Música Gracias. conservativo cuando el trabajo que realiza el campo para
desplazar la masa de prueba de un punto a otro de esa zona de influencia no
depende de la ruta o del itinerario elegido, ni de la forma de la curva, ni
de siquiera de la distancia. Tan solo va a depender de las coordenadas de
los puntos iniciales y finales. Como consecuencia, si el punto inicial y
final coinciden, es decir, si es una trayectoria cerrada, el campo nunca va
a realizar el trabajo. Esto es todos los satélites alrededor del Sol,
todos los planetas, las fuerzas del campo no realizan trabajo. Son cerradas
y las fuerzas siempre en todo momento son perpendiculares a la trayectoria,
que siempre es tangente. Las fuerzas experimentadas por la partícula de
prueba se pueden extender. Esto es lo que se puede expresar como gradiente
de una función escalar. Esto es también consecuencia de estar también
bajo un campo de fuerzas centrales, pero bueno, lo veremos un poco más
adelante. Y el rotacional del campo de fuerzas es cero en todos los campos
de fuerzas conservativas. Estas son las cuatro conclusiones. En el manual
viene la demostración de las cuatro, pero yo no voy a dedicar aquí
pizarras a la demostración. Porque prefiero que la segunda parte de esta
sesión se dedique a actividades, para poner en práctica el concepto de
fuerza central. Y dentro, en el siguiente escalón, vamos hablando de
campos de fuerzas. Después campos de fuerzas conservativos y ahora campos
de fuerzas centrales. Que es un caso especial de fuerzas conservativas.
Donde las fuerzas que intervienen dependen solamente de la distancia a un
centro de fuerzas. Y después también podemos determinar lo que
миллиón de fuerzas presentan, storyاعضfish con shears etc, sh wie
ta be se entdiernan entre otras. que se habla en términos de punto fijo,
donde todas las masas de pola se ven atraídas hacia ese punto. Y aunque
parece que estamos restringiendo mucho el campo de trabajo, en realidad hay
que tener en cuenta que en la naturaleza hay gran cantidad de fenómenos
físicos que vienen expresados hoy en términos de fuerzas centrales.
Estamos hablando de la integración gravitatoria, de la integración
electrostática, y de las integraciones elásticas. Estamos hablando de los
muelles. Entonces, aunque parece que hemos restringido mucho el estudio, el
abanico de situaciones físicas en las que intervienen masas, cargas y
fuerzas elásticas es extraordinariamente amplio. En el caso de campos de
fuerzas centrales, como conservativas que son, derivan de un potencial
escalar que también va a depender de la distancia al centro de fuerzas. Y
el origen de ese potencial lo vamos a encontrar en el infinito. Claro,
siempre cuando hemos estado describiendo el campo de fuerzas que hemos
estado hablando, de ir encontrando el valor de la fuerza atractiva en cada
uno de los puntos del espacio, en realidad podemos estar haciendo lo mismo
con la función escalar, cuyo gradiente es la fuerza. Podemos ir definiendo
un valor numérico. Y el valor numérico es el valor del potencial. En el
caso gravitacional, es negativo. Negativo viene a decir, en este caso, que
es la energía que hay que gastar para poder liberar del campo gravitatorio
a esa masa de prueba. Siempre es atractivo. Si la masa de prueba, en vez de
ser de un kilogramo, es de un valor diferente, ya nos estaríamos hablando
de potencial gravitatorio. Estamos hablando de energía potencial
gravitatoria. Cuya expresión también es una función escalar. Y definida
negativa. Que solamente es cero en el infinito. Es decir, solamente en ese
punto, las masas de prueba se verían liberadas de la atracción
gravitatoria. Esta expresión no se parece mucho a la expresión conocida
de otros cursos sobre energía potencial, que es el producto de Mg por la
altura. Pero es una aproximación cuando estamos cerca de la superficie
terrestre. O de la superficie de un planeta. Es una expresión. Aquí os
pongo una forma muy rápida. La aproximación, representando la función
energía potencial con respecto a R, que tiene la evolución obvia de la
función de 1 sobre R, justo en la presión del radio, lo podemos aproximar
a una recta. Independiente positiva, que es Mg por la altura.
Características de las fuerzas centrales. Por supuesto, dos. La
consideración de la energía total. Que al tener las fuerzas que dependen
solamente del módulo de la distancia al centro de fuerzas. Y... Diciendo
que tenemos dependencia angular, pues el sistema de coordenadas más
adecuado para trabajar es el sistema de colares. Como todas las partículas
se van a mover en un plano, porque se conserva un aumento angular total. En
vez de hablar en general de coordenadas esféricas, estamos hablando de
coordenadas esféricas en el plano. Es decir, de coordenadas polares. Cuya
expresión es esta de aquí. Esta parte de la derecha, donde como veis, el
término cinético tiene una parte de su medio de la masa por el módulo de
la distancia, su derivada respecto al cuadrado, más un término que
después lo asociaremos al término centrífugo de potencial. Más adelante
hablaré un poco más de ello. Bueno, pues esa cantidad es siempre
constante en cualquier punto de la trayectoria de una masa a prueba. Y
bueno, el movimiento de un plano se deduce, porque no varía con el tiempo,
el movimiento angular total. Es muy fácil de obtener. Donde tanto... Donde
su derivada, como veis aquí, es fácilmente comprobar que los dos
términos, los dos términos de la suma de estos dos productos vectoriales
es nulo. El primero porque los dos vectores, el movimiento lineal y el
vector de velocidad son colineales. Y en el segundo término, porque
precisamente el vector aceleración o el vector fuerza también es central,
y va de la dirección radial, con lo cual estamos en un movimiento del
plano. Otra... Otro subrayado importante dentro de la... de este tema es la
forma diferencial de Capoleo. Es decir, la forma integral que es la que
hemos visto en las primeras pizarras. Que la forma integral, pues tiene una
forma a través del... del teorema de la divergencia y la aplicación del
teorema de Gauss. Es decir, sin entrar en detalles, porque tampoco... se
demuestra en el manual base la conclusión final del teorema de Gauss. Yo
voy también a esa conclusión. Y es que... el flujo de la intensidad de
campo gravitatorio a través de una superficie en matemática cerrada es
proporcional a la masa contenida en su interior. Es decir, que si no hay
masa en su interior, no hay... Es decir, no se genera intensidad de campo
gravitatorio en esa zona. Esto... Claro, no es el objeto del tema, pero
también el campo electrostático es exactamente equivalente. También lo
puedo... En donde el campo... El flujo del campo eléctrico es proporcional
a la carga contenida en el interior. Todo porque son fuerzas. Perdón,
pero... Espero que se me oiga porque tengo la voz un poco casada. Sí que
me interesa ir, a partir de este momento, marcar un poco más los pasos,
porque hasta ahora siempre me he seguido presentando los aspectos teóricos
más relevantes del tema. El concepto de campo, de fuerzas, campo... Bueno,
fuerzas centrales, fuerzas conservativas, fuerzas centrales... Pero me
interesa cómo se mueve una masa a prueba bajo la integración de un campo
central. Describiéndolo con las coordenadas polares, las que hemos visto
hace un rato. Entonces, en este caso, yo parto de la expresión en polares
del vector de aceleración, la componente radial y la componente angular.
Entonces, en este caso, yo parto de la expresión en polares del vector de
aceleración, la componente radial y la componente angular. Entonces, en
este caso, yo parto de la expresión en polares del vector de aceleración,
Entonces, como ya parto de que sé que la fuerza es solamente la componente
radial, pues en este caso la aceleración, voy a marcarlo aquí, en este
caso la aceleración angular va a ser cero. Bien, pues el desarrollo en
términos de las componentes polares, pues lo único que hago es reagrupar,
porque es fácil de ver que la derivada de esta función, el resultado es
la igualdad anterior, y multiplico arriba y abajo por un factor 2
simplemente para identificar el contenido de la función que va a derivar,
como la velocidad aerodinámica, que es una de las leyes de Kepler, y sé
que eso es cero. De ahí la conclusión de que, en este caso, si no hay
aceleración dependiente del ángulo, podemos obtener que el movimiento
angular es constante, porque r al cuadrado por la velocidad angular, salvo
el factor de la masa, pues ahí tenemos escondido el valor del movimiento
angular total. Mientras que la componente radial, su expresión en
radiales, la componente radial es la que os indico aquí, multiplicado por
la masa tengo la fuerza central, y sustituido el valor de esa constante, es
precisamente el valor del movimiento angular total, pues tenemos su
expresión. Estas, en principio, son las ecuaciones diferenciales que me
permitirían calcular el valor de la fuerza central en cada uno de los
ejercicios. Combinadas con la conservación de la energía y del movimiento
angular, pues tengo un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales, en las
que me permitirían calcular en diferentes situaciones. Bien, en el caso de
energía total, su expresión en coordenadas polares es esta, sin embargo,
del término cinético, separamos la parte del movimiento angular y lo
introducimos en la parte del potencial, redefiniendo el potencial como un
potencial efectivo. Un potencial efectivo que tiene una parte definida
positiva, que es la del movimiento angular. Más el potencial real
gravitatorio que la segunda parte, que es la función de escala. Estudiando
los valores del potencial efectivo en ejercicios, en la segunda parte de la
sesión, veréis que se han de cumplir dos condiciones para que esa
trayectoria sea circular. Y una es que este potencial efectivo ha de ser
mínimo, y segundo, que la velocidad ha de ser uniforme, no ha de variar
con el tiempo. Bien, pues avanzando un poquito más en las ecuaciones
diferenciales, pues estas dos ecuaciones de la aceleración angular y
radial y la aceleración de la energía del momento, pues me permiten tener
expresiones de la velocidad de esa masa de prueba bajo los efectos del
campo y la evolución de sus coordenadas, de la coordenada angular y de la
coordenada radial. Claro, para obtener, bueno, para conocer el valor
exacto, yo tenía que conocer el valor del potencial a que se ve sometida
esa masa, esa masa prueba. Pero bueno, estas en principio serían las
expresiones integradas de las coordenadas. Hay otra forma de obtener estas,
la trayectoria de una partícula, que es a través de las ecuaciones o las
fórmulas de Binet, de Binet o de Binet. Partiendo de la constancia de la
velocidad aero-horar y de la expresión radial de, bueno, en coordenadas
polares, de la fuerza. Es decir, aquí lo he simplificado un poco, pero
bueno, el resultado es exacto y voy a tener una ecuación diferencial en la
que si me dan la fuerza, yo podré determinar cuál es la trayectoria que
genera esa fuerza central, y al revés. Es decir, si yo conozco la
trayectoria, podré, aplicando esta ecuación diferencial, conocer cuál es
la fuerza central que ha originado este tipo de trayectoria. Es decir, esta
es la ecuación diferencial y para lo que sirve la fórmula de Binet.
Bueno, la primera parte, yo aquí, esto es un juego de diferenciales. Es
decir, en el juego de diferenciales yo os aconsejo que tratéis las
diferenciales de una manera con respecto al tiempo, por ejemplo, como si
fuesen numerador y denominador de una fracción. En el sentido que, por
ejemplo, la primera derivada de la posición, si multiplico y divido por la
diferencial angular, no altera el producto. Y después, como veis aquí, en
esta primera parte, multiplico y divido por la diferencial angular, con lo
cual, salgo aquí precisamente la primera derivada del ángulo, que está
relacionada con el ángulo, con L, que es L partido por M, que es la C que
hemos definido aquí, y obtengo esta expresión de R punto. Si vuelvo a
derivar R punto de nuevo, vuelvo a multiplicar y dividir por el elemento
diferencial de ángulo, lo vuelvo a tener aquí, y obtengo la derivada con
respecto al ángulo de R punto, que es fácil de ver, que es esta
expresión de aquí. Estas dos expresiones las voy a sustituir en la
expresión de la aceleración radial que he obtenido en la pizarra
anterior, en la expresión de la aceleración radial, es decir, esta de
aquí, en la expresión radial de esta de aquí. ¿De acuerdo? Con lo cual,
desarrollando este corchete, llego a una expresión, que es esta de aquí,
que es la fórmula de Wiener, donde me relaciona el valor de la trayectoria
con el valor de la fuerza central. En la diapositiva siguiente, tenemos la
expresión, que es esta de aquí, que es la expresión de Wiener, en donde,
si me dan el valor de la fuerza central, yo puedo obtener la R, puede ser
más o menos complicada su resolución, o al revés, si me dan la
posición, yo puedo calcular la fuerza central general. Que es un poco lo
que hacemos a continuación para el caso donde la fuerza sea la fuerza
gravitacional, entre dos masas. La f de R pongo su valor y obtengo esta
ecuación diferencial. ¿Cuáles son las posibles soluciones? La familia de
soluciones, es decir, trayectorias que cumplen esa ecuación diferencial,
es esta expresión de aquí, donde A es un parámetro. ¿De acuerdo? Ese
conjunto de familias de R son las que verifican esta posición. Entonces,
resumiendo, pues estas trayectorias no son todas cerradas, dentro del campo
gravitacional, las hay cerradas abiertas. Entonces, manipulando esta
expresión, llegamos a una expresión de todas las trayectorias donde
dependen de dos parámetros, que es el parámetro P y el parámetro E, en
donde, en función de la excentricidad, pues si esta excentricidad es 0,
tengo una circunferencia. Si es entre 0 y 1, es una elipse, ahí acaban las
órbitas cerradas. Y si es 1 o mayor que 1, tengo órbitas abiertas, 1 es
una parábola, y más de 1 es una hipérbola. Esta expresión la podemos
encontrar en función de R y también en función de la energía, que es
esta que tenemos aquí. En función de la energía, quizás es más
intuitivo, porque si la masa de prueba, el satélite, tiene energía
suficiente, de tal manera que su energía total es positiva, no va a estar
en una trayectoria cerrada, es decir, se va a escapar. Entonces, si la E es
1, pues esto es 0, la energía total es 0, pues estamos en el caso de una
parábola. Y si es mayor que 1, estamos en una parábola más abierta, una
hipérbola. En el caso de 0, tenemos que la energía total ya es negativa,
domina este síndrome que tenemos en la parte de delante, en el cual
tenemos una circunferencia, y si la E no es 0, pero su valor hace que esto
siempre se mantenga positivo, pues la energía total seguirá siendo
negativa. En este caso tenemos una velocidad variable y la órbita cerrada
será una elipse. ¿De acuerdo? Muy bien. Las leyes de Kepler, en el caso
de las leyes de Kepler, bueno, por supuesto, hay una que ya la hemos estado
viendo en pizarras anteriores, y es que la velocidad aeronáutica es
constante, ya que las fuerzas centrales, la componente angular es 0, y eso
determina que el movimiento angular sea constante y su velocidad, es decir,
el área recorrida por unidad de tiempo sea siempre la misma. Integrando el
área total recorrida en un periodo, pues nos sale la tercera ley de
Kepler, que es tan sencillo como esta, en donde obtenemos el valor del
periodo en función de la masa central situada en uno de sus focos. Muy
bien. En cuanto a la masa reducida, solamente comentaros una cosa. Es muy
útil, muy práctica, cuando de las dos masas que estamos determinando de
la interacción gravitatoria, una es mucho mayor que la otra. Es decir,
daros cuenta que aquí la masa reducida, el sistema de referencia siempre
es el centro de masas de ambas masas. Si las dos masas son más o menos del
mismo orden de magnitud, ese centro de masas será externo a ambas masas.
Eso significa que más o menos será responder al diagrama que tengo en
esta pizarra. El punto alrededor del cual están las dos masas es exterior
a ambas, entonces R1 y R2 y las posiciones de R del centro de masas son las
que vienen definidas. Pero si una masa es mucho mayor que la otra de tal
manera que el centro de masas de ambas masas se encuentra dentro de la masa
grande, entonces sí que es muy práctico utilizar el sistema de masa
reducida. Porque prácticamente el origen de coordenadas está en el
interior de una de las dos masas. Por ejemplo, cuando estamos hablando del
Sol y la Tierra. La masa del Sol es tan abrumadoramente mayor, que son seis
órdenes de magnitud más, que el centro de masas entre Sol y Tierra
prácticamente está dentro del Sol. Eso hace que la masa reducida del
sistema Sol-Tierra pues prácticamente esté asociada al valor de la
Tierra. Al valor de la Tierra. Daros cuenta de que tal y como está
definido aquí si estamos hablando del Sol-Tierra M1 sería la masa del Sol
M2 la masa de la Tierra La masa total prácticamente sería la masa del Sol
porque si a una cantidad muy grande le añado algo muy pequeño
prácticamente la suma total no cambia Con lo cual la masa reducida sería
prácticamente la masa total. La masa de la Tierra. Y permitiría pues
reducir bastante las ecuaciones y tratar el sistema como la atracción de
la Tierra respecto al centro de fuerzas que estaría en el centro del
sistema solar. El sistema de masa reducida no es tan práctico cuando las
masas que intervienen pues más o menos son del mismo orden de magnitud y
eso verdaderamente complica un poco. complica un poco. Muy bien. Ahora en
la segunda parte nos vamos a dedicar a ejercicios de aplicación sobre todo
de fuerzas centrales. Como os dejé esta sesión hace ya unas semanas pues
bueno esto os permitiría verlos con calma de tal manera tengo, porque
desde que alojé hasta ahora pues he ido añadiendo alguna cosa os dejaré
el enlace en academos de algún problema más que he añadido siempre sobre
el tema central, que son las fuerzas centrales. Bueno, en este caso es una
cuestión sacada de un problema de hace un par hace tres convocatorias,
tres años, tres o cuatro años no recuerdo muy bien el dato me ha hablado
de una partícula de masa M esta podría ser la masa de prueba se mueve en
una región donde existe un potencial que es la cuarta potencia de R para
qué valor de energía en momento angular en la órbita es una
circunferencia cuál es el periodo y bueno, bien, pues por ser una fuerza
central con la dependencia del potencial la energía total en momento
angular se conserva si la condición del problema es que tengo que
encontrar la órbita circular pues en una órbita circular pues siempre se
va a cumplir que la fuerza gravitacional atractiva en módulo va a ser en
todo momento igual al valor de la fuerza científica, que intenta sacarlo
de su trayectoria circular y hacer lo que se hace por atrás con lo cual a
partir del valor de potencial calculo el gradiente y en módulo igualo las
dos expresiones y me da una expresión para la velocidad digamos la
velocidad orbital en términos de la constante k definida colectiva y el
valor de la masa muy bien entonces en este caso la energía del sistema en
una órbita circular pues es importante que veáis este resultado es decir,
si es una órbita circular la velocidad a la que se mantiene esa masa a
prueba, ese satélite es constante si es constante la energía total pierde
un término, de ahí que se iguale a la energía potencial efectiva voy a
pasar unas unas pizarras más atrás, estoy en la 17 pero para reforzar mi
argumento estamos en aquí la expresión de energía total tiene el
término cinético el término cinético y el término del potencial
efectivo pues bueno, en una órbita circular este r al cuadrado es cero
porque la velocidad el módulo de la velocidad orbital es constante para
hacer esto cero hace que el término de energía total que me queda es
precisamente el término de 1 medio de m por el término centrífugo que es
este más el potencial es una de las condiciones esto es importante no
olvidarlo porque si no, los cálculos los tendríamos mal entonces
volviendo a la 17 que era donde estaba pues me desaparece el término de 1
medio de m por r punto al cuadrado con lo cual he de igualarlo con el
término centrífugo que es el término de momento angular total más el
potencial en ese valor de radio a bueno, ya aquí acaba la física y todo
lo demás es algo de algebra que es esta parte de aquí energía total k
por a a la cuarta y el momento angular orbital pues es directamente la
expresión la expresión matemática del momento angular el periodo no
tengo la pieza de la siguiente pues simplemente es el tiempo que tarda en
cerrar un ciclo toda la longitud 2pi por el radio partido por el pi de la
velocidad pues ahí siempre hay que despejar en esta cuestión lo
importante es lo que yo os acabo de subrayar aquí que en el caso de
órbitas circulares se pierde el término 1 medio de m r punto al cuadrado
porque ahí es un mínimo de energía bien, otra cuestión vamos a ver en
la 19 pues tenemos esto es aplicación de la ecuación de binet para
obtener bueno, la interacción a partir de la ecuación de la trayectoria
un objeto de masa m se mueve en un campo de fuerza central desconocido
conocemos cual es la trayectoria que es bueno, pues esta de aquí donde a y
b son constantes y tecta es el ángulo polar me piden hallar el potencial
de este campo y bueno, nos dan el término de la aceleración radial y
angular con respecto al ángulo polar es una fuerza central y su intensidad
va a depender solamente de la distancia al centro de fuerza y partimos de
las dos ecuaciones diferenciales de la comutante radial que es igual la
comutante radial es la aceleración radial de la fuerza sobre m y el
término angular que es 0 si la derivada es 0 el ángulo es constante
bueno, aquí j es l da igual y ahora como nos dan la expresión de la
trayectoria pues vamos a ver cuanto vale la primera derivada y la segunda
derivada para sustituir en la primera ecuación y de ahí obtener el valor
de la fuerza entonces, hacemos la primera derivada lo ponemos en función
de r y volvemos a hacer la segunda derivada no es nada difícil ver el
cálculo de estas dos derivadas y sustituimos las dos expresiones en,
bueno, este término de aquí es la sustitución de esta primera parte este
de aquí y hacemos la operación esa es la aceleración radial y bueno,
pues el el gradiente del potencial es precisamente es precisamente la
fuerza bien, que la fuerza la tenemos con lo cual la obtención del
potencial pues es bastante es bastante sencilla muy bien otro ejemplo eeeh
bueno, similar en donde me piden calcular la expresión de la fuerza a
partir de una órbita que me describen descrita por esta expresión yo
aquí, el interés de esto es que bueno, es en el manual tenéis esta
expresión yo utilizo esta, pues por razones un poco de que lo aprendí
así pero es la misma expresión aquí hay un cambio de un cambio de
variable, donde se ha definido una variable auxiliar u que es la inversa de
la posición con lo cual la equivalencia entre estas dos expresiones es
total os he capturado la imagen que viene en vuestro manual de referencia y
la expresión que yo estoy utilizando aquí en esta sesión entonces aquí
la forma de trabajar es exactamente igual que en la actividad anterior eeeh
defino la u que es 1 sobre k tecta ya hago su primera derivada y la segunda
derivada y esto lo introduzco en la ecuación de Bidet que es esta de aquí
con lo cual despejo el valor del módulo de la interacción, de f y
después vuelvo a cambiar la variable u sobre en lugar de u la inversa de r
y esta es la interacción es mucho más sencillo si me dan la trayectoria
de calcular la interacción que al revés, si me dan la interacción
calcular la trayectoria bueno podéis comprobar que normalmente es una
ecuación de segundo orden una ecuación diferencial de segundo orden
entonces, bueno, normalmente en estos ejercicios siempre os darán por el
tema del nivel matemático y la exigencia matemática de estos problemas
siempre os darán la trayectoria para calcular la interacción ¿bien? ¿de
acuerdo? eso, digamos que es la interacción ¿bien? otro ejercicio similar
bueno, aquí se ha montado un poco la pizarra, pero bueno, creo que se ve
es que hay r a la cuarta me dicen una masa se mueve en el espacio bajo la
acción de una fuerza central cuyo potencial es 1 sobre a, k por r al lado
a, a, donde a y k son números definidos positivos obtener la expresión de
la fuerza central si la masa se mueve en una órbita circular calcular el
momento angular, la velocidad de la órbita y cuál es la energía total de
la partícula ¿de acuerdo? bueno, me da el potencial yo puedo calcular la
interacción con el gradiente si hago error no, bueno, está bien
calculado, me da esta expresión me dicen que con el valor de radio r sub 0
la órbita es circular con lo cual aplico esa condición del problema eso
significa que cuando me muevo en este radio en una órbita circular pues
claro, la fuerza atractiva se ve compensada por la fuerza centrífuga que
intenta sacarlo de su trayectoria circular daría la igualdad en módulos
¿de acuerdo? este signo menos pues sobraría porque estoy igualando
módulos de fuerzas, con lo cual puedo despejar la velocidad que sería la
velocidad orbital bajo esta interacción central dándome esta expresión
una vez que tengo la v el que me pida el momento angular orbital pues es
simplemente m por r y por v sub 0 aquí los ángulos siempre son del 90 a
la 2 con lo cual no aparece ningún seno y me da el momento angular la
energía total pues aquí como la velocidad es bastante no hay variación
de velocidad con el tiempo y bueno pues simplemente es obtener el valor de
ese potencial para el valor de r más el término cinético donde el
término de velocidad es el que he obtenido anteriormente como veis de
aplicación directa y no equivocarse con el algebra ni con la derivada de
los coeficientes muy bien después este es un problema interesante en
cuanto este problema nos lo podemos encontrar igual en repulsión
colombiana en problemas de electrostática exactamente igual hacer fuerzas
centrales aquí me habla de una partícula de masa m se mueve bajo una
fuerza atractiva que es proporcionar a la cuarta potencia de la distancia
con respecto al centro de fuerzas como momento angular total se pide
representar el potencial efectivo describir la gráfica para que el valor
de energía total en el momento circular aquí ya no me dicen que hay una
cierta distancia a eso es circular me dicen que bueno que intenta averiguar
a que distancia es circular y para este valor de energía determinar el
radio de la órbita bueno pues aquí en principio con ese potencial calculo
la interacción con el gradiente eeeh bueno con esta interacción calculo
el potencial a través del gradiente bueno la integración el potencial va
con la quinta potencia de la distancia y el potencial efectivo pues viene a
ser esta expresión claro siempre en un potencial efectivo tengo un
término repulsivo un término relacionado con el momento angular total y
un término con el potencial atractivo real eeeh siempre siempre presenta
esta forma de tal manera que a la hora de hacer acercándome al centro de
fuerzas domina el valor eeeh centrífugo mientras que eeeh bueno este
término centrífugo en el sentido de que conforme me acerco este término
crece considerablemente hay que tener en cuenta que depende con la inversa
del cuadrado de la distancia es decir que si me acerco mucho al centro de
fuerza ese valor es muy importante eso por tanto domina que es esta rama la
rama de extender mientras que eeeh por el otro lado si me alejo mucho del
centro de fuerzas domina precisamente el potencial real de la fuerza
central que está interviniendo bien pues hay siempre un punto una zona en
la que este potencial efectivo es mínimo siempre que se cumpla esa
condición de mínima estamos en una trayectoria circular bueno la energía
total viene nada por la expresión cinética donde en principio la
velocidad no es constante más el potencial efectivo que hemos escrito
arriba si buscamos en que punto respecto al centro de fuerzas esa
trayectoria de seguridad circular se han de cumplir dos cosas que el
módulo de la velocidad se es cero en ese punto la energía total coincide
con el valor de la energía efectiva total y la energía total mínima
coincide con el potencial efectivo mínimo estas son las dos condiciones
que hemos de exigir a las ecuaciones para obtener el punto donde la
trayectoria es circular bueno pues bueno vamos a exigir esas dos
condiciones antes de manipularlo de hacer el algebra otra consideración es
decir si no estuviésemos en ese punto donde la trayectoria es circular
pues la trayectoria sería cerrada por ejemplo si estuviera a esta
distancia pues estaremos en una zona donde encontraremos velocidad variable
entre dos posiciones que sería una r mínima y una r máxima respecto al
centro de fuerzas que estaría dentro de un de uno de los focos del
movimiento elíptico que se genera nos tendríamos en un mínimo de la
energía potencial de energía total y por tanto un mínimo de energía
potencial efectiva lo que me pide este problema es determinar este punto
cuánto vale esta r por lo cual bueno vamos a calcular entonces a partir de
la expresión de energía total que es esta de aquí yo voy a exigir las
dos condiciones que r punto sea cero y hacer la primera derivada de
energía e igualarla a cero como veis aquí r punto ya lo he hecho cero se
me va esta expresión y hago la derivada con respecto de r y igual a cero
con lo cual obtengo la r mínima a la cual la trayectoria es circular pues
se me da esta expresión si la masa de prueba la masa satelital se
encuentra a esa distancia del centro de fuerzas esa trayectoria será
circular bueno sustituyendo este valor en la expresión de energía total
que en esa r tengo que eliminar el término húmedo de la masa r punto al
cuadrado bueno salvo error que haya podido tener algún error algebraico
aquí en el lenguaje simbólico esta sería la energía en ese punto de
mínimo que es la que me pide el ejercicio muy bien después otro ejercicio
que es un poco curioso porque en principio parece que no estamos en un
campo gravitacional pero esta situación que ahora vamos a describir si que
la podemos asemejar completamente a una fuerza central en donde la tensión
a la que se ve sometida esta masa respecto a este agujero pues es
precisamente la fuerza central generada en ese plano aquí se conserva un
momento angular porque obligamos a la partícula azul a moverse apoyada en
esa superficie es decir y por ejemplo podemos describir el problema con las
coordenadas polares que hemos estado utilizando en toda esta sesión
entonces una masa m pequeña se une a una cuerda que pasa por un edificio
sube una superficie horizontal al sentamiento la masa describe una órbita
circular y se tira de la cuerda muy despacio reduciendo la órbita a un
radio primero está un radio y después en un tiempo de transición lo
suficientemente largo pasa a un segundo radio la velocidad de la masa en la
nueva órbita es el valor de la tensión bueno con lo comentado al
principio cobra todo sentido del mundo utilizar las coordenadas polares en
donde se conserva el momento angular su componente angular la componente
angular de la aceleración va a ser nula y tenemos una órbita circular con
lo cual la prioridad derivada de la posición es 0 y con lo cual
simplificamos bastante las expresiones de la primera derivada como se
conserva el momento angular se conservan las dos trayectorias en la primera
radio y en el segundo con lo cual se permite obtener una relación sencilla
entre ambas dos derivadas bueno pues con todo esto el valor de la tensión
pues en realidad de tener un problema que podría ser de dinámica del
punto identificamos la tensión con la fuerza central que ha originado esa
trayectoria lo cual sería la fuerza radial es decir la fuerza radial que
ha originado ese movimiento lo cual obteneríamos el valor de la tensión
pues tal y como veis aquí sustituyendo el valor de la velocidad aquí la
similitud con una fuerza gravitacional es total y un bueno aquí este es
otra situación en la que la fuerza el centro de fuerzas está en este
círculo y la masa M que se encuentra describiendo esta trayectoria del
punto A se mueve bajo una fuerza central a lo largo de la trayectoria
centricular de radio OA me dan la ecuación de la trayectoria y me piden
que obtenga la fuerza la velocidad total no me piden la fuerza que genera
esta trayectoria caeríamos por las ecuaciones que vienen sino simplemente
conociendo la expresión de la trayectoria el vector de velocidad total
bueno aquí voy a partir es decir cojo de la literatura el vector de
velocidad en componentes corales de acuerdo con lo cual como me dan la
expresión de R que es esta aquí hago su primera derivada no sé que ha
pasado en la traducción al PDF pero bueno esta coseno es menos seno, seno
punto esto es R punto que es lo que vamos a sustituir en esta expresión y
tecta punto aprovechando que es una fuerza central pues el momento angular
se conserva en cualquier punto de la trayectoria pues me permite obtener un
valor para tecta punto sustituimos la expresión R punto y tecta punto de
acuerdo que son estas dos expresiones y la sustituimos R punto su valor
tecta punto su valor con lo cual el vector vector velocidad pues bueno es
el que tenéis ahí sin ninguna dificultad es siempre de sustituir no tiene
más y otro ejercicio relacionado con las trayectorias es este bueno el
dibujo viene después ahora lo comentaremos habla de lo siguiente una masa
M pequeña sometida a una fuerza central que bueno ya viendo la expresión
de la fuerza esto es la ley de Hooke esto es la fuerza una fuerza elástica
hay que calcular la energía total mecánica y comparar que el momento
angular se conserva que por lo tanto que el momento transcurre en un plano
y representar el potencial efectivo y describir los posibles movimientos
bueno pues a partir de la expresión de la fuerza obtengo la expresión del
potencial que por supuesto es el valor de un muelle la energía total viene
dada por esta expresión de acuerdo y la expresión del momento angular en
este caso hay que tener en cuenta que la interacción es K por R que es
central es directamente es cero en el momento en el que se mueve en un
plano es siempre sustituido en un plano vertical la representación del
potencial efectivo bueno tenemos aquí la expresión del término cinético
el término potencial que bueno la expresión de la velocidad en
componentes polares tenemos estas dos expresiones y la expresión que
tenemos en la gráfica es esta de aquí de acuerdo tenemos la rama final
que es la expresión parabólica del potencial y bueno acercándome al
centro de fuerzas tengo la expresión del del potencial centrífugo el
valor del del radio en el cual la la órbita estricular pues tendríamos
que hacer hacer cero la expresión de R punto y derivar con respecto y
hacer cero la expresión de la energía de acuerdo más o menos estas son
las cuestiones no sé si he ido un poco rápido de tal maneras las
cuestiones que se os puedan plantear me las pasáis a través del correo o
del foro del tema o del foro del grupo de tutoría si pertenecéis a mi
grupo de tutoría voy a al acabar esta sesión hoy es día 4 de diciembre
voy a colocar en un rato unos cuantos ejercicios más relacionados con
fuerzas centrales que no están en esta sesión de pizarra y que bueno pues
siempre ayudan un poco más para la comprensión del tema eso es un poco la
el la organización sobre el tema de las fuerzas centrales bueno pues nada
yo espero que os haya animado no sé si Clara tienes alguna duda o alguna
pega si ya venís seguro de que ya me lo haces llegar a través de estos
canales y vale a través de estos canales y nada pues mucho ánimo y la
verdad es que esta sesión tendría que haber sido una semana después
porque viendo un poco el calendario de estudio del equipo docente esta
sesión está para la semana siguiente pero bueno luego va a quedar grabada
pues espero que sea de utilidad muy bien pues nada voy a dejar de grabar y
vale voy a dejar de grabar y nada