Bueno, pues buenas tardes. Vamos a empezar una nueva sesión de física y
para cerrar ya la PEC 3, no, si lo tenéis este fin de semana, vamos a
hablar hoy de movimiento periódico y de ondas. Dos temas muy importantes
para la PEC, sobre todo para los aspectos de las cuestiones. A ver si lo
entendéis, yo os sugiero que veáis tranquilamente la clase, la asimiléis
bien, ¿no? Los ejercicios un poquito pues para que junto con lo del campo
arbitratorio etcétera y lo de hoy pues esencialmente pues os pueda ayudar,
¿vale?. Bueno, aquí tenemos una descripción de lo que es un movimiento
de oscilación. Tenemos un cuerpo unido a un resorte, estamos despreciando
la fricción con el raíl, esto puede ser un banco de aire, que hace que
minimizando la fricción, ¿no? De manera que cuando nosotros separamos
esta masa de la posición de equilibrio y lo soltamos este sistema empieza
a oscilar con respecto a la posición de equilibrio. Se desplaza, ¿no?, y
va a empezar a oscilar periódicamente. Nos damos cuenta que la fuerza que
actúa siempre está dirigida o va dirigida hacia el centro, ¿no? Si yo lo
separo hacia la derecha la fuerza va hacia la izquierda, ¿vale?. ¿Qué
fuerzas más actúan sobre esta masa? El peso hacia abajo y la normal que
es la fuerza de reacción, ¿no? Y la aceleración vemos que en
consecuencia si la fuerza va hacia la izquierda la aceleración también va
hacia la izquierda. Y la distancia a la posición de equilibrio, ¿no?,
vemos que la distancia a la posición de equilibrio aumenta hacia la
derecha, ¿no?, al desplazar hacia la derecha, ¿de acuerdo?. Cuando está
en la posición de equilibrio no actúa ninguna fuerza, ¿vale? ¿Qué pasa
cuando se comprime el resorte? Cuando se comprime el resorte, ¿no?, la
fuerza que actúa sobre él es hacia la derecha. Hemos comprimido hacia la
izquierda, la fuerza es hacia la derecha. Vemos que siempre la fuerza es
sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio, ¿eh?,
al desplazamiento de la posición de equilibrio. Y cuando volvemos a estar
en la posición de equilibrio tendríamos fuerza nula, ¿vale? Vemos que el
resorte comprimido empuja al deslizador siempre hacia la posición de
equilibrio. Hay una serie de definiciones que tenemos que tener en estos
movimientos vibratorio u oscilatorio. ¿Qué es la amplitud? La amplitud es
la máxima distancia a la posición de equilibrio. ¿Qué es la
elongación? Una distancia cualquiera a la posición de equilibrio. La
elongación es cualquier distancia a la posición de equilibrio y la
máxima distancia a la posición de equilibrio es lo que se llama la
amplitud, ¿vale? ¿Y qué entendemos por periodo? El periodo es el tiempo
que invierte la partícula en realizar una oscilación completa, una
vibración completa, una oscilación completa. ¿Vale? Entonces hay una
relación entre lo que entendemos como periodo y frecuencia. Si yo defino
periodo como el tiempo que realiza o que invierte en tener lugar una
oscilación o vibración completa, entendemos como frecuencia que es la
inversa del periodo como al número de vibraciones u de oscilaciones
completas que se realiza cada segundo. El número de vibraciones u
oscilaciones completas que se realiza cada segundo. Eso es la frecuencia.
Si el periodo o tiempo se expresa en segundos, ¿no? La frecuencia se
expresa en segundos a la menos uno. La frecuencia se expresa en segundos a
la menos uno. Pero aquí en el movimiento vibratorio, en el movimiento
oscilatorio no sólo hablamos de frecuencia y de periodo sino que también
hablamos de frecuencia angular, de frecuencia angular que ésta a su vez
está relacionada con el periodo y la frecuencia primeramente definida. Es
que la frecuencia angular, en vez de expresar en ciclos o vibraciones
completas por segundo, se expresa en radianes por segundo. De manera que
omega, como veis aquí, es dos pi multiplicado por la frecuencia o dos pi
partido por el periodo. Esto es la omega. Dos pi por la frecuencia o dos pi
partido por el periodo. ¿De acuerdo? Tenedlo presente. También tienes que
tener presente que el radian no es una magnitud física fundamental. Lo
digo a la hora de las unidades porque recordaos que las unidades de un seno
o de un coseno tienen que ser adimensional. Si yo ahora escribimos, por
ejemplo, lo veremos ahora, seno de omega t, el tiempo se le hará en
segundos y omega son radianes partido por segundo. Entonces ¿qué me
queda? Radianes partido por segundo multiplicado por segundo me quedan
radianes. Pero el radian no es una magnitud física fundamental y podemos
decir que el argumento de este ángulo, de este seno, es adimensional
porque no es una magnitud física fundamental el radian. Bueno, un
movimiento armónico simple cuando la fuerza de restitución es
directamente proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio.
¿Vale? Esto es un movimiento armónico simple. Si nosotros aplicamos esta
fórmula, F igual a menos k por x, ¿no? F igual a menos k por x y
aplicamos a su vez la segunda ley de Newton, F igual a m por a, ¿no? menos
k por x es igual a m por a. Luego la aceleración, como veis aquí, es
menos k partido por m y por x. Menos k partido por m y por x es la
aceleración. ¿Vale? Aquí lo tenemos. Vemos que la aceleración, ¿vale?,
es importante, es proporcional a la distancia de la posición de equilibrio
y esta aceleración va en sentido contrario de x, va dirigida hacia el
centro. Siempre va dirigida hacia el centro, hacia esa posición de
equilibrio. Esa constante de proporcionalidad, que es menos k partido por
m, le voy a llamar omega cuadrado. Omega cuadrado. Omega cuadrado es k
partido por m, luego omega, que es la frecuencia angular de un movimiento
armónico simple, sería raíz cuadrada de k partido por m. ¿Vale? Donde
la k sería la constante del resorte, la constante de fuerza y m la masa
del objeto que está oscilando o vibrando. Nosotros podemos tener la
frecuencia de un movimiento armónico simple de un resorte, del cual pende
una masa m, de un resorte de constante k. De manera que el periodo del
movimiento armónico simple, el periodo del movimiento armónico simple T
es 1 partido por f. ¿Vale? T es 1 partido por f y es 2 pi partido por
omega. ¿Vale? Y a partir de aquí podemos ver también cómo podemos
relacionar el periodo en función de la k y de la masa. ¿Vale? ¿De
acuerdo? Esa fórmula es importante para el movimiento armónico simple,
porque nos está diciendo de qué depende el periodo de oscilación. El
periodo de oscilación solo depende de la masa y de la constante elástica,
no depende de la amplitud. ¿Vale? No depende de la amplitud. ¿Cuál es la
ecuación de un movimiento armónico simple? La ecuación la podemos
expresar ¿Ahora? ¿Y ahora? ¿Ahora sí? Bueno, perdóname. Pues no sé si
hace mucho tiempo que os pasa esto. Un minuto, recopilo esto de aquí del
movimiento armónico simple. Antes de empezar a explicar esta parte. Bueno,
aquí. Aquí al final. No, aquí os decía de la importancia de saber que
el periodo de un movimiento armónico simple es proporcional a la raíz
cuadrada de la masa e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la
constante elástica. Es decir, el periodo no depende de la amplitud. Es
importante, que a veces son cuestiones que se plantean. El periodo y la
frecuencia no dependen de la amplitud. ¿Vale? Estas ecuaciones nos
relacionan el periodo o la frecuencia en función de la masa del objeto y
de la rigidez o constante elástica del resorte. ¿De acuerdo? Y os decía
que la ecuación de un movimiento armónico simple se puede representar
como x igual a coseno de omega t más fi. Donde x es la distancia a la
posición de equilibrio. La elongación a es la máxima elongación, la
máxima distancia a la posición de equilibrio. Tenemos omega que es la
frecuencia angular, t es el tiempo y esta fi o ángulo de fase, fase
inicial. La omega ya sabéis que es raíz cuadrada de k partido por m.
¿Vale? Y que os decía también que esta ecuación del movimiento se puede
expresar en función de seno en lugar de coseno. Entonces expresarla en
función de seno supone cambiar única y exclusivamente la fase inicial, el
ángulo de fase. Por eso os he puesto aquí una delta diferente. De manera
que las dos ecuaciones me tienen que representar el mismo movimiento
armónico simple pero para ello tengo que tener las fases diferentes. ¿Lo
tenéis claro? Porque cuando el seno vale cero, el coseno no vale cero,
está desfasado a 90 grados. ¿Y cómo puedo obtener la velocidad de la
partícula que tiene un movimiento armónico simple derivando? Fijaos que
no es constante. Yo hago una derivada de esta función seno, la derivada
del seno de u es u' por coseno de u. U' es omega, omega por coseno, bueno
en este caso sería seno porque el coseno es el menos seno, con un menos
delante y se repetiría la función. Esta sería la velocidad del
movimiento armónico simple y la aceleración, pues volver a derivar.
Derivamos la velocidad y tendemos la aceleración y si nos fijamos, nos
fijamos que la aceleración es menos omega al cuadrado A coseno de omega t.
A coseno de omega t era la x. Luego la A sub x hemos demostrado que es
igual a menos omega al cuadrado por x. Es una forma de comprobar que esta
ecuación del movimiento satisface la condición de que la aceleración sea
proporcional a una constante, concreto omega al cuadrado por la distancia
de la posición de equilibrio y dirigida hacia ese punto. ¿De acuerdo? Es
importante también darse cuenta que la velocidad va a ser máxima
¿dónde? Va a ser máxima cuando pasa por la posición de equilibrio.
Aquí tenemos estas gráficas de la elongación, de la velocidad y de la
aceleración. Tenemos que darnos cuenta que la elongación, fijaos que es
nula cuando pasa por la posición de equilibrio ¿no? ¿Vale? Y va a ser
máxima en los extremos ¿no? Yo aquí podría poner, a ver un momentito
Por ejemplo, aquí, aquí y aquí la x vale menos A, la x vale cero y la x
vale más A. La velocidad es nula en los extremos porque la partícula se
para e invierte el movimiento y será más o menos A omega. Y la
aceleración será nula en la posición de equilibrio y tendrá un valor de
menos omega cuadrado por A yendo hacia la izquierda y más omega cuadrado
por A yendo hacia la derecha en el otro extremo. Valores máximos de la
aceleración en los extremos, valores nulo en la posición de equilibrio al
igual que la ecuación del desplazamiento. Daos cuenta que el
desplazamiento y la aceleración están desfasados 180 grados. Eso quiere
decir que en el mismo instante donde una es máxima, la otra es mínima
pero el valor absoluto tiene el mismo valor, digo positivo y negativo pero
desfasado 90 grados o pi medios la velocidad Por eso cuando la aceleración
es máxima la velocidad es nula y viceversa ¿Cuál es la energía
mecánica de un movimiento armónico simple? Pues la suma de la cinética y
la potencial La energía cinética es un medio de omega cuadrado y la
energía potencial elástica recordemos que la fuerza elástica de un
resorte es una fuerza conservativa Es una fuerza conservativa, por lo tanto
deriva una energía potencial y la energía potencial elástica es un medio
de kx cuadrado Ahora bien, si hemos dicho antes que en los extremos la
velocidad es nula toda la energía será potencial Entonces, esto es
energía cinética esto es energía potencial ¿A qué será igual? A la
energía potencial máxima un medio de k por a cuadrado La energía
potencial máxima, un medio de k a cuadrado que será constante Pero
también se puede expresar, pensando que en la posición de equilibrio no
hay energía potencial, como la energía cinética máxima que será un
medio de la masa por la velocidad máxima al cuadrado. Un medio de m por a
cuadrado omega cuadrado Esto sería la energía cinética máxima un medio
de m a cuadrado omega cuadrado ¿De acuerdo? Es que es igual, porque las
ambas expresiones es lo mismo. ¿Sabéis por qué? Porque la k es igual a m
omega cuadrado Acordaos de que omega era la raíz cuadrada de k partido por
m Después despejando la k es m omega cuadrado Poner que la energía
mecánica es un medio de k a cuadrado o un medio de m a cuadrado omega
cuadrado, es lo mismo Porque es decir que es igual a la energía potencial
máxima o la energía cinética máxima. En ambos casos cuando la energía
potencial es máxima la energía cinética es nula y cuando la energía
cinética es máxima la energía potencial es nula. Aquí tenéis unos
diagramas donde veis cómo va variando la energía cinética, la energía
potencial En los extremos la energía cinética es nula Después hay en
distintas posiciones Se puede sacar lo que vale la energía cinética y
potencial Esta gráfica también es muy interesante porque nos está
indicando cómo varía la energía cinética y cómo varía la energía
potencial en función de la distancia a la posición de equilibrio
Entonces, fijaos que la energía cinética es k es un medio de mv cuadrado
y la energía potencial u es un medio de kx cuadrado ¿De qué nos damos
cuenta? Que habrá un punto en el cual la energía cinética es igual a la
energía potencial Y alguien podría pensar que este punto es en A medios
Con el dibujo nos damos cuenta que no es en A medios Bueno, ¿es que el
dibujo no está bien hecho? Pues yo creo que sí Mira, lo que ocurre es que
la energía mecánica que es un medio de k por a cuadrado es igual a la
energía cinética más la energía potencial Si antes eran iguales, ahora
tenemos que poner dos veces la energía potencial Es decir, un medio de k a
cuadrado es igual a dos veces de un medio de kx cuadrado A partir de aquí,
¿qué tenemos? Que la x es raíz de dos partido por dos a Este es el punto
más menos, porque esto es simétrico ¿Vale? Despejando. Si traséis la k,
los un medios El 2 pasa dividiendo, racionalizo y nos queda raíz de dos
partido por dos Bueno, ¿a qué pasa cuando un cuerpo se depende de un
resorte? Se desplaza de la posición de equilibrio Hay un desplazamiento de
la posición de equilibrio Y el desplazamiento es proporcional a la fuerza
aplicada Estamos de acuerdo, ¿no? Si primero nos colgamos una masa y se
establece un equilibrio, después lo separamos de esa posición de
equilibrio y el sistema empezará a oscilar Y tendrá un movimiento
armónico simple Son propias de armónicos simples porque la fuerza va a
ser proporcional a la distancia a la posición de equilibrio Otro ejemplo
también de movimiento armónico simple es idealizado, es una masa puntual,
un hilo inextensible Masa puntual respecto a la longitud del hilo Entonces
las fuerzas que actúan para el movimiento serían mg seno de z Entonces,
de entrada, alguien me dirá Bueno, esto no es un movimiento armónico
simple porque la fuerza no es proporcionada a la distancia Pero para
pequeños ángulos, el ángulo expresado en radianes, el seno del ángulo
expresado en radianes coincide con el ángulo. De manera que yo puedo
sustituir seno de z por z Perfecto, pero no sigue siendo proporcionada a la
distancia porque z es un ángulo Pero el ángulo, nosotros sabemos que la
longitud del arco que es x es igual al ángulo por L Siendo L el radio ¿De
acuerdo? Entonces, si yo sustituyo el ángulo por x partido por L Ya me
queda que la fuerza es proporcional a esta distancia ¿Y esto cuando es
válido? Ojo Cuando el seno del ángulo se puede aproximar al ángulo
expresado en radianes Estamos hablando de 20-30 grados como mucho Bueno,
estas eran las fórmulas Para el caso de un péndulo simple donde omega era
k partido por m Ahora, no sé si os dais cuenta Que ahora lo que tenemos es
que omega cuadrado Bueno, la aceleración ¿A qué será igual? A menos
omega cuadrado por x Menos g partido por L x Entonces, omega cuadrado es g
partido por L A partir de aquí, podemos calcular el periodo de un péndulo
simple Que es 2pi raíz cuadrada de L partido por g Despejando omega,
poniendo omega igual a 2pi partido por el periodo ¿No? Elevando al
cuadrado y sacando la raíz cuadrada Lo tenemos en la página siguiente
Pero lo quería contar un poquito aquí Aquí está Frecuencia del péndulo
simple o periodo Normalmente la gente se lo aprende con el periodo Donde L
es la longitud y g es la gravedad Ya sabéis que es una técnica que se
utiliza para determinar gravedades Aquí tenemos unos ejercicios ... Bueno,
vamos a ver esto En primer lugar, la partícula choca Se trata de un choque
inelástico porque ambas partículas quedan unidas m1 por v1 es igual a m1
más m2 más m2 por v. ¿Y cuál es la velocidad del conjunto? Pues como
las masas son idénticas, es la mitad Ahora bien, después del choque
aplicamos conservación De la energía, no hay trabajo de rozamiento Y toda
la energía cinética que tiene mi sistema se va a invertir en comprimir el
resorte una distancia determinada En comprimir el resorte una distancia
determinada sería una energía potencial elástica Energía cinética
sería igual a energía potencial elástica Aquí lo tenéis ... Si
igualamos la energía cinética con la energía potencial elástica x
habría que despejar esta x Y esta es la máxima compresión, que sería la
amplitud del movimiento La amplitud del movimiento. ¿Y cuál sería el
periodo? Pues con la fórmula k igual a m2 nosotros podríamos obtener el
periodo de oscilación que es 2,68 y la frecuencia es 1 partido por el
periodo Ahora bien, si eso es el periodo eso es el tiempo que invierte la
partícula en realizar una oscilación completa. Pero a mí me piden el
tiempo que invierte la partícula en volver a la posición inicial, antes
del choque Ese tiempo va a ser el tiempo que tarda en comprimirse y volver
a esa posición. Eso será la mitad del periodo La mitad del periodo.
Porque la otra mitad sería irse al otro extremo y volver Entonces ese
tiempo es t medios como indicamos aquí. Bien, vamos a seguir Una bala de
un rifle de 8 gramos y velocidad se dispara y se incursa en un bloque que
descansa sobre una superficie sin rozamiento con un resorte ideal. El
resorte está unido a una pared Dice que el impacto comprime el resorte 18
cm ¿No? Y el bloque se mueve con un más. Calcular el periodo Vamos a ver
esto. Bien, tenemos un choque inelástico. Conservación de la cantidad de
movimiento La cantidad de movimiento antes del choque de la bala masa por
velocidad de la bala es igual a la cantidad de movimiento después del
choque m de la bala por velocidad de la bala igual a m de la bala más masa
del bloque por v. Y de aquí nosotros sacamos la velocidad del bloque. La
velocidad del bloque es 2,24 m por segundo Tenemos la velocidad de la bala
y la masa de la bala y tenemos la masa del bloque. Y nos sale esta
velocidad Bien, a partir de aquí si nosotros sabemos la distancia que se
comprime el resorte la distancia que se comprime el resorte ¿No? Le puedo
llamar x o si queréis a, porque sería la amplitud porque cuando se
comprime el resorte la máxima distancia de compresión del resorte será
cuando haya recorrido una distancia igual a la amplitud del movimiento. La
máxima compresión ¿Vale? Entonces si conozco la máxima compresión le
puedo llamar x o a como queráis ¿Vale? Y la velocidad con que sale el
conjunto bala-bloque para comprimir, desplazar el resorte hacia la derecha
nosotros despejando podemos calcular la constante elástica del resorte y
una vez que tengo la constante elástica del resorte y la masa que está
oscilando podré despejar el periodo el periodo de oscilación que será
0,5 segundos ¿Vale? Fijaos como primero estamos aplicando conservación de
la cantidad de movimiento, después conservación de la energía y después
ya la fórmula que nos relaciona el periodo y la frecuencia en un más Una
fuerza de 40 newtons estira un resorte vertical de 0,25 metros ¿Vale?
¿Qué masa debe colgarse del resorte para que el sistema oscile con un
periodo de 1 segundo? Una fuerza de 40 newtons estira un resorte vertical
de 0,25 metros ¿Qué masa debe colgarse del resorte para que el sistema
oscile con un periodo de 1 segundo? Si la amplitud del movimiento es de
0,05 ¿Vale? Lo primero de todo nos sirve para calcular la constante
elástica La fuerza se estira 0,25 metros con esa fuerza puedo calcularla
acá. Pues dice ¿Qué masa debo colgar del resorte para que el sistema
oscile con ese periodo? Tengo que buscar con la fórmula ¿No? Lo veréis
aquí primero. Fijaos. Primero calculo la constante elástica con la
distancia que se alarga con 40 newtons ¿Vale? ... Y la masa que necesito
¿No? Para ese periodo es de 4,05 kilos La masa sería 4,05 kilos ¿Vale?
Omega 2 pi partido por el periodo ¿No? Es decir El periodo es 1 segundo y
por lo tanto sería la masa que tendría que tener ¿Vale? Ahora bien,
seguimos. ¿Dónde está el objeto y en qué dirección se mueve 0,35
segundos después de haber pasado por la posición de equilibrio cuando se
dirige hacia abajo? Bueno, si inicialmente se encuentra en la posición de
equilibrio tengo que sacar la ecuación del movimiento x igual a seno de
omega t más delta. Por ejemplo, si tomo una función seno ¿Qué puede
valer la delta? Tendrá que valer 0 o pi. ¿Pero qué vale de los dos?
Calculo la velocidad y como la velocidad ha de ser negativa la velocidad ha
de ser negativa Delta ha de ser pi porque el coseno de pi es menos uno El
coseno de pi es menos uno. Pero si yo tomo una función coseno Si tomo una
función coseno de la posición de equilibrio puede ser delta 0 pi ¿No?
Entonces la delta tiene que ser pi Y esta sería mi ecuación del
movimiento Que parte de la posición de equilibrio y se dirige hacia abajo
¿Dónde me encontraré al cabo de 0,35 segundos? Pues me encuentro en
menos 0,0405 ¿Vale? A ese punto. ¿Y qué pasa en ese punto? ¿Qué está
haciendo la partícula? Fijaos, es que el periodo es un segundo ¿No?
¿Sí? Y el semiperiodo 0,5 y el cuarto periodo es 0,25 ¿Qué quiere decir
esto? Que habrá pasado de la posición de equilibrio y ya estará subiendo
porque con 0,25 segundos habrá llegado al extremo inferior que es el
cuarto del periodo Y ya estoy subiendo para arriba ¿Vale? Y su velocidad
será positiva Bueno ¿Y qué fuerza ejerce el resorte sobre el objeto
cuando se encuentra a 0,03 metros bajo la posición de equilibrio al subir?
¿No? Lo tenéis aquí, no lo he puesto aquí de forma explícita Tenemos
dos fuerzas. La fuerza debido al desplazamiento por el peso más la fuerza
total debido a la fuerza separada de la posición de equilibrio 0,03
¿Vale? ¿De acuerdo? Una fuerza que tira hacia abajo y otra, bueno las dos
tiran hacia el mismo sentido ¿No? Está claro ¿No? ¿Vale? El peso más
esa fuerza elástica ¿Vale? Bueno Seguimos. Aquí tenemos una esfera que
se suelta de reposo y choca contra la esfera inferior Ambas cuerdas tienen
50 centímetros ¿No? Y que pide calcular la frecuencia de desplazamiento
angular máximo del movimiento después del choque ¿Vale? Bueno, vamos a
calcular en primer lugar la velocidad de impacto ¿No? Que es raíz
cuadrada de 2gh Se trata de un choque inelástico después donde una de las
bolas está en reposo y puedo sacar la velocidad del conjunto de los dos
péndulos que están unidos La altura máxima que alcanzarán ¿Cuál
será? Pues abajo del todo tendremos una energía cinética y después se
transformará toda esta energía cinética en ¿Qué? En energía
potencial. De energía cinética abajo, en energía potencial arriba
¿Vale? Energía cinética y energía potencial. Las masas se me van y
puedo saber la altura máxima que alcanzará el sistema ¿Vale? Una vez que
sé la altura máxima que va a alcanzar el sistema ¿Vale? Nosotros podemos
calcular el ángulo que se ha desplazado con respecto a la posición de
equilibrio. Ya veis que tiene una cierta dificultad ¿No? Entonces, ¿Cómo
saco este ángulo? Pues por el coseno por ejemplo de Z que es X partido por
L donde X es L menos H Entonces el coseno de Z tendrá esta expresión y Z
será el arco cuyo coseno vale 48,4 partido por 50 es decir 14,5 grados
Este ángulo está dentro del límite de una oscilación de un péndulo
simple ¿Vale? Va a estar dentro del límite. Estamos hablando de 0,253
radianes. El seno de 0,253 es 0,25 y podemos aplicar la fórmula del
periodo de oscilación de un péndulo simple que es 2pi raíz cuadrada de L
partido por G. Es decir, este sistema estará oscilando con un periodo que
es independiente del ángulo es independiente de la amplitud. Es 2pi raíz
cuadrada de L partido por G cuya frecuencia es la inversa Este es un
problema que cayó en un examen y vale la pena ya el último ejercicio
mirarlo Fijaos, dice Un resorte de masa despreciable y constante de fuerza
400 N cuelga verticalmente y una bandeja de 0,2 kg se suspende del extremo
inferior El carnicero deja caer un filete sobre la bandeja desde una altura
de 0,4 metros. El choque es perfectamente inelástico y el sistema describe
un más. Rapidez de la bandeja y el filete justo después del choque.
Amplitud del movimiento posterior y el periodo. Interesante este ejercicio
No lo digo con los mismos datos pero por las mismas preguntas cayó en una
prueba Hay un examen Aquí lo tenemos En primer lugar podemos calcular la
velocidad con que el filete impactaría sobre la balanza y vemos que es
raíz cuadrada de 2gh aplicando energías Después tenemos aquí un choque
inelástico porque quedaría el filete unido a la bandeja después y esa
velocidad sería 2,57 metros por segundo en ese choque inelástico Por
conservación de la energía determinamos la máxima compresión del
resorte Antes vamos a determinar la distancia que comprime el muelle al
filete porque el filete al darle al muelle lo va a comprimir por su peso y
en concreto lo comprime una distancia d Así que con esa distancia x sub
cero 0,0539 la velocidad de nuestro sistema es 2,57 metros. Cuidado con
esto Una vez que se ha separado de la posición de equilibrio 0,0539 porque
esa deformación es debido al peso Entonces nuestro sistema tiene una
energía potencial elástica y una energía cinética. La energía
potencial elástica es un medio de k x sub cero cuadrado y la energía
cinética es un medio de mv sub cero cuadrado ¿No? Y eso es igual a la
energía potencial máxima que será lo máximo que se va a comprimir el
resorte que será 0,21 metros. Cuidado Y el periodo es 2pi raíz cuadrada
de m partido por k donde m es la masa ¿No? ¿Vale? La masa del conjunto
2,4 Aquí está 2,4 Aquí no hay más. Vamos ahora a ir a Ondas. Bueno,
antes voy a abriros Bueno Aquí tenéis una serie de ejercicios que
salieron con una fuerza restauradora Una serie de cuestiones que han salido
otros años Que bueno, os pueden servir de ayuda para preparar la pez En
ese sentido pues yo os aconsejo que los leáis que lo miréis. No tenemos
tiempo de explicarlos También hay un problema al final de cada uno de
ellos y yo os sugiero que lo trabajéis ¿No? Porque os puede ayudar. Las
cuestiones esencialmente son de ondas y de movimiento armónico simple
¿Vale? Vale la pena que los miréis detenidamente ¿De acuerdo? Y el
problema también, os lo aconsejo Y permitidme que ahora hablemos de ondas
viajeras Ondas mecánicas Bueno, las ondas mecánicas son aquellas que
necesitan de un medio material para propagarse Hay que diferenciarlas de
las ondas electromagnéticas las cuales no necesitan de ningún medio
material para propagarse Las ondas también se pueden clasificar en ondas
longitudinales y ondas transversales Una onda transversal es aquella donde
las partículas vibran en una dirección perpendicular a la de su
propagación Y una onda longitudinal es aquella donde las partículas
vibran paralelamente a la dirección de propagación ¿Vale? Eso tenerlo
presente Ondas periódicas. Bueno, si tenemos aquí una fuente o un resorte
que vibra periódicamente cada partícula de la cuerda sirve un movimiento
armónico del resorte y la masa. Y la amplitud de la onda es la amplitud de
este movimiento ¿Vale? Y la amplitud de la onda es la amplitud de este
movimiento Entonces tenemos que llamamos cresta al punto, como viene a ser
la cresta el vientre, de máxima amplitud Y el valle es un punto de mínima
amplitud o amplitud negativa Después habrá esos puntos de amplitud nula
cuando pasan por la posición de equilibrio. ¿Vale? Y vemos que la
perturbación se propaga en una dirección determinada en el espacio, en
este caso de izquierda a derecha La velocidad de propagación de una onda,
que es una perturbación que se propaga a través de un medio material v es
igual a lambda por f ¿Vale? Siendo lambda la longitud de onda. ¿Y qué es
la longitud de onda? La distancia entre dos puntos que están en fase
¿Qué quiere decir esto? La distancia entre dos puntos que tienen la misma
amplitud y la misma velocidad Estos dos puntos, la distancia que hay entre
ambos puntos es la longitud de onda. Y la distancia entre un valle y una
cresta es lambda medios Lambda medios, la distancia entre un valle y una
cresta Entonces v es igual a lambda por f Siendo f la frecuencia. ¿De
acuerdo? ¿Cómo podemos escribir la ecuación de una onda de una
perturbación que avanza a través de un medio material que además esa
onda es doblemente periódica Depende tanto de la distancia al foco emisor
como del tiempo La descripción matemática, como veis aquí, es una
función que tiene una doble periodicidad idxt Y entonces esta función
idxt la podemos expresar en función de la distancia al foco emisor y
también en función del tiempo De manera que idxt es a coseno. Aquí
tenemos esta expresión Yo os aconsejo, a ver, uno se puede aprender la
ecuación general de una onda de muchas maneras. Si la hacemos con una
función coseno, aquí puede ser kx más menos omega t más delta Por
ejemplo, ¿qué quiere decir aquí cada letra? La primera fórmula que
tenéis aquí es poco habitual La segunda sí que también es habitual Pero
pocas veces os vais a encontrar la ecuación de una onda que esté
factorizada con un 2pi y que sea tan fácil deducir lambda y periodo. Muy
pocas veces Entonces, lo que tenemos que saber siempre es que lo que
multiplica la x me da igual el orden donde esté si ponemos kx o primero
omega t kx más menos omega t, omega t más menos kx Entonces, ¿qué
ocurre? Pues que kx más menos omega t más delta ¿No? ¿Sí? Lo que
multiplica la x es la k ¿Y qué es la k? 2pi partido por lambda. ¿Y qué
es la omega? 2pi partido por el periodo. O si queréis 2pi multiplicado por
f Siempre lo que multiplica al tiempo es la frecuencia angular Que es 2pi
partido por el periodo Y lo que multiplica a la x es la k, el número de
ondas De manera que la velocidad de propagación de una onda No hay que
confundir la velocidad de propagación con la velocidad de vibración
transversal Porque la velocidad de vibración transversal es la velocidad
con que vibra cada partícula Perpendicularmente a la dirección de
propagación Cada partícula del medio material como está vibrando Y la
velocidad de propagación es la velocidad con que avanza la perturbación
en un medio material De manera que si la perturbación avanza de izquierda
a derecha Aparecerán menos y esto va hacia la derecha Pero si va de
derecha a izquierda aparecerán más y va hacia la izquierda Tenedlo
presente esto, porque parece que es lo contrario a lo que uno podría
pensar ¿Y la delta qué es? La fase inicial ¿De qué depende de las
condiciones iniciales si consideramos que empieza a vibrar Cada partícula
del medio material de la posición de equilibrio, del extremo superior
Inferior o cualquier otra posición? ¿Ya qué es la amplitud? Igual que en
el movimiento armónico simple La máxima distancia a la posición de
equilibrio. ¿Y la y qué es? La perturbación La distancia a la posición
de equilibrio en función de x y de t Decía, os iba a decir que la
velocidad de propagación Hemos visto en la fórmula anterior que es lambda
Multiplicado por la frecuencia Y vuelvo atrás Pero con lo dicho ahora
también nosotros podemos expresar esta velocidad Como lambda partido por
el periodo o también Como omega partido por k. Ojo no confundáis La k de
la constante elástica A ver un momentito, la k de la constante elástica
Con la k del número de onda Esto también se puede expresar como omega
partido por k A alguien le puede resultar extraño, pero fijaos omega es
2pi partido por el periodo Y la k es 2pi partido por lambda Y esto es igual
a qué? A lambda partido por el periodo Vemos que la velocidad de
propagación Es lambda partido por el periodo No. Lo puedes expresar como
omega partido por k O lambda multiplicado por la frecuencia Las tres
ecuaciones son equivalentes Bien. Aquí tenemos la ecuación Como yo lo
había comentado, lo que es cada letra Y esta ecuación que tenéis aquí
abajo es una ecuación general de una onda Donde nos dice que siempre se ha
de cumplir Que la segunda derivada de la ecuación con respecto a x Ha de
ser igual a la segunda derivada con respecto al tiempo por 1 partido v
cuadrado Esta ecuación implica las segundas derivadas Parciales. ¿Qué
son derivadas parciales? Pues derivadas con respecto a x Unas y las otras
con respecto a t. No, se deriva igual Solo que cuando tú derivas con
respecto a x la t es constante Y cuando derivas con respecto a t la x es
constante Aquí tenéis una ecuación que nos permite calcular La velocidad
de propagación de una onda en una cuerda Esta es igual a la raíz cuadrada
De la fuerza aplicada, la tensión Partido de la masa por unidad de
longitud La masa por unidad de longitud v es igual a raíz de f partido por
mu masa por unidad de longitud y tensión de la cuerda ¿Qué es la
energía de un movimiento ondulatorio? Vamos a ver. ¿De qué depende la
energía de un movimiento ondulatorio? Depende de la amplitud Depende de la
frecuencia, en concreto del cuadrado La potencia media es la energía por
unidad de tiempo Entonces esta energía por unidad de tiempo Es
proporcional al cuadrado de la amplitud Y al cuadrado de la frecuencia. Es
decir que si nosotros duplicamos La amplitud, la energía por unidad de
tiempo se cuadruplica Y si nosotros duplicamos la frecuencia, la energía
Por unidad de tiempo se cuadruplica ¿Qué es la intensidad de una onda? La
energía transmitida Por unidad de tiempo y por unidad de superficie
perpendicular a la dirección De propagación. Esa intensidad es igual a p
Que es la potencia, energía transmitida por unidad de tiempo Y partido
unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación Que es 4
pi r al cuadrado Si nosotros queremos comparar la intensidad De una onda
esférica a dos distancias determinadas ¿Vale? Como la energía es la
misma La energía transmitida por unidad de tiempo es la misma Nosotros
podemos poner que I1 por 4 pi r al cuadrado Es igual a I2 por 4 pi r al
cuadrado Fijaos que el sistema no absorbe energía Sino lo que está
haciendo, a medida que se aleja A medida que se aleja Del foco emisor, lo
que hace es que esa energía Se tiene que repartir entre mayor número de
partículas del aire Y al tenerse que repartir entre mayor número de
partículas ¿Qué ocurre? ¿No? Que cada una de ellas tiene menos energía
Y por eso la intensidad es menor Y por eso la amplitud es menor Y va
disminuyendo la amplitud de la onda esférica con la distancia Aquí
tenéis, o nos aprendemos la formulita de esta manera O bien de esta otra
manera simplificada A veces es muy útil ya sabérsela así Porque es más
fácil a partir de esta ecuación Sin necesidad de simplificar porque
simplemente es poner el producto de I por la superficie En dos puntos
Bueno, cuanto mayor es la distancia Mayor es el área sobre que se tiene
que distribuir la energía por unidad de tiempo Y por lo tanto menor es la
intensidad y menor será la amplitud ¿Qué es una onda estacionaria? Una
onda estacionaria se forma con la superposición de dos ondas Que se
propagan en la misma dirección y sentido contrario La palabra onda
estacionaria nos está diciendo no que se genere una onda Sino que es como
si fuese una onda estacionaria De hecho no es una onda porque la ecuación
que tenéis aquí no presenta una doble periodicidad Sino lo que me está
diciendo es que la amplitud De cada punto material que está sujeto a estas
dos perturbaciones Depende de la distancia al foco emisor 2A seno de kx Por
seno de omega t Aquí tenéis estas ondas estacionarias En el caso en que
la cuerda tiene una longitud de media longitud de onda Es el modo que se
llama modo de vibración fundamental En el caso B tenemos en que la
longitud De la cuerda coincide con la longitud de onda Primer sobretono o
primer armónico Y así sucesivamente vamos obteniendo distintos modos de
vibración Recordemos que el nodo es un punto Donde la cuerda nunca se
mueve Los nodos y los antinodos son los puntos De máxima amplitud en
movimiento de la cuerda Donde la amplitud es máxima Bueno aquí tenéis
una fórmula que nos permite Establecer o deducir la frecuencia De los
distintos modos de vibración En función de la frecuencia fundamental La
frecuencia fundamental es para n igual a 1 Se corresponde en que L es igual
a lambda medios Aquí volvemos a tener el dibujo Y la frecuencia e viene
dada por esta fórmula V partido 2L Siendo 2L la longitud de onda Porque
lambda será dos veces L Porque L es lambda medios El segundo armónico o
primer sobretono No se trata más que de sustituir en la fórmula que
tenéis en el recuadro Y a partir de aquí podéis ir sacando las distintas
frecuencias de vibración En función de la longitud de onda y de la
rapidez O si queréis también en función de la frecuencia fundamental Si
queremos hablar un poco del sonido La velocidad de propagación del sonido
Aquí tenéis distintas fórmulas en función si el medio material es
sólido, líquido o gas Vemos que en el caso de un gas La velocidad del
sonido cuando se propaga en el aire Es directamente proporcional a la raíz
cuadrada de la temperatura E inversamente proporcional a la masa molecular
En general la velocidad, la rapidez de una onda Depende del medio material
sin duda Aquí tenéis también forma de representar Una onda del
desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio Una longitud de
onda lambda Entonces tenemos Una representación del desplazamiento de las
partículas individuales Aquí tenemos un desplazamiento horizontal Se
trataría de una onda longitudinal Son desplazamientos horizontales Y abajo
tenemos la representación, una gráfica de presión Con respecto a X Os
dais cuenta que el desplazamiento es máximo Cuando el desplazamiento es
máximo la presión es nula Y cuando la presión es máxima El
desplazamiento no Las partículas se separan La presión en su parte mayor
Lo vemos, fijaos las gráficas Porque coinciden A mayor compresión, a
mayor presión Pues estará comprimido el desplazamiento nulo Cuando la
presión es nula máximo desplazamiento Y viceversa Bueno, la intensidad
del sonido vuelve al igual que antes Ser proporcional al cuadrado de la
amplitud y al cuadrado de la frecuencia Y lo que sí es muy interesante en
el caso del sonido Es una onda esférica y por lo tanto podremos aplicar En
el sonido esta fórmula que hemos visto antes I1 4pi r1 cuadrado Igual a I2
4pi r2 cuadrado Es introducir el concepto del nivel de intensidad O
decibelios El nivel de intensidad O decibelios es 10 logaritmo de I partido
I0 Siendo I0 lo que se llama la intensidad umbral Es la mínima intensidad
que percibe el oído humano No hay que confundir beta con la I Es algo que
se confunde con mucha frecuencia Beta es el nivel de intensidad, son
decibelios Porque es 10 veces logaritmo de I partido I0 Y otra cosa es la
intensidad La intensidad que es la energía transmitida por unidad de
tiempo y por unidad de superficie Son vatios partido por metro cuadrado Yo
puedo calcular la variación de la intensidad con la distancia Con la
fórmula que tenemos aquí arriba Y una vez que tenga la nueva intensidad
puedo calcular los nuevos decibelios Pero en ningún caso yo puedo plantear
una fórmula o una expresión Que me varíe los decibelios con la distancia
No. Es decir, si yo tengo unos decibelios y quiero saber la distancia Lo
primero es pasar los decibelios a I, despejando de este logaritmo decimal Y
una vez que tenga la I, pues sabemos que la I La intensidad es la potencia
por unidad de superficie ¿Vale? Y si quiero relacionar dos distancias con
dos niveles de intensidad Siempre, aquí arriba, nunca puedo sustituir
decibelios Tengo que sustituir vatios por metro cuadrado Bueno. Aquí
tenemos las ondas estacionarias para un tubo abierto ¿No? Y para un tubo
cerrado Las distintas frecuencias ¿No? Hasta el enésimo armónico ¿Vale?
El efecto Doppler Que tenéis aquí, pues nos está diciendo cómo varía
la frecuencia que percibe Un receptor en función de que el emisor esté En
reposo, o acercándose, o alejándose Siempre que se estén acercando el
foco El emisor ¿No? La frecuencia que va a percibir el receptor Será
mayor. Mientras que si el emisor Se aleja, la frecuencia será menor y
viceversa También con el receptor. Siempre que se estén aproximando Va a
aumentar la frecuencia y si se están alejando Va a disminuir. De hecho
tenéis esta fórmula que relaciona La frecuencia escuchada por el receptor
y la frecuencia emitida Por la fuente. De manera que v más vl Tiene lugar
cuando se aproxima Velocidad del escucha, el receptor. Y vs Es la velocidad
de la fuente, que es menos Cuando se aproxima y más cuando se aleja
¿Vale? Ondas de choque Producida por una fuente de sonido que se mueve
más rápido que la velocidad del sonido ¿De acuerdo? Bueno y aquí
tenéis un conjunto de problemas ¿No? De ondas transversales de una cuerda
Que tienen una amplitud determinada y una velocidad ¿No? Las ondas viajan
en el signo negativo de las x ¿No? Y nos dicen que en x igual a cero Tiene
un máximo de desplazamiento hacia arriba Calcule la frecuencia, el periodo
y el número de ondas ¿Vale? Escriba la función de onda, etc. Bueno pues
aquí tenéis un poquito la expresión Nosotros sabemos la velocidad,
sabemos la longitud de onda ¿No? Y la frecuencia es v partido por lambda
Siendo la frecuencia 25 hercios 25 hercios Bien. El periodo es la inversa
de la frecuencia k es 2pi partido por lambda, lambda la conocemos Y a
partir de aquí nosotros somos capaces de calcular la ecuación de la onda
Fijaos que la delta lo calculamos con las condiciones iniciales Que nos
dicen que en el instante inicial, en el origen La elongación es máxima.
Como he tomado una función coseno Aquí la delta me sale cero. Y el signo
más que hay entre kx y omega t Es porque la onda se propaga de derecha a
izquierda Si yo quiero saber la perturbación En un instante y en un punto
dado no tengo más que sustituir por x y el tiempo dado. Y las unidades que
me salen Mucho cuidado, son las unidades de la amplitud Después nos piden
el tiempo Dice ¿Cuánto tiempo debe pasar después de t igual a 150?
Bueno, para que la partícula En 0.360 vuelva a tener un desplazamiento
máximo Hacia arriba Vamos a ver ¿En qué instantes tiene un
desplazamiento máximo? Cuando el coseno vale 1, en 0.360 Y vamos dando
tiempos y vemos que para n igual a 5 El tiempo es 1.155 Entonces, fijaos
que el tiempo que teníamos Era 1.150 0.150 Después de 0.150 ¿De acuerdo?
0.150 Entonces el tiempo que hay que descubrir Es la diferencia entre ese
tiempo n Llegar a un extremo menos el que teníamos de 1.150 Bueno, hay
algunos más por aquí Y ya tenemos que ir acabando A ver, un momentito Es
que, no se que ha pasado aquí Tiempo 0.150 Bueno 0.155 Esto, miradlo por
aquí la solución Porque ahí hay una errata Aquí tenemos otro de ondas
Como veis Este es representar una onda Esto es muy tedioso este ejercicio,
pero bueno Es instructivo si lo queréis considerar Aquí este es de una
varilla de latón Una persona del otro extremo escucha dos sonidos causados
por ondas longitudinales Una viaja por la varilla y otra viaja por el aire
Calcular el intervalo de tiempo entre los dos sonidos Bueno Pues ya sabéis
que la velocidad es distinta en el aire o en el latón El espacio recorrido
Es el mismo, por lo tanto el tiempo invertido es distinto Y ese será el
intervalo de tiempo entre ambos sonidos Aquí también tenemos uno de
sobretonos Modo fundamental, primer sobretono, segundo sobretono La
velocidad de propagación es la tensión por la densidad lineal Donde la
densidad lineal es m partido por L Y aquí tenemos cuál sería la
frecuencia fundamental V partido 2L Y si quiero saber el segundo sobretono
sería la frecuencia tres veces el modo fundamental Bueno, aquí ya para
acabar Solo quería abriros Y ya lo dejamos No, este no es Un momentito
Este es el que acabamos de ver Y os había puesto también para practicar Y
si no lo añadiré Pero yo diría que sí, que estaba aquí Para acabar
Problemas de onda, sin más Os había añadido algunos ejercicios más Os
lo ha abierto este archivo para que veáis algunos ejercicios de decibelios
De intensidad Que bueno, los tenéis aquí resueltos Y hay algunos
apartados facilones y otros un poquito más difíciles Y siempre os puede
ayudar a asimilar Los problemas de este tema Aunque sí que es cierto que
hasta la fecha Problemas De ondas y movimiento armónico simple No, no ha
habido en los exámenes Bueno sí, de movimiento armónico simple sí
Mezclado con otras cosas sí, de ondas Pero en la PEC seguro que tiene que
haber cuestiones de ondas y de movimiento armónico simple Y teoría, pues
os pasaré el resumen que tengo recogido De los últimos dos años y
veréis que no es habitual Muchos ánimos y que resolváis la PEC este fin
de semana Esperad un poquito, miraros esto un poquito las cosas si no
habéis tenido tiempo Y delante que tengáis suerte La semana que viene
hablaremos de termodinámica Y os dejaré todo preparado para que podáis
hacer la última Os pasaré un par de grabaciones Venga pues hasta otro
momento Buenas noches, gracias a ti