Bien, continuamos con la grabación del módulo C1, Cinemática del Punto.
En este submódulo, que hemos denominado como C1b, vamos a hablar, o
daremos algunas indicaciones sobre coordenadas polares que nos servirán
para las cilíndricas también y para las esféricas, dejando el estudio de
estas últimas, cilíndricas y esféricas, es para el alumno, por sí
mismo, a través de la bibliografía básica de la asignatura. También
expondremos algunos conceptos sobre los movimientos centrales, pues si bien
no están incorporados a los temas de Cinemática de esta asignatura, sí
nos van a servir como adelanto para el tema 7. Y además nos vendrá muy
bien como complemento de los problemas de Cinemática que nos van a servir
para el tema 7. Que vamos a mandar a través de la colección de problemas
de la tutoría. Empezamos con el movimiento en coordenadas polares. Y aquí
queríamos decir, a pesar de que está perfectamente explicado en el libro
de Mariano Artés, queríamos añadir unos cuantos conceptos, algunos que
son repetición de lo que viene ya en dicho libro. En coordenadas polares,
la ecuación de la trayectoria de un punto M, un punto M, un móvil M, que
se mueve tal y como veis ahí en la figura de la derecha superior, se mueve
a través de una trayectoria, que está pintada como una línea curva ahí,
pues en coordenadas polares, repito, la ecuación de esta trayectoria
vendrá dada por la función ro igual una función de un parámetro que
hemos llamado cita, la transparencia. Siendo ro el radiovector de posición
del punto M en la trayectoria C. Este radiovector tiene como origen el
punto O, como veis ahí en la figura derecha superior, punto O que vamos a
llamar polo, y tiene como extremo el punto M, que es el punto móvil, el
punto que queremos estudiar, que se mueve a lo largo de la trayectoria C.
El ángulo cita o el parámetro es un ángulo formado por el radiovector ro
con el eje X. A este eje le vamos a llamar eje polar. Es decir, que
pondremos punto polar, punto O, y eje polar, en este caso, llamado también
eje X, que es a partir del cual se toma el parámetro cita o ángulo, que
forma entre el eje polar, o sea, el eje polar con el radiovector ro. Las
ecuaciones horarias que definen el movimiento de este punto M vendrán
entonces dadas por ro igual a una función de T y cita igual a una función
de T. Esta es la expresión de las ecuaciones horarias que definen el
movimiento del punto M, dentro de la trayectoria C. Es conveniente referir
los vectores velocidad y aceleración a una base formada por los vectores
unitarios, que ya sabemos que reciben el nombre de versores, que en este
caso son U sub ro y U sub cita, tal y como veis ahí en la figura. U sub ro
es el vector unitario o versor que define la dirección del radicador, que
es el radiovector ro. Y U sub cita es el versor o vector unitario que
define la dirección perpendicular al radiovector ro y que hemos llamado U
sub cita. Esta es una base móvil, porque se mueve con el punto o con el
móvil denominado ahí en la figura M y precisamente esta es su mayor
utilidad. Que sea móvil. Cualquier vector expresado en esta base móvil es
el contemplado por un observador ligado al sistema de referencia OXI, que
es el sistema de referencia fijo, que no se mueve, aunque las componentes
de dicho vector vengan expresadas no en la dirección de los ejes fijos X e
Y, es decir, no en la dirección de Y latina y J latina para representar
como ya sabemos las direcciones de los ejes coordenados X e Y en
coordenadas cartesianas. Sino que va a venir representado en la nueva base.
La base formada por los vectores unitarios U sub ro y U sub cita que ya
sabemos que es móvil. Sin embargo, vuelvo a repetir, cualquier vector
expresado en esta base móvil es el mismo que observa cualquier observador
que está ligado al sistema de referencia fijo OXI. Al fin y al cabo, es un
vector que tiene un módulo y una dirección determinada y cuyas
componentes sobre el eje, perdón, sobre la base de los ejes del sistema de
referencia fijo OXI eh... darán como resultado el mismo vector que la suma
de componentes de ese mismo vector representadas en la componente móvil U
sub ro y U sub cita. Lo único que hemos de tener cuidado es a la hora de
derivar con respecto al tiempo cualquier vector representado en esta base
móvil puesto que cualquier expresión que contenga estos vectores en la
base móvil al ser móviles vectores unitarios U sub ro y U sub cita estos
vectores tienen derivación porque no son constantes si bien su módulo es
constante porque tiene de módulo uno ambos vectores su dirección no es
constante porque se va moviendo con el móvil M a lo largo de la
trayectoria por lo tanto aquí estos vectores sí que tienen derivación
por lo tanto cuando derivemos intentamos derivar pretendamos derivar una
expresión que contenga o sea que tenga este vector dado por sus
componentes en la base móvil tenemos que tener en cuenta que también los
versores unitarios tienen derivación que hay que derivarlos también y
esto como debemos recordar del cálculo vectorial y si no nos remitimos a
las grabaciones que existen ya desde esta tutoría implica que hemos de
añadir el término complementario de Poisson para derivar repito cualquier
vector expresado en esta base móvil esta estos términos complementarios
serán estos que vemos aquí cuando tratemos de derivar el vector unitario
ro con respecto al tiempo esto se sabremos que será igual a derivada del
ángulo cita con respecto al tiempo multiplicado por el vector u en la
dirección cita vector unitario y cuando intentemos derivar el vector u
subcita unitario vector unitario con respecto al tiempo sabremos que es
igual a menos derivada de cita respecto de t de la velocidad en coordenadas
polares bueno ya sabemos que como siempre la velocidad resulta de derivar
la expresión del radio vector y en este caso si estamos en coordenadas
polares el radio vector vendrá expresado en coordenadas polares de esta
forma vector r igual a radio vector módulo del radio vector o longitud del
radio vector ro multiplicado por el vector unitario o versor que define la
dirección precisamente del radio vector u sub ro derivando esta expresión
con respecto a t obtenemos que será igual a derivada de ro respecto de t
por u sub ro más ro por derivada de cita respecto de t por u sub cita como
vemos hay dos componentes de la velocidad del vector velocidad en
coordenadas polares uno en la dirección de u sub ro es decir en la
dirección del radio vector que es la derivada de ro respecto de t y otra
componente en la dirección de u sub cita perpendicular al radio vector que
es ro por derivada de cita respecto de t y si queremos determinar la
aceleración del móvil m lo que tendremos que hacer como siempre es
derivar el vector velocidad con respecto al tiempo si derivamos este vector
velocidad que acabamos de definir con respecto al tiempo teniendo siempre
siempre delante y siempre claro que ahora los vectores u sub ro y u sub
cita al variar de posición al variar su dirección si que tienen derivada
por lo tanto hay que derivarlos también con respecto al tiempo pues
obtendremos esta expresión de la aceleración que asimismo contiene dos
dos términos uno que es derivada segunda respecto de t dos veces menos ro
por derivada de cita respecto de t al cuadrado que es la componente del
vector aceleración según la dirección del vector de posición u sub ro y
otra componente perpendicular a la anterior que es dos por derivada de ro
respecto de t por derivada de cita respecto de t más ro por derivada
segunda de cita respecto de t dos veces multiplicado por la componente
según u sub cita perpendicular estos vectores los vemos ahí representados
el vector velocidad en la figura central de la derecha siempre será un
vector tangente a la trayectoria en el punto que estemos estudiando en este
caso el punto m tiene dos componentes uno en la dirección del vector ro
tal y como decíamos antes llamado cuyo módulo sabemos que es ro prima
derivada de ro respecto de t recordar que un punto encima de una letra
significa derivada respecto al tiempo de ese de esa magnitud por lo tanto
como hemos dicho el componente de velocidad según la dirección del radio
vector será derivada de ro respecto de t y la componente de la velocidad
según la dirección u sub cita o perpendicular al vector ro será ro por
derivada de cita respecto de t la suma de los dos componentes evidentemente
dará la velocidad que será un vector tangente a la trayectoria en el
punto en estudio y lo mismo ocurre con la aceleración tendremos la
aceleración total resultante en un punto de un móvil m que en este
momento se encuentra en el punto m de la trayectoria y esta aceleración
tendrá dos componentes una en la dirección del radio vector ro será
gamma su ro le hemos llamado ahí y otra en la dirección perpendicular al
vector ro que es gamma su cita cuyas expresiones acabamos de decir cuales
son cuyos módulos acabamos de decir cuales son los que hemos acabado de
definir hace un momento en la en la fórmula de la aceleración en que voy
a subrayar ahora en rojo este es el módulo en la dirección u sub ro
calculado de esa forma derivando el radio vector ro con respecto al tiempo
dos veces y restándole ro a distancia del radio vector por la derivada de
cita respecto de t al cuadrado y el módulo según la dirección u sub cita
perpendicular al radio vector que se calculará de esta forma 2 derivada de
ro respecto del tiempo por derivada de cita respecto del tiempo más la
longitud del radio vector ro por la derivada segunda de cita respecto del
tiempo dos veces además nos va a venir en un bien para todos los problemas
que vamos a hacer y que vamos a expresar en coordenadas polares una
expresión que nos da el ángulo cita que veis aquí en la figura del medio
ángulo cita que acabo de remarcar en amarillo que es el ángulo, perdón
cita no fi es el ángulo formado por la componente de la velocidad en la
dirección con la resultante v de la velocidad el conocer ese ángulo nos
vendrá muy bien en muchos problemas y ese ángulo lo conocemos pues muy
fácilmente a través del triángulo rectángulo formado por el vector v el
vector componente de v en la dirección u sub ro y el vector componente de
v en la dirección u sub cita forman un triángulo rectángulo cuando
aplicando trigonometría sencilla pues sabemos que tangente de el ángulo
fi será igual al módulo del vector v a la componente del vector módulo
de la componente del vector v en la dirección cita partido por el módulo
de la componente de v en la dirección ro y como ya sabemos cuales son
estos módulos esto será igual a ro por derivada de cita respecto de t
partido por derivada de ro respecto de t que multiplicando nos queda igual
a ro partido por derivada de ro respecto de cita es una forma sencilla de
calcular la tangente del ángulo fi dividiendo la longitud del radio vector
ro entre la derivada de ro respecto de cita vais a ver ejemplos de esto
suficientemente expresivos y con la cantidad suficiente como para dominar
el tema en el fondo de la transparencia codificados con las iniciales cp de
cinemática del punto los expresados en color rojo serán problemas que se
hagan o por lo menos se intenten hacer en las tutorías de la asignatura
seguimos adelante vamos a ver ahora un término que nos va a aparecer en el
tema 7 de la asignatura que es velocidad areolar para eso nos vamos a fijar
en las figuras que aparecen en la derecha de la transparencia y empezamos
por la superior sea un punto m que se mueve sobre una trayectoria que es la
que está pintada ahí en la figura en forma de línea curva tracemos el
vector de posición de m que hemos denominado hemos llamado r y que nos
define la posición del móvil m en un punto en un instante determinado y
tracemos la radio vector también de posición de la posición de m en un
instante diferencial después de instante inicial del móvil es m unos
milisegundos un diferencial de tiempo después el móvil mismo m se
encuentra en el punto m1 tracemos el radio vector r más diferencial de r
para indicar la posición del móvil un instante después del inicio hemos
llamado m1 el vector si unimos los puntos m y m1 con un vector cuyo origen
sea m y cuyo extremo es m1 observaremos que es justamente el vector
diferencial de r puesto que si restamos r más diferencial de r menos el
vector r nos dará el vector que tiene como origen m y como extremo m1 y
que es justamente diferencial de r sabemos por cálculo vectorial que el
producto vectorial de dos vectores r y diferencial de r que acabamos de
definir en la figura es igual a dos veces el área del triángulo om m1 si
realizamos el cálculo vectorial del vector r por el vector diferencial de
r nos va a salir el área del triángulo om m1 que está ahí sombreada en
la figura multiplicado por dos y que esta área es un área diferencial es
un área muy pequeña puesto que el vector m m1 diferencial de r que le
hemos llamado es un vector chiquitín infinitamente pequeño es un vector
tendiendo a cero puesto que m y m1 están muy próximos además también
sabemos que esta área está representada por un vector un vector que ha de
ser perpendicular al plano formado por los vectores r y diferencial de r
por algo para calcular esta área esta diferencial de área que es un área
muy pequeña multiplicado vectorialmente el vector r por el vector
diferencial de r ya sabemos que el resultado de un producto escalar es un
vector perpendicular al de los dos vectores que se multiplica por lo tanto
el vector diferencial de a será un vector perpendicular al plano formado
por r r más diferencial de r y diferencial de r al plano que está
sombreado el triángulo anterior se va agrandando y así mismo lo hará el
área encerrada dentro del mismo que llamaremos área barrida por el radio
vector del móvil m es decir, será el área que vaya barriendo el vector r
vector de posición r a medida que m va avanzando a lo largo de la
trayectoria si dividimos esta área barrida entre el tiempo invertido en
barrerla la velocidad areolar que es lo mismo que velocidad del área
barrida o área barrida en la unidad de tiempo luego la velocidad areolar
de un móvil puntual m respecto a un punto o es la derivada del área
barrida por el radio vector de posición om respecto al tiempo por lo tanto
velocidad areolar, vamos a poner como v sub ar v en negrita porque es un
vector será igual a derivada del vector área partido por o sea con
respecto al tiempo que será igual a un medio, recordar que el área del
triángulo es la mitad del producto vectorial diferencial de a es la mitad
del producto vectorial de r entonces un medio de producto vectorial de
vector r diferencial de r que es diferencial de a partido dividido por
diferencial de t pero claro derivada, diferencial de r partido por
diferencial de t es v por lo tanto esto es igual a un medio del producto
vectorial del vector r por el vector v, esto es la velocidad areolar que es
un vector que tiene la misma dirección que el vector diferencial de área
diferencial de a que hemos visto anteriormente por lo tanto es un vector
perpendicular a los vectores r y v lo vemos en la parte inferior, en la
figura inferior de la transparente vemos que ahora está el vector r que
define el punto m en un instante determinado en ese instante determinado el
móvil m tenía una dirección v tangente a la trayectoria del punto m y el
producto vectorial de r por v dividido entre dos es la velocidad areolar
tal y como hemos visto en la transparencia, pero la mitad del producto
vectorial de r por v es el área del triángulo omv área del triángulo
que veis ahí sombreada y este es un vector perpendicular a ese plano
formado por r y por v que hemos llamado vector regular y que tiene la misma
dirección que el área barrida por el vector m ya veis como el área el
área diferencial de a el área barrida por el vector r en una infinitesima
de tiempo era un área diferencial pero sin embargo la velocidad areolar en
el punto m del móvil en un punto m de la trayectoria no es ya diferencial
porque es el área del triángulo formado por el vector de posición r y el
vector v ya no es diferencial es finito por lo tanto el área del
triángulo sombreado en la figura inferior que representa la velocidad
areolar ya no es diferencial no es pequeña no tiende a cero sino que es
finita la aceleración sería similar hay que derivar la velocidad areolar
con respecto al tiempo aceleración areolar que sería la aceleración de
la velocidad areolar aceleración de el área barrida por el vector de
posición r de un móvil m que se mueve en una trayectoria c con respecto
al tiempo que sería los cambios de velocidad areolar con respecto al
tiempo esa es la aceleración areolar y esto se calcula derivando la
velocidad areolar con respecto al tiempo que nos daría igual a un medio
del producto vectorial del vector r de posición multiplicado mmm
vectorialmente por el vector gamma gamma es la aceleración del punto m en
su recorrido por la trayectoria generalmente los problemas en los que
aparece la velocidad areolar son de movimientos planos es decir movimientos
en un plano no en el espacio tal y como está dibujado ahí las figuras de
la transparencia y también normalmente estos problemas mmm se resuelven
mejor expresándolos en coordenadas polares y también normalmente para
resolver estos problemas usaremos los determinantes para resolver el
producto vectorial de lo que hemos estado hablando hasta el momento así
por ejemplo para calcular la velocidad areolar que sabemos que es un medio
del producto vectorial del vector r por el vector v será igual a un medio
del producto vectorial de r por v que sabemos que mmm se expresa se calcula
a través de un determinante que tiene en la fila superior los vectores
unitarios o versores que nos indican las direcciones mmm de en este caso si
estamos utilizando esto mmm coordenadas polares pues las direcciones que
nos identifica a las coordenadas polares que serán u sub ro y u sub z si
pretendemos calcularlo en el espacio habrá que añadir también la
dirección en u sub z tal y como figura ahí en la figura el vector r
estará representado pues por un vector que tiene un módulo r según la
dirección del vector de posición y cero en la dirección cita y cero en
la dirección z y la velocidad hemos dicho hace un momento que tiene dos
componentes en la dirección de u sub ro tiene la componente de derivada de
r respecto de t y en la dirección u sub z tiene la componente ro por
derivada de z respecto de t y como estamos trabajando hemos dicho antes en
el plano no en el espacio en la dirección z tiene la componente cero ya
casi nos podíamos haber evitado la componente z si estamos hablando de un
plano pero bueno para ser más general lo hemos puesto para hacerlo más
general haciendo operaciones resolviendo este determinante esto nos
quedaría igual a de ro al cuadrado por derivada de cita respecto de t y
multiplicado por el vector unitario u sub z es decir este es una componente
en la dirección z ya casi podíamos evitar el poner incluso el versor o
vector unitario u sub z puesto que si trabajamos en un plano como hemos
dicho antes repito que la mayor parte de estos problemas nos van a salir
del plano y si elegimos el plano x o y evidentemente la velocidad areolar
ha de ser siempre perpendicular al plano formados por los vectores r y
diferencial de r o dicho de otra forma al plano formado por los vectores r
y v tanto r como v han de estar en el plano x o y evidentemente sabemos que
la velocidad areolar ha de ir siempre en la dirección z por lo tanto no
hace falta indicar el versor que define la dirección z o sub z puesto que
ya se da como entendido en ocasiones puede interesar en algunos problemas
la velocidad areolar que la calculemos en coordenadas cartesianas porque no
nos dan elementos suficientes como para poder expresar eeeh el posición
del punto m del móvil m en coordenadas cartesianas entonces tendremos que
calcularlo en coordenadas perdón eeeh no nos dan elementos suficientes
para poder determinar la posición del vector m en coordenadas polares por
lo tanto tendríamos que expresarlo en coordenadas cartesianas por eso es
conveniente también saber como procederíamos si se nos da este caso bueno
pues esto es lo que veis aquí velocidad areolar como siempre es igual a un
medio del vector r posición del móvil multiplicado por el vector v que
tiene el móvil en esa posición que estamos estudiando igual a un medio
ahora como estamos trabajando en coordenadas cartesianas pondremos los
versores que nos identifican las tres direcciones x y z y j k a
continuación representaremos el vector r que al ser un vector que está en
el plano x o y pues solamente tendrá la componente x y la componente y la
componente según z será cero y a continuación expresamos lo mismo el
vector v que al estar también en el plano x o y por ser un problema como
es la mayoría de este tipo planar pues tendrá una componente x derivada
de x respecto de t eeeh en la dirección x derivada de y respecto de t en
la dirección y siendo la velocidad según en la dirección z cero haciendo
este cálculo el determinante y dividiendo entre dos pues nos saldría esta
expresión que es así mismo un vector que representa la velocidad areolar
y que va en la dirección del eje z puesto que hemos elegido el plano x o y
como el plano de trabajo y ya pasamos a los movimientos centrales un
movimiento es central cuando su aceleración o su fuerza resultante fuerza
resultante aplicada sobre el mismo pasa por un punto fijo o a lo largo de
todo el movimiento ahí lo tenéis a la derecha tenemos un móvil m que se
desplaza sobre una trayectoria curva representada por la letra c y este
móvil en un momento determinado tiene una aceleración cuyo sentido es la
del vector que veis aquí y que va dirigido hacia el punto o si este móvil
en cualquier posición dentro de la trayectoria c su aceleración siempre
va dirigida hacia el mismo punto o diremos que este móvil m tiene un
movimiento central porque decimos que da lo mismo decir que su aceleración
pasa por un punto fijo o que decir que la fuerza resultante sobre el móvil
m siempre pasa por un punto fijo o pues esto es de acuerdo con la segunda
ley de Newton que nos dice que las aceleraciones están directamente
relacionadas con las fuerzas aplicadas sobre un móvil luego donde decimos
aceleración también podríamos decir fuerza resultante según la segunda
ley de Newton las dos son o están directamente relacionadas así en los
problemas que vamos a ver ahora de cinemática cuando hablemos del
movimiento central deberemos entender que su aceleración pasa siempre por
un punto fijo o a lo largo de cualquier punto que esté en la trayectoria
sin embargo en el tema 7 de la asignatura que es cuando se va a aplicar
estos conceptos mayormente se va a hablar de fuerzas en lugar de
aceleraciones por tanto hablaremos de movimientos centrales cuando la
fuerza resultante aplicada sobre el móvil m que se mueve a lo largo de la
trayectoria c siempre tenga una dirección gamma y de posición del móvil
r pasan por el mismo punto o quiere decir que son colineales los dos tienen
la misma dirección la aceleración areolar entonces que hemos visto en la
transparencia anterior que es un medio del producto vectorial del vector r
por el vector gamma será igual a cero puesto que r y gamma tienen la misma
dirección y el producto vectorial de dos vectores que tengan la misma
dirección es cero y esto quiere decir que el vector velocidad areolar es
constante claro al ser gamma areolar constante es cero quiere decir que
velocidad areolar es constante ya que aceleración areolar tiene una
velocidad areolar respecto al tiempo si aceleración es cero quiere decir
que la velocidad si el vector velocidad areolar es constante entonces
obliga a que el movimiento transcurra en un plano que pase por o si este
vector velocidad areolar que estoy remarcando ahora en amarillo es
constante quiere decir que no solamente es constante su módulo es decir su
longitud sino que también es constante su dirección no se mueve del sitio
en cualquier posición que se encuentre el vector perdón el móvil m de la
trayectoria cualquier punto de la trayectoria donde se encuentre tiene
siempre el mismo vector a velocidad areolar lo cual quiere decir que o
demuestra que el movimiento del móvil m transcurre en un plano que pase
por o en ese plano que está ahí sombreado para evitar cambios de
dirección en el vector velocidad areolar durante el movimiento si el
vector areolar variara de dirección quiere decir que no sería el
movimiento planar en dos planos diferentes pero como el vector areolar que
es siempre perpendicular al plano formado por el vector r y por el vector v
es constante no se mueve del sitio ni el módulo ni dirección quiere decir
que siempre el móvil m se mueve en un plano en el mismo plano formando el
mismo esto es una característica muy importante del de los movimientos
centrales y que luego ya veremos aplicado su aplicación cuando hablemos al
tema 7 en los problemas de movimiento central tomaremos el movimiento en un
plano cómodo si me dicen que el movimiento del móvil m siempre es en un
plano y yo quiero estudiar el movimiento de ese punto m elegiré cualquier
plano el que más justo me dé colocaré los ejes de referencia el tríodo
de referencia x y z de tal forma que me sea fácil el cálculo en
definitiva puedo calcular poner los ejes x e y de tal forma que me coincida
con el plano formado por el vector r y por el vector v por lo tanto todo el
movimiento de m a lo largo de la trayectoria c estará situado en el plano
x o y que es un plano cómodo para mi y eso es lo que trato de dibujar
aquí en la figura inferior he puesto el plano del papel así en forma de
cuadrilátero y sobre él he colocado el eje x y el eje z que coincide con
la velocidad areolar vale como voy a calcular como voy a utilizar perdón
como he dicho hace un momento para resolver este tipo de problemas
normalmente las coordenadas polares pues el eje x será el eje polar el
punto o será el polo y el ángulo z será la otra variable y la r y la z
serán las variables las coordenadas cartesianas en definitiva que
posicionan en cualquier punto de la trayectoria entonces el triángulo
formado por rv que lo veis ahí sombreado el área de ese triángulo es
como ya sabemos la velocidad areolar y se calcula como hemos dicho antes un
medio del producto vectorial del vector r por el vector v dado que para
este tipo de movimientos la velocidad areolar ha de ser constante de los
movimientos centrales entonces se ha de cumplir que ro cuadrado por
derivada de z respecto de t que era el doble de la velocidad areolar ha de
ser constante por lo tanto ha de ser igual a c esta es una característica
muy importante y que vamos por lo tanto usar muy a menudo en los problemas
cuando un movimiento es central tiene dos características como hemos dicho
importantes o si queréis tres primera su aceleración o la fuerza
resultante sobre el móvil ha de pasar siempre por el mismo punto segunda
el movimiento es planar es decir el movimiento del móvil m a lo largo de
la trayectoria c forma un plano el área parrida por el radio vector r a
medida que se desplaza el móvil por la trayectoria forma un plano y
tercera característica ro al cuadrado por derivada de z respecto de t ha
de ser constante es decir la velocidad areolar ha de ser constante estas
tres características son las que definen los movimientos centrales y las
que vamos a tener que utilizar para resolver los problemas a la constante c
de esta fórmula que acabamos de decir esta última característica del
movimiento central se llama constante de áreas y es el doble como acabamos
de decir de la velocidad areolar es decir es el doble del área del
triángulo formado por r y por v triángulo sombreado ahí en las figuras y
a la expresión anterior ro al cuadrado por derivada de z respecto de t
igual a constante se le llama ley de áreas en estos ejemplos que figuran
aquí 18, 27 y 28 se ven aplicaciones de esto que acabamos aplicaciones
prácticas problemas de esto que acabamos de decir en la fórmula de binet
también aplicada a los movimientos centrales para ello observemos la
figura de la derecha en ella hemos trazado los ejes un sistema de ejes
coordenados cartesianos o xy y hemos trazado una trayectoria que hemos
denominado t trayectoria que sigue un móvil m el móvil m recorre la
trayectoria con un movimiento central quiere decir que su aceleración
siempre estará dirigida hacia el punto o y en un instante determinado se
encuentra en el punto m0 se encuentra aquí y tiene una velocidad v0 como
siempre tangente a la trayectoria en ese punto m0 si o es el polo estamos
utilizando entonces coordenadas polares y ro es el vector de posición om0
vamos a llamarle ro0 y z0 es el ángulo formado por el eje polar y el
vector de posición la velocidad areolar en ese instante será el área del
triángulo om0v que es el triángulo sombreado primero que aparece de la
trayectoria podríamos conocer la velocidad de dicho móvil m sobre
cualquier otro punto de la trayectoria t es decir no cuando está en m0
sino en cualquier otro punto por ejemplo en el punto m ya sin más datos es
decir conocida la velocidad del móvil m en el punto m0 podríamos conocer
la velocidad en cualquier otro punto por ejemplo en el m sabiendo que es
movimiento central pues efectivamente la respuesta ha de ser positiva ya
que como todo tipo de movimiento central la velocidad areolar ha de ser
siempre constante independientemente de cual sea la posición del punto
dentro de la trayectoria y el vector velocidad en cualquier punto sabemos
que es tangente a la trayectoria luego conocemos su dirección en cualquier
punto por ejemplo en el m sabemos la dirección del vector v lo que no
conocemos es el módulo pero la dirección si porque es tangente a la
trayectoria en ese punto m entonces he de trazar en el punto m una tangente
a la trayectoria y formar un triángulo que es el omv de tal forma que
tenga la misma área que el triángulo omv0 que he trazado antes ya que
como esa área del triángulo representa el doble de la velocidad areolar y
la velocidad areolar es constante en cualquier punto de la trayectoria de
un movimiento central la longitud del vector v en la posición m por lo
tanto está el problema solucionado este es un problema que resolvió binet
en su día hace muchos años y que por eso se le conoce con las fórmulas
de binet es un poco farragoso su demostración para llegar al cálculo
analítico de todo esto que estamos haciendo todo esto lo hemos visto de
forma gráfica se hace fácilmente como veis pero hay que hacerlo también
de forma analítica estas son las llamadas fórmulas de binet las tenéis
demostradas suficientemente expresivamente y didácticamente en el libro de
artes por lo tanto no las vamos a volver a repetir aquí simplemente vamos
a dar sus valores finales la velocidad al cuadrado será igual a c cuadrado
que es lo que es hemos visto en la transparencia anterior multiplicado por
derivada de 1 partido por ρ con respecto a c al cuadrado más 1 partido
por ρ al cuadrado la aceleración en la dirección normal al vector de
posición ρ es 0 evidentemente porque si no fuera 0 no sería movimiento
central el movimiento central solamente tiene aceleración en la dirección
del vector de posición ρ no en ninguna otra por lo tanto la aceleración
en la dirección ρ será igual a menos c cuadrado partido por ρ al
cuadrado por derivada segunda de 1 partido por ρ respecto a cita dos veces
más 1 partido por ρ y nos vendrá muy bien también en muchos problemas
conocer la relación existente entre el vector aceleración y el vector
velocidad o mejor dicho entre los módulos del vector aceleración y del
vector velocidad y viene expresado en esta fórmula que veis ahí el
módulo del vector gamma será igual a 1 medio de la derivada del módulo
del vector velocidad al cuadrado partido o sea con relación al cuadrado
bien pues esto es todo lo que quería deciros en este módulo gracias