Comenzamos hoy con la grabación de una serie de módulos relacionados con
la asignatura de mecánica, cuyo objetivo es el de complementar la
bibliografía básica en determinados conceptos incluidos en el programa,
con el objetivo último de hacer comprender al alumno los métodos
utilizados en la resolución de los problemas que están incluidos en la
colección de problemas de la tutoría y que figuran codificados en las
transparencias que aquí aparecen. Empezaremos con el tema 1, tema dedicado
a la cinemática del punto y que dividiremos en dos submódulos para
hacerlos más cortos y más llevaderos. Estos submódulos serán los
siguientes. Submódulo codificado como C1-A dedicado al movimiento general
del punto y el submódulo C1-B dedicado a los movimientos centrales que si
bien no están incluidos dentro del tema 1, sí lo estará en un tema
posterior pero a nosotros nos ha parecido interesante englobarlo dentro de
este tema primero. Este es el tema o el módulo de cinemática del punto.
Este es un módulo que codificamos como C1-A, por cierto que está
equivocado ahí en el título, se ha puesto B, es A, dedicado al estudio
del movimiento general del punto va a incluir los siguientes conceptos.
Ecuaciones horarias del movimiento, trayectoria, ley horaria, vector
velocidad, vector aceleración, odógrafa del movimiento, directriz de
aceleraciones que nos ha parecido interesante al menos comentar lo que es
aunque no figure en el programa de la asignatura y finalmente métodos de
resolución de problemas de este tipo de movimiento general del punto. Las
ecuaciones horarias del movimiento son digamos la forma más corta y
lógica de definir el movimiento de un punto móvil que hemos llamado M,
que figura ahí en la figura de la derecha denominada figura 1 como M.
Punto móvil este, el M, que se desplaza siguiendo una trayectoria S que
hemos pintado en azul. Y hemos marcado como S. Fijaros que esta trayectoria
está definida dentro del marco de unos ejes coordenados X, Y y Z que
conforman un triedro ortogonal de referencia, triedro que llamamos a
derechas, puesto que si hacemos avanzar un sacacorchos, desde el eje,
girándolo desde el eje X hacia el eje Y, el sacacorchos avanzará en la
dirección del eje Z. Esto significa o quiere significar lo que nosotros
llamamos a derechas y además ha de ser un triedro de referencia inercial y
llamamos a ejes de referencia o triedros de referencia en este caso
inerciales a unos ejes de referencia. Fijos que no tienen aceleración. El
punto M, que será el móvil en nuestro caso, ha de estar siempre
localizado sobre la trayectoria que hemos definido como S. En definitiva,
las ecuaciones horarias se trata de dar las coordenadas de la posición del
móvil, del punto M, representadas en este caso, como veis ahí en la
figura, por el radiovector de posición, que le hemos llamado R y lo hemos
pintado de color negro. Fijaros que el vector, radiovector de posición, R,
es un vector que tiene como origen el punto de origen de coordenadas del
sistema de ejes de referencia o del triedro de referencia. Punto O marcado
en la figura. Y como punto final del eje, perdón, del eje del vector es el
punto M, que coincide con la posición del móvil, con la posición del
punto móvil M, que es el que vamos a estudiar. Las coordenadas, perdón,
las ecuaciones horarias del movimiento entonces quedarán de la siguiente
forma, tal y como las veis ahí en la transparencia, que las fue a
subrayar, a remarcar en amarillo, X igual a una función del tiempo t, Y
igual a una función del tiempo t, y Z igual a una función del tiempo t.
Estas tres ecuaciones nos darán las coordenadas del vector X, la veis
ahí, la X, que es la proyección del vector R sobre el eje X, la Y, que es
la proyección del vector R sobre el eje Y, y la Z que es la proyección
del vector de posición R, en la dirección del eje Z. Que son posiciones
que serán función obviamente del tiempo t o de cualquier otro parámetro.
El tiempo t es el parámetro. Pero, mmm, podíamos haber buscado otro
parámetro distinto al tiempo t. Por ejemplo, un ángulo, el ángulo zita.
Siempre y cuando conozcamos el nuevo parámetro zita en función del
tiempo, podemos utilizarlo sustituyendo t por zita en esas ecuaciones que
hemos llamado ecuaciones horarias. En definitiva, las ecuaciones horarias
expresan las componentes del vector de posición R del móvil que queremos
estudiar. Podemos estudiar m en función del tiempo, por lo tanto nos
definen exactamente la posición en que se encuentra el móvil dentro de la
trayectoria S en un momento, en un instante determinado. Claro que al ser
X, Y y Z las componentes del vector R según las direcciones X, Y y Z del
trihedro de referencia que hemos pintado. También podemos expresar estas
componentes en forma vectorial, de la forma que está representada en la
transparencia y que voy a subrayar ahora en amarillo. El vector R tendrá
una componente X en la dirección X, valga la redundancia, representada por
el versor Y latina, más una componente en la dirección Y, que se ha
llamado Y latina, y se ha puesto entre paréntesis T porque dependen todas
del tiempo, es decir, van cambiando a medida que va cambiando el tiempo,
por la dirección del vector J, del versor J, que nos define la dirección
del eje Y, más la componente en la dirección Z del vector R multiplicado
por el versor K, que nos define la dirección del eje Z. Esta sería la
solución, la forma, repito, más corta y más lógica de definir el
movimiento de un punto móvil M que se desplaza siguiendo una trayectoria
que hemos llamado S, y que obviamente aparecerá en un montón de
problemas. Trayectoria. Llamamos trayectoria a la curva que describe el
punto M cuando se mueve respecto al trihedro O, X y Z. Es decir, es la
curva que hemos marcado en azul, que hemos dibujado en azul en la figura de
la derecha, de la transparencia, y que sería el camino recorrido por el
móvil M a lo largo del tiempo. Ha de venir expresada analíticamente de
alguna de las siguientes formas. Obviamente esta es una curva en el
espacio, por lo tanto tiene una representación. Una representación
analítica, que es la que nos vendrá expresada en los problemas o las que
nos pedirán, lo que nos pedirán los problemas. Y esta representación
analítica de esta curva S, llamada trayectoria, decíamos que se puede
poner de tres formas distintas. Primero, de forma explícita, I igual a una
función de X. Obsérvese que estamos hablando ya no de un trihedro. Es
decir, ya no del extremo. Ya no de un espacio. Ya no de tres dimensiones, X
y Z, sino de dos, X e Y. Aunque todo lo que digamos para dos dimensiones, X
e Y, vale también para tres dimensiones, X y Z. Es decir, todo lo que
digamos para el plano, vale para el espacio. Lo que pasa es que habrá que
añadirle una tercera dimensión, la Z, y viceversa también. Todo lo que
digamos para el espacio, vale también para el plano, pero quitándole una
de las dimensiones que nos sobra, por ejemplo, la dimensión Z. Entonces,
la trayectoria en el plano podrá venir expresada de tres formas
diferentes, como mínimo. Una, yo diría que casi la más común en los
problemas, en forma explícita. Es decir, I igual a una función de X. O
bien, implícita. Despejar I. Si no, I menos una función de X igual a
cero. También puede venir expresada en forma de ecuaciones paramétricas,
también bastante típico en los problemas. Cuyo parámetro puede ser el
tiempo, T, o bien otro parámetro cualquiera, un ángulo, zita, o cualquier
otro. Vamos a generalizar, ponerle al parámetro, zita. Las ecuaciones
paramétricas en el caso de que estemos tratando el problema en dos
dimensiones, es decir, en un plano, podría venir dada de la siguiente
forma. X igual a una función del tiempo, T, si el parámetro es tiempo. O
bien, X igual a una función de cita, si el parámetro es otro cualquiera,
cita. EI igual a una función del tiempo, o I igual a una función de cita.
Y tercera de forma analítica, sería en coordenadas polares, que como
sabemos, o como vamos a ver dentro de un momento, se compone una función
de la forma Rho, que significa radiovector, igual a una función Rho de
cita, del ángulo. Ya lo veremos más adelante. Claro, esto podríamos, es
que lo estamos viendo, estas tres formas de expresar. Ahora,
analíticamente, la trayectoria lo estamos viendo en el plano. Ya hemos
dicho antes que lo podíamos ver en el espacio. Entonces, en el espacio, ya
no nos servirían las coordenadas polares, que como sabemos, representan
funciones de dos dimensiones, Rho y cita. Es decir, representan funciones
expresadas en el plano. Sino que deberíamos acudir a las coordenadas
cilíndricas o a las coordenadas espaciales. Que las tenéis perfectamente
explicadas en los libros recomendados por la asignatura, para poder
expresar esas trayectorias en el campo espacial. Leo Arabia. Muchas veces
nos pedirán los problemas, tal y como vais a ver, que expresemos la
trayectoria o que demos... La trayectoria de un cuerpo, es decir, el camino
recorrido por ese móvil M, pero en función del camino recorrido, en
función del arco de la curva que representa la trayectoria recorrido, que
le hemos llamado S. Es decir, la ley horaria es la expresión analítica
del arco que llamamos S, como una función del tiempo, puesto que irá
avanzando, y que iremos avanzando sobre la curva a medida que avanza el
tiempo, por tanto el arco se va haciendo cada vez mayor, que nos da la
longitud del arco recorrido por el móvil M a partir de un origen
cualquiera. Por ejemplo, el M sub cero que hemos pintado ahí en la
transparencia. Y todo esto obviamente a función del tiempo, porque el
espacio recorrido por el móvil... Por un elemento que se mueve sobre la
curva S, dependerá obviamente en función del tiempo. Así que esta forma
de expresar la trayectoria en función del arco recorrido, que a su vez es
función del tiempo, se le llama, se la conoce como ley horaria, y es otra
forma de localizar, vuelvo a repetir, el móvil M dentro de la curva o
trayectoria S. Esta vez, en lugar de coordenadas, X, Y y Z de dicho móvil,
damos la longitud del arco recorrida sobre la curva S o trayectoria a
partir de un punto inicial M sub cero en función del tiempo. Vector
velocidad. La velocidad de un móvil que se mueve, de un móvil puntual, en
este caso M, como el que figura ahí en la transparencia, que se mueve por
una trayectoria S, es un vector resultado de derivar el vector de
posición, el vector R, el vector que define su posición en todo instante
dentro de la trayectoria S con respecto al tiempo. Lo veis ahí en la
transparencia. Y es un vector porque es la derivada con respecto a tiempo
de otro vector, que es el vector de posición R. Su resultado es un vector.
Y este vector, tal y como figura ahí en la figura de la transparencia,
vector V de color rojo, es un vector tangente a la trayectoria que está
recorriendo el móvil M, es decir, tangente a la curva S. Para poder
determinar este vector velocidad, hemos de conocer previamente la
trayectoria del móvil M, es decir, la curva S. Y ahora vamos a ver cómo
podemos determinar este vector velocidad de dos formas distintas. Primera,
a partir de las ecuaciones horarias de la trayectoria. Es decir, en este
caso el problema me dará las ecuaciones horarias que hemos visto
anteriormente. Es la forma más fácil de representar un vector velocidad
porque me habrán dado el vector de posición R que define la posición del
punto M dentro de la trayectoria S en un momento determinado. Y para
calcular o determinar el vector velocidad en un punto concreto M, lo que
tengo que hacer es derivar directamente este vector R que me han dado a
través de las ecuaciones horarias de la trayectoria con respecto al
tiempo. Derivo la componente o proyección del vector R sobre el eje X con
respecto al tiempo y la multiplico por el vector I. Hago lo mismo con el I
y hago lo mismo con la dirección Z y tengo el vector velocidad en un punto
determinado, M. También puedo hacerlo porque habrá algunos problemas
donde no me den las ecuaciones horarias de la trayectoria, sino que me den
la L horaria, por ejemplo, o algo similar. Entonces, ¿cuál es la
solución? Entonces, en ese caso, cuando me den la L horaria, el vector
velocidad yo puedo calcularlo de esta forma que acabo de remarcar en
amarillo. Vuelvo a derivar el vector de posición con respecto al tiempo.
La velocidad, vector velocidad, es siempre y en todos los casos la derivada
del vector de posición con respecto al tiempo. Ahora bien, en este caso el
vector de posición no lo conozco a través de sus componentes, porque eso
sería el caso A anterior, de que me den las ecuaciones horarias de la
trayectoria. No, en este caso no me dan las ecuaciones horarias de la
trayectoria, me dan la L horaria. La L horaria es, como ya sabemos de la
transparencia anterior, el camino recorrido en la trayectoria por el móvil
en función del tiempo. Bueno, pues, a vida cuesta. Cuenta de que puedo
hacer uso de la regla de la cadena en la derivación, derivada del vector R
con respecto a T es igual a la derivada del vector R con respecto a S
multiplicado por la derivada de S, que es el arco recorrido con respecto al
tiempo. Aquí no he hecho más que aplicar la regla de la cadena de
derivación. Es decir, he introducido un parámetro intermedio, que es el
arco recorrido, entonces en vez de derivar directamente el vector de
posición R con respecto a T, hago lo mismo pero viajando a través del
parámetro intermedio S y utilizando la regla de la cadena de derivación.
Es decir, derivada de R con respecto a T igual a derivada de R con respecto
a S por la derivada de S con respecto al tiempo. a t, que esto es igual a,
la derivada de ese respecto de t, ya veremos lo que es, es, lo adelanto ya,
la derivada del camino recorrido, la relación entre el camino recorrido
partido por el tiempo empleado en recorrerlo, esto es el módulo del vector
velocidad precisamente. Y luego, la derivada del vector r con respecto a s,
que es el camino recorrido, esto es un vector unitario que vamos a llamar t
mayúscula y que es un vector tangente a la trayectoria en el punto donde
estoy estudiando este vector velocidad, en el punto m. Por lo tanto, el m
será igual a la derivada del camino recorrido s con respecto al tiempo,
que es el módulo del vector velocidad, multiplicado por el versor t, que
es un vector unitario, que define o marca la dirección de la tangente a la
trayectoria en el punto m, que estoy estudiando. Y ahora, una vez conocido
esto, estas dos expresiones, estas dos formas, de calcular el vector
velocidad en un punto determinado, ya podemos acometer una tarea que nos va
a salir de forma muy común en los problemas. Y será la siguiente. Si
conocemos las ecuaciones horarias, que ya hemos visto anteriormente cuáles
son, ¿cómo podemos resolver este problema? Yo tengo un problema en donde
me dan las ecuaciones, me dan la trayectoria que recorre un punto móvil m,
en forma de ecuaciones horarias. Y me piden que determine la ley horaria,
es decir, el camino recorrido en función del tiempo. ¿Cómo podría
resolver este problema importantísimo que va a salir muy comúnmente en
los problemas? Pues es sencillo. Se reduce simplemente a una integración.
Hay que hacer, eso sí, previamente unos pasos de transformación
intermedios, que son los siguientes. Conocido el vector velocidad, que ya
he calculado antes en el punto a anterior, yo puedo calcular el módulo de
ese vector velocidad, que es simplemente la raíz cuadrada de la suma de
los cuadrados de los componentes. Es decir, el módulo del vector velocidad
será igual a la raíz cuadrada de, derivada de la componente x con
respecto al tiempo al cuadrado, más derivada de la componente y con
respecto al tiempo al cuadrado, más derivada de la componente z del vector
r con respecto al tiempo al cuadrado. La raíz cuadrada de esta suma de
cuadrados me dará el módulo de la velocidad en el punto m donde estoy
estudiando. La velocidad que sabemos que es igual a la derivada del espacio
recorrido con respecto al tiempo. Por lo tanto, si paso en esta igualdad
que acabo de ver el tiempo al otro miembro despejando diferencial de S y
luego realizo la integración para calcular S, me quedaría esto que veis
aquí abajo. S que es el espacio recorrido será igual a integral de el
módulo de la velocidad multiplicado por diferencial de t, que será igual
que el módulo de la velocidad que hemos calculado anteriormente ya como la
raíz cuadrada de la derivada de x respecto de t al cuadrado más la
derivada de y respecto de t al cuadrado más la derivada de z respecto de t
al cuadrado. La raíz cuadrada de esto multiplicado por diferencial de t y
sacando esa integral tendría el espacio recorrido. El espacio recorrido en
función del tiempo que es ni más ni menos que lo que hemos denominado
antes como ley horaria, que es lo que nos pedía el problema. A veces este
mismo problema planteado de la misma forma, pero puede ocurrir que en lugar
de darnos las ecuaciones horarias, es decir, en lugar de darnos la
ecuación de la trayectoria y las ecuaciones horarias, nos den la
trayectoria en forma explícita, en forma de coordenadas cartesianas y
presentada de forma explícita igual a f o en forma implícita que es y
menos f igual a cero. Y nos piden lo mismo. Es decir... mmm... Deme usted o
exprese usted la ley horaria de esta trayectoria, de este movimiento del
punto M sobre esa trayectoria. Bueno, pues es muy similar a la anterior
aquí, lo que ocurre es que tenemos que ver es que al ser la velocidad la
derivada del espacio recorrido con respecto al tiempo, haciendo otra vez de
nuevo uso de la regla de la cadena de derivación e introduciendo el punto
M, el parámetro x intermedio, derivamos el espacio recorrido con respecto
al tiempo a través del parámetro x nos queda derivada de s respecto de x
por derivada de x respecto de t. Introduciendo esto en la integral anterior
que nos daba el espacio recorrido como la integral de la velocidad
multiplicado por diferencial de t del módulo de la velocidad, multiplicado
por diferencial de t, introduciendo esto que vamos a decir dentro de esa
fórmula y despejando nos quedaría que la velocidad es igual a la raíz
cuadrada de uno más la derivada de y respecto de x al cuadrado y todo
multiplicado por derivada de x respecto de. Esa sería la expresión de la
velocidad del módulo de la velocidad. La variabilidad de un punto que
recorre una trayectoria s cuya función es y igual a f de x y en este caso
como veis hemos eliminado la variable z por lo tanto aparecen solamente las
variables x e y quiere decir que estamos trabajando en el plano. Pero todo
esto podría valer perfectamente para el espacio como hemos dicho antes
simplemente añadiendo la variabilidad. Ahora una vez conocida ya la
velocidad lo que hago es integrar es igual a integral de velocidad por
diferencial de t que sería igual sustituyendo la velocidad por el valor
que hemos calculado antes, igual a integral de la raíz cuadrada de uno
más derivada de y respecto de x al cuadrado por diferencial de x. No hay
que más que resolver esta integral. Y nos quedaría el espacio recorrido s
en función del tiempo que es lo que hemos denominado ley horaria. Fijaros
que aquí lo único, las únicas variables que aparecen en la integral son
y y x las variables que son coordenadas cartesianas del plano donde estamos
estudiando el movimiento del móvil m y la relación de y con x ya nos la
habrá dado el problema. Que es precisamente la ecuación de la trayectoria
s. Por lo tanto está todo claro. No figura el parámetro t que no nos
interesa puesto que la ecuación de la trayectoria no nos la han dado en
función del parámetro tiempo sino que nos la han dado en función de las
coordenadas x e y. Por lo tanto podremos determinar como ya he dicho el
recorrido s, el arco recorrido espacio recorrido s. Partiendo de la
ecuación de la trayectoria en forma explícita. Vector aceleración. El
vector aceleración que generalmente lo representaremos bien por una letra
griega gamma tal y como figura aquí en la transparencia o bien como una
letra latina a, por ejemplo. Pero la mayor parte de los problemas que vemos
en la ley horaria es que el vector aceleración van incluidos en la
colección de los problemas de la tutoría van representados por la letra
griega gamma. Por lo tanto cuando veamos una gamma generalmente indicará
aceleración. El vector aceleración es un vector que se define como la
derivada de otro vector que es el vector velocidad. Y es un vector que a
diferencia del vector velocidad no es generalmente tangente a la
trayectoria. Podría serlo en algunos casos concretos pero generalmente no
es tangente a la trayectoria tal y como figura en la transparencia. La
figura que aparece en la transparencia. Vemos el vector gamma. Que. Que
está aplicado en el punto m y que no coincide con el vector v, que es el
vector rojo, y que es tangente a la trayectoria. No confundamos el vector
gammaque es la aceleración resultante con el vector gamma sub t que está
arriba, que sí coincide con la dirección del vector velocidad. Me estoy
refiriendo ahora mismo al vector gamma resultante que es el vector gamma, y
que como se ve. no coincide con el vector tangente a la trayectoria o con
la dirección del vector v. Si nos dan las ecuaciones horarias, una vez
más, igual que el vector velocidad es una forma más sencilla de calcular
el vector aceleración porque no hay más que derivar el vector velocidad
con respecto al tiempo y el vector velocidad, como ya sabíamos, será
derivada de x respecto t por y latina más derivada de y respecto de t por
j latina más derivada de z respecto de t por k. Volviendo a derivar esto
para calcular la aceleración, el resultado será este que veis aquí.
Derivada segunda de x respecto al tiempo dos veces en la dirección del eje
x más derivada segunda. Derivada segunda de y respecto de t dos veces, que
es la componente del vector aceleración en la dirección del eje y más la
derivada segunda de z con respecto a t dos veces, que es la componente del
vector aceleración resultante en la dirección del eje z. Ahora bien,
habrá veces que el problema no nos dé la ecuación de la trayectoria en
forma de ecuaciones horarias sino que nos den... la trayectoria en función
del arco recorrido, es decir, que nos den la ley horaria. Y en este caso,
de forma similar a como veíamos también en el caso de la velocidad, pues
otra vez el vector aceleración será la derivada del vector velocidad con
respecto al tiempo pero ahora lo hemos de hacer esta derivada en función
de un parámetro intermedio que es el arco recorrido. Una vez más...
Utilizando, como hemos hecho anteriormente, la regla de la cadena de la
derivación con lo cual obtendremos finalmente este valor. Derivada segunda
del arco recorrido con respecto al tiempo dos veces por el vector unitario
t que es el vector que nos define la dirección tangente a la trayectoria
más derivada de ese respecto de t... ¿Qué? Como ya hemos dicho antes, es
el módulo de la velocidad del vector velocidad por la derivada del vector
unitario tangente, versor tangente, con respecto al espacio recorrido. Pero
la derivada segunda de ese respecto de t dos veces es ni más ni menos que
la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo. Multiplicado por
t, que es un vector unitario en la dirección de la tangente nos da el
vector aceleración tangencial. Can más u t se ha denominado este vector
ahí en la figura que vemos de color verde y tiene la misma dirección que
el vector v, obviamente puesto que va en la dirección de la tangente
marcada por el vector unitario t mayúscula. Pero esa no es la aceleración
resultante. A la aceleración tangencial habrá que sumarle otra, que es v
cuadrado partido por r multiplicado por otro vector unitario esta vez le
hemos llamado n, en la dirección normal a la trayectoria. Es decir, en la
dirección perpendicular a la tangente a la trayectoria en m. A esta
aceleración le hemos llamado aceleración normal. La hemos pintado
también en verde con un vector que es perpendicular a la tangente a la
trayectoria, es decir perpendicular al vector v porque el vector v era un
vector tangente a la trayectoria. La suma de los dos vectores aceleración
tangencial tangencial tangente a la trayectoria y aceleración normal
normal a la trayectoria nos dará el vector aceleración resultante gamma.
Es muy importante entender estos conceptos de descomposición del vector
gamma, aceleración de un punto m en un instante determinado en un punto m
de la trayectoria situado localizado en un punto m de la trayectoria el
vector aceleración que tiene en ese momento el punto m el punto móvil m
se puede descomponer en 2 una aceleración tangencial en la dirección de
la tangente a la trayectoria, es decir, en la dirección del vector
velocidad que llamamos aceleración tangencial y que se calcula como la
derivada del módulo del vector velocidad con respeto al tiempo más más
otro vector que es perpendicular al anterior, es decir, normal a la
trayectoria, es decir, perpendicular a la tangente a la trayectoria, que le
hemos llamado aceleración normal y que se calcula como el módulo de la
velocidad al cuadrado partido por el radio de curvatura de la trayectoria
en ese punto concreto, en M. Trayectoria tiene un radio de curvatura, pues
ese le hemos llamado R en ese punto M. La aceleración tangencial, el
módulo del vector, perdón, la aceleración normal, el módulo del vector
aceleración normal es el resultado de dividir el módulo de la velocidad
en ese punto al cuadrado dividido por el radio de la trayectoria en ese
punto concreto. Y la suma de estas dos aceleraciones, normal y tangencial,
da la aceleración resultante. Pero vamos, esto es un tema tan importante
que vamos a introducirnos un poquito más en este concepto de aceleración
y descomposición de aceleración en sus componentes intrínsecas. Porque,
dicho sea de paso, las componentes del vector aceleración resultante
gamma, una llamada gamma sub t, es decir, aceleración tangencial, que
tiene la dirección de la tangente a la trayectoria, y otra, gamma sub n,
que es normal a la trayectoria, a estas dos componentes se les conoce con
el nombre de componentes de la trayectoria. Son componentes intrínsecas de
la aceleración. Y vamos a profundizar un poquito más en ellas. Para dar
una interpretación física a la aceleración normal, y hacer la
aceleración... Bien, la aceleración tangencial, su interpretación
física es muy sencilla. Tal y como hemos visto antes, la aceleración
tangencial era la derivada del módulo de la velocidad, con respecto al
tiempo. Esto que nos está indicando, nos está indicando que la
aceleración tangencial no es ni más ni menos que la relación entre los
cambios de velocidad del módulo velocidad con respecto al tiempo. Es
decir, si yo voy en línea recta y mi velocidad va cambiando, si voy en un
automóvil en una carretera en línea recta, y cambio en 10 segundos de 0 a
100 kilómetros por hora. Paso de una velocidad cero en el inicio a una
velocidad de 100 kilómetros por hora a los 10 segundos. Tendré una
aceleración, que es la aceleración tangencial que llamo yo, que será
igual a dividir en la diferencia de velocidades 100 menos 0, 100, partido
por el tiempo que me llevo en cambiar esas velocidades, 10 segundos. Es
decir, tendría una aceleración media, aceleración media, no
instantánea, de 10 metros por segundo en cada segundo. Este es el concepto
de la aceleración, de la componente tangencial de la aceleración. La
componente tangencial de la aceleración tiene una interpretación física
que no es ni más ni menos que el cambio que se produce en el módulo de la
velocidad con el tiempo. Pero, ¿y la aceleración normal? ¿Qué
interpretación física tiene? Muy importante. Vamos a verlo. Imaginémonos
una piedra tal y como figura ahí en la figura de la izquierda, la primera
figura de la izquierda, una piedra atada a una cuerda que describe una
circunferencia. La circunferencia que veis ahí pintada, cuyo centro es O.
La piedra como veis está en un extremo representada pues con una helice
más o menos, acabo de subrayar. Bien, entonces, esta piedra describe una
circunferencia que no es ni más ni menos que su trayectoria. Esta piedra
lleva una aceleración, hacia el centro de la circunferencia, hacia el
punto O. Imaginémonos que la piedra siempre lleva la misma velocidad V y
esa velocidad, pongamos que son 10 metros por segundo, es constante, es
siempre la misma. Por lo tanto, esa piedra no lleva aceleración en la
misma dirección de la velocidad, es decir, no lleva aceleración
tangencial. Pero sí lleva aceleración normal. Lleva una aceleración cuyo
valor es velocidad al cuadrado partido por el radio de curvatura de su
trayectoria, que al ser una circunferencia es el radio de la
circunferencia. Entonces dividido entre R. Esa es una aceleración normal.
Normal porque es normal a la trayectoria. Y es normal a la trayectoria
porque en ese punto que estoy estudiando esa aceleración es perpendicular
a la tangente a la trayectoria, en ese punto. Esta es la aceleración que
hemos llamado aceleración normal, la componente intrínseca de la
aceleración. Resultante que hemos llamado aceleración normal. Sobre la
piedra se está ejerciendo una fuerza T. Al girar la piedra alrededor de O
siguiendo su trayectoria circular sobre la piedra se está ejerciendo una
fuerza que la vemos en la figura central de la transparencia. Vemos ahí la
piedra como en sus diversas posiciones y vemos cómo existe una fuerza T
que está representada por ese vector T que tira de ella hacia el centro. Y
que es precisamente esta fuerza que tira de ella hacia el centro la que
obliga a cambiar continuamente de dirección a la piedra. Téngase siempre
presente que de acuerdo con la segunda ley de Newton una fuerza, en este
caso hemos llamado T, aplicada sobre un cuerpo de masa M que tendrá la
piedra tendrá una masa determinada pues esta fuerza T provoca en el cuerpo
en la piedra una aceleración que en este caso es la aceleración normal y
cuyo valor es la velocidad al cuadrado partido por el radio de la
circunferencia. Así pues en un movimiento circular hay continuamente una
aceleración hacia el centro producida por la fuerza T que provoca que la
piedra se mantenga en su trayectoria circular figura central. Al cesar esta
fuerza T quiere decir soltamos la piedra la piedra se escapa tal y como
aparece en la figura de la derecha cuando la piedra está arriba en esta
posición he soltado la piedra ya no tiro con la fuerza T hacia el centro
por lo tanto la piedra se me escapará en la dirección de la tangente en
ese punto a la circunferencia ¿Por qué? Pues porque no hay nada que le
acelere a la piedra hacia el centro es decir, no hay una fuerza que obligue
al vector velocidad V a cambiar continuamente de dirección Fijaros que el
vector velocidad en ese momento de la figura de la izquierda tenía esa
dirección pero cuando está la piedra arriba tiene esta otra horizontal y
cuando está en otra posición tiene siempre la dirección de la tangente a
la circunferencia a la trayectoria descrita por lo tanto la velocidad V si
bien no cambia en su módulo se mantiene constante por lo tanto la
aceleración tangencial es constante si cambia en dirección porque el
vector va variando de ángulo continuamente a medida que la piedra pasa por
sus diferentes posiciones y esta variación de dirección del vector
también es una variación de velocidad por eso ha de existir aceleración
siempre que hay cambio de velocidad hay aceleración y la velocidad no
solamente es el módulo de un vector es también su dirección por lo tanto
si hay cambio de módulo de velocidad hay aceleración llamada tangencial
pero si hay cambio de módulo de dirección también hay dirección de
velocidad también hay cambio de velocidad por lo tanto también hay
aceleración que en este caso llamamos aceleración normal por lo tanto
deducimos que el efecto de aceleración sobre el vector velocidad da lugar
a un cambio en el mismo de dos formas posibles cambio en el vector
velocidad de dos formas posibles y no siempre actuando de forma conjunta
primero puede ser un cambio en el módulo del vector velocidad es decir, en
la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo en este caso la
llamamos aceleración tangencial y también puede haber un cambio en la
dirección del vector velocidad y en este caso habrá una aceleración
normal han de entenderse muy bien estos dos conceptos porque son muy
importantes de cara a la resolución de los problemas que van a aparecer en
la colección de problemas y en los exámenes otro concepto es el de
odógrafa del movimiento a la curva descrita por el extremo de un vector
equivalente al vector velocidad y trazado en el origen de coordenadas es
decir, tal y como aparece ahí en la figura tenemos un móvil M que se
está moviendo por una trayectoria está recorriendo una trayectoria
dibujada en azul por lo tanto en la posición 1 se encuentra en el punto 1
tendrá una velocidad v1 como siempre tangente a la trayectoria en ese
punto en el punto 2 tendrá una velocidad v2 tangente a la trayectoria lo
mismo en el punto 3 y lo mismo en el punto 4 y lo mismo en cualquier otro
punto si cogemos estos vectores velocidad y los llevamos al origen de
coordenadas de un triedro de diferencia x o y z tal y como vemos ahí y
unimos los extremos de esos vectores velocidad habremos obtenido una curva
que se llama odógrafa y que está pintada pues de ese color que veis ahí
es decir, repito cojo el vector velocidad en el punto 1 y lo llevo paralelo
y con el mismo módulo junto origen de coordenadas o hago lo mismo con el 2
con el 3, con el 4 y con todos los que quiera y luego 1 los extremos de
dichos vectores eso es lo que llamamos esa curva resultante es la que
llamamos odógrafa la determinación de la odógrafa es inmediata si se
conocen las ecuaciones horarias del movimiento obviamente puesto que no
tendría más que derivar con respecto al tiempo las ecuaciones horarias es
decir, derivada la x la componente x del vector de posición en el punto en
que estoy estudiando con respecto al tiempo me dará la componente x de la
odógrafa lo mismo con la componente y derivando la componente del vector
de posición r en esa dirección y con respecto al tiempo y lo mismo en la
dirección z la ecuación de la odógrafa si de forma tan sencilla de
realizar siempre y cuando partamos de las ecuaciones horarias del
movimiento y si no nos dan un problema las ecuaciones horarias del
movimiento pues tenemos que determinarlas antes de buscar la odógrafa
simplemente llamar la atención de que los ejes x y z, del trihedral de
referencia ahora, cuando estamos hablando de odógrafa ya no son posiciones
del punto m sino que son velocidades evidentemente puesto que los vectores
que estamos representando ahora son vectores velocidad directriz de
aceleraciones es la curva descrita por el extremo de un vector equipolente
al vector aceleración y trazado en el origen de coordenadas veis ya que de
la propia definición de directriz de aceleraciones estamos describiendo
algo similar a la odógrafa de que hemos hablado anteriormente, es decir la
misma forma de actuar tenemos un móvil m que recorre una trayectoria un
camino dibujado en azul ahí hemos dibujado varias posiciones la posición
1 tiene un vector aceleración que hemos llamado gan más u1 en la
posición 2 un vector aceleración que hemos marcado como gan más u2
obsérvese que generalmente como hemos dicho antes estos vectores de
aceleración no son tangentes a la trayectoria lo mismo en el punto 3 y lo
mismo en el punto 4 y lo mismo en cuantos otros puntos queramos si a
continuación llevamos estos vectores al punto origen o los volvemos a
representar todos todos coincidiendo su origen en el punto o y unimos los
extremos de todos estos vectores nos dará otra curva que le hemos llamado
curva directriz de aceleraciones que también es lo mismo que hemos hablado
antes de la odógrafa muy fácil de determinar siempre y cuando partamos de
las ecuaciones horarias del movimiento porque sería derivar dos veces la
componente del vector de posición en el punto m con respecto al tiempo
para que nos dé la componente de la odógrafa en la dirección x lo mismo
en la dirección y y lo mismo en la dirección z y una vez más hemos de
hacer hincapié que ahora los ejes x,y y z del priedro de referencia ya no
son posiciones lineales sino que son aceleraciones porque estamos
representando en ellos vectores aceleración métodos una vez aclarado
estos conceptos que ya deberían estar claros de cursos anteriores pero que
es conveniente recordarlos porque los vamos a usar muy a menudo en toda la
asignatura pero sobre todo en este primer módulo en esta primera parte en
este primer tema pues después de haber recordado estos conceptos así muy
superficialmente ya nos vamos a meter en estos módulos que es métodos de
resolución de problemas en este caso de cinemática del punto este tipo de
problemas es bastante común en los exámenes por otra parte por lo tanto
conviene tenerlos claros y parece así al principio un poco engorrosos pero
luego una vez que hagamos unos cuantos y tengamos claro esto que vamos a
decir pienso que son bastante asumibles, bastante llevaderos y bastante
fáciles de solucionar en este tipo de problemas se nos pueden presentar
dos casos diferentes se nos pueden plantear los problemas básicamente de
dos formas diferentes luego en un caso nos darán las ecuaciones de la
trayectoria en forma de ecuaciones orales en otro caso nos darán en
función de la ley horaria en otros casos en coordenadas cartesianas y nos
pedirán velocidades y aceleraciones otras veces será al revés partiendo
de las aceleraciones o velocidades como dato tendremos que dar marcha
atrás y buscar la ecuación de la trayectoria bien en coordenadas
cartesianas bien en ecuaciones orales etc, etc combinaciones según las
variables tal y como nos las den y tal y como nos las pidan luego los
resultados pero en definitiva hay solamente dos tipos diferentes de
problemas que son los siguientes y para cada uno de ellos vamos a ver de
forma general cómo se resuelve cómo hay que acometerlos el primer caso es
ahí es que nos da el problema las ecuaciones horarias o bien los datos
geométricos necesarios para determinarlas y aquí voy a hacer un inciso
tener en cuenta una cosa hemos hablado anteriormente de un móvil M que
recorría una curva bien en el espacio bien en el plano y esa curva eh...
la representábamos de forma analítica a través de unas funciones
algebraicas al final esa función o esa curva eh... tiene una
representación gráfica tal y como veíamos en transparencias anteriores
lo cual quiere decir que habrá una relación entre mmm... los vectores de
posición con sus módulos es decir, con sus longitudes etc, etc lo que
quiero decir es que la geometría está siempre especialmente relacionada
con este tipo de problemas es decir siempre nos darán eh... un vector
aparecerá un vector en el espacio en este plano con una longitud con un
ángulo y tendremos que utilizar la geometría sobre todo la trigonometría
para poder relacionar unas cosas con otras la geometría es enormemente
necesaria en este curso de mecánica y sobre todo en este tipo de problemas
de cinemática del punto ¿para qué digo esto? pues digo esto para volver
a insistir en lo que ya he dicho en la presentación de la tutoría es muy
conveniente que el alumno repase los conceptos generales de geometría
analítica de geometría en general y es muy importante también que repase
los conceptos de trigonometría porque los va a tener que usar a menudo en
este tipo de problemas en este caso volvemos a lo que estábamos hablando
tipo de problemas primer caso nos dan ecuaciones horarias o los datos
geométricos para determinarlas y nos piden que calculemos la velocidad o
aceleración bueno, este es el tipo de problema más sencillo que nos puede
caer de lo más fácil pero bueno, a veces cae por lo tanto hay que ver
cómo acometerlos y otras veces, aunque nos parezca que es sencillo nos
empiezan a mezclar ahí datos con competición de resultados etcétera
enmarañarlo de tal forma que nos tiende a equivocar qué es lo que ocurre
generalmente al novato en este en estos temas al que empieza de nuevo
incluso el problema sencillo lo empiezan a liar a propósito muchas veces
con datos con resultados pedidos, etcétera que al final se hace un lío en
la cabeza que no es capaz de resolver el problema por eso es muy
conveniente estructurar para cada tipo para cada caso uno de estos casos
que vamos a ver cada tipo de problemas estructurarlos y ver cómo podemos
organizadamente hacer resolver este problema y para eso vamos a dar los
siguientes pasos primer paso, paso A por derivación primera de las
ecuaciones horarias obtenemos el vector velocidad ya tenemos paso B por
derivación segunda segunda de las ecuaciones horarias o primera del vector
velocidad me da igual, obtenemos el vector aceleración paso C hallamos el
módulo de la velocidad, ya sabemos el vector conocemos el vector, pues su
módulo como siempre es la raíz cuadrada de los cuadrados de las
componentes de ese vector en los ejes correspondientes vector perdón,
módulo del vector velocidad una vez obtenido el módulo del vector
velocidad que vendrá siempre dado en función del tiempo pues derivando
ese módulo del vector velocidad en función del tiempo obtendremos la
aceleración tangencial ya tenemos el vector velocidad el módulo del
vector velocidad, el vector aceleración resultante y ahora acabamos de
obtener el módulo del vector la componente del vector aceleración
tangencial una vez hallado la componente tangencial de la aceleración
hallamos el módulo de aceleración conocíamos el vector el módulo de un
vector como siempre es la raíz cuadrada de la sub perdón me estoy pasando
al paso F estamos en el paso E una vez conocido el vector aceleración
resultante el cálculo de su módulo es muy sencillo raíz cuadrada de la
suma de los cuadrados de los componentes por el teorema de Pitágoras
obtenemos el vector aceleración perdón, la componente normal de la
aceleración que es la raíz cuadrada de la aceleración resultante al
cuadrado menos la aceleración tangencial al cuadrado recordar la
transparencia anterior teníamos el vector aceleración resultante que no
es este lo que quiero yo teníamos el vector aceleración resultante como
la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que un cateto es la
aceleración tangencial y el otro cateto es la aceleración normal por lo
tanto a este triángulo rectángulo le podemos aplicar perfectamente
Pitágoras para poder calcular conocidas la rama resultante y gamma
tangencial podemos calcular gamma normal sin ningún problema o cualquiera
de las otras bien, paso entonces el paso F era calcular la aceleración
normal y a continuación vamos al paso G igualando la aceleración normal
así obtenida al valor que tiene que tener la aceleración normal visto que
era la velocidad módulo de la velocidad al cuadrado partido por el radio
de curvatura en ese punto de la trayectoria igualando estas dos expresiones
podemos obtener el radio de curvatura ya de la trayectoria si es uno de los
datos que nos piden ro si nos piden la odógrafa pues oye nos han dado las
ecuaciones horarias pues derivamos respecto al tiempo las ecuaciones
horarias y obtenemos las ecuaciones de la odógrafa ya directamente tal y
como hemos visto ya anteriormente y si nos piden la ley horaria pues
también hemos visto anteriormente como se obtenía que es la integral del
módulo de la velocidad que es la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de sus componentes en las direcciones X, Y y Z multiplicado,
integral de esto por el diferencial de T es el arco recorrido es decir la
ley estos son los pasos que hay que dar para resolver este tipo de
problemas del primer caso que como he dicho antes son los problemas más
sencillos pero que a veces se nos pueden complicar porque claro aquí hemos
dado un orden que partiendo de las ecuaciones horarias pues vamos
obteniendo todos esos valores que hemos dicho pero también el problema no
lo pueden encontrar es decir pueden no darnos las ecuaciones horarias y sin
embargo darnos la ley horaria y entonces hay que hacer el cálculo al
revés es decir todos estos pasos al revés o puedes darnos en otros
problemas la aceleración normal y la tangencial y sin embargo no darnos la
velocidad por lo tanto etc, etc entonces hay que todo esto que se ha
presentado en la transparencia son los pasos que hay que dar para irse
desde ecuaciones horarias hasta obtener cada uno de esas cosas que hemos
visto ahí si los datos nos lo dan al revés lo que son resultados en esta
transparencia son datos en el problema y viceversa lo que son datos en la
transparencia son resultados en el problema pues habrá que proceder a la
inversa de como se ha dicho esto evidentemente no se puede poner todos los
casos cada uno de ellos en una transparencia porque saldrían un montón de
casos diferentes esto como se entiende bien y como se conoce bien y como se
domina bien es haciendo muchos problemas y siguiendo estos pasos que hemos
dado tengas en cuenta que algunas veces nos darán en transparencia las
ecuaciones de la trayectoria en función de un parámetro distinto al
tiempo es decir no nos darán las ecuaciones horarias por ejemplo nos
darán las ecuaciones de la trayectoria en función de otro parámetro
distinto al tiempo por ejemplo el parámetro cita que ponemos ahí es decir
nos darán x como función de cita y como función de cita si estamos en el
plano o también z como función de cita si estamos en el espacio estas
serán las ecuaciones paramétricas que nos dan para definir la trayectoria
del móvil las cuales siempre pueden pasarse a horarias pero claro para
pasar de ecuaciones paramétricas con un parámetro cita a horarias en el
que el parámetro es el tiempo hemos de conocer la relación que existe
entre el parámetro cita y el tiempo derivar esta relación respecto al
tiempo y sustituir perdón sustituir el parámetro cita por el parámetro
cita en función del tiempo en las ecuaciones paramétricas anteriores con
lo cual ya obtenemos las ecuaciones pero de ahí proceder según lo que
hemos visto la ecuación de la trayectoria de un movimiento expresada en
forma explícita que es otra forma con que nos la pueden dar en lugar de
dar ecuaciones horarias nos pueden dar la ecuación de la trayectoria en
forma explícita igual a x cuadrado menos 5x más 3 por ejemplo o
implícita en función de las coordenadas cartesianas se puede transformar
en una ecuación horaria también siempre y cuando conozcamos algunas de
las variables intrínsecas llamamos variables intrínsecas a las variables
del móvil que se mueve por la trayectoria como son velocidad, aceleración
radio de curvatura, etc conociendo estas variables intrínsecas sin más
que derivar las ecuaciones dadas y aplicar las relaciones de
transformación entre dichas variables intrínsecas y el tiempo podemos
obtener las ecuaciones horarias ¿cuáles son las relaciones de
transformación entre variables intrínsecas y tiempo? las más conocidas
son estas que veis aquí la velocidad sabemos que es igual a la derivada
del espacio recorrido con respecto al tiempo aquí tenemos una relación
entre la coordenada intrínseca velocidad la coordenada intrínseca arco
recorrido y el tiempo otra relación es la aceleración tangencial es la
derivada del módulo de la velocidad con respecto al tiempo y aquí tenemos
una relación entre la aceleración la velocidad y el tiempo la
aceleración normal sabemos que es el módulo de la velocidad al cuadrado
partido por el radio de curvatura de la trayectoria en ese punto pues
tenemos una relación entre las variables intrínsecas, aceleración,
velocidad y radio de curvatura otra es el radio de curvatura como ya
sabemos de una curva es multiplicado por el ángulo es igual al arco
recorrido o dicho de otra forma el radio de curvatura es igual a la
derivada del arco recorrido con respecto al ángulo recorrido relaciona las
variables intrínsecas y finalmente la aceleración resultante es igual el
módulo perdón de la aceleración resultante es igual a la raíz cuadrada
de los módulos de las aceleraciones tangencial y normal al cuadrado todas
estas relaciones nos permiten pasar de variables perdón de variables con
coordenadas cartesianas por ejemplo ecuaciones paramétricas con un
parámetro distinto del tiempo a ecuaciones con el parámetro tiempo es
decir a ecuaciones horarias y una vez transformadas las ecuaciones con
coordenadas cartesianas por ejemplo a ecuaciones horarias con el tiempo t
como parámetro el cálculo de aceleraciones velocidades odógrafas son
esos pasos que hemos visto anteriormente lo tenéis claro en estos
problemas que aparecen al final de la transparencia CP2, 10, 17, 21 y 22
los marcados en rojo son los más interesantes y los que posiblemente
haremos si nos da tiempo en las tutorías del segundo tipo en multitud
vamos a ver perdón en este caso los problemas vendrán planteados de la
siguiente forma nos piden las ecuaciones horarias de un movimiento y nos
dan ciertas condiciones que ha de cumplir su velocidad que hace un
tangencial o normal y o su radio de curvatura este es un problema muy
común es un poquito más complejo que los anteriores el primer caso pero
es quizá mucho más común incluso que los anteriores en los exámenes es
un problema típico además de problemas planos o sea problemas de dos
dimensiones problemas planteados en el plano es decir problemas en donde
aparecerán solamente las coordenadas cartesianas x e y solamente no
aparecerá la z hay que tener en cuenta que al darnos la ecuación de la
trayectoria en forma explícita o implícida es decir en coordenadas
cartesianas la simple derivación de dichas ecuaciones con respecto al
tiempo nos da una relación entre derivada de x respecto de t y derivada de
y respecto de t en coordenadas cartesianas nos quedarán las variables
desconocidas derivada de x respecto de t y derivada de y respecto de t que
no las conocemos porque nos han dado la ecuación de la trayectoria en
forma de coordenadas cartesianas igual a f no ha participado el tiempo para
nada ahí por lo tanto desconocemos derivada de x respecto de t y derivada
de y respecto de t si conocemos la relación entre las dos puesto que hemos
derivado la ecuación de la trayectoria dada igual a f con respecto al
tiempo como podemos conocer derivada de x respecto de t y derivada de y
respecto de t para poder realizar el problema pues conociendo algunas de
las variables intrínsecas el problema nos dará algún otro dato como por
ejemplo puede ser de velocidad, de aceleración de radio de curvatura, etc
y a partir de él podremos extraer los valores de derivada de x respecto de
t y derivada de y respecto de t que no conocíamos y luego una vez
conocidos estos valores simplemente integrándolos conoceremos x como
función de t e y como función de t es decir las ecuaciones horarias
derivada de x respecto de t y derivada de y respecto de t en función de
las variables intrínsecas velocidad, aceleración, radio de curvatura ya
lo hemos dicho en el caso anterior en el primer caso con estas relaciones
que además aquí repetimos entre variables intrínsecas y tiempo en
multitud de problemas este paso que acabamos de decir de variables
intrínsecas como son la velocidad, la aceleración x,y o z suele exigir el
pasar por el escalón intermedio de S es decir del arco recorrido y del
ángulo recorrido ¿y cómo hacemos eso? pues lo hacemos a través de las
relaciones conocidas que las vemos aquí abajo en la figura además
diferencial de x es igual a diferencial de S por coseno de phi y
diferencial de y es igual a diferencial de S por seno de phi ¿de dónde
sale esto? veamos aquí en la figura de abajo tenemos una trayectoria que
es la dibujada de color azul gruesa pongamos un punto que no está marcado
con ninguna letra que es este que acabo de subrayar en amarillo ese es el
centro de curvatura de la trayectoria en este punto concreto que estamos
estudiando por tanto ρ será el radio de curvatura pongamos que pasamos
desde el punto A hasta un punto muy cercano infinitesimamente cercano que
es el B por tanto habremos recorrido un arco diferencial de S y proyectemos
la dirección del eje x y la del eje y nos dará el triángulo AB este
triángulo que vemos aquí cuyo ángulo formado entre la hipotenusa y uno
de los catetos es el ángulo phi precisamente que es el ángulo que forma
la tangente a la trayectoria en ese punto que queremos estudiar con el eje
x y en ese triángulo rectángulo siendo diferencial de S la hipotenusa de
ese triángulo rectángulo es igual a diferencial de x es igual a
diferencial de n por coseno de phi y diferencial de y es igual a
diferencial de S bien, pues utilizaremos esas expresiones para calcular x e
y en función de t pero como en función de t si me da en función de S y
en función de phi bueno porque tenemos que relacionar S y phi con t estas
expresiones que hemos visto anteriormente y que volvemos a repetir aquí al
final v igual a derivada de S respecto de t gamma sub t igual a diferencial
de v partido por diferencial de t para ello es necesario expresar tanto el
ángulo phi como diferencial de S en función del tiempo que es lo que
acabamos de decir a través de las relaciones conocidas en los problemas
que veis ahí aparecen ejemplos suficientemente numerosos y suficientemente
claros como para entender y practicar todo esto que acabamos de ver y que
es enormemente interesante lógicamente para resolver los problemas de esta
parte de la asignatura bien, todo esto que acabamos de decir he tratado de
ponerlo, expresarlo de forma gráfica en esta transparencia hecha a mano
fijaros, en la figura superior izquierda, en la primera se ha dibujado unos
ejes coordenados x e y, por lo tanto eso quiere decir que estamos
analizando el problema en dos dimensiones en un plano hemos trazado una
trayectoria que la veis ahí en forma de esa línea que veis ahí de color,
bueno, el color es todo negro pero más gruesa y marcada como trayectoria y
hemos situado una serie de puntos, el punto 1 posición 2 y posición 3 en
cada uno de sus puntos hemos dibujado su radio vector de posición, R1 en
la posición 1 R2 en la posición 2 R3 en la posición 3 y así mismo
también se han dibujado los vectores velocidad del MOBI cuando iba en la
posición 1 vector velocidad en la posición 2 y vector velocidad en la
posición la trayectoria, en este caso vamos a suponer que viene dada de
forma en forma de ecuaciones paramétricas tal y como veis aquí, me da la
posición la componente X del vector R en función de un parámetro cita el
que sea y lo mismo la componente Y en función de el mismo parámetro, del
parámetro cita y además nos ha de dar el problema la relación existente
entre el parámetro cita y el tiempo en forma de ecuación también, tal y
como veis ahí si no nos lo da el problema nos dará algo algún dato de
tal forma que yo pueda obtener esta ecuación porque si no no tendré datos
suficientes para realizar el problema en la figura central los vectores
hemos dibujado otros dos ejes el eje X y el eje Y ahora X un puntito encima
del X encima de una letra va a significar y esto aprovecho la ocasión para
decirlo todos los problemas están puestos así un puntito encima de una
letra significa derivada de esa variable con respecto al tiempo ¿vale?
así como también aprovecho a decir que las transparencias que hemos
visto, que me he olvidado de decirlo en lugar de representar un vector con
una línea situada encima de la letra que representa un vector como eso era
difícil de poner aquí en el ordenador pues lo que hemos puesto ha sido
esa misma letra en negrita significa vector y una letra que no venga en
negrita significa un número o un escalar bien entonces volvemos a lo
nuestro en la figura central hemos representado dos ejes coordenados el
horizontal es el eje derivada de X respecto de T es decir velocidad en la
dirección X y velocidad en la dirección Y y hemos llevado cada uno de
estos vectores que aparece en la figura de la izquierda vectores de
velocidad V1, V2 y V3 los hemos llevado a esta nueva figura central todos
partiendo del origen O finalmente hemos trazado una línea uniendo los
extremos de cada uno de estos vectores y el resultado es esa línea que ves
ahí que es ni más ni menos que la odógrafa como ya sabemos esto
analíticamente lo vemos abajo significa que hemos determinado calculado la
derivada respecto al tiempo de X y la derivada respecto al tiempo de Y y me
han salido las ecuaciones paramétricas precisamente de esta línea que he
pintado ahí que he llamado odógrafa la tercera de la figura de la derecha
superior se trata de la directriz de aceleraciones ¿cómo la hemos
determinado? bueno, pues fijaros que en la odógrafa la figura central por
cada uno de los puntos de los extremos de los vectores por ejemplo el
extremo del vector V1 he trazado otro vector que le he llamado gamma1
tangente a la trayectoria de la odógrafa por el punto 1 lo mismo con el
vector V2 o bueno V5 en ese caso he trazado por el extremo del vector V5
otro vector que es el vector aceleración en el punto 5 que es tangente a
la trayectoria de la odógrafa a la odógrafa lo mismo con todos los
vectores entonces para empezar ya tengo una cosa clara que las
aceleraciones los vectores aceleración son vectores tangentes a la
odógrafa en cada uno de los puntos muy importante bueno, pues ahora cojo
esos vectores aceleración que son repito tangentes a la odógrafa y los
llevo a unos ejes cartesianos que ahora son derivada de X derivada segunda
de X con respecto a T la horizontal, dos veces la horizontal y derivada
segunda de Y con respecto a T dos veces el vertical es decir, los ejes
ahora son la aceleración según el eje X y la aceleración según el eje Y
a partir de un punto que es el origen de coordenadas llevamos los vectores
aceleración gamma1, gamma2 gamma3, etc y unimos sus extremos y obtendremos
una curva que es la directriz de aceleraciones muy similar su construcción
a la de la odógrafa ¿cómo lo hacemos analíticamente? pues no tenemos
más que derivar de nuevo las ecuaciones B de la odógrafa con respecto al
tiempo y obtenemos la X derivada segunda de Y dos veces es decir
aceleración según la dirección X y aceleración según la dirección Y
es decir, las curvas paramétricas de la directriz de aceleraciones para
pasar de la trayectoria a las aceleraciones a las velocidades a las
aceleraciones hemos de derivar pasar de izquierda a derecha hemos de
derivar sin embargo algunos problemas nos piden los pasos inversos
aceleraciones nos piden velocidades y trayectorias entonces es recorrer el
camino al revés para recorrer el camino al revés hay que integrar en
lugar de derivar es decir a través de la curva C puedo determinar módulos
y direcciones de aceleraciones si yo tuviera construida la curva B podría
determinar módulos y direcciones de velocidades fijémonos en una cosa muy
importante de estas curvas dado que el vector velocidad de la curva A
trayectorias forma un ángulo con el eje de las X por ejemplo la velocidad
forma un ángulo con el eje de las X este ángulo mismo es el que forma el
vector velocidad 3 en la odógrafa con el eje de las X coincide ese ángulo
y lo mismo ocurre con las aceleraciones en la directriz de aceleraciones el
ángulo que forma la aceleración 2 el vector aceleración 2 con el eje de
las X menos alfa sub dos menos porque ya sabemos que los ángulos positivos
son los que van en sentido contrario negativos serán los que van en el
mismo sentido de las agujas del reloj como ese que veis ahí menos alfa sub
2 pues ese ángulo menos alfa sub 2 es el mismo que forma el vector
aceleración dentro de la curva directriz de aceleraciones con el eje de
las X fijaros en el alfa sub 1 por ejemplo que es el único que está
dibujado bueno, pues el ángulo alfa sub 1 que forma el eje de las X con la
odógrafa es el mismo ángulo evidentemente que forma el vector
aceleración gan más uno con el eje de las X en el caso de la directriz de
aceleración, es muy importante el ángulo fi el ángulo que forma el
vector velocidad con el eje de las X en las trayectorias porque este
ángulo es el ángulo que forma la tangente a la trayectoria en ese punto y
sabemos que es muy fácil de calcular ese ángulo puesto que la tangente de
ese ángulo que se llama dependiente de la curva en ese punto no es ni más
ni menos que la derivada de Y con respecto a X por lo tanto siempre que me
den la trayectoria en forma de ecuación con coordenadas cartesianas lo que
hemos llamado al derivar Y con respecto a la función Y con respecto a X me
da directamente la pendiente o la tangente del ángulo que forma el vector
velocidad con el eje de las X que es el mismo que el que forma el vector
velocidad con el eje de las X en la audógrafa creo que es bastante
importante a la hora de resolver los problemas que nos van a plantear en
este apartado volvemos entonces hacia atrás consideraciones generales
acerca de los métodos de resolución de problemas ya hemos visto los dos
problemas que generalmente aparecen en esta parte como resolverlos así en
líneas generales pero ahora vamos a dar también todavía en líneas más
generales un compendio para tenerlo todavía más claro si es posible tener
más clara la forma de actuar a la hora de resolver estos problemas primero
he de disponer siempre de unas ecuaciones paramétricas cualquiera que sea
ese parámetro con las coordenadas cartesianas X e Y del punto de la
trayectoria en donde se encuentra el móvil en cada momento y al mismo
tiempo he de relacionar ese parámetro cita con el tiempo de alguna forma
si no me lo da el problema he de encontrarlo me dará siempre algún dato
para poder relacionar el parámetro cita con el tiempo por lo tanto a
partir de ahí he de conocer las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
y su relación del parámetro que me den con el tiempo punto B a
continuación he de buscar las ecuaciones paramétricas de la velocidad en
función del parámetro cita derivando simplemente las anteriores con
respecto al tiempo que pasa que me dan no el tiempo como parámetro sino
otro cualquiera cita bueno pero es que ya sabemos que derivar con respecto
al tiempo a través de un parámetro intermedio cita eso lo sabemos hacer a
través de la regla de la cadena de derivación verdad bueno pues una vez
hecho esto derivar con respecto al tiempo las ecuaciones paramétricas dato
del problema ya tenemos resuelto las ecuaciones de la odógrafa si quisiera
obtener la ecuación explícita de la odógrafa porque me lo piden así
déme usted la ecuación en forma explícita o déme usted la ecuación de
la odógrafa en forma de coordenadas cartesianas en función de x y de y
bueno pues de una de las ecuaciones anteriores la estrella 2 que hemos
visto anteriormente hemos de despejar el parámetro cita y sustituirlo en
la otra inmediatamente me va a aparecer una sola ecuación en función
solamente de x y de y que será la ecuación de la odógrafa pero en
coordenadas cartesianas de si lo que me piden es la directriz de
aceleraciones pues en forma similar a lo que hemos hecho con la odógrafa
lo que pasa es que ahora son aceleraciones por tanto habrá que derivar dos
veces las ecuaciones paramétricas de la trayectoria para llegar a las
aceleraciones es decir a las ecuaciones paramétricas de la directriz de
aceleración el paso inverso es decir si me dan las aceleraciones o las
velocidades y me piden las ecuaciones de la trayectoria en lugar de hacerlo
con derivaciones el hacer lo mismo pero con integraciones integrando tal y
como hemos visto la transparencia anterior un paso es a veces me dan a
elegir a mi o he de elegir yo el parámetro cita para determinar la
ecuación de la trayectoria y en ese casos que parámetro cita puedo elegir
si la trayectoria viene expresada en ecuaciones horarias el tiempo será el
parámetro que yo elija para expresar las ecuaciones de la trayectoria con
lo cual me saldrán unas ecuaciones que hemos llamado ya horarias
simplemente derivando con respecto al tiempo esas ecuaciones horarias
sabemos que obtenemos directamente las ecuaciones de la odógrafa que la
trayectoria viene dada en coordenadas cartesianas lo que hemos llamado
forma explícita o implícita en la que aparece solamente x e y y además
el vector de velocidad es constante entonces deberemos elegir el parámetro
x x la componente x como parámetro quedando las ecuaciones paramétricas
de la forma que veis ahí una simplemente x igual a x porque x es el
parámetro y otra y igual a una función de x y tendremos que conocer la
relación que haya entre el parámetro que en este caso es x y el tiempo de
alguna forma nos lo darán directamente o indirectamente para que nosotros
lo calculemos como ya hemos visto otra forma puede ser que nos venga v
expresada en función del tiempo es decir que no sea constante v sino que
sea una función del tiempo o bien la aceleración en función del tiempo
que sean estos datos entonces el parámetro que tendré que elegir será el
tiempo y deberé integrar es decir dar marcha atrás como hemos visto en la
transparencia anterior hasta determinar las ecuaciones horarias final
finalmente decir que es muy útil para poder llevar a cabo todo lo citado
anteriormente el parámetro intermedio phi que veis ahí en la figura el
parámetro phi es el ángulo formado por el vector velocidad que estangenta
la trayectoria en el punto p con el eje de las x este parámetro intermedio
phi coincide con el ángulo del vector velocidad en el punto p en estudio y
nos permitirá relacionar derivada de x respecto de t es decir velocidad
componente de la velocidad en la dirección x y derivada de y respecto de t
es decir componente de la velocidad en la dirección y con x y con y de la
siguiente forma ya lo hemos dicho pero insisto mucho en esto porque es muy
importante para los problemas y el ángulo phi es ésta dado que v es
tangente a la trayectoria la pendiente de la tangente a la trayectoria en
un punto o sea la tangente del ángulo que forma con el eje x es esa
derivada de y respecto de x a partir de ahí conociendo la tangente ya
sabemos como calcular el coseno porque ya sabemos que es la raíz cuadrada
de 1 partido por 1 más tangente al cuadrado si sustituimos tangente por
derivada de y respecto de x pues es raíz cuadrada de 1 partido por 1 más
derivada de y respecto de x al cuadrado lo mismo el seno sería igual a la
raíz cuadrada de derivada de y respecto de x al cuadrado partido por 1
más derivada de y respecto de x al cuadrado y una vez conocido esto la
derivada de x respecto de t será igual a v por coseno de phi sino ver el
triángulo rectángulo que aparece ahí en la figura de la derecha
triángulo rectángulo formado por v como hipotenusa vector v vector
velocidad como hipotenusa y derivada de x respecto de t como un cateto y
derivada de y respecto de t como el otro cateto y phi siendo phi el ángulo
formado entre v y el eje de las x por lo tanto ahí sale que derivada de x
respecto de t es v por coseno de phi y derivada de y respecto de t es v por
seno de phi con lo cual tengo determinados derivada de x respecto de t y
derivada de y respecto de t que es lo que me faltaba en los problemas que
aparecen ahí relacionados queda claro esto que acabamos de decir y nada
más muchas gracias por vuestra atención