Pues bien, muy buenas tardes ¿Me escucháis? ¿Está bien todo el aparato
de sonido y vídeo? Buenas tardes, mi nombre es Juan José Miralles Canals
Y soy el tutor del Centro Asociado Albacete Responsable del primer tema de
oscilaciones libres y forzadas No hay problemas de sonido ni de cacharreo
Todo el mundo escucha bien Y visualiza bien ¿Podéis contestar en el chat?
Vale, muy bien Pues eso, la sintonía de esta videoconferencia Muy bien,
pues vamos a comenzar La videoconferencia Esta tarde vamos a trabajar
¿Veis el título? Con la primera parte en la que he dividido El tema 1 de
oscilaciones libres y forzadas Que es más Movimiento armónico simple y
superposición de vibraciones Básicamente cubriremos las tres primeras
lecciones Del FENCH, que es el libro de texto de la asignatura Y la segunda
parte Y el programa de lo que más o menos vamos a ver hoy Es cinemática
del movimiento armónico simple El estudio de la superposición de
vibraciones Resolución de problemas Mientras explicamos la teoría Y al
final si hay tiempo me gustaría hacer una especie de práctica
Compartiendo el escritorio, aunque sé que la resolución no es muy buena
Pero para que se visualice como se puede usar una herramienta de cálculo
simbólico Como matemática en la representación y en el estudio del MAS.
Particularmente considero que las herramientas de cálculo simbólico,
sobre todo para estudiantes de ciencias como vosotros, que estáis a
distancia, es una herramienta fundamental de aprendizaje. Y da igual que
tengáis matemática o, por ejemplo, que uséis máxima. Los alumnos que
tenéis física computacional 1, en este segundo cuatrimestre, usáis
máxima en las prácticas. Pues el código con el que trabajaremos de
matemática es fácilmente traspasable a máxima. O el que tenga Maple o
otra herramienta de cálculo simbólico, pues no cuesta mucho pasar de una
a otra. Pues si hay tiempo, trabajaremos con una implementación de los
contenidos de la lección de superposición de vibraciones en matemática.
Bien, pues como ya decía antes, la bibliografía que tenéis para la
lección, de esta lección, serían los capítulos 1, 2 y 3 del libro del
Frank Vibraciones y Ondas. Si tenéis alguna duda en cualquier momento,
pues usáis el chat, donde os aparece la herramienta de chat, mandáis una
pregunta e intentaré contestar. Bien, algunos de los objetivos de esta
lección es conocer las características generales de un movimiento
armónico simple, establecer una analogía entre el movimiento armónico
simple y el movimiento circular uniforme de una lección, una partícula
material, conocer y saber usar el significado de un fasor, saber resolver
expresiones con fasores, saber representar un más mediante fasores, saber
superponer vibraciones paralelas, saber superponer vibraciones
perpendiculares y conocer el significado de las figuras de desayados. Este
es un pequeño problema con la disposición del panel. A ver si así
funciona. Bien. Bien, pues comenzaremos por la cinemática de un movimiento
armónico simple, que en general diremos que un movimiento es oscilatorio,
un movimiento es oscilatorio o vibratorio, si se reproduce idénticamente a
sí mismo después de un cierto intervalo de tiempo T mayúscula, al que
vamos a denominar periodo. Se dice que la vibración efectúa un ciclo
durante ese tiempo. A ese intervalo de tiempo T mayúscula le llamamos
periodo. La frecuencia de una vibración se suele representar con la letra
nu y es la inversa de un periodo y se define como el número de ciclos
efectuados por unidad de tiempo. El movimiento armónico simple es un caso
particular de movimiento oscilatorio. ¿Cómo vamos a definir un más? Pues
diremos que cualquier sistema físico con un grado de libertad al que
representamos por una función que llamamos x de T si esa función que nos
da el grado de libertad del sistema físico obedece al patrón amplitud por
coseno de omega cero sub T más delta donde omega cero es lo que se
llamaremos frecuencia natural del sistema mejor dicho frecuencia angular
del sistema delta tenemos que le llamaremos... ...el desfasaje. Pues
cualquier sistema físico cuyo grado de libertad obedezca esta función,
este patrón diremos que la cinemática de ese sistema realiza un
movimiento armónico simple. ¿Alguna pregunta? ¿Alguna duda? ¿Hasta
ahora? Definida el más como esta función es importante tener claro los
nombres y no confundir los términos que suelen aparecer en la literatura,
en los libros asociados a los diversos términos de esta función. A, el
término que multiplica al coseno se le llama amplitud de la oscilación.
W0 se llama frecuencia angular o pulsación del sistema y se mide en el
sistema internacional de unidades en radianes partido segundo. Mu se llama
frecuencia del más y sus dimensiones son T a la menos uno es la inversa
del periodo y se mide en el sistema internacional en uno partido segundo
que es hercio. Es importante no confundir la frecuencia angular con las
frecuencias secas. La forma de no confundirlos en los denunciados es tener
claro que la frecuencia angular se mide en radianes por segundo y las
frecuencias secas en hercios. T mayúscula ya hemos dicho que es el periodo
y ahora podemos analizar todo el argumento del coseno que a su vez es una
función del tiempo omega sub cero t más delta. Si atribuimos la
frecuencia angular a la frecuencia secas Toda esta función del tiempo,
omega cero t más delta, la llamamos phi, mayúscula de t, a eso se le
llama fase del más. O sea que el producto de la frecuencia natural del
sistema por el tiempo más el desfasaje inicial le llamamos fase o ángulo
del más. De forma que en t igual a cero, la fase nos da delta, que es el
desfasaje. ¿Se entiende eso? De forma que podríamos escribir toda la
cinemática del más como x de t igual a a por el coseno de la función
fase, donde t igual a cero sería el desfasaje o fase inicial. ¿Dudas en
la nomenclatura? Pues seguimos. Hay dos propiedades fundamentales que al
final tienen que ver, el más se define como una amplitud constante por un
coseno, pues tienen que ver con la periodicidad de las funciones
trigonométricas coseno-seno y estas dos proposiciones son que durante un
ciclo completo de un más la fase aumenta en 2pi y proposición 2 en un
más se cumple que el periodo es 2pi partido la frecuencia natural. El
periodo es proporcional a la inversa de la frecuencia natural. Estas dos
propiedades son fundamentales, demostrada la primera, intentad hacerlo como
ejercicio en la demostración, intenten hacerlo como ejercicio, la
proposición 2 es un corolario de la primera. Una ayuda para intentar sacar
la proposición 1 es tener en cuenta la periodicidad de las funciones
coseno si defines el más en términos del coseno. Bien, seguimos. Pues
hemos definido el más... ...como cualquier sistema físico con un grado de
libertad que es una función del tiempo x de t, de esta manera, pero hay
otras formas equivalentes de definir el más. Si en vez de usar el término
que multiplica el tiempo en la fase, la frecuencia angular, usamos la
frecuencia natural, usando la relación de que la frecuencia angular es 2pi
por la frecuencia, pues esta sería otra expresión del más. Y si ponemos
la nu como 1 partido por 3... ...esta sería otra expresión totalmente
equivalente del más. De alguna manera hay que manejarse con las diversas
formas que aparecen en los textos, en los libros y en los enunciados de los
problemas de dar un más. La tercera proposición nos dice que para todo
más expresado como este patrón... ...ah, aquí habría mejor poner omega
sub cero, a coseno omega sub cero de t más delta... ...las constantes
amplitud y desfasaje... ...esas dos constantes del más... ...con más
constantes en el sentido de que no dependen del tiempo... ...se pueden
poner en función de las condiciones iniciales. Llamaremos condiciones
iniciales x cero, la posición en el instante inicial del sistema
físico... ...y v sub cero, la velocidad inicial del sistema físico en el
instante inicial. Pues bien, las constantes a y delta son funciones de x
cero y v cero... ...de x cero... ...a ver si lo puedo... ...puedo
subrayar... ...y v cero. Esto es muy importante a la hora de resolver
problemas en el ámbito de la física. Si uno está haciendo matemáticas,
pues trabaja perfectamente con la definición del más de a delta...
...pero lo que diferencia un movimiento armónico simple en un contexto
matemático, en un contexto físico... ...es que en un contexto físico,
veremos en la siguiente videoconferencia... ...el más es la solución de
una ecuación diferencial de segundo orden y es fundamental para encontrar
esa solución... ...tener como información la posición y la velocidad
inicial. Conocidas la posición y la velocidad inicial, que en términos de
laboratorio son condiciones... ...bajo los cuales se realiza el
experimento, la amplitud y el desfasaje obedecen las ecuaciones dadas por
la proposición 3. Bien, ¿de dónde salen esas relaciones de amplitud en
función de condiciones iniciales y de pasaje en función de condiciones
iniciales? Pues en esta transparencia se intenta visualizar de dónde
viene. Dado el más, pues en t igual a cero llamaré x sub cero, x en t
igual a cero a x sub cero. En esta ecuación al sustituir t por cero nos
queda a coseno, dividimos, obtenemos la derivada de x, la derivada de x es
a por el seno con signo menos, eso será v sub cero en t igual a cero y nos
queda menos v sub cero a seno de delta. De la primera ecuación despejamos
coseno de delta, de la segunda expresión sacamos seno de delta y usamos la
identidad trigonométrica de que el seno cuadrado... ...más el coseno
cuadrado de cualquier ángulo es uno y eso nos permite escribir esta
relación. En esta ecuación coseno cuadrado más seno cuadrado de delta
vale uno, podemos despejar a, esta es ya la amplitud en función de las
condiciones iniciales, y volviendo a este sistema de ecuaciones, tomando
seno partido coseno nos queda la tangente, de forma que nos quedará esta
fracción partido por esta, de donde despejamos que delta es la tangente a
la menos uno de menos uno. V sub cero partido x cero por frecuencia natural
del sistema. Todo el material de la videoconferencia está en... ...se me
ha olvidado decirlo y lo había dicho al principio, disculpad. ¿Veis
dónde pone el icono? ¿Veis un icono que pone una maletita? En el icono
que pone la maletita pincháis y os podéis bajar en principio los
ficheros. Un fichero que pone print, que es para imprimir, y un fichero de
adobe con las animaciones más... ...mantenidas de adobe presenter, que os
lo bajáis y lo ejecutáis pinchando y las animaciones de la fórmula o
cualquier vídeo que haya se mantienen. Luego al final de la sesión
veremos si comparto el escritorio y os digo un ejemplo de cómo bajarlo
para el que tiene menos experiencia en esto. ¿Alguna duda hasta ahora? Lo
que hemos visto hasta ahora es definir un más y ser capaz de visualizar la
amplitud y el desfasaje del más en función de las condiciones iniciales,
posición y velocidad del sistema físico, que es lo que le dota al más de
sentido físico. Bien, a ver, pues construimos la cinemática a partir de
la definición del más, derivamos una vez y obtenemos la velocidad, x
punto, supongo que estáis formalizados con esa anotación, significa
derivada de x respecto del tiempo. ¿Todos tenéis clara la anotación?
¿Hay alguien que tenga problemas con la anotación x punto? x punto, x dos
puntos será la segunda derivada de x o la primera derivada de la
velocidad, eso nos daría la aceleración del sistema. Luego construimos la
cinemática a partir de la primera derivada de la posición que es la
velocidad, a partir de la segunda derivada que es la aceleración. Una
característica fundamental de la dinámica del más, que será objeto de
la lección siguiente, es que la aceleración de un más, es opuesta al
desplazamiento. Eso es lo que caracteriza dinámicamente a un más. Bien,
pues seguimos. Vamos a hacer un primer ejercicio que tiene que ver con la
interpretación de los términos de un movimiento armónico simple. La
anotación en esta videoconferencia, PTV significa problema tutorial.
Tutoría virtual, tutoría 1, problema 1, y así sucesivamente. El primer
problema es una partícula realiza un más dado por una expresión, la
expresión la tenéis aquí escrita, donde x se mide en milímetros y t en
segundos. Obtener frecuencia, periodo, amplitud, desplazamiento, frecuencia
angular, posición del más y representarlo gráficamente. También obtener
la velocidad y la aceleración en todo instante, y se pregunta al final si
el más propuesto es un más físico. Os dejo así un par de minutos para
que intentéis, sería conveniente que tuvierais lápiz y papel, intentéis
plantear a ver cómo haríais un planteamiento del problema y si queréis
preguntar algo en el chat. Un minuto de reloj, ¿vale? Para que pensemos un
poco. Y el que quiera puede hacer alguna pregunta, si no sabe muy bien
cómo enfocar en principio el problema. Daros cuenta que es a partir del
enunciado del MAC, pues ir desgranando lo que te van preguntando en
términos muy básicos. Frecuencia, periodo, amplitud, desfasaje, tener
claras las definiciones. ¿Alguna pregunta, alguna duda? Vale, pues venga,
vamos a comentar la resolución. Si nos piden la frecuencia, pues
entenderemos, como no nos dicen frecuencia angular, que nos están pidiendo
la NU. La relación que sabemos es que... La frecuencia angular es 2pi por
la frecuencia. El periodo es 2pi partido de la frecuencia angular, por lo
tanto esto será 2pi partido por 2. ¿De dónde sacamos el 2? Pues en el
enunciado, habrá que volver atrás, es la cantidad que multiplica a t.
Como he hecho dibujitos se ven... Un momento que me he ido demasiado
atrás. Disculpad, que le he dado donde no debía. Vale. Eso decía que a
la vista del más, pues la amplitud valdrá 0.3, la frecuencia natural
angular, omega sub cero, 2 radianes partido segundo, y el desfasaje vale pi
sextos. Esto es lo que tenemos que integrar en la resolución. que es lo
que aparece aquí bueno, pues T2pi partido la frecuencia que es 2 por lo
tanto el periodo son pi segundos la frecuencia en hercios es la frecuencia
natural angular partido de 2pi por lo tanto 2 partido de 2pi, pi a la menos
1 hercios la amplitud en el sistema internacional 3 por 10 elevado a menos
4 metros que es conveniente dar las longitudes o cualquier magnitud física
del más en el sistema internacional el desfasaje era pi sextos era la
parte del ángulo que no iba multiplicada por el tiempo pi sextos eran
radianes y la frecuencia angular, la parte que multiplicaba al tiempo en el
argumento, 2 radianes partido de segundo el apartado nos dice representar
gráficamente el más bueno, pues aquí sería conveniente si tenéis
matemática, matemática si tenéis máxima, máxima si tenéis maple,
maple si tenéis deriva si tenéis alguna herramienta y máxima la ventaja
que tiene es que es código libre y os la podéis bajar gratuitamente
programar en una herramienta de cálculo simbólico el más que hemos
definido como es cálculo simbólico y en matemática o en máxima seguro
que podéis hacer x en matemática es abrir corchetes creo que en máxima
también t, a, w, 0 y delta son las variables con el guión bajo indicamos
variables y aquí dos puntos igual sería la asignación como se hace
diferida tanto en matemática como en máxima a por el coseno de omega 0 t
más delta una vez que tenéis definida la función pues usáis el comando
que haya en el programa que estéis usando en matemática es plot en
máxima también creo que es plot plot, abre corchete cierra corchete plot
de la función daros cuenta que en la función damos valores a todo lo
menos al tiempo esta es la frecuencia esta es la amplitud del problema esta
es la frecuencia angular este es el desfasaje y representamos x para estos
valores dependiendo del tiempo donde t varía entre 0 y 3pi a partir de
esta coma todo lo demás es para que el gráfico pues aparezca bonito el
resultado de ejecutar es x en función del tiempo pues aquí tenéis el
más que hemos representado en el programa estáis acostumbrados a usar
alguna herramienta de cálculo simbólico como máxima, matemática me
podéis poner en el chat que es lo que cada uno usa los que uséis algo el
que use derive, derive el que use máxima, máxima el que use malab, malab
para ver un poco como está el uso de estas herramientas ¿Máxima nadie?
Muy bien, máxima. ¿Matemática? Vale, máxima. ¿Derive? Muy bien. Vale.
Vale. Pues, alguien dice que las usa, algún compañero ha dicho que las
conoce y no las usa, yo creo que es muy importante, y más en los estudios
de física, que os hagáis con estas herramientas, porque solo aquí en
casa, para toda la parte matemática de las diversas asignaturas que
conforman los estudios del grado, os pueden servir como un inestimable
amigo. Muy bien. Pues, ¿cómo obtendríamos la velocidad? Podéis hacerlo
con lápiz y papel. Si usáis... Si usáis una herramienta de estas, con
lápiz y papel sería coger la velocidad, derivar respecto al tiempo la x,
con una herramienta de cálculo simbólico, definimos la velocidad como
derivada, abre corchete, cierra corchete, de la función x que has definido
antes, coma respecto de t. Al ejecutar esto te queda menos a w seno de
omega cero t más delta, que es... ... ...el resultado esperado. Algunos
alumnos dicen que usan MATLAB, MATLAB es una herramienta fundamental de
cálculo numérico, sobre todo en el ámbito de ingeniería, pero tiene un
problema que cuando compras o instalas la versión de MATLAB, en principio
MATLAB no lleva, por defecto no te instala la versión simbólica. La
versión simbólica de MATLAB es el Maple, y debes de comprar MATLAB con el
paquete de la versión simbólica. O a la hora de instalar MATLAB, por
defecto no te instala Maple, decirle que te instale Maple. Además podéis
visualizar, creo, recordar, no lo sé, pero entrar en la página de la UNED
de software para alumnos, creo que la versión de Maple, hay una versión
gratuita de Maple para los alumnos de la UNED, creo recordar. No obstante,
para complementar, mi recomendación sería que os centrarais si tenéis la
herramienta máxima, que es libre, y la tenéis que usar en física de
computación o en el ámbito de ingeniería. Y la versión 1 sería quizás
la mejor herramienta para implementar vuestros cálculos en las diversas
asignaturas, por lo menos de primero. Bien, seguimos. La siguiente
operación sería calcular, dibujar la velocidad, podría ser plot, de la
función velocidad que hemos obtenido, que era esa derivada, donde vamos a
contar que hace un pequeño truco, tanto si lo hacéis en máxima como en
matemática, que es que la velocidad de t, simbólicamente nos deriva t.
Entonces hay que introducir una especie de variable muda que es tt. Aquí
lo único que hay que hacer es que la velocidad de t, que deriva t,
sustituye t por tt, donde tt varía entre 0 y 5pi. Es usar una especie de
variable muda en la sustitución. Con ese pequeño truco, pues, en un solo
paso, definís v como la derivada y ploteáis, si me permitís la
expresión, v en función de la variable t introduciendo la variable muda
tt. El resultado, pues aquí tendríais la velocidad y análogamente
resolvemos la aceleración. Pues ya os estudiáis el código, la
aceleración vuelve a ser la derivada. Aquí hay una rata, la aceleración
sería la primera derivada, aquí debe de poner v, no x. Y esa primera
derivada la tenéis implementada aquí, derivada de v y el mismo truco de
la variable muda tt que os permite dibujar la aceleración. Muy bien, pues
¿cómo se contesta la pregunta es el ejemplo propuesto de más un ejemplo
físico? Esta pregunta hace referencia a la condición de si la amplitud y
la frecuencia natural que aparecen en la definición del más tienen
sentido físico. Y las contestaciones tendrán sentido físico si yo a
partir de esa amplitud y de esa frecuencia natural soy capaz de obtener una
posición y una velocidad que son números reales. De alguna manera que
puedo realizar un experimento con esas condiciones iniciales. Pues lo que
hay que hacer, aquí tenéis el uso de... Resuelto el problema usando
matemática, lo que hay que hacer es coger en las expresiones de la
amplitud, aquí conocemos la amplitud y aquí conocemos delta, la amplitud
es 0,3, el desfasaje es pi sextos y tenemos un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas y hay que despejar x0 y v0, aquí tenéis el uso de
solve en matemática, se llama igual en máxima para plantear un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas, aquí veis las dos ecuaciones separado
por llaves en matemática, coma y entre llaves las dos incógnitas x0 y v0.
Aquí aparecen las soluciones y pasado al lenguaje humano os dan dos
soluciones, una ecuación de segundo grado implementa dos soluciones, por
lo tanto como en cualquiera de las dos soluciones obtenemos una posición y
una velocidad posibles, números reales, el ejemplo propuesto es un más.
¿Cuándo el ejemplo propuesto no sería un más? ¿Sería solamente un
artificio matemático? Pues si al resolver este sistema de ecuaciones
obtuvierais por ejemplo para la posición un número complejo o para la
velocidad o para ambos números complejos, entonces sería un invento
matemático pero no realizable en un laboratorio, no sería un más que
correspondería a un ejemplo físico. Esta pregunta os pone de manifiesto
la importancia de entender y relacionar la definición matemática de un
más con la física que está en las condiciones iniciales y se refleja en
las relaciones amplitud condiciones iniciales, desfasaje condiciones
iniciales. ¿Se entiende alguna pregunta? ¿Alguna pregunta? ¿Se entiende
el ejemplo de cuando un más no sería un ejemplo físico? Muy bien, pues
seguimos. Vale. En el uso de la definición del más nosotros hemos
caracterizado el más por este patrón pero es fácil comprender que debido
a las relaciones trigonométricas entre las funciones coseno-seno o la suma
de coseno-senos hay muchas y variadas formas de dar un más. Lo importante
es ser capaz de relacionar el más con el que estás trabajando nosotros
estamos trabajando con este que tenéis recuadrado con cualquier otro que
pueda aparecer en cualquier otro enunciado del problema, en cualquier otro
texto. El problema 2 tiene que ver con esto. Las siguientes ecuaciones
representan la posición de una partícula animada de un movimiento
armónico simple. Las ecuaciones se refieren a la ecuación 1, a la 2 y a
la 3. Las siguientes ecuaciones representan la posición de una partícula
animada de un movimiento armónico simple. Encontrar la expresión del
mismo más según la definición dada. De lo que se trata es de dar la
expresión 1, 2 y 3 en función del más con el que estamos definiendo, en
la expresión matemática que estamos usando, a coseno para definir el
más. Por lo tanto, fijaros en el primero. ¿Qué es lo que habrá que
hacer en el primero? Ser capaz de poner D en función de... ...de A y de
delta y ser capaz de poner phi en función de A y de delta. Y lo mismo para
las funciones propuestas en el caso 2 y en el caso 3. Pues vamos allá.
Aquí tenéis la definición a la que queremos llegar y esta es la
definición de la que partimos. Por lo tanto, si comparamos ambas, ¿qué
deducimos? Que la amplitud... D debe ser la amplitud A. Por lo tanto, A
igual a D sería una solución. Omega cero está con omega cero. Por lo
tanto, la delta de la definición tiene que coincidir con menos phi. Luego,
cuando nos dan el coseno de la frecuencia por el tiempo menos el ángulo,
el delta tiene que ser menos el ángulo. Solución clara y evidente, ¿no?
No habrá ningún problema. Vamos a ver el siguiente caso que es un poquito
más difícil. Nos dan... Un más en función de un seno con un argumento
menos sí. La pregunta es, ¿cómo pasamos del que nos dan a la forma A
coseno de omega cero más delta? Pues lo que hay que usar es la propiedad
de que el coseno de un ángulo es el seno de ese ángulo más el factor
2pi. Usando esta propiedad que tenéis aquí, pues ¿qué nos queda? Nos
queda, identificamos, y nos queda A igual a F y coseno de omega cero más
delta igual a cero cero de omega delta más delta más pi medios. Por lo
tanto, delta más pi medios, lo tenéis recuadrado en rojo, tiene que ser
menos fi. Luego la solución es A igual a F, delta igual a menos fi más pi
medios. Y pasamos de la forma seno frecuencia-tiempo menos desfasaje a la
forma coseno más desfasaje. ¿Preguntas? Muy buenas, acaba de incorporarse
un compañero. Saludos. Bien, pues estamos en el tercer caso, que sería el
más difícil. Ahora el más nos aparece en términos de una superposición
coseno-seno. Tenemos B coseno de omega cero t más C seno de omega cero por
t. Y lo que queremos es convertir esta expresión en... ...la expresión...
...con la que estamos definiendo en toda la lección el más, que es A por
coseno de omega cero t más delta. La propiedad que vamos a usar, la
tenéis aquí enunciada, el coseno de la diferencia de ángulos... ...es el
producto de los cosenos de los ángulos más el producto de los senos de
los ángulos. Pues vamos a aplicar esta definición a la forma del más
de... ...eh... ...no voy a subrayar esto, pero lo he subrayado mal, vamos a
encuadrarlo mejor... ...a la forma de coseno de omega cero t menos phi. Que
es una forma, la primera en la que estudiamos, la más sencilla, de forma
que de esta sabemos pasar... ...pasaremos de esta a esta, este sería el
planteamiento del problema... ...y luego pasaremos de esta a la que
queremos. Ese será nuestro planteamiento del problema. Bien, pues
entonces, d coseno de la diferencia lo ponemos en función de la expresión
trigonométrica que hemos comentado. Y ahora exigimos que se cumpla que d
coseno valga b coseno de omega cero t más c seno de omega t, donde d
coseno de la diferencia lo hemos desarrollado. Pues en la siguiente
diapositiva vemos la ecuación a la que nos lleva, a ver, muy bien, pues
queremos que se cumpla esto, esta ecuación, factorizamos la ecuación
anterior en los términos coseno de omega cero t, seno de omega cero t
igual a cero, y imponemos que si la ecuación anterior es cierta lo será
en todo instante de tiempo, y en particular en el instante t igual a cero.
t igual a cero y t igual a pi partido dos v cero. Lo que, seguís el
álgebra expuesta, nos permite determinar la relación entre b y d, entre c
y d, y a través de la tangente de phi, tangente de phi como c partido por
b. De forma que estas dos ecuaciones resuelta el álgebra de la ecuación
anterior para los instantes dados, a ver que me he confundido, no quería
la flecha, esta ecuación y esta ecuación nos permiten el cambio de b
coseno más c seno al término de coseno, ¿vale? Y una vez que tenemos el
d coseno de omega cero t menos phi, como vimos al principio, pues es muy
fácil identificar d con a. De forma que el resultado de lo que hemos
hecho, lo podemos resumir diciendo que si tenemos un más de esta manera
obtenemos el más con el que hemos definido la teoría mediante las
relaciones a igual a la raíz de b cuadrado más c cuadrado y delta igual a
menos la arcotangente de c partido por b. Estas relaciones serán
importantes en la resolución de la ecuación anterior. Y la forma de pasar
de un más a otro, pues en cualquier momento para resolver un problema dado
o consultar un texto donde el más esté definido de otra manera, os pueden
ser muy útiles. ¿Alguna pregunta sobre el ejercicio? ¿Preguntas?
seguimos ok, muy bien, pues nada hay un compañero que dice que tiene que
salir como en los últimos tiempos todos estamos bastante conectados al
ordenador si no tenéis un libro a mano recordad que tenéis en la
Wikipedia en esta referencia pues tenéis todas las relaciones
trigonométricas os he hecho una captura de pantalla con el seno de la suma
de ángulos o la suma o diferencia de ángulos o con el coseno de la suma y
diferencia de ángulos pinchad y en cualquier momento tenéis todas las
relaciones trigonométricas si estáis a medio de hacer un problema y
trabajando con vuestro ordenador seguimos bien, pues de alguna manera ya lo
hemos visto en un problema simplemente pues enfatizar que la cinemática
del más la construimos a partir de la posición x de t derivamos una vez
obtenemos velocidad derivamos otra vez y obtenemos aceleración y es
conveniente os lo representáis vosotros aunque aquí se ve un poquito mal
en la gráfica que os he puesto representar una misma gráfica para ver el
desfasaje que hay entre la señal en rojo la posición azul velocidad y la
aceleración en verde aquí os lo comento en la transparencia que la
relación de frecuencias es 1 w w 0 cuadrado viene de hacer la primera
derivada aparece la frecuencia en la segunda derivada aparece la frecuencia
al cuadrado y que la velocidad y la aceleración están desfasadas respecto
de x esas fases son pi medios y pi como podéis deducir de analizar las
gráficas en una sola gráfica mostrando posición, velocidad y
aceleración muy bien, pues ahora lo que vamos a hacer en esta parte de la
de la bioconferencia es establecer una relación del más así definido, el
movimiento armónico simple con un sistema físico el sistema físico con
el que vamos a trabajar es el que señalo aquí, quizás demasiado grueso,
vamos a borrar un momento, perdón que borre. Imaginaros que tenemos una
partícula material M, una partícula material M, aquí la señalo, que lo
que está haciendo es dando vueltas. Está dando vueltas formando su
trayectoria una circunferencia de radio constante y está dando vueltas de
forma que el ángulo tecta en el tiempo es una frecuencia W0t más delta,
donde W0 es constante, es decir, la partícula M está dando vueltas
formando la circunferencia con una velocidad angular constante. Bien, pues
nos vamos a fijar en la proyección del radio vector y nos vamos a fijar en
la proyección del radio vector del radio vector R, de este radio vector,
nos vamos a fijar en su proyección sobre el eje de las X. Proyectamos y la
proyección será este segmento que es X de T. Ese segmento X de T será la
proyección que es R, el radio, por el coseno de omega T. Pero tectónica.
Esta es una función del tiempo, es omega T más delta. O sea, ¿qué
estamos obteniendo? Que X de T es R, una constante, por el coseno de omega
0T más delta. Lo que estamos obteniendo es que la proyección en el eje X
de una partícula M que gira con velocidad angular constante realiza un
más. Por eso el título de la transparencia es analogía entre el
movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple. Por ejemplo,
aquí tenéis sistemas físicos, esto sería un muelle vertical, esto
sería un pistón en un fluido, pues ambos sistemas físicos, tanto el
muelle como el sistema de mecánica de fluidos, se mueven, oscilan como un
más, como la proyección en el eje de las X de un movimiento circular
uniforme. Voy a hacer una pausa, digamos esto nos va a servir para
introducir el concepto de vector giratorio y dentro de un vector giratorio
factores, pero observar los enlaces que tenéis aquí, son enlaces a este
fichero, que es un fichero CDF. Los ficheros CDF son ficheros de
matemática que os podéis bajar gratuitos y ejecutar con una aplicación
gratuita, el que no tenga matemáticas... para poder leer y ejecutar, si
hay ejecución dinámica de esos ficheros. Entonces, muchísimas
simulaciones en muchos campos de la física, los podéis encontrar en el
repositorio de Worldman Demonstration Projects y tenéis las simulaciones o
los estudios realizados en ficheros.nb, ficheros.nb tenéis que tener
comprado o instalado vuestro programa de matemática, pero si os bajáis un
fichero CDF, esos ficheros se pueden... abrir y trabajar con ellos, con una
versión, digamos, un lector gratuito de matemática que al final de la
videoconferencia os comentaré. Pues seguimos. Luego, de alguna manera hay
una analogía entre el movimiento armónico simple y la proyección de la
componente X del movimiento circular uniforme. Esa analogía nos permite
introducir los vectores giratorios o representación de Fresnel del
movimiento armónico simple. Tenemos de partida, por lo que hemos comentado
hasta ahora, tenéis un movimiento circular uniforme, una partícula P
realiza un movimiento uniforme, Con una velocidad angular constante, está
girando, y el ángulo en cada instante de tiempo será el ángulo inicial
E, épsilon, por una frecuencia natural, la frecuencia de giro, la
frecuencia angular constante por el tiempo. Muy bien, la representación de
Fresnel, lo que va a hacer es inventarse, en honor del señor Fresnel, se
llama así, la representación de Fresnel, lo que hace es inventarse unos
vectores giratorios, que están en este plano, en el plano de la
circunferencia, donde en cada instante de tiempo lo único que hacen es
estar girando. Estos serían los vectores giratorios con los que vamos a
trabajar. Y todos caracterizados por una frecuencia angular constante.
Bien, entonces nuestro vector giratorio tendrá en coordenadas cartesianas
dos componentes, x e y. Aquí tenéis la y. De forma que, como x e y se
pueden descomponer en a, el radio, la distancia que va de o a p, por coseno
detecta, seno detecta. Pero el detecta es una función del tiempo, que vale
omega t más el desfasaje inicial, que era épsilon, seno de omega t más
épsilon. De todo este vector giratorio a, de todo este vector giratorio a,
el más es la proyección en el eje de las x. Luego la relación entre un
vector giratorio y un más es que dado el vector giratorio, su proyección
en el eje de las x, sigue el más definido como coseno de frecuencia
natural por tiempo más épsilon. En el instante t igual a cero, la
función x de t vale la proyección del vector giratorio a por el coseno de
épsilon. Ahora vamos a introducir en la representación de vectores
giratorios o de Fresnel, vamos a introducir una relación fundamental en la
ecuación quizá más importante, ya decía Feynman que es una de las
ecuaciones más importantes de toda la física matemática, que es la
relación de Euler. La relación de Euler, recordad que nos dice que la
exponencial de i tecta es coseno de tecta más i seno de tecta. Ojo que
estoy llamando i a la unidad imaginaria, i cuadrado igual a la raíz de
menos uno. En otros libros, pues es j lo que define la unidad imaginaria.
Pues bien, vamos a introducir en la definición del vector giratorio, que
era a coseno seno, la relación de Euler. De manera que nos queda que
nuestro vector giratorio a, que en cada instante de tiempo y para una
frecuencia dada lo tenemos definido como el módulo de a, por lo que era
coseno seno, se nos convierte ahora en e i tecta. ¿Estáis de acuerdo?
¿Algún problema hasta ahora? De forma que desarrollando tecta como omega
t más épsilon, todo el vector giratorio, que es el módulo de e, el
vector giratorio nos queda e elevado a j omega t multiplicado por la
proyección, que era módulo de a, por e elevado a j épsilon. Dado el
vector giratorio o vector de Fresnel, llamamos fasor a la parte del vector
que no depende del tiempo. Luego, un vector giratorio es la dependencia Ej
omega t en el tiempo más el fasor, que repito que es la parte del vector
que no depende del tiempo. De forma que entonces podemos escribir que un
vector giratorio es igual a la dependencia frecuencia-tiempo por el fasor.
Y el fasor, ¿quién es? El vector que solo tiene el módulo A por el
desfasaje inicial. No tenéis ni la frecuencia ni el tiempo. Entonces, en
estos términos, ¿qué sería el más? En términos de lo que estamos
definiendo, movimiento armónico simple, representación de Fresnel y
fasores. Pues, si habéis entendido la diapositiva, el movimiento armónico
simple es la parte real, la parte real... del vector de Fresnel, que es la
parte real de multiplicar E elevado a omega jt por el fasor. Y es la
relación importante que tenéis que aprender entre movimiento armónico
simple, vector giratorio o vector de Fresnel y fasor. ¿Alguna pregunta?
¿Preguntas? Bien, la siguiente transparencia tiene que ver con... Es muy
parecida a la anterior. La anterior se llama más y fasores. Pues, partimos
de la relación de Euler. Y ahora voy a escribir una función compleja, z
de t, donde será módulo de z por elevado a i, la función del tiempo,
tecta de t, que es justo omega cero t más delta, de forma que nos queda lo
que hemos llamado el fasor por la dependencia en el tiempo que incorpora la
frecuencia. En estos términos... Pues, el más x de t es la parte real de
esta función compleja. Escrito así, nos preocupará en algunas cuestiones
obtener la primera derivada de x respecto de t. Ya hemos visto antes que la
derivada de x de t respecto de t, si x es un más, pues sería la velocidad
del más. En términos de la función compleja z de t, pues, el resultado
es que yo puedo derivar ahora la función compleja z de t, y obtendría
esto, i por omega cero por otra vez la propia función. Observar esta
relación que es bastante importante, que la unidad de imaginaria i es lo
mismo usando la relación de Euler que elevado a i pi medios, que es coseno
de i pi medios más i seno de i pi medios, coseno de i pi medios, cero.
¿Qué es lo importante de esta relación? Observar que al derivar respecto
del tiempo... Al derivar respecto del tiempo... Nos aparece, derivo
respecto al tiempo la función z, y obtengo I multiplicado z, siendo el
factor de proporcionalidad la frecuencia natural. De forma clara podría
decir que la velocidad del más es la parte real de la derivada respecto al
tiempo de esa función compleja. Este resultado va a ser muy importante a
la hora de hacer cálculos, porque el resumen es que definida la función
compleja z de t como un módulo constante por elevado a tecta, y
físicamente esto representa un vector giratorio, vector de Fresnel, en
términos de un fasor por la dependencia en el tiempo, la derivada respecto
al tiempo, por la función z de t, que la función z de t será el fasor
por la dependencia con la frecuencia en el tiempo, derivada respecto al
tiempo es equivalente a multiplicar por I omega cero la misma función. ¿Y
qué será integrar? Integrar la función z de t es multiplicar uno partido
I w cero por la misma función. y a la hora de hacer cálculos diferencial
con vectores giratorios, pues estas relaciones son útiles y ayudan en el
cálculo. La derivada es equivalente a multiplicar por la frecuencia la
unidad imaginaria, y la integral es equivalente a dividir por la unidad
imaginaria multiplicada por la frecuencia. ¿Algunas preguntas?
¿Preguntas, dudas? ¿Se ve la relación derivada respecto al tiempo e
integral en términos de la operación con la unidad imaginaria? No observo
ninguna pregunta, pues seguimos. Bien, podemos hacer el problema 3, que
sería el problema 1-1 del French. Considerar un vector z... Considerar un
vector Z definido por la ecuación Z igual a Z1 por Z2. Z1 nos lo dan en
componentes cartesianas A,B y Z2,C,D. La pregunta A es demostrar que la
longitud de Z es igual al producto de la longitud de Z1 y Z2. Y B,
demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes Z y el eje real X es la
suma de los ángulos que forman por separado cada uno de los dos vectores
Z1 y Z2. Muy bien, vamos allá. Z1 es igual a A,B en cartesianas, que lo
puedo escribir en el plano real, lo puedo escribir en el plano complejo
como A más la unidad imaginaria. Y B, con Z2 hago lo mismo. Ahora, ¿qué
es Z1 por Z2? ¿Qué es Z1 por Z2? A ver si me deja poner aquí un punto,
que no estoy seleccionándolo bien. Vale, Z1 por Z2. Pues Z1 por Z2 será
coger el primer vector en forma compleja y lo multiplicamos por el segundo.
Agrupando partes reales e imaginarias. Nos queda Z1 por Z2, nos queda esa
representación algebraica. Pues ahora vamos a pasar a la geometría.
Entonces, Z1, esta es la componente A, esta es la componente B. Para Z2
esto es C y esto es D. Y ahora para el vector Z1 por Z2, esta es la parte
real y esta es la parte imaginaria. Muy bien, pues a partir de esto vamos a
demostrar, jugando con la representación algebraica, con la
representación gráfica, vamos a intentar demostrar lo que nos pide el
problema 1 del French. Bien, pues ya hemos visto que Z1 por Z2... vale
esto, pero ¿cuánto vale el módulo de Z1? el módulo de Z1 es la raíz de
A cuadrado más B cuadrado el módulo de Z2 es la raíz de C cuadrado más
Z cuadrado y el módulo del producto pues la primera componente al cuadrado
más la segunda componente al cuadrado todo ello es a cada raíz cuadrada
de forma que operamos y nos queda esta expresión pero esta expresión se
puede manipulando jerárquicamente obtener como A cuadrado más B cuadrado
multiplicando por C cuadrado más D cuadrado separando las raíces
cuadradas nos queda módulo de Z1 por módulo de Z2 que es lo que se
quería demostrar ¿alguna pregunta? ¿preguntas? pues el siguiente
apartado tiene que ver con las fases pues aquí tenemos Z1 y aquí tenemos
A cuadrado más B cuadrado aquí tenemos Z2 y aquí tenemos Z producto de
los dos para demostrar la propiedad de las fases vamos a usar la relación
de Euler Z1 vale esto Z2 vale esto y Z producto de Z1 Z2 será el módulo
por elevado a I un cierto ángulo al que llamamos T3 si Z es Z1 por Z2
aplico la relación de Euler y me queda Z1 por Z2 y me queda elevado a T3
T3 es Z1 más T2 pero T1 más T2 será el T3 que ando buscando luego hemos
demostrado que T3 es T1 más T2 usando la relación de Euler ¿preguntas?
¿alguna duda? vale pues seguimos bien a partir del problema 1-4 es el
problema 1-6 del French dice a partir de la relación de Euler obtener la
representación geométrica elevado a menos I seno de T y coseno de T bien
trabajar con la relación de Euler elevado a I T es coseno de T más I seno
de T Esto implica que si hacemos una representación geométrica, pues
aquí tendremos el ángulo tecta y el módulo de este vector es módulo 1.
¿Qué será elevado a menos i tecta? Será el coseno de menos tecta más i
seno de menos tecta. Como el coseno de tecta es igual al coseno de menos
tecta, aquí nos queda el coseno de tecta. Y el seno del ángulo opuesto es
menos el seno del ángulo sin oponer. Por lo tanto, nos queda coseno de
tecta menos i seno de tecta, que lo podemos dibujar. Y obtenemos la
representación de elevado a menos i tecta. Luego, esto sería e elevado a
i tecta y este sería el vector elevado a menos i tecta. Pues ahora vamos a
hacer la combinación lineal suma y diferencia de elevado a i tecta y
elevado a menos i tecta. Y ver cuál es su representación geométrica. Si
sumamos, el más se nos va con el menos y nos queda coseno de tecta un
medio de elevado a i tecta más e elevado a menos i tecta. Y obtenemos su
representación gráfica, que es este un medio que está aquí. E elevado a
i tecta más e elevado a menos i tecta. Las componentes x que son coseno en
las dos se suman. Y las componentes seno se compensan, anulándose. Ahora,
en vez de hacer la suma, hacemos la diferencia. Ojo que aquí hay un error,
posiblemente está bien en la copia del material. Si lo que estoy haciendo,
en vez de sumar y restar, aquí en vez de coseno de tecta debe aparecer, a
ver si lo consigo escribir, seno de tecta. ¿Vale? Aquí hay una rata donde
pone coseno, debería poner seno. De forma que nos quedaría que el seno de
tecta es un medio. Un medio de elevado a i tecta más e elevado. a, a ver,
me estoy equivocando, un segundo, esto es lo que quiero es, si sumo, si
sumo se va el seno, lo que quiero es restar, si recto, lo que se va es el
coseno, correcto, y aquí debería haber un signo menos, ese es el signo
menos, esos son los dos errores que, esto es de copiar y pegar la fórmula
anterior, bien, por lo tanto nos quedaría el coseno detecta, y en el
segundo caso, el error estaba en que aquí hay que poner un menos, pues
vamos a ver como se obtiene gráficamente este seno detecta, por un lado,
si, si, creo que lo que estaba mal era el signo menos, mirar en el seno
detecta, al hacer la diferencia, ah vale, perdón, perdón, está bien, es
más, menos, menos, más, correcto, correcto, lo vamos a borrar aquí,
bueno, pues ahora, me he ido al principio sin querer, vamos a ver,
disculpad un momento, porque tenía que haber borrado solo la página y he
borrado todo el documento, a ver que la recupere, un segundo, ya estamos en
el siguiente, Vale, estábamos aquí. Entonces, este sería el vector
elevado a i tecta de módulo 1. Este, el menos i elevado a tecta. Y este,
el menos e elevado a menos i tecta. Entonces, la suma de este con este nos
tiene que dar el seno de tecta. Luego, necesariamente, aquí sí que tiene
que haber un signo menos. Menos, que debe de venir de e elevado a i tecta
menos e elevado a menos i tecta. Vale, correcto, aquí falta el signo
menos. ¿Veis que aquí falta un signo menos o no? Sumamos e elevado a i
tecta menos e elevado a menos i tecta. Coseno se va con coseno y más i
menos menos i me queda el 2 seno de tecta. ¿De acuerdo? Vale. Pues ahora
todo el mundo lo tiene claro. Un poco el lío que he tenido aquí.
¿Seguimos? Daros cuenta que, claro, lo importante que es trabajar con la
relación de Euler en los cálculos, es lo que ilustra este problema del
French. Trabajar con la relación de Euler, pero no sólo algebraicamente,
sino ser capaz de siempre irte al plano complejo y representar tus fasores,
bueno, tus vectores giratorios, y darle un sentido geométrico a la
álgebra que estás haciendo en las operaciones con las que estés
trabajando dentro de un problema dado. Seguimos. Bien, este es el problema
1.8, el problema 5, es el 1.8 del CENS, que dice que utilizando las
representaciones vectoriales de seno y coseno, comprobar las siguientes
identidades trigonométricas, la identidad A, B y C. Vale, pues la primera
propiedad es que el seno cuadrado más coseno cuadrado es 1, pues lo que
hacemos es poner seno cuadrado más coseno cuadrado en la forma seno más y
coseno por seno menos y coseno. El primer factor lo ponemos en la fórmula
de Euler y el segundo factor en la fórmula de Euler, y que nos queda
elevado a y tecta por elevado menos y tecta. Se suma elevado. He elevado y
factor común de tecta menos tecta elevado a cero, que es 1, con lo cual
habíamos representado la primera parte. El apartado B y el apartado C se
hacen conjuntamente. Veamos cómo. Vamos a usar la propiedad de que E
elevado a y tecta al cuadrado es elevado a 2 por y tecta. Ahora, E elevado
a y tecta al cuadrado, este primer miembro de la igualdad, es equivalente a
coseno de tecta más y seno de tecta al cuadrado. Si esta igualdad se
satisface, será igual a coseno del ángulo doble más la unidad imaginaria
por el seno del ángulo doble. Pues bien, desarrollamos el primer término,
y nos queda coseno cuadrado menos seno cuadrado más 2 y coseno de tecta,
igual a coseno de tecta más y seno de tecta. Pero, en esta ecuación,
ahora igualamos la parte real, y la parte imaginaria. La parte real nos
queda que la diferencia coseno-seno cuadrado es coseno de 2 tecta, y la
parte imaginaria coseno de tecta más seno de tecta igual a seno de 2
tecta. ¿Preguntas? ¿Se entiende? Por eso he dicho que el apartado B y C
no salía en una sola operación, que es en esta ecuación, igualando parte
real e imaginaria. Observar una relación muy importante a tener en mente
siempre, que ayuda en las operaciones de la ecuación. En las operaciones
trigonométricas, que elevado a IN tecta al cuadrado es elevado a 2N veces
tecta por I. Es justo para cualquier N la propiedad que hemos usado aquí
con 2. ¿Vale? Relación notable y a tener en cuenta en cualquier cálculo.
Seguimos. Bien, vamos a hacer el problema número 9 del French, que es el 6
de esta tutoría. ¿Estaría usted dispuesto a pagar 200 euros por un
objeto que ha sido valorado por un matemático con un valor de I elevado a
I euros? Ese es el planteamiento. Perdón, ese es el enunciado. ¿Y cuál
sería el planteamiento? Pues el planteamiento habría que ver I elevado a
I, cuántos euros son, que yo me maneje, y compararlo con los 200, que es
lo que quieren que pague. Bien, pues i elevado a i es i elevado a i, que no
es otra cosa que elevado a i pi medios. El mismo i vuelve a ser e elevado a
i pi medios elevado a e elevado a i pi medios. Luego nos queda e elevado a
i pi medios por, en el exponente, e elevado a i pi medios. Pues si ahora
tenemos en cuenta que i pi medios por e elevado a i pi medios es menos pi
medios, ¿hay alguien que tenga problemas en la relación? Es fácil, es i
por i por pi medios y cuadrado por pi medios menos pi medios. Hemos
obtenido la relación que i elevado a i es igual a e elevado a menos pi
medios. Y eso es 0,2079. Luego se trata de pagar 200 euros por un objeto
cuyo valor es de 0,2079 euros. Claro, la contestación inmediata sería,
pues no, ¿cómo vas a pagar algo que vale 200 euros por 0,2079? Pero ahora
como estamos ya un poquito cansados vamos a hacer un pequeño divertimento
y permitirme que haga una especie de chiste, de problema chiste, a partir
de ahora. Entonces la contestación yo diría que depende de quién es
usted, ¿no? Dependiendo del divertimento, ¿va usted a pagar algo que
vale... ¿Se trata de pagar algo de 200 euros? ¿Va a pagar usted 200 euros
por un objeto cuyo valor es 0,2079? Contestación, pues la verdad es que no
se sabe, depende de quién sea usted. Por ejemplo, si es usted un liberal
en el sentido económico del término, la respuesta será no. Si es usted
un socialista en el sentido económico del término, depende si el objeto
está subvencionado por algún amiquete. Pensar, por ejemplo, en el tema de
las energías verdes. Y si es usted comunista, pues lo que diga el líder,
¿no? No deja de ser un chiste lo que estoy haciendo. Pero quiero
introducir, lo importante de esta broma es la siguiente pregunta. ¿Puede
la física contestar a este tipo de preguntas? ¿Cuál es el tipo de
preguntas? ¿Usted será capaz de comprar algo que vale 0,2079 euros
pagando 200? Lo que se está planteando en física, pues digamos que a
principios del siglo XXI, es que la física quizá no pueda contestar si un
individuo puede comprarlo. Comprar o no comprar un objeto que sea más caro
o más barato. Pero sí puede dar contestación a lo que un grupo numeroso
de individuos pueden hacer. No se puede contestar a la pregunta de si usted
lo va a comprar, pero si un conjunto de ustedes lo van a comprar. ¿Y cuál
es la rama de la física que es capaz de intentar contestar a estas
preguntas? Lo que está intentando contestar a estas preguntas. Pues esa
rama de la física es una rama de la física que ha aparecido, o se está
desarrollando a principios del siglo XXI, que es la sociofísica y la
econofísica. Aquí tenéis por ejemplo en 2008 el primer congreso
internacional de sociofísica que os define una definición de las
intenciones de lo que es la sociofísica. El ánimo, el objetivo de la
sociofísica es modelizar mediante física estadística a una escala grande
fenómenos sociales como la formación de opiniones, la diseminación
cultural, la disminución cultural, la disminución cultural, o memes, el
origen y la evolución del lenguaje, el comportamiento de pánico o el
contagio social. Básicamente lo que se trata es de aplicar modelos
provenientes de la mecánica estadística y de los sistemas complejos al
comportamiento colectivo de individuos. Básicamente la sociofísica y la
econofísica deben de la física de dos fuentes. Una fuente viene de la
mecánica... de la mecánica estadística y de la mecánica o la física
del estado sólido. A eso es a lo que se le llama sociofísica y
econofísics. Aquí tenéis uno de los primeros proceedings sobre
econofísica y sociofísics. Y la otra fuente no se llama sociofísica,
sino se llama sociodinámica y proviene de la física teórica alemana. La
diferencia es que en sociofísica y econofísics se cogen ecuaciones de la
física de fenómenos y se intentan explicar fenómenos sociales o
económicos. En cambio, la sociodinámica viene de modelos de física
teórica. Detrás hay un modelo, no sólo un fenómeno. Bien, esa relación
de sociofísica y sociodinámica tiene otra palabra clave que es las redes
complejas desarrolladas por Strogatz y Batch. Strogatz, matemático de los
sistemas dinámicos no lineales, tiene una obra bastante importante de
texto en el libro de la Universidad de Madrid, en sistemas no lineales y
caos, que es no lineal, dinámica y caos. Y Duncan Batch, que era un
estudiante de grado a cabo físicas, le dirigió la tesis Strogatz, hoy en
día es catedrático de sociología. Una de sus tesis se publicó en Smart
World y un libro de divulgación que yo creo que posiblemente el libro de
divulgación en física más importante publicado en lo que va de siglo,
que es Six Degrees. Un libro que os recomiendo encarecidamente leer. Bien,
pues todo esto ha tenido su evolución, la física evoluciona de esa
manera, en general la ciencia, y solamente comentar que las redes
complejas, que surgen como una aplicación especial de la teoría de grafos
en 1988, el artículo de Batch y Strogatz, colectivo y dinámico de socios
en Smart World, Smart World, publicado en Natchar en ese año, fue el
artículo más citado sobre redes y el sexto más citado en física,
considerando todas las áreas de la física. Alguien está diciendo que os
recuerda la psicohistoria, pues no sabéis de qué manera. Si acaso cuando
acabemos os comentaré algo respecto al tema que tiene que ver con... ver
con un libro que acaba de publicar en 2012 el profesor que es el inventor
de la sociofísica y su primer capítulo va dedicado que tiene que ver la
sociofísica y que no tiene que ver con la psicohistoria por cierto que ese
primer capítulo lo podéis buscar, lo podéis descargar gratuitamente de
la serie de Springer Verdad complejidad, bueno pues seguimos todo esto
daros cuenta que algo algo que se traduce como algo que aparece como el
sexto artículo más citado en la en el primer decenio de física el
artículo de Bach es que algo importante se está cociendo Bueno, pues de
alguna manera esto también ha llegado a la UNED y en la siguiente
diapositiva os recojo dentro del máster que creo que se llama Física de
Sistemas Complejos, hay una asignatura que se imparte este año por primera
vez en la UNED, creo, que se llama Sociofísica y Redes Sociales. Pues eso
es la ciencia, la ciencia puntera en un decenio desarrolla un campo nuevo y
se va incorporando en la formación a nivel, en este caso, de posgrado. Muy
bien, pues regresamos a las oscilaciones. Bien, vamos a usar en este
problema, problema 7, este ya no es un problema del French, dice usar la
notación fasorial para obtener la amplitud de la suma y la fase de la suma
de los dos más dados. En este problema nos dan dos más, dos movimientos
armónicos simples, X, perdón, nos dan, si nos dan dos movimientos
armónicos simples y se supone que nos da uno resultado de la suma de los
dos. El primero tendría amplitud 10, frecuencia W, el segundo amplitud 17
y frecuencia W, pero en vez de dar dado como un coseno, viene dado como un
seno. Bien, pues una forma de atacar el problema es intentar pensar que
hemos definido siempre en la lección nuestro patrón de más es coseno de
frecuencia por tiempo más de fasaje. Pues vamos a intentar situar el más
como amplitud coseno, amplitud coseno. Bueno, ¿qué hemos hecho? Poner el
seno, pasar de seno a coseno pagando el precio del menos el pi medios. Muy
bien, pues ahora nuestro Z nuevo es suma de Z1 más Z2 e introducimos la
representación de Euler en el plano complejo. Me queda módulo del
primero. por elevado a i omega t, módulo del segundo, por elevado a i
omega t menos pi medios. Y aquí operamos factorizando en el elevado a i
omega t. Toda la dependencia en el tiempo es elevado a i omega t y la suma
de estos dos términos, donde no hay tiempo ni frecuencia, sería la parte
del pasor de la señal suma z. El módulo de z es la raíz de cada módulo
al cuadrado, 10 al cuadrado más 17 al cuadrado, 19 con 72 en centímetros.
Y la tangente de phi, aquí tenéis una representación, z1 y z2. La
tangente de phi, la componente i partido de la componente x, pues me da
59,6 grados. ¿Alguna duda en el ejercicio? Y esto nos va preparando para
la segunda parte de la videoconferencia, que es la superposición de
vibraciones. ¿De acuerdo? Muy bien. El siguiente problema es, un punto se
mueve en una circunferencia, problema 8, con una aceleridad constante de 50
centímetros por segundo. El periodo de una vuelta completa es de 6
segundos. Para t igual a 0, la recta que va del punto al centro de la
circunferencia forma un ángulo de 30 grados con la horizontal. Obtener la
cisa de cualquier punto de la circunferencia con el tiempo, la velocidad de
la cisa en función del tiempo y la aceleración de la cisa en todo
instante de tiempo. Particularizar en el caso de t igual a 2 segundos.
Bueno, este problema, ¿de qué va? Pues tiene que ver con la relación que
hay entre el movimiento circular uniforme, la proyección del radiovector
debe de coincidir su acisa con un más. Muy bien, pues indicamos, hacemos
la representación gráfica, tenemos un punto A que está dando vueltas, en
ese sentido, uy, se me ha ido la flecha. Muy bien. Pues, ¿qué es lo que
queremos medir? Queremos medir, queremos medir la proyección de este
vector, queremos medir la proyección sobre el eje de las X. Esa
proyección no será otra cosa que el radio. No será otra cosa que esa
proyección, perdón, que es que no me sale el cuadradito, vamos a ver,
vale. Esa proyección no será otra cosa que R coseno de omega t más phi.
En el enunciado del problema, tectaval de pi sextos, la frecuencia es 2pi
partido del periodo, que es 2pi partido por 6, que es pi tercios radianes
por segundo. Segundo, el radio, ¿cómo lo puedo obtener? Pues yo sé de la
cinemática de la partícula que como se mueve con velocidad constante, la
velocidad lineal es omega por R. Conocemos V, conocemos W, pues podemos
despejar R. R será V partido W y nos da 15 partido 10pi metros. Por lo
tanto, podemos sustituir en la expresión de X. Y obtener que la
proyección en la cisa es esa función, derivamos, obtenemos la primera
derivada, en vez del coseno seno, obtenemos la segunda derivada, ahora
coseno con el signo menos. Pues a acabar vosotros el problema, aquí
tenéis X de t, la velocidad y la aceleración, y ahora el problema pide
particularizar en un instante dado. Pues sustituís en las expresiones
posición, velocidad y aceleración, X, X punto y X dos punto, el tiempo
que os solicita. ¿Alguna pregunta? ¿Seguimos? Vale. Pues ahora bien
digamos la segunda parte de la videolección, que se correspondería con
entender cómo se suman vibraciones. ¿Qué tipo de vibraciones vamos a
sumar? Movimiento armónico simple. Vamos a plantearnos la siguiente
pregunta. Suponer que tenemos dos vibraciones paralelas, que sean
movimientos armónicos simples, eso quiere decir, dos sistemas físicos que
oscilen en una misma dirección. A uno lo llamaremos más uno, como oscilar
sería algo así, ¿no? Esto sería oscilar. Imaginaros que vamos a
representar las vibraciones de un más como un vector con dos flechas.
¿Visualizáis las dos flechas? Eso significa que unas veces oscilo hacia
la derecha, unas veces oscilo hacia la derecha y otras veces oscilo ¿hacia
dónde? Hacia la izquierda, ¿no? Entonces podemos visualizar esa
oscilación como un vector con dos cabezas. Entonces la pregunta que nos
hacemos es, si yo tengo dos vibraciones paralelas y las sumo, ¿la suma
siempre va a ser un más? Y si en vez de ser paralelas, una está en el eje
de las X y otra está en el eje de las Y, es decir, esto es una señal que
está vibrando así, y esta es una señal que está haciendo así, si sumo
esas dos vibraciones, una horizontal y otra vertical en general,
perpendicular entre ellas, ¿la suma de dos más perpendiculares va a ser
siempre un más? Pues vamos a contestar a estas dos preguntas. Y vamos a
ver qué pasa. Y a esta parte de la lección se le llama superposición de
vibraciones. Veremos que en el caso general, la suma de vibraciones no es
otra vibración, sólo en casos particulares, y que serán de notable
importancia en física y sobre todo en la segunda parte de esta asignatura,
que es las ondas. Bien, vamos a empezar a trabajar con superposición de
vibraciones paralelas que tengan igual frecuencia. Voy a intentar subrayar
aquí... Si me deja, que no me deja... Igual frecuencia. Pues, ¿cómo voy
a intentar representar eso? Pues voy a suponer que aquí tenéis un más
uno, que observáis que tiene una amplitud diferente a la del más dos, un
desfasaje inicial diferente al del más dos, pero la frecuencia la pongo la
misma. La frecuencia la pongo la misma. Estamos sumando dos vibraciones
paralelas de igual frecuencia. Bien, si seguís la suma en términos de
fasores, pues sería la señal uno más la señal dos, la sumo... Y este
sería el resultado de la suma. El resultado de la suma, en general,
tendré una amplitud suma y un ángulo, que es lo que debo de obtener, la
señal será a sub 1 más a sub 2, donde el módulo de la suma es esta A y
el ángulo, la fase, es ese phi. Bien, pues en general, para todos los
casos, este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas no tiene una
solución general y entonces hay que ir investigando solución particular a
solución particular. La primera solución particular es el caso donde los
dos mases que sumamos tengan no sólo la misma frecuencia, sino que tengan
la misma amplitud. En ese caso, la suma... La suma X de T, en ese caso la
señal suma X de T, es un más cuya amplitud, le he llamado A barra,
coincide con 2A, con 2A coseno de este desfasaje y la parte de dependencia
en el tiempo dentro del coseno... A ver si me deja coger cuadradito... La
parte coseno de omega T más phi es la frecuencia es la misma y la phi es
la semisuma. Es decir, cuando sumamos dos movimientos armónicos simples
paralelos de igual frecuencia, W, y la misma amplitud, la señal siempre va
a ser otro más, la señal siempre va a ser otro más, que se puede
escribir como una amplitud A, que es dos veces cada una de las amplitudes
por el coseno de la diferencia de fases, multiplicado por coseno de omega T
más un desfasaje, que es la semisuma. Observar que hay dos situaciones
posibles. Cuando la amplitud es máxima, este delta, que es el desfasaje
phi2 menos phi1, es delta. Cuando delta es un número entero de veces 2pi,
se dice que las dos vibraciones se encuentran en fase, porque la
amplitud... Es máxima. En el término de aquí, la amplitud como es coseno
que te da 1 es máxima. En cambio, las dos vibraciones estarán en
oposición de fase cuando la diferencia de desfasaje delta pi2 menos pi1
sea 2n más 1pi. Un número 2n más 1pi siendo n entero que hace que el
coseno sea pi medios o múltiplos de pi medios con lo cual 0 por 2a te da
0. De alguna manera, estos fenómenos, digamos en esta lección tenéis las
matemáticas de lo que vais a explotar en la parte final del tema 4, en la
parte 3 y 4 de la asignatura cuando veáis ondas. Pero las matemáticas de
la superposición de ondas donde luz más luz os puede dar más luz o
oscuridad o ruido más ruido os puede dar más ruido o nada de ruido va a
tener que ver con cómo se hace en esta suma de superposición de
vibraciones. Bien, pues una forma de trabajar esto y veremos si tenemos en
la parte final o lo podemos hacer con la pantalla, con matemática es que
uséis una herramienta donde os podéis programar algo parecido a lo que
tenéis aquí. Y llamo x suma a una función que va a depender de a, de t,
de w, de phi sub 1, de desfasaje de la señal 1 y de la señal 2 como la
nueva amplitud que era los a por el coseno de desfasaje partido por 2 más
el coseno de omega t por la semisuma. Os definís esto porque sería el
nuevo más resultante de dos vibraciones paralelas de igual frecuencia y
amplitud. Y podéis jugar haciendo plots de vuestra nueva función para los
valores que queráis entre el tiempo que queráis. Eso nos convence de que
los dos, dados los dos más, la expresión que hemos obtenido al
representarla nos da otro más. Bien, con matemática, con máxima, con
cualquier herramienta de cálculo simbólico esto os ayudará bastante
construir estos gráficos para entender esta parte de superposición. Bien,
si solamente en matemática creo que se puede hacer, observar que hay una
función que se llama manipulate, aquí la tenéis, que es una función muy
divertida de matemática a partir de la versión 7. En manipulate metes
cualquier cosa, por ejemplo el plot anterior, y mirad que el plot anterior,
todo esto es código del plot que acaba aquí, y ahora lo único que hago a
partir de aquí es poner de lo que dependía la función, daros cuenta que
aquí cuando pongo manipulate plot ya no he puesto un valor de A, un valor
de W, un valor de cada desfasaje, los dejo como símbolos. Y le digo a
matemática que la amplitud empiece en 1 y funciona entre 0 y 10. Que la
frecuencia... Empiece en 3pi cuartos pero varía entre 0 y 100. Que el
desfasaje 1 empiece en 0 pero varía entre 0 y 2pi. Y lo mismo con el
desfasaje 2. ¿Qué es lo que estoy haciendo? Con manipulate al ejecutarlo
encontráis esto. Encontráis una aplicación dinámica donde a cada
variable, por ejemplo la variable A, le asigna un slider, una deslizadera.
A la variable frecuencia una deslizadera. De forma... De forma que tú
ejecutas manipulate y una vez que tienes este entorno dinámico, el
resultado de manipulate, varías la A, la W, la phi sub 1, la phi sub 2 y
obtienes... Y obtienes... Perdón que me ha dado un error de grabación. Un
segundo. Acabo el manipulate. Obtienes... Con cualquiera de estos sliders
obtienes la variación del mismo. Y generará una variación de la función
suma con la que estamos trabajando. Luego a ver si podemos ilustrar esto un
poco con el escritorio. Y esta opción que lleva matemática de manipulate
es muy interesante porque luego en los documentos CDF de los que os he
hablado, introduces esta función y se puede ejecutar con el visor gratuito
de matemáticas sin tener que usar matemática de pago. Disculpadme un
segundo porque se me ha... Se me ha... Se me ha cortado la grabación y
creo que tengo que volver a iniciarla. Un segundo. Ah, no, pues parece que
no se ha cortado. No entiendo muy bien el mensaje que me ha dado. Bien,
pues seguimos. Vale, pues ahora la segunda situación particular con la que
vamos a trabajar es superposición de vibraciones paralelas de diferente
amplitud, diferente amplitud e igual W. Si ahora generalizamos un poco y
dejamos la amplitud libre, pues bien, esa suma bajo ciertas condiciones es
un más. Si es un más, aquí tenéis la nueva amplitud, la amplitud
resultante y aquí tenéis el desfasaje resultante. En el caso de que
tengamos diferente amplitud e igual frecuencia, diferente amplitud pero la
misma frecuencia, entonces hablamos de que las dos vibraciones pueden estar
en fase, en oposición de fase, que es lo mismo que antes, 0 o 180 grados.
Y ahora un caso interesante es cuando están en cuadratura. Que es que la
diferencia de fase, phi2 menos phi1, forma pi medios. Igual que en el caso
anterior, una vez que os habéis estudiado la teoría y entendéis estas
expresiones, conviene que os las programéis en alguna herramienta de
cálculo simbólico que os ayude a representar con lo que estáis
trabajando. Aquí, por ejemplo, tenéis como se haría en matemática y
bastante directo pasable a máxima. A ver, si llamo x suma 2... A una
función, pues que depende. Ahora tengo como variable la amplitud 1, la
amplitud 2 y como antes el tiempo, la frecuencia y los dos desfasajes. Eso
me va a dar una amplitud nueva a 1 más a 2 al cuadrado más dos veces a 1
a 2 coseno de la diferencia de fases por el coseno de omega t por la
arcotangente de la nueva fase. Pues bien, con matemática podéis volver a
hacer un manipulate. Y el resultado los tenéis aquí. El resultado de
estos manipulates serían, pues, unas deslizaderas donde yo variando,
moviéndome, variando la amplitud, cada una de las amplitudes o la
frecuencia, selecciono un rango de valores y automáticamente el sistema me
dibuja el más. Mirad que la superposición es un más. Se ve que esto es
un más con amplitud constante que vendría dada por esa expresión.
¿Preguntas? Quizá os parezca un poco farragoso el tener que representar
gráficamente esto con ordenador, pues el que no quiera que no lo haga,
¿no? Pero yo creo que una idea importante, un menex importante es que si
lo sabes programar lo entiendes. Y eso incluso te ayuda a memorizar la
fórmula y a trabajar con ella en problemas donde en principio no
necesitarás el ordenador. Es un punto de vista. Bien, citar que tenéis en
esta referencia, pues el que no tenga matemática o no tenga cálculo
simbólico, aquí tenéis en el curso del profesor Ángel Franco García,
tenéis unas simulaciones de superposición de vibraciones hechas con Java,
lo que es muy interesante es a partir de la analogía del movimiento
circular uniforme. Pues pincháis en la referencia y el que no quiera
programárselo, pues puede estudiarse esas simulaciones ya programadas en
Java y ejecutables a través de Internet. ¿Preguntas? Muy bien, pues
seguimos. Me he saltado, sé que me ha saltado algún... No he anunciado el
problema. Bien, el problema 9 de esta tutoría es una vibración EDT y
pensar que siempre le hemos llamado a la de campo eléctrico, pero en fin,
no estamos en electrovanetismo. Una vibración EDT está formada por la
superposición de tres vibraciones armónicas de la misma frecuencia, misma
frecuencia y diferente amplitud. Misma frecuencia. Y diferente amplitud.
Esas vibraciones son la primera, E sub cero coseno de omega t más delta,
la segunda, 2E sub cero coseno de omega t, y epsilon cero coseno de omega t
más delta. La pregunta nos dice, o lo que nos pide es encontrar la
expresión de la señal superpuesta común más. Pues ahora es un problema
que tiene que ver con la superposición de movimientos armónicos, simples,
paralelos, donde estamos en la situación de tener tres señales que tienen
la misma frecuencia pero distinta amplitud. Entonces estaríamos en el
segundo caso que hemos estudiado. Bien, si lo queremos ver en términos de
fasores, pues esto sería el enunciado que me dan, pues yo podría sin
pérdida de generalidad situar en el plano, en el plano complejo real de E,
imagen de E, podría situar la señal de en medio, la de amplitud es
epsilon cero, porque no tiene defasaje, su defasaje, el ángulo que forma
inicial con el eje x es cero, y por arriba desfasado delta, la tercera
señal, la tercera señal la pintaría aquí, y la primera señal desfasada
menos delta la pintaría aquí. Solo que en sentido contrario al que he
dibujado. Muy bien, pues llamaré E de 1, 2, 3 a la parte real del vector
complejo E1, 2, 3, que depende de t, de W y de delta, usando los vectores
giratorios que hemos visto antes. Ese vector además, que debe ser la parte
armónica que depende del tiempo, por el fasor, que era toda la parte del
vector que no dependía del tiempo. En términos de vectores giratorios,
este ángulo de aquí sería el omega t menos delta, este sería el omega
t, y este sería el omega t. Pues bien, lo que me interesa es calcular la
parte que no tiene dependencia en el tiempo, la parte que es el fasor.
Entonces el E1, 2, 3 que he llamado depende de delta, será el E1 de delta,
más el E2 que depende de delta, más el E3 que depende de delta. Bien,
pues observando de este diagrama, el primero es E0 coseno de delta menos
seno de delta, el segundo 2 E0. 1, 0, el tercer vector, el tercer vector
fasor es E0 coseno de delta seno de delta. Lo sumamos. Y la suma me da,
toda en el eje x, 2y0, 1 más coseno de delta, 1. 1, 0 quería decir,
perdón. Bien, pues el que andábamos buscando, el que andábamos buscando
es la parte real del que he obtenido multiplicado por la dependencia en el
tiempo. Por ejemplo, que será la parte real de esto, que será igual a
2y0, 1 más coseno de delta por coseno de mega delta. Daros cuenta que este
ejercicio ilustra muy bien el significado y el uso de los fasores. El fasor
era la parte del vector giratorio que no depende del tiempo. Como todos los
vectores funcionan con la misma frecuencia, factoriza la exponencial
frecuencia del tiempo y trabaja solo con la parte del desfasaje inicial,
que es la información que tenemos aquí. Que es la información que tienes
en el fasor. ¿Se entiende alguna pregunta? ¿Alguna pregunta? Bien, pues
para cerrar un poco la visualización del ejercicio, podríamos usarlo
usando las expresiones que hemos visto para la superposición de vectores
de igual frecuencia, creo que es la siguiente transparencia, y diferente
amplitud. Pues usando un software de cálculo simbólico, definís la
función superposición, introducís la frecuencia constante, el épsilon
cero le damos un valor, por ejemplo, cuatro, a delta le damos, por ejemplo,
treinta grados, y aquí tenéis dos gráficas, una que sería la suma
directa. ¿Qué quiero decir por suma directa? Pues la señal uno más la
señal dos más la señal tres, lo que te deis, observa que es un más. Y
por composición, x composición, ¿qué he definido? Habré definido la
composición de las tres según la regla que hemos visto en la teoría,
según la diapositiva que hemos visto, hemos visto de superposición de
vibraciones paralelas de igual frecuencia y diferente amplitud, y se debe
comprobar que la gráfica de la suma directa coincide con la que obtienes
de la composición matemática. ¿Se entiende lo que son esas dos
gráficas? Vale, muy bien. ¿Todo el mundo lo entiende? ¿Alguna pregunta?
¿Puedo aclarar algo? Pues seguimos. Aquí tendríais las mismas cuentas,
no voy a perder más tiempo en este problema, hecho en vez de tomando la
parte real, hecho desde el principio por complejos. Este problema es hecho
de dos formas y obtenemos el mismo resultado. En vez de por falsores,
directamente por números complejos. Bien, el problema general he dicho que
no tiene solución. ¿Cuál es el problema general? ¿Cómo es la suma de
dos vibraciones paralelas que tengan diferente amplitud y que tuvieran
diferente frecuencia? Aquí he puesto la misma frecuencia, debería haber
llamado v'. En general, si sumamos dos vibraciones... ...de diferente
frecuencia y diferente amplitud, la solución general es que la suma no es
un más. No es un más. Ahora, hay un caso particular muy interesante, que
es que si la superposición de las dos vibraciones paralelas con diferente
amplitud, su cociente de frecuencias, ω1 partido ω2... ...es un número
racional, o lo que se dice en términos... ...más matemáticos. Si el
cociente de las dos frecuencias que se superponen son conmensurables, es
decir, que el cociente es un número racional, entonces el movimiento
resultante no es un más, pero por lo menos es periódico. En cambio, si el
cociente de frecuencias de la superposición... ...el cociente de
frecuencias de la superposición es un número irracional... ...es un
número irracional... ...es decir, las frecuencias que superponemos no son
conmensurables, el movimiento ni tan solo va a ser periódico. Luego, ojo,
¿no? Que tú sumas dos vibraciones paralelas periódicas de distinta
amplitud y distinta frecuencia, y si las frecuencias que superpones no son
conmensurables, el movimiento ni tan siquiera será periódico. Aquí
tenéis un ejemplo hecho con matemática. Progamo, el código sería algo
así, podéis intentarlo hacer en máxima, en maple o en derive, te
programas un más, lo defines así, te programas simbólicamente otro más,
y llamas suma paralela, como aquí no tenemos una expresión algebraica
porque en general no lo será, llamas suma paralela simplemente a la suma
de las dos señales, que será una función que depende de a sub 1, de a
sub 2, de la frecuencia 1, de la frecuencia 2, de phi sub 1, de phi sub 2 y
del tiempo. Y ahora si tienes matemática haces un matemático, manipulate
y tienes libre, puedes trabajar, a ver si soy capaz de pintar una flecha,
puedes trabajar variando a sub 1, a sub 2 y viendo si lo que nos dice el
Frenz es cierto, ¿no? Por ejemplo, puedes comprobar que cuando W1 y W2
sean conmensurables, esta señal que te aparece aquí es periódica. Aquí
tengo una captura de pantalla donde una vale pi cuartos creo, y la otra pi
cuartos. Y tercios o al revés. Y la señal que obtenemos no es un más,
pero sí es periódica. Solamente haciendo, poniendo aquí otra frecuencia,
1.67, la frecuencia de omega 1 partido omega 2 ya no sería conmensurable y
esta señal que obtendéis aquí ni tan siquiera sería periódica. Vamos a
ver si luego lo podemos hacer. ¿Se entiende? ¿Preguntas? Seguimos. Bien.
Ahora vamos a considerar un caso muy importante, que es la superposición
de inversiones paralelas de igual amplitud y diferente frecuencia. En el
caso general, si sumamos dos más de igual amplitud y diferente frecuencia,
omega 1 diferente de omega 2, en el caso general la señal no va a ser un
más. Pero, si las frecuencias que superponemos son muy próximas, la
frecuencia 1 y omega 2 son su diferencia en módulos, es una cantidad muy
pequeña, se obtiene una superposición muy interesante, que es lo que se
llama una pulsación o batido. Lo que se obtiene de esa superposición,
analíticamente, tendríais que si esta es la x1 y esta es la x2, pues la
señal suma tiene una amplitud que depende del tiempo, una amplitud
modulada por el tiempo y una perturbación que vive aquí como un más,
coseno, donde la nueva frecuencia es la semisuma de las frecuencias
anteriores y el nuevo desfasaje es el semidefasaje. Pero la parte
interesante es que es nueva. Es esta, la amplitud modulada. Insisto que
para que esto no sea cierto, omega 1 y omega 2 tienen que ser muy
próximos. Entonces, es notable que aquí tenéis una representación en
esta figura de la superposición. Dentro tenemos el más oscilando, aquí
tenéis el más oscilando, que se correspondería con esta parte, y...
aquí la amplitud viene modulada por una frecuencia omega 1 menos omega 2
por el tiempo y os va haciendo este batido, este perfil de aquí, que es el
batido y dentro de ese batido obtenéis la parte que oscila como un más.
En las pulsaciones o batidos tenemos, digamos, tres periodos. El primer
periodo sería el periodo de la amplitud moduladora. ¿Que qué será? Dos
pi, mirad aquí, partido la diferencia de las frecuencias. Luego tendréis
el periodo de la perturbación. La perturbación que es un más, su periodo
es dos pi partido la semisuma. Pero el periodo del batido, he puesto bit
porque el término de batido en pulsación inglesa es bit, el periodo del
batido, este periodo del batido sería... el periodo de la amplitud
moduladora pero dividido por 2 por lo tanto hay un factor 2 en ese periodo
es bastante importante cuando os enfrentéis con problemas de pulsaciones o
batidos si os tenéis que trabajar con el periodo o con la frecuencia
distinguir si os piden el periodo de la amplitud moduladora el periodo de
la perturbación modulada o el periodo del batido de todo el batido ¿se
entiende? y leer con detalle en la parte del French en la lección el
capítulo bueno, el capítulo no dentro del capítulo correspondiente el
apartado de las pulsaciones o batidos muy bien otra vez tenéis la
referencia el que no se lo quiera programar puede jugar con los batidos en
la referencia que tenéis aquí del curso del profesor Franco donde las
superposiciones están animadas en Java a través de Internet bien,
problema 10 de esta tutoría que es el problema 2-3 del French dos
vibraciones sobre la misma recta vienen descritas por las ecuaciones y sub
1 dt igual a coseno de 10 pi t e y sub 2 igual a a por coseno de 12 pi t
obtener el periodo del batido ya nos dicen que la superposición es un
batido y dibujar la perturbación resultante durante un periodo de
pulsación muy bien, pues allá vamos entonces tenemos en los términos de
los que estamos pensando una perturbación resultante una primera señal y
una segunda señal dos oscilaciones paralelas que reflejan cada una un
movimiento armónico simple bien para que la superposición de y sub 1 e y
sub 2 sea un batido o una pulsación debemos de comprobar que omega 1 y
omega sub 2, perdón, w1 y w sub 2, son cantidades próximas. Pues que se
pueden poner como algo central por una diferencia, algo central más una
diferencia. Si eso es cierto, la parte central sería 11pi, w1 sería 11pi
menos 1, w2 sería 11pi más 1. Bien, pues entonces, si ese batido I, si la
superposición I, que es la suma de I sub 1 más I sub 2, la suma de I sub
1 más I sub 2 conforma un batido, pues el resultado del batido será algo
así, según las expresiones de la diapositiva anterior. Y distinguimos,
como se lo había comentado, qué es lo que me piden. Este sería el
periodo de la amplitud moduladora, este sería el periodo de la
perturbación modulada, y este sería el periodo del batido. Si me piden el
periodo del batido, ese periodo es 1 segundo. Si me piden el periodo de la
perturbación modulada, sería 2 onceavos segundos. Y si me piden el
periodo de la amplitud moduladora, sería 2 segundos. ¿Preguntas? La
segunda parte del problema es dibujar, pues para esto conviene tener alguna
herramienta de cálculo simbólico. Aquí el código en matemáticas sería
algo así. Por un lado definimos la I suma según la regla del batido.
Según esa regla que hemos visto en teoría, pues definiremos la función a
la que le he llamado X bit. Y para que el dibujo me aparezca bien, voy a
definir dos funciones más, que es la envolvente 1, la envolvente por
arriba, que daros cuenta, que no es más que la amplitud moduladora con
signo la 1 positiva y la 2 con signo negativa. Y se trata de que en un
mismo gráfico nos dibuje el X bit, la envolvente 1 y la envolvente 2. Si
sólo representamos el gráfico Para algunos valores de amplitud,
frecuencia 1, frecuencia 2, el tiempo se deja variar, phi1 y phi2,
obtendríamos esta representación para el X bit. Y si representamos en un
mismo gráfico X bit y las dos envolventes, obtendríamos el perfil
característico que nos aparece en los libros del batido. Aquí lo que
tenéis es un mismo gráfico donde veis que se ha dicho plot, la envolvente
1, que es la amplitud por arriba, el batido y la envolvente 2. ¿Se
entiende? ¿Preguntas? ¿Se entiende cómo se obtendría, qué es lo que
habría que hacer para dibujar? Aterrizó una pregunta de por qué no se
anulan, porque son funciones del tiempo. Lo que te da es la parte de por
arriba que se superpone a la parte de abajo. Varían con el tiempo igual
que la perturbación. ¿Vale? Una cuestión importante de los batidos es
que los batidos serían... El segundo del periodo no es de lo que hay
dentro. El segundo del periodo es de todo el batido. No sé si habrá
algún número, pero no tiene que coincidir con el periodo de lo que hay
dentro. ¿Estás de acuerdo? Pregunta aquí, Maragundet4, pregunta que el
dibujo no tiene un segundo de periodo. Con el 2 segundos y con el 2 partido
11º segundos, ¿estás de acuerdo? Vale. El otro intenta ver la
representación gráfica que te he hecho y te lees en el French el...