro. ¿Eh? El polinomio
que tenemos en el segundo miembro es X, el que nos ha salido en el
enunciado. Luego nosotros ensayamos una solución particular del tipo I sub
P, eso quiere decir que es particular, ¿eh? I sub P igual a AX más B,
porque es del mismo grado que X. Es un polinomio de primer grado. ¿Cuál
será la...? A ver, un momentín, si me permitís. ¿Cuál será...? Ahora,
porque ahora he desencallado aquí mi propia visión del tema. ¿Cuál
será la primera derivada de la expresión I sub P igual a AX más B? Pues
A. Esa primera derivada la necesitamos, puesto que una vez hemos hecho
esto, lo que tenemos que hacer es sustituir en la ecuación inicial, que la
ecuación inicial es esta que yo señalo ahora aquí con una flecha, ¿eh?
La hemos puesto en esta forma, esta de la flecha, ¿eh? Esta de aquí.
Vamos a sustituir los valores de I e I' en esta ecuación y ver qué pasa.
Y entonces, aplicando el método de los coeficientes indeterminados,
hallaremos los valores correspondientes de A y de B. O sea, nosotros nos
vamos a la primera ecuación, a esa ecuación de arriba que pone I' menos I
igual a X y sustituimos la I' por la I' sub P, que es A. ¿No es esto? Ahí
lo tenéis, A. Ahora lo subrayo. Ahí. Menos I. Y es I sub P. Es menos AX
menos B. Y esto es igual a X. Es esta expresión, toda esa expresión que
os he subrayado ahora mismo. Bueno, esto nos permite identificar
coeficientes. Es lo que se denomina el método de los coeficientes
indeterminados. Y podemos hallar los valores respectivos de A y de B. Vamos
a ver. Menos AX más A menos B, es otra manera de ponerlo, igual a X. Eso
es lo que nos queda habiendo sustituido una ecuación inicial. Fijaos que
el coeficiente de la X es menos A. Y en el segundo miembro, identificando
coeficientes, el coeficiente es 1. Luego eso quiere decir que menos A es
igual a 1. Luego A es igual a menos 1. En definitiva, A es igual a menos 1.
O sea, subrayo. Y al mismo tiempo, si A es igual a menos 1, y resulta que
la parte constante, lo que queda, que es A menos B, es igual a 0
necesariamente, puesto que no pone X más 1 ni X más 7 en el segundo
miembro, sino que no hay nada más. A menos B igual a 0. Entonces resulta
que A es igual a B. Y como A es igual a menos 1, pues B también será
igual a menos 1. O sea que ya he hallado el valor de los dos coeficientes
indeterminados de la integral particular, de la solución particular, y sub
P igual a X más B. Que son A igual a menos 1 y B igual a menos 1. O sea,
en definitiva, que la integral particular, la solución particular, es
menos X menos 1. Esta que os acabo de subrayar. ¿Y cuál es, en este tipo
de problemas, cuando hay segundo miembro, el valor de la integral o de la
solución general? La de toda la ecuación. O sea, la completa. La no
homogénea. Pues será la suma de la homogénea, que es la que hemos
representado por una Y asterisco, que hemos hallado antes y era C por E
elevado a X, más la integral particular que acabamos de hallar en el
plazo. Que es menos X menos 1. O sea que, en definitiva, la integral
general es C por E elevado a X menos X menos 1. Este es el resultado de la
integral general de este problema. Fijaros que este problema, que es muy
sencillo, uno de los problemas más sencillos que se pueden presentar en
este tipo de ecuaciones, fue justamente el que os pusieron en febrero de
2011. O sea que hace dos años, en la convocatoria de febrero de 2011, en
una de las semanas, uno de los problemas de ecuaciones diferenciales era
éste. Lo he cogido como un ejemplo sencillo para que veáis que no se
complica mucho. Tenéis que tener las ideas claras pero también es cierto
que nos ponen problemas muy complicados. Quizá ahora al principio os
parecerá muy complicado, pero la verdad que muy complicado no lo es. Ahora
vamos a ver otro problema muy parecido a éste pero un poco más difícil.
En este caso, ahí lo tenéis en la pantalla, yo ya lo tengo en pantalla,
imagino que vosotros también, si no lo tenéis ahora lo tendréis
después. Ahí aparece una ecuación diferencial ordinaria que os estoy
recuadrando. Está de aquí, pero ya bastante más larga, un poquito más
compleja. No mucho más, ya veréis que no es mucho más compleja pero un
poco más. Ahí os aparece una ecuación de segundo orden y derivada del
segundo orden y en el segundo miembro os aparece un polinomio de dx en este
caso de segundo grado, no de primer grado como era el del problema
anterior. ¿Qué hacemos? Pues exactamente lo mismo que hemos hecho antes.
Vamos a empezar por la solución de la homogénea. La de la izquierda como
si estuviera igualada a cero, como si no existiera la parte derecha, como
si no existiera ese polinomio 2x cuadrado más 4x más 7. Vale. La
ecuación característica modulada se llama que es esta de aquí que os
acabo de subrayar ahora lambda cuadrado menos 3 lambda más 2 igual a cero.
Bueno. Es una sencilla ecuación de segundo grado. Hallamos sus dos raíces
y sus dos raíces son 2 y lambda sub 1 igual a 2 y lambda sub 2 igual a 1.
Vale. ¿Eso qué quiere decir? Pues que la integral de la homogénea
vendrá dada como siempre por esa expresión que tenéis aquí i asterisco
igual a c sub 1 por e elevado a 2x más c sub 2 por e elevado a x. En este
caso las dos raíces son 2 y 1 y hay dos constantes arbitrarias porque
estamos en presencia de una ecuación diferencial de segundo orden. El
número de constantes siempre es igual al número del orden de la ecuación
diferencial en cuestión. Bueno. Pero hemos llegado a la primera parte. La
solución de la homogénea. Ahora tenemos que hablar de la solución de la
concreta, o sea, de la toda, de la no homogénea. Y para esto tenemos que
hacer lo mismo que antes. Hallar o investigar una solución particular del
segundo miembro. En el segundo miembro hemos visto 2x cuadrado más 4x más
7 que es un polinomio de segundo grado. Luego nosotros vamos a ensayar el
polinomio genérico de segundo grado. ¿Cuál es el polinomio genérico de
segundo grado? Pues es un t igual a ax cuadrado más bx más c. Vale. La
declaración es un t derivando será 2ax más b y la y segunda será 2a. Y
ya no hace falta hacer más porque solamente llegamos hasta el segundo
orden. Hay derivados hasta el segundo orden. No hay más. Si hubiera
derivado hasta el tercer orden tendríamos que derivar la y tercera que
igual sería 0 porque no sabes una constante y sabemos que las derivadas de
las constantes son 0. ¿No es así? Muy bien. Pues bueno, a partir de ahí
el paso siguiente exactamente igual que hemos hecho antes sería sustituir
estos valores que hemos hallado de la y sub p de la y prima sub p y de la y
segunda sub p sustituirlos en la ecuación inicial en la ecuación original
en la ecuación del problema y al sustituirlos se obtiene todo esto que
ahora mismo os estoy redondeando aquí en la pantalla. ¿Eh? Se obtiene
todo esto de aquí y además igual al segundo miembro que es los x
cuadrados más 4x más 5 Si ahora identificáis coeficientes y los
agrupáis por segundo miembro halláis los coeficientes de x cuadrado aquí
en los términos independientes en definitiva resolvéis este sistema que
es muy sencillo de resolver ¿eh? Y entonces ¿cuáles son los valores que
obtenemos de la a de la b y de la c que es lo que estamos buscando son
estos de aquí a igual a 1 ¿eh? b igual a 5 y c igual a 10 o sea que en
definitiva la solución particular que estamos buscando es que x 2 o sea la
solución particular sería x cuadrado más 5x más 10 ¿eh? dando a b y c
los valores que acabamos de obtener Esto es una solución particular de la
ecuación completa en su consecuencia como hemos hecho también antes lo
que tenemos que hacer es sumar a la solución de la incompleta de la
homogénea ¿eh? la i asterisco que ya hemos obtenido antes c sub 1 por e
elevado a 2x sumarle esta que acabamos de obtener ahora la i sub b con sus
coeficientes que ya hemos obtenido x cuadrado más 5x más 10 y esa es la
integral general la ig que es la solución general de la ecuación total
¿eh? de la ecuación completa En definitiva la sistemática que se ensigue
en este tipo de problemas siempre es la misma ¿eh? lo único que cambia es
que a veces nos encontramos pues con dificultades nos encontramos con que
cada vez el orden de las ecuaciones diferenciales que nos proponen puede
ser mayor o puede ser que se produzcan fenómenos de resonancia que quiere
decir que coinciden algunas raíces eso lo iremos viendo más adelante
entre hoy y mañana o puede suceder que falten algunos términos que falten
algunos términos de la i y de sus derivadas en la ecuación homogénea en
la primera parte en el primer miembro de la ecuación diferencial En este
caso lo que hay que hacer es algunos pequeños clubes que ahora veremos
concretamente vamos a ver qué pasa en este caso de aquí vamos a empezar a
complicar las cosas un poquito más no mucho más pero sí un poquito más
imaginaos supongo que ya lo tenéis todos más o menos aquí en la pizarra
sí vale León me estás diciendo que podría bajar un poco el volumen
ahora mismo te lo voy a bajar la duda que tengo es si a todos les pasa lo
mismo que a ti ¿no? Toma ahora lo he bajado no sé qué tal te va eh
quisiera que me dierais una respuesta algunos de vosotros para decirme si
va mejor o va peor o pasa que ahora resulta que hay otros que no lo oye
ahora yo he bajado un poco el volumen de mi micro no mucho pero lo he
bajado eh necesito un feedback que me digáis si lo oís si no lo oís si
lo oís mejor si lo oís peor si está bien etcétera sigue abriendo ahora
lo dejo sigue distorsionando ah entonces el problema ya no es de subir o
bajar sino que debe ser alguna otra cosa eh bueno en todo caso tú ahora
oyes bien hay un compañero que dice eh concretamente Molina que dice yo
ahora oigo bien porque me he cambiado de ordenador ah entonces el problema
es el ordenador está claro vale ya sabéis que los ordenadores tienen sus
cosas ¿no? efectivamente su configuración en fin sus mecanismos a veces
no coinciden pero también que las resonancias que es justamente lo que
pasa con las ecuaciones diferenciales bueno pues nada vamos a seguir la
marcha eh porque de una manera u otra acabaremos en todo caso os recuerdo
que estas conferencias online que os estoy dando esta ya es la quinta si no
recuerdo mal tres que os di el año pasado dos que llevamos este año y una
que todavía veremos la semana que viene en total son seis las tenéis en
Inteka o sea que las podéis perfectamente descargar directamente y tenerla
en casa entonces ahí se supone que sí que la oiréis bien perfectamente
porque la grabación entonces ya queda perfecta o sea que siempre tenéis
esta posibilidad ahora estamos haciendo la conferencia online eh pero en
diferido la podéis ver en cualquier momento desde vuestra casa y desde
cualquier ordenador bien vamos a ver el siguiente ejemplo se trata de
resolver el ejemplo siete imagino que lo tenéis en pantalla corresponde a
la página número seis a la diapositiva número seis de este PowerPoint se
trata de resolver esta ecuación diferencial que tenéis en la pantalla
bien ahí no os tenéis que asustar a veces las ecuaciones diferenciales
vienen expresadas como y prima y segunda y tercera o a veces lo ponen de
esta forma eh derivada a la cuarta de y con respecto a x a la cuarta eh
pues esto es una manera como otra cualquiera de expresar las derivadas esto
es lo mismo pero esto os lo he colocado ahí como y a la cuarta y menos dos
y a la tercera ¿eh? igual a x cuadrado bueno en este caso tenemos en el
primer miembro una derivada una cuarta derivada y una tercera derivada y en
el segundo miembro de la ecuación tenemos un x cuadrado que es un
polinomio de segundo grado bueno muy bien vamos a ver cómo solucionamos
este tema aquí ¿qué pasa? aquí pasan varias cosas mmm pasan varias
cosas varias eh cosas raras decirlo de alguna manera la primera cosa rara
que pasa es que al resolver la ecuación característica fijaos que se
trata lambda a la cuarta menos dos lambda a la tercera igual a cero se
trata de una ecuación de cuarto grado le falta el término de segundo
grado le falta el término del primer grado y le falta el término
independiente ¿eh? pero en definitiva se trata de una ecuación a ver a
mentir muy bien se trata de una ecuación de cuarto grado muy bien ¿cómo
se resuelve la ecuación de cuarto grado? pues ahí lo tenéis si vosotros
sacáis factor común lambda cubo pues entonces ¿qué resultará?
resultará que en primer lugar hay una raíz triple que es cero o sea que
lambda sub uno igual a lambda sub dos igual a lambda sub tres todo esto son
ceros porque es una raíz triple y luego hay otra raíz vamos a ver lo que
pasa aquí lambda sub cuatro que sería igual a dos puesto que si lambda
sub tres lo pasáis al otro lado os queda lambda igual a dos o sea que en
definitiva como es una ecuación de cuarto grado y tiene cuatro raíces
resulta que las tres primeras son cero cero y dos es la cuarta raíz muy
bien ya sabéis que toda ecuación de grado n tiene precisamente n raíces
reales o imaginarias de acuerdo con el teorema fundamental de la álgebra
debido a Gauss eso siempre es así una ecuación de quinto grado siempre
tendrá cinco raíces reales o imaginarias pero tendrá cinco raíces en
este caso una ecuación de cuarto grado pues a lo mejor va a tener cuatro
raíces lo que pasa es que ahí nos encontramos con una raíz múltiple que
es triple una raíz triple cero cero cero cero y luego una raíz suelta una
raíz real entonces ¿cuáles serán las integrales particulares las
soluciones correspondientes? pues bueno nos dice la teoría que tendría
que ser e elevado a cero x si fuera tres por ejemplo sería elevado a tres
x hemos visto siempre pero como es cero es elevado a cero x y elevado a
cero x como sabéis es uno el siguiente como se trata de una raíz triple
hemos de coger la anterior multiplicada por x o sea que sería x por e
elevado a cero x que sería x por uno sería x e elevado a cero x es lo
mismo que elevado a cero que es uno cualquier número elevado a cero es uno
y por último la tercera raíz sería x cuadrado vamos a multiplicar la
anterior por x entonces quedaría x cuadrado por uno que es x cuadrado o
sea que las tres integrales particulares son estas tres y sub uno y sub dos
y sub tres que tenemos aquí pero vamos a ver la segunda parte también y
es que tenemos que determinar la solución particular de la ecuación
completa el segundo miembro y resulta que el segundo miembro es un segundo
miembro como hemos visto antes de segundo grado x cuadrado y en
consecuencia deberíamos investigar un polinomio genérico de segundo grado
que sería por ejemplo x cuadrado más bx más c ¿vale? ese es el
polinomio genérico de segundo grado pero aquí hay un problema añadido y
es que el primer miembro de la ecuación como habéis visto es y cuatro o
sea y a la cuarta o sea a la cuarta derivada de y menos dos por la tercera
derivada de y y no tomamos ni segunda derivada de y ni primera derivada de
y ni tampoco y o sea que nos faltan esas tres cosas entonces lo que hay que
hacer es aumentar el grado del polinomio que estamos ensayando que estamos
investigando para hallar una solución particular justamente en esas tres
unidades que nos faltan o sea que en principio tenía que ser de segundo
grado puesto que es x cuadrado hasta segundo miembro pero como resulta que
nos falta la y la y prima y la y segunda del primer miembro lo tenemos que
aumentar en tres grados más o sea que tenemos que investigar en definitiva
un polinomio de quinto grado dos más tres o sea el polinomio que vamos a
investigar para hallar una solución particular será un polinomio de
quinto grado será un polinomio como el que tenéis ahora aquí en la
pizarra en la pantalla y superior a x a la cinco más bx a la cuarta más
dx al punto ese es el polinomio que vamos a investigar ahora os voy a
preguntar que cosa sería si no investigásemos este polinomio
investigásemos el polinomio de x cuadrado más bx más c tal como
hacíamos antes ¿no? y nada pues pasará que os va a dar identidades o os
va a dar resultados absurdos probadlo y veréis que esto es así sin
embargo si lo hacemos de esta manera entonces sí que vamos a hallar los
coeficientes que tenemos que hacer fijaos que en la ecuación inicial
tenemos derivadas hasta el cuarto orden en consecuencia tendremos que
derivar esa integral particular que estamos ensayando hasta el cuarto orden
también y primera sub p es esto de aquí y segunda sub p es esto de aquí
y tercera sub p es esto de aquí y cuarta sub p es esto de aquí ahí
están los cuatro esas cuatro son las que tenemos que sustituir en la
ecuación inicial de la ecuación diferencial si las sustituís e igualáis
coeficientes hacemos el mismo procedimiento que en los problemas anteriores
al final después de una serie de operaciones muy sencillas llegaréis a la
conclusión de que los valores respectivos son a igual a menos uno partido
por ciento veinte después de simplificar b igual a menos uno partido por
cuarenta y ocho y c igual a menos uno partido por veinticuatro luego como
siempre la integral general ¿cuál será? pues será como siempre la suma
de la integral de la homogénea o sea el primer miembro más la integral
particular que acabamos de obtener la integral de la homogénea ¿qué es?
pues será c sub uno fijaos si volvemos a la diapositiva anterior para
hacer un poco de memoria para recordarnos de cuáles eran los valores que
habíamos obtenido fijaos tres ceros o sea que entonces la y sub uno era
uno la y sub dos era x y la y sub tres era x cuadrado ¿eh? entonces uno x
y x cuadrado esos eran los tres valores que habíamos obtenido ¿eh? de la
solución de la homogénea pues bueno en este caso nos vamos otra vez a la
diapositiva siguiente y vamos a ver cómo queda esto y esto queda del
siguiente modo c uno y x o cero x y x cuadrado mejor dicho uno x y x
cuadrado ¿eh? nos quedaría c sub uno más c sub dos por x más c sub tres
por x cuadrado más c sub cuatro bueno claro porque c sub uno era tres
raíces cero bueno tres raíces triples y el c sub cuatro por e elevado a
dos x era aquella raíz elevada al dos que hemos obtenido ¿eh? como
siempre c sub cuatro por e elevado a dos x más la integral particular que
acabamos de obtener antes inmediatamente que tenía de coeficientes menos
uno partido por ciento veinte menos uno partido por cuarenta y ocho y menos
uno partido por veinticuatro o sea que en definitiva esta sería la
solución total ¿eh? la integral general de la ecuación diferencial en
cuestión bien este programa puede parecer un poco más complicado pero yo
creo que si os lo planteáis en casa tranquilamente y lo resolvéis paso a
paso tal como lo tenéis aquí en la en la diapositiva y en el powerpoint
pues veréis que no tiene mayor dificultad vamos a bueno vamos a ponernos
ya en materia y vamos a intentar resolver este otro daño se trata de
resolver en este caso esta ecuación la ecuación derivada tercera de i
menos primera derivada de i igual a dos en este caso la ecuación
característica ¿eh? como siempre lambda cubo menos lambda igual a cero
que será la solución total homogénea tiene tres raíces que son cero uno
y menos uno muy bien pues si son cero uno y menos uno ¿cuál es la
solución de la homogénea? será la i asterisco c sub uno por c sub dos
por e grados x por c sub tres por e grados x que corresponden
respectivamente a las soluciones de la ecuación característica cero uno y
menos uno bueno hasta ahora hemos terminado la solución de la ecuación
homogénea como siempre para determinar la solución completa ¿qué tipo
de solución debemos ensayar aquí? esta vez es triste confusión la gente
dice oiga pero eso el resultado mejor que a eso bueno pues el segundo es un
polinomio de grado cero un polinomio de grado uno sería a por x por
ejemplo o x pero un polinomio de grado uno sería simplemente una constante
o sea deberíamos ensayar una solución de la forma igual a cero una
sustancia igual a cero que sería un polinomio pero fijaos que el primer
miembro de la ecuación que nos han dado carece del término en y o sea que
hay una tercera derivada y una primera derivada pero no hay ni segunda
derivada ni término en y entonces como no hay término en y lo que debemos
hacer es aumentar en una unidad el grado de la solución particular que
estamos ensayando para el segundo miembro nosotros en este momento
deberíamos ensayar la solución y sub p igual a c pero vamos a aumentar de
un lado entonces tenemos que ensayar la solución y sub p igual a c por x y
prima sub p sería igual a c y segunda y tercera etc. sería c pues bueno,
si como siempre esto mismo lo sustituimos en la ecuación inicial pues
entonces resulta que aquí nos quedará en este caso nos queda que c es
igual a 2 no es lo dicho, a menos 2 c es igual a menos 2 esto es lo que nos
queda o sea que la solución particular que estamos ensayando sería y sub
p igual a menos 2x que es lo que hemos de sumar a la solución de la
homogénea que hemos calculado antes o sea que la integral general será la
solución de la homogénea menos 2x que es la solución de la no homogénea
que es lo que acabamos de dar ¿de acuerdo? bien se pueden presentar dos
casos concretamente el caso de que se trate de una función exponencial una
función exponencial de la forma k por e elevado a ax, segundo miembros
hasta ahora hemos visto que la polinomia también podía ser funciones
exponenciales o también pueden ser funciones trigonométricas u otro tipo
de funciones o parítmicas, potenciales, etc. o mixtas en este caso, en el
caso completo representarse en el segundo miembros una función exponencial
de la forma k que es una constante cualquiera por e elevado a x siendo a
también una constante cualquiera entonces vamos a ver una cosa parecida
como hemos dicho hasta ahora pero la solución que vamos a investigar es de
esta forma y sub p ¿de acuerdo? y sub p la solución del segundo miembro
de la completa igual a h siendo h una constante por e elevado a x esta es
la misma a de la solución o sea, de la ecuación inicial el segundo
miembro de la ecuación inicial esta a teóricamente se determinará
también identificando coeficientes indeterminados pueden presentarse
también fenómenos de resonancia puesto que si a es raíz de la ecuación
característica de orden de multiplicidad m la solución que se debe
investigar es del tipo estoy subrayando aquí ahora ¿eh? es de este tipo
de aquí vale vamos a ver este eje ¿no? vamos a ver este eje tenemos el
ejemplo nueve que es este que yo ahora subrayo el ejemplo nueve y segunda
menos cinco i' a seis i igual a dos por e elevado a cuatro x se trata de
resolver esta ecuación diferencial como siempre hallamos la ecuación
característica lambda cuadrada menos cinco lambda más seis que nos
proporciona las raíces tres y dos o en ocasión de segundo grado y aquí
no hay ningún problema puesto que cuatro que es el coeficiente de la e en
la ecuación inicial dos por e elevado a cuatro x no da raíz de la
ecuación homogénea de la ecuación característica de la homogénea en su
consecuencia no se presenta ningún fenómeno raro de resonancia y podemos
ensayar directamente la integral o la solución particular esta de aquí
que os estoy redondeando en este momento y superior a h por e elevado a
cuatro x he puesto el cuatro x insisto porque el polinomio bx que es un
polinomio no es un polinomio en este caso es una función exponencial del
segundo miembro es justamente dos por e elevado a cuatro x ponemos por esto
h por e elevado a cuatro x bien, la primera subp se está de aquí la
segunda subp se está de aquí y eso lo sustituimos como siempre en la
ecuación diferencial inicial y de ahí podemos decir que h que es lo que
andamos buscando esta constante o este parámetro que andamos buscando es
igual a uno y entonces ¿cuál será la solución particular? h por e
elevado a cuatro x que en este caso será e elevado a cuatro x simplemente
e elevado a cuatro x ¿y cuál será la integral general de esta ecuación?
pues como siempre la suma de la solución de la homogénea que es c sub uno
por e elevado a tres x más c sub dos por e elevado a dos x en algunos
instantes más la solución particular de la completa o no homogénea que
es e elevado a cuatro x ¿de acuerdo? bien ya estamos a parado ahí se
puede presentar algún caso más concretamente se puede presentar el
supuesto en el cual sí que exista un fenómeno de resonancia ¿eh? si
existe algún fenómeno de resonancia en este tipo de funciones
exponenciales del segundo miembro en este caso hay que actuar se trata de
resolver ahora el ejemplo diez el ejemplo diez pues estoy redondeando en
este momento se trata de una ecuación diferencial de tercer orden la
derivada de i menos cuatro y segunda derivada más cuatro y prima igual a
tres por e elevado a dos x muy bien resolvemos como siempre la homogénea
del primer miembro que nos da de raíces dos y dos que es justamente una
raíz doble ¿vale? y por cierto hay también otra solución de la
ecuación característica que es cero puesto que se trata de una ecuación
de tercer grado ¿eh? veréis es cero también cero también es raíz de
esta ecuación característica o sea que las tres raíces son dos, dos y
cero ¿vale? pero dos es una raíz dupla entonces va a ser una raíz doble
el polinomio que vamos a ensayar del segundo miembro es justamente h por x
cuadrado o sea x elevado a m hemos puesto antes en la fórmula genérica
siendo m el orden o grado de multiplicidad de las raíces que hemos
obtenido en este caso como se trata de una raíz doble ponemos h por x
cuadrado por e elevado a dos x ¿eh? vamos derivando hasta la tercera
derivada pues tenemos en presencia una ecuación diferencial de tercer
orden o sea que será la i prima la i segunda y la i tercera hacemos esas
tres derivadas y sustituimos como siempre en la ecuación inicial igualando
al segundo miembro y tal entonces agrupamos términos según los grados y
en definitiva obtenemos el resultado de que h que es lo que andamos
buscando ¿eh? el parámetro h de resolución particular de la completa es
igual a tres cuartos nos sale que h es igual a tres cuartos bueno pues
entonces ¿cuál será la solución de la ecuación diferencial? pues será
lo de siempre ¿eh? la solución de la homogénea que es acordémonos que
había una raíz t que nos determina c sub tres que os acabo de subrayar
aquí en la integral general y acordémonos que había dos rayitas que eran
dos y dos o sea una raíz doble y dos y dos el grado de multiplicidad de
los que son esta que os subrayo ahora y esta que os subrayo ahora ¿eh? c
sub dos por elevado a dos x y c sub dos por x una raíz múltiple doble por
elevado a dos x más c sub tres que es la que se corresponde a la raíz
cero y por último la suma sumándole la solución particular que hemos
obtenido ¿que cuál era? h tres cuartos ¿no? c elevado a dos x por x
cuadrado en definitiva esta es la solución que hemos obtenido ¿eh?
sustituyendo ahí justamente ahí donde señaló yo la flecha estará la y
sub p como ya hemos obtenido que h era igual a tres cuartos sustituís ahí
y esa es la que sumamos a la solución de la homogénea y nos da la
integral general de la compleja bien ahí se acaba ya la en fin la
exposición o la conferencia de hoy son diez diapositivas y ahora vamos a
ver en el chat si tenéis algunas preguntas o algunas dudas ¿eh? y vamos a
intentar irla resolviendo vamos a ver f me estás diciendo otra vez ¿qué
criterio a qué hay que tomar para elegir i igual a c bueno esto es yo
supongo que te refieres León vamos a ver te refieres a vamos a ponerlo en
la pizarra al caso de este de aquí ¿no? al ejemplo ocho aquí es donde se
trata el ejemplo ocho ¿eh? que es cuando aparece en el segundo miembro una
constante en este caso dos bueno ahí simplemente lo que hay que poner es
igual a c y nada más lo que pasa es que en este caso concreto eh en la
ecuación homogénea en la de la izquierda no había término en i y al no
haber término en i hemos de sumar un grado al polinomio que hemos de
ensayar una solución particular el polinomio del grado c es igual a c que
es una constante ¿y cuál es el polinomio de primer grado de grado u pues
igual a c o igual a x más b es igual como queráis entonces en este caso
hemos de ensayar un polinomio del grado uno puesto que no hay término en i
en la solución homogénea en la primera parte si la hubiera imaginaos que
sí que la hubiera entonces ensayaríamos directamente igual a c y a ver lo
que nos daban o sea que no hay otro criterio ¿eh? esto seguramente eh
cuando veas problemas y ejercicios ¿eh? encontrarás alguno en el que no
hay ninguna necesidad de aumentar el grado sino hacerlo directamente
después veo que también me haces otra pregunta León referente al último
ejercicio de cuando bx es un polinomio ¿qué criterio se toma para elegir
la forma de la i particular? me refiero al último ejercicio de cuando bx
es un polinomio vamos a ver cuando bx es un polinomio ¿qué criterio se
toma para elegir la forma de la i particular? yo supongo que esto más o
menos lo he explicado vamos a ver el último ejercicio a ver me parece que
era el anterior a ver imagino que te refieres a la página 6 vale ¿te
refieres a este? el último que es un polinomio ¿te refieres a este? no
pues bueno pues no sé a cuál te refieres me deberías decir un número
dime resuélveme el ejemplo tal y entonces iremos al grano directamente no
me digas el último el primero dime el ejemplo 7 el ejemplo 6 el ejemplo 8
y entonces sabré exactamente al cual me estás preguntando a ver creo que
se refiere al 8 ah no te lo dije era una aclaración en pregunta anterior
que ya está todo resuelto ah bueno o sea ¿lo tienes todo resuelto ya?
¿peor? vale vale estupendo magnífico pues nada muchas gracias a ver
¿habrá alguna consulta más? ¿alguna guía más? insisto esto es un tema
que podéis mirar nosotros tranquilamente en casa ya sabéis que las
matemáticas a primera vista son a veces un poco difíciles de disimular y
de asimilar ¿no? y bueno y conforme en fin se va complicando la cosa
porque cada vez conforme vamos avanzando se va complicando la cosa pues es
difícil ¿no? asimilar por esto que es mejor que lo hagáis en casa
tranquilamente y allí lo veréis insisto ahora te respondo de suave que
veo que también me preguntas insisto en que la próxima clase la próxima
conferencia tendrá una el próximo miércoles a esta misma hora las 6 las
6 a 7 ¿eh? o sea que el próximo miércoles día 16 a las 6 os espero
aquí ya tal ya os voy a avisar yo os voy a avisar igual y tal pero daros
por avisado ¿vale? vale a ver aquí amigo o amiga suave y suave jeje no
sé quién eres Isabel quizás ya me lo aclararás a ver suave me estás
diciendo en el escenario en el ejercicio a ver un momentín si me lo aclaro
vale suave en el ejercicio sí ¿no es así? vamos a ver el ejercicio 7 es
este que tenemos en la pizarra aquí delante ejemplo 7 vale me preguntas
aquí 120A menos 48B ¿cómo sale de ahí esta el resultado? vamos a ver
¿cómo sale de ahí el resultado? vamos a ver vamos a la diapositiva
correspondiente vale venga vamos a ver bueno pues esto es muy fácil aquí
lo que tienes que hacer es agrupar estamos aquí ¿eh? ahí donde yo ahora
se me va la pizarra ¿vale? suave ahí tienes vale ¿cómo empezamos en el
ejercicio 438? hombre pues muy fácil vamos a ver el A nos ha dado menos 1
partido por 120 ¿no es así? ese ya no lo ha dado el A nos ha dado menos 1
partido por 120 lo cual quiere decir que si el A da menos 1 partido por 120
despejas la B en esta ecuación y te saldrá fíjate si el A es menos 1
partido por 120 aquí te quedará que 120 por A entonces despejas B y sale
menos 1 partido por 48 vamos yo lo estoy haciendo así de cabeza y me sale
si lo haces tranquilamente en casa luego este te sale mejor todavía ¿eh?
o sea que si el A que ya lo vimos ayer antes nos sale igual a menos 1
partido por 120 ¿eh? y despejamos el B en esta igualdad que te acabo de
redondear en este momento pues te saldrá que B es igual a menos 1 partido
por 48 ¿eh? sin ninguna duda y en la siguiente despejas el Z y te saldrá
que C es igual a menos 1 partido por 24 da miedo muy bien suave es todo por
confirmación hazlo tranquilamente me verás como si si bueno en todo caso
ya estáis avisados para el próximo día y nada y quedamos para el
próximo día si no hay ninguna observación más que hacer suave ahí no
sé qué me has puesto Iván no sé qué quiere suave sí entiendo que hoy
te salido vale uy uy uy uy ya lo entendí bueno bueno aunque lo están
saliendo todos los demás jajaja ahora me salen todos perdonad pero hasta
ahora me han salido vale Ferreira también gracias hasta la semana que
viene Molina estupendo no yo lo que te pregunté suave es que ponía igual
si eras tío o tía o sea si es suave si es sabado si es Ignacio qué es
eso pero bueno no tiene nada de distancia y en cuanto a palacio saludos a
todos estupendo pues que tengáis ah esta semana estupendo Iván me alegro
estupendo pues no se me ocurrió nada también puede ser un descanso eh
podría ser muchas cosas eh muy bien pues nada hasta pronto chicos adiós