Este ejercicio. Ah, ¿el que no es oriente? No, es otro. Es otro, bueno,
ese también tengo dos entonces. Unas ecuaciones del subespacio vectorial
generado por los vectores... 2, 3, 0... ¿Cuál es el examen? Febrero 2011,
examen D. Lo que pregunta el ejercicio son las ecuaciones del subespacio
vectorial de R3 generado por esos dos vectores. Yo lo hice, a ver,
sustituyéndose a alguien, pero es que ahí pueden ser dos, más o menos. A
ver, a ver... ¿Cómo se puede hacer esto? Bueno, primero, pensar cómo son
estos dos vectores. ¿Son dependientes o son independientes? Dependientes.
Porque uno es múltiplo del otro. Solo tenéis que multiplicarlo con menos
uno. Así que, el subespacio generado por esos dos vectores, ¿cuál es? Si
os pidiesen, en vez de las ecuaciones, os pidiesen el subespacio, vosotros,
¿cuál escribiríais? ¿Cuál es el subespacio generado por esos dos?
¿Qué dimensión tendría? 2, 1... ¿Uno? Porque son dependientes. Así
que tendría dimensión 1. Si tiene dimensión 1, es que es de esta forma.
R por un vector. ¿Por qué vector? Pues, cualquiera de los dos. El 2, 3,
0, que es más fácil. Este es el subespacio generado por los dos vectores.
Entonces... Porque la dimensión es 1, porque esos dos vectores son
dependientes. Entonces, aquí las opciones que os da son, opción A, la
ecuación del subespacio es z igual a 0. Opción B, la ecuación del
subespacio es 3x menos 2y igual a 0 y z igual a 0. Opción C, 3x menos 2y
más z igual a 0. Y opción D, la opción D pone generan R3. La opción D
pone generan R3. Bueno, lo primero, descartamos la D. ¿Por qué la D no
puede ser? Porque no genera R3. No genera R3, porque es de dimensión 1 y
R3 es de dimensión 3. Así que la opción D no vale. Tiene que ser una de
las otras. Entonces, ¿cómo podemos plantearnos esto? Bueno, pensad en
vectores de ahí. ¿Qué vectores hay en este subespacio? Uno es el 2, 3,
0. Si yo lo multiplico, ese vector, por cualquier número, voy obteniendo
vectores de ahí. Por ejemplo, si lo multiplico por 2, tengo el vector 4,
6, 0. Y si lo multiplico, pues yo que sé, por 3, tengo el vector 6, 9, 0.
Esos son vectores del subespacio. Ahora, todos esos vectores de ese
subespacio, ¿qué cumplen? ¿La A, la B o la C? ¿Cumplen la A Z igual a
0? En principio sí. ¿Cumplen la B? Si multiplicáis la primera coordenada
por 3, la segunda por 2 y restáis, ¿sale 0? Sí. Y también cumplen la C.
Pero lo que tenéis que pensar es, ¿sólo cumplen esto en el caso de la
opción A? ¿Sólo cumplen eso o tienen que cumplir algo más? En el caso
de la B cumplen dos cosas. Y en el caso de la C, ¿sólo cumplen eso o
tienen que cumplir algo más? No sé si me entendéis con esto. Es que,
vamos a hacerlo de otra forma, a ver si así me entendéis mejor. No sé
cómo contaros esto para que me entendáis. Es que yo estaba entre la B y
la C porque más o menos es lo mismo. No es lo mismo. Porque en la B hay
dos ecuaciones y en la C solo hay una. No es lo mismo. No, no puede ser lo
mismo. Pero los dos los cumplen. A ver, por ejemplo, la opción A. Decidme
un vector que cumpla la opción A. Un vector cualquiera. 2, 2, 0. ¿Cumple
la opción A sí o no? Pero está en el subespacio. No. Pues la opción A
no vale. ¿Sí o no? Vale. ¿Sólo valen la B o la C? Esto ya es más
difícil de ver. Pero, pensemos en un vector de la opción C. Que cumpla la
opción C. El que sea. Por ejemplo, el vector... 2, 3, no, 2, 3 no, porque
entonces me voy a aquel. El vector 2, 2, 6, 4, 2, 2, 2. El vector 2, 2, 2
cumple la opción C. Sería 3 por 2, 6, menos 4, más 2, igual a 0. ¿Cómo
que no la cumple? Si la cumple. El vector 2, 2, 2 cumple la opción C.
¿Pero está aquí? No, pues tampoco vale. Normalmente este tipo de
ejercicios, la forma más sencilla de resolverla es así. Pensando,
primero, ¿cuáles de las opciones encajan con todos estos vectores? A
nosotros nos encajan las tres, la A, la B y la C, la D no. Y luego tengo
que descartar. Bueno, pues pensáis en vectores que cumplen esto. Vectores
que cumplen que... Z es igual a 0. ¿Están aquí? No. Y es muy fácil
encontrar ejemplos para ver que no. Es más difícil encontrar ejemplos de
la opción C. Pero, buscadlos. Si buscáis, en cambio, cualquier vector que
cumpla la opción B, cualquiera, veréis que cualquiera que cumpla B está
aquí. Y si no, decidme uno que no. Esta suele ser la forma más sencilla
de ver esto. Os cuento ahora otra forma de hacerlo. Si esto no lo habéis
entendido, otra forma de hacerlo, que sería la siguiente. Voy a coger la
opción b, porque es la que parece más complicada. La opción b dice 3x
menos 2y igual a 0 y z igual a 0. Nos dice que esas son las ecuaciones del
subespacio. Si recordáis del principio de allá por el mes de octubre,
cuando os expliqué que los subespacios se pueden escribir de dos formas
distintas. Una forma es escribirlo entre llaves, es el conjunto de vectores
x y z de R3 que cumplen esas dos condiciones. 3x menos 2y igual a 0, z
igual a 0. Este sería el subespacio. Hemos visto antes que nuestro
subespacio tiene que ser R por 2, 3, 0. Si encontramos una forma de ver que
esto es lo mismo que aquello, es que esta es la opción que vale. Y si no,
es que no. Voy a intentar escribir esto que está entre llaves de otra
forma para ver si me sale aquello. ¿Cómo se hacía eso? Es muy sencillo.
¿Qué vectores hay aquí? Vectores x y z. ¿Qué cumplen? Empiezo por la
ecuación fácil, que z es 0. O sea, la tercera coordenada tiene que ser un
0, obligatoriamente. Y ahora, ¿cómo tienen que ser la primera coordenada
y la segunda? Nos lo dice esta ecuación. Si de ahí despejáis una de las
dos letras, la x o la y, por ejemplo despejo la x, me queda que 3x tiene
que ser igual a 2y. Si el 3 lo paso al otro lado dividiendo, me queda que x
tiene que ser igual a 2 partido por 3 y por y. Sustituyo esto aquí. Los
vectores que están en este subespacio tienen que cumplir que la x es 2
tercios por y, luego está la y y luego está un 0. Saco la y para afuera y
me queda r que multiplica a 2 tercios, 1 y 0. ¿Os habéis perdido? Pues
seguís hasta ahí. Esto lo hicimos bastante en el primer paso. El primer
tema, si os acordáis. ¿Me ha salido lo que tenía que salir? Me tendría
que haber salido, para que esta sea la opción correcta, esto. ¿Ha salido?
Parece que no, pero sí. Porque r es cualquier número. Cualquier número.
Por ejemplo, si yo cojo un 3 y multiplico 3 por aquello, ¿qué sale? Este.
Sí que sale. Parece que no, pero sí que sale. Solo falta multiplicar el
vector por 3 y sale aquel. Yo creo que es más complicado verlo así que de
la otra forma. Pero bueno, esta es otra. ¿Más dudas? Sí, la última. Es
lo que en este ejercicio yo creo que es este. Pero ahí dice que es ese.
Este es el examen de febrero del 2011, el E. La primera pregunta. Entonces,
a ver, nos da los subespacios vectoriales. F1, que está escrito así. X y
Z, los vectores X y Z de R3, que cumplen qué? Y es igual a 0. Y F2, que
está escrito de la otra forma, es igual a R por 1, 0, 1. Fijaros que aquí
cada uno de los dos los escribe de una forma distinta. Bueno, y entonces lo
que pide es cuál de las cuatro opciones siguientes se cumple. ¿Cuál de
las cuatro opciones siguientes se cumplen? La primera, ¿tú cuál creías
que era? La primera. La primera dice, F1 está incluido en F2. Y así, F1
más F2 es igual a F2. Me salto la B y la C, os escribo la última. La D
dice F2 está incluido en F1. Y así F1 más F2 es igual a F1. La opción B
dice que F1 y F2 son independientes. Y la opción C dice que son
suplementarios. ¿Cómo se puede hacer esto? Si quiero distinguir entre
estas dos, lo que tengo que ver es si F1 está incluido en F2 o si F2 está
incluido en F1. ¿Cuál de los dos está incluido en cuál? Bueno, por la
suma. Es más fácil hacer la suma que ver cuál está incluido en cuál.
Bueno, vale. ¿Cómo se puede hacer la suma? Por ejemplo, si queréis
plantearlo así. Este subespacio lo escribo de la otra forma. Lo voy a
poner como este. Entonces, ¿quién es ese subespacio? Está formado por
todos los vectores... Pongo ese igual ahí en el medio que no está muy
bien escribirlo, pero bueno, como en el examen esto no lo tendríais que
poner. O sea, esto lo hacéis aparte. Está formado por todos los vectores
X y Z que cumplen G y es cero. Donde pone la Y, pongo un cero. Y me queda
X, 0, Z. Y ahora, ya no puedo hacer nada más, porque no hay más
condiciones que poner. Me han quedado dos letras. Si solo me hubiese
quedado aquí una letra, o sea, si aquí hubiese X, 0 y X, la X saldría
para afuera. ¿Y qué quedaría entonces? Si las dos fuesen X, ¿qué
subespacio sería este? R por 1, 0, 1. Pero si hay dos letras, no es tan
fácil. ¿Qué subespacio es ese si hay dos letras? Pues esto hay que
partirlo en dos. Hicimos ejercicios así al principio. Uno se lleva una
letra y otro se lleva otra letra. Sería X, 0, 0, más 0, 0, Z. Lo he
partido en dos con una suma. El primer vector se lleva las X, el segundo
vector se lleva las Z. Del primero nos saldría... Y del segundo sale R por
1, 0, 0. Más, y del segundo sale R por 0, 0, 1. Ese es el primer
subespacio. ¿Entendéis cómo he llegado hasta ahí? Bueno, ya tengo los
dos subespacios escritos de la misma forma. Este, F2, ¿de qué dimensión
es? Uno. ¿Y aquel de qué dimensión es? Dos. Uno de dimensión 2 no puede
estar incluido en uno de dimensión 1. Tiene que ser más grande. Así que
lo que es imposible es que F1 esté incluido en F2. La opción A es
imposible. Ya no hace falta que haga la suma, es imposible. F2 es de
dimensión 1 porque hay un vector y F1 nos ha salido de dimensión 2 porque
tiene dos vectores. Un subespacio de dimensión 2 no puede estar incluido
en un subespacio de dimensión 1, eso es imposible. Así que la opción A
es imposible. Para saber si la opción D es cierta, porque hay otras dos
opciones que no he escrito, para saber si la opción D es cierta, la
primera parte habría que comprobarla. ¿Es verdad que F2 está incluido en
F1? F2 es este. A ver, y espero que no hayáis entendido esto mal. F2 tiene
dimensión 1 y F1 tiene dimensión 2. ¿Eso quiere decir que F2 está
incluido en F1 obligatoriamente porque tiene menor dimensión? No. Habría
que comprobarlo. ¿Cómo se comprueba eso? Bueno, para que esté incluido,
todos los vectores de aquí tienen que estar allí. ¿Eso es cierto o no es
cierto? Todos los vectores de F2 están allí. Por ejemplo, decidme un
vector de F2. Las tres coordenadas. Un vector que esté en F2. 202. Tiene
que tener la primera y la tercera iguales. 202. Este es un vector de aquí.
Este, que hemos escogido abulto, estará aquí. Lo puedo escribir de esta
forma. Un número multiplicado por 100 más otro número. Número
multiplicado por 001. Pues sí. ¿Eso es cierto o no? He escogido un vector
de F2 abulto, y podéis hacerlo con cualquiera, y me ha salido que está
incluido aquí. ¿Qué quiere decir eso? Que es verdad que F2 está
incluido en F1, porque todos los vectores de F2, cogete el que queráis,
pertenecen también a F1. Y la segunda parte, ya casi sobra. Quiero decir,
si un subespacio está incluido en otro, eso quiere decir que este es
pequeño y este es más grande. Uno es el más pequeño y otro es el más
grande. Si hacéis la suma de uno y de una parte de ese uno, ¿qué es lo
que va a salir? El grande. Eso es lo que pone aquí al final. Si sumáis...
F1, que es el pequeño, y F2, que es el grande y que incluye al pequeño,
¿qué va a salir? El grande. Esto ya es un poco de lógica. Pensadlo con
calma. Pero el de la dimensión... Olvídate de las dimensiones ya. Tú
tienes F1, si... ¿Habéis estudiado conjuntos o visto conjuntos alguna
vez? Si este es el conjunto F1, y F2 es al revés. Si este es el conjunto
F2, y F1 es el grande, y dentro de él está F2, si lo sumáis, si sumáis
uno pequeño y otro que lo incluye, ¿qué va a salir? F1. ¿Entendéis
eso? Pensadlo con un poco de calma. Esto es un tema de lógica. Porque lo
pone aquí. Es eso lo que acabamos de hacer. Hemos visto esto. Entonces
tiene que salir eso. Total que sí que salía esa que ponía. No la que
decías tú. Entonces por la dimensión se mira mejor. Por la dimensión
puedes descartar cosas. En este caso es como descartamos la opción A. Lo
que es imposible es que F1, que tiene dimensión 2, esté incluido en F2,
que tiene dimensión 1. Eso no es posible. Esto sí es posible. Lo cual no
quiere decir que sea verdad. Luego lo tuvimos que comprobar. Pero la
opción A es imposible, desde luego. Entonces, en estos problemas que
suelen poner en la primera pregunta del examen, muchas veces cae uno
parecido a este. Lo primero es escribir los dos subespacios que os da,
escribirlo de esta manera. De esta forma. Igual que hice allí. Y con eso
sois capaces de ver las dimensiones de los dos subespacios. Y eso ya ayuda
a contestar a la pregunta. Una de matrices. Este es de febrero del 2011, el
examen C. Y nos dice que tenemos esta matriz. B, A-B, 1, menos 1. 0, b,
menos 1, 1. b, a, b, a. Tenemos esa matriz y nos dice que el rango tiene
que cumplir. Y nos da cuatro opciones para el rango. La primera, no es 2
cualesquiera que sea la ib, o sea nunca. Que el rango no es 2 nunca. La
opción b. C. Estos, si a es igual a b, igual a 0. La opción c. Es 3
siempre. No pone siempre, pone cualesquiera que sean a y b. Eso significa
que es 3 siempre. Y la opción d. Es 2 si a es igual a b, es igual a 1.
Esas son las cuatro opciones que da. Lo que pregunta es por el rango. Esta
es una matriz de 3 filas y 4 columnas. Por lo tanto, el rango como mucho,
¿cuánto puede valer? 3, porque tiene solo 3 filas. El rango como mucho
puede ser 3. Será 3 si soy capaz de encontrar algún determinante de orden
3 de la matriz que no valga 0. El problema es que aquí hay dos letras, la
a y la b. Y que entonces hay muchos casos posibles. ¿Cómo se puede
empezar esto? Bueno, pues el caso B y el caso D son muy fáciles porque nos
dice cuánto tiene que valer A y cuánto tiene que valer B. Así que yo
empezaría comprobando el caso B y si ese no es, comprobando el D. Y si ese
no es, ya pasaría a los otros dos. Recordad que en cuanto encontréis una
solución que valga, esa es la que es, no hay más. Entonces, por ejemplo,
yo empezaría con el caso B que es el más fácil porque la A y la B valen
0. Cogéis la matriz, quitáis todas las As y todas las Bs y ponéis ceros.
Y me queda 0, 0, 1, menos 1. 0, 0, menos 1, 1. 0, 0, 0, 0. Esta es la
matriz que queda en el caso B. Si quito todas las As y todas las Bs y me
quedo con ceros. ¿Cuánto vale el rango? Si me olvido de las filas que
tienen todos ceros y las columnas que tienen todos ceros, lo que me queda
son esos cuatro números. El determinante formado por esos cuatro números
vale 1, menos 1, 0. ¿Cuánto es el rango de esa matriz? ¿Cuánto? 1. El
rango de esa matriz es 1. ¿Entendéis por qué? Por lo tanto, ¿el caso B
es cierto o es falso? Falso. Porque decía que era 2. Por cierto, yo puedo
descartar otro caso. ¿Cuál caso puedo descartar también? ¿Él? No. El D
todavía no. El C. El C dice que el rango es 3 siempre. Y acabamos de ver
que en ese caso es 1. Con lo cual el C no puede ser. El D tampoco. El B
tampoco. Solo me falta comprobar si es el A o si es el D. ¿Cómo lo
compruebo? Yo agarraría el D. En el D me dicen que el A y la B valen 1.
Pues hago lo mismo. Cojo la matriz, quito las A y las B y pongo unos. La
primera fila quedaría 1, 0, 1, menos 1. 1, 0, 1, menos 1. En la segunda
fila, 0, 1, menos 1, 1. 0, 1, menos 1, 1. Y en la tercera fila, todos unos.
Esa es la matriz que queda en este caso. Pues voy cogiendo determinantes de
orden 3. ¿Cuántos determinantes de orden 3 me salen de aquí? ¿Cuántas
posibilidades hay de determinantes de orden 3 en esta matriz? Tenéis que
coger siempre las tres filas, porque solo hay tres. E ir cogiendo tres
columnas. Entonces, puedo coger primera, segunda y tercera. Ese es un caso.
Primera, tercera y cuarta. Ese es otro caso. Segunda, tercera y cuarta. Ese
es el tercer caso. Primera, tercera y cuarta. Y creo que no hay más casos,
¿no? En cuanto encuentre alguno que no vale cero, si lo encuentro, se
acabó. El rango es tres. Si todos valen cero, entonces el rango no es tres
y sería menos de tres. Pues habría que ir calculando determinantes.
Empiezo por el primero, que sería este. Este vale uno menos uno más uno.
Lo he calculado bien. Uno por uno por uno, que es uno. Cero por eso es
cero. Cero por esto es cero. Ahora, menos uno por uno por uno, que es el
menos uno. Este vale cero. Y ahora, menos menos uno por uno por uno, que es
más uno. Creo que no me he confundido. El resultado es uno. Pues se
acabó. El rango es tres. Si el rango es tres, ¿la opción D vale o no
vale? No. Por lo tanto, solo queda la A. No es dos nunca. Esa es la que
sale. Gracias. ¿Os vais a examinar la semana que viene o la siguiente? Si
os examináis la semana que viene, pues mucha suerte y que os salga bien,
que os saldrá bien. Si os examináis la siguiente, os recuerdo que la
semana intermedia, entre los exámenes hay tutorías. O sea que yo la
semana intermedia vengo y hacemos el examen de la primera semana, si
queréis, o las dudas que tengáis. ¿Es más difícil la segunda? No, son
iguales. Son iguales. Puede coincidir que salga más difícil el de la
segunda, o que salga más difícil el de la primera, o que salgan
exactamente iguales. No tiene nada que ver. ¿Pero va a aparecer el examen
cuando se haga el de la primera semana para la segunda? A mí no me lo
mandan. Entonces, si normalmente se acaba consiguiendo de una forma u otra
y se puede hacer. Pero tenéis que conseguirlo vosotros o buscando en
internet. Yo a veces lo he conseguido y a veces no. No os aseguro que lo
consiga. Porque suelen esperar. En la sede central suelen esperar a que
acaben los de la segunda semana para colgar el de la primera. No lo ponen
antes. De todas formas, todas las dudas que tengáis antes del examen de la
primera semana o de la segunda, mandadme un correo. Yo os intento
responder. Bueno, más que tengáis, que no queda mucho tiempo. No, la
parte se queda por explicar. A ver, yo tenía aquí... ejercicios de
límites y de valores absolutos, que en los últimos exámenes, en los del
año pasado y los del año anterior, en todos, las dos últimas preguntas,
una era de límites y otra era de una o ecuación o inequación con valores
absolutos. Entonces, os recuerdo algunos de límites primero y luego paso a
los de valores absolutos que no os conté. El más rebuscado que he
encontrado de límites de los que ha puesto en los dos últimos años el
profesor es este. Los otros son muy fáciles. Este es el más rebuscado que
he encontrado. No sé si es del año pasado o del año anterior. Dados dos
números reales a y b, se considera esta sucesión. Y aquí os pone la
sucesión, que es una fracción de dos sucesiones. Y las opciones son, si a
y b son ambos no nulos, la sucesión no tiene límite. Si b es cero y a es
negativo, entonces el límite es infinito. Si a y b son cero, entonces el
límite es dos. Y si a es cero y b no, el límite es menos infinito.
¿Cómo se haría un ejercicio así? Os recuerdo primero lo que os conté
el otro día. Esto es un cociente, una división de dos polinomios.
Entonces, para saber el límite, había que mirar los grados. El grado de
arriba y el grado de abajo. Y dependiendo de cuál fuera más grande de los
dos grados, el límite valía una cosa o valía otra. Si el grado más
grande es el del polinomio de abajo, el límite es cero. Si el grado más
grande es el del polinomio de arriba, el límite es infinito. Había que
ver si más o menos. Y si los dos grados son iguales, el límite se
calculaba dividiendo los coeficientes. Entonces, por ejemplo, el caso C,
que nos lo ponen muy fácil. A vale 0 y B vale 0. Pues vosotros os cogéis
este polinomio, el de arriba, y quitáis la A y ponéis un 0. Entonces, si
ponéis un 0 donde la A, ¿cuál es el grado arriba? 2. Porque este
quedaría 0. El grado sería 2. Debajo, en vez de la B, ponéis un 0.
¿Cuál es el grado de abajo entonces? 2. Los grados son iguales. Por lo
tanto, el límite se calcularía dividiendo este 2 entre este menos 1. Y el
resultado sería menos 2. Aquí dice que sale 2. Falso. Podéis ir con las
opciones que queráis. Por no hacer la B, que es la que sale. Por ejemplo,
la D. La A vale 0 y la B no vale 0. Si la A vale 0, hemos dicho que
entonces el grado de arriba es 2. Si la B no vale 0, ¿el grado de abajo
cuál es? 4. El grado más grande es el de abajo. ¿Cuál es el límite? 0.
No puede salir menos infinito, así que la opción D no vale. Si A y B son
ambos no nulos. El grado de arriba es 3. El grado de abajo es 4. ¿Cuánto
vale? ¿Cuál es el límite entonces? 0. Esto de que no admite límite,
nada. ¿Cuál es la que queda? La B. Podíais haber empezado por la B.
¿Qué pasó? Si la A no es 0, el grado de arriba es 3. Si la B no es 0, el
grado de abajo es 4. El límite es 0. La opción B, que es la que vale. Si
la B vale 0, el grado del polinomio de abajo es 2. La A es menor que 0. Por
lo tanto, ¿el grado de arriba cuál es? La A es menor que 0. Negativo.
¿Cuál es el grado de arriba? 3. El grado de arriba es 3, el grado de
abajo es 2. Como el grado más grande es el de arriba, el límite vale
infinito. Habría que decidir si más o si menos. Para decidir si más o si
menos, tengo que coger A y tengo que coger menos 1. Menos 1 es negativo.
¿Cuánto no? A es positivo o negativo. Nos dicen que negativo, menor que
0. Negativo entre negativo, positivo. Así que el límite vale más
infinito. Esa es la explicación de por qué es la opción B. Podrías
haber empezado por esa. Este yo creo que es el más rebuscado de los que ha
puesto de este tipo. Por ejemplo, este otro. Este es de los fáciles. Tan
fácil que esto se hace en 10 segundos. Os pone esta sucesión. ¿Cuál es
el límite? El grado de arriba es 2, el grado de abajo es 2. Como los
grados son iguales hay que dividir. 2 entre 8. 2 entre 8, un cuarto. Ya
está. Esto es un punto. Pero aquí no te viene la opción de 2 octavos.
Entonces tú pensarías, como además te pone 4 opciones y tiene que ser
una, es que más fácil es imposible. Esto es un punto del examen. Este es
uno con raíces. Con raíces se hacía igual, acordaros. El grado de abajo
es 2, el grado de arriba ¿cuál es? 2 también, dentro de la raíz hay un
4, 4 lo dividís entre 2 y sale 2, así que arriba el grado es 2 y debajo
el grado es 2. Como los grados son iguales tenéis que coger debajo el 3,
esto ya nos da una pista de cuál tiene que ser porque debajo tiene que
haber un 3, y arriba el 2 pero está con la raíz, la raíz de 2, así que
raíz de 2 partido por 3. Vamos, que tenéis un punto seguro. El último
que hago de límites es este, lo mismo, también tiene raíz, el grado de
arriba es 1, perdón, el grado de arriba es 0, el grado de abajo ¿cuál
es? 2, n al cuadrado está fuera de la raíz, no está dentro, el grado es
2, pero si estuviera dentro sería lo mismo. Como el grado de arriba es 0 y
el de abajo es 2, el grado más grande es el de abajo. Por lo tanto el
límite vale 0, ya está. Bueno, me salto los de límites que los otros son
parecidos y vamos a los de ecuaciones con valores absolutos. La última
pregunta suele ser esta. Esta es una ecuación porque hay un igual y dice
¿el conjunto de los números que cumplen esa ecuación cuál es? ¿Cómo
se puede hacer esto? Podéis hacerlo resolviendo la ecuación, pero lo más
fácil de hacer es descartando, porque son ejercicios muy concretos con
números muy concretos, descartando. Teniendo claro, os lo dije el otro
día, ¿qué significan las llaves y qué significan los corchetes y los
paréntesis? Os recuerdo eso. Las llaves, por ejemplo aquí que pone el 5
entre llaves, significa que la única solución en este caso es el número
5. Y aquí que pone menos 1 y 11 entre llaves, significa que las dos
únicas soluciones son el menos 1 y el 11. Que solo hay dos soluciones y
que son esas dos. En cambio, debajo en la opción D pone menos 1 y 5 entre
corchetes. ¿Cuántas soluciones hay en ese caso? ¿Habría en ese caso?
Todos los números que hay entre el menos 1 y el 5 incluidos, el menos 1 y
el 5. Aquí habría infinitas soluciones. Acordaros de distinguir entre
llaves y corchetes. Bueno entonces, comprobáis. Por ejemplo, opción A.
¿Vale la opción A? No, porque 5 menos 5 es 0. El valor absoluto no sé.
La opción A no vale. ¿Hay alguna solución? ¿Hay alguna solución? Es
fácil encontrar si hay soluciones o no. Decidme un número que esté en la
solución. Tiene que salir 6. ¿Qué número? Le resto 5 y me sale 6. El
11. El 11 es una solución. Así que la opción C no vale. El conjunto
vacío no puede ser. El 11 tiene que ser una solución seguro. El 11 aquí
no está. Pues esta tampoco vale. La única que queda es la B. Podéis
comprobar que el menos 1 también es, porque el menos 1 y el menos 5 es
menos 6 y el valor absoluto es 6. En este caso, las soluciones son el menos
1 y el 11. Pero solo con el 11 ya he descartado todos. Pero María José,
en este caso ya no te hacía falta comprobarlo con el menos 1, que es lo
que te decía. Porque ya descarte este, descarte este y descarte este. Así
que la solución tiene que ser esta. Menos uno menos cinco es menos seis, y
el valor absoluto de menos seis es seis. Esa era una ecuación que suele
ser más fácil que las inequaciones. Este es un ejemplo de inequación,
porque aparece el símbolo menor o igual en vez del igual. Pero el
razonamiento es el mismo. Normalmente, si es una ecuación como en el
ejercicio de antes, que os aparece un igual, solo hay una solución o dos
soluciones, pero no puede haber infinitas. Normalmente, hay excepciones,
pero no las va a poner. Quiero decir, aquí, de antemano, esta opción ya
no valdría, porque aquí hay infinitas soluciones, y una ecuación de este
tipo no va a tener infinitas soluciones. En cambio, si es una inequación,
es al revés. La solución de una inequación suele aparecer. Podría haber
infinitas soluciones. Suele ser un intervalo, como este, o como este.
Podría ser cualquiera de los dos. Pero una solución sola, no. Eso es una
pista. Vamos a comprobarlo. En este caso... Cojo el 3. Vamos a comprobar si
la opción A vale o no vale. El 3. El 3 cumple esto. Si quito la X y pongo
un 3, me queda dentro del valor absoluto un 2. El valor absoluto de 2 es 2.
¿2 es menor o igual que 2? Sí. El 3 lo cumple. Pero aquí dice que solo
lo cumple el 3. ¿Hay algún otro número que lo cumpla? Si en vez de un 3
ponéis, por ejemplo, un 2. Si la X vale 2. ¿2 menos 1 es 1? El valor
absoluto de 1 es 1. ¿1 es menor o igual que 2? Sí. Por lo tanto, el 1
también lo cumple. Así que esta solución no vale. El 3 solo no lo
cumple. La opción B tampoco, porque hay soluciones. Así que el conjunto
vacío no puede ser. ¿Qué opciones me queda? Que la solución sea todos
los números del 1 al 3 o todos los números del menos 1 al 3. Bueno, el
menos 1 lo cumple. Quitáis la X y ponéis un menos 1. Queda menos 1 menos
1. Es menos 2. El valor absoluto es 2. ¿2 es menor o igual que 2? Sí.
Así que la solución es esta. ¿Entendéis por qué? Y son todos iguales,
ya. Este es otro, pero este es otro. Este es igual. Otra inequación.
¿Cuál descartaríais aquí, de antemano? Según lo que os conté antes.
El fake, porque está entre llaves. Es una inequación. Esto quiere decir
que solo habría dos soluciones. No, sospechoso, ese no vale. La solución
tiene que ser un intervalo, el a, el b o el d. Vale, ahora fijaros en el
símbolo que pone aquí, aquí pone menor o igual. Si pone menor o igual,
la solución tiene que ir entre corchetes. Si no pusiese el igual, si solo
pusiese el menor, la solución tendría que ir entre paréntesis. Esa es la
diferencia entre intervalos cerrados e intervalos abiertos, si lo habéis
estudiado en el libro. Como aquí pone menor o igual, la solución tiene
que ir entre corchetes. Así que la opción b no vale. O es la a o es la d.
Bueno, ¿cuál es? ¿La a o la d? Pues compruebo con los números que me
aparecen aquí. Por ejemplo, si quiero comprobar si es la d. Cojo el 1.
¿Me vale el 1? Sí. Cojo el 4. ¿Me vale el 4? Sí. Parecería que la
opción correcta es la d. Pero si ahora cogeis el menos 3, el menos 3
también vale. Y si cogeis el 5, el 5 también vale. Por lo tanto, ¿cuál
es la solución correcta entre las dos? Aparte de que aquí ya está
marcada. La más grande, que es esta. Entre menos 3 y 5. No la más
pequeña. ¿Entendéis por qué? La c porque no. La c porque solo son dos
números la solución. Como está entre llaves, eso quiere decir que solo
sería en el menos 3. Y el 5, mentira. Porque hemos visto que también es
el menos 2, y el menos 1, y el 0. Estos ejercicios, si no tenéis ni idea
de cómo hacerlos, lo mejor es coger unos cuantos números e ir probando. Y
luego ver cómo esos números encajan en las opciones que os dan. Y ya
está, sale siempre. Este otro, esta es una ecuación más fácil.
Acordaros de lo que os dije antes. Si es una ecuación, la solución, entre
llaves, normalmente. Si es una inequación, entre corchetes o entre
paréntesis. Bueno, pues esto es una ecuación. Eso ya nos da una pista
clara de que la solución tiene que ser o esta o esta. Comprobáis. ¿El 5
lo cumple? Sí. ¿El menos 1 lo cumple? Sí. Pues la solución es la
primera. Aquí vuelve a haber una inequación. Y este ya os lo voy a
explicar exactamente cómo habría que hacerlo, no probando. A lo mejor
alguna vez lo habéis hecho así. ¿Cómo se resuelve una inequación? Sin
ir probando, por si queréis hacerlo así, que también es muy difícil. Es
muy fácil. A ver, escuchadme a esto. Por si lo de ir probando no os parece
algo razonable, que siempre sale probando, ¿cómo se puede resolver esta
inequación de forma matemática exacta, para que salga? Bueno, cogéis lo
que está en el medio del valor absoluto. Lo que está dentro del valor
absoluto, x menos 2. Cogéis el número que está fuera, el 3, lo ponéis a
la derecha. Y entre esto y esto ponéis el símbolo que aparece ahí, menor
o igual. Podría ser un menor o igual o un menor. Son los dos que valen
para lo que os voy a contar. O un menor o igual o un menor. El símbolo que
aparezca ahí lo ponéis aquí. Y ahora, cogéis otra vez el 3, pero lo
cambiáis de signo, menos 3. Y lo ponéis a la izquierda. Y entre esto y
esto ponéis el mismo símbolo que antes, menor o igual. Es fácil, ¿no? Y
ahora despejáis la x. El 2, que está restando, pasa al otro lado sumando.
¿A qué otro lado? Para aquí y para aquí. Lo pasáis a los otros dos
lados. El 2, cambiado de signo. En el medio os queda sólo la x. En el lado
derecho os queda 3 más 2. Y en el lado izquierdo os queda menos 3 más 2.
Menos 3 más 2, ¿cuánto es? Menos 1. Y 3 más 2, ¿cuánto es? 5. Y en el
medio la x. ¿Qué ha salido? De menos 1 a 5. El d. Esto es la forma
matemática de hacerlo. También vale. Esto que os he contado sólo vale
cuando el símbolo que aparece aquí es este, menor o igual, o menor. Si es
menor o igual, el intervalo que sale es cerrado, con corchetes. Y si fuese
menor, ¿cómo tendría que ser el intervalo? Con paréntesis. También es
muy fácil hacerlo así. Este es el mismo de antes. No es este. Vamos a
hacer este. Este sería, haciendo el mismo razonamiento, lo de dentro del
valor absoluto, que es x menos 1. A la derecha pongo un 4 y a la izquierda
pongo menos 4. Y separando eso pongo el símbolo, menor o igual. Ahora, el
1 lo paso a los otros dos lados cambiado de signo. Y me queda en el medio
la x. En el lado derecho 4 más 1. Y en el lado izquierdo menos 4 más 1.
En el lado izquierdo menos 4 más 1 son menos 3. Y en el lado derecho 4 y 1
son 5. Pues la solución. El intervalo de menos 3. El intervalo de menos 3
es igual a 5, el de. Y tiene que ser cerrado porque era menor o igual. Es
muy fácil. Os voy a contar algo que no he visto en los últimos años en
ningún ejercicio. Pero, por si acaso lo ponen. ¿Qué pasaría si en vez
de poner aquí menor o igual pusiese mayor o igual? Últimamente no ha
puesto ninguno de estos. Pero creo que en años prehistóricos alguno
ponía. Bueno, entonces os lo voy a hacer. Como os daría cuatro opciones,
lo podríais hacer descartando, igual que os conté al principio.
Descartando sale siempre. Probando las opciones una por una, siempre sale.
Pero si queréis hacerlo así, la forma de hacerlo sería la siguiente. Si
el símbolo es mayor o igual, o mayor, entonces hay dos opciones, dos
soluciones. Se coge lo de dentro del valor absoluto, el x menos uno. Y a la
derecha se pone el cuatro. Y en el medio se pone el símbolo, mayor o
igual. De ahí sale una solución. La otra solución sale de coger lo de
dentro del valor absoluto, que es x menos uno. ¿Qué más? El cuatro
negativo. ¿Y qué tengo que poner en el medio? El símbolo al revés. De
aquí sale un intervalo, y de aquí sale otro. ¿Cuál sale de aquí?
Despejáis la x. x mayor o igual que cinco. ¿Cuál sale del otro? Hacéis
lo mismo. El uno pasa al otro lado sumando. Menos cuatro más uno es menos
tres. ¿Qué intervalo es este? Aquí pone números mayores o iguales que
cinco. ¿Qué intervalo es? ¿Desde cinco hasta dónde? Menos cinco. A más
infinito. Son los números mayores o iguales que cinco. Todos. Desde el 5
hasta más infinito. Aquí, ¿qué intervalo es? ¿Desde dónde hasta
dónde? Desde menos infinito a menos 3. Y la solución es la unión de esos
dos intervalos. Esto es más complicado. En los últimos años nunca ha
puesto ningún ejercicio de estos. Pero a lo mejor lo pone. Si esto os
parece complicado, hacedlo probando opción por opción. Vais descartando
las que no valen. Eso sale siempre y funciona. Funciona. Pero bueno, por si
acaso ahí tenéis otra forma de hacerlo. Vale, creo que me queda uno.
Este. Este es distinto. Esto es una ecuación, pero hay valor absoluto de
los dos lados. Este lo puso, no sé si el año pasado o hace dos años. El
valor absoluto de x menos 4 es igual al valor absoluto de x más 2. ¿Cómo
se puede hacer esto? Pues probando, que es muy fácil. ¿Qué números
cumplen esto? Empiezo por la opción. Bueno, no voy a empezar. A ver,
habría que empezar por la A. Aparte de que yo veo que es la solución
porque está ahí el marcado. Habría que empezar por la A porque es la
más fácil de probar. No porque vea que esa va a ser la solución, sino
porque es la más fácil. ¿Qué dice la opción A? Que la solución es el
1. Empezáis por ahí. Quitáis las x y ponéis unos. ¿Sale o no sale? En
el lado izquierdo queda 1 menos 4, que es menos 3. 3. En el lado derecho, 1
más 2, que es 3. 3 es igual a 3. Así que el 1 lo cumple. ¿Eso quiere
decir que la solución es la A? No, todavía no. Eso quiere decir que la A
puede ser, pero si encontráis otra solución, entonces no es la A, será
la otra. Ahora, ¿cuál puedo descartar ya? La B. El conjunto vacío no
puede ser, porque ya he encontrado una solución, el 1. Vale, vamos a pasar
a la C. La C dice que la solución son todos los números. Pues probad con
un número, 1000. Por ejemplo, lo que queráis. Quitáis la X y ponéis un
1000. 1000 menos 4 son 996. Y aquí, 1000 más 2 son 1002. No sale. Así
que la opción C no vale. Ahora, solo me falta, o es la A o es la D. La D
dice que la solución son todos los números entre el 0 y el 1. Incluidos
el 0 y el 1. Pues probad con el 0. ¿El 0 cumple eso? No, pues esa tampoco
vale. Y ya está. La pregunta de límites y de esta pregunta son dos puntos
del examen que no tenéis que fallar, porque son muy fáciles. Son las más
fáciles. Y el tema de convergente y divergente. Eso, y eso. Y eso del
máximo superior o algo así. ¿Eso cuándo lo ha puesto? ¿El año pasado
no? ¿El año anterior tampoco? En el 2011, pero son de reserva. vale, os
voy a mandar porque en el resumen que os he mandado no aparece nada de eso
os voy a mandar lo puede poner, todo eso de máximo mínimo no lo ha puesto
en los últimos años pero lo puede poner, igual que esto de divergentes
las sucesiones divergentes no lo ha puesto en los últimos años pero lo
puede poner también entonces eso es un poco más complicado os voy a
mandar unos ejemplos resueltos como muy tarde os lo mando el sábado o el
domingo, el fin de semana con dos o tres ejemplos de lo que puede poner
porque son preguntas muy concretas ¿vale? y creo que no hay nada más que
vaya por ahí estudiaros lo del máximo, el mínimo y todo eso porque
también lo puede poner aunque no haya puesto ninguna pregunta últimamente
la puede poner no os fieis pero los de matrices no no, no son de números
reales de números reales, sí estudiaros todo quiero decir cualquier cosa
que aparezca en el libro os lo puede poner ¿qué día es el examen? el
miércoles creo vale el fin de semana como muy tarde yo os envío ejemplos
de eso, ¿vale? son fáciles además y los que os presentéis el miércoles
pues mucha suerte y los demás o todos nos vemos en la semana intermedia y
hacemos el examen que vais a probar ya veréis como sí y hay que sacar un
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